PREVEST

Matemática 1

MATRIZES

I. DEFINIÇÃO

Denomina-se matriz mxn (m, n ∈ IN*) a uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m e LINHAS

n . COLUNAS

Exemplos:1x22x2

1

5 B ;

04

21A

−=

= .

ATENÇÃO:

� LINHA: FILA HORIZONTAL.

� COLUNA : FILA VERTICAL.

� ORDEM DA MATRIZ : NO DE LINHAS X NO

DE COLUNAS.

A matriz abaixo é de ordem 3x2:

C1 C2

↓ ↓

233

2

1

23

52

01

L

L

L

×

→→→

II. MATRIZ GENÉRICA

É uma matriz que representa, de forma geral, todas as matrizes de mesma ordem que a sua.

Cada elemento da matriz genérica é representado por uma letra minúscula acompanhada de dois índices, que indicam, respectivamente, a linha e a coluna onde o elemento se situa. Representando, genericamente uma matriz de ordem 3x2, temos:

A = (aij)3x2 =

2x33231

2221

1211

aa

aa

aa

coluna. da número :j

linha. da número :i:aij

Nas matrizes A e B, indicadas como exemplo do item I, temos:

a12 = 2

a21 = 4

b11 = 5

III. IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, possuem a mesma ordem e todos os elementos de posições correspondentes iguais.

Exemplo: Se

====

=

3.d

2.c

4.b

1.a

:então 4c

d1

b2

3a

TESTES DE SALA 01. (UFBA-Adaptada) Seja a matriz A = (aij)3x4, onde cada

aij = (i + j)2. Calcule a soma de todos os elementos de A. 02. (UCSal) Seja a matriz A = (aij)3x3, definida por:

>

=

<

. j i se ,j

j. i se ,i

j. i se ,i

:a1-

jij

Nessas condições, o produto de todos os elementos da matriz A, é igual a:

a) 4 2 .

b) 27.

c) 27 2 .

d) 54.

e) 54 2 .

PREVEST

Matemática 2

A = AT ↔↔↔↔ aij = aji

03. Dadas as matrizes A e B, abaixo, e sabendo-se que A = B, determine x + y – z + w .

++=

−−−

+=

yw4

0zx

15

B e

3yx

06

1yx2

A

MATRIZES ESPECIAIS a) É a matriz que possui uma única linha. MATRIZ LINHA:

Exemplo: A = ( ) 3x1301 −

b) MATRIZ COLUNA É a matriz que possui uma única coluna. :

Exemplo: B =

1x40

3

5

2

c) MATRIZ NULA É a matriz em que todos os seus elementos :

são nulos.

Exemplo: O =

2x300

00

00

d) MATRIZ QUADRADA É toda matriz em que o número de :

linhas é igual ao número de colunas. Quando a matriz for do tipo nxn , diz-se que é uma matriz quadrada de ordem n.

Exemplo: E =

3x3333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D.S. D.P.

� : i = j . DIAGONAL PRINCIPAL (D.P.)

� i + j = n + 1 . DIAGONAL SECUNDÁRIA (D.S.):

� : n. ORDEM DA MATRIZ

e) MATRIZ IDENTIDADE OU UNITÁRIA É uma matriz diagonal em :que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

Exemplos: I2 = 2x2

10

01

, I3 =

3x3100

010

001

f) MATRIZ TRANSPOSTA A transposta de uma matriz M é a :

matriz MT, que se obtém permutando, ordenadamente, as linhas pelas colunas.

Exemplo: M =

2x342

30

31

; MT = 3x2

433

201

(MT)T = M. NOTE QUE:

g) MATRIZ OPOSTA Chama-se matriz oposta de A, e :

representa-se por –A, à matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um de seus elementos.

Exemplo: A = 2x2

43

12

−−

; -A = 22

43

12

x

−−

h) MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz quadrada é simétrica se ela :

for igual à sua transposta. Na matriz simétrica os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

Exemplo: A =

3x3042

431

215

−−

→ At =

3x3042

431

215

−−

IMPORTANTE:

� A = AT. MATRIZ SIMÉTRICA:

� MATRIZ OPOSTA DE A : -A. (SIMÉTRICA DA MATRIZ A)

PREVEST

Matemática 3

A = -At ↔↔↔↔ aij = - aji

i) Uma matriz quadrada é anti-MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA:simétrica se ela for igual à oposta de sua transposta. Na matriz anti-simétrica os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são opostos e todos os elementos da diagonal principal são nulos.

Exemplo: A =

−−

−

042

401

210

→ AT =

−−

−

042

401

210

-At =

−−

−

042

401

210

OPERAÇÕES COM MATRIZES a) para adicionar ou subtrair matrizes, ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO :

de mesma ordem, deve-se efetuar a referida operação com os elementos das posições correspondentes.

Exemplo: A =

−−31

48

06

; B =

−−−

−

34

16

25

; C =

2

0

1

A + B =

−=

−++−−+−−+

+−+

03

52

21

)3(341

)1(4)6(8

20)5(6

.

A – B =

−−−

=

−−−−−−−−−

−−−

65

314

211

)3(341

)1(4)6(8

20)5(6

.

A operação (A + C) NÃO está definida. NOTE QUE:

PROPRIEDADES:

� A + B = B + A.

� (A + B) + C = A + (B + C).

� A + O = O + A.

� A + (-A) = O.

b) MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ Para :

multiplicar um escalar por uma matriz, deve-se multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar.

