10 - tehnicka metoda def.ppt

Statička kondenzacija

Pretpostavimo da imamo slijedeću matričnu jednačinu:

11 nxnxnxnFuK

Zatim pretpostavimo da vektor F ima prvih m članova različite od nule, a preostalih k članova jednakih nuli.

1

11

1 0 kx

mx

nx

FF


Matričnu jednačinu možemo napisati u obliku:

01

12

11

221

121 Fu

u

KK

KK

kx

mx

kxkkxm

mxkmxm

Ili preko dvije matrične jednačine:

022112

121211

uKuK

FuKuKT


Iz druge jednačine imamo: 1121

22 uKKu T

Dakle, statička kondenzacija je postupak, kojim se smanjuje red matrice, eliminiranjem onih članova matrice (jednačina), koji su vezani sa slobodnim članovima jednakim nuli.

Odnosno:

11

11

11121

2121

11121

21211

mxmxmxmK

T

T

FuK

FuKKKK

FuKKKuK

Matrica krutosti štapa sa zglobom na jednom kraju

Takabejeva jednačina za ovakav štap je različita od jednačine za obostrano uklješteni štap. Razlika je u tome, što se iz uslova da je M1=0, može eliminirati ugao zaokreta 1.

2112

2122

1221

122

2121

21

2121

211

5.05.1

32

22

3

2

03

2

m-m

m

m

m

l

vvkM

l

vvkM

vvl

l

vvkM

1 2

1 2 M2

Matrica krutosti štapa sa zglobom na jednom kraju

Na ovaj način je eliminiran 1, koji odgovara sili M1, koja je jednaka nuli. To znači da je praktično izvršena statička kondenzacija matrice krutosti štapa sa dimenzija 6x6 na 5x5 - za tačnu metodu deformacija, odnosno sa 4x4 na 3x3 za tehničku metodu deformacija. Jednačine u matričnom obliku su:

2112

21122

21121

2

2

1

22

233

233

2

2

1

5.0

5.0

5.0

333

333

333

mm

mm

mm

lQ

lQ

v

v

l

EJ

l

EJ

l

EJl

EJ

l

EJ

l

EJl

EJ

l

EJ

l

EJ

M

V

V

Q1 i Q2 su transverzalne sile od opterećenja, a m1-2 i m2-1

su priključni momenti od opterećenja.

Napomena

Ovdje je prikazana statička kondenzacija na nivou štapa.

Program CAL nema opciju formiranja posebne matrice krutosti za ovakav štap. Kondenzovanu matricu krutosti štapa je komplikovano upotrijebiti pri formiranju globalne matrice krutosti.

Zbog toga se u CAL-u definiraju kao nepoznata pomjeranja i uglovi zaokreta kod zglobova. To znači da je globalna matrica krutosti veća, nego kada se radi klasično. Međutim, moguće je takvu matricu krutosti, ako je potrebno, svesti na klasičnu matricu krutosti, statičkom kondenzacijom, koja je opisana ranije.

Formiranje globalne matrice krutosti

Globalna matrica krutosti ima dimenzije nxn gdje je n broj nepoznatih pomjeranja kompletnog sistema. Globalna matrica krutosti se dobiva iz uslova ravnoteže, pri čemu se sile izražavaju preko pomjeranja u lokalnom koordinatnom sistemu. Dakle, problem se svodi na pisanje globalnog uslova ravnoteže pomoću matrica krutosti i vektora sila štapova koji su dati u lokalnim koordinatnim sistemima.

Uslov ravnoteže glasi:

11 nxnxnxnFuK

Problem: Izraziti uslov ravnoteže pomoću matrica krutosti štapova.

Sada imamo:

Vektorom u1e data su pomjeranja krajeva štapa u globalnom

koordinatnom sistemu. Slijedeći korak je uspostaviti vezu izmedju ovog vektora i vektora globalnih pomjeranja u. Ova veza se uspostavlja pomoću matrice dimenzija 6xn u kojoj se nalaze nule ili jedinice. Istom matricom se povezuju vektori fi

e i F.

e ei i i i i i i i K u f K T u T f

1Ti i

T Te e T e e

i i i i i i i i i i K T u T f T K T u f

ei i u L u e

i i f L F

Sada imamo:

T e e Ti i i i i i i i i i T K T u f T K T L u L F

1

l

ii

K K

6 6 4 4 4 4 6 6

6 6 4 4 4 4 6 6

T Ti i i i i

nx x x x xn

T Ti i i i i i i

nxn nx x x x xn

L T K T L u F

K u F K L T K T L

Gornja jednačina predstavlja jednačinu ravnoteže štapa napisanu preko globalnih vektora pomjeranja i sila. Globalnu matricu krutosti sada dobivamo jednostavnim sabiranjem:

Ako u sistemu nema kosih štapova, tada su dvije kolone u matrici T uvijek jednake nuli, pa se matrica T svodi na jediničnu matricu dimenzija 4x4. Shodno tome i vektor ui

e ima samo 4 člana, jer se pomjeranja duž štapa ne uzimaju u obzir u tehničkoj metodi deformacija.

