1

SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA

Si consideri il seguente scenario

1. Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale costante pari a U.

2. Una lastra infinitamente sottile è posizionata all’interno di tale moto in direzione parallela alla velocità U (0 angolo di incidenza).

La viscosità dovrebbe ritardare il flusso, così creando uno strato limit su entrambi i lati in maniera simmetrica. Il moto si assume laminare.

La teoria dello strato limite permette di calcolare l’attrito sulla piastra.

xy d

U

U

u

plate

2

Un moto a potenziale rettilineo e stazionario presenta pressione nulla ovunque

xy d

U

U

u

plate

Un moto a potenziale stazionario e rettilineo è descritto dalle seguenti relazioni

Secondo il terorema di Bernoulli applicato ai moti a potenziale, la pressione dinamica ppd è legata al campo di moto secondo

Dalle due ultime equazioni allora si ottiene

0y

v,Ux

u,Ux

const)vu(2

1p 22

pd

0y

p

x

p pdpd

3

xy d

U

U

u

plate

Le equazioni approssimate dello strato limite allora diventano:

0y

v

x

u

y

u

y

uv

x

uu

2

2

Uu,0v,0uy0y0y

Condizioni al contorno

0y

v

x

u

y

u

dx

dp1

y

uv

x

uu

2

2pds

4

Spessore nominale dello strato limite

xy d

U

U

u

plate

Nel seguito d indicherà lo spessore nominale dello strato limite, che è definito come il valore di y per il quale u = 0.99 U, cioè

U99.0)y,x(uy

d

x

y

u

U

u = 0.99 U

d

5

Variazione longitudinale dello strato limite

Si consideri una piastra lunga L. Basandosi sulle precedenti stime si può scrivere

oppure

dove C è una costante. Secondo il medesimo ragionamento lo spessore nominale dello strato limite fino ad una distanza x L dal bordo è pari

d UL,)(~

L2/1 ReRe

2/12/1

U

LCor

U

L~

d

d

2/12/1

U

xCor

U

x~

d

d

xy d

U

U

u

plateL

6

Soluzioni autosimiliSi supponga che la soluzione ha la proprietà che quando u/U è diagrammata in funzione di y/d (dove d(x) è lo spessore nominale dello strato limite) allora si ottiene una funzione universale, in cui non compare nessun’altra dipendenza da x. Tale soluzione è detta soluzione autosimile.

plate

xy d

U

U

uu

U

x1 x2

00

1

1u/U

y/dprofiles at x1 and x2

00

1

1u/U

y/dprofile at x1

profile at x2

Soluzione autosimile

Soluzione no autosimile

7

Per una soluzione autosimile del profilo di velocità si deve avere

dove g1 è una funzione universale, indipendente da x (posizione lungo la piastra). Poichè abbiamo ragione di credere

dove C è una costante, è possibile riscrivere la soluzione autosimile come

Si noti che è una variabile adimensionale.

d

)x(

yg

U

u1

2/12/1

U

xCor

U

x~

d

d

x

Uy

Ux

y,)(g

U

u2/1

8

Ma il nostro problema ammette soluzioni autosimili?

Il problema è:

Questo problema può essere ridotto usando le funzioni di corrente (u = /y, v = - /x) alla seguente equazione:

0y

v

x

u,

y

u

y

uv

x

uu

2

2

Uu,0v,0uy0y0y

3

3

2 yyxyxy

Uy

,0x

,0y

y0y0y

9

Metodo per tentativi

Noi vogliamo che la funzione di corrente fornisca la velocità u = /y soddisfacente la forma autosimile

Così possiamo ipotizzare che

dove f è un’altra funzione autosimile.

Ma questo non funziona. Infatti, usando l’apice per denotare la derivazione rispetto a , se = f() allora

Ma

x

Uy,)(g

U

u

)(f

y)(f

yu

x

U

y

Così che )(fxU

1

U

u

10

Cioè se assumiamo

Allora otteniamo

Da questo primo fallimento nella scelta è possibile capire qual’è la scelta giusta

)(f

)(fxU

1

U

u

non OK OK

11

Un altro tentativo

Se assumiano

Allora si ottiene

quindi

Così abbiamo trovato una forma di che soddisfa la condizione di autosimilitudine per la velocità! Dobbiamo ora risolvere la funzione f().