Exemplo: A =

52

13

2A =

⋅⋅⋅⋅5222

1232 =

104

26

=

7/57/2

7/17/3

7

A.

NOTE QUE Sendo A, B e X matrizes de mesma ordem, se :X + A = B , então X = B - A.

TESTES DE SALA 04. (UCSal) Se a matriz a seguir é simétrica, então x + y + z é

igual a:

−−

=234

10

212

zx

y

A

a) -2.

b) -1.

c) 1.

d) 3.

e) 5.

05. (UNEB) Sejam as matrizes A = (aij)3x2 e B = (bij)3x2

definidas por aij = i + j, se i ≠ j e aij = 1, se i = j e bij = 0, se i ≠ j e bij = 2i – j, se i = j. Então A + B é igual a:

a)

04

22

31

b)

22

32

54

c)

54

33

32

d)

11

61

12

e)

54

33

41

PREVEST

Matemática 4

06. (UFBA-Adaptada) Se M =

y10

8x, N =

+ 4x12

6y,

P =

1323

167 e P

3

N2

2

M3 =+ . Calcule o valor de y + x .

07. Sabendo-se que 2X – A = BT, determine a matriz X, sendo

A =

−−

67

41

73

e B =

−−705

239.

c) O produto entre duas MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES :

matrizes, quando possível, é a matriz cujos elementos são obtidos fazendo o produto interno das linhas da 1a matriz pelas colunas da 2a matriz.

Exemplo: Sejam: A = 2x2

31

52

e B =

3x2452

103

Calculando o produto A.B, encontraremos:

=⋅BA ⋅

31

52

452

103

=⋅ BA

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅431153012331

451255022532

=⋅

13159

222516BA .

ATENÇÃO:

� Só é possível multiplicar duas matrizes, se o número de da 1a matriz for igual ao número de COLUNAS

da 2a matriz. LINHAS

� O da multiplicação de matrizes ELEMENTO NEUTRO

quadradas de ordem n é a matriz In.

Exemplo: nxnnxnnxnnxnnxn AAIIA =⋅=⋅ .

PROPRIEDADES:

� C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅ . � )CA()BA()CB(A ⋅±⋅=±⋅ .

� TTT AB)BA( ⋅=⋅ � A.BBA =⋅ (não é comutativo). NEM SEMPRE

TESTES DE SALA

08. Sejam as matrizes

=

52

13A e

=

10

22B , calcule:

a) A.B

b) B.A 09. (UNEB) Sabendo-se que as funções horárias de dois

corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes, segundo uma mesma trajetória, são definidas

matricialmente por

=

⋅

− 6

16

t

x

53

52, pode-se afirmar

que esses corpos se encontrarão no instante t igual a:

a) 4,6 segundos.

b) 3,8 segundos.

c) 3,5 segundos.

d) 2,4 segundos.

e) 2,0 segundos.

PREVEST

Matemática 5

DETERMINANTES

A = ( a11 ) →→→→ detA = a 11

I. INTRODUÇÃO

A teoria dos teve origem em meados do DETERMINANTES

século XVII, sendo desenvolvida, quase que simultaneamente, pelos matemáticos Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, na resolução de de equações. SISTEMAS LINEARES

Analisemos o sistema linear abaixo:

=+=+

(2) feydx

(1) cbyax)S(

Onde x e y são as incógnitas e a, b, c e d são os

coeficientes. Para resolvermos (S), utilizaremos as seguintes etapas:

DETERMINAÇÃO DE X :

� Multiplicar a equação (1) por e;

� Multiplicar a equação (2) por – b;

� Somar as novas equações obtidas:

)( (2) bfbeybdx

(1) ce bey aex +

−=−−=+

bfcex)bdae(bfcebdxaex −=−→−=−

De modo análogo, na determinação de y encontramos:

cdafy)bdae( −=−

Chamando

−=−=−=

.cdafD

.bfceD

.bdae D

y

x , tem-se:

D

Dx x= e

D

Dy

y=

ONDE:

D: Determinante do sistema.

Dx: Determinante da incógnita x.

Dy: Determinante da incógnita y.

A definição de , bem como o seu cálculo e DETERMINANTE

utilização na resolução de , serão vistos, SISTEMAS LINEARES

detalhadamente, nos próximos itens.

II. DEFINIÇÃO

O determinante de uma M, MATRIZ QUADRADA

representado por detM , é um único número que se associa à matriz M.

Exemplo: Se A =

2221

1211

aa

aa então:

detA = 2221

1211

aa

aa.

III. CÁLCULO DO DETERMINANTE

A depender da ordem da matriz, pode-se calcular o seu determinante, por um dos processos a seguir:

a) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1A ORDEM:

O determinante de uma matriz de 1a ordem é o único elemento da matriz.

Exemplo: A = (-2)1x1 → detA = -2.

b) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2A ORDEM:

O determinante de uma matriz de 2a ordem é o produto dos elementos de sua diagonal principal menos o produto dos elementos de sua diagonal secundária.

Exemplo:

13.detA )21()53(Adet

52

13Adet

52

13A

=→⋅−⋅=

=→

=

det(A + B) ≠ detA + det B. ATENÇÃO:

PREVEST

Matemática 6

detA = detAT

c) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3A ORDEM:

No cálculo do determinante de uma matriz de 3a ordem, utiliza-se a regra prática de Sarrus :

1) Repetir, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.

2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e

paralelas, como indicado no exemplo abaixo.

3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e paralelas, não esquecendo de inverter o sinal.

4) Somar todos os resultados obtidos; este será o

determinante da matriz.

