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Laboratoire de lInformatique du Parallelisme
E c o l e N o r m a l e S u p e r i e u r e d e L y o n
U n i t e d e r e c h e r c h e a s s o c i e e a u C N R S n
o
1 3 9 8
SPI
C e l l u l a r A u t o m a t a a s L a n g u a g e s
R e c o g n i z e r s
M a r i a n n e D e l o r m e
J a c q u e s M a z o y e r
J u l y 1 9 9 8
R e s e a r c h R e p o r t N
o
9 8 - 3 6
Ecole Normale Superieure de Lyon46 Allee dItalie, 69364 Lyon Cedex 07, France
Telephone : +33(0)4.72.72.80.00Telecopieur : +33(0)4.72.72.80.80
Adresse electronique : l i p @ e n s - l y o n . f r
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C e l l u l a r A u t o m a t a a s L a n g u a g e s R e c o g n i z e r s
M a r i a n n e D e l o r m e
J a c q u e s M a z o y e r
J u l y 1 9 9 8
A b s t r a c t
L a n g u a g e r e c o g n i t i o n i s a p o w e r f u l t o o l t o e v a l u a t e t h e c o m p u t a -
t i o n a l p o w e r o f d e v i c e s . I n c a s e o f c e l l u l a r a u t o m a t a , a s p e c i c
p r o b l e m a t i c s a p p e a r s i n t h e o n e d i m e n s i o n a l c a s e w h e r e t h e s p a c e
i s b o u n d e d . A s t a t e o f t h e a r t i s p r e s e n t e d . I n t h e t w o d i m e n s i o n a l
c a s e , f e w r e s u l t s a r e k n o w n . T h e m a i n d i c u l t y i s t o i n j e c t a n o r d e r
o n a p l a n e o f c e l l s .
K e y w o r d s : C e l l u l a r a u t o m a t a , s y s t o l i c a r r a y s , l a n g u a g e s r e c o g n i t i o n ,
c o m p l e x i t y .
R e s u m e
R e c o n n a ^ t r e d e s l a n g u a g e s e s t u n o u t i l p u i s s a n t p o u r e v a l u e r l a
p u i s s a n c e d e c a l c u l d ' u n s y s t e m e . D a n s l e c a s d e s a u t o m a t e s c e l u -
l a i r e s u n e p r o b l e m a t i q u e s p e c i q u e a p p a r a ^ t d e s l a d i m e n s i o n u n .
U n e t a t d e l ' a r t e s t p r e s e n t e . E n d i m e n s i o n d e u x p e u d e c h o s e s s o n t
c o n n u e s . L a d i c u l t e m a j e u r e e s t d ' e n v o y e r l ' o r d r e n a t u r e l d e s m o t s
s u r u n p l a n d e c e l l u l e s .
M o t s - c l e s : A u t o m a t e s c e l l u l a i r e s , r e s e a u x s y s t o l i q u e s , r e c o n n a i s s a n c e d e
l a n g a g e s , c o m p l e x i t e .
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C e l l u l a r A u t o m a t a a s L a n g u a g e s R e c o g n i z e r s
M a r i a n n e D e l o r m e
J a c q u e s M a z o y e r
2 2 n d J u l y 1 9 9 8
1 I n t r o d u c t i o n
T h e c o m p u t a t i o n a l p o w e r o f a c o m p u t a t i o n m o d e l m a y b e r o u g h l y d e n e d
b y \ w h a t i t i s a b l e t o c o m p u t e " . A t t h i s l e v e l , c e l l u l a r a u t o m a t a h a v e t h e
s a m e c o m p u t a t i o n a l p o w e r a s T u r i n g m a c h i n e s , P R A M o r b o o l e a n c i r c u i t s
f o r e x a m p l e . I n o r d e r t o g e t m o r e s u b t l e u n d e r s t a n d i n g a n d r e s u l t s , o n e h a s
t o c o m p a r e t h e i r p e r f o r m a n c e s , o n t h e c o m p u t a t i o n a l f u n c t i o n s o r p r o b l e m s ,
a c c o r d i n g t o c r i t e r i a , w h i c h d e p e n d , m o r e o r l e s s , o n t h e i r o w n f e a t u r e s o r o n
f e a t u r e s o f s o m e v a r i a n t s . T i m e a n d s p a c e a r e t h e n a t u r a l a n d b a s i c r e s o u r c e s
o f a l l m o d e l s , a n d t h e y g i v e r i s e t o c o m p l e x i t y c l a s s e s , t h a t m a y b e r e n e d
a c c o r d i n g t o s o m e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e l . I n t h e c e l l u l a r a u t o m a t a c a s e ,
t h e i n p u t - o u t p u t l o c a t i o n i s s u e i s w o r t h y t o t a k e i n t o a c c o u n t .
