1. teorema dalam suku banyak a. teorema sisa pada persamaan
TRANSCRIPT
1. Teorema Dalam Suku Banyak a. Teorema Sisa
Pada persamaan untuk pembagian linier jika 𝑥 = 𝑎 , maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 0 ℎ 𝑥 + 𝑠𝑓 𝑎 = 𝑠
Jika fungsi suku banyak 𝑓 𝑥 berderajat 𝑛 dibagi dengan 𝑥 − 𝑎 maka sisanya adalah
𝑠 = 𝑓 𝑎
b. Teorema Faktor I Pada pelajaran tentang pembagian bilangan bulat , !!= ℎ + !
!
Bilangan 𝑝 habis dibagi dengan 𝑞 jika sisanya 𝑠 = 0 !!
= ℎ + !!
!!
= ℎ + !!
!!
= ℎ𝑝 = 𝑞ℎ
Bilangan 𝑞 dan ℎ merupakan faktor dari bilangan 𝑝 Dengan prinsip yang sama dalam suku banyak jika 𝑠 = 𝑓 𝑎 = 0
𝒙− 𝒂 adalah faktor dari 𝒇 𝒙 jika dan hanya jika 𝒇 𝒂 = 𝟎 Jika 𝑥 − 1 adalah faktor dari 𝑓 𝑥 , maka 𝑓 1 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!!!𝑥!!! + 𝑎!!!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎!𝑓 1 = 𝑎! 1 ! + 𝑎!!! 1 !!! + 𝑎!!! 1 !!! +⋯+ 𝑎! 1 ! + 𝑎! 1 + 𝑎!0 = 𝑎! + 𝑎!!! + 𝑎!!! +⋯+ 𝑎! + 𝑎! + 𝑎!0 = 𝑎!!!!
!!!
Jika 𝑥 + 1 adalah faktor dari 𝑓 𝑥 , maka 𝑓 −1 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!!!𝑥!!! + 𝑎!!!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎!𝑓 1 = 𝑎! −1 ! + 𝑎!!! −1 !!! + 𝑎!!! −1 !!! +⋯+ 𝑎! −1 ! + 𝑎! −1 + 𝑎!0 = ±𝑎! ∓ 𝑎!!! ± 𝑎!!! ∓⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎!
Jika 𝑛 genap 𝑎! − 𝑎!!! + 𝑎!!! −⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎! = 0 Jika 𝑛 ganjil −𝑎! + 𝑎!!! − 𝑎!!! +⋯+ 𝑎! − 𝑎! + 𝑎! = 0
c. Teorema Faktor II
Jika 𝑟! dan 𝑟! adalah akar akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! , maka 𝑓 𝑥 = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!!!!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟!𝑥 − 𝑟!𝑥 + 𝑟!𝑟!
𝑥! + !!!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟!
Persamaan di atas benar jika 𝑟! + 𝑟! = − !!
!! 𝑟!𝑟! =
!!!!
Jika 𝑟! , 𝑟! dan 𝑟! adalah akar akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! , maka 𝑓 𝑥 = 𝑎! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 𝑎! 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟! 𝑥 − 𝑟!!!!!𝑥! + !!
!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! 𝑥! + 𝑟!𝑟!𝑥 − 𝑟!𝑥! − 𝑟! 𝑟! + 𝑟! 𝑥 + 𝑟!𝑟!𝑟!
𝑥! + !!!!𝑥! + !!
!!𝑥 + !!
!!= 𝑥! − 𝑟! + 𝑟! + 𝑟! 𝑥! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! 𝑥 − 𝑟!𝑟!𝑟!
Persamaan di atas benar jika 𝑟! + 𝑟! + 𝑟! = − !!
!! 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! + 𝑟!𝑟! =
!!!! 𝑟!𝑟!𝑟! = − !!
!!
Dengan cara yang sama bisa didapatkan untuk suku banyak derajat 𝑛
d. Teorema Akar Akar Rasional Persamaan pada bagian sebelumnya untuk suku banyak derajat 𝑛 akan didapatkan
𝑟!𝑟!𝑟!⋯ 𝑟! = −1 ! !!!! 𝑟! + 𝑟! + 𝑟!⋯ 𝑟! = − !!!!
!!
Jika 𝑝! , 𝑞! ,𝑎! ∈ Integer dimana 𝑖 = 1 , 2, 3 ,⋯ ,𝑛 dan 𝑟! =
!!!! , maka
𝑟!𝑟!𝑟!⋯ 𝑟! = −1 ! !!
!!!!!!
!!!!
!!!!
⋯ !!!!
= −1 ! !!!!
!!!!!!⋯!!!!!!!!⋯!!
= −1 ! !!!!
𝒂𝟎 = 𝒑𝟏𝒑𝟐𝒑𝟑⋯𝒑𝟒 atau 𝒑𝟏𝒑𝟐𝒑𝟑⋯𝒑𝟒 adalah faktor dari 𝒂𝟎 𝒂𝒏 = 𝒒𝟏𝒒𝟐𝒒𝟑⋯𝒒𝟒 atau 𝒒𝟏𝒒𝟐𝒒𝟑⋯𝒒𝟒 adalah faktor dari 𝒂𝒏