1. murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja...

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit jaitseisarvo

Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne to-teuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

(1) a+ b = b+ a, ab = ba (vaihdantalait)(2) a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a(bc) = (ab)c (liitäntälait)(3) a(b+ c) = ab+ ac, (a+ b)c = ac+ bc (osittelulait)(4) a+ 0 = a, a · 1 = a(5) On olemassa luvut x ja y joille a+ x = 0, by = 1 (jos b 6= 0).

Tässä x on luvun a vastaluku, merkitään x = −a, ja luku y on luvun b käänteisluku,merkitään y = b−1. Merkinnän ab−1 asemesta käytetään usein merkintää a/b.

Liitäntälakien nojalla esim. tulo abcd ja summa a+ b+ c+ d eivät tuota tulkintaon-gelmia ja sulkeita voidaan asettaa vapaasti kummassakin kirjoitelmassa.

Esim. Olkoot a ja b nollasta eroavia reaalilukuja. Luvun a/b käänteisluku on b/a,sillä

a

b

b

a= (ab−1)(ba−1) = a(b−1b)a−1

(5)︷︸︸︷= a · 1 · a−1

(4)︷︸︸︷= aa−1

(5)︷︸︸︷= 1.

Kunta-aksioomista seuraa mm. laskusäännöt:

(6) a · 0 = 0 (aina)

(7) ab· cd= ac

bd(b, d 6= 0)

(8) ab+ c

d= ad+cb

bd(b, d 6= 0)

Perustellaan näistä (6) ja (8), säännön (7) perusteleminen jätetään harjoitus-tehtäväksi.

(6): a · 0(4)︷︸︸︷= a · (0 + 0)

(3)︷︸︸︷= a · 0 + a · 0. Lisätään molemmille puolille −a · 0, jolloin

väite seuraa aksioomista (5) ja (4).

(8): ad+cbbd

= (ad+ bc)(bd)−1 = (ad+ cb)d−1b−1(1),(3)︷︸︸︷= add−1b−1 + cbb−1d−1

(5)︷︸︸︷= ab−1 + cd−1 = a

b+ c

d.

1

2

Esim. Olkoot a, b, c reaalilukuja, b 6= 0. Silloin

a

b+c

b

(8)︷︸︸︷=

ab+ cb

bb

(3)︷︸︸︷= =

(a+ c)b

bb= (a+ c)b · b−1b−1

(5)︷︸︸︷= (a+ c)b−1 =

a+ c

b

Esim. Olkoot a, b, c, d reaalilukuja, joista b, c, d nollasta eroavia. Silloin

abcd

=a

b·( cd

)−1=a

b

d

c

(7)︷︸︸︷=

ad

bc

Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon a reaaliluku.- Jos n on pariton, niin yhtälöllä xn = a on täsmällen yksi reaalinen ratkaisu. Tämäratkaisu on luvun a n:s juuri.- Jos n on parillinen ja a on positiivinen, niin yhtälöllä xn = a on täsmälleen yksipositiivinen ratkaisu. Tällöin tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri.- Jos n on parillinen ja a on negatiivinen, niin luvulla n ei ole (reaalista) n:ttä juurta.- Luvun a n:ttä juurta merkitään symbolilla n

√a tai symbolilla a1/n.

Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja ja a reaaliluku. Määritellään

am = a · a · · · a︸︷︷︸m kertaa

am/n = (a1/n)m (jos a1/n on olemassa)

a−m/n = (am/n)−1

a0 = 1

Seuraavat pikku laskulait ovat usein käyttökelpoisia:

(9) a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

(10) a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 (tässä oikea puoli on binomin neliö)

Nämä perustellaan �kertomalla sulkeet pois� eli käyttämällä osittelulakeja (3).

3

Esitetään luku 14−√101

muodossa, jossa neliöjuurta ei esiinny �viivan alla� eli nimit-täjässä:

14−√101

(4)︷︸︸︷= 1

4−√101· 4+

√101

4+√101

= 4+√101

(4−√101)(4+

√101)

(9)︷︸︸︷= 4+

√101

(16−(√101)2)

= 4+√101

16−101 = −4+√101

85.

Reaaliluvun a itseisarvo |a| on reaaliakselin pisteen a etäisyys pisteestä 0 eli

|a| ={

−a, jos a < 0,a, jos a ≥ 0.

Esim. Olkoon a reaaliluku. Silloin2m√a2m = |a| kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla

m. Erityisesti√a2 = |a|.

Rationaaliluku on muotoa m/n oleva reaaliluku, missä m ja n ovat kokonaislukujajoista n 6= 0.Rationaaliluku m/n on supistetussa muodossa, jos lukujen m ja n suurin yhteinentekijä (eli jakaja) = 1.

Jos a on positiivinen reaaliluku ja x on reaaliluku, niin määritellään

ax = limn→∞

axn ,

missä (xn) on lukua x kohti suppeneva rationaalilukujono.