A c t u a l l y , c e l l u l a r a u t o m a t a a r e i n n i t e o b j e c t s a n d i n p u t s a r e e n c o d e d
a s n i t e w o r d s , t h a t m e a n s n i t e s e q u e n c e s o f l e t t e r s . S o a r s t q u e s t i o n
i s : w h e r e t o s t a r t t o g i v e t h e i n p u t w o r d t o t h e s y s t e m ? A n o r i g i n c e l l
h a s t o b e c h o s e n . B u t a n o t h e r q u e s t i o n a r i s e s : h o w t o g o o n w i t h t h i s -
n e c e s s a r y s e q u e n t i a l - p r o c e s s o f e n t e r i n g t h e f o l l o w i n g i n p u t l e t t e r s ? I t c a n
b e d o n e t i m e a f t e r t i m e o n t h e s a m e c e l l ( s e q u e n t i a l i n p u t m o d e , w h i c h
c o r r e s p o n d s t o t h e t i m e \ s e q u e n t i a l i t y " ) o r , a t t h e s a m e i n i t i a l t i m e , e a c h
i n p u t l e t t e r a
i
c o n n e c t e d t o a d i s t i n c t c e l l a t s i t e s
i
i n s u c h a w a y t h a t
i 6= j i m p l i e s s
i
6= s
j
a n d t h a t t h e l e t t e r s o r d e r s h o u l d b e e x p r e s s e d b y l i n k s
b e t w e e n t h e c o r r e s p o n d i n g s i t e s ( p a r a l l e l i n p u t m o d e , w h i c h c o r r e s p o n d s t o
s o m e \ s p a c e s e q u e n t i a l i t y " ) . L e t u s n o t e t h a t t h i s d i s t i n c t i o n , w h i c h l e a d s
t o m a j o r d i e r e n c e s f o r c e l l u l a r a u t o m a t a , d o e s n o t m a k e s e n s e f o r T u r i n g
m a c h i n e s . T h i s c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t s u c h m a c h i n e s h a v e o n l y a n i t e
T h i s r e p o r t w i l l a p p e a r a s a c o n t r i b u t i o n i n t h e b o o k C e l l u l a r A u t o m a t a : a p a r a l l e l
m o d e l . , M . D e l o r m e a n d J . M a z o y e r E d s , M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s , K l u w e r
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n u m b e r o f h e a d s ( s o a n u m b e r n e c e s s a r i l y i n d e p e n d e n t o f t h e i n p u t l e n g t h )
w h i l e a c e l l u l a r a u t o m a t o n h a s a s m a n y c e l l s a s t h e i n p u t l e n g t h , w h a t e v e r t h e
l e n g t h . A n o t h e r c l a s s i c p r o b l e m i s t h e o u t p u t o n e : w h e r e o r h o w t o l o c a t e
t h e r e s u l t o f a c o m p u t a t i o n . T o l i m i t t h e d i c u l t y , i t i s u s u a l t o r e s t r i c t
t h e c o m p l e x i t y m e a s u r e t o d e c i s i o n p r o b l e m s w h i c h o n l y r e q u i r e c a n o n i c a l
\ y e s / n o " o u t p u t s . F i n a l l y t o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e s o f a c o m p u t a t i o n
m o d e l o n a d e c i s i o n p r o b l e m c o m e s d o w n t o e v a l u a t e t h e p e r f o m a n c e s o f t h e
m o d e l a s l a n g u a g e r e c o g n i z e r .
