10-deseto predavanje - web
DESCRIPTION
Saobracajni fakultetTRANSCRIPT
157
10. DESETO PREDAVANJE:
POJAVE PRI PROSTIRANJU
TALASA
Pri prostiranju kroz neku sredinu talasi podležu različitim pojavama:
1) odbijanju (refleksiji)
2) prelamanju (refrakciji)
3) interferenciji
4) difrakciji
5) apsorpciji.
Ovim pojavama podležu i mehanički i elektromagnetni talasi i objašnjenja
fizičkih procesa koji dovode do njih je isto, osim u slučaju difrakcije. Na neke od
ovih pojava uticaj ima sredina, dok druge isključivo zavise od karakteristika
talasa. Tokom ovog predavanja ćemo se bliže upoznati sa ovim pojavama.
10.1. Odbijanje talasa
Kada talas naiĎe na neku drugu sredinu, sa drugačijim karakteristikama
od one kroz koju se prostirao, onda će doći do delimičnog odbijanja talasa na
granici te dve sredine i delimičnog prelamanja talasa u drugu sredinu. Energija
talasa se pritom deli na reflektovani (odbijeni) talas i transmitovani (onaj koji
prelazi u drugu sredinu). Na koji način će se dogoditi ta podela energije zavisi
isključivo od sredine, a ne od talasa. Ta zavisnost se iskazuje preko veličina koje
se zovu impedansa sredine i koeficijenti refleksije (transmisije) ali bavljenje
ovim prevazilazi ambicije ovog kursa. Recimo samo da ne postoje sredine koje
potpuno reflektuju talase, niti postoje one koje potpuno propuštaju talase (to su
idealizacije koje ćemo ponekad prihvatati radi lakšeg rešavanja problema).
Posvetićemo se prvo odbijanju talasa i u tom smislu, kada govorimo o nailasku
158
talasa na granicu dve sredine, one će za nas biti „gušća“ i „reĎa“ sredina. Izraze
gušća i reĎa koristićemo u smislu da gušća sredina pruža veći otpor prostiranju
talasa, nego što to čini reĎa sredina, na sličan način na koji je nama lakše da
trčimo kroz vazduh, nego kroz vodu.
Na slici 10.1 prikazan je jedan sferni
talas koji stiže na granicu dve sredine različite
gustine (granica je označena slovom G). Radi
preglednosti slike nacrtan je samo jedan zrak
(normala na sferni talasni front) koja pada na
granicu u tački B i reflektuje se nazad u istu
sredinu. Po Hajgensovom principu, o kome
smo govorili tokom prethodnog predavanja,
svaka tačka sredine pogoĎena talasom postaje
izvor elementarnih sfernih talasa. Na granicu
G prvo je stigao zrak duž pravca OA, pa je u
tački A emitovan prvi elementarni sferni talas
i potom redom (iznad i ispod tačke A) sve do
zraka koji pada u tačku B (ima ih i iznad B, ali
ćemo našu pažnju usmeriti baš na taj zrak koji
pada u B). Što je duži put koji zrak preĎe od
izvora u tački O do granice sredine, to on
kasnije stigne, pa se kasnije i emituje
elementarni talas, što znači da su od tačke A
do tačke B emitovane kružnice sve manjeg
radijusa. (Ovde se zapravo radi o
polukružnicama jer nas zanima samo ono što se dogaĎa sa iste strane granice).
Zajedničko svim tim kružnicama je obvojnica (kriva l) koja zapravo predstavlja
rezultujući talas koji se sastoji od svih elementarnih talasa formiranih na granici.
Ovaj rezultujući sferni talas izgleda kao da dolazi od nekog imaginarnog izvora
O koji se nalazi na istom rastojanju od granice G, kao i izvor talasa O, samo sa
druge strane granice, u drugoj sredini. Normala na ovaj talasni front (l) je
reflektovani talas.
Ugao je upadni ugao zraka. Upadni ugao se uvek definiše prema
normali na granicu dve sredine (nikada drugačije). Ugao je odbojni ugao
(takoĎe se uvek definiše prema normali na granicu). Sa slike vidimo da je
i , pa iz podudarnosti trouglova AOB i AOB sledi
(10.1)
Tako dolazimo do toga da zakon odbijanja talasa možemo formulisati
kroz dva stava:
Pri odbijanju talasa upadni i odbojni ugao su jednaki.
Slika 10.1 Odbijanje sfernog
talasa na granici dve sredine.
159
Upadni ugao, normala na granicu dve sredine i odbojni ugao
leže u istoj ravni.
Na slici 10.2
prikazano je odbijanje ravnog
talasa na granici dve sredine.
Ravan talas (talasni fron AA i
njemu paralelne linije) pada
na granicu dve sredine (G).
Normale na talasne frontove
su paralelni zraci koji padaju
na granicu u tačkama O, O,
O, itd. redom, pod upadnim
uglom . Prvi zrak koji padne
inicira emitovanje sfernog
elementarnog talasa koji ima centar u tački O i na slici je najvećeg radijusa, jer je
prvi emitovan. Sledeći elementarni talas koji se emituje ima centar u O i manjeg
je radijusa i tako redom. Svi ti elementarni talasi imaju zajedničku tangentu
koja predstavlja talasni front reflektovanog talasa. Normale na talasni front su
reflektovani zraci. Diskutujte ovu sliku i pokažite da se i sa nje može zaključiti
da su upadni i odbojni ugao jednaki.
Na početku je rečeno da se energija talasa raspodeljuje izmeĎu
reflektovanog i transmitovanog talasa. Da li to znači da kada bi se talas samo
reflektovao ne bi došlo do promene njegove energije? Da li se neka druga
svojstva talasa menjaju pri refleksiji? Talasna dužina talasa, frekvencija, brzina
se ne menjaju. MeĎutim, faza talasa se menja u slučaju refleksije na granici sa
gušćom sredinom. Do promene faze ne dolazi pri refleksiji na granici sa reĎom
sredinom. Da bismo to pokazali, razmotrimo jedan jednostavan primer
transverzalnog talasa, tzv. pulsa koji nastaje u zategnutom kanapu (žici) koji je
pričvršćen na jednom svom kraju, kako je već ranije prikazano na slici 9.2.
Na slici 10.3 prikazan je slučaj refleksije na granici sa gušćom sredinom
(slika 10.3(a)) i na granici sa reĎom sredinom (slika 10.3(b)). Razmotrimo prvo
slučaj pod (a). Talas se prostire kroz žicu, koja je u ovom slučaju reĎa sredina u
odnosu na zid za koji je ta žica pričvršćena, u smeru ka zidu. Jednačina tog
„dolazećeg“ talasa je
( ) ( ) (10.2)
Nakon refleksije „odlazeći“ talas je opisan jednačinom
( ) ( ) (10.3)
jer se za prostiranje u suprotnom smeru menja predznak ispred x (izraz 9.4).
Slika 10.2 Odbijanje ravnog talasa na granici dve
sredine
160
Neka je na površini zida x=0 i
neka pri refleksiji nema
gubitaka energije, što znači da
neće doći do promene
amplitude, pa je y01=y02. Kako
važi princip superpozicije,
onda je u tački u kojoj je
zakačena žica ispunjeno da je
(10.4)
Naime, elongacija žice u tački
kačenja mora biti nula, jer je
to nepokretna tačka. Onda iz
gornjih jednačina, uz uslove
koje smo zadali, sledi da je
( ) ( )
(10.5)
odnosno
(10.6)
pa zaključujemo: pri odbijanju talasa na granici ređe sa gušćom sredinom dolazi
do promene faze talasa za .
Kada se talas prostire kroz gušću sredinu (žica) i doĎe na granicu sa
reĎom sredinom (vazduh), kao na slici 10.3(b), takoĎe će doći do refleksije
talasa, ali ne i do njegovog „prevrtanja“, odnosno promene faze. Razlog leži u
činjenici da je na granici sa vazduhom slobodan (neprišvršćen) kraj žice, pa će
princip superpozicije talasa omogućiti porast transverzalne deformacije u toj
tački i nije ispunjen uslov (10.4). Rezultujuća elongacija jednaka je algebarskom
zbiru elongacija „dolazećeg“ i „odlazećeg“ talasa, što prouzrokuje ponovno
prostiranje talasa udesno. Nema promene faze i važi da je
(10.7)
Zaključujemo da: pri odbijanju talasa na granici gušće sa ređom sredinom ne
dolazi do promene faze talasa. Dobra ilustracija ovog slučaja u praksi je „pucanj“
biča na slobodnom kraju (jako povećana amplituda transverzalne deformacije
koja izaziva naglu promenu pritiska vazduha u blizini, što se manifestuje kao
intenzivan zvuk sličan pucnju).
Sličnu analizu i iste zaključke možemo sprovesti i u slučaju
longitudinalnih talasa.
Slika 10.3 Promena faze talasa pri refleksiji na
granici sa gušćom sredinom (a). Pri refleksiji na
granici sa ređom sredinom ne dolazi do promene
faze (b).
161
10.2. Prelamanje talasa
Posmatrajmo jedan ravanski talas koji
dolazi na granicu dve sredine različite gustine
(slika 10.4). Talas dolazi iz reĎe sredine gde je
brzina prostiranja c1, delimično se odbije, a
delimično prelazi u gušću sredinu, gde je
brzina prostiranja c2 i manja je od c1. Brzina
talasa se mora smanjiti jer gušća sredina pruža
veći otpor kretanju. Talasni front sa crteža je
ograničen dvema normalama (zracima).
Rastojanje izmeĎu dva talasna fronta je talasna
dužina. Pri prelasku u drugu sredinu
frekvencija talasa se ne menja ( )
jer ona zavisi od karakteristika izvora talasa, a
ne zavisi od sredine. Do promene pravca
prostiranja talasa takoĎe ne dolazi, što se lako može pokazati konstrukcijom, tj.
primenom Hajgensovog principa, što je u ovom slučaju identično situaciji
opisanoj na slici 9.7(b).
Imajući sve ovo u vidu možemo zaključiti da ako je
(10.8)
tada mora doći do zgušnjavanja talasnog fronta, tj. do smanjenja talasne dužine
talasa. Obrnuto, kada talasi prelazi iz gušće u reĎu sredinu, dolazi do povećanja
talasne dužine.
Kolike su promene talasne
dužine talasa koji prelazi u drugu
sredinu ispitaćemo na primeru
prikazanom na slici 10.5. Ravan
talas, talasne dužine 1 dolazi iz
reĎe sredine, gde se prostire
brzinom c1, na granicu sa gušćom
sredinom, u kojoj mu je brzina
prostiranja c2, pri čemu je .
Upadni ugao pod kojim zraci
padaju na granicu je ugao . Na
slici su nacrtana samo dva zraka
koji omeĎuju talasni front. Talasni
front AB najpre pogaĎa tačku A
koja, u skladu sa Hajgensovim
principom, postaje izvor
elementarnog sfernog talasa, a potom sukcesivno sve tačke na granici do tačke C.
Slika 10.4 Transmisija talasa
koji prelaze iz ređe sredine u
gušću.
Slika 10.5 Prelamanje ravanskog talasa na
granici dve sredine. Upadni talas dolazi iz
ređe sredine.
162
Svaka pogoĎena tačka je izvor elementarnog sfernog talasa čiji radijusi opadaju s
porastom rastojanja od A. Duž CD na slici je tangenta ovih kružnica. Vreme koje
protekne od trenutka kada talasni front pogodi tačku A do trenutka kada bogodi
tačku C je vreme koje je talasu potrebno da se prostirući brzinom c1 pomeri od B
do C. Za to isto vreme će talasni front elementarnog talasa koji je krenuo iz tačke
A preći rastojanje AD, prostirući se brzinom c2. Prema tome
(10.9)
Sa slike se vidi da je došlo do lomljenja talasnog fronta, što znači da je zrak
promenio pravac (jer je normala na front). Iz pravouglih trouglova ABC i ADC je
(10.10)
što zamenom u (10.9) daje
(10.11)
gde je indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu. Izraz (10.11)
predstavlja Snelov zakon prelamanja talasa (u delu literature ovaj zakon se
naziva Snelius-Dekartov zakon). Imajući u vidu vezu izmeĎu talasne dužine i
brzine talasa, ovaj zakon se može napisati u obliku
(10.12)
Ovde n1 i n2 predstavljaju indekse
karakteristične za sredinu kroz koju se talas
prostire. To su bezdimenzioni brojevi koji su
utoliko veći ukoliko je sredina gušća. Iz ovog
zakona vidimo da važi jednostavno pravilo:
ukoliko se talas prelama na granici sa gušćom
sredinom, zrak će se prelomiti ka normali i
obrnuto – ako se prelama na granici sa reĎom
sredinom, prelomiće se od normale na
graničnu površ. Na slici 10.6 predstavljeno je
ovo pravilo pomoću jednog upadnog zraka.
