1

Lógica Proposición

– Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa.

Ejemplos– 1 + 4 = 5 (Verdad)– La Pampa es una nación. (Falso)– 8 + 23 (no es proposición)– María (ídem anterior)

2

Proposición Atómica

Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa.

Ejemplos:– La casa es grande. (es atómica)– La casa no es grande. ( no es atómica)– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

3

Proposición Molecular

Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

4

Conectivos Lógicos

Conectivo Simbolización

y ^

o v

no (sobre la proposición)

5

Proposiciones Moleculares

Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.– No es cierto que Juan llegó temprano– Juan no llegó temprano– Luis es arquitecto y Martín es médico.– La medalla no es de plata y el diploma parece

falso.– Matías aprobó pero Lucas no.

6

Simbolización

Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.

Ejemplo:– El Sr.Domínguez es el gerente.

Si se considera

p = “El Sr.Domínguez es el gerente”

esta proposición puede ser simbolizada como p.

7

Simbolización

Para simbolizar un proposición– Identificar las proposiciones atómicas– Simbolizar las proposiciones atómicas

encontradas.– Utilizar los conectivos lógicos para

relacionarlas.

8

Simbolización

Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.

p : “Vamos en bicicleta”.

q : “Vamos a pie”

Simbolización: p v q– No es cierto que Juan llegó temprano

p = “Juan llegó temprano”.

Simbolización : p

9

Simbolización

Ejemplo– La medalla no es de plata y el diploma

parece falso.

p : “La medalla es de plata”.

q : “El diploma parece falso”

Simbolización: p ^ q

10

Simbolización

Ejemplo– Matías aprobó el examen pero Lucas no.

r = “Matías aprobó el examen”.

s = “Lucas aprobó el examen”

Simbolización : r ^ s

11

Tabla de Verdad

La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

12

Negación

Indique el valor de verdad de:– El número 9 no es divisible por 3.– No es cierto que los perros vuelan.

p p

V F

F V

13

Conjunción

Indique el valor de verdad de :– 6 es un número par y divisible por 3.– ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

14

Disyunción

Indique el valor de verdad de :– 2 es primo o es impar.– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

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Construcción de tablas de verdad

¿Cuántas filas tiene la tabla?– 1 proposición 2 valores (V o F)– 2 proposiciones 4 valores de verdad– 3 proposiciones 8 valores de verdad– .........– n proposiciones 2n valores de verdad.

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Ejemplos

Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones

p ^ q

( p v q ) ^ p

(p ^ r ) v ( p ^ q)

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Ejercicio

Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:

(p ^ q ) v (r ^ p ) v s

(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

18

Ejercicio

Sabiendo que

(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

19

Ejercicio

Sabiendo que

( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

20

Proposiciones moleculares

Según su valor de verdad pueden ser

– Tautología

– Contradicción

– Contingencia

21

Tautología

Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Ejemplo: p v p

22

Contradicción

Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Ejemplo: p ^ p

23

Contingencia

Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.

Ejemplo: p ^ q

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Ejemplos

Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia

( p ^ q ) v ( p v q )

( q ^ p ) ^ (q ^ p)

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Equivalencia Lógica

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)

Ejemplo:p q p q

26

Ejemplo:

p q p v q p v q

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

p q p q

p q p q p ^ q

V V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

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Leyes de De Morgan

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p v q) ( p ^ q )

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p ^ q) ( p v q)

28

Proposición condicional

Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe

p q

donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

29

Proposición condicional

Ejemplo: Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la

lección

p = "resolvemos la tarea"

q = "aprenderemos la lección"

Simbolizando: p q

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Proposición condicional

Ejemplo:

Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano

p = "vamos a la fiesta"

q = "nos acostaremos temprano"

Simbolizando: p q

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Tabla de verdad del condicional

p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

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Proposición Condicional

Existen distintas formas de leer un condicional:– “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”.

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Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo:

p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par

– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par

– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par

– Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

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Proposición condicional

La contrapositiva de la proposición condicional p q es la proposición

q p

Muestre la equivalencia lógica:

p q q p

35

Proposición condicional

La recíproca de la proposición condicional p q es la proposición

q p

¿Son lógicamente equivalentes?

p q q p?

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Proposición bicondicional

Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

37

p q (p q) ^ (q p)

p q p q q p (p q) ^ (q p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

38

Razonamiento

A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión.

39

Ejemplo de razonamiento

Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.

p = “llueve”

q = “iremos a caminar”

( (p q) ^ p ) q

Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es

una tautología

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Tabla de verdad de ( (p q) ^ p ) q

p q p q (p q) ^ p ( (p q) ^ p ) q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas

41

Forma general de razonamiento

El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología

1 2 ... kp p p c

42

Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto

“Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen.”

Simbolización:

p = “estudio todos los temas”

q = “estoy inspirado”

r = “aprobaré el examen”

[( (p ^ r ) q) ^ r ] q

¿ Es una falacia ?

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Resumen Un razonamiento es una fórmula condicional

p1 ^ p2 ^ … ^ pk c Las proposiciones p1,p2,..pk son las premisas del

razonamiento

La proposición c es la conclusión del razonamiento

El razonamiento es una forma válida si

p1 ^ p2 ^ … ^ pk c es una tautología.

El razonamiento es una forma inválida o falacia si

p1 ^ p2 ^ … ^ pk c no es una tautología.

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Notación

El razonamiento p1 ^ p2 ^ … ^ pk c también puede escribirse como

p1

p2

…

pk

c

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Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no Si Rumas evitó la maldición entonces, o

bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo.

Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo

Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas.