100411 62 trabajo colaborativo 1

8/16/2019 100411 62 Trabajo Colaborativo 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Cálculo Inegral!""#!!$%&

Calculo inegral

Tra'a(o cola'orai)o *ase !

+resenado or-

Daner. Eliana /)ila 0ar12n

C2digo- !"3!4%4&54

Aura 6argaria Villa

C2digo- !"7%58774"

Asdr9'al Roa Ordo:e1

C2digo- !"4&!&3&"4

Alison Caroline Nieo ;ende(as

C2digo


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Introducción

El cálculo es una ra@a de las @ae@áicas en el roceso de inegraci2n o ani deri)aci2n es@u. co@9n en la ingeniería . en la @ae@áica general se uili1a rincial@ene ara elcálculo de áreas . )ol9@enes de regiones . s2lidos de re)oluci2n<

ue usado or ri@era )e1 or ciení*icos co@o Aruí@edes, Ren Descares, Isaac Neon, 0o*ried Lei'ni1 e Isaac Barro< Los ra'a(os de ese 9li@o . los aores de Neon generaron el eore@a *unda@enal del cálculo inegral, ue roone ue laderi)aci2n . la inegraci2n son rocesos in)ersos<

En el desarrollo de ese e(ercicio se reende ue los esudianes aduieran conoci@ienosacerca de la inerreaci2n de los daos de cada uno de los e(ercicio ue se resenan en la

guía, reconocer el conenido de la inegral co@o la deri)ada esas son erra@ienasi@oranes ue a.udan a resol)er ro'le@as en la *ísica, la esadísica, la ro'a'ilidad, laidráulica . oros ca@os de la ciencias, es or eso ue los e@as a'ordados en esa unidadson i@oranes<

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Objetivo general

Logra@os desre1as . a'ilidades roios . esecí*icos ue se reuieren ara ener un@e(or do@inio del e@a, . oder así reararnos ara dar soluciones a las di*erenesano@alías ue se resenen en nuesro @edio ersonal, la'oral . ro*esional@ene<

Se logran enendi@ienos claros . re*or1a@os nuesros conoci@ienos desarrollando cadauno de los ro'le@as laneados guiándonos aso a aso a nuesro arendi1a(e<

3


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Ejerció numero 1: ∫ x

3+ x−2 x

2 dx

+ri@ero ue odo se searan los r@inos de la inegral de al *or@a ue no ueden su@as oresas en el nu@erador<

¿∫ x3

x2 dx+∫ x

x2 dx−∫ 2

x2 dx

Luego se rocede a reali1ar la inegral de cada una or aare<

∫ x3

x2dx=

x2

2

∫ x x

2 dx=

−2 x

∫ 2 x

2 dx=

−1 x

+or ende la resuesa seria-

¿ x

2

2 −

1

x=−2 x +c

4


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Ejerció 2: ∫Sec

2 ( x )

√ tan ( x )dx

a< Usa@os eFonenes *raccionarios . negai)os-

∫ tan−12 x sec3 x dx

'< Seara@os el *acor con eFonene i@ar-

∫ tan−12 x sec2 x secx dx

c .Usamos tan2 x+sec2 x=1∴ sec2 x=1−tan2 x ; sustituimos ymultiplicamos -

∫ tan−12 x (1−tan2 x )Secx dx

∫ (tan−12 x Secx− tan

−32 x secx )dx

∫ tan−12 x secx dx−∫ tan

−32 x secx dx

∫ tan1

2 xd (tanx )−∫ tan3

2 xd ( tanx )

d .Usamos∫U n du=U n+1

n+1 +C y reemplazamos.

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tan1

2 x

1

2

−sec

5

2 x

5

2

+C

2tan1

2 x−2

5 tan

2

5 x+C

2√ tanx−2√ tanx √ tan

4 x

5 +C

2√ tanx(1−√ tan

4

x5 )+C

2√ tanx(1− tan2 x

5 )+C

Ejerció Numero 3.

