ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG

CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 62460104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HUẾ - NĂM 2016

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế.

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS. TS. Lê Văn Thuyết

2. TS. Bành Đức Dũng

Phản biện 1: ...

Phản biện 2: ...

Phản biện 3: ...

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại:

.............................................................................................................................

Vào hồi ..... giờ ..... ngày .... tháng .... năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1. Trung tâm học liệu-Đại học Huế.

2. Thư viện trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế.

1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất hiệnkhoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu.Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng chính. Hướng thứnhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện bên trong (tức lànghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là đặc trưng vành bằng các điềukiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun trên chúng). Trong luận án này, chúngtôi nghiên cứu cấu trúc vành theo hướng thứ hai.

Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm1940. Theo đó, một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A củaN thì mọi đồng cấu f : A→M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N →M . MôđunM được gọi là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N . Không chỉ đưa ra kháiniệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khinào thì một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" vàđược phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọiđồng cấu f : IR →MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR →MR. Từ khi có tiêuchuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở rộng của môđun nội xạ đãđược đề cập. Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc và từTiêu chuẩn Baer. Vì mục đích của luận án này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mởrộng của môđun nội xạ từ định nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm1961, đó là môđun tựa nội xạ. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ.Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ.

Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát củamôđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ. Theo đó, môđun M được gọi là N-giảnội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn cấu từ A vào M đều mở rộngđược đến đồng cấu từ N vào M . Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M-giảnội xạ. Có thể nói môđun giả nội xạ là một khái niệm đã và đang nhận được nhiềusự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu. Tổng quan chung về các nội dungđược các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu cáctính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các tính chất của môđun tựa nội xạ;xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụđể chứng tỏ tồn tại môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm cáctính chất riêng của môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọngnhư vành Artin nửa đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv. . .

Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ ra đờivới nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành đã tạo nên độnglực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến sự mở rộng của môđunnày. Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội xạ là lớp môđun giả nội xạ cốtyếu, môđun nội xạ cốt yếu, môđun C2, vv...

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu một sốmở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành quen thuộc. Vì vậy,chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án là "Một số mở rộng củalớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".

2

Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.

Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã biếtnhằm sử dụng cho các chương sau.

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ cốtyếu.

Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một trường hợptổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt yếu. Theo đó, môđunM được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con A cốt yếu của N thìmọi đơn cấu f : A→M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N →M . Môđun M đượcgọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu. Những kết quả đầutiên mà chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N-giả nộixạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7). Chúng ta đã biết, mọimôđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điềukiện C3 (Định lý 2.2.11). Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ vàtựa nội xạ, H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạvà CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên cứu tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được rằng: Một môđun M làtựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ và CS. Ngoài các tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữamôđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đềcập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếunếu vành EndR(M) là giả nội xạ cốt yếu phải.

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếuvới bất kỳ M,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) ' Soc(N) khi và chỉ khi M ' N . Mộtmôđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu vớimọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốtyếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó chúng tôi chứng minhđược rằng, R là vành QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15).Trong trường hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R làArtin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịnkhi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16). Ngoài các tính chất liên quan đếnvành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạcốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và mở rộng vành cũng đượcchúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý 2.2.18.

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđunADS, đó là: Môđun ADS tổng quát.

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun ADS.Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S⊕Tvà với mỗi phần bù giao T ′ của S thì M = S ⊕ T ′. Trong công trình của mình, cáctác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự củamôđun tựa liên tục. Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mậtthiết đến định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và Nlà các môđun và X = N ⊕M thì N là M-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ

3

phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thì X = N ⊕K. Từ mối liên quan này,chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Mộtmôđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M

và mỗi phần bù giao T ′ của S mà T ′ ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T ′. Lớp môđun ADS tổngquát là một mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2). Đối với môđunADS, người ta đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sựphân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Đối với môđun ADStổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát thì với bất kỳsự phân tích M = A⊕B, ta luôn có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ (Định lý3.2.1). Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với môđun ADS tổng quát là tương tựvới các kết quả của môđun ADS. Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđunADS không còn đúng nữa đối với môđun ADS tổng quát. Chẳng hạn, để hạng tửtrực tiếp của môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm mộtsố điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp củamôđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6).

Một số tính chất của môđun ADS trong phạm trù σ[M ] đã được chỉ ra là: M lànửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđunhữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] làADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M là nửa đơnnếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđunhữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun 3-sinh trongσ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10). Do đó, một vành R là Artin nửa đơn khivà chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phảihữu hạn sinh là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADStổng quát (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựanội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Trong phần cuối của chươngnày, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộngvành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđun C2,đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C). Việc nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điềukiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để từ đó đặc trưng một số lớp vànhquen thuộc.

Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được Nakayamagiới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía. Một trongnhững kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun nội xạ liênquan đến vành QF là định lý Faith-Walker. Định lý được phát biểu rằng: Vành R

là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọiR-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QFđã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Vào năm 1967, Faith-Walker đãchứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nhúngđược vào một môđun tự do. Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải nhúng được vào mộtmôđun tự do thì R là vành QF. Một câu hỏi được đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđunphải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì R có phải là vành QF haykhông? Vành R mà mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđuntự do thì được gọi là vành FGF. Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết

4

ngắn gọn lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính làgiả thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Đến nay, người ta đãchứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy, việcnghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm sángtỏ giả thuyết FGF nói trên.

Cho M là một môđun và S = EndR(M). Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi chứngminh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ s ∈ S, mà Ker(s)

là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M . Từ kết quả này,chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2, đó là môđun thỏa mãn điều kiện(C). Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0,tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn)

là hạng tử trực tiếp của M . Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phảinếu RR là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Một số mệnh đề tương đương với mộtmôđun thỏa mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10. Từđịnh nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏamãn điều kiện (C). Khi môđun M có vành các tự đồng cấu S = EndR(M) là vành địaphương thì chúng tôi chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề4.1.7). Đối với môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2.Trong Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp củamôđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự đồng cấuS = EndR(M) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun tự sinhthì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải(Định lý 4.1.17).

Đối với môđun Rickart và d-Rickart, các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã chứngminh được rằng: S là vành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏamãn điều kiện C2 khi và chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2.Đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S làvành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khivà chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S (Định lý4.1.21).

Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được chúngtôi quan tâm trong phần cuối của luận án này. Khi R là vành chính quy (theo nghĩavon Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi đưa ra trong Định lý 4.2.2. Khi R là vành di truyền, một kết quả quan trọng đãbiết là, vành R là di truyền nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđunphải nội xạ là nội xạ. Trong Định lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R làvành di truyền phải nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nộixạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Chúng tôi cũng thu được một số kết quả vềviệc đặc trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý4.2.5. Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng tôi nghiêncứu trong Định lý 4.2.6.

5

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả thiết làvành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặctrái.

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Với vành R đã cho, ta viết MR (RM) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư., trái).Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun,để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR. Chúng tôi dùng các ký hiệu A ≤ M

(A < M) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của môđun M . Nếu A là một hạngtử trực tiếp của môđun M thì ta viết A ≤⊕ M . Ký hiệu Mn(R) là để chỉ vành cácma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập với card(I) = α

và M là một môđun, ta sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặcM (α), tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc Mα. Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod)là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải, đồngcấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N .

Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂M . Linh hóa tử phải của X trongR được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau: rR(X) = r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X .Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR(X).Khi X = x1, x2, . . . , xn thì chúng ta viết r(x1, x2, . . . , xn) thay vì r(x1, x2, . . . , xn).Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M

thì rR(X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R đượcký hiệu là lR(X) và được định nghĩa tương tự.

Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR(M) = 0. Điều này tương đương vớiviệc tồn tại một đơn cấu ι : RR →M (X) với X là một tập chỉ số nào đó.

Cho N là một môđun con của M , khi đó môđun con K của M được gọi là phầnbù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn điều kiện K ∩N = 0.

Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mỗimôđun con khác không B của M ta đều có A∩B 6= 0. Khi đó, chúng ta cũng gọi Mlà một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu A ≤e M . Một đơn cấu f : M → N

được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng cốt yếu) nếu Im(f) ≤e N . Đối ngẫu với khái

6

niệm cốt yếu, môđun con A của môđun M được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trong M ,ký hiệu AM , nếu với mỗi môđun con B 6= M của M chúng ta đều có A+B 6= M .Một toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé ) nếuKer(g)M .

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Các cặp phầntử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1.e2 = e2.e1 = 0.

Cho M và N là các R-môđun. Khi đó, môđun N được gọi là được sinh bởi M(M-sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N , với tập chỉ số Λ nàođó. Môđun M được gọi là tự sinh nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa làvới mọi môđun con N của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N với tập chỉ sốΛ nào đó. Ta nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vậtsinh con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M-sinh. Ta kýhiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các R-môđun phảiđược sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun. Rõ ràng, σ[M ] là phạmtrù con đầy đủ của phạm trù Mod-R.

Đế phải của môđun MR được kí hiệu là Soc(MR), nó là tổng các môđun conđơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR. Nếu MR khôngchứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0. Căn của môđun MR được kí hiệulà Rad(MR), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR, là tổng tất cảcác môđun con bé của MR. Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta địnhnghĩa Rad(MR) = MR. Đặc biệt, chúng ta đã biết Rad(RR) = Rad(RR) = J(R). Do đókhông sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng làcăn của RR.

Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M . Ta nói L thỏa mãnđiều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . .

các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N.Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảmD1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . . các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao choDn = Dn+i với mọi i ∈ N. Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cảcác môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập tấtcả các môđun con của M thỏa mãn DCC.

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của

môđun nội xạ

Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu f : A→ N ,f : M → N . Khi đó người ta gọi f là một mở rộng của đồng cấu f hoặc f mở rộngđược đến đồng cấu f (hoặc f mở rộng được đến M) nếu f(x) = f(x) với mọi x ∈ A.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng dụngtrong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.