A l o t o f p a p e r s h a v e b e e n d e d i c a t e d t o l a n g u a g e r e c o g n i t i o n . W e w i l l
s u m u p t h e \ s t a t e o f a r t " i n s t r e s s i n g c o n n e c t i o n s w i t h c o m p l e x i t y , w h i c h i s
d e v e l o p e d i n t h e f o l l o w i n g O . I b a r r a ' s c o n t r i b u t i o n .
I t i s n o t d i c u l t t o v e r i f y t h a t a n y o n e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t o n
A c a n b e s i m u l a t e d b y a o n e - t a p e - T u r i n g m a c h i n e M
A
, i n s u c h a w a y t h a t
i f s
A
( r e s p . s
M A
) a n d t
A
( r e s p . t
M A
) d e n o t e t h e s p a c e a n d t h e t i m e u s e d
b y A f o r s o m e c o m p u t a t i o n o n a n i t e c o n g u r a t i o n w h i c h t e r m i n a t e s ( r e s p .
s p a c e a n d t i m e f o r M
A
t o s i m u l a t e i t ) ,
s
M A
= s
A
,
t
A
t
M A
k
0
t
A
s
A
, w h e r e k
0
i s s o m e c o n s t a n t i n t e g e r o n l y d e p e n d i n g
o n t h e n e i g h b o r h o o d s i z e 2 6 ] .
T h e s e r e s u l t s h a v e s o m e i n t e r e s t i n g a n d d e c i d i n g c o n s e q u e n c e s :
F o r c e l l u l a r a u t o m a t a t h e \ s p a c e " r e s o u r c e w i l l n o t p r o d u c e p r o p e r
a n d n e w s p a c e c o m p l e x i t y c l a s s e s . S o o n l y t i m e r e s o u r c e r e m a i n s i n
t h e l i s t s .
C o n s i d e r i n g s p a c e u n b o u n d e d c o m p u t a t i o n s w i l l g i v e r i s e t o t i m e c o m -
p l e x i t y c l a s s e s h i g h e n o u g h i n t h e T u r i n g h i e r a r c h y , a n d c e l l u l a r a u -
t o m a t a h a v e n o c h a n c e o f a c c e l e r a t i n g c o m p u t a t i o n s . T h u s , t o h o p e
f o r c e l l u l a r a u t o m a t a s p e c i c c l a s s e s , r e q u i r e s t o b o u n d t h e c o m p u t a -
t i o n s p a c e .
N e v e r t h e l e s s t h a t d o e s n o t m a k e t h e u n b o u n d e d c a s e f u t i l e . B e c a u s e
i t a l l o w s t o s p e c i f y t h e l i n k s b e t w e e n t h e T u r i n g a n d c e l l u l a r a u t o m a t a
m o d e l s i n t h e c o m p u t a b i l i t y f r a m e , w h e r e i t i s t h e c o m p u t a t i o n p o t e n -
t i a l t h a t i s s t u d i e d , a n d t o t r a n s l a t e s o m e c l a s s i c a l i s s u e s i n t h e T u r i n g
m a c h i n e s e l d t o t h e c e l l u l a r a u t o m a t a o n e .
I t i m m e d i a t e l y f o l l o w s f r o m t h e a b o v e r e l a t i o n s t h a t c o m p u t a t i o n n e e d -
i n g e x p o n e n t i a l t i m e o n c e l l u l a r a u t o m a t a a r e a l s o d e v o i d o f i n t e r e s t .
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S u p p o s e t h a t t h e c e l l u l a r a u t o m a t o n s p a c e i s c o n s t a n t , e q u a l t o t h e
i n p u t l e n g t h n , a n d t h a t t
A
= n
k
, k 2 N. T h e n , nk
t
M A
n
k + 1
T h i s s h o w s t h a t t o g e t a s i g n i c a n t s p e e d u p w i t h c e l l u l a r a u t o m a t a ,
c o n s i d e r i n g l i n e a r t i m e , w h i c h m o r e o v e r g i v e s t h e m a x i m a l a c c e l e r a t i o n ,
i s e n o u g h .