Dopunski stav zakona prelamanja
talasa glasi: upadni, prelomljeni zrak i normala leže u istoj ravni.
Slika 10.6 Prelamanje zraka na
granici dve sredine.
163
10.3 Interferencija talasa
U nekoj sredini može postojati više izvora talasa. Iz svakog izvora se
talas prostire samostalno, ne utičući na druge talase u okolini. Kada neka čestica
sredine bude pobuĎena na oscilovanje od strane više različitih talasnih procesa,
njeno oscilovanje će biti rezultanta uslovljena pojedinačnim pobudama. Kažemo
da je u toj tački prostora došlo do slaganja talasa ili do interferencije. Očigledno
je da se radi o posledici važenja principa superpozicije talasa. Da bi došlo do
interferentnih efekata potrebno je da talasi imaju iste frekvencije i da su
koherentni, što znači da imaju stalnu faznu razliku.
Radi ilustracije razmotrimo jedan takav primer interferencije dva talasa
iste amplitude i frekvence koji se prostiru u istom pravcu i smeru, a izmeĎu kojih
postoji stalna fazna razlika. Talasne jednačine kojima se opisuju ti talasi su
( ) (10.13)
( ) (10.14)
Primenom principa superpozicije i poznatog trigonometrijskog identiteta
(10.15)
dobijamo da je
⏟ (
) (10.16)
Zaključujemo da je interferentni (rezultujući) talas takoĎe sinusoidni i da se od
interferirajućih talasa razlikuje i po amplitudi (deo u jednačini (10.16) označen
horizontalnom zagradom) i po fazi, za /2.
Ukoliko se interferirajući talasi ne razlikuju u fazi (=0), onda je
( ) (10.17)
što znači da je rezultujući talas dvostruko veće amplitude. Ovo je slučaj potpuno
konstruktivne interferencije. Grafički je potpuno konstruktivna interferencija
predstavljena na slici 10.7(a).
Ukoliko su progresivni talasi u kontrafazi, tj. ako je njihova fazna razlika
jednaka , onda je to slučaj potpuno destruktivne interferencije (slika 10.7(b)).
Ova dva slučaja su granični slučajevi.
Ukoliko se talasi koji interferiraju prostiru u suprotnim smerovima,
rezultat interferencije je pojava stojećeg talasa kojem ćemo se posvetiti nešto
kasnije.
164
Interferenciji podležu i talasi koji imaju različitu frekvenciju i taj slučaj
se naziva izbijanjem. U tom slučaju rezultujući talas ima promenljivu amplitudu.
Frekvencija te promene amplitude je frekvencija izbijanja i ona je jednaka razlici
frekvencija polaznih talasa.
10.4. Stojeći talasi
Do formiranja stojećih talasa dolazi interferencijom progresivnih talasa
koji se prostiru u suprotnim smerovima u istom delu prostora ili odbijanjem
talasa na granici sa gušćom sredinom.
Razmotrimo prvo slučaj formiranja stojećih talasa interferencijom dva
talasa jednake amplitude i frekvencije koji se prostiru u suprotnim smerovima.
Njihove jednačine su
( ) (10.18)
( ) (10.19)
Interferencijom se dobija
(10.20)
Slika 10.7 Interferencija talasa iste amplitude, frekvencije i stalne fazne razlike.
(a)Apsolutno konstruktivna i (b) apsolutno destruktivna interferencija.
