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Q u a l i t a t i v e l y D e s c r i b i n g O b j e c t s U s i n g S p a t i a l

P r e p o s i t i o n s

A l i c i a A b e l l a J o h n R . K e n d e r

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

C o l u m b i a U n i v e r s i t y

N e w Y o r k , N Y 1 0 0 2 7

A b s t r a c t

T h e o b j e c t i v e i n t h i s p a p e r i s t o p r e s e n t a f r a m e -

w o r k f o r a s y s t e m t h a t d e s c r i b e s o b j e c t s i n a q u a l -

i t a t i v e f a s h i o n . A s u b s e t o f s p a t i a l p r e p o s i t i o n s i s

c h o s e n a n d a n a p p r o p r i a t e q u a n t i c a t i o n i s a p -

p l i e d t o e a c h o f t h e m t h a t c a p t u r e t h e i r i n h e r -

e n t q u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s . T h e q u a n t i c a t i o n s u s e

s u c h o b j e c t a t t r i b u t e s a s a r e a , c e n t e r s , a n d e l o n g a -

t i o n p r o p e r t i e s . T h e f a m i l i a r z e r o t h , r s t , a n d s e c -

o n d o r d e r m o m e n t s a r e u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e s e

a t t r i b u t e s . T h i s p a p e r w i l l d e t a i l h o w a n d w h y t h e

p a r t i c u l a r q u a n t i c a t i o n s w e r e c h o s e n . S i n c e s p a -

t i a l p r e p o s i t i o n s a r e b y t h e i r n a t u r e r a t h e r v a g u e

a n d d e p e n d e n t o n c o n t e x t a t e c h n i q u e f o r f u z z i -

f y i n g t h e d e n i t i o n o f t h e s p a t i a l p r e p o s i t i o n i s

e x p l a i n e d . F i n a l l y a n e x a m p l e t a s k i s c h o s e n t o

i l l u s t r a t e t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e q u a n t i c a t i o n

t e c h n i q u e s .

I n t r o d u c t i o n

T h e w o r k p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r i s m o t i v a t e d b y a n

i n t e r e s t i n h o w s p a t i a l p r e p o s i t i o n s m a y b e u s e d t o

d e s c r i b e s p a c e a n d m o r e i n t e r e s t i n g l y , t h e s p a t i a l r e -

l a t i o n s h i p a m o n g t h e o b j e c t s t h a t o c c u p y t h a t s p a c e .

T h i s w o r k i s n o t c o n c e r n e d w i t h t h e n a t u r a l l a n g u a g e

a s p e c t o f s p a t i a l p r e p o s i t i o n s . G i v e n a p a r t i c u l a r e n -

v i r o n m e n t a n d a p a r t i c u l a r t a s k , w h e r e t h e t a s k a n d

e n v i r o n m e n t m a y c h a n g e , w e w i s h f o r a f r a m e w o r k t h a t

d e s c r i b e s t h e e l e m e n t s i n t h e e n v i r o n m e n t . I t i s t h i s

f r a m e w o r k t h a t i s o f c o n c e r n i n t h i s p a p e r .

I t i s k n o w n t h a t l a n g u a g e m e a n i n g i s v e r y m u c h d e -

p e n d e n t o n c o n t e x t . A n e x a m p l e o f a c o n t e x t d e p e n -

d e n t u s e o f t h e s p a t i a l p r e p o s i t i o n n e x t a s t a k e n f r o m

L a n d a u a n d J a c k e n d o , a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n i s

t h e b i c y c l e n e x t t o t h e h o u s e . W e w o u l d n o r m a l l y n o t

s a y t h e h o u s e n e x t t o t h e b i c y c l e . T h i s i s t h e c a s e b e -

c a u s e t h e h o u s e i s l a r g e r i n s i z e a n d a s s u c h i t s e r v e s

a s a n a n c h o r f o r t h o s e o b j e c t s a r o u n d i t . T h e h o u s e

i n t h i s e x a m p l e s e r v e s a s a r e f e r e n c e o b j e c t , o r i n a n

e n v i r o n m e n t a l c o n t e x t , a s a l a n d m a r k . I n t h e s y s t e m

p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r e i t h e r d e s c r i p t i o n i s a c c e p t a b l e

s i n c e t h e o n l y c o n c e r n i s i n t h e s p a t i a l a r r a n g e m e n t o f

t h e o b j e c t s i r r e s p e c t i v e o f t h e s i z e o r t h e p u r p o s e o f

e i t h e r o f t h e t w o o b j e c t s .