Exemplo: Se A =

512

341

203

, então :

512

341

203

12

41

03

-16 -9 0 60 0 2

detA = 60 + 0 + 2 – 16 – 9 + 0

detA = 37.

TESTES DE SALA 10. Determine o valor de x na igualdade abaixo:

215

15

11

xx2

32

x1x

−−

=−

−+

−

11. Determine o valor de x na equação 0

113

12x

01x2

=−

.

12. (UFBA-Adaptada) Sejam as matrizes:

−=

163

050

242

A e

−−−

−=

132

247

385

B . Calcule o determinante associado à

matriz BAt + .

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Um determinante é NULO quando:

a) Todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos.

b) Duas linhas ou colunas são iguais.

c) Duas linhas ou colunas são proporcionais.

d) Uma linha ou coluna é das COMBINAÇÃO LINEAR

demais.

Exemplos:

a)

541

000

213

b)

151

202

414

.

c)

120

1539

513

d)

743

532

431

.

Um determinante não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas colunas, isto é:

Exemplo: A =

52

13 → AT =

51

23.

detA = detA T = 13.

PREVEST

Matemática 7

det =

Um determinante troca de sinal quando trocamos as posições de duas filas paralelas.

Exemplo: 101-3

24 e 10

31

42 −==−

.

Se A e B são duas matrizes quadradas e de mesma ordem, então:

Exemplo: A =

43

21 → detA = -2.

B =

−52

30 → detB = 6.

(AB) =

118

74 → det(A.B) = -12.

O determinante de uma é calculado MATRIZ TRIANGULAR

através do produto dos elementos de sua diagonal principal.

Exemplo: 5233

5000

5200

1230

2413

⋅⋅⋅=

det I n = 1, (In: matriz identidade de ordem n). NOTE QUE:

Exemplo: I3 =

100

010

001

→ det(I3) = 1.1.1 = 1.

TESTES DE SALA

13. (UNEB) Considerando-se a matriz A =

+

+

100

10

101

x

x

x

e

sabendo-se que detA = 4x, pode-se afirmar que o valor de x2 é:

a) 1/4.

b) 1/2.

c) 1.

d) 3/2.

e) 2.

14. (UCSal) Sendo A =

⋅

01

32

51

32, o valor do seu

determinante é:

a) –21.

b) –19.

c) –17.

d) –15.

e) –6.

15. (UESB) Sendo A =

32

1 x e B =

− 12

0y matrizes reais,

tais que det(A + B) = 0 e det(A.B) = 1 , pode-se afirmar que x.y é igual a:

a) 6.

b) 4.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

PREVEST

Matemática 8

M.M -1 = M-1.M = I n

MENOR COMPLEMENTAR

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, denomina-se do elemento aij, e indica-MENOR COMPLEMENTAR

se por Mij, ao determinante obtido eliminando-se a linha e a coluna a qual pertence tal elemento.

Exemplo: A =

987

654

321

O menor complementar do elemento a21 é:

M21 = 698

32−=

Denomina-se ou do COMPLEMENTO ALGÉBRICO COFATOR

elemento aij, e indicamos por Cij, ao produto do menor complementar de aij por (-1)i + j.

Exemplo: A =

987

654

321

O cofator do elemento a21 é:

C21 = (-1)2 + 1. .6)6(198

32=−⋅−=

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de uma FILA

pelos respectivos cofatores. QUALQUER

Exemplo: A =

213

230

142

detA = 2.C11 + 0.C21 + 3.C31

detA = 2.23

14.3

21

23+ = 2.(4) + 3.(5) = 23.

NOTE QUE: A presença de ZEROS, na fila escolhida,

facilita o cálculo do determinante.

TESTES DE SALA 16. (UFBA-Adaptada) Calcule o valor de det(2A) sendo:

−

−−

=

2011

3200

2312

1201

A .

Define-se como de uma matriz quadrada MATRIZ INVERSA

M, de ordem n, e indica-se por M-1, à matriz que multiplicada por M dá como produto a matriz identidade.

Exemplo:

Vamos obter a matriz inversa de M =

21

53, efetuando o

produto de M por M-1 =

dc

ba e igualando-se o resultado

à matriz identidade.

=

⋅

10

01

dc

ba

21

53

Resolvendo-se os sistemas:

=+=+

=+=+

12db

05d3b e

0c2a

1c5a3

Concluí-se então que: M-1 =

−−

31

52.

OBSERVAÇÕES :

a) Para o cálculo de matrizes inversas de 2a ordem, utiliza-se

o seguinte dispositivo:

M =

dc

ba → M-1 =

Mdet

ac

bd

−−

, desde que detM ≠ 0.

b) Para qualquer matriz quadrada M, se detM ∃/→= 0 M-1,

isto é: M não é uma . Matriz que não MATRIZ INVERSÍVEL

admite inversa é chamada de MATRIZ SINGULAR . c) Usando as propriedades dos determinantes demonstra-se

que:

detM ≠ 0 → 1Mdet

1Mdet

−= .

PREVEST

Matemática 9

TESTES DE SALA

17. (UFRRJ) Dada a matriz

=

01

21A , denotamos por A-1 a

matriz inversa de A. Então A + A -1 é igual a:

a)

01

32.

b)

−02

11.

c)

− 2123

31

//.

d)

2/12/1

10.

e)

− 02

42

18. (UCSal) Indica-se por A-1 e AT, respectivamente, as

matrizes inversa e transposta de uma matriz A. Se

−=−

01

21A 1 , então o determinante da matriz A.AT é

igual a:

a) –1/2.

b) 3/4.

c) 1/2.

d) 1/4.

e) –1/4.

