1 richiami di teoria dei processi di diffusione. quantoelettrodinamica. diffusione elastica...

1

Richiami di teoria dei processi di diffusione.QuantoElettroDinamica.

Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone.

Capitolo I

Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap.5, 6, e 8- D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987 cap.6

2

QED : brevi richiami E’ il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge (basata sul gruppo abeliano U1): descrive l’ interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks… la cui equazione del moto ‘libera’ e’ data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico.

0)( mi

matrici di Dirac:

0

0

k

kk

10

010

01

101

0

02 i

i

10

013[ k matrici di Pauli: ]

inserendo nell’ eq. del moto la “derivata covariante”:

eAiDi

(1.1)

(1.2)

L’ interazione e.m. elettrone-fotone e’ introdotta nell’ eq. di Diracper una particelle libera:

3

Richiami di QED (II)

L’ eq. del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. e’ quindi :

0])([ meAi

dove A = ( , A) e’ il quadri-potenziale del campo e.m. :

t

AE

AB

(ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una “trasformazione di gauge” del potenziale:

t

tx

txAA

),(

),(

)(xAA

con (x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ;

(1.3)

(1.5)

(1.4)

4

Richiami di QED

La forma dell’ eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere invariante la descrizione dell’ interazione rispetto a una trasformazione “locale” (=dipendente dalle coordinate) di gauge (x), data dalla (1.4) per il campo A(x) e, contestualmente,da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore dell’ elettrone:

)()( )( xex xie (1.5’)

[ gli osservabili fisici, come la sezione d’urto di diffusione derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3), sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5’) ]

E’ interessante ricordare come gia’ in meccanica quantistica nonrelativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti ‘naturalmente’ alla descrizione dell’ interazione e.m. tra particellecariche e campi (forza di Lorentz)

5

Richiami di QED

la prescrizione di derivata covariante (1.2) diviene:

che in meccanica quantistica (non relativistica), dall’Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico x:

porta all’ eq. di Schroedinger:

[ Nel formalismo operatoriale:

ip

tiE

(1.6)

em

pUEH pot 2

2

tie

m

2

2

1

Aepp

(1.2’) eAiDi

eAepm

Hem

pH 2

2

)(2

1

2

L’ hamiltoniana viene modificata:

La lagrangiana associata all ‘ hamiltoniana e’: (1.7) eAve

m

pL

2

2

(v= velocita’ della particella)

(1.8)

( ricordiamo che : ),( iiii i

xxLxx

LH

, con: )dt

dxx ii

L’ eq. del moto di Eulero-Lagrange: 0

ii x

L

dt

d

x

L

applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con l’eq. del moto di una particella carica sotto l’ azione della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)):

))(( iii BvEe

dt

xdm

per una completa discussione, cfr.:

Goldstein, ”Meccanica Classica” ]

6

Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark

Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichipuntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e-- e-, e q e q (q=quark)

Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, laampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (Ef,pf) ) e’ data da:

xdxxVxT ifif4)()()( (1.9)

dove V(x) e’ il potenziale che perturba l’ hamiltoniana di particellalibera Ho : H = H0 + Ve si e’ introdotto lo spinore coniugato 0 (la quantita’ e’ definita positiva e ha il significato di una densita’ di probabilita’)

0

7


)()( xVAemi

In QED, per la quale l’eq. del moto e’:

(1.3’)

il potenziale e’: AexV )(

ossia:

xdxAxj

xdxxAxeT ifif

4

4

)()(

)()()(

)()()( xxexj if

dove si e’ introdotta la “corrente elettro-magnetica”:

(1.10)

(1.11)

i(x) f (x)e-

e-

A(x)

8


[ che abbia il significato fisico di densita’di 4-corrente j=(,j) deriva dal fatto che vale l’eq. dicontinuita’: , come si puo’ verificare dall’eq. diDirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato;cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ]

)()()( xxexj if

0 j

Nello scattering e-quark, il campo A e’il 4-potenziale del campo e.m. associatoalla presenza del quark: la ‘sorgente’ del campo e’la corrente e.m. del quark:

)()()( xxexj qqqquark

i(x) f (x)e-e-

A(x)

q(x)eeeq 3

1,

3

2

kk’

p

p’

4-impulsoiniziale dell’elettr.