T h e t r e a t m e n t o f o b j e c t s i n o u r c h o s e n e n v i r o n m e n t

i s a b i n a r y o n e . T h e r e i s n o t a r e f e r e n c e o b j e c t , o r

l a n d m a r k , b e c a u s e w e w i s h t o a v o i d c h o o s i n g a r e f -

e r e n c e o b j e c t t h a t w o u l d r e q u i r e t h e u s e o f p h y s i c a l

a t t r i b u t e s s u c h a s c o l o r , s i z e , o r s h a p e a n d f o c u s s o l e l y

o n t w o o b j e c t s ' s p a t i a l r e l a t i o n s h i p . I f w e t h i n k a b o u t

t h e u s e o f a p r e p o s i t i o n l i k e n e a r w e r e a l i z e t h a t t h e

r e q u i r e m e n t o f a p a r t i c u l a r s h a p e i s n o t n e e d e d f o r

i t s p r o p e r u s e . L a n d a u a n d J a c k e n d o

L a n d a u a n d

J a c k e n d o , a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n h a v e c a t e g o r i z e d

s p a t i a l p r e p o s i t i o n s i n t o t h o s e t h a t d e s c r i b e v o l u m e s ,

s u r f a c e s , p o i n t s , l i n e s , a n d a x i a l s t r u c t u r e . T h e y h a v e

p o i n t e d o u t t h a t a n o b j e c t c a n b e r e g a r d e d a s a \ l u m p "

o r \ b l o b " a s f a r a s m o s t o f t h e c o m m o n l y u s e d s p a t i a l

p r e p o s i t i o n s a r e c o n c e r n e d . F o r e x a m p l e t h e p r e p o -

s i t i o n i n o r i n s i d e c a n r e g a r d a n o b j e c t a s a b l o b a s

l o n g a s t h e b l o b h a s t h e c a p a c i t y t o s u r r o u n d . L i k e -

w i s e , n e a r a n d a t o n l y r e q u i r e t h a t t h e b l o b h a v e s o m e

s p a t i a l e x t e n t . A l o n g r e q u i r e s t h a t a n o b j e c t b e f a i r l y

l i n e a r a n d h o r i z o n t a l w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r .

T h e w o r k p r e s e n t e d i n

H e r s k o v i t s , 1 9 8 6 c o v e r s t h e

t o p i c o f s p a t i a l p r e p o s i t i o n s f a i r l y e x t e n s i v e l y f r o m a

n a t u r a l l a n g u a g e p e r s p e c t i v e . T h e a u t h o r o n l y s u g -

g e s t s t h e p o s s i b i l i t y o f c o n s t r u c t i n g a c o m p u t a t i o n a l

m o d e l f o r e x p r e s s i n g s p a t i a l p r e p o s i t i o n s . T h e i n t e n t

h e r e i s t o d e m o n s t r a t e t h a t a c o m p u t a t i o n a l m o d e l

c a n b e c o n s t r u c t e d a n d t h a t i t i n d e e d c a p t u r e s t h e v i -

t a l p r o p e r t i e s s u c i e n t f o r a s u c c i n c t u s e o f t h e c h o -

s e n p r e p o s i t i o n s . W e c a n e n c o d e t h e s p a t i a l p r e p o s i -

t i o n s f a i r l y c o n c i s e l y b e c a u s e w e a r e t r e a t i n g o b j e c t s

a s \ b l o b s " a n d b e c a u s e m o s t o f t h e p r o p e r t i e s c h a r -

a c t e r i z e d b y t h e s e p r e p o s i t i o n s c a n b e e n c o d e d u s i n g

g e o m e t r i c p r o p e r t i e s s u c h a s a l i g n m e n t a n d d i s t a n c e .

O t h e r r e l a t e d w o r k s c a n b e f o u n d i n

L i n d k v i s t , 1 9 7 6 ;

T a l m y , 1 9 8 3

T h e f o l l o w i n g s e c t i o n s w i l l p r o v i d e t h e d e t a i l s o f

t h e e n c o d i n g w e h a v e c h o s e n a n d d e m o n s t r a t e t h e m

t h o u g h t h e u s e o f a n e x a m p l e .

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N o t a t i o n s a n d D e n i t i o n s

T h e p r e p o s i t i o n s f o r w h i c h w e h a v e e n c o d e d a r e n e a r ,

f a r , i n s i d e , a b o v e , b e l o w , a l i g n e d , n e x t . W e h a v e d e -

n e d a p r e p o s i t i o n a s a p r e d i c a t e t h a t m a p s k o b j e c t s

t o t r u e ( T ) o r f a l s e ( F ) ; t r u e i f t h e k o b j e c t s m e e t

t h e r e q u i r e m e n t s i m p o s e d b y t h e p r e p o s i t i o n a n d f a l s e

o t h e r w i s e .

p O

k

? ! f T F g

w h e r e p i s a p r e p o s i t i o n a n d O

k

i s a k - t u p l e o f o b j e c t s .

I n t h i s p a p e r w e w i l l c o n s i d e r k = 2 . N e v e r t h e l e s s ,

p r e p o s i t i o n s t h a t i n v o l v e t h r e e o b j e c t s l i k e b e t w e e n c a n

a l s o b e r e p r e s e n t e d , u s i n g a s i m i l a r f o r m a l i s m .

