1 - numeros naturales

Departamento de Matemticas http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

ARITMTICA: Nmeros naturales

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1. NMEROS NATURALES. 1.1. Introduccin. Los nmeros naturales son aquellos que surgieron de forma natural cuando el hombre tuvo la necesidad de contar. Sin embargo, el concepto de nmero (positivo) fue elaborado muy lentamente. Para muchas culturas, los nmeros mayores que tres no tenan nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conoca por la palabra muchos. Perciban los nmeros como una propiedad inseparable de un conjunto o coleccin de objetos, pero dicha propiedad no la distinguan de una manera clara como independiente de la coleccin. Todo esto se ha deducido de los nombres que se sabe recibieron algunos nmeros, como por ejemplo mano que equivala al nmero cinco. En este caso, cinco no se entiende en sentido abstracto sino en el de tantos como los dedos de una mano. De este modo se llegaron a utilizar distintos nombres para un mismo nmero. Tuvieron que pasar muchas generaciones para llegar al concepto abstracto de nmero. La gente hubo de repetir muchsimas veces la operacin de comparar entre s colecciones de objetos y relacionar los objetos de unas con los de otras con el mismo nmero de elementos y as, de esta manera, se descubrieron los nmeros y las relaciones entre ellos. La sociedad fue evolucionando, apareci el Estado y con ello la necesidad de recaudar impuestos, reclutar y equipar ejrcitos,... y operar con nmeros muy grandes, as como contar colecciones cada vez mayores de objetos. Por tanto, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y smbolos de los nmeros. Se cree que la introduccin de smbolos numricos fue paralela a la de la escritura y constituy el primer paso hacia los signos matemticos y las frmulas en general. El segundo paso consisti en la introduccin de signos para las operaciones aritmticas y la designacin literal de las incgnitas. Esto tard bastante ms. Pero nuestro actual sistema para escribir los nmeros no se invent de una vez. Desde los tiempos antiguos aparecieron en los distintos pueblos smbolos numricos muy diferentes de los actuales en varios sentidos. Por ejemplo, el sistema decimal no se utilizaba. Los babilnicos tenan un sistema que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus ltimas escrituras cuneiformes ya apareci el cero, pero fueron los indios sus verdaderos introductores, lo que les dio pie para elaborar un sistema de escritura anlogo al que tenemos hoy da. Al cero le llamaban vaco. Los antiguos griegos, y posteriormente los rusos, hicieron uso de las letras para designar nmeros; pero fueron los rabes los que trajeron a Europa, de la India, nuestros smbolos actuales y el mtodo de formacin de nmeros. As pues, el conjunto de los nmeros naturales, tal y como actualmente se conoce, se designa

con la letra ` y est formado por { }, , , , , ,...= 0 1 2 3 4 5` .



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1.2. El sistema decimal de numeracin. (A) Un sistema de numeracin es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier nmero. Nuestro sistema de numeracin tiene dos caractersticas fundamentales: es decimal y posicional. -DECIMAL, porque utilizamos 10 cifras para construir todos los nmeros: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y, a la inversa, 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un nmero no hay algn orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero:

Unidades de primer orden Unidades (U) =1 U

Unidades de segundo orden Decenas (D) = 10 U

Unidades de tercer orden Centenas (C) = 10 D = 100 U

Unidades de cuarto orden Unidades de millar (UM) = 10 C = 100 D = 1000 U

Unidades de quinto orden Decenas de millar (DM) = 10 UM

Unidades de sexto orden Centenas de millar (CM) = 10 DM

Unidades de sptimo orden Unidades de milln (UM1) = 10 CM

Unidades de octavo orden Decenas de milln (DM1) = 10 UM1

Unidades de noveno orden Centenas de milln (CM1) = 10 DM1

Unidades de dcimo orden Unidades de mil de milln (UMM) = 10 CM1

Unidades de decimoprimer orden Decenas de mil de milln (DMM) = 10 UMM

Unidades de decimosegundo orden Centenas de mil de milln (CMM) = 10 DMM

Unidades de decimotercer orden Unidades de billn = 10 CMM

Unidades de decimonoveno orden Unidades de trilln = 1 milln de billones

Unidades de vigsimo quinto orden Unidades de cuatrilln = 1 milln de trillones Se denomina base de un sistema de numeracin al nmero de unidades de un orden inferior que forman una unidad del orden inmediatamente superior. Nuestro sistema de numeracin es decimal, por tanto, de base diez. El sistema decimal de numeracin ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos. As pues:

. UM CM DM UM C D U. . . . unidades

. . .

= + + + + + += + + + + + += + + + + + += + + + + + +

1

1

6 5 4 3 2 1

2 125 391 2 1 1 2 5 3 9 12 000 000 100 000 20 000 5 000 300 90 12 11000 000 1 100 000 2 10 000 5 1000 3 100 9 10 1 12 10 1 10 2 10 5 10 3 10 9 10 1 010

que es lo que se conoce como descomposicin polinmica de un nmero natural (se puede seguir haciendo cuando el nmero es decimal, utilizando las potencias de 10 con exponente negativo).