165
Jednačina (10.20) predstavlja jednačinu stojećeg talasa. Analizirajmo ovu
jednačinu. Pošto je faza argument trigonometrijske funkcije koji zavisi od
vremena, onda je faza stojećeg talasa
(10.21)
Odavde vidimo da faza stojećeg talasa zavisi isključivo od vremena, a da ne
zavisi od položaja tačke u prostoru koja je deo talasa. To znači da svi delići
sredine koji osciluju istovremeno prolaze kroz amplitudne položaje, ravnotežne
položaje itd.
Amplituda stojećeg talasa je član jednačine (10.20) koji ne zavisi od vremena
(10.22)
Dakle, amplituda stojećeg talasa nije
konstantna veličina, kao što je to slučaj kod
progresivnih talasa, već zavisi od položaja
oscilujuće čestice u odnosu na izvor talasa.
Različiti delići sredine osciluju različitom
amplitudom koja može imati vrednosti od nule
do 2y0. Mesta u prostoru gde je ampltuda
stojećeg talasa nula predstavljaju čvorove
stojećih talasa (slika 10.8), a mesta gde je amplituda 2y0 su trbusi stojećeg
talasa. Rastojanje izmeĎu dva susedna trbuha (u delu literature ove amplitude se
zovu anti-čvorovi) ili dva susedna čvora jednako je polovini talasne dužine
talasa. Čvorovi i trbusi stojećeg talasa imaju uvek isti položaj u prostoru i otuda i
potiče i naziv ovoj vrsti talasa – stojeći talasi.
Drugi način za formiranje stojećeg talasa je refleksija na granici sa
gušćom sredinom. Kako smo već videli, pri ovakvoj refleksiji dolazi do promene
faze talasa za , tako da je
( ) (10.23)
( ) ( ) (10.24)
Ako iskoristimo poznati trigonometrijski identitet
(10.25)
dobijamo
(10.26)
Odavde se vidi da su amplituda i faza stojećeg talasa
Slika 10.8 Stojeći talas
166
(10.27)
Stojeći talas koji se dobija pri refleksiji imaće uvek čvor na mestu gde se
odbijanje dogodilo na granici sa gušćom sredinom i obrnuto, na mestu refleksije
o reĎu sredinu formiraće se trbuh stojećeg talasa. Primer za ove talase može biti
stojeći talas koji se formira u čaši mleka koja stoji u frižideru. Vibracije frižidera
iniciraju nastanak talasa koji se prostire po površini mleka, reflektuje o zidove
čaše i formira stojeći talas pri interferenciji sa drugim progresivnim talasom.
U prostorno ograničenoj sredini ne mogu se formirati stojeći talasi
proizvoljnih, već tačno odreĎenih talasnih dužina, odnosno frekvencija. To su
tzv. rezonantne ili sopstvene frekvencije. Talasi svih ostalih frekvencija se
meĎusobno poništavaju. Oni stojeći talasi koji se formiraju i imaju najnižu
frekvenciju (tj. najveću talasnu dužinu) su tzv. osnovni harmonici (ili prvi
harmonici). Svi ostali stojeći talasi koji se u toj sredini formiraju predstavljaju
harmonike višeg reda. Koliko tačno iznose rezonantne frekvencije zavisi od tipa
odbijanja, odnosno od vrste ograničene sredine i mi ćemo, kao primer, navesti
neke od njih.
Primer 10.1 Žica učvršćena na oba kraja ili vazdušna cev zatvorena (ili
otvorena) na oba kraja
Na krajevima je žica
učvršćena i te tačke moraju biti
nepomične, tj. tu se nalaze
čvorovi stojećeg talasa. (Slično
važi i za vazdušnu cev koja je na
oba kraja zatvorena.) Onda, kako
zaključujemo sa slike, dužina žice
mora biti jednaka celobrojnom
umnošku polovina talasnih
dužina, odnosno
(10.28)
...
U opštem slučaju je
Slika 10.9 Prva tri harmonika stojećeg talasa
formiranog u žici zategnutoj na oba kraja.
167
(10.29)
Za n=1 dobijamo frekvenciju osnovnog harmonika.