N o w t h a t w e h a v e d e n e d a p r e p o s i t i o n w e n e e d t o

d e n e a n o b j e c t . F o r m a l l y , e a c h o b j e c t i s r e p r e s e n t e d

b y a s i x e l e m e n t v e c t o r t h a t d e p e n d o n a n o b j e c t ' s a r e a

A , c e n t e r ( x

c

y

c

) , a n d i n e r t i a t e n s o r

I

x x

I

x y

I

x y

I

y y

I t i s i m p o r t a n t t o s c a l e t h e e l e m e n t s i n t h i s v e c t o r

s o t h a t t h e y h a v e c o n s i s t e n t u n i t s , i n t h i s c a s e u n i t s o f

l e n g t h , b e c a u s e w e w i l l u s e t h i s v e c t o r i n t h e f u z z i c a -

t i o n p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . T h e r e f o r e , t h e

k

t h

o b j e c t i s r e p r e s e n t e d b y a v e c t o r

k

= (

p

A

k

x

k

c

y

k

c

4

q

I

k

x x

4

q

I

k

x y

4

q

I

k

y y

)

T h e p a i r o f o b j e c t s i s r e p r e s e n t e d b y a 1 2 - c o m p o n e n t

v e c t o r

= (

1

2

) 2 R

1 2

I t i s t h i s s c a l e d v e c t o r t h a t w e w i l l b e u s i n g i n o u r

f u t u r e c a l c u l a t i o n s .

T h e p a r a m e t e r i z a t i o n o f o b j e c t s p r e s e n t e d a b o v e

l e a d s t o t h e c o n c e p t o f a b o u n d i n g b o x . A b o u n d i n g

b o x e n c l o s e s t h e o b j e c t u s i n g c e r t a i n c r i t e r i a . T h e r e

a r e v a r i o u s w a y s i n w h i c h t o c o m p u t e a b o u n d i n g b o x

f o r a n o b j e c t , o n e o f w h i c h m a y b e t o n d t h e m a x -

i m u m a n d m i n i m u m x a n d y v a l u e s b e l o n g i n g t o t h e

o b j e c t . T h e o n e w e ' v e c h o s e n i s d e n e d t h r o u g h t h e

v a l u e s o f

x

a n d

y

, t h a t o e r a m e a s u r e o f h o w m u c h

a n o b j e c t s t r e t c h e s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n . S e e t h e

A p p e n d i x f o r t h e d e r i v a t i o n .

T w o o b j e c t s d e n e a p o i n t i n 1 2 D s p a c e . A p r e p o -

s i t i o n p c a n b e t h o u g h t o f a s a s e t o f p o i n t s U

p

2 R

1 2

s u c h t h a t U

p

= f p ( ) g . T h e v o l u m e i n t h i s 1 2 D

s p a c e m a y b e a b l e t o r e v e a l s o m e o f t h e i n h e r e n t p r o p -

e r t i e s a s s o c i a t e d w i t h p r e p o s i t i o n s . I n o t h e r w o r d s ,

e x a m i n a t i o n o f t h e s p a c e o c c u p i e d b y t h e v a r i o u s s e t s

U

p

m a y t e l l u s s o m e t h i n g a b o u t t h e s p a t i a l p r e p o s i -

t i o n s . V a c a n c i e s i n t h i s 1 2 D s p a c e m a y r e v e a l w h y w e

d o n o t h a v e a w o r d t o d e s c r i b e c e r t a i n s p a t i a l r e l a t i o n -

s h i p s a m o n g o b j e c t s . T h e i n t e r s e c t i o n a n d d i s t a n c e s o f

v o l u m e s o c c u p i e d b y v a r i o u s s p a t i a l p r e p o s i t i o n s m a y

r e v e a l a c o r r e l a t i o n b e t w e e n v a r i o u s p r e p o s i t i o n s .

W e s a y t h a t o b j e c t s O

1

a n d O

2

a r e i n p r e p o s i t i o n p

i f (

1

2

) 2 U

p

. T h i s \ i d e a l " s e t i s m a d e u p o f p a i r s o f

o b j e c t v e c t o r s t h a t s a t i s f y t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e d b y

t h e p r e p o s i t i o n p . A s w e w e l l k n o w , p r e p o s i t i o n s a r e

i n h e r e n t l y v a g u e i n t h e i r d e s c r i p t i o n s , a n d t h e i r i n t e r -

p r e t a t i o n m a y v a r y f r o m p e r s o n t o p e r s o n . B e c a u s e o f

t h i s , i t i s i m p o r t a n t t o a d d s o m e f u z z i f y i n g a g e n t t o

o u r i d e a l s e t . T h e f u z z i f y i n g t e c h n i q u e i s a s d e n e d

t h r o u g h f u z z y s e t t h e o r y

K l i r a n d F o l g e r , 1 9 8 8 . T h e

t h e o r y o f f u z z y s e t s i s u s e d t o r e p r e s e n t u n c e r t a i n t y ,

i n f o r m a t i o n , a n d c o m p l e x i t y . T h e t h e o r y o f c l a s s i c a l