)(fxU

)(fUx

U)(fxU

y)(fxU

yu

)(f)(g,)(gU

u

12

Riduzione da equazione alle derivate parziali a equazione alle derivate ordinarie

Il nostro obiettivo è ridurre l’equazione alle derivate parziali

ad un equazione alle derivate ordinarie per f(), dove

Per fare ciò è necessario ricavare le seguenti relazioni

3

3

2 yyxyxy

Uy

,0x

,0y

y0y0y

x

Uy,)(fxU

x

U

y

x2

1x

Uy

2

1

x2/3

13

Il passo successivo è ricavare I termini dell’equazione

Cioè abbiamo bisogno di conoscere /y, 2/y2, 3/y3, /x and 2/yx, dove

Inoltre sappiamo già che:

Così

3

3

2 yyxyxy

x

UyfxU

,)(

x2

1

x,

x

U

y

)(fx

UU

y)(fU

y2

2

)(fUy

)(fx

UU

y)(f

x

UU

y3

3

14

Usando di nuovo

Risolviamo le due rimanenti derivate:

x

Uy,)(fxU

x2

1

x,

x

U

y

)(f)(fx

U

2

1

x)(fxU)(f

x

U

2

1)(fxU

xx

)y(fx

U

2

1

y)(f)(f)(f

x

U

2

1

)(f)(fx

U

2

1

yxyyx

2

15

Ricapitolando,

x

Uy,)(fxU

x2

1

x,

x

U

y

)(f)(fx

U

2

1

x

)y(fx

U

2

1

yx

2

)(fUy

)(fx

UU

y2

2

)(fx

UU

y3

3

16

Ora, sostituendo

in

si ottiene

che equivalente a scrivere

)(f)(fx

U

2

1

x

)y(fx

U

2

1

yx

2

)(fUy

)(fx

UU

y2

2

)(f

x

UU

y3

3

3

3

2 yyxyxy

fx

Uf)ff(

x

U

2

1ff

x

U

2

1 222

0fff2

17

Dalla Slide 9, le condizioni al contorno sono

Ma abbiamo già dimostrato che

Inoltre poichè = 0 quando y = 0, le condizioni al contorno si riducono a

Così si hanno tre condizioni al contorno per una equazione differenziale del terzo ordine

Condizini al contorno

)(f)(fx

U

2

1

x

)(fUy

0fff2

Uy

,0x

,0y

y0y0y

x

Uy

1)(f,0)0(f,0)0(f

18

Vi sono diversi modi per risolvere tale equazione numericamente

La soluzione è riportata sotto graficamente

SOLUZIONE

0fff2 1)(f,0)0(f,0)0(f

Blasius Solution, Laminar Boundary Layer

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f, f', f''

f()

f'()

f''()

19

Si ricorda che lo spessore nominale d è definito in modo che u = 0.99 U quando y = d. Poichè u = 0.99 U quando = 4.91 e = y[U/(x)]1/2, segue che la relazione per lo spessore nominale dello strato limite è

Oppure

In questo modo è stata determinata la costante C introdotta nella Slide 5.

Spessore nominale dello strato limite

91.4x

U

d

91.4C,U

xC

2/1

d

20

Si consideri una piastra di lunghezza L e larghezza b:

Lo sforzo tangenziale o (forza di trascinamento per unintà di superficie) agente su una faccia della piastra è dato

Poichè il campo di moto è assunto uniforme in direzione laterale, la forza totale di trascinamento (su una sola faccia) è data a

Il termine u/y = 2/y2 è dato dalla Slide 17 come

Calcolo della forza di trascinamento sulla piastra

L

b

0y0y

o y

u

y

u

L

0 ooD dybdAF

)(fx

UU

yy

u2

2

21

Lo sforzo di taglio o(x) sulla piastra è allora dato

Dalla soluzione di f si ottiene f’’(0) = 0.332, quindi

Così lo sforzo alla parete varia come x-1/2. Un esempio è riportato nella slide successiva per il caso U = 10 m/s, = 1x10-6 m2/s, L = 10 m e = 1000 kg/m3 (acqua).

)0(fx

UU)0(f

x

UUo

Ux

,)(332.0U x

2/1x2

o ReRe

22

Boundary Shear Stress

0

0.0001

0.0002

0.0003

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x (m)

o (

Pa)

x

UU332.0o

Si noti che o = per x = 0.

U = 0.04 m/sL = 0.1 m = 1.5x10-5 m2/s = 1.2 kg/m3

(aria)

23

In realtà la forza di trascinamento converge ad un valore finito:

Noi possiamo esprimere le medesime relazioni in forma adimensionaledefinendo un coefficiente adimensionale di attrito cD come

Quindi segue che

Per valori di U, L, E della precedente slide, e b = 0.05 m, si ottiene che ReL = 267, cD = 0.0407 e FD = 3.90x10-7 Pa.

2/1D

2/1L

0

2/1

L

0

2/1L

0 oD

bLUU664.0F

L2dxx

dxxUbU332.0dxbF

bLU

Fc

2D

D

UL

,)(664.0c 2/1D ReRe

24

La relazione

è riportata sotto.

UL

,)(664.0c 2/1D ReRe

Blasius Drag Law for Laminar Flow over Flat Plate

0.01

0.1

1

10 100 1000

ReL

c D

25

La soluzione qui presentata è la soluzione di Blasius-Prandtl per lo strato limite su una lastra piana. Maggiori dettagli sono forniti da:

Schlichting, H., 1968, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 748 p.

REFERENCE