Một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọiđồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Nếu môđun M

7

là M-nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ. Nếu M là N-nội xạ vớimọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các môđun M1, . . . ,Mn được gọi là nội xạtương hỗ nếu Mi là Mj-nội xạ với mọi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Bao nội xạ của môđun M

là một môđun nội xạ N cùng với một đơn cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, ngườita vẫn thường gọi N là bao nội xạ của M và ký hiệu là N = E(M). Hơn nữa, mọimôđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nộixạ.

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N-xạ ảnh nếu với mọitoàn cấu g : N →M và mỗi đồng cấu f : P →M đều tồn tại một đồng cấu h : P → N

sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là N-xạ ảnh với mọi môđun N

thuộc Mod-R. Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với mộttoàn cấu đối cốt yếu p : P →M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh của M .

Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M , ta phải kiểmtra xem M có là N-nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên, trên thực tế,ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu chuẩn Baer sau đây.

Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R,mọi đồng cấu f : IR →MR đều mở rộng được đến đồng cấu f : RR →MR.

Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định nghĩa gốcvà mở rộng từ tiêu chuẩn Baer. Các mở rộng của môđun nội xạ theo hướng từ địnhnghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội xạ, FP-nội xạ, vv... Các mởrộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nộixạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv ...

Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng củamôđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ.

Cho R là một vành và M , N là các R-môđun phải. Khi đó, môđun M được gọilà N-giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đềumở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M làM-giả nội xạ. Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N-giảnội xạ và N là M-giả nội xạ. Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là mộtmôđun giả nội xạ.

Môđun M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A

của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu. Hai môđunM và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu vàN là M-giả nội xạ cốt yếu. Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RRlà một môđun giả nội xạ cốt yếu.

Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các vànhthỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3. Sau đó, việc mở rộng từ các vành C1, C2 vàC3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed và Bouhy. Để giớithiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở rộng của nó, trước tiên, chúngtôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với môđun:

Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M , tồn tại mộthạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B.

8

Điều kiện C2 : Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp củaM thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .

Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0

thì A⊕B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .

Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một môđun. Khi đó:

(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1. Môđun C1 còn đượcgọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng.

(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2. Môđun C2 còn đượcgọi là môđun nội xạ trực tiếp.

(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3.

(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C2.

(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C3.Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π-nội xạ.

Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi, Jainvà Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS. Theo đó, một R-môđun phải Mđược gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′

của S, chúng ta có M = S ⊕ T ′.

1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan

trọng khác

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR là môđunArtin, Noether (tương ứng).

Định nghĩa 1.3.3. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất mộtiđêan phải (hoặc trái) cực đại.

Định nghĩa 1.3.5. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von Neumann)nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.

Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn(K) với K là một trường là những vànhchính quy.

Định nghĩa 1.3.9. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải) nếumỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh.

Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ lý thuyếtbiểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm 1939. Cho đến nay,đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ ra. Lớp vành tựa Frobenius cóvai trò quan trọng trong lý thuyết vành kết hợp không giao hoán, đã và đang đượcnhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Vành QF được định nghĩa như sau:

9

Định nghĩa 1.3.11. Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) nếunó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).

Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ, xạ ảnh làđịnh lý Faith-Walker sau đây:

Định lý 1.3.13. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius.

(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh.

(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin.

Định nghĩa 1.3.14. Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđun thươngkhác không có đế khác không. Một vành R được gọi là vành nửa Artin phải nếu RRlà môđun nửa Artin.

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1. Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng hai môđuncon là 0 và M .

Định nghĩa 1.4.2. Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tích đượcthành tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Một vành R được gọi là nửa đơn phải(trái) nếu RR (RR) là môđun nửa đơn.

Sau đây là một số đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn liên quan đến phạmtrù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực tiếp vành, vành chính quy và vành Artin.

Định lý 1.4.5. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải(trái) xiclic là nội xạ.

Định lý 1.4.6. (Wedderburn-Artin). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổngtrực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể.

Định lý 1.4.7. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy và khôngchứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.

Định lý 1.4.8. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái vàJ(R) = 0.

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã có lúcJacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J(R) = 0 và cho đến nay vẫn cònmột số nhà toán học sử dụng định nghĩa này. Chính vì thế, để khỏi nhầm lẫn, từĐịnh lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửa đơn trong Định nghĩa 1.4.2 làvành Artin nửa đơn. Trong luận án này, kể từ đây về sau, chúng tôi gọi vành nửađơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn.

10

CHƯƠNG 2

Môđun giả nội xạ cốt yếu

Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun giảnội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jain nghiên cứu.Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether vàvành đối nửa đơn cũng được đưa ra.

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về môđun giả nội xạ cốt yếu như sau:

Định nghĩa 2.1.1. Cho M và N là các R-môđun. Khi đó:

(1) M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A của N thìmọi đơn cấu f : A→M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N →M .

(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu.

(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N-giả nộixạ cốt yếu và N là M-giả nội xạ cốt yếu.

(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nộixạ cốt yếu.

Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N-giả nội xạ thì M là N-giả nội xạ cốt yếu.

Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu.

Ví dụ 2.1.2. Xét các Z-môđun Zp2, Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên tố và

2 ≤ n ∈ N. Khi đó:

(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu.

(2) Zp3 là Zp2-giả nội xạ cốt yếu.

(3) Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt yếu.

11

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt

yếu

Một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy đủ trong M nếu f(N) ≤ N

với mọi f ∈ EndR(M).

Các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã chứng minh được rằng, một môđun M làgiả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến qua các đơn cấu trong EndR(E(M)).Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một môđun M là N-giả nội xạ cốtyếu nếu và chỉ nếu α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).

Định lý 2.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun M và N :

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu.

(2) α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).

Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như các kếtquả của môđun giả nội xạ.

Mệnh đề 2.2.6. Cho M và N là các môđun. Khi đó:

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi Klà môđun con cốt yếu của N .

(2) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' N , thì M là K-giả nội xạ cốt yếu.

(3) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K 'M thì K là N-giả nội xạ cốt yếu.

(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu tồn tại một đẳngcấu giữa các môđun con A và B trong đó A ≤e N và B ≤e M thì M ' N .

(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu E(A) ' E(B) thìmỗi đẳng cấu từ E(A)→ E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu từ A→ B. Hơn nữa,A và B là giả nội xạ cốt yếu.

Chúng ta đã có N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-nội xạ với mọimôđun M . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được một kết quả mởrộng sau đây:

Định lý 2.2.7. Cho M và N là các môđun. Khi đó:

(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđunM .

(2) Giả sử N = A⊕B và M = C⊕D sao cho B được nhúng trong D. Nếu M là N-giảnội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu.

Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu.

Định lý 2.2.9. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

12

(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu.

(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến đầy đủdưới các đơn cấu của EndR(M).

(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu.

Chúng ta đã biết, mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu làgiả nội xạ cốt yếu. Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun giả nội xạ cốt yếulà môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một số điều kiện.

Định lý 2.2.10. Cho M = M1⊕M2 và E(M1), E(M2) là các môđun con bất biến đầyđủ dưới các tự đơn cấu của E(M). Khi đó M là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khiM1,M2 là giả nội xạ cốt yếu.

Chúng ta đã có, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối vớimôđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng minh được:

Định lý 2.2.11. Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3.

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ, H. Q. Dinhđã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđuntựa nội xạ hay không? Trong định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng,một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS.Từ đó chúng tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H. Q. Dinh.

Định lý 2.2.12. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu vàCS.

Hệ quả 2.2.13. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và CS.

Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu và vànhcác tự đồng cấu của nó.

Định lý 2.2.14. Cho M là một môđun tự sinh. Nếu EndR(M) là giả nội xạ cốt yếuphải thì M là giả nội xạ cốt yếu.

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếuvới bất kỳ M,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) ' Soc(N) khi và chỉ khi M ' N .

Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N-giả nội xạ cốtyếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giảnội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh.

Một kết quả đã biết là: R là vành QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R-môđun xạảnh hoặc lớp các R-môđun nội xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh,chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 2.2.15. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành QF.

13

(2) Lớp PR ∪ SE là đế mịn.

Một mối quan hệ giữa vành Artin nửa đơn R với các R-môđun nội xạ đã đượcchỉ ra là: R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun nội xạ là đếmịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu và giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi thuđược định lý sau đây:

Định lý 2.2.16. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn.

(2) Lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.

(3) Lớp SE là đế mịn.

Một môđun M được gọi là đối nửa đơn nếu mỗi môđun con thực sự của M làgiao của các môđun con cực đại. R được gọi là vành đối nửa đơn nếu môđun phảiRR là một môđun đối nửa đơn.

Định lý 2.2.17. Cho R là một vành. Khi đó:

(1) Mỗi tổng trực tiếp của 2 môđun giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ cốt yếukhi và chỉ khi mỗi môđun giả nội xạ cốt yếu là nội xạ.

(2) Mở rộng cốt yếu của một R-môđun phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉkhi R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đếnmở rộng vành.

Định lý 2.2.18. Cho M là S-R-song môđun. Giả sử T =

(S M

0 R

)là giả nội xạ cốt

yếu phải. Khi đó:

(1) R là giả nội xạ cốt yếu phải.

(2) Nếu SM là trung thành thì MR là giả nội xạ cốt yếu.

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Trong phần đầu của chương, chúng tôi thu được các đặc trưng của môđun N-giảnội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôicũng đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nộixạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) và môđun M là tựa nội xạkhi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12). Hơn nữa, chúng tôicũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noethervà vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng vành giảnội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.