s e t s

1

r e p r e s e n t s c e r t a i n t y . A c l a s s i c a l s e t d i v i d e s o b -

e c t s i n t h e w o r l d i n t o t w o c a t e g o r i e s t h o s e t h a t c e r -

t a i n l y b e l o n g t o a s e t a n d t h o s e t h a t c e r t a i n l y d o n o t

b e l o n g t o a s e t . A f u z z y s e t , o n t h e o t h e r h a n d , d i v i d e s

t h e w o r l d m u c h m o r e l o o s e l y , b y i n t r o d u c i n g v a g u e n e s s

i n t o t h e c a t e g o r i z a t i o n p r o c e s s . T h i s m e a n s t h a t m e m -

b e r s o f a s e t b e l o n g t o t h a t s e t t o a g r e a t e r o r l e s s e r

d e g r e e t h a n o t h e r m e m b e r s o f t h e s e t . M a t h e m a t i c a l l y ,

m e m b e r s o f t h e s e t a r e a s s i g n e d a m e m b e r s h i p g r a d e

v a l u e t h a t i n d i c a t e s t o w h a t d e g r e e t h e y b e l o n g t o t h e

s e t . T h i s m e m b e r s h i p g r a d e i s u s u a l l y a r e a l n u m b e r i n

t h e c l o s e d i n t e r v a l b e t w e e n 0 a n d 1 . T h e r e f o r e a m e m -

b e r t h a t h a s a m e m b e r s h i p g r a d e c l o s e r t o 1 b e l o n g s t o

t h e s e t t o a g r e a t e r d e g r e e t h a n a m e m b e r w i t h a l o w e r

m e m b e r s h i p g r a d e . B e c a u s e o f i t s p r o p e r t i e s f u z z y s e t

t h e o r y c a n n d a p p l i c a t i o n i n e l d s t h a t s t u d y h o w

w e a s s i m i l a t e i n f o r m a t i o n , r e c o g n i z e p a t t e r n s

A b e l l a ,

1 9 9 2 , a n d s i m p l i f y c o m p l e x t a s k s . I n o u r n o t a t i o n

t h e f u z z i e d i d e a l s e t i s d e n e d t h r o u g h a m e m b e r s h i p

f u n c t i o n

f

U

p

( ) 2 0 1

W e a l s o d e n e a t h r e s h o l d v a l u e t h a t d e p e n d s o n h o w

m u c h v a g u e n e s s w e a l l o w b e f o r e w e d e c i d e t h a t t w o

o b j e c t s a r e n o l o n g e r d e s c r i b a b l e w i t h t h e g i v e n p r e p o -

s i t i o n :

f

U

p

( )

p

C o m p u t a t i o n a l M o d e l o f S p a t i a l

P r e p o s i t i o n s

T h e q u a n t i c a t i o n o f p r e p o s i t i o n s e n t a i l s r e p r e s e n t -

i n g o b j e c t s t h r o u g h c e r t a i n p h y s i c a l p r o p e r t i e s t h a t

c a n t h e n s e r v e a s a b a s i s f o r e x p r e s s i n g p r e p o s i t i o n s .

T h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s w e ' v e c h o s e n i n c l u d e o b j e c t

a r e a , c e n t e r s o f m a s s , a n d e l o n g a t i o n p r o p e r t i e s . T h e s e

p r o p e r t i e s a r e c a l c u l a t e d t h r o u g h t h e u s e o f t h e z e r o t h ,

r s t , a n d s e c o n d o r d e r m o m e n t s . T h e b a s i s f o r t h i s

c h o i c e o f a t t r i b u t e s i s s i m p l i c i t y a n d f a m i l i a r i t y . W h a t

e n s u e s i s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e v a r i o u s p r e p o s i t i o n s

w e ' v e c h o s e n t o i l l u s t r a t e . E a c h p r e p o s i t i o n i s d e n e d

t h r o u g h a s e t o f i n e q u a l i t i e s . T h i s r e s u l t s i n s e t s U

p

h a v i n g n o n z e r o m e a s u r e ( i . e . f u l l d i m e n s i o n a l i t y ) i n

R

1 2

w h i c h i s n e c e s s a r y f o r t h e f u z z i c a t i o n p r o c e d u r e

d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 .

N E A R

W e ' v e d e n e d n e a r s o t h a t o b j e c t s ' b o u n d i n g b o x e s

1

R e f e r r e d t o a s \ c r i s p " s e t s i n f u z z y s e t t h e o r y .

7/29/2019 10.1.1.38.3847

3/5

x

1

c

? x

2

c

y

1

c

? y

2

c

2

2

y

2

2

x

2

1

x

2

1

y

F i g u r e 1 : T w o o b j e c t s t h a t a r e n e a r e a c h o t h e r

x

1

c

? x

2

c

?

1

x

?