1+3 x¿2

¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿

1+3 x¿2

¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿

6


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¿∫ 9 x2

+6 x+13√ xdx

Alica@os la regla de la su@a- Inegral de la su@a

Seara@os las *unciones es decirG los r@inos de la inegral

∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x ) dx±∫g ( x )dx

∫ 9 x2

3√ x

dx+∫ 6 x3√ x

dx+∫ 13√ x

dx

Se resuel)e cada inegral or searado-

+ri@era Inegral-

∫ 9 x2

3√ x

dx

Se eFrae la Consane-

∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx

7


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¿9∫ x2

3√ x

d=9∫ x5

3 dx

Alicar la regla de la +oencia-

∫ xa dx= xa+1

a+1a≠−1

∫ 9 x2

3√ x

dx=9 x

5

3+15

3+1

Segunda Inegral-

∫ 6 x3√ x

dx

Se eFrae la Consane-

∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx

¿6∫ x3√ x

d=6∫ x2

3 dx


∫ xa dx= xa+1

a+1a≠−1

8


9/28



6 x

2

3+12

3+1

Si@li*icar-

6 x

2

3+12

3+1

=18 x

5

3

5

∫ 6 x3√ x

dx=18 x

5

3

5

Tercera Inegral-

∫ 13√ x

dx

Usar la +roiedad de los EFonenes-

9


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1

an=a−n

13√ x

= x−13 =∫ x

−13 dx


∫ xa dx= xa+1

a+1a≠−1

¿ x

−13 +1

−13 +1

Si@li*icar-

∫ 13√ x

dx=3 x

2

3

2

Se unen los resulados de las res inegrales< Agregar una consane a las soluci2n-

Si dF ( x )

dx =f ( x ) entonces∫ f ( x ) dx= F ( x)+C

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1+3 x¿

2

¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿

Ejercicio número 4:

∫tan

3

( x ) dx

Descomponemos tan3 ( x ) en:

∫ tan ( x )∗tan2 ( x )dx ; Donde la idenidad rigono@rica de tan2 ( x )=Sec2 ( x )−1

∫ tan ( x ) [Sec2 ( x )−1 ] dx , donde @ulilica@os . o'ene@os

∫ tan ( x )∗Sec2 ( x )−tan ( x )dx ; Luego

∫ tan ( x )∗Sec2 ( x ) dx−∫ tan ( x ) dx ,

Reali1a@os la ri@era inegral or susiuci2n or susiuci2n ara o'ener su resulado

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DondeU =tan ( x ) y du=Sec2 ( x ) dx ; Susiui@os e inegra@os ∫udu=u

2

2 +c

ree@la1a@os . o'ene@os1

2 tan

2( x )

Reali1a@os la segunda inegral in@ediaa ∫ tan ( x ) dx=−log (cos ( x ) ) . organi1a@os la

resuesa1

2 tan

2 ( x )−[−log (cos ( x ) ) ]=12 tan

2 ( x )+log (cos ( x ))

Resuesa1

2 tan

2 ( x )+ log (cos ( x ) )+c

El con(uno de odas las anideri)adas de *HF se lla@a inegral inde*inida de * reseco a F,. se denoa or el sí@'olo ∫ f ( ) dx= F ( )+C < Resol)er las siguienes inegrales<

Ejercicio Numero 5

∫ √ 2+93√ x

3√ x

dx

Soluci2n-

2+9 x1

3¿1

2

¿

¿ x2

3

¿¿

¿∫ ¿

12


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Jalle@os x=2+9 x1

3=9.1

3 x

−23 dx

dx=3 x−23 dx

dx=3dx

x2

3

dx=dx

3 =

dx

x

2

3

2+9 x1

3 ¿3

2+c

¿1

3∫ x

1

2 dx=1

2.2

3 x

3

2+c=2

9¿

2+9 3√ x¿3

2+c2

9

¿

Ejercicio número 6.

∫ x√ 3− x

4dx

Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-

13


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g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿

∫¿

u=g ( x )u= x2 du=2 xdx

Susiuir-

u= x2

du

dx=2 x

d

dx=( x2)


d

dx ( xa )=a∗ xa−1

d

dx=( x2 )=2 x2−1

Si@li*icar-

¿2 x2−1=2 x

Dese(ar du-

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du

dx=2 x=du=2 xdx

Dese(ar dF-

dx= 1

2 x du

Se une la inegral inde*inida con dF

∫ x√ 3− x

4

1

2 x du

∫ 12√ 3− x

4du


u= x2

15


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∫ 12√ 3−u

2du

Sacar la Consane-

∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx

1

2∫ 1

√ 3−u2du


g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿

∫¿

u=g ( x )u=√ 3 sen (! )du=√ 3cos (! )d!