14

CHƯƠNG 3

Môđun ADS tổng quát

Trong chương này, chúng tôi khảo sát một trường hợp tổng quát của môđunADS, đó là môđun ADS tổng quát. Như chúng tôi đã đề cập trong phần đầu củaChương 2, khái niệm môđun giả nội xạ cốt yếu là do các tác giả Alahmadi, Er vàJain đưa ra. Kết quả mà chúng tôi quan tâm trong công trình của họ là họ đã chứngminh được rằng nếu M và N là các môđun và X = N ⊕M thì N là M-giả nội xạcốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thìX = N ⊕K. Mặt khác, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phântích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′ của S, chúng ta có M = S ⊕ T ′. Tổ hợpcác khái niệm vừa nêu ở trên, chúng tôi xét một mở rộng của môđun ADS, đó làmôđun ADS tổng quát. Một số tính chất của môđun ADS tổng quát đã được đưara và việc vận dụng chúng để đặc trưng vành Artin nửa đơn cũng được chúng tôinghiên cứu. Các kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.10 vàĐịnh lý 3.2.14.

3.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nêu định nghĩa về môđun ADS tổng quát.

Định nghĩa 3.1.1. Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phântích M = S⊕T của M và với mỗi phần bù giao T ′ của S mà T ′∩T = 0 thì M = S⊕T ′.Một vành R được gọi là ADS tổng quát phải nếu RR là môđun ADS tổng quát.

Từ các định nghĩa về môđun ADS và môđun ADS tổng quát, chúng ta dễ dàngsuy ra được mỗi môđun ADS là ADS tổng quát. Tuy nhiên, điều ngược lại khôngphải bao giờ cũng đúng. Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng, một môđun ADS tổng quát thìcó thể không là môđun ADS.

Ví dụ 3.1.2. Cho R =

F F F0 F 0

0 0 F

trong đó F là một trường có 2 phần tử. Khi đó

N = e11R là một R-môđun phải bất biến đẳng cấu, không phân tích được, khôngtựa nội xạ và EndR(N) là vành địa phương. Bây giờ, ta xét R-môđun M = N1 ⊕N2

trong đó N1 = N2 = N . Khi đó, M là môđun ADS tổng quát nhưng không là ADS.

15

3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát

Nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A⊕ B, ta luôn có A vàB là nội xạ tương hỗ. Trong trường hợp môđun ADS tổng quát, chúng tôi thu đượckết quả sau đây:

Định lý 3.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là ADS tổng quát.

(2) Nếu M = A⊕B thì A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.

(3) Với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, thì phép chiếu chính tắc πB : M → B làmột đẳng cấu khi nó được hạn chế đến bất kỳ phần bù giao C của A trong M màC ∩B = 0.

Sau đây là một điều kiện tương đương khác để một môđun M là môđun ADStổng quát.

Định lý 3.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là ADS tổng quát.

(2) Với mỗi sự phân tích M = A⊕B và với mỗi đơn cấuf ∈ HomR(E(B), E(A)) thì M = A⊕X trong đó X = b+ f(b) | b ∈ B, f(b) ∈ A.

Chúng ta biết rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun ADS cũng là môđunADS. Tuy nhiên, để một hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng quát là môđunADS tổng quát thì chúng tôi cần bổ sung thêm một số điều kiện.

Một môđun M được gọi là phân phối nếu A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) vớimọi môđun con A,B và C của M .

Mệnh đề 3.2.6. Cho M là môđun ADS tổng quát. Khi đó:

(1) Mỗi hạng tử trực tiếp thỏa mãn điều kiện CS của M là ADS tổng quát.

(2) Nếu M là môđun phân phối thì mỗi hạng tử trực tiếp của M là ADS tổng quát.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất liên quan đến kháiniệm ADS tổng quát đối với môđun M khi M là môđun nửa đơn trong phạm trùσ[M ]. Từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về vành Artin nửa đơn.

Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :

(1) M là nửa đơn.

(2) Mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát.

(3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

16

(4) Mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

Hệ quả 3.2.11. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn.

(2) Mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát.

(3) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát.

(4) Mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát.

Tiếp theo là mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ.

Định lý 3.2.14. Cho M =n⊕i=1

Mi là một tổng trực tiếp các môđun. Khi đó, các điều

kiện sau đây là tương đương:

(1) M là tựa nội xạ.

(2) Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và M2 là ADS tổng quát.

(3) Mk là ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đếnmở rộng vành.

Định lý 3.2.15. Cho M là một S-R-song môđun. Nếu T =

(S M

0 R

)là một vành

ADS tổng quát phải thì R là vành ADS tổng quát phải.

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 3

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Chúng tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun là ADStổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được mộthạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS tổng quát hay khôngnhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặchạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôichứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếpcủa môđun M cũng là ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứuđược một số tính chất của môđun ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđunM là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artinnửa đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựanội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống nhưmôđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng vành ADS tổng quátđược chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.

17

CHƯƠNG 4

Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Khi nghiên cứu về môđun giả nội xạ, tác giả H. Q. Dinh đã chứng minh đượcrằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Ngoài ra, tác giả cũng đãđưa ra được ví dụ để chỉ ra rằng, môđun C2 là một mở rộng thực sự của môđun giảnội xạ. Liên quan đến việc nghiên cứu môđun C2, chúng tôi xin nhắc lại ở đây mộtgiả thuyết nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời, đó là giả thuyết FGF, nộidung của giả thuyết là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Đến nay, ngườita đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy,việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làmsáng tỏ giả thuyết FGF nói trên. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một mởrộng của môđun C2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và từ mở rộng này, chúngtôi nghiên cứu để áp dụng vào việc đặc trưng vành bao gồm vành chính quy, vànhArtin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin.

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun thỏamãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) với môđun C2cũng được chúng tôi đề cập. Việc áp dụng một số tính chất của môđun thỏa mãnđiều kiện (C) để đặc trưng vành Artin nửa đơn và vành chính quy cũng được nghiêncứu. Các kết quả chính trong phần này là Mệnh đề 4.1.7, Định lý 4.1.10 và Định lý4.1.21.

Chúng tôi bắt đầu phần này bằng một tính chất đơn giản của môđun C2 nhưsau:

Bổ đề 4.1.1. Cho M là một R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các mệnh đềsau là tương đương:

(1) Môđun M là môđun C2.

(2) Với s ∈ S mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếpcủa M .

Xuất phát từ đặc trưng của môđun C2 trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi đề xuất mộttính chất mở rộng của môđun C2 như sau:

18

Định nghĩa 4.1.2. Một môđun MR được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu với mỗis ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp củaM thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của M .

Một vành R được gọi là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđunthỏa mãn điều kiện (C).

Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C) ở trên, chúng ta dễ dàng cóđược mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 4.1.3. Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C).

Khi S = EndR(M) là vành địa phương thì chúng tôi nhận thấy các môđun C2và môđun thỏa mãn điều kiện (C) là trùng nhau thể hiện trong mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 4.1.7. Cho M là một R-môđun phải có vành các tự đồng cấu S = EndR(M)

là vành địa phương. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là C2.

(2) M thỏa mãn điều kiện (C).

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các điều kiện tương đương với một môđun thỏamãn điều kiện (C).

Định lý 4.1.10. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các mệnh đềsau đây là tương đương:

(1) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).

(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(e) vớie2 = e ∈ S thì e ∈ Ssn.

(3) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(e) vớie2 = e ∈ S thì Ssn = Se.

(4) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(e) vớie2 = e ∈ S thì Im(sne) ≤⊕ M .

(5) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn))

với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.

(6) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(e) vớie2 = e ∈ S thì Ssn = lS(Ker(sn)).

Sau đây là tính chất của hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều kiện(C).

Định lý 4.1.12. Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện (C) thì mỗi hạng tử trực tiếpcủa M cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

19

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện(C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó.

Định lý 4.1.17. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó:

(1) Nếu S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì M là môđun thỏa mãn điều kiện(C).

(2) Nếu M là môđun tự sinh và thỏa mãn điều kiện (C) thì S là vành thỏa mãn điềukiện (C) phải.

Theo Lee, Rizvi và Roman, một R-môđun M được gọi là Rickart nếu ∀s ∈ S =

EndR(M) thì Ker(s) = e(M) với e2 = e ∈ S. Các tác giả đã chứng minh được rằng, Slà vành chính quy nếu và chỉ nếu Ker(f) và Im(f) là các hạng tử trực tiếp của M vớimọi f ∈ S.

Dựa theo khái niệm môđun nửa xạ ảnh đã được Wisbauer đưa ra, chúng tôi gọimột R-môđun phải N là M-nửa xạ ảnh nếu, với mỗi toàn cấu π : M → B trong đóB là môđun con bất kỳ của M và với mỗi R-đồng cấu α : N → B đều tồn tại mộtR-đồng cấu β : N → M sao cho πα = β. Hiển nhiên, M là nửa xạ ảnh nếu M làM-nửa xạ ảnh.

Trong mệnh đề dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra mối quan hệ giữa môđun RickartM và khái niệm M-nửa xạ ảnh.

Mệnh đề 4.1.20. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(1) M là môđun Rickart.

(2) s(M) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.

Đối ngẫu với môđun Rickart là môđun d-Rickart đã được các tác giả Lee, Rizvivà Roman giới thiệu như sau: Một R-môđun M được gọi là d-Rickart nếu ∀s ∈ S =

EndR(M) thì Im(s) = e(M) với e2 = e ∈ S.

Sau đây là đặc trưng của vành chính quy thông qua các môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C).

Định lý 4.1.21. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(1) S là vành chính quy.

(2) M là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).

(3) M là môđun d-Rickart và s(M) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.

20

4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun

thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành thông qua môđun thỏa mãnđiều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu được bao gồm vành chính quy,vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin. Các kết quả chính của phần nàylà Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6.

4.2.1. Đối với vành chính quy

Mối liên hệ giữa vành chính quy và môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi thu được là:

Định lý 4.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành chính quy.