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-POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posicin que ocupa dentro del nmero. Por ejemplo en el nmero 853.963 aparece dos veces la cifra tres y tiene distinto valor dependiendo de su posicin dentro del nmero. Contando de derecha a izquierda, el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio, el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades. (B) Leer nmeros naturales: 1) El nmero se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subndice 1, entre el segundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subndice 2, entre el tercer grupo de seis cifras y el cuarto se intercala el subndice 3 y as sucesivamente. 2) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras. 3) Se comienza a leer el nmero por la izquierda leyendo la palabra trilln al llegar al subndice 3, la palabra billn al llegar al subndice 2, la palabra milln al llegar al subndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto. (C) Ejemplos:

Para leer el nmero 32478965290765638946126 lo primero que haremos ser dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda: 32478396529027656381946126. A continuacin dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto: 32.4783965.2902765.6381946.126. Ahora es fcil leer el nmero, slo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos y las palabras trilln en el subndice 3, la palabra billn en el subndice 2 y la palabra milln en el subndice 1: treinta y dos mil cuatrocientos setenta y ocho trillones, novecientos sesenta y cinco mil doscientos noventa billones, setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintisis.

Otros ejemplos: 467 = Cuatrocientos sesenta y siete. 5.916 = Cinco mil novecientos diecisis. 305.982 = Trescientos cinco mil, novecientos ochenta y dos. 61456.872 = Seis millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil, ochocientos setenta y dos.

Los nmeros hasta el 30, inclusive, se pueden escribir con una sola palabra y, a partir del 31, en dos palabras. Por ejemplo: diecisis (diez y seis), diecisiete, veintiuno (veinte y uno), veintids, veinticinco, veintinueve, treinta, treinta y uno, treinta y dos.



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(D) Ejercicios: 1. Escribe los nmeros que representan los siguientes smbolos. a) 34676543214= b) 2431567432167= c) 2432167832146= d) 432567893467= e) 134034678901=

2. Escribe los smbolos de los siguientes nmeros: a) Veinticuatro billones, ochocientos doce mil cuatrocientos catorce millones, doscientos doce mil, catorce = b) Cuatro mil doscientos diecisis millones, ochocientos catorce mil doscientos uno = c) Novecientos noventa y un mil, doscientos doce millones uno = d) Ciento cuarenta y tres mil, doscientos diecisis billones, dos mil trescientos catorce millones, cuatro = e) Cuatro trillones, doscientos quince mil un billn, ciento diecisis mil catorce millones, trescientos doce = 1.3. Representacin lineal de los nmeros naturales. Todos los conjuntos numricos se representan grficamente para poder as visualizarlos de alguna manera. La representacin grfica que ms se utiliza es dibujarlos en una lnea recta, aunque no es la nica forma. Para ello: -Trazamos una lnea recta. -Sealamos un punto en ella, el 0, que ser el origen o punto de referencia. -A partir de l, sealamos hacia la derecha otros puntos, todos a la misma distancia entre s.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 137 138 139 140



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1.4. Operaciones con nmeros naturales. Recordemos de forma prctica las operaciones elementales que se pueden realizar con los nmeros naturales. (A) Ejemplo: Un grupo de 13 amigos decide asistir a una competicin atltica llevando una gran pancarta para animar a un compaero que participa en la carrera de los 1500 m. Compran un trozo de tela de 2 m de largo y dos listones de madera de 3 m de alto para fabricar la pancarta, y les han costado respectivamente 12,56 y 3,95 . a) cunto les ha costado la pancarta? Les ha costado 16,51 b) si el billete normal del tren que tienen que coger cuesta 8,80 , cunto les habrn costado todos los billetes? Todos los billetes les cuestan 114,4 c) Sabiendo que compraron un billete de grupo y que pagaron por l 76,31 , cunto se han ahorrado? Se han ahorrado 38,09 d) Si sumamos los gastos de la pancarta (16,51 ) ms los gastos del billete de grupo (76,31 ), obtenemos los gastos totales (92,82 ). Cunto ha de pagar cada uno? Cada uno paga 7,14

a) 12,56 b) 8,80 c) 114,40 d) 92,82 13 + 3,95 x 13 - 76,31 018 7,14

16,51 2640 38,09 052 + 880 0 114,40

(B) Ejercicios: 1. Coloca ordenadamente y realiza las siguientes operaciones:

OPERACIN SOL. OPERACIN SOL.

23456+456782+123810 604.048 1234973+23456234+234567 241925.774

345679-234126 111.553 1234672-1027754 206.918

3456 296 11022.976 9997 325 31249.025

97532 26 21535.832 8976 329 21953.104

345678 : 98 3527,3265

Resto: 32 1009876 : 456 2214,6404

Resto: 292

890700 : 785 1134,6497 Resto: 510

1095430 : 329 3329,5745 Resto: 189



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2. Realiza las siguientes operaciones:

201.235.404 390.234.797 593.210.936 32.479.765 3.085 34.974.254.080 - 108.284.974 x 3.345

+ 1.342.073 124.242.479.975 9.213.923.827 + 7.891.765 344.086.122 344.086.122 7.894.203 2741 3.456.678.523 - 302.087.946 x 7.946

+ 347.032.358.011 61.324 27.423.092 +

(C) Propiedades que cumplen las operaciones con nmeros naturales:

SUMA: Operacin interna (la suma de dos nos naturales es otro n natural) -Asociativa: (123+67)+90=190+90 = 280 = 123+(67+90)=123+157 -Elemento neutro: 45+0=45 -Propiedad conmutativa: 27+61 = 88 = 61+27 Por tanto, los nos naturales con la suma, ( ),+` , son un semigrupo conmutativo o abeliano.