4-impulsoiniziale del quark 4-impulso finale

(vedremo successivamente come gliesperimenti giustificano questa assegnazione)

9


La relazione tra il campo e la sua sorgente jquark e’ datadall’ eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz: ): 0 A

)()(2

22 xjA

tquark

(1.12) (c = 1)

Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jquark la soluzione del campo q che viene dalla eq. libera di Dirac:

ipxqq epux )()( )( xpEtxppx

ossia: xppiqqqqqq

quark epupuexxexj )'()()'()()()( = q (4-momentotrasferito nel processo)Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k’+p’

implica: q = p’-p = k-k’

10


Da tale soluzione libera, si vede che:)()( 2

2

22 xjqj

tquarkquark

)()/( 22

22 xjqj

tquarkquark

e confrontando con (1.12): 2/)()( qxjxA quark

L’ ampiezza di transizione , al primo ordine perturbativo, e’ allora:

xdq

xjxjxdxAxjT

quark

if4

24 )()(

)()(

11


Esprimendo anche la corrente dell’ elettrone in termini di soluzione dell’ eq. libera di Dirac: ikx

e ekux )()(

)()()( xxexj

si ha:

if

qqeeq

xppiqqq

xkkiee

quark

if

Mpkpk

pupuq

kukupkpkee

xdepupueq

ekukue

xdq

xjxjT

)''()2(

)()'(1

)()'()''()2(

)()'(1

)()'(

)()(

44

244

4)'(2

)'(

42

dove si e’ definito l’ elemento di matrice di transizione:

)]()'()][()'([2

pupukukuq

eeM qqee

qif

(1.13)

12

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

In un processo di diffusione, la quantita’ osservabile sperimentalmente e’ la sezione d’urto differenziale per avere, ad esempio, l’elettrone diffuso ad un certo angolo solido d=2sindessa e’ legata all’ elemento di matrice Mif dalla “regola d’oro” di Fermi[cfr. Perkins, app. E] :

dE

dNMd if

22

No di stati finali disponibili

che competono all’ energia Edello scattering:

3

2

3

2

3

3 sin

h

dpdp

h

dddpp

h

pddN

d

dE

dp

h

pMd if 3

222

dE

dppM

d

dif 4

22

2)2(

1

p

(frequenza normalizzata ad un flusso unitario di particelle incidenti)

13


L’ espressione data per d/d non e’ Lorentz-invariante; la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazionedelle funzioni d’onda spinoriali e, quark che compaiono in Mif. Se nel rest-frame della particella la densita’ di probabilita’ e’:

1 dV

in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione) in cui l’ energia della particella e’ E = m, il volume viene contratto:

E

mdV

dVdVdV

'

la densita’ osservata diviene:(ossia cresce di un fattore E/m)

m

EdV

m

EdV '

La sezione d’urto va allora normalizzata per un fattore per ognuna delle funzioni d’onda che compaiono nell’interazione.

Em /

14


dE

dpp

EEEE

mmM

d

d

qeqe

qeif

222

2

2 '')2(

1

In genere, lo stato finale osservato e’ quello che si ottiene mediando sugli statiiniziali di spin dell’ elettrone e del quark; in definitiva:

dE

dpp

EEEE

mmM

d

d

qeqe

qeif

222

2

2 '')2(

1

(1.14)

[cfr. Perkins, app.F e G ]

Nel CM dello scattering, il momento dell’ elettrone diffuso e’ p=E/22

1

dE

dp

s

mmM

d

d qeif222

2)2(

1

(1.14’)dove si e’ introdotta lavariabile di Mandelstam:

22)( CMqe Epps [ esercizio 1.1 ]

( in unita’ naturali: )1

[ trascurando le masse: p2/EeEq=1, EeEq=E’eE’q=ECM2/4=s/4, ECM=2Ee]