U tom slučaju je matrica krutosti:

4 4 4 4

ˆ ˆTi i i i

nxn nx x xn

K K L K L

Nakon formiranja matrice krutosti, rješava se sistem jednačina i dobiva se vektor pomjeranja. Sada se vraćamo na jednačinu ravnoteže svakog štapa i računamo sile u štapu pomoću poznatih pomjeranja.

ei i i i i i i K u f K T u f

i i i i f K T L u

ei i u L u

Izračunavanje sila u štapovima

Ukoliko nema kosih štapova, tada je:

ˆi i i f K L u

Program CAL ima razradjene naredbe za formiranje globalne matrice krutosti i proračun vektora sila u štapovima za tehničku metodu deformacija ukoliko na sistemu nema kosih štapova.

ZADATAK

Za dati nosač naći dijagrame presječnih sila tehničkom metodom deformacija. Zadatak uraditi na klasičan način i pomoću programa CAL. E = const.

40/4040/6010 k

N/m

70 kN

2

2

20 kN/m 40/60

40/70

40/70

40/50

20 kN/m

53

70 kN

24

12

34

5

6

7

1 2

43

5

6

A) CAL

Da bi se pripremio radni fajl za program CAL potrebno je uraditi slijedeće predradnje:

1. Obilježiti sve čvorove i štapove brojevima (urađeno na prethodnom slajdu). Za svaki štap potrebno je izračunati moment inercije i odrediti lokalni koordinatni sistem.

Napomena: Moment inercije ne mora biti dat u m4. Bitno je da odnos momenata inercije između pojedinih štapova odgovara stvarnom stanju. Na ovaj način će se dobiti tačne presječne sile, ali ne i pomjeranja čvorova. Zašto?

J1=216, L1=4, E=1; J2=64, L2=4, E=1;

J3=125, L3=4, E=1; J4=216, L4=4, E=1;

J5=343, L5=5, E=1; J6=343, L6=5, E=1;

Nepoznata pomjeranja

2. Identificirati sva pomjeranja sistema i obilježiti ih brojevima, tj. formirati vektor nepoznatih pomjeranja. Uglove zaokreta na zglobovima postaviti kao zadnje članove, ukoliko se želi praviti kondenzacija globalne matrice krutosti.

Nepoznati uglovi zaokreta su: 4, 5, 6, 7, te 2 i ugao zaokreta čvora 5 (5g), na strani gdje je zglob, obzirom da je taj ugao zaokreta neovisan o 5.

Da bi se odredili nepoznati pomaci, potrebno je napraviti zglobnu šemu.

Zglobna šema

Data zglobna šema je mehanizam sa dva SSK. Da bi sistem postao nepomjerljiv potrebno je ubaciti dva oslonca, za svako pomjeranje po jedan.

I

II

Pomjeranje 1

Sklanjamo oslonac 1 i crtamo šemu pomjeranja tako da pomjeranje bude pozitivno u lokalnim koordinatnim sistemima.

II

1 1

Pomjeranje 2

Sklanjamo oslonac 2 i crtamo šemu pomjeranja.

I

2 2

I

Vektor nepoznatih pomjeranja

Dakle, sistem ima ukupno osam nepoznatih pomjeranja:

4 1

5 2

6 3

7 4

1 5

2 6

2 7

5 8g

u

u

u

u

u

u

u

u

u

4

11

0

0

e

u

Vektori pomjeranja štapova prikazani preko globalnih pomjeranja:

5

22

1

0

e

u

7

32

0

0

e

u

6

54

2

1

ge

u

4

55 0

0

e

u

6

76 0

0

e

u

4

5

64

7

11

2

2

5

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

g

1 1

e u L u

Formiranje globalne matrice krutosti

2

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

L 4

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

L

11 14 13 12

441 44 43 42

31 34 33 32

21 24 23 22

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

K

4 4 4 4T K L K L

Formiranje matrice kompatibilnostiProgram CAL automatski formira globalnu matricu krutosti za tehničku metodu deformacija pomoću tzv. matrice kompatibilnosti. Matrica je dimenzija 4xk, gdje je k broj štapova. U svakoj koloni ove matrice data su pomjeranja jednog štapa i to tako što se u prvoj vrsti daje redno mjesto rotacije prvog čvora u globalnom vektoru pomjeranja, potom rotacija drugog čvora, pomjeranje prvog čvora i na kraju pomjeranje drugog čvora.