Olkoot u, v, x, y reaalilukuja. Seuraavat laskulait ovat voimassa

(10) (uv)x = uxvx (11)(uv

)x=ux

vx

(12) uxuy = ux+y (13)ux

uy= ux−y

(14) (ux)y = uxy

kunhan kaavojen sekä oikea että vasen puoli on määritelty.

Esim.√u2v = |u|

√v, kunhan v ei ole negatiivinen.

4

Harjoitustehtäviä.

1.1. Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilu-kuna

(a) 35+ 5

3(b) 3

5− 5

3(c) 100

99· 3325

(d)100992533

1.2. Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilu-kuna

(a) (10099· 3325)−2 (b)

10099

(3325)−1

(c) 31001·299961000

(d) (31001·2999)361000

(e) 21001−22500+1

1.3. Sievennä

(a) (211−√101)11+

√101 (b) 211−

√101 · 211+

√101 (c)

3√

16√2

2√2

1.4. Esitä seuraavat lausekkeet murtolausekkeina, joissa neliöjuurta ei esiinny nimit-täjässä

(a)√2−

√12

(b) 2+√2

3−√2

(c) 1√2+2

+√2+1√

2(√2+2)

1.5. Sievennä seuraavat lausekkeet täydentämällä juurrettava binomin neliöksi

(a)√

3− 2√2 (b)

√7− 4

√3

1.6. Sievennä

(a) (a2)−3b−3c2

(abc−1)−2 (b) (m2n−1)−3

(mn2)−1+m−1n

1.7. Olkoon n kokonaisluku. Sievennä

(a) (−1)2n+1(a+ a−2)(a− a−2) + (−1)2n(a−2)−1 (b) (2a+2)(3a−1)−6a22+4a4a−2

−1

(c) x2n+1−x2nyxn+2−xny2 (d)

(x−1

(x+1)2− x−2

x2−1

)/ x−32x2−2

1.8. Sievennä

(a)√b2 − 2ab+ a2 (b)

√a3−a2b−

√ab2−b3√

a−b (c) a−b3√b/a2− 3

√a/b2

5

2. Polynomiyhtälöt, lineaarinen yhtälöpari, itseisarvo- jajuuriyhtälö, toisen asteen käyrät ja niiden tangentit

Olkoot a, b, c, d mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja, d 6= 0. Kunta-aksioomista joh-dettavia, yhtälöiden käsittelyä helpottavia laskusääntöjä:

(1) a = b⇐⇒ a+ c = b+ c

(2) ab = 0⇔ a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö)

(3) a = b⇔ da = db

(4) |a|2 = |b|2 ⇔ a = ±b

Olkoot a ja b reaalilukuja. Ensimmäisen asteen yhtälö (eli lineaarinen yhtälö):

ax+ b = 0

(1) Jos a = b = 0, tällä on ratkaisuina (eli juurina) kaikki reaaliluvut x.(2) Jos a = 0 ja b 6= 0, tällä ei ole ratkaisuja.(3) Jos a 6= 0, tällä on yksikäsitteinen ratkaisu x = −b/a.

Lineaarinen yhtälöpari: {ax+ by = ccx+ dy = e

Tällä on yksikäsitteinen ratkaisu (x, y) jos ja vain jos ad − bc 6= 0. Se voidaanratkaista esim. ratkaisemalla jommasta kummasta yhtälöstä x ja sijoittamalla senlauseke toiseen yhtälöön.

Olkoot a, b, c reaalilukuja, a 6= 0. Toiseen asteen yhtälö (eli kvadraattinen yhtälö):

ax2 + bx+ c = 0

Se voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä:

Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 4/a, jolloin saamme ekvivalentin yhtälön

0 = 4x2 + 4 bax+ 4 c

a= (2x+ b

a)2 − ( b

a)2 + 4 c

a,

ekvivalentisti(2x+ b

a)2 = ( b

a)2 − 4 c

a= 1

a2(b2 − 4ac︸︷︷︸

=:D

).

(1) Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja.(2) Jos D = 0, niin yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = − b

2a(kaksoisjuuri).

(3) Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua x = −b±√D

2a.

Tässä D on yhtälön diskriminantti.

6

Olkoon n positiivinen kokonaisluku, ja olkoot a0, a1, . . . , an reaalilukuja, an 6= 0.

Astetta n oleva polynomiyhtälö on muotoa p(x) = 0 oleva yhtälö, missä p(x) onastetta n oleva polynomi(funktio):

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0.

Nollakohtalause:p(c) = 0⇐⇒ p(x) = (x− c)h(x),

missä h(x) on astetta n− 1 oleva polynomi.

Esim. Yhtälön x3 + 3x2 − 4 = 0 eräs ratkaisu on x = 1. Jakokulmalaskulla saadaan

x3 + 3x2 − 4 = (x− 1)(x2 + 4x+ 4) = (x− 1)(x+ 2)2.

Täten yhtälön x3 + 3x2 − 4 = 0 kaikki ratkaisut ovat x = 1 ja x = −2.

Ensimmäisen asteen polynomifunktion p(x) = ax+ b kuvaaja on suora y = ax+ b,jonka kulmakerroin on a.Toisen asteen polynomifunktion p(x) = ax2 + bx + c kuvaaja on paraabeli y =ax2 + bx+ c.