PRODUCTO: Operacin interna (el producto de dos nos naturales es otro n natural) -Asociativa: (311)2=332 = 66 = 3(112)=322 -Elemento neutro: 451=45 -Propiedad conmutativa: 761 = 427 = 617 Por tanto, los nos naturales con el producto, ( ), ` , son un semigrupo conmutativo o abeliano.

RESTA: No es una operacin interna ya que la resta de dos nos naturales no siempre es otro n natural. 12-8=4 y 8-12=??? Tampoco cumple la propiedad asociativa ni la conmutativa.

DIVISIN: No es una operacin interna ya que la divisin de dos nos naturales no siempre es otro n natural. 12:4=3 y 4:12=??? Tampoco cumple la propiedad asociativa ni la conmutativa.



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1.5. Operaciones combinadas con nmeros naturales. (A) Normas para la realizacin correcta de las operaciones: 1 Parntesis y similares (corchetes, llaves), desde los ms internos a los ms externos. 2 Potencias y races. 3 Multiplicaciones y divisiones. 4 Sumas y restas. (B) Norma para realizar operaciones que no tienen preferencia una sobre la otra (del mismo nivel): *) Se hacen conforme van apareciendo (de izquierda a derecha!). (C) Ejemplos:

N N

+ +

=

9 : 3 11 25

3 11 10

14 10 4

N NN

N

N N N N

= =

= + = + + =

4 2 4 22 : 8 1+ 4 3 : 6 2 : 8 1+ 4 3 : 6

16 : 8 1+ 49 : 6 2 1 36 : 6 2 1 6 = 1 6 7

N N

N N

N

: ( : ) :

: ( : ) :

: ( )

+

+

+ +

+ =

2 3 1 15 3 2 9 6 2 3

2 3 1 15 3 2 9 6 2 3

6 1 5 2 9 3 3

6 3 9 9

3 9 9

12 9 3

N N

N N

N

: ( : ) :

: ( : ) :

: ( )

+

+

+

+

+ =

4 3 2 15 5 1 9 8 2 3

4 3 2 15 5 1 9 8 2 3

12 2 3 1 9 4 3

6 2 9 12

4 9 12

13 12 1

N N N N

: ( ) ( : ) ( ) : : : : ( ) ( : ) ( ) : : :

: ( ) ( : ) ( ) : : :

+ + + + + + + +

+ + + +

2 6 3 4 5 8 3 2 18 2 5 4 2 7 1 3 6 2 7 32 6 3 4 5 8 3 2 18 2 5 4 2 7 1 3 6 2 7 3

2 6 3 4 5 8 3 2 18 2 5 4 2 7 1 3 6 2 7 3

N N N

N N

: ( ) ( ) : :

( ) :

+ + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+

+

12 3 4 5 24 2 18 2 5 2 6 3 3 7 3

4 4 5 22 18 2 7 2 21 3

4 4 5 4 14 2 7

0 5 4 14 2 7

5 4 14 2 7

1 14 2 7

15 2 7

13 7

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(D) Ejercicios:

OPERACIN SOL. OPERACIN SOL. OPERACIN SOL.

2+35-1 16 (2+3)5-1 24 (2+3)(5-1) 20 2+3(5-1) 14 2+(35)-1 16 2+3(5+1) 20 6-23+43 12 25+34-28 6 3+52+1 14 43-2+52 20 5(2+4)-6 24 (8-5)4-3 9

16-5(8-6)+42 14 5-1+42-3 9 8-7+6:3+4 7 3-2+5-8:2+1 3 3+6-8:4+5 12 9-4+63-11-22 8 46+(28-3) 4 76 4(6+2)8-34 244 4(6+28)-34 76 46+2(8-3) 4 64 4(6+28-3) 4 304 46+28-34 28

1+21+32-43:2 3 35-9-9:3+2 5 18-3(42-7)-15 0 9+6:3-25+3(6-4) 7 17-83:6+52-7+9-1 24 25:52-36:2+7 8

5+[15-(2+10)+7-9]-3 3 3+5(4+2):15-4 1 2+3(9-32+3) 20 425-1228+4(28-7) 173 23+3412+5 436 12+3(4-6:2) 15

32-37+9-232 2 35-43-3:(7-6) 0 23-54+3(12-6) 21 7-(63-33-2)+4 4 3(6-4)+5(3+1) 26 53-9(43-56)-1 7

(8+4) 2-(10-4):3 22 324-1122+60 160

OPERACIN SOL. OPERACIN SOL. 6-43:6+10-5+3+45-15:3 27 15:34:10+7-4-4:2+3-6 0 7+34:2-56:3+4+9-2(3-1) 12 103-372+45-24:43-23-15:5 30

7+15-[14-(2+10)+73-(9-4) 3]-1+4 17 7+315:9-62+8-(4-1)-5 0 7-52:5+6:(4-3)-2+3+45-15:3 27 6+47:2-46:3-5+9-2(6-1) 6 215-493+76-24:45:3-57-36:4 68 10+15:3+(12-7-3)+73-14-(3+6-1) 16

13+453:6-10-52+7+11-(2+45-18:32) 11 8+4:2-32+3(7-2)-9:37:3+5-4(7-6) 13 1112-(100:4+513+10)-16+83:6-(73-35:52) 13 15+94:3-20:43:5-(24-5+3+6-1)+9-5(6-2) 2 26:3-4+5-(8+3-2-6)+29+4-1-3-6:27:3:7 19 98:6+15:34:2-(6+3-24)-87:4:2+2(7-3) 22