19. (CESCEA) Se A =

−102

316

012

, o determinante de A-1é:

a) –1/2.

b) –2.

c) 1/12.

d) 12.

e) 1/15.

20. (UFBA-Adaptada) Dadas as matrizes A =

−−

12

13

e B =

− 20

02, considere a matriz X tal que

X = AT.B + 4.B-1. Sabendo-se que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, determine o traço da matriz 2X.

PREVEST

Matemática 10

SISTEMAS LINEARES

ax + by + ... + cz = d ex + fy + ... + gz = h . . . . . . . . . . . . ix + jy + ... + kz = u

Possível (admite solução)

I. DEFINIÇÕES PREELIMINARES

Uma equação é dita linear quando for do 1o grau em relação às suas m variáveis.

Exemplo: 2x + y – 3w + 4z = 8

Define-se como sistema linear ao conjunto de n equações lineares, com m incógnitas.

Exemplo:

=−+=++−=−−

1z4y3x2

14z2y8x4

3z2y2x

Denomina-se solução de um sistema linear ao conjunto ordenado (x1, x2, ..., xm) que é solução, simultaneamente, de todas as equações do sistema.

Exemplo:

O sistema

=+−=−11y4x3

4y3x2 admite como solução o conjunto

ordenado (1, 2).

II. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES

É todo sistema que apresenta, PELO MENOS, uma solução, podendo ser: a) DETERMINADO: o Sistema Linear possui, APENAS, uma

solução.

Exemplo:

O sistema

=+=−3y2x

0y2x2 admite apenas como solução o

par ordenado (1, 1). b) O Sistema Linear possui infinitas INDETERMINADO:

soluções.

Exemplo:

O sistema

=+=+2yx

4y2x2 admite infinitas soluções,

como: (1, 1), (2, 0), (3, -1), ...

É todo sistema linear que não apresenta solução.

Exemplo:

Para o sistema

=+=+

4yx2

3yx2, não existe um par ordenado

que satisfaça simultaneamente as duas equações.

RESUMINDO:

ax + by + ... + cz = d

SISTEMA

LINEAR

Impossível (não admite solução)

Determinado (solução única)

Indeterminado (infinitas soluções)

PREVEST

Matemática 11

(DX, DY, ...)

III. MÉTODO DE CRAMER

Na resolução ou discussão de Sistemas Lineares de n equações e n incógnitas, utilizaremos o método de Cramer, onde cada incógnita do sistema é igual ao quociente entre o

e o . DETERMINANTE DA INCÓGNITA DETERMINANTE DO SISTEMA

É o determinante obtido através da MATRIZ DOS

. COEFICIENTES DO SISTEMA

É o determinante obtido através da MATRIZ DOS

, substituindo-se a coluna que contém COEFICIENTES DO SISTEMA

os coeficientes da incógnita em questão, pela coluna dos termos independentes.

Exemplo: Para o sistema

=−=+0y2x

7y3x2, teremos:

D = 21

32

− = -7.

Dx = 20

37

− = -14.

Dy = 01

72 = -7.

Como D

Dy e

D

Dx

yx == , então: x = 2 e y = 1.

De um modo geral, para um Sistema Linear, teremos:

ATENÇÃO:

Se o número de equações de um sistema for igual ao número de incógnitas e o determinante do sistema for diferente de zero, dizemos se tratar de um SISTEMA

. NORMAL

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR DE

n” n”“ EQUAÇÕES E “ INCÓGNITAS

{

≠=

=

==

=

≠

0ou ... ou D

0 D Impossível

0

0

0D

0D

adoIndetermin

0D oDeterminad

Possível

Linear Sistema

x

x

ny

n

y

DD

D

D

M

SISTEMA LINEAR E HOMOGÊNEO

É o sistema em que os termos independentes de todas as equações são nulos.

Exemplo 01:

=−=+

0yx3

0yx2

Exemplo 02:

=+=+

0y2x4

0yx2

NOTE QUE:

Todo com n incógnitas SISTEMA LINEAR E HOMOGÊNEO

admite, pelo menos, (0, 0, 0, ..., 0) como solução, sendo esta, chamada de . SOLUÇÃO TRIVIAL OU IMPRÓPRIA

Veja que no Exemplo 01, como D ≠ 0, então o sistema só admite a solução trivial (0, 0), enquanto que, no Exemplo 02, como D = 0, o sistema admite além da solução trivial, (0, 0), outras soluções próprias tais como: (1, -2), (3, -6) ... .

Sistema L inear Homogêneo (Possível)

Determinado (D 0) Indeterminado (D = 0)

PREVEST

Matemática 12

TESTES DE SALA

21. (EBMSP) Sejam x, y e z, números reais tais que

=+=+=+

1

3

6

zx

zy

yx

Então, x.y – z é:

a) -8.

b) -6.

c) 1.

d) 7.

e) 9.

22. (UFBA-Adaptada) O sistema

=+=+=+

0 z -py 5x

3 z 2x

1 5y 3x

, é impossível

para um número real p. Determine o valor de p. 23. (UFBA-Adaptada) Calcule o valor de k para que o sistema

=−++=+−+−+

=++−

0

452)2(2

0)1(2

kzzyx

kkzykx

zyxk

seja Homogêneo e

Indeterminado.

