matrizes 2011

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

16ª URE – UNIDADE REGIONAL DE EDUCAÇÃO

E.E.E.M. DEP. RAIMUNDO RIBEIRO DE SOUSA

Aluno: ________________________________________________ Data: _______/_______/_______

Unidade 2 - MATRIZES E

DETERMINANTES

1 - Matrizes

1.1 - INTRODUÇÃO

As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações, etc. Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial, mais fácil. Na mecânica também é muito importante, pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz.

Informações organizadas em tabelas estão presentes nos mais variados campos da vida atual. Na Matemática, usamos tabelas denominadas matrizes. Observe a seguinte situação.

Helen Monique recebeu o seu boletim escolar, como mostra a tabela a seguir:Disciplina 1ª Av. 2ª Av. 3ª Av. 4ª Av.Matemática 5,0 8,0 9,0 10,0

Portiguês 4,0 3,0 1,0 6,0

Geografia 7,0 4,0 7,0 8,0

História 8,0 5,5 7,5 9,0

Física 10,0 8,0 9,5 7,5

Química 8,0 7,0 8,0 8,0

Biologia 4,0 6,0 7,0 6,0

Podemos formar uma tabela onde as notas de cada disciplina são colocadas em filas horizontais chamadas linhas e as notas de cada bimestre colocadas em filas verticais chamadas colunas :Representação: Linhas : i Colunas : j ji

1ª Av. 2ª Av. 3ª Av. 4ª Av.

Matemática 5,0 8,0 9,0 10,0Portiguês 4,0 3,0 1,0 6,0

Geografia 7,0 4,0 7,0 8,0

História 8,0 5,5 7,5 9,0

Física 10,0 8,0 9,5 7,5

Química 8,0 7,0 8,0 8,0

Biologia 4,0 6,0 7,0 6,0

Consultando a tabela, verificamos que:

Monique tirou em matemática, 5 no primeiro bimestre, 8 no segundo, 9 no terceiro 10 no quarto bimestre. Monique tirou 10 em física no primeiro bimestre, este número encontra-se na quinta linha (linha de física) e na primeira coluna (coluna do primeiro bimestre) Como vimos, estamos chamando de linha as filas horizontais e coluna as filas verticais. Esta tabela consta de 7 linhas e 4 colunas.

Uma tabela como esta , onde os elementos estão dispostos em 7 linha e 4 colunas, é um exemplo de uma matriz 7x4 (Lê-se, matriz sete por quatro) e é indicada usualmente, numa das formas:

1.2 - DEFINIÇÃO

Define-se matriz mxn (lê-se: “m por n”) uma tabela com m·n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Uma matriz pode ser escrita entre [colchetes], (parênteses) ou ll barras duplas ll.

Representação genérica de uma matriz

Genericamente, a matriz A é representada por

, em que e , com e

. Uma matriz , do tipo , pode ser representada por:

Existem matrizes, cujos elementos são determinados por uma lei de criação que envolve o posicionamento de cada um deles dentro da matriz.

Exercícios Resolvidos

Unidade 2 – Matrizes e Determinante – Autores: Prof. Rondinelli Oliveira e Prof. Manoel Santos 1

R1) Represente explicitamente a matriz ,

onde cada elemento .

R2) Seja , tal que cada elemento,

é dado

por: . Represente explicitamente os

elementos da matriz B.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Represente explicitamente a matriz:

a) A = (aij)3x2, onde aij = i + j

b) A = (aij)3x3, onde aij = (-2) i + j

c) A = (aij)2x3, onde

d) A = (aij)3x3, onde aij = 2i,se i = j e aij = 3j – i se

e) A = (aij)4x4, onde aij =

f) A = (aij)3x4, onde aij =

02) Sendo A uma matriz 3x4, onde

. Então A é igual a:

a) b)

c) d)

e)

03) A tabela contém em suas linhas as notas dos 50 alunos de uma classe e suas colunas indicam as nove disciplinas ministradas na turma. Se a oitava coluna contém as notas de redação e A é definida

por , então a nota de redação do

quadragésimo aluno desta turma é:a) 3,8 b) 4,8 c) 5,8 d) 6,8 e) 7,8

04) A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e a ij = 30i + 10j o elemento genérico desta tabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de:

a) 1 hora e 30 minutos.b) 1 hora e 50 minutos.c) 2 horasd) 2 horas e 10 minutos.e) 2 horas e 30 minutos

05) O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.