2

x

x

1

c

? x

2

c

F i g u r e 2 : T w o o b j e c t s t h a t a r e f a r f r o m e a c h o t h e r

h a v e a n o n - e m p t y i n t e r s e c t i o n ( s e e g u r e 1 ) . M a t h e -

m a t i c a l l y t h i s i s :

1

x

+

2

x

> x

1

c

? x

2

c

a n d

1

y

+

2

y

> y

1

c

? y

2

c

F A R

F a r i s n o t t h e c o m p l e m e n t o f n e a r a s o n e m a y i n i t i a l l y

s u s p e c t . W e m a y b e f a c e d w i t h a c a s e w h e r e a n o b j e c t

i s n e i t h e r n e a r o r f a r f r o m a n o t h e r o b j e c t , b u t r a t h e r

i t i s s o m e w h a t n e a r o r s o m e w h a t f a r . T h i s n o t i o n o f

s o m e w h a t w i l l b e e x p l a i n e d m o r e f u l l y w h e n w e i n t r o -

d u c e t h e c o n c e p t o f f u z z i f y i n g o u r \ i d e a l " s e t . F o r n o w

i t s u c e s t o s a y t h a t f a r i s d e n e d s o t h a t t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t w o b o u n d i n g b o x e s i n e i t h e r t h e x e x t e n t o r

t h e y e x t e n t i s l a r g e r t h a n t h e m a x i m u m l e n g t h o f t h e

t w o o b j e c t s i n t h a t s a m e x o r y e x t e n t ( s e e g u r e 2 ) .

M a t h e m a t i c a l l y ,

x

1

c

? x

2

c

? (

1

x

+

2

x

) > 2 m a x (

1

x

2

x

) o r

y

1

c

? y

2

c

? (

1

y

+

2

y

) > 2 m a x (

1

y

2

y

)

I N S I D E

I n s i d e r e q u i r e s t h a t t h e b o u n d i n g b o x o f o n e o b j e c t

1

m a x

1

1

m n

2

m a x

2

2

m n

F i g u r e 3 : D e n i t i o n o f r e l e v a n t a n g l e s f o r a l i g n e d

b e c o m p l e t e l y e m b e d d e d w i t h i n t h e b o u n d i n g b o x o f

a n o t h e r . F o r m a l l y ,

1

x

?

2

x

> x

1

c

? x

2

c

a n d

1

y

?

2

y

> y

1

c

? y

2

c

A B O V E , B E L O W

A b o v e r e q u i r e s t h a t t h e p r o j e c t i o n s o f b o u n d i n g b o x e s

o n t h e x a x i s i n t e r s e c t a n d t h a t t h e p r o j e c t i o n s o f

b o u n d i n g b o x e s o n t h e y a x i s d o n o t i n t e r s e c t . T h e

m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p i s

1

x

+

2

x

> x

1

c

? x

2

c

a n d

1

y

+

2

y

< y

1

c

? y

2

c

N o t e t h a t a b o v e i s n o n - c o m m u t a t i v e . W e d e n e b e -

l o w s i m i l a r l y . A s w i t h n e a r a n d f a r a b o v e a n d b e l o w a r e

m u t u a l l y e x c l u s i v e p r e p o s i t i o n s . H o w e v e r , n o t - a b o v e

d o e s n o t s t r i c t l y i m p l y b e l o w

A L I G N E D

T h e a l i g n m e n t

2

p r o p e r t y i s a n g u l a r i n n a t u r e , t h e r e f o r e

i t s q u a n t i c a t i o n i n v o l v e s i n e q u a l i t i e s b e t w e e n a n g l e s ,

r a t h e r t h a n l e n g t h s a s t h e p r e v i o u s p r e p o s i t i o n s h a d .

F o r t h i s p u r p o s e w e d e n e a d i e r e n t t y p e o f b o u n d i n g

b o x t h a t i s c e n t e r e d a t t h e o b j e c t ' s c e n t e r o f m a s s a n d

o r i e n t e d a l o n g t h e o b j e c t ' s p r i n c i p a l i n e r t i a a x e s w i t h

d i m e n s i o n s p r o p o r t i o n a l t o t h e o b j e c t ' s m a x i m u m a n d

m i n i m u m m o m e n t s o f i n e r t i a .

m i n

a n d

m a x

a r e a s

s h o w n i n g u r e 3 . W i t h t h i s i n m i n d , t h e p r e p o s i t i o n

a l i g n e d i s d e n e d a s :

m a x (

1

m n

2

m n

) <

i

7/29/2019 10.1.1.38.3847

4/5

p r e p o s i t i o n s . T h i s h i n t s a t t h e p o s s i b i l i t y o f a n a t -

u r a l h i e r a r c h y o f s p a t i a l p r e p o s i t i o n s . I t a l s o s h o w s

e v i d e n c e o f t h e p o s s i b l e p a r t i t i o n i n g o f t h e 1 2 D s p a c e

m e n t i o n e d p r e v i o u s l y .