Primer 10.2 Žica učvršćena na jednom kraju ili vazdušni stub zatvoren na
jednom kraju.
Na slici 10.10 prikazan je osnovni i prva dva
harmonika stojećeg talasa koji se može formirati
na žici dužine L, koja je učvršćena na jednom
svom kraju. Isti oblik imaju i stojeći talasi koji se
formiraju u vazdušnom stubu iste dužine
zatvorenom na jednom kraju. Sa slike vidimo da
su ispunjeni uslovi
(10.30)
tako da, u opštem slučaju, važi da je
( )
(10.31)
Kako važi veza izmeĎu frekvencije i talasne
dužine (pogledaj npr. jednačinu 9.10), onda je
( )
(10.32)
Primer 10.3 Žica učvršćena na sredini
Na slici 10.11 prikazana je žica učvršćena na sredini na kojoj su
formirana prva harmonika stojećeg talasa. Sa slike vidimo da je
(10.33)
Slika 10.10 Prva tri
harmonika stojećeg talasa
formiranog na žici
učvršćenoj na jednom kraju.
168
U opštem slučaju je
( )
(10.34)
odakle je konačno
( )
(10.35)
Slika 10.11 Prva tri harmonika
stojećeg talasa formiranog na
žici uklještenoj na sredini.
169
10.5. Difrakcija talasa
Ako ravanski talas, pri svom
prostiranju kroz sredinu, naiĎe na neku
prepreku doći će do savijanja zraka i pojave
difrakcije. Objašnjenje pojave za mehaničke
talase se zasniva na primeni Hajgensovog
principa. Na slici 10.12 prikazan je ravanski
talas koji nailazi na prepreku sa otvorom čija
širina je reda veličine talasne dužine talasa. Iza
prepreke sa otvorom formira se talasni front
kao obvojnica emitovanih elementarnih
sfernih talasa. Kako su zraci normale na
talasni front vidimo da je došlo do njihovog
radijalnog rasipanja. Što je otvor manji to će ova pojava biti izraženija i njoj
podležu više talasi veće talasne dužine. Zahvaljujući ovoj pojavi moguće je čuti
govor iza otvorenih vrata ili iza ugla neke zgrade.
10.6. Doplerov efekat za mehaničke talase
Doplerov (Christian Doppler, 1803-1853) efekat je pojava promene
frekvencije talasa koji stiže do prijemnika (detektora) u odnosu na frekvenciju
koju je emitovao izvor, uzrokovanu relativnim kretanjem izora i prijemnika.
Tipičan primer za Doplerov efekat je zvuk koji čujemo kada npr. stojimo na
pločniku i pored nas velikom brzinom proĎe motocikl. Dramatična promena
zvuka od visokofrekventnog, gotovo iritirajućeg, zvuka do dubokog brujanja dok
motocikl prolazi pored nas je utoliko izraženija ukoliko mu je brzina veća. Slično
se dešava i kada pored nas prolazi policijski ili bolnički automobil sa uključenom
sirenom, voz koji se oglašava sirenom kada polazi iz stanice ili pristiže na nju itd.
Isti efekat primećujemo i kada ovi izvori mehaničkog talasa (zvuka) miruju, ali
se mi (kao prijemnici zvuka) krećemo. Ova pojava postoji i za elektromagnetne
talase, samo se tada češće govori o Doplerovom pomaku (plavom ili crvenom),
ali i u relativističkoj fizici gde se uključuje efekat dilatacije vremena.
Razmotrimo sada razlike u frekvenci koje nastaju izmeĎu emitovanih
mehaničkih talasa i onih koji stižu do prijemnika.
Slika 10.12 Difrakcija
mehaničkog talasa na pukotini.
170
Na slici 10.13 prikazan je nepokretni
izvor zvučnih talasa (sirena vatrogasnog
kamiona) kao i dva posmatrača, koji su u
ovom slučaju prijemnici (ili detektori) zvuka.
Zvuk se širi u obliku sfernih talasnih frontova
– ekvidistantnih koncentričnih kružnica.
Rastojanje izmeĎu ovih kružnica jednako je
talasnoj dužini emitovanih zvučnih talasa.