PREVEST

Matemática 13

VESTIBULARES DO BRASIL 01. (FATEC-SP) Seja A = (aij) a matriz real quadrada de

ordem 2, definida por ;ji para 1ia

;ji para 2a

2ij

jiij

≥+=

<= +

, então:

a) A =

55

82

b) A =

65

82

c) A =

58

42

d) A =

52

82

e) A =

32

82

02. (UFPA) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que

=≠−=

+

.ji se ,0

.ji se ,)1(a

ji

ij , então A é igual a:

a)

−−−

−

011

101

110

.

b)

−100

010

001

.

c)

−

−

011

101

110

.

d)

−

−

100

010

001

.

e)

−−−

011

101

110

.

03. (MACK-SP) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp . A

afirmação falsa é:

a) A + B existe se, e somente se, n = p.

b) A = At implica m = n.

c) A.B existe se, e somente se, n = p.

d) A.Bt existe se, e somente se, n = p.

e) At.B sempre existe.

04. (FMU-SP) Dadas as matrizes A =

− 31

02 e B =

30

12,

então a matriz –2.A.B é igual a:

a)

−714

28.

b)

−−714

28.

c)

−−−−714

28.

d)

714

28.

e)

−−−164

48.

05. (UFPA) Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxm, onde

n, m e p são números distintos, qual das operações abaixo podemos afirmar:

a) A + B.

b) A.B.

c) B.A.

d) (At).B.

e) A.(Bt).

06. (FEI-SP) Dadas as matrizes A =

00

11 e B =

−10

10,

para A.B temos:

a)

00

10.

b)

00

00.

c)

−10

10.

d)

00

20.

e)

1

1.

PREVEST

Matemática 14

07. (UFMS) Sejam A e B matrizes 2x2. Se o produto A.B é nulo, então:

a) A = 0.

b) B = 0.

c) A = B = 0.

d) A = 0 ou B = 0.

e) Não se pode garantir que A = 0 ou B = 0.

08. (FGV-SP) Dadas as matrizes A =

−−

−

100

121

305

e

B =

−

−

42

30

11

, o elemento c12 da matriz C = A.B é:

a) –17.

b) 7.

c) –3.

d) 3.

e) –6.

09. (CESEM-SP) Dada a equação matricial X2 –2X = 0, onde

X é uma matriz quadrada, nxn, não singular. Podemos afirmar que esta equação:

a) Tem uma infinidade de soluções.

b) Não tem solução.

c) Tem duas soluções distintas.

d) Tem uma única solução.

e) Admite a solução

22

22

L

LLL

L

.

10. (MACK-SP) Seja A =

−10

01. Então (A + A-1)3 é igual a:

a) Matriz nula de ordem 2.

b) Matriz identidade de ordem 2.

c) (1/2).A.

d) 27.A.

e) 8.A.

11. (PUC-RS) A matriz transposta da matriz quadrada A = (aij) de ordem 2 com aij = (-2)i – j é:

a)

12/1

21.

b)

− 12/1

21.

c)

−−

12

2/11.

d)

−−12/1

21.

e)

10

01.

12. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:

M =

17/1

03/1. A soma dos elementos da diagonal

principal da matriz P é:

a) 9/4.

b) 4/9.

c) 4.

d) 5/9.

e) –1/9.

13. (FIOCRUZ-SP) Dadas as matrizes A e B, com

A =

− 12

01 e B =

− 32

10, a matriz C = A-1 + B é igual

a:

a)

−20

11.

b)

−−20

11.

c)

40

11.

d)

−40

11.

e)

32

11.

PREVEST

Matemática 15

14. (SANTA CASA-SP) São dadas as matrizes A e B, quadradas, de ordem n e inversíveis. A solução da equação A.X-1.B-1 = In, onde In é a matriz identidade de ordem n, é a matriz X tal que:

a) X = A-1.B.

b) X = B.A-1.

c) X = B-1.A.

d) X = A.B-1.

e) X = B-1.A-1.

15. (CESEM-SP) O produto M.N da matriz M =

1

1

1

pela

matriz N = [ ]111 :

a) Não se define.

b) É uma matriz identidade de ordem 3.

c) É uma matriz de uma linha e uma coluna.

d) É uma matriz quadrada de ordem 3.

e) Não é uma matriz quadrada.

16. (PUCCAMP-SP) A matriz quadrada de ordem 2, A = (aij)

com aij = [(-1)i + j].i.j, é:

a)

42

21.

b)

−−

42

21.

c)

−42

21.

d)

− 42

21.

e)

−−

41

21.

17. (SANTA CASA-SP) Se uma matriz quadrada A é tal que

AT = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que

M é anti-simétrica e: M =

−+

+

8c2cb

a2ba

aaa4

23

1312

.

Os termos a12, a13 e a23 de M valem, respectivamente:

a) –4, -2 e 4.

b) 4, 2 e –4.

c) 4, -2 e –4.

d) 2, -4 e 2.

e) n.d.a.

18. (MACK-SP) A solução da equação 0

02132

51x

321

=−− é:

a) 1.

b) 58.

c) –58.

d) 67/9.

e) 2.

19. (CESGRANRIO-RJ) A inversa da matriz

11

34 é:

a)

11

3141.

b)

−−41

31.

c)

−−−41

31.

d)

−−

11

3141.

e)

−−

11

34.

20. (PUR-RS) Se 10

1522

k021

95121

=−−

− , então k é:

a) Um número inteiro.

b) Menor que –4.

c) Igual a –5/2.

d) Igual a –53/22.

e) Igual a –83/26.