U matrici se nalaze prirodni brojevi od 1 do k, gdje je k broj pomjeranja sistema, kao i nule, kojim se označavaju pomjeranja jednaka nuli. Na osnovu ove matrice program automatski formira matrice L za svaki štap i matricu dimenzija nxn:

4 4 4 4

Ti i i i

nx x xn

K L K L

Matrica kompatibilnosti

Konkretno:

005000

006655

428070

313421

ID

U prvoj koloni su pomjeranja štapa 1. Broj 1 u prvoj vrsti predstavlja pomjeranje 4 (ugao zaokreta prvog čvora štapa), 0 u drugoj vrsti znači da je u drugom čvoru ugao zaokreta 0 (uklještenje - čvor 1). Broj 5 u trećoj vrsti predstavlja pomak čvora 4, tj. 1, a nula u četvrtoj vrsti označava da je pomak drugog čvora štapa jednak nuli. Samostalno analizirati ostale kolone.

Vektori sila po štapovima od opterećenja

3. Za svaki štap je potrebno sastaviti vektor sila, koji se sastoji od dva momenta i dvije transverzalne sile. Momenti se računaju kao momenti uklještenja (tablice), a transverzalne sile kao reakcije proste grede.

Štap 1.

m4-1=70x4/8=-35 kNm (br. 26);

m1-4=35 kNm

V4-1= V1-4 =-35

4 1

70

m1-4m4-1

V1-4V4-1

35

35

35

35

1F


Štapovi 2 i 3 nemaju opterećenje.

Štap 4.

6 5

10

m5-6m6-5

V5-6V6-5

15

25

0

20

4F

m6-5=-13.3 kNm, (br. 1); m5-6=13.3 kNm Obzirom da je u čvoru 5 zglob:

m6-5=-13.3-13.3/2=-20 kNm, m5-6=0

V6-5=-20-20/4=-25

V5-6=-20+20/4=-15


Štap 5.

4 5

20 m5-4m4-5

V5-4V4-5

13.5

87.34

45.7

8.21

5F

m4-5=21.8 kNm, (br. 5); m5-4=-7.45 kNm

V4-5=32+(21.8-7.45)/5=34.87

V5-4=8-2.87=5.13


Štap 6.

6 7

20 m7-6m6-7

V7-6V6-7

50

50

67.41

67.41

6F

m6-7=41.67 kNm, m7-6=-41.67 kNm

V6-7=V7-6= 50

Globalni vektor sila

4. Potrebno je sastaviti vektor sila, koje djeluju u čvorovima u pravcu traženih pomjeranja.

Momenti u čvorovima se računaju jednostavnim sabiranjem odgovarajućih momenata na krajevima štapova.

m4=-35+21.8 = -13.2 kNm

m5=-7.45 kNm

m6=41.67-20 = 21.67 kNm

m7=-41.67 kNm

Sile u čvorovima, koje odgovaraju jednom od pomaka se dobivaju isijecanjem svih čvorova, koji imaju traženi pomak.

Pomjeranje 1

Isijecamo čvorove koji imaju pomjeranje . U svaki presjek unosimo sve horizonti postavljamo uslov da je suma horizontalnih sila jednaka nuli.

II

11

1

70 N N

V4-1=-35

V5-6=-15

Pomjeranje 1

Pošto se sile N medjusobno poništavaju prethodna dva presjeka se mogu posmatrati kao jedan:

II

1 1I

I

Pomjeranje 2

Sklanjamo oslonac 2 i crtamo šemu pomjeranja.

I

2 2

I

IIII


P1=-70-35-15=-120

70

V4-1=-35

V5-6=-15Presjek 1-1

Presjek 2-2

V6-5=-25

P2=-25


0

0

25

120

67.41

67.21

45.7

2.13

F

Ovim su pripremljeni svi potrebni podaci za proračun modela pomoću programa CAL. Kao rezultat dobivaju se sile na krajevima svakog štapa (momenti i transverzalne sile). Normalne sile se dobivaju iz uslova ravnoteže svakog čvora pojedinačno.

Prikazani metod može se u potpunosti primijeniti samo za sisteme koji nemaju kose štapove.

B) KLASIČNI NAČIN

1. Računaju se krutosti svakog štapa: ki =2EJi /Li

k1 = 108, k2 = 32, k3 = 62.25, k4 = 108, k5 = k6 = 137.2

2. Identificirati sva pomjeranja sistema i označiti ih.

Nepoznati uglovi zaokreta su: 4, 5, 6, 7.