A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte forma:

Sabendo-se que i e j referem-se as cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz A.

06) Uma confecção vai fabricar 2 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes.

Considere a matriz A, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para a fabricação de roupas do tipo i. Quantas unidades do material 3 serão empregados na confecção de uma roupa do tipo 2?


Agora é a sua vez!!!Mostre que você é uma das feras do CONVÊNIO 2011!!

07) É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura. Determine a matriz 4x4, tal que aij é a distância entre os vértices de números i e j

08) Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir representa o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:

Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j.a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?

b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?

c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?

09) Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados:

sendo que: A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j.a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A?

b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 2 de fevereiro pela loja B?

c) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas juntas.

10) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

S refere-se às despesas de sábado e D, as de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu; 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).

a) Quem bebeu mais chope no final de semana?

b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

1.3 - TIPOLOGIA DE MATRIZES

a) Matriz coluna: é toda matriz que possui apenas uma única coluna.

b) Matriz linha: é toda matriz que possui apenas uma única linha.

c) Matriz nula: é toda matriz com todos os elementos iguais a zero.

d) Matriz quadrada: é toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.

Diagonais de uma matriz quadradaConsidere uma matriz quadrada de ordem n. Assim temos:Diagonal principal: formada por todos os elementos ,

com , isto é, , , , ..., Diagonal secundária: formada por todos os elementos

, com , isto é, , , , ..., .Exemplo:

Traço de uma matriz: é a soma dos elementos dadiagonal principal.

f) Matriz Escalar: é toda matriz diagonal onde oselementos da diagonal principal são iguais.Exemplo:

g) Matriz Identidade (In): é toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplo:

h) Matriz Transposta (At )

Dada uma matriz , define-se matriz

transposta de a matriz na qual ,

isto é, as linhas da matriz são, ordenadamente, iguais

às colunas da matriz , assim como as colunas da matriz

são, ordenadamente, iguais às linhas da matriz .


DiagonalDiagonalSecundáriaPrincipal

Exemplo: e .

1.4 - OPERAÇÃO COM MATRIZES

a) Adição e Subtração de MatrizesAs operações de soma e subtração de matrizes poderá ser feita, se e somente se, as matrizes forem do mesmo tipo. Para se obter o resultado da soma ou subtrações basta operar os elementos correspondentes das matrizes.Exemplo 01) Sendo

e .

Determine:a) A + B

b) A - B

c) B - A

Exemplo 02) A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:

• A matriz A descreve o desempenho da Amazônia Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.• A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo b ij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.Construa uma matriz C que representa o desempenho de vendas das duas lojas.

b) Multiplicação de uma matriz por um número real

Para multiplicar um número real k por uma matriz basta multiplicar o número real k dado por cada elemento da matriz.

c) Multiplicação de MatrizesDada duas matrizes A e B, o produto matricial AxB, poderá acontecer, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número d elinhas de B.

Dada duas matrizes e o produto

de A por B é a matriz , na qual cada

elemento é a soma dos produtos de cada elemento da

linha de A pelo correspondente elemento da coluna de B.

Exemplo: Dadas as matrizes e

. O produto pode ser feito? Qual o

resultado de ?

1.5 - Matrizes Inversas

Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade.Exemplo:Determine à inversa da matriz

Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.