Kuva 1. Nouseva ja laskeva suoraKuva 2. Ylös- ja alaspäin au-keava paraabeli

Paraabelin lisäksi muita keskeisiä toisen asteen tasokäyriä (kartioleikkauksia) ovat:

r-säteinen ympyrä: x2 + y2 = r2

Ellipsi, jonka pikkuakselit ovat a ja b: x2

a2+ y2

b2= 1

Hyperbeli, jonka pikkuakselit ovat a ja b: x2

a2− y2

b2= 1

Tasokäyrää voidaan siirrellä koordinaattimuunnoksella u = x− x0, v = y − y0.Esim. Tasokäyrä (x−x0)2+(y−y0)2 = r2 on uv-koordinaatistossa ympyrä u2+v2 =r2.

7

Kuva 3. Ympyrä (x− 2)2 + (y − 3)2 = 42 Kuva 4. Ellipsi x2

62+ y2

42= 1

Kuva 5. Hyperbeli x2

22− y2

32= 1 (sininen käyrä) ja sen asymptootit y = ± 3

2x (punaiset suorat).

Suora y = ax + b sivuaa tasokäyrää F (x, y) = 0 (eli on sen tangentti), jos niillä onvain yksi leikkauspiste ts. yhtälöllä F (x, ax+ b) = 0 on vain yksi ratkaisu x.

Esim. Osoitetaan, että suora y = ax+ 6 sivuaa paraabelia y = −x2 + 2x+ 5 jos javain jos a = 4 tai a = 0.

Yhtälöllä ax + 6 = −x2 + 2x + 5 eli yhtälöllä x2 + (a − 2)x + 1 = 0 on täsmälleenyksi ratkaisu jos ja vain jos sen diskriminantti D = 0. Koska D = (a − 2)2 − 4 =(a− 2− 2)(a− 2 + 2), niin D = 0 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0.

Kuva 6. Paraabeli y = −x2+2x+5 ja sen muotoay = ax+ 6 olevat tangentit

8


2.1. Millä vakion a arvoilla yhtälö a2x = (a+ 1)x+ 1 on ratkeava ja mitkä ovat senratkaisut?

2.2. Motoristilla on 50 litraa bensiinin ja öljyn seosta jossa on 10 % öljyä, sekä 100litraa seosta jossa on 2 % öljyä. Mikä on suurin määrä p prosenttista öljyseosta,jonka hän näitä sekoittamalla voi saada, kun

(a) p = 5 (b) p = 3 ?

2.3. Joukko-osasto, jonka pituus on 1.5 km marssii tasaisella nopeudella tietä pit-kin. Sen loppupäästä lähtee moottoripyörälähetti, joka tasaisella nopeudella ajaensaavuttaa osaston alkupään kolmessa minuutissa. Paluumatka osaston loppupäähänkestää 2.5 minuuttia. Mikä on joukko-osaston ja mikä lähetin nopeus?

2.4. Määritä ne vakion a arvot, joilla lauseke

x3 − (a+ 3)x2 + 2a2x− 4

x2 − 3x+ 2

supistuu polynomiksi.

2.5. Ratkaise juuriyhtälöt

(a)√x+ 1 = x− 1 (b)

√x+ 6 = x (c)

√2x+ 3−

√x− 2 = 2

2.6. Ratkaise itseisarvoyhtälöt

(a) ||x+ 3| − 4| = 2 (b) |x+ 1|+ |2x− 1| = 3 (c) |x2 − 1| = x− 1

(d) ||x2 − 1| − |x|| = 3x

2.7. Tutki neliöksi täydentämällä minkä tasokäyrän muodostavat yhtälön 4y2+9x2+8y − 18x = 23 ratkaisut.

2.8. Määritä niiden ympyrää x2 + y2 = 10 sivuavien suorien yhtälöt, joiden kulma-kerroin on 1/2. Määritä myös sivuamispisteet.

2.9. Hahmottele käyrän xy = 1 kuvaaja uv-koordinaatistossa, kun x = u − v jay = u+ v.

9

3. Epäyhtälöistä

Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja. Ne toteuttavat seuraavat lasku-lait (ns. järjestysaksioomat):

(1) Täsmälleen yksi relaatioista a = b, a < b, a > b on voimassa.(2) Jos a < b ja b < c, niin a < c.(3) Jos a < b, niin a+ c < b+ c.(4) Jos a > 0 ja b > 0, niin ab > 0.

Järjestysaksioomista seuraavia laskulakeja:

(5) Jos a > 0 ja b < c, niin ab < ac.(6) Jos a < 0 ja b < c, niin ab > bc.(7) ab > 0 jos ja vain jos a ja b ovat samanmerkkiset.(8) Jos a ja b ovat positiivisia, niin a2 < b2 jos ja vain jos a < b.(9) |a| < b jos ja vain jos −b < a < b.(10) |a| > b jos ja vain jos a > b tai a < −b

Jos p(x) ja q(x) ovat muuttujan x sisältäviä lausekkeita, niin epäyhtälön p(x) <q(x) ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten reaalilukujen c etsimistä joillap(c) < q(c) eli joilla käyrä y = p(x) on käyrän y = q(x) alapuolella.

