CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

GRUPO: 100410_44

PRESENTADO POR:

SANDRA CATALINA ROJAS Cód: 1.115.916.175

LEONEL MOYA GUTIÉRREZ Cód: 1.116.554.801

FAUNER HERNANDO ROBALLO Cód: 1.116.020.128

LUZ DARY SUAREZ LANCHEROS Cód: 1.115.915.958

TUTOR: CARLOS IVAN BUCHELI

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CEAD YOPAL (CASANARE)

MAYO DEL 2015

1

TABLA DE CONTENIDO:

PAG

Introducción………………………………………………………………………………3

Objetivos………………………………………………………………………………….4

Desarrollo de la actividad…………………………………………………………….5_12

Conclusión………………………………………………………………………………13

Referencias…………………………………………………………………………...…14

2

INTRODUCCIÓN:

En el presente trabajo colaborativo encontraremos 10 ejercicios de la unidad tres divididos en tres

fases, en la primera se desarrollarán ejercicios de derivadas defunciones y encontrar la ecuación de

la recta, en la segunda fase derivadas de orden superior en la tercera límites, puntos de inflexión,

coordenadas y aplicaciones de derivadas. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios

propuestos en la guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el

trabajo en equipo. El propósito de este trabajo es que nosotros como estudiantes interioricemos y

asimilemos en mayor medida los métodos y temáticas establecidas para la resolución de derivadas,

pendientes tangentes a curvas, la derivada implícita, técnicas de derivación, ecuaciones de rectas

tangentes, identificación de puntos críticos, puntos de inflexión, cálculo de intervalos de

crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, entre otros. Para iniciar con el trabajo

colaborativo sería bueno aclarar que la derivada de una función en un punto determinado equivale

a la pendiente de la recta tangente en el mismo punto.

OBJETIVOS:

3

General.

Analizar las Derivadas y sus Aplicaciones y realizar su respectivo desarrollo utilizando determinada fórmula de manera adecuada reconociendo que tipo de derivadas, y así obtener destreza en el desarrollo de ejercicios a través de la práctica al resolver problemas que requieren de este concepto para su solución

Específicos.

Conocer y consolidar el concepto de derivada de una función en un punto y saber calcular derivadas de funciones sencillas, mediante la aplicación de la definición.

Saber calcular la función derivada de las funciones elementales así como de funciones compuestas.

Conocer la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto y saber aplicarla en la resolución de problemas.

Interpretar la derivabilidad de una función a partir de su representación gráfica.

Saber calcular la derivada segunda, tercera y cuarta de una función

Estudiar global y localmente una función.

Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos.

Optimizar funciones sencillas y resolver problemas donde haya que optimizar una función.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD:

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:

4

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y=x2−2 x−3 para x=1

y ( x )=1−2 (1 )−1=−4

y '=2 x−2

y ' (1 )=2 (1 )−2=0

y=mx+b

y=0+b=−4

y=−4 Función constante

p(1 ,−4)

mt=f ´ ( x )=2 x−2

mt=f ´ ( x )=2(1)−2

mt=0

E . R .T y− y1=m(x−x1)

y− (−4 )=0(x−1)

y+4=x−1

y+4−x+1=0

−x+ y+5=0

2. si f ( x )=x4− 1

x4−¿4 halle el valor de f ' (1 )

f ( x )=x 4−x−4−¿4

f ´ ( x )=4 x4−1−−4 x−4−1−d 44

5

f ´ ( x )=4 x3+4 x−5−04

f ´ ( x )=4 x3+4 x−5−0

f ' ( x )=4 x3+ 4

x5

f ' ( x )=4 (1 )3+ 4

(1 )5

f ' ( x )=4+ 41

f ' ( x )=4+4

f '=8

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

3. f ( x )=sin22 x

f ( x )=sen22 x=sen 2x∗sen2 x

Siu=2x

f (u )=sen u∗senu

f (u )=sen u∗cos u+sen u∗cos u

f (u )=2 (senu∗cosu )

Remplazamos

f ( x )=2∗sen2x∗2∗cos 2x

f ( x )=4 sen2x cos2 x

6

4. f ( x )=¿ x7

¿ x3

f ´ ( x )[( dxdy∈x7)∗¿ x3]−[¿ x7∗dx

dy∈x3]

(¿ x3 )2

siu=x7

f ' ( x )=[ 7 x6

x7 ∗¿ x3]−[¿ x7∗dxdy

¿x3](¿ x3 )2

siu=x3

f ' ( x )=[7 x−1∗¿x3 ]−[¿ x7 3x2

x3 ]( Inx 3 )2

f ' ( x )=7 x−1∗¿x3−¿x7∗3x−1

( Inx3 )2

f ' ( x )=7∈x3−3∈x7

x (¿ x3 )2

f ' ( x )= 21 Inx−21 Inxx (3 (Inx ) )∗3 ( Inx )

f ' ( x )= 0

9 x (Inx )2

f ' ( x )=0

5. f ( x )= x

ex

7

f ' ( x )=

ddx

x∗ex−xddx

ex

(ex )2

f ' ( x )=1∗ex−xex

e2 x

f ' ( x )= e x−xex

e2x =ex (1−x )

e2 x

f ' ( x )=1−x

ex

Derivadas de orden superior. (Puntos 6 y 7)

6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2sin 2 x

Para hallar la tercera derivada se tiene que

f (x)=2 sen2 x

f ” ’( x)=?