W e w i l l s e e t h a t t a k i n g c o n s t a n t s p a c e e q u a l t o t h e i n p u t s p a c e s u c e s
t o g e t t h e i n t e r e s t i n g c l a s s e s a n d o p e n q u e s t i o n s , t h e m o s t e x c i t i n g o f
w h i c h b e i n g : i s l i n e a r t i m e d i s t i n c t f r o m r e a l t i m e ? i s t h e r e a n y r e l e v a n t
t i m e d i s t i n c t f r o m r e a l t i m e ?
W e k n o w t h a t t h e r s t n e i g h b o r s n e i g h b o r h o o d a l l o w s t o s i m u l a t e a n y
o t h e r n e i g h b o r h o o d . B u t t h i s n e i g h b o r h o o d i s n o t m i n i m a l . P a y i n g a t t e n t i o n
t o m i n i m a l o n e s l e a d s d e n i n g a n d s t u d y i n g o n e - w a y - c e l l u l a r a u t o m a t a a n d
c o m p a r i n g t h e m t o t h e c l a s s i c a l o n e s , e s p e c i a l l y t h r o u g h t h e i r c o m p l e x i t y
c l a s s e s . T h e r e , s t i l l r e m a i n t i c k l i n g o p e n p r o b l e m s .
W e w i l l n o w g i v e d e n i t i o n s , e x a m p l e s a n d r e s u l t s , t h e n r e c a l l s o m e p r o o f s
m e t h o d s a l r e a d y u s e d i n o t h e r c h a p t e r s o f t h i s v o l u m e , a n d d e v e l o p a n o t h e r
o n e , w h i c h d o e s n o t a p p e a r e l s e w h e r e i n t h i s b o o k . W e w i l l p u t t o l i g h t t h e
l i n k s b e t w e e n t h e o b t a i n e d c l a s s e s a n d t h o s e o f t h e C h o m s k y ' s h i e r a r c h y . A l l
t h i s w i l l b e d o n e i n t h e o n e d i m e n s i o n a l c a s e , w h i c h h a s b e e n w e l l s t u d i e d ,
a l t h o u g h i n t e r e s t i n g i s s u e s r e m a i n o p e n . F i n a l l y , w e w i l l m a k e a n i n c u r s i o n
i n t o t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e w h i c h s t a r t s a g a i n t o b e e x p l o r e d ( s e e 2 9 ] , t h e
n e x t c h a p t e r b y O . I b a r r a a n d 3 3 ] ) .
2 L a n g u a g e r e c o g n i t i o n o n C A a n d O C A
L e t u s r e c a l l t h a t a o n e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t o n A i s d e n e d b y a
c o u p l e ( S ; ) w h e r e S i s t h e s e t o f s t a t e s a n d t h e l o c a l t r a n s i t i o n f u n c t i o n
f r o m S
i
i n t o S , w i t h i = 3 i n t h e c a s e o f c e l l u l a r a u t o m a t a ( C A f o r s h o r t )
a n d i = 2 f o r o n e - w a y - c e l l u l a r a u t o m a t a ( O C A f o r s h o r t ) . C o m m u n i c a t i o n s
i n b o t h c a s e s a r e r e p r e s e n t e d o n F i g u r e 1 b e l o w :
(q-1, q0, q1) (q-1, q0)
q-1 q0 q1 q-1 q0
CA case OCA case
t
t+1
F i g u r e 1 : C o m m u n i c a t i o n s i n C A a n d O C A c a s e s
3
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I n o r d e r t o s p e c i f y l a n g u a g e s b y C A o r O C A , i t i s n e c e s s a r y t o m a k e
c l e a r h o w s u c h a m a c h i n e b e h a v e s o n a n i t e w o r d i n s u c h a w a y t h a t i t c a n
d e c i d e w h e t h e r t h e c h e c k e d w o r d b e l o n g s t o t h e c o n s i d e r e d l a n g u a g e o r n o t .