Esim 1. Lineaarinen epäyhtälö −2x+ 5 < 1 toteutuu täsmälleen niillä muuttujan xarvoilla, joilla x > −1

2(1− 5) = 2 (sovelletaan sääntöjä (3) ja (6)).

Esim 2. Olkoon a > 0. Jos yhtälöllä ax2 + bx + c = 0 ei ole ratkaisuja tai sillä onkaksoisjuuri, niin epäyhtälöllä ax2 + b + c < 0 ei ole ratkaisuja. Tällöin paraabeliy = ax2 + bx+ c ei milloinkaan käy x-akselin alapuolella.

Jos ax2 + bx + ca = a(x − x0)(x − x1), missä x0 < x1, niin soveltamalla sääntöä(7) nähdään, että epäyhtälön ax2 + bx + c < 0 ratkaisut ovat ehdon x0 < x < x1toteuttavat x:n arvot. Nämä ovat siis ne x-akselin pisteet, joissa paraabeli y =ax2 + bx+ c on x-akselin alapuolella.

10

Kuva 7. Paraabeli y = (x+1)(x−3) on x-akselinalapuolella välillä −1 < x < 3

Esim 3. Ratkaistaan murtoepäyhtälö x2−3x+2x+3

≥ 1:

x2−3x+2x+3

≥ 1⇔ x2−3x+2−(x+3)x+3

≥ 0⇔ x2−4x−1x+3

≥ 0⇔ (x−(2+√5))(x−(2−

√5))

x+3≥ 0.

Soveltamalla sääntöjä (3) ja (7) saadaan merkkikaavio, josta voidaan päätellä rat-kaisut:

−3 2−√5 2 +

√5

x2 − 4x− 1 + + − +x+ 3 − + + +x2−4x−1x+3

− + − +

Täten x2−3x+2x+3

≥ 1 jos ja vain jos −3 < x ≤ 2−√5 tai x ≥ 2 +

√5.

Esim 4. Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö |x2 − 1| ≤ x+ 1:

|x2 − 1| ≤ x+ 1

(9)︷︸︸︷⇐⇒ −x− 1 ≤ x2 − 1 ≤ x+ 1

⇐⇒ −x− 1 ≤ x2 − 1 ja x2 − 1 ≤ x+ 1

(3)︷︸︸︷⇐⇒ x2 + x ≥ 0 ja x2 − x− 2 ≤ 0

⇐⇒ (x+ 1)x ≥ 0 ja (x+ 1)(x− 2) ≤ 0

(7)︷︸︸︷⇐⇒ (x+ 1)x(x+ 1)(x− 2) ≤ 0

⇐⇒ (x+ 1)2x(x− 2) ≤ 0.

Tulon nollasäänön ja säännön (7) nojalla tämä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos0 ≤ x ≤ 2 tai x = −1.

11

Kuva 8. Epäyhtälö |x2− 1| ≤ x+1 toteutuu täs-mälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainenkäyrä ei ole sinisen alapuolella.

Esim 5. Ratkaistaan juuriepäyhtälö√3− x2 > 2x− 1:

Juurrettavan on oltava ei-negatiivinen, joten välttämättä on oltava −√3 ≤ x ≤

√3.

Koska neliöjuuri on aina ei-negatiivinen, niin epäyhtälö on tosi jos 2x − 1 < 0 elix < 1/2 (ja x ≥ −

√3).

Jos 2x− 1 ≥ 0 eli x ≥ 1/2, niin nyt säännön (8) nojalla epäyhtälö on tosi jos ja vainjos

(√3− x2)2 > (2x− 1)2

⇔ 3− x2 > 4x2 − 4x+ 1

⇔ 5x2 − 4x− 2 < 0 ⇔ 5(x− 2−√14

5)(x− 2+

√14

5) < 0

⇔ (2−√14

5<) 1

2≤ x < 2+

√14

5(<√3)

Siispä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos −√3 ≤ x < 2+

√14

5.

Kuva 9. Epäyhtälö√3− x2 > 2x − 1 toteutuu

täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punai-nen käyrä on sinisen alapuolella.