2[8-(4+23-5)]:3-(7+4:23:6-7)-12:2:354:10:4 0 235:(37-922)+56-34-42+1 59



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1.6. Problemas de nmeros naturales. (A) Un buen procedimiento para resolver cualquier problema aritmtico consiste en:

-Lee atentamente el enunciado tantas veces como te haga falta hasta comprenderlo bien; enumera los datos que tienes y descubre qu es lo que te piden. -Planifica la resolucin: busca la relacin que existe entre los datos que tienes y lo que pretendes encontrar, las operaciones que tienes que realizar, el orden en que debes hacerlas... Tambin puede ser conveniente descomponer el problema o compararlo con otro que ya hayas resuelto. Algunas estrategias que puedes usar son el razonamiento inverso (partiendo del resultado, llegar a lo que te piden) o el tanteo o ensayo-error (probar con valores concretos hasta encontrar la solucin). -Ejecucin del plan de resolucin: efecta las operaciones y aplica las frmulas y estrategias planteadas en la fase anterior. No conviene desanimarse si las cosas no salen, sino que se debe perseverar, revisar los pasos realizados u optar por un nuevo camino. -Revisin del resultado y del proceso seguido: comprueba que la solucin obtenida cumple lo que peda el enunciado y revisa el proceso, analizando si se puede mejorar.

(B) Ejemplos: * Halla un nmero tal que al multiplicar por 12 su quinta parte, y sumarle 256 nos d 844. a) Comprensin del enunciado: Nmero que buscamos = Operaciones que tenemos que realizar con el n inicial = b) Planificacin de la resolucin: Debemos utilizar el mtodo del razonamiento inverso, esto es, indicar las operaciones que tenemos que hacer hasta llegar al resultado final y, partiendo de ste (que es conocido), realizar las operaciones inversas hasta llegar al nmero buscado.

c) Ejecucin del plan de resolucin: :

:

? ? ? +

5 12 256

5 12 256

844

245 49 588 844

d) Revisin del resultado y el proceso seguido: Comprueba que, efectivamente, al efectuar las operaciones indicadas en el enunciado, a partir de 245, se obtiene como resultado 844. * Halla dos nmeros naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 265. a) Comprensin del enunciado: Ejemplos de nmeros naturales consecutivos = Ejemplos de clculo del cuadrado de un nmero = b) Planificacin de la resolucin: Vamos a utilizar el mtodo del ensayo-error, esto es, ir probando con parejas de nmeros naturales consecutivos hasta hallar la que vale.

c) Ejecucin del plan de resolucin: ;;

+ = + = + = + =+ = + = + = + =

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1 4 5 5 6 25 36 6110 11 100 121 221 11 12 121 144 265

d) Revisin del resultado y el proceso seguido: Claramente 11 y 12 son nmeros naturales consecutivos, sus cuadrados son 112=121 y 122=144, y la suma de ambos es 121+144=265.



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(C) Problemas: 1. Un depsito de gasleo tiene una capacidad de 3000 l y est lleno hasta su mitad. Cunto tendramos que pagar para acabar de llenarlo si el gasleo se vende a 46 cntimos de euro el litro y los portes ascienden a 15 ? 2. En una estacin de trenes hay 4 andenes. En cada andn hay 4 trenes, cada uno de los cuales est formado por 4 vagones y en cada vagn hay 4 ruedas. Calcula el nmero de ruedas que hay en esta estacin. 3. Al iniciar la jornada, el cajero de unos grandes almacenes tiene 83546 pts en la caja. A lo largo de la maana cobra las siguientes ventas: 12345 pts, 699 pts, 3476 pts, 45230 pts y 432 pts. Adems paga dos facturas de 32657 pts y 16810 pts. Cunto dinero tendr en la caja al finalizar la maana? 4. Dos hermanos ganan al mes 66765 pts y 133456 pts respectivamente. Calcula los ingresos de su madre si gana 13689 pts menos que los dos juntos. 5. Calcula la distancia que puede recorre un automvil en un da, sabiendo que su velocidad media es de 78 km/h. 6. Ana tiene 23 aos y Pablo 31. Qu edad tendr Ana cuando Pablo tenga 52 aos? 7. Si suponemos que el dlar est a un cambio de 140 pts, calcula cuntas pesetas nos entregarn por 83 $. Cuntos dlares nos entregarn por 8400 pts? 8. La suma de dos nmeros es 237.896 y uno de ellos vale 123.333. Calcula el valor del otro nmero. 9. Indica el nmero que falta en las siguientes restas:

a) 7 _ 6 5 b) 9 5 3 _ c) 5 4 2 1 - 2 4 5 _ - 3 _ 5 4 - 3 _ 8 _

_ 9 1 2 _ 2 _ 8 2 1 _ 0

10. Halla un nmero tal que al multiplicar por 3 el resultado de sumarle 154 y despus dividir entre 5, d como resultado 420.



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11. Completa el siguiente tique:

Producto Cantidad Precio unitario Total

Lata de atn 3 1,20 3,60 Leche semidesnatada 6 0,85 5,10 Arroz 1 1,05 1,05 Yogures de sabores 4 0,63 2,52 Yogures naturales 8 0,57 4,56 Pizzas precocinadas 2 3,41 6,82

TOTAL 23,65 12. En una divisin, el resto es 29, el cociente 468 y el dividendo 17345. Calcula el divisor. 13. Qu nmero dividido por 12 da 63 de cociente y 7 de resto? 14. El presupuesto de un ayuntamiento es de 850 millones de euros. Se han invertido, hasta finales de julio, en obras 230 346 788 , en la construccin de un nuevo edificio 64 350 125 , en el mantenimiento de las instalaciones deportivas 12 534 700 y en personal 50 345 899 . Calcula el importe total invertido y la cantidad que queda por invertir. 15. Repasa el tique del supermercado y di si es correcto. En el caso de que no lo sea, encuentra el/los error/es y realiza la cuenta correctamente.