Određivanje nepoznatih pomaka radi se na isti način kao i kod CAL-a. To značI da će i ovdje biti nepoznati isti pomaci 1 i 2.

Dakle, sada imamo ukupno 6 nepoznatih i treba oformiti 6 jednačina.

Pisanje Takabejevih jednačina i formiranje jednačina čvorova

Za svaki čvor u kojem postoji nepoznati ugao zaokreta, potrebno je postaviti uslov da je suma momenata jednaka nuli.

ČVOR 4.

5454554

141

4114

2

32

m

m

kM

lkM

0232

0

54545141

41

5414

mm kl

k

MM

02.13812.1374.490 154

Jednačine čvorova

ČVOR 5.

lkM

kM

15225

4545545

5.1

2 m

025.1

0

454551

52

2545

mkl

k

MM

045.7124.3222.137 154

Jednačine čvorova

ČVOR 6.

7676676

5612

6456

2

5.1

m

m

kM

lkM

025.1

0

767665612

64

7656

mm kl

k

MM

065.215.405.402.1374.436 2176

Jednačine čvorova

ČVOR 7.

6767667

27337

2

32

mkMl

kM

022

0

676762

73

6737

mkl

k

MM

067.4188.464.3992.137 276

Jednačine pomjeranja

70

R4-1=-35

R5-6=-20

Za svaki presjek naznačen pri definiciji pomjeranja postavlja se uslov ravnoteže da je suma svih sila u pravcu pomjeranja jednaka nuli. Pri tome u račun ulaze: aktivne sile, reaktivne sile od opterećenja i reaktivne sile od momenata.

Presjek 1-1:

S4-1

S5-6

S5-2

;5.0

5.1

5.1;23

6556126

4

56

5665

15

2

25

2525

14

1

41

411414

lll

k

l

MS

ll

k

l

MS

ll

k

l

MMS

mm

0706514652514 RRSSS

01201.1062.535.401281 21654

Jednačine pomjeranja

Presjek 2-2:

R6-5=-20S6-5

S7-3

;5.0

5.1

23

6556126

4

56

5656

27

3

73

733737

lll

k

l

MS

ll

k

l

MMS

mm

0653756 RSS

02556.331.1088.465.40 2176

Sistem jednačina tehničke metode deformacija

25

120

67.41

67.21

45.7

2.13

56.331.1088.465.4000

1.1062.5305.401281

88.4604.3992.13700

5.405.402.1374.43600

012004.3222.137

081002.1374.490

2

1

7

6

5

4

Rješenja

874.1

604.3

172.0

165.0

148.0

610.0

2

1

7

6

5

4

Izračunavanje momenata u štapovima

Sračunate deformacije ubacujemo u Takabejeve jednačine i dobivamo momente na krajevima svakog štapa.

ŠTAP 1.

kNml

kM

kNml

kM

1.2613

2.12532

411

4141

141

4114

m

m

ŠTAP 2.

0

4.505.1

52

15225

M

kNml

kM


ŠTAP 3.

kNml

kM

kNml

kM

1.773

3.6632

17337

27373

ŠTAP 4.

0

3.635.1

65

125456

M

kNml

kM


ŠTAP 5.

kNmkM

kNmkM

4.502

2.1252

4545545

5454554

m

m

ŠTAP 6.

kNmkM

kNmkM

3.662

3.632

6767667

7676676

m

m

Transverzalne sileŠtap 1.

1.2257.612.125 AM

125.2

261.1

61.55

131.5570

A

Štap 2.50.4

12.6 12.6


kNmM 8.0102

85.354.63

2

max

66.3 77.1

35.85

35.85

Štap 4.63.4

35.85

4.1510


kNmM 4.2202

4.494.63

2

max

125.2

50.4

3.1 43.1

Štap 6.63.4

49.4 50.6

20

20

66.3

7921.3402.125 BM

B

Normalne sile - važi i za (A) i za (B)Štapovi 1 i 5.

N1=3.1 kN

1

3.1

61.55

N5=-8.45 kN

Štapovi 3 i 6.

N3=-50.6 kN

7

35.85

50.6N6=-35.8570

Štap 4. Štap 2.

N2=-92.5 kN

5

12.6

43.18.45

4.15

N4=-49.4 kN

6

49.4

35.85

35.85 kN

49.4 kN

Dijagram momenata

261.1

2.1

125.2

50.4

63.4

0.8

66.3

77.1

Dijagram transverzalnih sila

131.55

61.55

49.4

4.15 35.85

12.6

50.6

35.85

3.1

43.1

Dijagram normalnih sila

8.45 49.450.6

92.5

35.85

3.1

10 - tehnicka metoda def.ppt

Documents