T h e F u z z i c a t i o n o f S p a t i a l

P r e p o s i t i o n s

T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s w h y a n d h o w w e f u z z i f y s p a t i a l

p r e p o s i t i o n s . W e n e e d t o f u z z i f y s p a t i a l p r e p o s i t i o n s

b e c a u s e t h e y a r e v a g u e b y t h e i r v e r y n a t u r e ; t h e y d e -

p e n d o n c o n t e x t a n d d e p e n d o n a n i n d i v i d u a l ' s p e r c e p -

t i o n o f t h e m w i t h r e s p e c t t o a n e n v i r o n m e n t . F o r t h e s e

r e a s o n s w e n e e d t o a l l o w f o r s o m e l e e w a y w h e n d e c i d i n g

i f t w o o b j e c t s a r e r e l a t e d t h r o u g h a g i v e n p r e p o s i t i o n .

T h e r e i s a l o t o f f r e e d o m i n h o w w e c a n f u z z i f y s p a -

t i a l p r e p o s i t i o n s , o r e q u i v a l e n t l y , t h e \ i d e a l " s e t , U

p

T h e i d e a w e h a v e a d o p t e d i s t o d e n e t h e m e m b e r -

s h i p f u n c t i o n f

U

p

( ) w h e r e 2 R

1 2

a s a f u n c t i o n o f a

d i s t a n c e d b e t w e e n a n d U

p

d = m i n

2 U

p

?

N o t e t h a t d ( U

p

) = 0 f o r 2 U

p

. T h e d i s t a n c e d

t e l l s u s b y h o w m u c h t h e d e n i n g p r e p o s i t i o n i n e q u a l -

i t i e s a r e n o t s a t i s e d . T h u s ,

f

U

p

( ) = 1 f o r 2 U

p

f

U

p

( ) ! 0 a s d ( U

p

) ! 1

U

p

i s a m u l t i - d i m e n s i o n a l s e t d e n e d b y c o m p l e x i n -

e q u a l i t i e s , f o r w h i c h c o m p u t i n g d m a y b e v e r y b u r -

d e n s o m e . F o r t h i s r e a s o n w e r e s o r t t o a M o n t e -

C a r l o s i m u l a t i o n w i t h a s e t o f r a n d o m p o i n t s a r o u n d

t h a t h a v e g i v e n s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s . T h e e x p e r i -

m e n t s w e ' v e c o n d u c t e d u s e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n -

d o m p o i n t s w i t h m e a n a n d c o v a r i a n c e m a t r i x d i a g

(

2

; : : : ;

2

) . T h e e x a c t f o r m f o r f

U

p

u s e d i s

f

U

p

=

1 2 U

p

m i n ( 1 2

N

N

) 62 U

p

w h e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f r a n d o m p o i n t s i n t h e

M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n a n d N i s t h e n u m b e r o f p o i n t s

2 U

p

. N o t e t h a t t h e f o r m u l a t i o n o f f

U

p

e n s u r e s t h a t

f

U

p

f o r v e r y c l o s e t o t h e b o u n d a r y o f U

p

w i l l h a v e a

v a l u e c l o s e t o 1 .

T h e f o l l o w i n g s e c t i o n w i l l d e t a i l s o m e e x p e r i m e n t s

t h a t u s e t h i s f u z z i c a t i o n t e c h n i q u e a n d p u t i n t o e e c t

t h e i n e q u a l i t i e s t h a t d e n e t h e g i v e n s p a t i a l p r e p o s i -

t i o n s .

Q u a l i t a t i v e D e s c r i p t i o n E x p e r i m e n t s

W e w i l l u s e t h e i m a g e s h o w n i n g u r e 4 t o i l l u s t r a t e

s e v e r a l u s e s o f t h e p r e p o s i t i o n s . E a c h o b j e c t h a s b e e n

n u m b e r e d t o e a s e t h e i r r e f e r e n c e . T h e i m a g e i s r e a d

a s a g r e y - s c a l e p i x e l i m a g e . I t i s t h e n t h r e s h o l d e d t o

p r o d u c e a b i n a r y i m a g e a n d o b j e c t s a r e l o c a t e d u s i n g a

s e q u e n t i a l l a b e l l i n g a l g o r i t h m

H o r n , 1 9 8 9 . O n c e t h e

o b j e c t s i n t h e s c e n e h a v e b e e n f o u n d , t h e a t t r i b u t e s

1

2

5

7

6

3

4

F i g u r e 4 : T h e e x p e r i m e n t a l i m a g e

n e c e s s a r y f o r c o n s t r u c t i o n o f t h e 1 2 - d i m e n s i o n a l v e c t o r

a r e c o m p u t e d ( e . g . t h e a r e a o f a n o b j e c t i s t h e s u m o f

a l l t h e p i x e l s b e l o n g i n g t o t h e o b j e c t ) . C u r r e n t l y t h e

s y s t e m a c c e p t s a s p a t i a l p r e p o s i t i o n a n d d i s p l a y s a l l

t h o s e o b j e c t s t h a t s a t i s f y t h e p r e p o s i t i o n i n e q u a l i t i e s .