15


Inseriamo ora nell’ espressione generale (1.14) per la sezione d’urto l’elementodi matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando l’algebra dellematrici di Dirac [ la cosa e’ laboriosa… per una discussione completa si vedanoPerkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] :

]')')('())(''[(2 24

22

222

kkmkppkkppkq

ee

Mmm

q

q

ifqe

(1.15)e-

e-kk’

p

p’

4-impulsoiniziale dell’elettr.

quarkdove si e’ trascurata la massa me

(ma non quella del quark)

16


L’ espressione (1.15) e’ Lorentz-invariante; e’ interessante esprimerla nel sistema del laboratorio, nel quale viene misurato l’ angolo di scattering dell’ elettrone diffuso:

k=(E,k), k’ = (E’, k’), p = (M,0) (M=mq)

Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k’+p’ [ es.1.3]:

2/sin

22/cos'2 2

2

22

4

22222

M

qMEE

q

eeMmm

q

spinifqe

dove il quadrato del momento trasferito e’ esprimibile in funzione dell’angolo

di scattering nel laboratorio [ es.1.2]: :

)2/(sin'4)'( 222 EEkkq e-k

k’

M)0( em

(1.15’)

17


Inserendo (1.15’) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di QED di un elettrone su una targhetta ‘point-like’di spin ½ e massa M:

)2/(sin'2

)2/(cos

)2/(sin'2

)2/(cos)2/(sin4

)/'(

42

2

42

242

22

M

EE

d

d

M

EE

E

EEe

d

d

Rutherford

q

dove si e’ introdotta la costante di struttura fine: 4/2e

e la carica del quark e’ ora espressa in unita’ di carica dell’elettrone:Nell’ ultima espressione di (1.16), si e’ di nuovo usata la

3

1,

3

2qe

(1.16)

)2/(sin2

)2/(cos)2/(sin4

)/'(

)2/(sin2

)2/(cos)/'('4

22

22

42

22

22

22

4

222

M

q

E

EEe

M

q

q

EEEe

d

d

q

q

(1.16’)

)2/(sin'4 22 EEq

( “sezione d’urto di Mott” )

In definitiva:

(sezione d’urto “classica” per lo scattering coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)

18


E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,la sezione d’ urto e’ solo funzione dell’ angolo di scattering , essendo [vedi es.1.4]:

)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE

Infine, e’ utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in formaLorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:

pkkppkpku

qkkt

pkkppkpks

'2'2)'()'(

)'(

''22)''()(

22

22

22

k

pp’

k’

kk’

pe quark

2

222222

2

22

4

22222

2442

)]')('())(''[(2

t

useeus

t

ee

kppkkppkq

eeMmm

qq

q

spinifqe

Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezzadi transizione (trascurando la massa del quark):

19


2

2222

2

222

2 8)2(

1

4)2(

1

t

us

s

ee

s

Mmm

d

d qspinifqe

Inserendo nella (1.14):

si ha :

2

2222

2

2222

2 22)4(

1

t

us

s

e

t

us

s

ee

d

d qq

eqeq

4/2e

(1.16’’)

3

1,

3

2qe

(nell’ ultima espressione la carica del quark si intende espressain unita’ di carica elementare: )

Utilizzeremo questa espressione nella discussione delprocesso di ‘Deep Inelastic Scattering” elettrone-nucleone.

20

La costante di struttura fine

La costante fondamentale dell’ interazione e.m.: 4/2e

detta “costante di struttura fine” (si misura con grande precisione osservandola struttura fine dei livelli energetici atomici) e’ espressa in unita naturali nel sistema di unita’ di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss)e’ espressa nella forma:

(ossia 0=1 ; nel S.I. invece: ) , o equivalentemente lalegge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e’:

La costante e’ adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita’naturali ] , come rapporto tra una sezione d’ urto ( dimensione: [] = m2)e l’ inverso del quadrato di un’ energia ( [1/s] = J-2 ) ; queste quantita’sono tra loro omogenee, essendo: [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’ espressione di e’:

)1( c

E

0/ E

22 4/ reF

ce 02 4/

21

La costante di struttura fine

Infatti:mJmN

e

2

0

2

(dalla legge di Coulomb)

mJsmsJc 1

e quindi la combinazione e’ adimensionale.

Numericamente:

ce 02 4/

137

11073,0

10997,21005,11085,84

)106.1( 283412

219

22

Scattering elastico elettrone-nucleone

Il processo di scattering elettromagnetico epep non e’ un processo point-like (come eq eq o e e)

La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio e’data dalla (1.16):

)2/(sin

2)2/(cos 2

2

22

M

q

d

d

d

d

Rutherford

va modificata. La corrente adronica viene modificata: e-

e-kk’

p

p’protone

)()'( pupuej qqqquark

)()(2

)()'( 22

21 puqqF

M

ikqFpuej pp

hadr

(1.17)

con: 2/)( ied M e’ ora la massa del nucleone.

23

Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e’ il piu’generale 4-vettore che puo’ essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q=p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jhadr deveessere conservata: , ossia qj = 0.

[ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ]

Le funzioni F1(q2), F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura dell’ adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra’discusso in seguito.

Notiamo che il fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e’ il momento magnetico del nucleone ( k e’ il “momento magnetico anomalo”: misura il rapporto trail momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-likedi spin ½ come l’ elettrone).

Scattering elastico e-N

0 j

24


xdxAxjTif4)()(

In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) trauna corrente e il 4-potenziale:

si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio’ discende dallaeguaglianza (“decomposizione di Gordon” della corrente):

)()'()'()'(2

)()'( puppipppuM

epupuej ifif (1.18)

(1.10)

e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) da’, nel limite nonrelativistico:

xdBM

exdAppi

M

eifif

3)2()2(4

2)'(

2

dove (2) e’ uno spinore bidimensionale, sono le matrici diPauli; il termine a destra da’ l’interazione B di una particella di momentomagnetico =e/2M col campo magnetico B

),,( 321

[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

25


)2/(tan)()()2/(cos

)2/(sin)(2

)2/(cos4

2222

.

22212

222

22

222

1.

qBqAd

d

kFFM

qF

M

qkF

d

d

d

d

Ruth

Ruth

(1.19)

dove ora M e’ la massa del nucleone.

hadrelettrif j

qjM

2

1(ricordiamo che: ))]()'([ kukuej ee

elettr

la sezione d’urto che si ottiene e’ data dalla “formula di Rosenbluth”:

Se si inserisce jhadr nell’ elemento di matrice (1.13):

26


La formula di Rosenbluth viene riscritta:

)2/(tan

24/14)2/(cos 22

2

2

22

22

22

2

.

M

ME

Ruth

GM

q

Mq

GMq

G

d

d

d

d(1.19’)

)(4

)()(

)()()(

222

22

12

22

21

2

qFM

kqqFqG

qkFqFqG

E

M

che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magneticoed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone.

(1.20)

E’ utile introdurre le combinazioni lineari:

27

Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, ilmomento trasferito e’ determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’ elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:


)2/(sin'4)'( 222 EEkkq

Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:

)2/(cos/ 2

.

Ruthd

d

d

d

)2/(tan2

[ da: Perkins fig.6.4]

la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).

e-E

E’

M

28

Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione,da questi ultimi e’ possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:


epepededenen d

d

d

d

d

d

e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone. GE,M

p,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]

[da: Burkam-Jobes Fig.12.8]

GMp

GEp

GMn/(1.91)

GEn

1.0

2.0

2.79

29


Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:

0)(

)()(

)/1(

1)(

2

22

2222

qG

qGqG

mqqG

nE

n

nM

p

pMp

E

dove il fit ai dati sperimentali da’: m2= 0.71 GeV2

e le quantita’:)0( 2 qG p

Mp )0( 2 qGnMn

misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:

NNp m

e

279.279.2

Nn 91.1

1141015.32

JMevm

e

NN

[

e’ il ‘magnetone nucleare’, momentomagnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il

“magnetone di Bhor” vale:1111079.51836

2 JMevm

m

eN

eB

(1.21)

(1.22)

30

Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magneticodel nucleone, sono cioe’ in relazione con la sua distribuzione di densita’ di carica elettrica e di momento magnetico . Osserviamo infatti che dalla (1.20):


)()( 210

22 qFqGqE

e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2 0 :

)()2/(cos 222

.

qGd

d

d

dE

Ruthepep

(1.23)

xdxAxjTif4)()(

A bassi q2( basse velocita’), l’ elettrone ‘vede’ solo il potenzialeelettrostatico (la parte magnetica e’ trascurabile), ossia nell’ ampiezzadi scattering

possiamo porre: con)0),(( xA )(),()( rtrx

31


rdredtekukue

xdxekukuexdxxjT

rkkitEEi

xkkiif

3)'()'(

0

4)'(0

40

)()()'(

)()()'()()(

(x) non dipende dal tempo

)'(2 EE

rdreEEkukueT rqiif

3

0 )()'(2)()'(

Utilizzando l’ integrazione per parti:

rderrderde rqirqirqi 323232 )(

rderq rqi 32 )( 0

rqie

e l’ eq. di Poisson per il potenziale: )(2 r ( e’ la densita’

di carica elettrica)

kkq

'

dove:

32


rderq

rder rqirqi

3

2

3 )(1

)(

Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:

if

rqiif MEErderEE

q

kukueT )'(2)()'(2

)()'( 3

20

con: rderq

kukueM rqi

if

3

20 )(

)()'(

Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:

dE

dppM

d

dif 4

22

2)2(

1

si ottiene:2

32

.

)()2/(cos

rdere

d

d

d

d rqi

Ruthepep

(1.24)

33


e confrontando con (1.23) si vede che:

rdereqG rqiE

32 )()(

ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e’ la trasformata di Fourierdella densita’ di carica elettrica e(r) del nucleone. Sperimentalmente, abbiamo visto che :

2222

)/1(

1)(

mqqG p

E

Con m2=0.71 GeV2; questo risultato puo’ essere direttamente messo inrelazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:(la costante di normalizzazione e’ A=m3/8, imponendo: )

mrAerr )()(

(1.25)

Dalla (1.25) si ha:

0 0

2cos32 sin2)()(r

iqrrqiE ddrredrrdereqG

drdr 2sin2-dcos

14)( 2drrr

34


0

2

0

21

10

22

)(2

)(2)(2)(

r

iqriqr

r

iqr

iqr

ziqrx

r

E

driqr

eerr

drdzeiqr

rrdrdxerrqG

In definitiva, inserendo si ottiene:mrAer )(

222222222

0

)(

0

)(2

)/1(

1

)(

42

)(

1

)(

12

2)(

mqqim

iqm

iq

A

iqmiqmiq

A

rdrerdreiq

AqG

r

riqm

r

riqmE

dove per brevita’ negli integrali si e’ sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;nell’ espressione

2222

)/1(

1)(

mqqG p

E

con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito

q=(k’-k): q2 -2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.

qq

x

coscon:

8/3mA

35

Il valore m2=0.71 GeV2 e’ quindi legato al “raggio” R della distribuzionedi carica:


Rrmr AeAer /)(

fmGeVm

R 235.071.0

112

(vedi Es. 1.5)

Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico delprotone e’ dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.Piu’ precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzionedi carica e’:

24

3

43

222

12

2

48

4)(

mdrre

m

drrem

drrrrr

mr

mr

fmm

rrrms 80.0122

SLAC,Hofstadter

e collab.=(4!) / m5

36

Es.1.1: variabile s di Mandelstam

2222

22222

4)cos(2

)(22)(

CM

qeqeqeqeqeqe

Eppp

ppEEmmpppppps

e-e-

pepe’

pq

pq’

per me, mq << E

essendo ECM=2p

In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)

mEs e2 mEE eCM 2Ad esempio, negli esperimenti a SLAC:

Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM 6 GeV

Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece: ECM = 2 Ebeam

(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.9 TeV );

con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV ECM 320 GeV )