21. (MACK-SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de

ordem 2 e aij = j – i2, o determinante da matriz A é:

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

PREVEST

Matemática 16

22. (ITA-SP) Dizemos que um número real a é auto valor de uma matriz Tnxn quando existir uma matriz coluna Xnx1, não nula, tal que TX = aX. Considere uma matriz real Pnxn satisfazendo P.P = P. Denote por a1 um auto valor de P e a2 um auto valor de P.P. Podemos afirmar que, necessariamente:

a) a1 < a2 < 0.

b) a1 > a2 > 1.

c) a1 e a2 pertencem ao conjunto {0, 1}.

d) a1 e a2 pertencem ao conjunto {t IR∈ | t > 0 ou t < 1}.

e) a1 e a2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1).

23. (MACK-SP) Sabendo-se que A é uma matriz quadrada de

ordem 4 e detA = -6. O valor de x tal que det(2A) = x – 97 é:

a) –12.

b) 0.

c) 1.

d) 97/2.

e) 194.

24. (CESCEA-SP) Considere a matriz A =

−102

316

012

, o

determinante de A-1 é:

a) –1/2.

b) –2.

c) 1/12.

d) 12.

e) 1/15.

25. (FEI-SP) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma

dos elementos da diagonal principal. Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da

matriz

y00

zx0

321

:

a) 4 e 6.

b) 1 e 3.

c) 2 e 4.

d) 3 e 5.

e) 6 e 5.

26. (UNIFOR-CE) A inequação 0

111

1x1

01x

< tem por conjunto

solução:

a) }1x0 |IRx{ <<∈ .

b) }0xou 1x |IRx{ <>∈ .

c) IR

d) ∅.

e) {1, 2}.

27. (CESCEM-SP) Sendo x e y os determinantes das matrizes

−−

d3b3

c2a2 e

dc

ba, respectivamente, então y/x vale:

a) 36.

b) 12.

c) –6.

d) –12.

e) –36.

28. (MAUÁ-SP) Na matriz

− 931

421

xx1 2

, o seu determinante é:

a) 5.(2 – x).(3 + x).

b) 5.(2 + x).(3 + x).

c) 5.(2 – x).(3 – x).

d) 5.(x – 2).(x – 3).

e) 5.(3 + x).(5 + x).

29. (PUC-SP) O determinante

2100

1x10

00x1

300x

−−−

− representa o

polinômio:

a) –2x3 + x2 + 3.

b) –2x3 – x2 + 3.

c) 3x3 + x2 – 2.

d) 2x3 – x2 – 3.

e) 2x3 – x2 + 3.

PREVEST

Matemática 17

30. (MACK-SP) Para a IR∈ , a matriz A =

−21

a2 2 admite

inversa:

a) Somente se a ≠ 4.

b) Somente se a ≠ -4.

c) Somente se a ≠ 4 e a ≠ -4.

d) Para qualquer valor positivo de a.

e) Para qualquer valor de a.

31. (FUVEST-SP) A é uma matriz quadrada de ordem 2,

inversível, e det(A) o seu determinante. Se det(2A) = det(A2), então det(A) é igual a:

a) 20.

b) 21.

c) 1/2.

d) 4.

e) 16.

32. (FUVEST-SP) O determinante da matriz

ab

ba, onde

2.a = ex + e-x e 2.b = ex – e-x, é igual a :

a) 1.

b) –1.

c) ex.

d) e-x.

e) zero.

33. (ITA-SP) Seja k um número real, I2 a matriz identidade de

ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos aij são definidos por aij = i + j. Sobre a equação em k, definida por det(A – k.I2) = detA – k, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) Apresenta apenas raízes negativas.

b) Apresenta apenas raízes inteiras.

c) Uma raiz é nula e a outra é negativa.

d) As raízes são 0 e 5/2.

e) Todo k real satisfaz esta equação.

34. (ABC-SP) Seja S = (sij) uma matriz quadrada de ordem 3,

onde:

>=+

<=

ji se j - i

j i se j i

ji se 0

ijs .

Então o valor do determinante de S é:

a) 0.

b) 12.

c) 24.

d) 48.

e) 60.

35. (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a

1a linha por 6 e multiplicarmos a 3a coluna por 4, o novo determinante valerá:

a) 8.

b) 18.

c) 24.

d) 36.

e) 48.

36. (CESCEM-SP) Sejam A, B e C matrizes quadradas de

ordem n e k um número real qualquer; considerando as afirmações seguintes, associe V ou F a cada uma delas:

I) A = k.B → detA = k.detB. II) C = A + B → detC = detA + detB. III) C = A.B → detC = detA.detB.

Então temos:

a) V, V, V.

b) V. V, F.

c) V, F, F.

d) F, F, F.

e) F, F, V.

37. (FGV-SP) Sabendo-se que: 16

2000

3x02

21x1

000x

= , Então o

valor de x2 é:

a) 16.

b) 4.

c) 0.

d) 1.

e) 64.

PREVEST

Matemática 18

38. (OSEC-SP) O sistema linear

=++=++

=+−

7z2y4x

9z4y3x2

2z2yx

:

a) Admite solução única.

b) Admite infinitas soluções.

c) Admite apenas duas soluções.

d) Não admite solução.

e) Admite apenas três soluções.

39. (CESGRANRIO-RJ) O sistema

=+=+−=−+

byx

1zayx

0zyax

tem uma

infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:

a) a = 1, b IR∈ .

b) a = 1, b ≠ 0.

c) a = 1, b = 1.

d) a = 0, b = 1.

e) a = 0, b = 0.