Producto Cantidad Precio unitario Total

Agua 3 1,20 3,60 Leche 6 0,85 5,10 Harina 1 1,05 1,05 Chocolate 4 0,63 2,52

TOTAL 12,25 Efectivo 20,00 Cambio 7,60

16. Se venden banderas olmpicas de 325 cm de longitud.

a. Cuntos metros se necesitarn para hacer 6500 banderas? b. Si la tela cuesta 13 /m, cunto costarn todas las banderas? y una bandera?



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1.7. Mltiplos de un nmero natural. (A) Un nmero a es mltiplo de otro b, si se obtiene multiplicando b por un n natural: a bn= .

(B) Ejemplos: 6 = 16 = 23 6 es mltiplo de 2 y de 3 (se escribe 6 2 6 3 ) 18 = 118 = 29 = 36 18 es mltiplo de 1, de 18, de 2, de 9, de 3 y de 6 (C) Propiedades: a) El 0 es mltiplo de todos los nos (se obtiene multiplicando cualquier n por 0). b) Todo n es mltiplo de si mismo (se obtiene multiplicando dicho n por 1). 1.8. Divisores de un nmero natural. (A) Un nmero a es divisor de otro b si la divisin de b entre a es exacta (tiene resto cero). (B) Ejemplos: 4:2=2 2 es divisor de 4 [se escribe D( )2 4 ] 20:5=4 y 20:4=5 4 y 5 son divisores de 20 [ , D( )4 5 20 ] (C) Propiedades: a) El 1 es divisor de todos los nos (cualquier n dividido entre 1 da el mismo y de resto cero). b) Todos los nos, salvo el 0, son divisores de si mismos (al dividir un n entre si mismo da 1 y de resto cero; respecto al 0, no se puede hacer una divisin en la que el divisor sea 0). (D) Criterios de divisibilidad: 2: Un n es divisible por 2 (o 2 es un divisor de un n) si es par. Ej: 12; 4; 56; 18; 2. 3: Un n es divisible por 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3. Ej: 33; 21; 3; 12; 96. 4: Un n de tres o ms cifras es divisible por 4 si las dos ltimas cifras son mltiplo de 4. Ej: 128 ; 2104 ; 13644. 5: Un n es divisible por 5 si acaba en 0 5. Ej: 10; 125; 5; 35; 90. 7: Un nmero es divisible por 7, si al restar el nmero sin el ltimo dgito y el doble del ltimo dgito, el resultado es mltiplo de 7. Ej: 98 ya que 8 2=16 y se resta 16-9=77 . 245 ya que 5 2=10 y se resta 2410 = 147 9: Un n es divisible por 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9. Ej: 18; 1269; 36810. 10: Un n es divisible por 10 si acaba en 0. Ej: 10; 1000; 50; 370; 90. 11: Un n es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan un lugar par, menos la suma de las cifras que ocupan un lugar impar, es mltiplo de 11.

lugar par y :lugar impar y :

+ = = + = 4 1 1 4 5

1342 5 5 0 112 3 3 2 5

lugar par :lugar impar y : =

0 0902 11 0 11 11

9 2 11



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1.9. Nmeros primos y compuestos. (A) Un nmero es primo si los nicos divisores que posee son el 1 y l mismo. Ej: 2; 5; 19; 37. Un nmero que no es primo se llama compuesto. Ej: 4; 28; 145; 1320. (B) Criba de Eratstenes: sirve para identificar nmeros primos.

-Escribimos todos los nmeros ordenados (hasta el que queramos). -El primer n primo que encontramos mayor que el 1 es el 2. Tachamos todos los nos que sean mltiplos del 2 por ser compuestos (empezando por el 4 y de dos en dos). -El siguiente n primo que encontramos es el 3. Tachamos todos los nos que sean mltiplos del 3 contando de tres en tres empezando por el 6. -Repetimos el proceso.

(C) Para averiguar si un n es primo o es compuesto seguimos el siguiente procedimiento: -Dividimos el n entre los nos primos 2,3,5,7,11,... cuyo cuadrado sea menor que nuestro n o, de otra forma, dividimos entre los nos primos hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor: Ej: 39 lo dividimos entre 2 (22=4



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(D) Descomposicin de un n natural en factores primos. Ejemplos:

180 2 180 2

0 90 2 90 2

0 45 3 45 3

0 15 3 15 3

0 5 5 5 5

0 1 1

180=1810=2925=23225=22325

20 2 42 2 14 2 6=23

10 2 21 3 7 7 24=83=233

5 5 7 7 1 30=65=235

1 1 56=87=237

20=225 42=237 14=27 70=710=257

Ejercicios:

N DESCOMPOSICIN N DESCOMPOSICIN N DESCOMPOSICIN

49 72 12 223 16 24

15 35 36 2232 45 325

26 213 55 511 63 327

283 2237 550 25211 100 2252

108 2233 102 2317 225 3252

320 265 546 23713 294 2372

675 3352 168 2337 343 73

528 24311 111 337 253 1123

165 3511 504 23327 363 3112

693 32711 2835 3457 728 23713

2100 223527 2520 233257 1960 23572

3600 243252 5250 23537 6825 352713

8085 357211 21600 253352 30030 23571113



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1.10. Determinacin de todos los divisores de un nmero. (A) Para calcular todos los divisores de un nmero actuamos de la siguiente forma (p.e. 60): -Realizamos la descomposicin en factores de dicho nmero (60=2235).