11) Sabendo que as matrizes A e B são iguais, determine o valor de x e y:

a) A = e B =

b) A = e B =

c) A = e B =

d) A = e B =

e) A = e B =

12) Calcular x e y sabendo que as matrizes A e B são iguais;

A = , B =

13) Determine m e n tal que

14) Determine x, y, a e b, sabendo que as matrizes A e B são iguais:

A = e B =

15) Considerando a matriz com ,

calcular x, y, z e t para que se tenha A =

16) Dadas as matrizes: , e

, calcule:

a) A + B b) A + C c) B + C

17) Determine x, y e z nas matrizes abaixo, sabendo que:

R: x = 4, z = -1,

y = 4

18) (PUC-SP) Se , determine (A

+ B)t

19) Determine a, b, c e d de modo que nas matrizes abaixo se tenha:

20) Determinar os números x e y nas matrizes abaixo, de modo que:

21) Dada as matrizes

, calcule A – B

22) Encontre a Matriz X, tal que X – A + B = 0, sendo

dadas

23) Determine a matriz X, tal que

24) Determinar x, y e z, tal que

25) Seja com e com

, calcular A – B

26) Dada as matrizes ,

calcule:

a) 2A b) B c) 2A + 3B d) 3 A – 4B

27) Dados , determinar

a matriz X tal que 3X – 2A + B = 0

28) Dados , calcular AB e BA,

mostrando que

29) Sendo , calcular,

se existir:a) AB b) AC c) BC d) CB

30) Efetue os produtos:

a)


b)

c)

31) Seja a Matriz , calcule A2

32) Se a matriz , obter;

a) A2 b) A2 – 2A + I2 c) (At)2 – 2At + I2t

33) Determinar a matriz inversa de :

a) b)

34) Uma matriz quadrada A = (aij) é denominada escalar se os elementos da diagonal principal são iguais entre si e os demais elementos são nulos. Determinar a inversa da

matriz escalar não nula

35) Dona Maria, moradora no centro de Tucurui, possui dois netos: Maria Eduarda e João Eduardo. Maria numa conversa com um dos filhos, comentou: Meus netos, Maria Eduarda e João Eduardo, tem suas idades, respectivamente, aos elementos e da matriz .

Sendo . As idades, respectivamente, de João

Eduardo e Maria Eduarda são:a) 2 anos ; 1 ano b) 1 ano ; 6 meses c) 6 meses; 1 ano ; d) 1 ano; 2 anos

36) Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados:

sendo que: A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j.a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A?

b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 2 de fevereiro pela loja B?

c) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas juntas.

No período considerado, construa uma matriz que compare o desempenho da loja A em relação à loja B, nas vendas diárias de cada modelo.

37) Uma concessionária de veículos vende três modelos diferentes, A, B e C, em que cada modelo possui a sua disposição motores a álcool ou a gasolina. As duas tabelas abaixo registram as quantidades vendidas durante os meses de janeiro e fevereiro, separados por modelo e por tipo de motor.

Determine a tabela que registra os totais das vendas de cada modelo no bimestre indicado?

38) Determine a matriz X tal que .

39) Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:

As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte:

Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. Considerando que o pagamento é feito a vista, determine como o farmacêutico pode combinar a compra das três substâncias de modo a gastar o mínimo possível.

40) Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijão. Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:

A partir destas informações:


a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e no 2° restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores;

b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.

41) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação.

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

Usando a multiplicação de matrizes, responda:Nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada?

42) Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar insetos daninhos. No entanto, parte dos pesticidas são absorvidos pela planta. Os pesticidas são absorvidos por herbívoros quando estes comem as plantas que foram pulverizadas. As matrizes abaixo: A relaciona 4 plantas (P1, P2, P3, P4) e três pesticidas (pest1, pest2, pest3) e cada elemento aij indica a quantidade em miligramas de cada pesticida absorvido por planta; B relaciona 3 herbívoros (H1, H2, H3) e as 4 plantas e cada elemento bij indica a quantidade de planta comida por herbívoro.