f (x)=2 sen(2x )

en la primera derida se deriva2 sen (2x ) y queda f (x)=4 cos(2 x)

en la segundaderida sederiva4 cos(2x )queda f ”(x )=−8 sen(2 x)

en latercera derida se deriva4 cos(2 x)queda f ” ’( x)=−16 cos(2 x)

7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex Inx

f ' ( x )= ddx

ex∗¿ x+ex ddx

∈x

8

f ' ( x )=ex∈x+ ex∗1x

Derivada 1

f ' ( x )=ex∈x+ ex

x

f ' ' ( x )= ddx

e x∗¿ x+ex ddx

∈x+

ddx

ex∗x− ex∗ddx

x

x2

f ' ' ( x )=ex Inx∗ex

x+ex

( x−1 )x2

f ' ' ( x )=ex(Inx+ 1x+

( x−1 )x2 )

f ' ' ( x )=ex(Inx+ 1

x+x

x2 −1

x2 )Derivada 2

f ' ' ( x )=ex(Inx+ 2

x−

1

x2 )

8. Usando L’Hopital hallar el límite de:

limx−2

x2+2x−8x2−x−2

limx→2

22+2∗2−822−2−2

= 4+4−84−2−2

=00

Aplicando la regla de L’Höpital tendremos:

limx→c

f ( x )g ( x )

=limx→c

f ' ( x )g' ( x )

9

Derivamos cada una de las funciones

f ( x )=x2+2 x−8

f ' ( x )=2x+2

g ( x )=x2−x−2

g' ( x )=2 x−1

Aplicamos el límite a la derivada de las funciones originales.

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=limx→2

2 x+22 x−1

= 2∗2+22∗2−1

=63=2

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=2

9. De la curva f ( f )=x2−2 Hallar:

a. Las coordenadas del punto critico

f ' ( x )=2 x−1=0

x=12

f ( 12 )=(1

2 )2

−12= 1

4−1

2=−1

4

R/: El punto crítico tiene las coordenadas: ( 12,−14 )

b. Los puntos de inflexión si los hay

f left (x right ) =

No hay puntos de inflexión puesto que la segunda derivada es una constante,

además es cóncava hacia arriba.

10

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de

bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 (𝑥)

CT ( x )=100.000 .000x

+100 x+50

¿Qué sucede con el costo si pido más o menos cemento?

CT ( x )=100.000 .000x

+100 x+50

CT' (X )=−100.000 .000

x2+100

Igualando a o para buscar el mínimo:

0=100−100.000 .000

x2

−100=−100.000 .000

x2

x2=−100.000.000−100

x2=1.000 .000

x=1.000 Bultos decemento

Como a hallamos la cantidad de bultos de cemento a hora remplazamos en nuestra formula

el costo total del pedido.

CT ( x )=100.000 .000x

+100 x+50

CT (1000 )=100.000 .0001.000

+100∗1.000+50

CT (1000 )=100.000+100∗1.000+50

CT (1000 )=200.050 pesos

11

Se deben pedir mil (1.000) bultos de cemento para obtener el valor mínimo.

Porque si pedimos mil diez (1010) el costo sube a $ 200.059 y si pedimos novecientos

noventa (990) bultos incrementa a $200.060.

Precio del pedido mayor al punto crítico.

CT (1000 )=100.000 .0001.010

+100∗1.010+50

CT (1000 )=200 .059 pesos

Precio del pedido menor al punto crítico.

CT (1000 )=100.000 .000990

+100∗990+50

CT (1000 )=200 .060 pesos

500600

700800

9001000

11001200

13001400

15001600

17001800

19002000

200,000

210,000

220,000

230,000

240,000

250,000

260,000

PRECIO

PRECIO

12

CONCLUSIÓN:

Con la presentación del anterior trabajo cada estudiante interactuó en eldesarrollo del trabajo

colaborativo tres, se realizaron los ejercicios propuestos para el desarrollo de actividad reflejando

el nivel de conocimiento adquirido como el compromiso propuesto para el desarrollo del trabajo.

Se dio a conocer las bases para el desarrollo de ejercicios sobre derivadas y sus aplicaciones, con

el objetivo de cumplir con lo solicitado en el módulo.

13

REFERENCIAS:

Análisis de derivadas unidad 3 parte 1

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100410/CURSO_2014_2/Modulo_Calculo_Diferen

cial_I_2010_Unidad_3_1.pdf

Análisis de derivadas unidad 3 parte 2

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100410/CURSO_2014_2/Modulo_Calculo_Diferen

cial_I_2010_Unidad_3_Parte_2.pdf

Instituto ISIV (02/12/20109 Derivadas: interpretación geométrica, definición, cálculo y

propiedades. [Vídeo] Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?

v=t5ceJBl6UxQ&feature=youtu.be

JULIO PROFE (2/10/2012). Derivadas de orden superior: tercera derivada de una función

algebraica. [Vídeo] Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?

v=mrjOoAOsqHo&feature=youtu.be

MIPROFESORDEMATEMATICAS. (02/05/1012). Derivada de una función

compuesta. [Vídeo] Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?

v=7X6aqHOggFY&feature=youtu.be

RONDÓN DURÁN, Jorge Eliécer; ORTEGON CAMACHO, Francisco Modulo de cálculo

diferencial, Universidad Nacional Abierta y a Distancia. UNAD; Bogotá D.C. 2006

14

15