(2) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) thỏa mãn điều kiện (C).

(3) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) được sinh bởi ma trận đường chéo thỏamãn điều kiện (C).

(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãnđiều kiện (C).

(5) Mỗi môđun con 2-sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãn điềukiện (C).

4.2.2. Đối với vành di truyền

Một kết quả đã biết về vành di truyền là: Vành R là di truyền phải nếu và chỉnếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Đối với môđunthỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 4.2.4. Cho R là một vành. Khi đó, R là vành di truyền phải nếu và chỉnếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện(C).

4.2.3. Đối với vành Noether

Một môđun M được gọi là Σ-(tựa) nội xạ (đếm được) nếu mỗi tổng trực tiếp(đếm được) của các bản sao của M là (tựa) nội xạ. Nếu mỗi tổng trực tiếp (đếmđược) của các bản sao của M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì M được gọi làthỏa mãn điều kiện Σ-(C) (đếm được).

Một kết quả của Faith và Walker đã được đưa ra là: Một vành R là Noetherphải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ. Hơn nữa, tác giả Fullercũng đã chỉ ra được rằng: Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ là Σ-tựa nội xạ khi và chỉkhi mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ.

Định lý 4.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

21

(1) R là vành Noether phải.

(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện(C).

(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãnđiều kiện (C).

(4) Mỗi R-môđun phải nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

(5) Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

4.2.4. Đối với vành nửa Artin

Môđun M được gọi là N-đế nội xạ nếu bất kỳ R-đồng cấu f : Soc(N)→ M đềumở rộng được đến đồng cấu từ N →M . Môđun M được gọi là đế nội xạ mạnh, nếuM là N-đế nội xạ với mọi R-môđun phải N .

Một kết quả liên quan giữa vành Artin phải và R-môđun phải đế nội xạ mạnhlà: R là nửa Artin phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là nộixạ. Kết quả tương tự đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi đưa ratrong định lý sau đây:

Định lý 4.2.6. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là nửa Artin phải.

(2) Mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 4

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

∗ Trong phần đầu của chương, chúng tôi đưa ra các mối quan hệ giữa môđunC2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Cáctính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Địnhlý 4.1.10 và Định lý 4.1.12. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) vàvành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của môđunM liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũngđược chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.21.

∗ Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối vớimôđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi đã nghiên cứubao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin (Định lý4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).

22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. KẾT LUẬN

Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây:

1.1. Từ việc nghiên cứu về môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã đưa ra đượcmột số đặc trưng của môđun N-giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 vàĐịnh lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôi cũng đã thu được một số tính chất của môđungiả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minhđược rằng mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11)và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý2.2.12). Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H. Q. Dinh nêu ra là: Mộtmôđun không suy biến, giả nội xạ và môđun CS có phải là môđun tựa nội xạ haykhông?

Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn,vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu(Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng, một kết quả liên quanđến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý2.2.18.

1.2. Từ việc kết nối môđun ADS với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đềxuất khái niệm môđun ADS tổng quát. Sau đó, chúng tôi đã đưa ra được một sốđiều kiện tương đương để một môđun là ADS tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được một hạng tử trực tiếp của một môđun ADStổng quát có là ADS tổng quát hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện nhưmôđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏamãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđunADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđun M cũng là ADS tổng quát(Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất của môđun ADStổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đóđưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệgiữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trongĐịnh lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quảliên quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Địnhlý 3.2.15.

1.3. Từ một đặc trưng của môđun C2 mà chúng tôi thu được là: Môđun M làmôđun C2 khi và chỉ khi với s ∈ S = EndR(M) mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp củaM thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M , chúng tôi đưa ra khái niệm môđun thỏamãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C)

23

cũng được chúng tôi đề cập trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Các tính chấtcủa môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 4.1.10và Định lý 4.1.12. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tựđồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý 4.1.17. Ngoàira, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của môđun M liên quanđến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúngtôi đưa ra trong Định lý 4.1.21. Trong phần cuối của luận án này, chúng tôi chủyếu đặc trưng vành đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành màchúng tôi thu được bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vànhnửa Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).

1.4. Từ các kết quả mà chúng tôi đã nghiên cứu được về môđun giả nội xạ cốtyếu, môđun ADS tổng quát và môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi thu đượcmột sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun đã được đề cập trong luận án như sau:

ADS tổng quát

Giả nội xạ cốt yếu ⇒ C3 ⇐ ⇐ ⇑⇑ ⇑ ⇑

Giả nội xạ ⇒ C2 ⇒ (C) ADS

⇑ ⇑ ⇑Nửa đơn ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ ⇒ Tựa liên tục⇑ ⇑ ⇓

Đơn Nội xạ C1

2. KIẾN NGHỊ

Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ quan tâm đến các vấn đề chính sau đây:

2.1. Chúng tôi sẽ nghiên cứu để trả lời 2 câu hỏi về môđun ADS, đó là:

+) Hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là môđun ADS tổngquát hay không?

+) Cho M =n⊕i=1

Mi là tổng trực tiếp của các môđun ADS tổng quát Mi và Mi

là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i. Khi đó M có là môđun ADS tổng quát haykhông?

2.2. Chúng tôi sẽ xem xét một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có phải là mởrộng thực sự của môđun C2 hay không.

2.3. Vì môđun D2 là môđun đối ngẫu với môđun C2 nên chúng tôi sẽ xem xétmột mở rộng của môđun D2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C∗). Từ đó chúng tôi hyvọng sẽ đưa ra được các kết quả liên quan đến môđun D2 cũng như các mở rộngcủa nó để từ đó nhận được các đặc trưng vành.

24

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH

CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN

1. Phan Thế Hải, Vành và môđun C2 yếu, Tạp chí khoa học, Đại học Huế, (đãđược nhận đăng).

2. Phan Thế Hải và Trương Công Quỳnh, Môđun giả nội xạ cốt yếu, Tạp chíkhoa học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng, Số 3(02) (2012),13-18.

3. Hai, P. T., On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii Jour-nal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.

4. Hai, P. T., On modules and rings satisfy condition(C), Asian-European Jour-nal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).

5. Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V., Mutually essentially pseudoinjective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society,39(2), (2016), 795-803.

6. Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular morphisms,Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.

HUE UNIVERSITYCOLLEGE OF EDUCATION

PHAN THE HAI

SOME GENERALIZATIONS OF

CLASS OF PSEUDO-INJECTIVE MODULES

AND RELATED RINGS

Major: Algebra and Number TheoryCode: 62460104

DOCTORAL DISSERTATION ON MATHEMATICS

HUE - 2016

2

This research project done at: College of Education, Hue University.

Scientific advisors:

1. Prof. Dr. Le Van Thuyet

2. Dr. Banh Duc Dung

Reviewer 1: ...

Reviewer 2: ...

Reviewer 3: ...

The dissertation has been defended under the assessment of Hue University DoctoralAssessment Committee on...

This dissertation is accessible at:

1. Centre for Academy, Hue University.

2. College of Education Library, Hue University.

3

Introduction

Ring theory appeared about 120 years ago and is now making positive growths.The study of the structure of rings involves two main ways. The first way is to studythe structures of rings through their inner conditions (ie. the study of right or leftideals) and the second way is to study the structures of rings through the externalconditions (ie. research modules on them). In this thesis, the structures of rings arestudied following the latter way.

In module theory, the concept of injective modules was introduced by Baer in1940. Accordingly, a module M is called N-injective if, for every submodule A of N ,any homomorphism f : A→M can be extended to a homomorphism g : N →M . Inaddition, Baer was given an important criterion for checking when R-moduleM is aninjective module. Baer’s Criterion was expressed as follows: Module MR is injectiveif, for every ideal I of R, any homomorphism f : IR → MR can be extended to ahomomorphism g : RR →MR. Since Baer’s Criterion appeared, there have been twomain research directions of the generalization of the injective modules mentioned,from either the original definition or Baer’s Criterion. For the purpose of this thesis,we only refer to an extension of injective modules from the original definition thatJohnson and Wong proposed in 1961, which is called quasi-injective modules. M iscalled quasi-injective or self-injective if M is M-injective. Quasi-injective modulesare proper expansion of injective modules.

In 1967, Singh and Jain studied a general case of quasi-injective modules, namedpseudo-injective modules. Accordingly, the module M is called pseudo N-injectiveif, for every submodule A of N , any monomorphism f : A → M can be extended toa homomorphism g : N → M . Module M is called pseudo-injective if M is pseudoM-injective. We can say that pseudo-injective modules have been receiving spe-cial attention of the researchers. The general overview of the content researched bythe authors for pseudo-injective modules includes: Researching some properties ofpseudo-injective modules that have similar properties with quasi-injective modules;finding out when a pseudo-injective module will be a quasi-injective one; giving ex-amples to show that there exists a pseudo-injective module but not quasi-injective;giving some more properties of pseudo-injective modules and via them to character-ize rings that include semisimpleArtinian rings, QF rings, PF rings, Artinian ringsand Noetherian rings, etc.

As a necessity of the development of mathematics, pseudo-injective moduleshave made great motivation for researchers to continue to take serious consider-ation into the expansion of this module. Some significant expansion of pseudo-injective modules are essential pseudo-injective modules; essential injective modules;C2-modules, etc. It is the aim of this thesis to continue studying the expansion ofpseudo-injective modules. As a result, the thesis entitled "Some generalizationsof class of pseudo-injective modules and related rings" is put forward to.

The structure of the thesis is divided into four chapters.

Chapter 1 presents basic concepts and some of the results to be used for thenext chapters.