12


3.1. Ratkaise epäyhtälöt

(a) 2x+63

< 3x− 1 (b) (x− 2)2 − (2x−1)(x+3)2

> 1


(a) x2 + x+ 2 > 0 (b) 4x2 − 12x+ 9 > 0 (c) x2 + x− 2 > 0


(a) 1x+ 1

x2≥ 1

x3(b) (x2 + x− 1)2 < x4

3.4. Ratkaise epäyhtälö a2x ≤ (2a− 1)x+ 1 vakion a eri arvoilla.


(a) |2x+ 3| > x− 1 (b) |x2 − x− 5| < |x2 + x− 5|

3.6. Piirrä tasoon seuraavien epäyhtälöiden ratkaisujoukot:

(a) (x− 2)2 + (x− 1)2 ≤ 2 (b) |x|+ |y| < 1


(a)√x < x (b)

√x+ 1 > x

2− 1 (c)

√x+ 2 < |2x − 2| (d)

√4− x2 > x + 3

(e)√1− x2 < x

13

4. Trigonometrisista funktioista

Olkoon t reaaliluku ja olkoon Pt = (xt, yt) se origo-keskisen yksikköympyrän x2 +y2 = 1 piste, jonka etäisyys pisteestä pisteestä P0 = (1, 0) mitattuna pitkin ympyränkaarta on |t|, kun kuljetaan

(a) vastapäivään jos t ≥ 0,(b) myötäpäivään jos t < 0.

Tällöin lukua t sanotaan pisteen Pt kulmaksi ja sen yksikkö on radiaani (rad).

Annetun kehäpisteen Pt kulma ei ole yksikäsitteinen, sillä myös t + k · 2π on senkulma kaikilla kokonaisluvuilla k (sillä yksikköympyrän kehän pituus on 2π).

Jos kulma t rajoitetaan välille 0 ≤ t < 2π, niin sitä sanotaan pisteen Pt vaihekul-maksi.

Koska yksikköympyrän kehän pituus on 2π, niin 2π rad = 360◦ ja saamme mm.

piste (x, y) vaihekulma/rad vaihekulma/◦(1, 0) 0 0(0, 1) π/2 90(−1, 0) π 180(0,−1) 3π/2 270

Olkoon t reaaliluku. Pisteen Pt = (xt, yt) x-koordinaattia xt sanotaan kulman tkosiniksi ja merkitään cos t. Pisteen Pt y-koordinaattia yt sanotaan kulman t siniksija merkitään sin t.

Koska piste Pt on yksikköympyrällä, niin x2t + y2t = 1 ja näin ollen

(1) cos2 t+ sin2 t = 1 kaikilla reaaliluvuilla t.

Koska Pt = Pt+k2π kaikilla kokonaisluvuilla k, niin kosini ja sini ovat 2π-jaksollisiats.

(2) cos t = cos(t+ k2π), sin t = sin(t+ k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k.

Kuva 10. Ympyrän x2 + y2 = 1 eräs piste Pt = (cos t, sin t) ja sen vaihekulma t

14

Esim. Edellisen taulukon nojalla saamme seuraavat kosinin ja sinin arvot:t/rad cos t sin t

0 1 0π/2 0 1π -1 0

3π/2 0 -1

Esim. Lasketaan (a) sin(π/4) ja cos(π/4), (b) sin(π/3) ja cos(π/3) (ks. kuva (11))

(a) Koska π/4 on puolet kulmasta π/2, niin piste Pπ/4 sijaitsee suoralla y = x. Sijoittamalla

x = y yksikköympyrän yhtälöön x2 + y2 = 1 saadaan x = y = 1/√2 ts.

sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2.

(b) Olkoon A = (1, 0) ja O = (0, 0). Kolmio Pπ/3OA on tasakylkinen, joten sivujen AO jaAPπ/3 välinen kulma on yhtä suuri kuin sivujen Pπ/3O ja Pπ/3A välinen kulma. Täten kolmioAPπ/3B on tasasivuinen, jonka sivu on 1. Täten

cos(π/3) = 1/2 ja sin(π/3) =√

1− (1/2)2 =√3/2.

Kuva 11

Sinillä ja kosinilla on seuraavat symmetriaominaisuudet (ks. kuva (12)):

(3) cos(−t) = cos t, (4) sin(−t) = − sin t (peilaus x-akselin suhteen)

(4) cos(π − t) = − cos t, (5) sin(π − t) = sin t (peilaus y-akselin suhteen)

(6) cos(π+ t) = − cos t (7) sin(π+ t) = − sin t (peilaus x- ja y-akselien suhteen)

Kuva 12

15

Perustellaan seuraavaksi keskeinen ns. kosinin yhteenlaskukaava:

(8) cos(s− t) = cos s cos t+ sin s sin t

Olkoot s ja t reaalilukuja ja O = (0, 0), A = (1, 0), Ps = (xs, ys), Pt = (xt, yt) jaPs−t = (xs−t, ys−t).

Koska kolmiot PtOPs ja AOPs−t yhtenevät (ks. kuva (13)) niin sivut PsPt ja Ps−tAovat yhtä pitkät eli

(xs − xt)2 + (ys − yt)2 = (xs−t − 1)2 + (ys−t − 0)2

⇐⇒ (cos s− cos t)2 + (sin s− sin t)2 = (cos(s− t)− 1)2 + (sin(s− t)− 0)2

⇐⇒ cos2 s− 2 cos s cos t+ cos2 t+ sin2 s− 2 sin s sin t+ sin2 t= cos2(s− t)− 2 cos(s− t) + 1 + sin2(s− t)

⇐⇒=1︷︸︸︷

cos2 s+ sin2 s+

=1︷︸︸︷cos2 t+ sin2 t−2 sin s sin t− 2 cos s cos t

= cos2(s− t) + sin2(s− t)︸︷︷︸=1

−2 cos(s− t) + 1

⇐⇒ 2− 2(cos s cos t+ sin s sin t) = 2− 2 cos(s− t),

mistä kaava (8) seuraa välittömästi.