40. (FGV-SP) O sistema linear

=−=−

=+

my2x3

1yx

4y2x

será impossível

se:

a) m ≠ 1.

b) m ≠ 2.

c) m ≠ 3.

d) m ≠ 4.

e) m ≠ 5.

41. (FGV-SP) O sistema

=−=++=−+

0z14x

0z4y2x

0zy3x2

é:

a) Determinado.

b) Impossível.

c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).

d) Indeterminado.

e) Impossível.

42. (FGV-SP) Se o sistema

=+=+

6ayx2

by2x2 é indeterminado, o

produto a.b vale:

a) 12.

b) 24.

c) 18.

d) 6.

e) 36.

43. (PUC-RS) Para que o sistema

=++=+

=−

0zy2mx

0z3my2

0z2x

tenha

solução não-trivial , é necessário que o valor de m seja:

a) m ≠ 0.

b) m = 3/4.

c) m ≠ 0 e m ≠ 3/4.

d) m = -3/2 ou m = 1.

e) m = 5 ou m = 7.

44. (EFO-MG) O sistema de equações

=+=+0ybx

5y5ax terá uma

única solução se:

a) a = 5b.

b) a + 5b = 0.

c) a – 5b ≠ 0.

d) 5ab = 0.

e) 5ab ≠ 0.

45. (FEI-SP) Sendo (x, y, z) a solução do sistema

=+=+=−

10z4y

4zx

3yx

,

então zyx ⋅⋅ vale:

a) –5.

b) 8.

c) –6.

d) –10.

e) 5.

PREVEST

Matemática 19

46. (CESCEA-SP) Os valores de m para os quais o sistema

=++=+−

=+−

0mzy3x4

0z2y3x2

0zyx

admita somente a solução (0, 0, 0), são:

a) m > 0.

b) m < 5.

c) m ≠ 8.

d) m > -2.

e) m ≠ 4.

47. (CESGRANRIO-RJ) Se o sistema

+−=+=

4x)1m2(y

3mxy tem

apenas uma solução do tipo (x, y), então o parâmetro m satisfaz a condição:

a) m ≠ 1.

b) m ≠ 0.

c) m ≠ 2.

d) m ≠ -1.

e) m ≠ 1/2.

48. (UFRS) O sistema de equações lineares:

=−=−

=+−+=+++−

0t

0t2z

0t3zy)2a(

0tz2yx)1a(

é indeterminado se, e somente se:

a) a = 1 ou a = -2.

b) a ≠ 1 ou a ≠ -2.

c) a = 1.

d) a = -1 ou a = 2.

e) a ≠ -1 ou a ≠ 2.

49. (FUVEST-SP) A equação matricial

⋅=

⋅

− y

xa

y

x

12

51

admite mais de uma solução se, e somente se, a for igual a:

a) 0.

b) 3± .

c) 3± .

d) 6± .

e) 11± .

50. (CESGRANRIO-RJ) O sistema

=+=++

2ayx

0yx)1a( admite

solução (x, y) com y = 0. O valor de a é:

a) –4.

b) –3.

c) –2.

d) –1.

e) 0.

GABARITO (VES TIBULARES DO BRASIL) 01. A 02. A 03. C 04. E 05. C 06. B 07. E 08. C 09. D 10. E 11. D 12. C 13. C 14. C 15. D 16. B 17. B 18. D 19. B 20. C 21. D 22. C 23. C 24. A 25. D 26. A 27. C 28. A 29. A 30. E 31. D 32. A 33. B 34. D 35. A 36. E 37. B 38. B 39. D 40. D 41. D 42. D 43. D 44. C 45. C 46. E 47. A 48. A 49. E 50. D

PREVEST

Matemática 20

VESTIBULARES DA BAHIA 01. (UCSal) Sejam A, B e C matrizes do tipo 2xm, 3xn e px4,

respectivamente. Para que seja possível determinar-se a matriz X = A.(B + C), deve-se ter:

01) m = p = n + 1.

02) m = n = p – 1.

03) n = p = m – 1.

04) m = n = p + 1.

05) m = p = n – 1 .

02. (UCSal) Se

−−+=

−−−⋅

x22

30x6x

x1

1xx2

22, com IRx ∈

então 3x é igual a:

01) –64.

02) 64.

03) 0.

04) –64 ou 64.

05) –64, 64 ou 0.

03. (UESC) Se a matriz

−−

=02n

2nmA é tal que A2 = A, e

A é uma matriz não nula, então m – n é igual a:

01) 2.

02) 1.

03) 0.

04) –1.

05) –2.

04. (UNIME) Se o produto das matrizes

−=

12

a3A e

−=

10

11B é uma matriz simétrica, então pode-se

concluir que a é:

01) Um número ímpar e múltiplo de 3.

02) Um número par e divisível por 3.

03) Um número formado por dois algarismos.

04) Um múltiplo de 2 ou é ímpar.

05) Uma potência de 2 e múltiplo de 10.

05. (UCSal) Se A e B são matrizes do tipo 2x3, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?

01) A + B.

02) At – Bt.

03) (A + B).Bt.

04) Bt.A.

05) A.B.

06. (FTC) Considerando-se as matrizes

−=

112

321A ,

−−

−=

14

03

21

B e

=11

10

01

C . O determinante da matriz

C)BA( T ⋅+ , em que BT é a matriz transposta da matriz B, é igual a:

01) -22.

02) -19.

03) -6.

04) -3.

05) 0.