4

In Chapter 2, the properties of essentially pseudo-injective modules are studied.In 2005, the authors Alahmadi, Er and Jain studied a general case of pseudo-injectivemodules, which are essentially pseudo-injective modules. Let M and N be two mod-ules. M is called essentially pseudo N-injective if, for any essential submodule A ofN , any monomorphism f : A → M can be extended to some g ∈ Hom(N,M). M iscalled essentially pseudo-injective if M is essentially pseudo M-injective. Two mod-ules M,N are called relatively essentially pseudo-injective if M is essentially pseudoN-injective and N is essentially pseudo M-injective. A ring R is called right essen-tially pseudo-injective if RR is an essentially pseudo-injective module. In the firstpart of the chapter, some characteristics of the essentially pseudo N-injective mod-ules are outlined. (Theorem 2.2.2, Proposition 2.2.6 and Theorem 2.2.7). In addition,we have also found out some properties of essentially pseudo-injective modules (The-orem 2.2.9 and Theorem 2.2.10). Furthermore, it has been particularly proved fromour study that every essentially pseudo-injective module satisfies the C3-condition(Theorem 2.2.11) and module M is quasi-injective if and only if M is essentiallypseudo-injective and CS (Theorem 2.2.12). Also in Part 1 of this chapter, we ob-tained some characteristics of semisimpleArtinian rings, QF rings, Noetherian ringsand cosemisimple rings (Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17). Fi-nally, the results related to the extension of rings are given in Theorem 2.2.18.

In Chapter 3, we studied the modules which have the intimate relationship withthe essentially pseudo-injective modules, named generalized ADS. We provided someequivalent conditions to a generalized ADS module, (Theorem 3.2.1 and Theorem3.2.5). We also studied some properties of generalized ADS modules in the cate-gory σ[M ] when M is semisimple (Theorem 3.2.10), from which we characterizedsemisimpleArtinian rings (Corollary 3.2.11). The relationship between generalizedADS modules and quasi-injective modules lies in Theorem 3.2.14. Finally, resultsrelated to extension of rings were given in Theorem 3.2.15.

In Chapter 4, we studied a generalized case of C2-module, namely modules sat-isfy condition (C). The first part of the chapter described the relationship betweenthe C2-modules and modules satisfy condition (C) in Proposition 4.1.3 and Proposi-tion 4.1.7. The properties of modules satisfy condition (C) were studied in Theorem4.1.10 and Theorem 4.1.12. The relationship between modules satisfy condition (C)and its endomorphism ring S = EndR(M) was presented in Theorem 4.1.17. In ad-dition, regular rings were characterized via Rickart modules, dual Rickart modulesand modules satisfy condition (C) were given in Theorem 4.1.21. In the second partof the chapter, we characterized modules satisfy condition (C). The characteristicsobtained include: regular rings, hereditary rings, Noetherian rings and semiartinianrings (Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4, Theorem 4.2.5 and Theorem 4.2.6).

5

Chapter 1

Preliminaries

In this thesis, R arbitrarily presents an associative ring with identity 1 6= 0 andall modules over R are unitary right (or left) modules.

1.1 Some notations and definitions

We write MR to indicate that M is a right R-module. For a submodule N ofM , we use N ≤ M (N < M) and N ≤⊕ M to mean that N is a submodule of M(respectively, proper submodule) and N is a direct summand of M . We write Mn(R)

to mean that it is a matrix ring over R. If I is a set with card(I) = α and M is amodule, we write a direct sum α photocopies of M is M (I) or M (α), a direct productα photocopies of M is M I or Mα. We use Mod-R (R-Mod) are categories of rightR-modules (respectively, left modules). Homomorphisms of modules are written onthe left of their arguments.

Let M is a right R-module and a nonzero set X ⊂M . Right annihilator of X inR (rR(X)) are defined as follows: rR(X) = r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X .

Module MR is called faithful if rR(M) = 0.

Let N be a submodule of the R-module M . A submodule K of M is called an(intersection) complement of N in M if it is maximal in the set of submodules L ofM with L ∩N = 0.

A submodule A of R-module M is called essential or large in M if, for everynon-zero submodule B of M , we have A ∩ B 6= 0. Then M is called an essentialextension of A and we write A ≤e M . A monomorphism f : M → N is said to beessential monomorphism if Im(f) ≤e N .

A submodule A of R-module M is called superfluous or small in M writtenAM , if, for every submodule B 6= M of M , we have A+B 6= M . An epimorphismg : M → N is called superfluous epimorphism if Ker(g)M .

A element x of R is called a idempotent if x2 = x. Two idempotents e1, e2 ∈ Rare called orthogonal if e1.e2 = e2.e1 = 0.

Let M and N be R-modules. N is said to be generated by M (M-generated) ifthere exists a epimorphism f : M (Λ) → N for an index set Λ. An R-module M is

6

called self-generator if, for each submodule N of M , there exists an index set Λ andan epimorphism f : M (Λ) → N . We say that an R-module N is subgenerated by M ,or M is a subgenerator for N , if N is isomorphic to a submodule of an M-generatedmodule. We denote by σ[M ] the full subcategory of Mod-R whose objects are allR-modules subgenerated by M .

Let M be an R-module. As socle of M (=Soc(MR)) we denote the sum of allsimple (minimal) submodules of M . If there are no minimal submodules in M weput Soc(MR) = 0.

Dual to the socle we define as radical of an R-module M (=Rad(MR)) theintersection of all maximal submodules of M . If M has no maximal submoduleswe set Rad(MR) = MR. The radical of RR is called the Jacobson radical of R, i.e.Jac(R) = Rad(RR). We have Rad(RR) = Rad(RR) = J(R) and therefore we use nota-tion J(R) to show Jacobson radical of ring R.

A non-empty set L of submodules of an R-module is called noetherian if itsatisfies the ascending chain condition (ACC), i.e. if every ascending chain A1 ≤A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . of modules in M becomes stationary after finitely many steps.

M is called artinian if it satisfies the descending chain condition (DCC), i.e. everydescending chain D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . . of modules in M becomes stationary afterfinitely many steps.

An R-module M is called noetherian (artinian) if the set of all submodules ofM is noetherian (artinian). We call M locally noetherian if every finitely generatedsubmodule of M is noetherian (artinian).

1.2 Injective modules, projective modules and some

generalizations of injective modules

Let M and N be two right R-modules over a ring R. A is a submodule of M andhomomorphisms f : A→ N , f : M → N . f is called an extension of f if, f(x) = f(x)

for all x ∈ A.

Here, we introduce the important module classes which have many applicationsin associate rings. They are injective modules and projective modules.

Let M and N be two right R-modules over a ring R. M is called N-injective if,for any submodule A of N , every homomorphism in HomR(A,M) can be extendedto an element of HomR(N,M). M is called quasi-injective or self-injective if M isM-injective. M is called injective if M is N-injective for all N . Modules M1, . . . ,Mn

are called relatively injective if Mi is Mj-injective for all i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

An injective module N with an essential monomorphism ι : M → N is called aninjective hull (envelope) of M . We also call N is an injective hull of M and is notatedN = E(M). Every module M has an injective hull E(M).

Dual to injective modules, we have: P is called N-projective if, for every epimor-phism g : N → M and every homomorphism f : P → M , there exists a homomor-

7

phism h : P → N such that f = gh. P is called projective if P is N-projective for allN .

An projective module P with an superfluous epimorphism ι : P → M is calledan projective cover of M . We also call P is an projective cover of M .

By definition, to check injectivity of a R-module M , we have to check M is N-injective for every R-module N or not. However, in fact, we only check injectivity ofM from the following Baer Criterion:

Baer Criterion: M is injective if, for any ideal I of R, any homomorphismf : I →M can be extended to some g : R→M .

There are two main generalizations of injective modules: generalization fromthe original definitions and from Baer Criterion. The generalizations of the injec-tive modules from the original definitions are: C-injective, strongly socle-injective,pseudo-injective, FP-injective, etc. The generalizations of the injective modules fromBaer Criterion are: F-injective, P-injective, GP-injective, mininjective and small in-jective, etc.

For the purpose of the thesis, we only consider the extension of injective modules,which are pseudo-injective modules.

Let R be a ring and M and N be two R-modules. M is called pseudo N-injectiveif, for any submodule A of N , any monomorphism f : A → M can be extendedto some g ∈ Hom(N,M). M is called pseudo-injective if M is pseudo M-injective.Two modules M,N are called relatively pseudo-injective if M is pseudo N-injectiveand N is pseudo M-injective. A ring R is called right pseudo-injective if RR is anpseudo-injective module.

Let M and N be two modules. M is called essentially pseudo N-injective if,for any essential submodule A of N , any monomorphism f : A → M can be ex-tended to some g ∈ Hom(N,M). M is called essentially pseudo-injective if M isessentially pseudo M-injective. Two modules M,N are called relatively essentiallypseudo-injective if M is essentially pseudo N-injective and N is essentially pseudoM-injective. A ring R is called right essentially pseudo-injective if RR is an essentiallypseudo-injective module.

In 1961, in his work, Utumi defined modules satisfy the C1, C2 and C3-conditions.Then, definitions of C1, C2 and C3-modules were introduced by Jeremy, Takeuchi,Mohammed and Bouhy.

To introduce the concept of C1, C2 and C3-modules, firstly, we recall some ofthe following conditions for modules:

M satisfies the C1-condition (or CS-condition) if every submodule of M is es-sential in a direct summand of M .

M satisfies the C2-condition if every submodule that is isomorphic to a directsummand of M is itself a direct summand.

M satisfies the C3-condition if, whenever A and B are submodules of M withA ≤⊕ M , B ≤⊕ M , and A ∩B = 0, then A⊕B ≤⊕ M .

8

Definition 1.2.7. Let M be a right R-module. Then:

(1) M is called C1 if it satisfies the C1-condition. The C1-module is also calledCS-module or extending module.

(2) M is called C2 if it satisfies C2-condition. The C2-module is also called directinjective module.

(3) M is called C3 if it satisfies C3-condition.

(4) M is called continuous if it satisfies both the C1- and C2-conditions.