Kuva 13

16

Kaavasta (8) seuraa seuraavat kosinin ja sinin symmetriaominaisuudet (joka ovatilmeisiä geometrisestikin):

(9) sin t = cos(π/2− t), (10) cos t = sin(π/2− t) (peilaus suoran y = x suhteen).

Nimittäin kaavasta (8) seuraa heti kaava (9):

cos(π/2− t) = cos(π/2) cos t+ sin(π/2) sin t = 0 + 1 · sin t,ja tästä seuraa myös kaava (10):

sin(π/2− t) = cos(π/2− (π/2− t)) = cos t.

Kaavoista (3)-(6) saadaan helposti myös seuraavat yhteenlaskukaavat:

(11) cos(s+ t) = cos s cos t− sin s sin t (12) sin(s+ t) = sin s cos t+ cos s sin t(13) sin(s− t) = sin s cos t− cos s sin t

ja monia muita trigonometrisia kaavoja, joita löytyy taulukkokirjoista.

Esim. Perustellaan kaava: sin(2u) = 2 sinu cosu. Valitaan s = t = u lausekkeessasin(s+ t), jolloin kaavan (12) nojalla

sin(2u) = sin(u+ u) = sinu cosu+ cosu sinu = 2 sinu cosu.

Kulman t sinin ja kosinin osamäärä on kulman t tangentti, merkitään tan t. Se onmääritelty aina kun cos t 6= 0 ts.

tan t =sin t

cos t, missä t 6= (2k + 1)

π

2kaikilla kokonaisluvuilla k.

Koska

tan(t+ π) =sin(t+ π)

cos(t+ π)=− sin t

− cos t=

sin t

cos t= tan t,

niin tan t on π-jaksollinen ts.

tan t = tan(t+ kπ) kaikilla kokonaisluvilla k.

17

Olkoon P = (x, y) tason piste ja r janan OP pituus. Olkoon OPt janan OP su-untainen yksikköympyrän säde. Koska janan OP pituus on r-kertainen janan OPtpituuteen nähden, niin sama pätee myös pisteiden P ja Pt koordinaateille ts.

x = rxt = r cos t y = ryt = r sin t.

Tässä r ja t ovat pisteen P napakoordinaatit, kun −π < t ≤ π. Nyt siis r =√x2 + y2

ja tan t = y/x.

Kuva 14. Piste P ja sen napakoordinaatit r ja t

Koska sini ja kosini liittävät jokaiseen reaalilukuun t yksikäsitteisen reaaliluvun,ovat ne funktioita, nk. trigonometrisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on R.Kummankin arvojoukko on suljettu väli [−1, 1].Tangentti on trigonometrinen funktio, jonka määrittelyjoukko on R poislukien muut-tujan t arvot (2k + 1)π

2, missä k on kokonaisluku.

Kun siniä, kosinia ja tangenttia ajatellaan funktioina, niin tällöin usein muuttujannimenä käytetään kirjainta x kirjaimen t asemesta.

Kuva 15. Funktion f(x) = sinx kuvaaja

Kuva 16. Funktion f(x) = cosx kuvaaja

18

Kuva 17. Funktion f(x) = tanx kuvaaja

Tarkastellaan joidenkin trigonometristen yhtälöiden ratkaisemista. Olkoon a reaali-luku.

(A) Jos |a| > 1, niin yhtälöillä sinx = a ja cosx = a ei ole ratkaisua, koska tällöinsuora y = a ei milloinkaan leikkaa käyriä y = sinx ja y = cosx.

(B) Jos |a| < 1, niin sekä yhtälöllä sinx = a että cosx = a on välillä [0, 2π)täsmälleen kaksi ratkaisua, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sinx ja y = cosxtäsmälleen kahdessa pistessä ko. välillä.

(C) Jos |a| = 1, niin sekä yhtälöllä sinx = a että cosx = a on välillä [0, 2π) ontäsmälleen yksi ratkaisu, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sinx ja y = cosxtäsmälleen yhdessä pistessä ko. välillä.

Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön sinx = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välillekuuluva ratkaisu on π − u (tai 3π − u jos π − u < 0), sillä sin(π − u) = sinu = a.Siis

sinx = sinu⇐⇒ x = u+ k2π tai x = π − u+ k2π,

kaikilla kokonaisluvuilla k.

Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön cosx = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välillekuuluva ratkaisu on 2π − u, sillä cos(2π − u) = cos(−u) = cosu = a. Siis

cosx = cosu⇐⇒ x = ±u+ k2π,


19

Olkoon a reaaliluku. Yhtälöllä tanx = a on yksikäsitteinen ratkaisu u välillä(−π/2, π/2), sillä ko. välillä suora y = a leikkaa käyrää y = tanx täsmälleen yhdessäpisteessä. Siis

tanx = tanu⇐⇒ x = u+ kπ,


Esim. Ratkaistaan yhtälö sinx = cos(3x). Kaavan (7) nojalla sinx = cos(π/2− x),joten ratkaistavana on yhtälö

cos(π/2− x) = cos(3x),

ekvivalentistiπ/2− x = ±3x+ k2π.