Susiuir-

u=√ 3 sen(!)

√ 3 sen (! ) ¿2

¿¿

3−¿√ ¿1¿

∫ 1√ 3−u

2 du=∫¿

16


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√ 3 sen ( ! )¿2

¿¿

3−¿√ ¿1¿∫ ¿

¿1

2∫ √ 3cos (! )

√ 3−3 sen2 ( ! ) d!

Sacar la Consane-

∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx

¿1

2 √ 3∫ cos ( ! )

√ 3−3 se n2 (! )

d!

Alicar la +roiedad Alge'raica

1+"

a(a+")=a ¿

3−3 sen2 ( ! )=3(1−3 sen2 (! )

3 )

¿1

2 √ 3∫ cos ( ! )

√3 (1−3 se n

2 ( ! )3 )

d!

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Si@li*icar-

¿1

2 √ 3∫ cos ( ! )

√ 3√ 1−sen2 ( ! )

d!

Usar la siguiene Idenidad rigono@rica-

1−sen2 ( x )=co s2 ( x )

¿1

2 √ 3∫ cos (! )

√ co s2 ( ! )√ 3

d!

!cos (¿)¿

√ cos2 (! )=¿

¿1

2 √ 3∫ cos (! )

cos (! ) √ 3 d!

Si@li*icar-

¿1

2 √ 3∫ 1

√ 3d!

18


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Inegral de una consane-

∫f (a

)dx= x∗f (a

)

¿1

2 √ 3

1

√ 3!

Susiuir en la ecuaci2n

!=arcsen( 1√ 3 u) ,u= x2

¿1

2 √ 3

1

√ 3arcsen( 1√ 3 x

2)

Si@li*icar

¿1

2 arcsen( x

2

√ 3 )

Agregar una consane a las soluci2n-

Si dF ( x )

dx =f ( x ) entonces∫ f ( x ) dx= F ( x)+C

∫ x√ 3− x

4dx=

1

2 arcsen( x

2

√ 3 )+C

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El con(uno de odas las ani deri)adas de *HF se lla@a inegral inde*inida de * reseco a F,

. se denoa or el sí@'olo ∫ f ( )dx= F ( )+C < Resol)er las siguienes inegrales<

Ejercicio

∫ Sen (4 x ) .cos (3 x ) dx

!< Si@li*icar @ediane idenidad rigono@rica<

Senx .Cosy=

1

2 [Sen ( x− y )+Sen ( x+ y ) ]

&< Se susiu.e . se desglosa en dos inegrales-

∫ Sen4 x .cos 3 x=dx=∫ 12

[ Sen (4 x−3 x )+Sen (4 x+3 x ) ] dx

1

2 [Sen (4 x−3 x )+Sen (4 x+3 x ) ]

1

2∫ Sen1 x dx+∫Sen7 x dx

A B

7< Se resuel)e cada inegral or searado-

+ri@era Inegral-

#=1

2∫ Sen1 x dx=1

2∫ Sen1 x dx

u

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u=1 x du=1dx

Se co@lea la inegral . se reali1a el ca@'io de )aria'le-

#=1

2 (11 )∫ Sen1 x1dx=12∫ Senudu=−12 cosu+C

Senu du

#=−12 cos1 x+C

Segunda Inegral-

$=1

2∫ Sen7 x dx=1

2∫ Sen7 x dx

u

u=7 x du=7dx

La inegral se co@lea . se reali1a el ca@'io de )aria'le-

$=1

2 ( 17 )∫ Sen7 x 7dx= 114∫ Senudu=−114 cosu+C

Senu du

$=−114

cos7 x+C

#< Al *inal se unen los resulados de las dos inegrales-

∫ Sen (4 x ) cos (3 x ) dx=−12 cos1 x+C −

1

14 cos7 x+C

21


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Ejercicio Número !:

% cos

3 (t )+1

cos2 (t )

dt

+ara e@e1ar, de'e@os uili1ar la regla de la su@a, esa regla dice ue-

% f ( x ) ± g ( x ) dx= % f ( x ) dx± % g ( x )dx

+or ano, ene@os ue-

% cos

3 (t )+1

cos2 (t )

dt + % 1

cos2 ( t )

dt

Aora, resol)e@os cada ele@eno de la ecuaci2n-

% cos

3 (t )+1

cos2 (t )

dt

Si@li*ica@os-

% cos (t )dt

Y, alica@os la regla de la inegraci2n-

% cos (t )dt =sen (t )

Aora-

% 1

cos2 (t )

dt

I@le@ena@os nue)a@ene la regla de la inegraci2n-

22


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% 1

cos2 (t )

dt =tan (t )

Así, ene@os aora-

sen(t )+ tan (t )

+or 9li@o, agrega@os una consane a la ecuaci2n-

sen (t )+ta n (t )+C

Ejercicio Numero 12

Alicar el segundo Teore@a *unda@enal del cálculo ara resol)er

∫0

&

4

sen3(2 x)cos (2 x)dx

∫0

& 4

sen3(2 x)cos (2 x)dx

∫ sen3(2 x)cos (2 x)dx


g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿

∫¿

23


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u=g ( x )u=2 x du=2dx

¿∫ se n3(u)cos (u) 12

du

Sacar la consane-

∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx

¿1

2∫ se n3

(u)cos (u)du


g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿

∫¿

u=g ( x ) !=sen(u)d!=cos(u)du

¿1

2∫ !3du

Alicar la Regla de la +oencia-

∫ xa dx= xa+1

a+1, ≠ a−1

¿1

2

!3+1

3+1

Susiuir en la ecuaci2n

24


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u=2 x!=sen (u ) ,¿

¿1

2

sen3+1(2 x )3+1

Si@li*icar-

¿1

8 se n

4 (2 x )

Agregar una consane a la soluci2n

Si dFx

dx =f x entonces∫ fxdx= Fx+C

¿1

8 se n4 (2 x )+C

Calcular los Li@ies-

∫0

& 4

se n3 (2 x ) cos (2 x )dx :∫

0

& 4

se n3 (2 x ) cos (2 x ) dx

1

8

−0

25


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x' a+¿ ( F ( x ) ) '"−¿ ( F ( x ) )−lim

¿¿

∫0

& 4

f ( x ) dx= F (" )− F ( a )=lim¿¿

x '0+¿( 18 se n4 (2 x ))=0lim¿¿

x'0+¿(1

8 se n4

(2 x ))lim¿¿

Susiuir la Varia'le

¿1

8 se n

4 (2∗0 )

Si@li*icar

¿0

x ' &

4−¿( 18 se n4 (2 x ))

lim¿¿

Susiuir la Varia'le

¿1

8 se n

4 (2 & 4 )

Si@li*icar-

26


27/28



¿1

8

¿1

8−0

∫0

&

4

sen3 (2 x ) co s (2 x )dx=

1

8

"onclu#ione#

• Aduiri@os conoci@ienos . rinciios en ese ra'a(o reali1ado se arendi2 los

conceos 'ásicos so're el cálculo inegral . sus alicaciones< Se arendi2 ue dadauna *unci2n no negai)a *HF, . un iner)alo Ka, ' en el cual la *unci2n es de*inida,lla@are@os inegral de*inida de *HF en Ka, ' al área encerrado or la cur)a * enre a. b, . el e(e OM<

• Desarrolla@os conoci@ienos claros ue son de gran a.uda ara en el e@a

laneado re*or1ando nuesro ni)el inelecual alicado a nuesro @edio


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$ibliogra%&a

To@ado de @aerial didácico Calculo Inegral<

'niver#idad nacional abierta ( a di#tancia ) unad escuela de ciencias 'ásicas, ecnologíae ingeniería<

RONDON DURAN, =orge Eliecer, 6odulo de cálculo di*erencial, Uni)ersidad NacionalA'iera . a Disancia< UNADG Bogoá D

100411 62 trabajo colaborativo 1

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