(5) M is called quasi-continuous if it satisfies both the C1- and C3-conditions. Aquasi-continuous module is also called π-injective.

Finally, a concept related to the thesis was introduced by Alahmadi, Jain andLeroy in 2012, which are ADS-modules.

Accordingly, a right R-module M is right ADS if, for every decomposition M =

S ⊕ T of M and every complement T ′ of S, we have M = S ⊕ T ′.

1.3 Artinian rings, Noetherian rings and some another

important rings

Definition 1.3.1. R is called right Artinian, right Noetherian if RR is Artinianmodules, Noetherian modules (respectively).

Definition 1.3.3. R is called local if R has a unique maximal right (or left) ideal.

Definition 1.3.5. R is called regular (in the sense of von Neumann) if, for everya ∈ R, there exists b ∈ R such that a = aba.

Division rings, semiartinian rings and matrix rings Mn(K) (where K is a field)are regular rings.

Definition 1.3.9. R is called right hereditary (right semi-hereditary) if every (finitelygenerated) right ideal is projective.

Quasi Frobenius rings (or QF) derived from the theory of representations of afinite group and were introduced in 1939 by Nakayama and there has been a lot ofcharacterizations of this rings. QF rings theory has an important role in the theoryof associate rings and non-commutative rings, and has been a matter of interests ofmany authors. QF rings is defined as follows:

Definition 1.3.11. R is called quasi Frobenius (or QF) if it is (right or left) Artinianand (right or left) self-injective.

One characterization of QF rings via the class of injective modules, projectivemodules is the following Faith-Walker theorem:

9

Theorem 1.3.13. The following conditions are equivalent for a ring R:

(1) R is quasi-Frobenius.

(2) Every injective right (left) R-module is projective.

(3) Every projective right (left) R-module is injective.

In the last part of this section, we recall about semiartinian rings.

Definition 1.3.14. A module M is called semiartinian if every nonzero factor mod-ules has a nonzero socle. A ring R is called right semiartinian if RR is a semiartinianmodule.

1.4 Semisimple modules and semisimple artinian rings

Definition 1.4.1. Module M is called simple if M has only 2 submodules.

Definition 1.4.2. M is called semisimple if M is a direct sum of simple modules.R is called right (left) semisimple if RR (RR) is a semisimple module.

Here are some important characterizations of the semisimple rings related tocategories Mod-R, decomposition into direct sum of rings, regular rings and Artinianrings.

Theorem 1.4.5. (Osofsky). R is semisimple if and only if every right (left) cyclicR-modules are injective.

Theorem 1.4.6. (Wedderburn-Artin). R is semisimple if and only if it is a finitedirect sum of matrix rings over a division ring.

Theorem 1.4.7. R is semisimple if and only if it is regular and does not containan infinite set of orthogonal idempotant elements.

Theorem 1.4.8. R is semisimple if and only if it is right (left) Artinian and J(R) =

0.

In the process of studying the issues related to the radical of the ring, Jacobsonhas considered semisimple rings the ones that have J(R) = 0 and now there are stillsome mathematicians who use this definition. Therefore, to avoid confusion, fromTheorem 1.4.8, many mathematicians have used definitions of semisimple rings inDefinition 1.4.2 and it is called semisimple Artinian. In this thesis, from now on, wecalled a semisimple ring as in Definition 1.4.2 semisimple Artinian rings.

10

Chapter 2

Essentially pseudo-injective modules

In this chapter, we study the properties of essentially pseudo-injective modulesexcept for the properties that have been studied by Alahmadi, Er and Jain. We alsogive some properties of semisimple Artinian rings, QF rings, Noetherian rings andcosemisimple rings. The main results of this chapter are Theorem 2.2.11, Theorem2.2.12, Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17.

2.1 Definitions and examples

Definition 2.1.1. Let M and N be R-modules. Then:

(1) M is called essentially pseudo N-injective if, for any essential submodule A of N ,any monomorphism f : A→M can be extended to some g ∈ Hom(N,M).

(2) M is called essentially pseudo-injective if M is essentially pseudo M-injective.

(3) Two modules M,N are called mutually essentially pseudo-injective if M is essen-tially pseudo N-injective and N is essentially pseudo M-injective.

(4) A ring R is called right essentially pseudo-injective if RR is an essentially pseudo-injective module.

Example 2.1.2. Let Z-modules Zp2, Zp3 and Zn where p is a prime number and2 ≤ n ∈ N. Then:

(1) Zn is an essentially pseudo-injective module.

(2) Zp3 is essentially pseudo Zp2-injective.

(3) Zp2 is not essentially pseudo Zp3-injective.

2.2 Some results related to essentially pseudo-injective

modules

A submodule N of M is said to be a fully invariant if f(N) is contained in N forevery f ∈ EndR(MR).

11

The authors Alahmadi, Er and Jain proved that M is an essentially pseudo-injective if and only if it is invariant under monomorphism in EndR(E(M)). In thefollowing theorem, we show that a module M is essentially pseudo N-injective if andonly if α(N) ≤M for every monomorphism α : E(N)→ E(M).

Theorem 2.2.2. The following are equivalent for modules M and N :

(1) M is essentially pseudo N-injective.

(2) α(N) ≤M for every monomorphism α : E(N)→ E(M).

Well-known in the literature of mathematics are basic properties of pseudo-injective modules. We list here several properties of essentially pseudo-injective mod-ules that are similar to pseudo-injective modules.

Proposition 2.2.6. Let M and N be R-modules.

(1) M is essentially pseudo N-injective if and only if M is essentially pseudo K-injective for all essential submodules K of N .

(2) If M is essentially pseudo N-injective and K ' N , then M is essentially pseudoK-injective.

(3) If M is essentially pseudo N-injective and K 'M , then K is essentially pseudoN-injective.

(4) Assume that M and N are essentially pseudo-injective modules. If there existsisomorphism between submodules A and B such that A ≤e N and B ≤e M , thenM ' N .

(5) Assume that A and B be are mutually essentially pseudo-injective modules. IfE(A) ' E(B), then every isomorphism E(A) → E(B) reduces an isomorphismA → B, in particular A ' B. Consequently, A and B are essentially pseudo-injective.

We have N is a semisimple module if and only if M is N-injective for all moduleM . For essentially pseudo-injective modules, we obtained some following results:

Theorem 2.2.7. Let M and N be R-modules. Then:

(1) N is a semisimple module if and only if M is essentially pseudo N-injective forall module M .

(2) Assume that N = A⊕ B and M = C ⊕D such that B is embedded in D. If M isessentially pseudo N-injective, then C is essentially pseudo A-injective.

Next is the other properties of essentially pseudo-injective modules.

Theorem 2.2.9. The followings are equivalent for module M :

(1) Every submodule of M is essentially pseudo-injective.

12

(2) M is essentially pseudo-injective and every essential submodule of M is fullyinvariant under monomorphism of M .

(3) Every essential submodule of M is essentially pseudo-injective.

We have every direct summand of an essentially pseudo-injective module is es-sentially pseudo-injective. However, we need to add some conditions for a directsummand of two essentially pseudo-injective modules, which are essentially pseudo-injective modules.

Theorem 2.2.10. Let M = M1 ⊕ M2 and E(M1), E(M2) be invariant submodulesunder any monomorphism of E(M). Then M is essentially pseudo-injective if andonly if M1,M2 are essentially pseudo-injective.

It is well known that every pseudo-injective module satisfies the C2-condition.For essentially pseudo-injective modules, we also obtained the following result.

Theorem 2.2.11. Every essentially pseudo-injective module satisfies the C3-condition.

H. Q. Dinh studied the relationship between pseudo-injectivity and quasi-injectivityof module and he had a question as to whether every (nonsingular) pseudo-injectiveCS module is necessarily quasi-injective?

In the following theorem, we proved that M is quasi-injective if and only if Mis essentially pseudo-injective and CS. From this result, we obtained the answer toH. Q. Dinh’s question.

Theorem 2.2.12. M is quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injectiveand CS.

Corollary 2.2.13. M is quasi-injective if and only if M is pseudo-injective and CS.

The relationship between an essentially pseudo-injective module and its endo-morphism ring is the following result:

Theorem 2.2.14. Let M be a self-generator R-module. If EndR(M) is right essen-tially pseudo-injective, then M is essentially pseudo-injective.

Let R be a ring and Ω a class of R-modules, Ω is called socle fine whenever forany M,N ∈ Ω, we have Soc(M) ' Soc(N) if and only if M ' N .

A module M is said to be strongly essentially pseudo-injective if, M is essentiallypseudo N-injective for all right R-module N . We denote by SE the class of stronglyessentially pseudo-injective right R-modules and PR the class of projective rightR-modules.

A known result is: R is QF ring iff the class of projective R-modules or injectiveR-modules are socle fine. For strongly essentially pseudo-injective modules, we alsoobtained the same results as follows:

Theorem 2.2.15. The following conditions are equivalent for ring R.

13

(1) R is quasi Frobenius.

(2) The class PR ∪ SE is socle fine.

The relationship between semisimple Artinian rings and injective modules hasbeen shown to be: R is semisimple Artinian if and only if the class R-injective mod-ules are socle fine. For essentially pseudo-injective modules, the following theoremis obtained:

Theorem 2.2.16. The following conditions are equivalent for ring R.

(1) R is semisimple Artinian.

(2) The class of all essentially pseudo-injective modules is socle fine.

(3) The class SE is socle fine.

M is called a cosemisimple if, for every proper submodule of M is an intersectionof maximal submodules. R is called a cosemisimple ring if the right module RR is acosemisimple module.

Theorem 2.2.17. Let R be a ring.

(1) Every direct sum of two essentially pseudo-injective module is essentially pseudo-injective if and only if every essentially pseudo-injective is injective.

(2) Essential extensions of semi-simple right R-modules are essentially pseudo-injectiveif and only if R is right cosemisimple ring and right Noetherian.