Tätenx =

π

8+ k

π

2tai x = −π

4+ kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k.

Esim. Ratkaistaan yhtälö sinx = 3 cosx. Tämä on ekvivalentti yhtälön tanx = 3kanssa. Laskimesta saadaan ratkaisun likarvo x = 1.249 rad = (1.249 · 180/π)◦ =71.57◦.

20


4.1. Laske kulmaa t vastaavan yksikköympyrän pisteen koordinaattien tarkat arvot,kun

(a) t = 6002π/6 (b) t = −12015π/12

4.2. Olkoon t reaaliluku, jolle sin t = π/4. Laske likiarvoja käyttämättä

(a) cos t (b) tan t

4.3. (a) Laske likiarvoja käyttämättä cos(k π3) ja sin(k π

3) kaikilla kokonaisluvuilla k.

(b) Piirrä tasoon pisteet (x, y) = (cos(k π3), sin(k π

3)) kaikilla kokonaisluvuilla k.

4.4. Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt

(a) sinx = − sin 3 (b) cosx = − cos 3 (c) tanx = − tan 3

4.5. Ratkaise yhtälöt

(a) sin(3x) + cos(x/2) = 0 (b) 3 sinx+ (cosx)/2 = 0 (c) tanx = sin(2x)


(a) sin2 x− 2 cosx− 2 = 0 (b) (x2 − 1)5 sin(2x− 1) = 0

4.7. Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt

(a) sin(cosx) = 0 (b) 2 cos(sinx) =√3.

4.8. Ratkaise likiarvoja käyttämättä epäyhtälöt

(a) | sinx| < 1/√2 (b) | cosx| > 1/2 (c) | tanx| ≥ 1

4.9. Olkoon f(t) = 3 cos t + 4 sin t. Etsi sellaiset reaaliluvut A ja B, että f(t) =A sin(t+B) kaikilla reaaliluvuilla t.

(Vihje: käytä yhteenlaskukaavaa lausekkeelle sin(t+B) ja vertaa kertoimia.)

21

5. Eksponentti- ja logaritmifunktio

Olkoon k 6= 1 positiivinen reaaliluku. Muotoa f(x) = kx olevaa funktiota sanotaaneksponenttifunktioksi ja lukua k sen kantaluvuksi ja muuttujaa x sen eksponentiksi.

Eräs tärkeä kantaluvun k arvo on Neperin luku e, joka määritellään raja-arvona

e = limn→∞

(n+

1

n

)n ' 2.718281...

Esim. Funktio f(x) = e−2x on eksponenttifunktio, jonka kantaluku on e−2, silläe−2x = (e−2)x.

Kaikille eksponenttifunktioille f(x) pätee:

(1) f(x):n arvojoukko on koko positiivisten reaalilukujen joukko

(2) f(x) on aidosti kasvava jos k > 1 ja aidosti vähenevä jos k < 1.

(3) f(0) = 1

Kuva 18. Eksponenttifunktioiden f(x) = kx kuvaajia eri kantalukujen k arvoilla

Esim. Ratkaistaan yhtälö 2|x| = 3√4. Koska 3

√4 = 41/3 = (22)1/3 = 22/3, niin ratkais-

tavana on siis yhtälö 2|x| = 22/3.

Ominaisuuden (2) nojalla 2|x| = 22/3 jos ja vain jos |x| = 2/3 eli x = ±2/3.

22

Esim. Ratkaistaan yhtälö 2x+4 · 2−x = 4. Kerrotaan yhtälö puolittain 2x:llä, jolloinsaadaan ekvivalentti yhtälö

22x + 4 = 4 · 2x ⇔ (2x)2 − 4 · 2x + 4 = 0⇔ (2x − 2)2 = 0⇔ 2x = 2

(2)︷︸︸︷⇐⇒ x = 1.

Olkoon a positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktion f(x) = kx ominaisuuksien(1) ja (2) nojalla yhtälöllä kx = a on täsmälleen yksi ratkaisu. Tätä sanotaan a:nk-kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään logk a.

Merkinnän logk a asemesta käytetään joskus myös merkintää log a, jollei ole tarpeenkorostaa kantalukua.

Jos k = e, niin yleensä käytetään merkintää ln a merkinnän loge a asemesta.

Esim. logk k = 1 sillä k1 = k, ja logk 1 = 0 sillä k0 = 1.

Esim. log2 1024 = 10 sillä 210 = 1024.

Esim. Minkä luvun 5-kantainen logaritmi on −1/3?Ratkaisu: log5 a = −1/3 jos ja vain jos a = 5−1/3 = 1/ 3

√5.

