matrizes 17122016
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Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn =
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
= [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
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TIPOS DE MATRIZES
1 2 2
1 1 3
4 1 2
Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
DiagonaisSó tem sentido falar de diagonais
em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
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2 1 1
0 1 2
0 0 4
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2 0 0 0
1 1 0 0
2 3 4 0
4 5 7 2
Matriz triangular inferior
500020004
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas.
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Casos especiais de Matrizes
Triangulares. Matriz identidade
2 0 0
0 4 0
0 0 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da
diagonal principal são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas. Chatice hein!
Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
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0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes.
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421213112
421213112
Caso ao olhar essas duas
matrizes e não ver que elas são iguais,
favor procurar o oculista.
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Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
23413012
x
A
.
431102
=A32
t
x
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
222331
x
A
.
2331
=A22
t
x
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
33013102320
x
A
.013102320
=A
33
t
x
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
015240
520411
535231
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
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Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102.2
3.21.210.22.2
62204
Matriz A Matriz -2A
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Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2223
4011
.352412
xx
234.3)1(50.31.54.2)1(40.21.44.1)1(20.11.2
x
754422
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
2
1
2
1
4
2
4
2
5
3
5
3
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... Aqui fu...!
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2223
4011
.352412
xx
7544222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da elemento com o
primeiro da coluna e por aí vai...
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EXEMPLO 1
1) Seja A =
143201
e seja B =
012
411
. Calcule A + B.
11
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EXEMPLO 2
2) Seja A =
143201 e seja B =
012
411 .
Calcule A – B.
12
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EXEMPLO 3
3) Calcule o produto das matrizes:
205312
.021102321
13
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EXEMPLO 4
4) A mátriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j dada por:
a)
321642
b)
1242621
c)
642321
d)
321111
e)
321642
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EXEMPLO 55) Dadas as matrizes
654321
A
102231
B
calcule a matriz A – Bt é:
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Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado Em Matemática pela UFBAGraduado em Ciências naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superiorwww.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.youtube.com/accbarrosowww.facebook.com/acmatematicowww.twitter.com/profbarrosoSalvador-Ba