A quantidade, em miligramas, do pesticida 2 que foram absorvidos pelo herbívoro 1, é:

a) 88 b) 64 c) 33 d) 44 e) 188

43) Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associou as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-se tomar uma matriz

2x2, da forma: , a qual, usando-se a tabela

acima, será dada por . Tomando-se a matriz-

chave C para o código, isto é: , transmite-se a

mensagem “PAZ” através da cadeia de números 31 47 50

75. . Desta forma,

utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 que será compreendida pelo batalhão, é:

a) AMOR b) VIDA c) ROMA d) CASA e) FOGO

44) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

45) Na matriz , os elementos da

primeira linha representam os preços unitários em reais de três artigos diferentes na loja X e os da segunda linha, os respectivos preços unitários em reais dos mesmos artigos na loja Y. Os elementos da matriz A . B, com

, representam os preços a serem pagos pela

compra de 1 unidade do primeiro artigo, 2 do segundo e 1


do terceiro, nessas lojas. Se fizermos a compra em Y, gastaremos, em relação ao que seria gasto na loja X:

a) R$ 3,00 a mais. b) R$ 3,00 a menos.

c) R$ 4,00 a mais. d) R$ 4,00 a menos.

2 - Determinantes

Definição: é todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais.

O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA.

Cálculo dos Determinantes

1º caso: Determinante de 1ª OrdemA = (a11) detA = a11

2º caso: Determinante de 2ª Ordem

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo:1. Calcule o valor dos determinantes das matrizes abaixo:

3º caso: Determinante de 3ª OrdemRegra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3.

Exemplo:1. Calcule o determinante da matriz abaixo:


EXERCÍCIOS PROPOSTOS46) Calcule os determinantes:

a)

b)

c)

47) Calcule os determinantes, aplicando a regra de Sarrus:

a)

b)

48) Determine o conjunto solução das equações:

a)

b)

49) Determine os valores de x para que o determinante da matriz:

seja nulo.

50) Calcule o determinante da matriz P2, sendo P a matriz:

51) Se , então k é:

a) um número inteiro.

b) menor que –4.

c) igual a

d) igual a

e) igual a

52) Resolva a equação:

53) Seja a matriz , onde:

Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a matriz identidade de ordem 2, é:

a) b)

c) d)

e)

Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem de um elemento aij, ao

valor , correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij.

O menor complementar

Exemplo:

1. Dada a matriz , calcule:

a)



b)

Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem , ao

elemento que se obtém multiplicando o fator

pelo menor complementar .

TEOREMA DE LAPLACE

Seja uma matriz A de ordem , o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo:

1. Calcule o determinante das matrizes abaixo, usando o Teorema de Laplace:

Propriedades de Determinantes

P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula,então seu determinante é igual a zero.

Exemplo:Determine o valor de x na equação:

P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.

P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal.

P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal.

P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera.

1ª linha menos 2ª linha

P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante.

Multiplicando-se a 1ª linha por 2 temos:

P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação:


Matriz dos Cofatores: Seja uma matriz A de ordem n,chama-se matriz dos cofatores a matriz , que é formada por todos os cofatores da matriz A.

Exemplo: Determine a matriz cofatora da matriz:

Matriz Adjunta (Adj (A)): É a matriz transposta da matriz dos cofatores.Exemplo: Determine a matriz adjunta da matriz:

Inversa de uma matriz através da Adjunta:A matriz inversa de A é dada por:

Exemplo: Determine a matriz inversa da matriz:


54) Calcule o determinante da matriz:

55) Seja a raíz da equação . Então o

valor de x2 é:

a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64

56) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é:

a) 11 b) 16 c) 43 d) 67

57) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se

, então o determinante de A vale:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16

58) Usando as propriedades, calcule os determinantes:

59) Se e , então a é igual a?

60) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e .

Nessas condições, e valem

respectivamente:

a) 1 e -7 b) 21 e 1/7 c) 21 e -7

d) 63 e -7 e) 63 e 1/7



matrizes 2011

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