212 EEECM

37

)2/(sin'4)'( 222 EEkkq

Es.1.2: momento trasferito e angolo di scattering

Dimostrare che:

e-E’

ME

)2/(sin'4)cos1('2

'2')'(2

2222

EEEE

kkkkkkq

angolo di scatteringnel laboratorio )2/(sin)cos1(

2

1 2

Si ha:

38

Es.1.3: formula di Mott

2/sin

22/cos'2]')')('())(''[( 2

2

2222

M

qEEMkkmkppkkppkA q

Dimostrare che:

Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’= p+q = p + k - k’ , si ha:

2'2)'(

2

2))('(2)'(

2

2]

2)['()]('

2[

2]')['()]('''[

')]'()['())]('('[

222

2

22

2

22

22

2222

2

qMEEMEEM

q

qMkppkpkkp

q

qMkp

qpkkppk

q

qMkpkkkpkkppkkkk

kkMpkkkpkkppkkk

0 0

q2=(k-k’)2 -2kk’

Nel laboratorio:p=( M, 0)k=( E , k)k’=(E’, k’)

39

Es.1.3: formula di Mott (cont.)

2/sin12/sin2

'2

'41

'22

)'('2

2'2)'(

2

222

22

2

2

22

222

2

M

qEEM

EE

q

EEM

EEMqEEM

qMEEMEEM

qA

Allora:

)2/(sin'4 22 EEq [es. 1.2]

2/sin'2

)'( 2 EE

EEMMEEpkkqp

EEq

)'(2)'(22

)2/(sin'4 22

'ppq 0'2 222 pkppq kpq 22 [si osservi:

0

]In definitiva:

2/sin

22/cos'2 2

2

222

M

qEEMA

40

Es.1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p

Dimostrare:)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE

MEEpkkqp

EEq

)'(2)'(22

)2/(sin'4 22

Abbiamo visto che [es. 1.3]:

2/sin'2

)'( 2 EE

EEM

Allora:2/sin

'2' 2

M

EEEE 2/sin

21

'2

M

E

E

E

2/sin2

1

1'

2 MEE

E

Esperimento a SLAC:

E= 401 MeV, =75o

M=939 MeV(targhetta di idrogeno) E’ = 305 MeV[Hofstadter e collab.,

1956]

41

Es.1.5: raggio del nucleone Ricordiamo che in “unita’ naturali”:

1/103

11005,18

34

smc

sJ

sm

Js8

134

1033,01

1095,01

inoltre: JGeV 10106,11 1101 106,11 GeVJ

1103488 106,11095,01033,01033,01 GeVsmPertanto:

1151007,51 GeVm

mGeV 151 1007,5

1 fmGeV 197,01

Allora: fmGeVGeVm

R 235.071.0

1

71.0

11 1

2

fmm

rrrms 80.0122 Come gia’ discusso:

[nota: un altro utile fattore di conversione e’ il seguente: infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]

mbGeV 388,02

42

Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford

LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione aStanford (California) a meta’ degli anni ’50:

Spettrometro supiattaforma rotante

contatore dielettroni

[R.Taylor,J.Friedman,W.KendallLectures for Nobel Prize, 1990;Rev.Mod.Phys63 (1991),573]

43

Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)

Alla fine degli anni ’60, e’ entrato in funzione l’ acceleratoreLineare lungo 2 Miglia: Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 e’ stato notevolmente esteso - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale)

Furono realizzati3 spettrometridedicati per elettroni da 1.6,8 e 20 GeV

44

Gli esperimenti a SLAC

Spettrometri a piccolaaccettanza angolare (d 1 msterad)posizionabili a diversiangoli di diffusione(1,5 - 250 per E=20 GeV)

45

Gli esperimenti a SLAC

separatore e/

1 GeV2

Esperimenti precedenti:

46

Gli esperimenti a SLAC (II)

Spettrometro da 20 GeV

Primo uso massicciodi computer nelcontrollo on-line…

1 richiami di teoria dei processi di diffusione. quantoelettrodinamica. diffusione elastica...

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moto e

hamiltoniana e

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