T h e s y s t e m a l s o a c c e p t s a s i n p u t t w o o b j e c t s a l o n g

w i t h a p r e p o s i t i o n a n d i t o u t p u t s h o w w e l l t h o s e t w o

o b j e c t s m e e t t h e g i v e n p r e p o s i t i o n ( t h e v a l u e o f f

U

p

f o r g i v e n ) . A l l i n t u i t i v e l y o b v i o u s r e l a t i o n s b e t w e e n

o b j e c t s a r e d i s c o v e r e d b y t h e s y s t e m , e . g . o b j e c t s 1

a n d 3 a r e n e x t t o e a c h o t h e r , e t c .

A n i n t e r e s t i n g c a s e , a n d o n e t h a t d e m o n s t r a t e s t h e

e e c t s o f f u z z i c a t i o n i s t h e c a s e o f s u p p l y i n g o b j e c t 2

a n d o b j e c t 6 a l o n g w i t h t h e p r e p o s i t i o n a l i g n e d . W i t h

n o f u z z i c a t i o n t h e s y s t e m n d s t h a t 2 a n d 6 a r e n o t

a l i g n e d . H o w e v e r , i f w e a l l o w a c e r t a i n a m o u n t o f f u z z i -

c a t i o n w i t h s a y = 0 0 3 t h e v a l u e o f f

U

a l i g n e d

i s

0 . 8 . T h i s v a l u e i n d i c a t e s t h a t t h e y m a y b e s u c i e n t l y

a l i g n e d t o b e r e g a r d e d a s s u c h ( w h i c h w e a c t u a l l y s e e

i n t h e i m a g e ! ) , d e p e n d i n g o n h o w m u c h l e e w a y w e w i s h

t o a l l o w . T h e d e p e n d e n c y o f f

U

a l i g n e d

o n i s s h o w n

i n g u r e 5 . F r o m t h i s g r a p h w e s e e t h a t t h e v a l u e o f

t h e m e m b e r s h i p f u n c t i o n s i g n i c a n t l y d e t e r i o r a t e s f o r

l a r g e v a l u e s o f . T h i s s i m p l y m e a n s t h a t t h e a m o u n t

o f i n d u c e d u n c e r t a i n t y i s s o l a r g e t h a t t h e o b j e c t s c e a s e

t o p o s s e s s t h e i r o r i g i n a l f e a t u r e s ( s u c h a s o r i e n t a t i o n

i n t h i s c a s e ) . T h i s a l s o i n d i c a t e s w h a t t h e m a x i m a l

a c c e p t a b l e v a l u e f o r s h o u l d b e . I n t h i s c a s e , t h a t i s

7/29/2019 10.1.1.38.3847

5/5

0.001 0.01 0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

f

U

p

F i g u r e 5 : T h e d e p e n d e n c y o f f

U

a l i g n e d

( 2 6 ) a s a f u n c -

t i o n o f

0.001 0.01 0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

U

p

f a r

n e a r

F i g u r e 6 : T h e d e p e n d e n c y o f f

U

n e a r

( 2 6 ) a n d

f

U

f a r

( 2 6 ) a s a f u n c t i o n o f

a l t h o u g h w e c a n n o t s a y f o r c e r t a i n t h a t o b j e c t 2 a n d

o b j e c t 6 a r e e i t h e r n e a r o r f a r , w e c a n s a y t h a t t h e y

a r e s o m e w h a t n e a r o r s o m e w h a t f a r . H o w w e d e c i d e

w h i c h o f t h e t w o t o u s e c a n b e s e e n i n g u r e 6 . I f w e

e x a m i n e t h e s l o p e s o f t h e t w o c u r v e s w e s e e t h a t f o r

s m a l l v a l u e s o f t h e s l o p e f o r f a r i s s t e e p e r t h a n t h a t

f o r n e a r . T h e r e f o r e i t w o u l d s e e m m o r e a p p r o p r i a t e t o

s a y t h a t 2 i s s o m e w h a t f a r f r o m 6 a s o p p o s e d t o 2 i s

s o m e w h a t n e a r t o 6 .

C o n c l u s i o n

T h e i n t e n t o f t h i s p a p e r w a s t o e s t a b l i s h a c o m p u t a -

t i o n a l m o d e l f o r c h a r a c t e r i z i n g s p a t i a l p r e p o s i t i o n s f o r

u s e i n d e s c r i b i n g o b j e c t s . A q u a n t i c a t i o n w a s e s t a b -

l i s h e d a n d d e m o n s t r a t e d t h r o u g h t h e u s e o f a n e x a m -

p l e . A f r a m e w o r k t o d e a l w i t h t h e i n h e r e n t v a g u e n e s s

o f p r e p o s i t i o n s w a s a l s o i n t r o d u c e d w i t h t h e u s e o f a

f u z z i c a t i o n t e c h n i q u e .