Esim. Ratkaistaan yhtälö log3(x + 2) = 2. Määritelmän nojalla log3(x + 2) = 2 josja vain jos 32 = x+ 2 jos ja vain jos x = 7.

Liittämällä jokaiseen positiviiseen reaalilukuun x sen logaritmi, saadaan k-kantainenlogaritmifunktio f(x) = logk x. Koska

kx = y ⇐⇒ x = logk y,

niin logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio ja niiden kuvaajat saa-daat toisistaan peilaamalla ne suoran y = x suhteen.

23

Kuva 19. Funktion f(x) = kx ja sen käänteisfunktion f−1(x) = logk x kuvaajat (k > 1)

Olkoot a, b, c reaalilukuja ja oletetaan, että a > 0 ja b > 0. k-kantaistelle logaritmillelog on voimassa seuraavat laskusäännöt:

(4) log(ab) = log a+ log b

(5) log(a/b) = log a− log b

(6) log ac = c log a

Perustellaan näistä sääntö (4). Sääntö (4) väittää, että yhtälön kx = ab ratkaisu onlog a+ log b. Näytetään, että tämä pitää paikkansa, käyttäen Luvun 1 kaavaa (12):

klog a+log b = klog aklog b = ab.

Laskusäännöt (5) ja (6) perustellaan samaan tapaan käyttäen Luvun 1 kaavoja (13)ja (14).

Esim. Millä x:n arvoilla pätee kaava log 2x−11−x = log(2x− 1)− log(1− x)?

Ratkaisu. Kaavan (5) nojalla kaava pätee kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla molemmatpuolet on määritelty.

Oikea puoli on määritelty jos ja vain jos 2x − 1 > 0 ja 1 − x > 0 eli 1/2 < x < 1.Tällöin myös 2x−1

1−x > 0, joten ko. kaava pätee jos ja vain jos 1/2 < x < 1.

Esim. Lasketaan logaritmien laskusääntöjen avulla seuraavien logaritmien tarkatarvot:

(a) log23√

2 7√2 (b) (lg 50)2−(lg 2)2

lg 5

missä lg = log10.

Ratkaisu:

(a) log23√

2 7√2 = log2(2 · 21/7)1/3 = log2(2

8/7)1/3 = 13log2(2

8/7) = 13· 87= 8

21.

(b) (lg 50)2−(lg 2)2lg 5

= (lg 50−lg 2)(lg 50+lg 2)lg 5

= lg(50/2) lg(50·2)lg 5

= lg 25 lg 100lg 5

= lg 52·2lg 5

= 2 lg 5·2lg 5

= 4.

24

Olkoot k, h ja a positiivisia reaalilukuja. Silloin voimme siirtyä k-kantaisesta loga-ritmista h-kantaiseen:

(7) logh a = 1logk h

logk a, erityisesti logh a = 1lnh

ln a

Nimittäin a = hlogh a, joten ottamalla puolittain k-kantaiset logaritmit saadaan sään-nön (6) nojalla yhtälö logk a = (logh a)(logk h).

Esim. Ratkaistaan yhtälö log2 x + lnx = 3. Nyt log2 x = 1ln 2

lnx, joten yhtälö onekvivalentti yhtälön ( 1

ln 2+ 1) lnx = 3 kanssa. Täten

log2 x+ lnx = 3⇐⇒ lnx =3

1ln 2

+ 1⇐⇒ x = e

3 ln 21+ln 2 ' 3.4149

Esim. Olkoot k positiivinen reaaliluku. Osoitetaan, että funktion f(x) = log1/k(x)kuvaaja saadaan funktion g(x) = logk(x) kuvaajasta peilaamalla se x-akselin suh-teen. Ts. osoitetaan, että

log1/k(x) = − logk(x) kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x.

Olkoon a positiivinen reaaliluku. Nyt

log1/k a

(7)︷︸︸︷= 1

logk(1/k)logk a = 1

logk k−1 logk a

(7)︷︸︸︷= 1

− logk klogk a = − logk a.

25



(a) 2x2+1 · 4x−1 = 2 (b) 2x+1 − 2x−1 = 12

5.2. Ratkaise yhtälö 3x + 31−x = 4.

5.3. Millä vakion a arvolla yhtälö esinx + a = 3 on ratkeava?


(a) ex2−sinx > 0 (b) 3x

2−5x+8 > 9 (c) 5−x ≥ 3


(a) log2 x = 3 (b) logx 3 = 1/2 (c) logx(x+ 1) = 2


(a) ln(x+1)ln(x−1) = 2 (b) 2 log10(x− 1) = log10(x+ 2) + 1

5.7. Ratkaise yhtälö logx√2− log2 x = 7

4.

5.8. Ratkaise epäyhtälö log1/3(x2 − 2) ≥ −1.

5.9. Ratkaise epäyhtälö logx(4x− 2) > 0.

5.10. Olkoon n (> 1) positiivinen kokonaisluku. Millä kantaluvun k arvoilla pätee:

logk(12) + logk(

23) + logk(

34) + · · ·+ logk(

n−1n) ≤ 1

1. murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja...

Documents