-El producto de los exponentes de la descomposicin, aumentados en una unidad, nos proporciona el nmero de divisores positivos que tiene dicho nmero: (2+1)(1+1)(1+1)=322=12 divisores positivos. -Determinamos los divisores de cada uno de los factores: * Si son nos primos, sus divisores estn claros (1 y l mismo): D(3)={1, 3}; D(5)={1, 5} * Si son potencias de nos primos, sus divisores son esa potencia y todas las anteriores: D(22) = D(4) = {20, 21, 22} = {1, 2, 4} -Construimos un diagrama de rbol con los divisores obtenidos y resolvemos todas las multiplicaciones que se pueden formar (desde el tronco hasta la ltima rama): 1 1 1 2 1 4 1 1 1 5 5 5 10 5 20 1 2 4 1 3 1 6 1 12 3 3 3 5 15 5 30 5 60 -As obtenemos todos los divisores positivos de nuestro nmero: D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

(B) Ejercicios:

N DESCOMPOSICIN DIVISORES

49 72 D(49)={1,7,49}

125 53 D(125)={1,5,25,125}

16 24 D(16)={1,2,4,8,16}

12 223 D(12)={1,2,3,4,6,12}

26 213 D(26)={1,2,13,26}

84 2237 D(84)={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}

108 2233 D(108)={1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108}

320 265 D(320)={1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,64,80,160,320}

675 3352 D(675)={1,3,5,9,15,25,27,45,75,135,225,675}

165 3511 D(165)={1,3,5,11,15,33,55,165}

693 32711 D(693)={1,3,7,9,11,21,33,63,77,99,231,693}



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1.11. Mximo comn divisor de nmeros naturales (mcd). (A) Un procedimiento para el clculo del mximo comn divisor de dos o ms nmeros consiste en: -Se descomponen los nmeros en factores primos. -Se multiplican los factores comunes a todos, elevados siempre al menor exponente. (B) Ejemplos:

mcd(36,24)=233=83=24 mcd(120,252)=223=43=12 mcd(6,12,15)=3

72=2332 120=2335 6=23

24=233 252=22327 12=223

15=35

mcd(72,24)=233=83=24 mcd(49,120)=1 mcd(9,18,21)=22=4

72=2332 49=172 8=23

24=233 120=12335 12=223

28=227 (C) Algoritmo de Euclides: Es otro mtodo que tambin sirve para el clculo del mximo comn divisor pero nicamente de dos nmeros. Consiste en: -Se divide el n mayor entre el menor. Si da de resto 0, el mcd es el n menor. -Si no da de resto 0, se divide el n menor entre el resto de la divisin anterior.

-Y as sucesivamente hasta que el resto sea 0, en cuyo caso el mcd es el divisor de la ltima divisin.

(D) Ejemplos:

60 45 648 300 30 5 384 246 30 18 15 1 48 2 0 6 138 1 12 1

45 15 300 48 mcd(30,5)=5 246 138 18 12 0 3 12 6 108 1 6 1

mcd(60,45)=15 48 12 138 108 12 6 0 4 30 1 0 2 mcd(648,300)=12 108 30 18 3

mcd(384,246)=6



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(E) Ejercicios:

MCD SOL. MCD SOL. MCD SOL.

mcd(2,6) 2 mcd(2,5) 1 mcd(9,12) 3

mcd(35,9) 1 mcd(3,15) 3 mcd(12,16) 4

mcd(24,36) 12 mcd(56,84) 28 mcd(40,84) 8

mcd(60,18) 6 mcd(18,78) 6 mcd(15,25) 5

mcd(25,24) 1 mcd(9,36) 9 mcd(27,10) 1

mcd(16,54) 2 mcd(35,26) 1 mcd(25,64) 1

mcd(9,32) 1 mcd(18,54) 18 mcd(13,26) 13

mcd(14,21) 7 mcd(20,30) 10 mcd(100,550) 50

mcd(480,100) 20 mcd(675,336) 3 mcd(450,180) 90

mcd(4,6,8) 2 mcd(3,14,15) 1 mcd(14,21,35) 7

mcd(5,10,55) 5 mcd(6,30,48) 6 mcd(8,32,52) 4

mcd(60,18,15) 3 mcd(15,54,126) 3 mcd(25,15,50) 5

mcd(1155,1925,70) 35 mcd(22,121,3473) 11 mcd(18,36,96,144) 6 1.12. Mnimo comn mltiplo de nmeros naturales (mcm). (A) Un procedimiento para el clculo del mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros consiste: -Se descomponen los nmeros en factores primos.

-Se multiplican los factores comunes a todos y los no comunes, elevados siempre al mayor exponente.