A n e x t e n s i o n o f t h i s w o r k w o u l d b e o n e i n w h i c h a

u s e r c o u l d c o n d u c t a d i a l o g u e w i t h t h e s y s t e m , c a p a -

b l e o f u n d e r s t a n d i n g a s w e l l a s g e n e r a t i n g s c e n e d e -

s c r i p t i o n s . I n o t h e r w o r d s , w e m a y w i s h t o d e s c r i b e a

p a r t i c u l a r o b j e c t w i t h a s f e w d e s c r i p t i o n s a s p o s s i b l e

t h r o u g h t h e f e e d b a c k f r o m t h e s y s t e m . T h e g o a l w o u l d

b e t o h o m e i n o n t h e o b j e c t w e a r e t r u l y r e f e r r i n g t o

t h r o u g h r e p e a t e d l y s u p p l y i n g a d d i t i o n a l p r e p o s i t i o n s

t o t h o s e o b j e c t s t h a t w e r e s i n g l e d o u t a f t e r p r e v i o u s i n -

q u i r e s . A n e x p e r i m e n t u s i n g t h i s t e c h n i q u e m a y r e v e a l

t h a t p e o p l e n a t u r a l l y d e s c r i b e s p a t i a l a r r a n g e m e n t s i n

a s e r i e s o f d e s c r i p t i o n s , r a t h e r t h a n o n c e a n d f o r a l l . I t

m a y a l s o d e m o n s t r a t e i n a d e q u a c i e s i n t h e v o c a b u l a r y

o r c o m p l e x i t y o f a s c e n e . W e m a y a l s o d i s c o v e r t h a t

c e r t a i n e n v i r o n m e n t s r e q u i r e t h a t w e a d o p t p r e p o s i -

t i o n s t h a t d o n o t e x i s t i n t h e E n g l i s h l a n g u a g e f o r d e -

s c r i b i n g a p a r t i c u l a r s o r t o f s p a t i a l a r r a n g e m e n t .

R e f e r e n c e s

A b e l l a , A . 1 9 9 2 . E x t r a c t i n g g e o m e t r i c s h a p e s f r o m a

s e t o f p o i n t s . I n I m a g e U n d e r s t a n d i n g W o r k s h o p

H e r s k o v i t s , A . 1 9 8 6 . L a n g u a g e a n d s p a t i a l c o g n i t i o n :

A n i n t e r d i s c i p l i n a r y s t u d y o f t h e p r e p o s i t i o n s i n E n -

g l i s h . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

H o r n , B e r t h o l d K . P . 1 9 8 9 . R o b o t V i s i o n . T h e M I T

P r e s s .

K l i r , G . J . a n d F o l g e r , T . A . 1 9 8 8 . F u z z y S e t s , U n -

c e r t a i n t y , a n d I n f o r m a t i o n . P r e n t i c e H a l l .

L a n d a u , B . a n d J a c k e n d o , R . a t i o n . " W h a t " a n d

" W h e r e " i n s p a t i a l l a n g u a g e a n d s p a t i a l c o g n i t i o n .

B B S

L i n d k v i s t , K . 1 9 7 6 . C o m p r e h e n s i v e s t u d y o f c o n c e p -

t i o n s o f l o c a l i t y i n w h i c h E n g l i s h p r e p o s i t i o n s o c c u r

A l m q v i s t & W i k s e l l I n t e r n a t i o n a l .

T a l m y , L . 1 9 8 3 . H o w l a n g u a g e s t r u c t u r e s s p a c e . I n

S p a t i a l o r i e n t a t i o n : T h e o r y , r e s e a r c h , a n d a p p l i c a -

t i o n . P l e n u m P r e s s .

D e n i t i o n o f

x

a n d

y

W e h a v e u s e d t h e f o l l o w i n g t w o e q u a t i o n s t o d e n e h o w

m u c h a n o b j e c t s t r e t c h e s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s .

x

= 2 m a x f

r

I

m a x

A

c o s

r

I

m n

A

s i n g

y

= 2 m a x f

r

I

m a x

A

s i n

r

I

m n

A

c o s g

T h e f o l l o w i n g i s t h e d e r i v a t i o n o f t h e a b o v e f o r m u l a s .

T h e m a x i m a l m o m e n t o f i n e r t i a i s g i v e n b y t h e f o r m u l a

I

m a x

=

Z Z

A

u

2

d u d v = k

2

u

A

w h e r e u a n d v a r e a x e s o f m a x i m a l a n d m i n i m a l m o -

m e n t o f i n e r t i a r e s p e c t i v e l y , A i s a n o b j e c t ' s a r e a a n d

u

i s a n e l o n g a t i o n p a r a m e t e r t h a t c o n v e y s i n f o r m a -

t i o n r e g a r d i n g h o w m u c h a n o b j e c t \ s t r e t c h e s " a l o n g

t h e a x i s u . C o n s t a n t k i s c h o s e n s o t h a t i n t h e c a s e o f a

c i r c l e w i t h r a d i u s r w e h a v e

u

= r . S i m p l e c a l c u l a t i o n

g i v e s k = 2 , a n d f o r m u l a s f o r

x

a n d

y

a r e o b t a i n e d

b y p r o j e c t i n g

u

a n d

v

o n t o a x e s x a n d y