Kako i izvor i prijemnici miruju zvuk stiže do
prijemnika nepromenjene talasne dužine
(frekvencije).
Na slici 10.14
prikazan je pokretni izvor
zvuka (motocikl) talasne
dužine 0 (odnosno
frekvencije 0) koji se
približava brzinom
devojci, udaljavajući se od
mladića. Mladić i devojka su
nepokretni detektori zvučnih
talasa. Posledica kretanja
izvora zvuka je zgušnjavanje
sfernih talasnih frontova na
strani gde je devojka,
odnosno razreĎivanje talasnih frontova na suprotnoj strani. To znači da do
devojke stižu talasi smanjene talasne dužine. To smanjenje je za dužinu koja je
jednaka rastojanju koje preĎe izvor zvuka krećući se brzinom , za vreme koje
protekne izmeĎu emitovanja dva talasna fronta (a to je vreme jednako jednom
periodu, T). Dakle,
(10.36)
Za isti iznos je uvećana talasna dužina talasa koji stižu do mladića, pa možemo
napisati istu jednačinu sa znakom + ispred brzine. Ako uvrstimo vezu izmeĎu
talasne dužine i frekvencije u gornji izraz, dobijamo
(10.37)
SreĎivanjem ovog izraza dobija se da je frekvencija talasa koji stižu do
prijemnika (devojke) jednaka
Slika 10.13 Izvor zvuka
(vatrogasna sirena) miruje, kao
i oba posmatrača (prijemnika)
Slika 10.14 Motocikl je izvor zvučnog talasa koji se
kreće sleva udesno (prema devojci). Mladić i
devojka su nepokretni detektori zvuka.
171
(10.38)
što znači da će devojka čuti zvuke više frekvencije od one koju je izvor
emitovao. S druge strane, detektor od koga se izvor udaljava (u našem slučaju
mladić) primaće talase niže frekvencije, koja je utoliko niža ukoliko je brzina
izvora veća. Prema tome, u slučaju udaljavanja izvora, važi da je
(10.39)
Na posletku, pretpostavimo da izvor
zvučnih talasa, koji emituje talase
talasne dužine 0 i frekvencije 0,
miruje (automobil na slici 10.15) a da
se prijemnici zvuka kreću (devojka se
udaljava, a mladić približava
automobilu) brzinom . Situacija u
kojoj se mladić približava talasnom
frontu je potpuno ista kao kada bi on
mirovao, a talasni frontovi se
približavali njemu brzinom koja je
jednaka . Onda će do njega stizati talasi čija je frekvencija uvećana
(10.40)
U slučaju kada se detektor udaljava (devojka) do nje stiže smanjena frekvencija
(negativan predznak ispred brzine detektora), tako da posle sreĎivanja jednačine
(10.40) dobijamo da je
(
) (10.41)
gde se znak + uzima u slučaju približavanja izvoru, a znak – u slučaju
udaljavanja.
U slučaju kada se kreću i izvor i prijemnik talasa, kombinovanjem
jednačina 10.38, 10.39 i jednačine 10.41, dobijamo
(10.42)
gde se gornji znaci uzimaju u slučaju približavanja, a donji u slučaju udaljavanja.
Slika 10.15 Izvor zvuka (automobil)
miruje, a detektori se kreću u
naznačenom smeru.
172
Na kraju recimo da je Doplerov efekat pojava koja ima široku primenu u
različitim oblastima, od istraživanja svemira, preko satelitskog pozicioniranja,
sve do policijskih radara kojima se utvrĎuje brzina kretanja objekata ili pokretnih
vrata na ulazima u supermarketima čiji su zvučni detektori osetljivi na kretanje.
U astronomiji se ispitivanjem spektra ustanovljava da li se daleke zvezde i
galaksije približavaju (plavi pomak) ili udaljavaju (crveni pomak) od nas i kojom
to brzinom čine, što je samo jedna od mnogih primena Doplerovog efekta u
slučaju elektromagnetnih talasa. jedna od najznačajnijih primena je u
medicinskoj dijagnostici, gde se pomoću Doplerovog pomaka u frekvenciji
ultrazvučnih talasa utvrĎuje protok i brzina protoka krvi kroz krvne sudove.