07. (UNEB) Sendo as matrizes A =

312

111 e

B = ,)b( xij 23 jibij −= , o determinante da matriz 2.AB é

igual a:

01) -2

02) -1

03) 3

04) 6

05) 12

08. (UCSal) Os valores de x tal que 10

1x1

40x

311

=−

são:

01) –2 e 2.

02) –2 e 1.

03) –1 e –2.

04) –1 e 2.

05) 0 e 1.

PREVEST

Matemática 21

09. (UCSal) A soma

221

132

111

23

21+

− é igual a :

01) –6.

02) –2.

03) 0.

04) 2.

05) 6.

10. (UCSal) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 e

tais que A = 2B. Nestas condições, é correto afirmar que:

01) detA = 2detB.

02) detA = 3detB.

03) detA = 5detB.

04) detA = 6detB.

05) detA = 8detB.

11. (UCSal) A matriz

1x

x1, na qual x é um número real, é

inversível se, e somente se:

01) x ≠ 0.

02) x ≠ 1.

03) x ≠ 1/2.

04) x ≠ -1/2 e x ≠ 1/2.

05) x ≠ -1 e x ≠ 1.

12. (UCSal) Seja a matriz A = (aij)3x2, onde:

=⋅≠−

=ji se ,ji

ji se ,jiaij .

Se AT é a matriz transposta da A, o determinante da matriz A.AT é igual a:

01) –20.

02) –10.

03) 0.

04) 10.

05) 20.

13. (UFBA-Adaptada) A solução da equação 0

11x3

12x2

13x1

=−−−

é: 01) ∅.

02) IR .

03) 0.

04) 1.

05) 2.

14. (UNEB) Se

+=

xx2

1xxA ,

=

312

101B e detA = 1, então

a matriz A.B é igual a:

01)

−−−−−514

101.

02)

−− 534

201.

03)

− 514

101.

04)

−−−−

51

10

41

.

05)

−−

52

30

41

.

15. (UCSal) O valor do determinante

1011

1011

1001

1111

é:

01) –1.

02) 0.

03) 1.

04) 2.

05) 3.

PREVEST

Matemática 22

16. (UCSal) O sistema

=+=−0kyx

0yxk 2, nas incógnitas x e y:

01) É impossível se k ≠ 1.

02) Admite apenas a solução trivial se k = -1.

03) É possível e indeterminado se k = -1.

04) É impossível para todo k real.

05) Admite apenas a solução trivial para todo k real.

17. (UCSal) A solução da equação

=

⋅

−−

−

3

2

1

z

y

x

101

210

121

é

a matriz:

01)

1

2

3

.

02)

0

2

3

.

03)

2

0

3

.

04)

0

3

2

.

05)

3

0

2

.

18. (UCSal) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema

=−−=−

=+

3zy

2zx

1yx

, então a + b + c é igual a:

01) 3.

02) 1.

03) –1.

04) –2.

05) –3.

19. (UESC) Os valores de x para os quais 3

0xx1

x01x

x10x

1xx0

−>

são tais que:

01) 2

1x

2

1 <<− .

02) 2

1x > .

03) -1 < x < 1.

04) x < -2 ou x > 2.

05) 2

1x −< ou

2

1x > .

20. (UCSal) O sistema

=−−=++

=+−

0zyx.k

0zyx

0zy2x

, no qual k é um

parâmetro real:

01) É impossível se k ≠ -1.

02) É indeterminado se k = -1.

03) Admite soluções diferentes da trivial, qualquer que seja k.

04) Admite apenas a solução trivial, qualquer que seja k.

05) É sempre impossível.

21. (UCSal) Os números reais x e y, que tornam a igualdade

matricial ( ) ( )224y2y

xx32 −=

−⋅ verdadeira, são tais

que x + y é igual a:

01) –3.

02) –1.

03) 0.

04) 1.

05) 3.

PREVEST

Matemática 23

22. (UESB) O sistema

=+=−tyx

6y3kx, nas variáveis x e y, é

possível e determinado. A soma k + t é igual a:

01) –5.

02) –3.

03) –1.

04) 1.

05) 5.

23. (UNEB) Uma loja de discos classificou seus CDs em três

tipos, A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:

� O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1

do tipo C, gastando R$ 121,00.

� O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$ 112,00.

� O terceiro comprou 3CDs do tipo A, 1 do tipo C e

gastou R$ 79,00.

� O quarto comprou um CD de cada tipo.

Com base nessa informação, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs, foi igual a:

01) 48,00.

02) 54,00.

03) 57,00.

04) 63,00.

05) 72,00.

24. (FRB) Em uma agência dos correios, há apenas selos de

R$ 0,55 e R$ 0,85. Um cliente comprou 15 selos nessa agência e pagou R$ 10,65. Considerando-se que o cliente comprou n selos de R$ 0,55 e m selos de R$ 0,85, pode-se afirmar que o valor de m.n é:

01) 26.

02) 36.

03) 44.

04) 50.

05) 56.

25. (IFBA) O valor de k que torna impossível o sistema

=−=−

7y2x5

2ky3x pertence a:

01) [-1, 0].

02) ] 0, 1].

03) ] 1, 2].

04) ] 2, 3].

05) ] 3, 4].

GABARITO (VESTIBULARES DA BAHIA) 01) 05 02) 01 03) 04 04) 04 05) 05 06)02 07) 05 08) 04 09) 01 10) 05 11) 05 12) 03 13) 02 14) 01 15) 02 16) 03 17) 02 18) 02 19) 03 20) 02 21) 01 22) 01 23) 04 24) 05 25) 02