(B) Ejemplos:

mcm(4,10)=225=45=20 mcm(15,25)=352=325=75 mcm(6,12,15)= 2235=60

4=22 15=35 6=23

10=25 25=52 12=223

15=35

mcm(72,24)=2332=89=72 mcm(120,252)=233257=2520 mcm(9,18,21)=2327=126

72=2332 120=2335 9=32

24=233 252=22327 18=232

21=37



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(C) Ejercicios:

MCM SOL. MCM SOL. MCM SOL.

mcm(2,6) 6 mcm(2,5) 10 mcm(9,12) 36

mcm(35,9) 315 mcm(3,15) 15 mcm(12,16) 48

mcm(24,36) 72 mcm(56,84) 168 mcm(40,84) 840

mcm(60,18) 180 mcm(18,78) 234 mcm(15,25) 75

mcm(25,24) 600 mcm(9,36) 36 mcm(27,10) 270

mcm(16,54) 432 mcm(35,26) 910 mcm(25,64) 1600

mcm(9,32) 288 mcm(18,54) 54 mcm(13,26) 26

mcm(14,21) 42 mcm(20,30) 60 mcm(100,550) 1100

mcm(480,100) 2400 mcm(225,90) 450 mcm(450,180) 900

mcm(4,6,8) 24 mcm(3,14,15) 210 mcm(14,21,35) 210

mcm(5,10,55) 110 mcm(6,30,48) 240 mcm(8,32,52) 416

mcm(2,3,4,6) 12 mcm(4,8,12,15) 120 mcm(3,9,12,20,21) 1260

mcm(234,120,45) 4680 mcm(60,126,108) 3780 mcm(12,18,35,225) 6300

(D) Propiedad: Existe una propiedad importante que relaciona los dos ltimos conceptos que hemos trabajado. Si multiplicamos el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de dos nmeros, da lo mismo que si multiplicamos ambos nmeros:

( , ) ( , ) =mcd a b mcm a b a b Por ejemplo:

( , ) ( , ) ( , )

( , ) mcd

mcd mcmmcm

= = = = = = = = = 2

2

30 45 3 5 1545 3 530 45 1350 15 90 30 45 30 45

30 2 3 5 30 45 2 3 5 90 1.13. Problemas de divisibilidad. (A) Ejemplos: * La clase de 1 A tiene 32 alumnos y la de 1 B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo nmero de participantes, de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos. Cuntos alumnos, como mximo, podrn entrar en cada equipo? a) Comprensin del enunciado: Lee atentamente el enunciado y completa nmero de alumnos de 1 A = ..... nmero de alumnos de 1 B = ...... Dato desconocido = ...... b) Planificacin de la resolucin: Para resolver el problema, hemos de buscar el nmero ms grande que divide a 32 y 36. Calcularemos por lo tanto el ......



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c) Ejecucin del plan de resolucin: Descomponer en factores primos los nmeros 32 y 36 y calcularemos el mcd(32,36)=22=4. d) Revisin del resultado y el proceso seguido: Calcula el nmero de equipos que se pueden formar en cada clase. Para hacerlo divide 32 y 36 entre el mcd. Las divisiones han de ser exactas. El resultado obtenido, te parece razonable? * El ebanista ahorrador:

Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo ms grandes posible. a) Cul debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) Cuntos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?

Solucin a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y adems debe ser el mayor divisor comn; luego hay que calcular el mcd(256, 96)=25=32.

Por tanto, la longitud del lado del cuadrado es de 32 cm. b) rea de la plancha de madera 256 96 = 24576 cm2 rea de uno de los cuadrados 32 32 = 1024 cm2

As pues, de la plancha de madera se obtienen 24576 : 1024 = 24 cuadrados. * Una cita en Sevilla:

Un viajante va a Sevilla cada 18 das, otro va a Sevilla cada 15 das y un tercero va a Sevilla cada 8 das. Hoy da 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. Dentro de cuntos das, como mnimo, volvern a coincidir en Sevilla?

Solucin a) El nmero de das que han de transcurrir como mnimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Sevilla tiene que ser un mltiplo de 18, de 15 y de 8, y adems tiene que ser el menor mltiplo comn; luego hay que calcular el mcm(18,15,8)=23325 = 360.

Por tanto, los tres viajantes volvern a coincidir en Sevilla dentro de 360 das.

(B) Problemas: 1. Andrs tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningn botn. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningn botn. El nmero de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Cuntos botones como mnimo hay en cada caja? 2. Mara y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor nmero de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) Cuntos collares iguales pueden hacer? b) Qu nmero de bolas de cada color tendr cada collar?



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3. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, est dividido en parcelas cuadradas iguales. El rea de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. Cul es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? 4. Teresa tiene un reloj que da una seal cada 60 minutos, otro reloj que da una seal cada 150 minutos y un tercero que da una seal cada 360 minutos. A las 9 de la maana los tres relojes han coincidido en dar la seal. a) Cuntas horas, como mnimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) A qu hora volvern a dar la seal otra vez juntos? 5. Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. Cuntos cubos, como mnimo, necesita de cada color? 6. Juan tiene que poner un rodapi de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listn de madera que cabe en un nmero exacto de veces en cada pared. Cul ser la longitud de este listn? 7. Tres aviones de lnea regular salen del aeropuerto cada 3 das, cada 12 das y cada 18 das. Cada cuntos das saldrn los tres aviones a la vez? 8. Queremos cubrir el suelo de una habitacin rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su superficie. 9. Tres amigos se entrenan en una pista de atletismo circular. El primero tarda 60 s en dar una vuelta, el segundo 84 s y el tercero 65 s. Cada cunto tiempo vuelven a coincidir en la lnea de salida? 10. Queremos dividir dos piezas de tela de 120 m y 132 m en trozos de igual longitud. Cul es la mxima longitud que pueden tener los trozos? Cuntos trozos obtendremos de cada trozo de tela? 11. Tres barras de hierro miden 810 mm, 72 cm y 6 dm. Queremos dividirlas en trozos de igual longitud y lo ms grande posible. Calcula la longitud de cada trozo y el nmero de trozos que obtendremos de cada barra.