We finish this section with the following two results.

Theorem 2.2.18. Let M be a S-R-bimodule. Assume that T =

(S M

0 R

)is right

essentially pseudo-injective. Then:

(1) R is right essentially pseudo-injective.

(2) If SM is faithful then MR is essentially pseudo-injective.

CONCLUSION OF CHAPTER 2

In this chapter, we have obtained some of the following results:

In the first part of the chapter, we obtained some properties of the essentiallypseudo N-injective modules (Theorem 2.2.2, Proposition 2.2.6 and Theorem 2.2.7).In addition, we also obtained some properties of essentially pseudo-injective modules(Theorem 2.2.9 and Theorem 2.2.10). In particular, we proved that every essentiallypseudo-injective module satisfies the C3-condition (Theorem 2.2.11) and module Mis quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injective and CS (Theorem2.2.12). Also in Part 1 of this chapter, we obtained some characteristics of semisimpleArtinian rings, QF rings, Noetherian rings and cosemisimple rings (Theorem 2.2.15,Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17). Finally, the results related to extension ofrings are given in Theorem 2.2.18.

14

Chapter 3

Generalized ADS modules

In this chapter, we consider generalizations of ADS modules, named generalizedADS modules. As we mentioned in the first part of Chapter 2, the concept of essen-tially pseudo-injective modules is introduced by Alahmadi, Er and Jain. The resultsthat we are interested in their works are: If M and N are modules and X = N ⊕Mthen N is essentially pseudo M-injective if and only if for any complement K in N

of X which K ∩M = 0, X = N ⊕K. On the other hand, a right module M over a ringR is said to be ADS if, for any decomposition M = S ⊕ T and every complement T ′

of S, we have M = S ⊕ T ′. With a combination of the above problems, we considergeneralizations of ADS modules, named generalized ADS modules. Some propertiesof generalized ADS modules were proved and their applications to characterize ringswere also mentioned. The main results of this chapter are Theorem 3.2.1, Theorem3.2.10 and Theorem 3.2.14.

3.1 Definitions and examples

First of all, we introduce the definition of generalized ADS modules.

Definition 3.1.1. A moduleM is called generalized ADS if, for every decompositionM = S ⊕ T of M and every complement T ′ of S with T ′ ∩ T = 0, M = S ⊕ T ′. A ringR is called right generalized ADS if, RR is a generalized ADS module.

From the definition of ADS modules and generalized ADS modules, we have theimplication ADS modules =⇒ generalized ADS modules. However, the converse is nottrue in general. The following example shows that a generalized ADS module is notan ADS module:

Example 3.1.2. Let R =

F F F0 F 0

0 0 F

where F is a field which has 2 elements. Call

N = e11R. We have N be an automorphism-invariant R-module, indecomposable, notquasi-injective with EndR(N) local. Consider M = N ⊕N . Then, M is a generalizedADS module but M is not an ADS module.

15

3.2 Some results related to generalized ADS modules

It is well-known that M is ADS if, for any decomposition M = A⊕B, then A andB are relatively injective. For generalized ADS modules, we obtained the followingresults:

Theorem 3.2.1. The following statements are equivalent for a module M :

(1) M is generalized ADS.

(2) If M = A⊕B then A and B are relatively essentially pseudo-injective.

(3) For any decomposition M = A⊕B, then projection πB : M → B is an isomorphismwhen it is restricted to any complement C of A in M such that C ∩B = 0.

We continue to obtain equivalent conditions for a module to be generalized ADS.

Theorem 3.2.5. The following conditions are equivalent for a module M :

(1) M is generalized ADS.

(2) For every decomposition M = A⊕B and for any monomorphism f ∈ Hom(E(B), E(A)),then M = A⊕X, where X = b+ f(b) | b ∈ B, f(b) ∈ A.

We know that, every direct summand of an ADS module is an ADS module.However, direct summand of generalized ADS modules is under weak conditions.

A module M is called distributive if A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) for allsubmodules A,B and C of M .

Proposition 3.2.6. Let M be a generalized ADS module. Then:

(1) Every CS direct summand of M is generalized ADS.

(2) If M is a distributive module then every direct summand of M is generalizedADS.

In the next section, we study the properties related to a generalized ADS moduleM when it is semisimple in the category σ[M ].

Theorem 3.2.10. The following conditions are equivalent for a module M :

(1) M is semisimple.

(2) Every module in σ[M ] is generalized ADS.

(3) Every finitely generated module in σ[M ] is generalized ADS.

(4) Every 3-generated module in σ[M ] is generalized ADS.

Corollary 3.2.11. The following conditions are equivalent for a ring R:

16

(1) R is semisimple Artinian.

(2) Every R-module is generalized ADS.

(3) Every finitely generated R-module is generalized ADS.

(4) Every 3-generated R-module is generalized ADS.

Next is the relationship between generalized ADS modules and quasi-injectivemodules.

Theorem 3.2.14. Let M =n⊕i=1

Mi be a direct sum modules. The following conditions

are equivalent:

(1) M is quasi-injective.

(2) Mi is quasi-injective for all i = 1, . . . , n and M2 is generalized ADS.

(3) Mk is generalized ADS for any positive integer k ≥ 3.

In the last section of this chapter, we introduce a result related to extension ofrings.

Theorem 3.2.15. Let M be a S-R-bimodule. If T =

(S M

0 R

)is right generalized

ADS ring then R is right generalized ADS ring.

CONCLUSION OF CHAPTER 3

In this chapter, we have obtained some of the following results:

For generalized ADS modules, we provided some equivalent conditions to gen-eralized ADS modules (Theorem 3.2.1 and Theorem 3.2.5). We also studied someproperties of generalized ADS modules in the category σ[M ] when M is semisimple(Theorem 3.2.10). From this, we characterized semisimple Artinian rings (Corol-lary 3.2.11). The relationship between generalized ADS modules and quasi-injectivemodules is mentioned in Theorem 3.2.14. Finally, a result related to extension ofrings was given in Theorem 3.2.15.

17

Chapter 4

Modules satisfy condition (C)

When researching on pseudo-injective modules, H. Q. Dinh has proved that anypseudo-injective modules satisfy the C2-condition. In addition, the author has givenexamples to show that the C2-modules class is a proper extension of the pseudo-injective modules class. Concerning C2-modules, we would like to mention a famousconjecture which has not yet to solve. It was named FGF conjecture: FGF ringsare QF rings or not? Now, it has been proven that if R is FGF and C2-ring, R isQF ring. Thus, the study of the C2-modules and its extension is hoped to solve theabove conjecture. In this chapter, we study an extension of the C2-module, namedmodules satisfy condition (C). The regular rings, hereditary rings, Noetherian ringsand semiartinian rings were characterized via modules satisfy condition (C).

4.1 Modules satisfy condition (C)

The first part of the chapter, we gave some the properties of modules satisfy con-dition (C). The relationship between modules satisfy condition (C) and C2-moduleswas also mentioned. The application of some properties of modules satisfy condition(C) to characterize semiartinian rings and regular rings was also studied. The mainresults of this section are Proposition 4.1.7, Theorem 4.1.10 and Theorem 4.1.21.

We start this section by a simple property of the C2-modules as follows:

Lemma 4.1.1. Let M be a right R-module and S = EndR(M). The following condi-tions are equivalent:

(1) M is a C2-module.

(2) For any s ∈ S, Im(s) is a direct summand of M if Ker(s) is a direct summand ofM .

In view of Lemma 4.1.1, we introduce the following definition:

Definition 4.1.2. Module M over a ring R is called to satisfy condition (C) if, forevery s ∈ S and s 6= 0, there exists n ∈ N such that sn 6= 0 and if Ker(sn) is a directsummand of M , then Im(sn) is a direct summand of M .

18

A ring R is called satisfy right condition (C) if RR is a module satisfies condition(C).

From the above definition of modules satisfy condition (C), we obtain the fol-lowing proposition:

Proposition 4.1.3. Every C2-module satisfies condition (C).

When S = EndR(M) is local ring, we obtained that the C2-modules coincide themodules satisfy condition (C):

Proposition 4.1.7. Let M be a right R-module with local endomorphism ring S =

End(M). Then the following statements are equivalent.

(1) M is C2.

(2) M satisfies condition (C).

Next, we consider some equivalent statements as to when a module satisfiescondition (C).

Theorem 4.1.10. Let M be a right R-module with S = End(M). Then the followingstatements are equivalent.

(1) M satisfies condition (C).

(2) For every s ∈ S and s 6= 0, there exists n ∈ N such that sn 6= 0, and if Ker(sn) =

Ker(e) with e2 = e ∈ S implies e ∈ Ssn.

(3) For every 0 6= s ∈ S, there exists n ∈ N such that sn 6= 0, and if Ker(sn) = Ker(e)

with e2 = e ∈ S, implies Se = Ssn.

(4) For every 0 6= s ∈ S, there exists n ∈ N such that sn 6= 0, and if Ker(sn) = Ker(e)

with e2 = e ∈ S, implies sne(M) is a direct summand of M .

(5) For every 0 6= s ∈ S, there exists n ∈ N such that sn 6= 0, and if Ssn ≤ Se ≤lS(Ker(sn)) with e2 = e ∈ S, implies Se = Ssn.

(6) For every 0 6= s ∈ S, there exists n ∈ N such that sn 6= 0, and if Ker(sn) = Ker(e)

with e2 = e ∈ S, implies lS(Ker(sn)) = Ssn.

Next, we prove that every direct summand of a module that satisfies condition(C) also satisfies condition (C).

Theorem 4.1.12. The class of module satisfy condition (C) is closed under takingdirect summands.

We are going to see under what conditions the ring S = End(M) of all endomor-phisms of a module satisfies condition (C).

Theorem 4.1.17. Let M be a right R-module with S = End(M). Then:

19

(1) If S is a ring satisfies condition right (C), then M is a module satisfies condition(C).

(2) If M is a module satisfies condition (C) which is self-generator, then S is a ringsatisfies condition right (C).

According to Lee, Rizvi and Roman, a module M is called Rickart if, ∀ϕ ∈ S =

EndR(M), rM (ϕ) = Ker(ϕ) = e(M) for some e2 = e ∈ S. It is well-known S is regularif and only if Ker(f) and Im(f) are direct summands of M for every f ∈ S.

We call that a right R-module A is called semi M-projective if, for any submoduleB of M , every epimorphism π : M → B and every R-homomorphism α : A→ B, thereexists an R-homomorphism β : A→ M such that πα = β. Following Wisbauer, M issemi-projective if M is semi M-projective.

In the following proposition, we will give the relationship between Rickart mod-ule M and semi M-projective modules.

Proposition 4.1.20. Let M be a right R-module and S = EndR(M). The followingconditions are equivalent:

(1) M is a Rickart module.

(2) s(M) is semi M-projective for every s ∈ EndR(M).

Also according to Lee, Rizvi and Roman, a module M is called dual Rickart ord-Rickart if, ∀ϕ ∈ S = EndR(M), ϕ(M) = Im(ϕ) = e(M) for some e2 = e ∈ S.

The following characterizes von Neumann regular rings via Rickart modules,dual Rickart modules and modules satisfy condition (C).

Theorem 4.1.21. Let M be a right R-module and S = EndR(M). The followingconditions are equivalent:

(1) S is a von Neumann regular ring.

(2) M is a Rickart module and satisfies condition (C).

(3) M is a dual Rickart module and s(M) is semi M-projective for every s ∈ EndR(M).

4.2 Some characteristics of rings via modules satisfy

condition (C)

In this section, we characterized rings via modules satisfy condition (C). Thecharacteristics that we obtained include regular rings, hereditary rings, Noetherianrings and semiartinian rings. The main results of this section are Theorem 4.2.2,Theorem 4.2.4, Theorem 4.2.5 and Theorem 4.2.6.

4.2.1. Regular rings

The relationship between regular rings and modules satisfy condition (C) thatwe obtained is:

20

Theorem 4.2.2. The following statements are equivalent for a ring R.

(1) R is a regular ring.

(2) Every principal right ideal of M2(R) satisfies condition (C).

(3) Every principal right ideal of M2(R), generated by a diagonal matrix, satisfiescondition (C).

(4) Every finitely generated submodule of a projective right R-module satisfies con-dition (C).

(5) Every 2-generated submodule of a projective right R-module satisfies condition(C).

4.2.2. Hereditary rings

One result that was known about hereditary rings is: R is right hereditary if andonly if every factor module of an injective right R-module is injective. For modulessatisfy condition (C), we also obtained the same results as follows:

Theorem 4.2.4. Let R be a ring. R is right hereditary if and only if every factormodule of an injective right R-module satisfies condition (C).

4.2.3. Noetherian rings

A module M is called:

(countably) Σ-(quasi-)injective if every (countable) direct sum of copies of M is(quasi-)injective;

satisfies condition (countably) Σ-(C) if every (countable) direct sum of copies ofM satisfies condition (C).

A result of Faith and Walker asserts that:

A ring R is right noetherian if and only if every injective right R-module is Σ-injective, equivalently, as shown by Fuller, if every quasi-injective right R-module isΣ-quasi-injective.

Theorem 4.2.5. The following conditions are equivalent for a ring R.

(1) R is right noetherian.

(2) Every direct sum of injective right R-modules satisfies condition (C).

(3) Every countable direct sum of injective right R-modules satisfies condition (C).

(4) Every injective right R-module satisfies condition countably Σ-(C).

(5) Every quasi-injective right R-module satisfies condition countably Σ-(C).

21

4.2.4. Semiartinian rings

M is called socle-N-injective (soc-N-injective) if any R-homomorphismf : Soc(N)→M extends to N . The module M is called strongly soc-injective, if M issoc-N-injective for all right R-modules N .

One well-known result about semiartinian rings is: R is right semiartinian if andonly if every strongly soc-injective right R-module is injective. Similar results formodules satisfy condition (C) are given in the following theorem:

Theorem 4.2.6. The following conditions are equivalent for a ring R.

(1) R is right semiartinian.

(2) Every strongly soc-injective right R-module satisfies condition (C).

CONCLUSION OF CHAPTER 4

In this chapter, we have obtained some of the following results:

∗ In the first part of the chapter, we studied a generalized case of C2-module,namely: Modules satisfy condition (C) and gave the relationship between the C2-modules and modules satisfy condition (C) in Proposition 4.1.3 and Proposition 4.1.7.The properties of modules satisfy conditions (C) were studied in Theorem 4.1.10and Theorem 4.1.12. The relationship between modules satisfy condition (C) and itsendomorphism ring S = EndR(M) was presented in Theorem 4.1.17. In addition, wecharacterized regular rings via Rickart modules, dual Rickart modules and modulessatisfy condition (C) were given in Theorem 4.1.21.

∗ In the second part of the chapter, we characterized rings via modules satisfycondition (C). The characteristics that we obtained include: Regular rings, heredi-tary rings, Noetherian rings and semiartinian rings (Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4,Theorem 4.2.5 and Theorem 4.2.6).

22

CONCLUSION AND MOTIONS

1. CONCLUSION

In this thesis, we obtained some main results as follows:

1.1. From studying essentially pseudo-injective modules, we gave some char-acteristics of the essentially pseudo N-injective modules (Theorem 2.2.2, Proposi-tion 2.2.6 and Theorem 2.2.7). In addition, we also obtained some properties ofessentially pseudo-injective modules (Theorem 2.2.9 and Theorem 2.2.10). In par-ticular, we proved that every essentially pseudo-injective modules satisfies the C3-condition (Theorem 2.2.11) and M is quasi-injective if and only if M is essentiallypseudo-injective and CS (Theorem 2.2.12). This result confirms questions raised byH. Q. Dinh “Is every (nonsingular) pseudo-injective CS module necessarily quasi-injective?”

In addition, we obtained some characteristics of semisimple Artinian rings, QFrings, Noetherian rings and cosemisimple rings via essentially pseudo-injective mod-ules (Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17). Finally, the resultsrelated to extension of rings are given in Theorem 2.2.18.

1.2. From the combination of ADS modules and essentially pseudo-injectivemodules, we consider generalizations of ADS modules, named generalized ADS mod-ules. We provided some conditions equivalent to a generalized ADS module (Theo-rem 3.2.1 and Theorem 3.2.5). We also studied some properties of generalized ADSmodules in the category σ[M ] when M is semisimple (Theorem 3.2.10). From this,we characterized semisimple Artinian rings (Corollary 3.2.11). The relationship be-tween generalized ADS module and quasi-injective modules is mentioned in Theorem3.2.14. Finally, a result related to extension of rings was given in Theorem 3.2.15.

1.3. From a simple property of the C2-modules that we obtained, which is Mis a C2-module if and only if for any s ∈ S = EndR(M), Im(s) is a direct summandof M if Ker(s) is a direct summand of M , we consider modules satisfy condition(C). The relationship between the C2-module and modules satisfy condition (C) wasstudied in Proposition 4.1.3 and Proposition 4.1.7. The properties of modules satisfyconditions (C) were studied in Theorem 4.1.10 and Theorem 4.1.12. The relationshipbetween modules satisfy condition (C) and its endomorphism ring S = EndR(M)

was presented in Theorem 4.1.17. In addition, we characterized regular rings viaRickart modules, dual Rickart modules and modules satisfy condition (C) were givenin Theorem 4.1.21. In the last chapter, we characterized modules satisfy condition(C). The characteristics that we obtained include: Regular rings, hereditary rings,Noetherian rings and semiartinian rings (Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4, Theorem

23

4.2.5 and Theorem 4.2.6).

1.4. From the results of Theorem 2.2.11, the concept of generalized ADS modulesand modules satisfy condition (C), we obtain a diagram of the relationship betweenthe modules which have been mentioned in this thesis as follows:

Generalized ADS

Essentially pseudo-injective ⇒ C3 ⇐ ⇐ ⇑⇑ ⇑ ⇑

Pseudo-injective ⇒ C2 ⇒ (C) ADS

⇑ ⇑ ⇑Injective ⇒ Quasi-injective ⇒ Continuous ⇒ ⇒ Quasi-continuous

⇑ ⇓Semisimple C1

⇑Simple

2. MOTIONS

In the future, we will be interested in some the following problems:

2.1. We will study to answer two questions about ADS modules, which are:

+) Is every direct summand of a generalized ADS module generalized ADS?

+) Let M =n⊕i=1

Mi be a direct sum of generalized ADS modules Mi and Mi be

essentially pseudo Mj-injective for all j 6= i. Is M a generalized ADS module?

2.2. We will consider whether the modules satisfy condition (C) are proper ex-tensions of the C2-modules or not.

2.3. Because the D2-modules are dual with the C2-modules, we will consideran extension of the D2-modules, named modules satisfy condition (C∗). From this,we hope to obtain some results which are related to the D2-modules as well as tocharacterize rings.

24

LIST OF THE AUTHOR’SARTICLES RELATED TO THETHESIS

1. Phan The Hai, Weakly C2 rings and modules, Journal of Science, Hue Uni-versity, (accepted).

2. Phan The Hai and Truong Cong Quynh, Essentially pseudo injective mod-ules, Journal of Science and Education, University of Education-The University ofDanang, No.3(02) (2012), 13-18.

3. Hai, P. T., On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii Jour-nal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.

4. Hai, P. T., On modules and rings satisfy condition(C), Asian-European Jour-nal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).

5. Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V., Mutually essentially pseudoinjective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 39(2), (2016), 795-803.

6. Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular morphisms,Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.