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12. Marta y su padre caminan juntos. Parten de su casa y cuando Marta da un paso avanza 22 cm, mientras que su padre avanza 60 cm. Si los dos han dado el primer paso a la vez, calcula el espacio recorrido hasta que vuelvan a coincidir dando el paso a la vez. 13. Dos lneas de autobuses urbanos coinciden en la misma parada a las 8 de la maana. Si su frecuencia de paso es de 10 y 12 minutos, cada cunto tiempo volvern a coincidir en la parada? Cuntas veces lo harn entre las 8 y las 12 de la maana? 14. Jess tiene dos cuerdas, una de 30 m y otra de 40 m. Quiere cortar las dos en trozos iguales lo ms grandes posibles. Cuntos metros medir cada trozo? 15. Eva tiene 20 bombones de naranja, 30 de limn y 40 de fresa. Quiere ponerlos en bolsas de tal manera que en cada una haya el mismo nmero de bombones de cada clase. Cuntas bolsas necesitar? Cuntos bombones de cada tipo pondr en cada bolsa? 16. Un da que iba por la calle, Jos Lus se dedic a contar todas las ruedas que vea. Al final cont 318 ruedas. Si no vio ningn camin ni vehculo grande, ni cont las de repuesto, son todas de coche? Por qu? 17. Una caja contiene cierto nmero de bombones, sin sobrepasar los 35. Si hacemos grupos de 4 no sobra ninguno, y si los grupos son de 5 tampoco sobra ninguno. Cuntos bombones tiene la caja? 18. Tengo un reloj que es un desastre ya que atrasa 15 minutos cada da. Cuando me fui de vacaciones lo puse en hora y, al volver, marcaba de nuevo la hora correcta. Cuntos das estuve de vacaciones? 19. Cules de los siguientes objetos podras comprar utilizando slo monedas de 5 cntimos? Lpiz: 0,60 ; Goma: 0,23 ; Bolgrafo: 0,95 ; Libro: 12,3 Cartera: 125 ; Folios: 3,24 ; Tpex: 1,27 ; Rotulador: 0,7 20. Ftima ha invitado a 10 amigos a su fiesta de cumpleaos. Despus de merendar, propone un acertijo con premio: se llevar la caja de bombones quien averige, sin abrirla, cuntos bombones contiene. Para ello os doy tres pistas: hay menos de cinco docenas; estn ordenados en filas de nueve y si se repartieran entre los presentes, sobrara uno. Cuntos bombones tiene la caja?



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1.14. BIBLIOGRAFA. Para la elaboracin de estos apuntes, se ha utilizado como material: 1 Mayoritariamente, las explicaciones y ejercicios propuestos en clase por los profesores del Departamento de Matemticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada). 2 Para desarrollar y completar algunos temas, apuntes y ejercicios obtenidos de: -Internet: (A) http://www.marin.esc.edu.ar/dock1/acquaviva/ Silvina L. Acquaviva (B) http://www.elosiodelosantos.com/ Sergio de los Santos-Francisco Osio (C) http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ Juan del Pozo Baselga (D) http://platea.pntic.mec.es/jescuder/ Jess Escudero Martn (E) http://www.fisicanet.com/ Ricardo Santiago Netto

(F) http://www.imaginativa.cl/~profesores Nelson Lillo Teran -Libros de texto: (A) Anzola, M. y otros: Nmeros 1, Ediciones SM, 1997. (B) Anzola, M. y otros: Nmeros 2, Ediciones SM, 1998. (C) Anzola, M. y otros: Algoritmo 2000, Ediciones SM, 1998. (D) Anzola, M. y otros: Gauss, Ediciones SM, 2002. (E) Guasch, M. y otros: Matemticas 1, Guadiel-Grupo Edeb, 1996. (F) Fuster, M. y otros: Matemticas 2, Guadiel-Grupo Edeb, 1997. (G) Domnech, A. y otros: Matemticas 3, Guadiel-Grupo Edeb, 1995. (H) Fuster, M. y otros: Matemticas 4, Guadiel-Grupo Edeb, 1996. (I) Berenguer, L. y otros: Construir las Matemticas 1, Proyecto Sur, 1998. (J) Berenguer, L. y otros: Construir las Matemticas 2, Proyecto Sur, 1997. (K) Berenguer, L. y otros: Construir las Matemticas 3, Proyecto Sur, 1998. (L) Berenguer, L. y otros: Construir las Matemticas 4, Proyecto Sur, 1999. (M) Colera, J. y otros: Matemticas 1 Andaluca, Grupo Anaya, 1997 y 2000. (N) Colera, J. y otros: Matemticas 2 Andaluca, Grupo Anaya, 1997 y 2000. () Colera, J. y otros: Matemticas 3 Andaluca, Grupo Anaya, 1995 y 1998. (O) Colera, J. y otros: Matemticas 4A Andaluca, Grupo Anaya, 1995 y 1998. (P) Colera, J. y otros: Matemticas 4B Andaluca, Grupo Anaya, 1995 y 1998.

1 - numeros naturales

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