S o , i n i t i a l a n d a c c e p t i n g o r r e j e c t i n g c o n g u r a t i o n s h a v e t o b e d e n e d . T h a t
s e t u p t w o p r o b l e m s . T h e r s t o n e i s : a r e s p a c e u n b o u n d e d c o m p u t a t i o n
a l l o w e d ? t h e s e c o n d o n e : h o w a r e t h e w o r d s g i v e n t o t h e a u t o m a t o n ?
2 . 1 B o u n d e d a n d u n b o u n d e d c o m p u t a t i o n s
O n e h a s a l r e a d y r e m a r k e d t h a t , i n o r d e r t o g e t s i g n i c a n t t i m e c o m p l e x i t y
r e s u l t s b y m e a n s o f c e l l u l a r a u t o m a t a , o n e h a s t o l i m i t c o m p u t a t i o n s t o
b o u n d e d o n e s . W h a t d o e s t h a t p r e c i s e l y m e a n s ? I n t u i t i v e l y o n e w a n t s t o
r e c u r s i v e l y m a s t e r t h e n u m b e r o f \ a c t i v e " c e l l s d u r i n g a c o m p u t a t i o n o n a
w o r d , a n d t h i s , a c c o r d i n g t o t h e l e n g t h w o r d . A c t u a l l y w e w i l l s p e a k o f
b o u n d e d c o m p u t a t i o n w h e n t h e n u m b e r o f a c t i v e c e l l s i s t h e i n p u t s i z e . I t
w i l l b e s u c i e n t t o c a p t u r e t h e s i g n i c a n t c l a s s e s , t h a t i s r e a l a n d l i n e a r t i m e
c l a s s e s
L e t u s n o t i c e t h a t i n t h e O C A c a s e t h e a c t i v e c e l l s w i l l t o b e f o u n d o n t h e
r i g h t o f t h e i n i t i a l c e l l , a s w e l l a s i n t h e C A c a s e f o r b o u n d e d c o m p u t a t i o n s .
B u t , l e t a l s o n o t e t h a t t o s i m u l a t e a C A o n w h i c h c o m p u t a t i o n s ( o n n i t e
i n i t i a l c o n g u r a t i o n s ) a r e n o t b o u n d e d b y a C A o n w h i c h t h e a c t i v e c e l l s a r e
a l w a y s o n t h e r i g h t o f t h e r s t i n i t i a l a c t i v e c e l l i s p o s s i b l e i n f o l d i n g t h e
s p a c e , a s f o r T u r i n g m a c h i n e s . S o , n a l l y , i n c a s e o f l a n g u a g e r e c o g n i t i o n ,
i t i s s u c i e n t t o r e s t r i c t c o n g u r a t i o n s t o a p p l i c a t i o n s f r o m Ni
i n t o S , w h a t
w i l l b e d o n e i n t h e s e q u e l .
2 . 2 P a r a l l e l a n d s e q u e n t i a l i n p u t s
L e t b e a n i t e a l p h a b e t , L a l a n g u a g e o n a n d A = ( S ; ) a c e l l u l a r
a u t o m a t o n ( C A o r O C A ) . T h e A - c o n g u r a t i o n a t t i m e t , t 0 , w i l l b e
d e n o t e d c
t
F i r s t o f a l l , a s w e h a v e t o c o p e w i t h n i t e d a t a , w e s u p p o s e t h a t A h a s a
q u i e s c e n t s t a t e q
e
. S e c o n d l y , t h e l e t t e r s h a v e t o b e e n c o d e d a s s t a t e s o f A
I t i s d o n e b y m e a n s o f s o m e g i v e n f u n c t i o n t o g e t h e r w i t h t w o o t h e r s p e c i a l
e n c o d i n g f u n c t i o n s
b e g i n
a n d
e n d
w h i c h a l l o w t o d i s t i n g u i s h t h e b e g i n n i n g
a n d t h e e n d o f t h e i n p u t w o r d .
D e n i t i o n 1 . P a r a l l e l a n d s e q u e n t i a l m o d e s
I n p a r a l l e l m o d e , t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n o f t h e a u t o m a t o n c o r r e s p o n -
d i n g t o a w o r d a
1
a
2
: : : a
n
i s d e n e d b y :
4
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
7/32
c
0
( 1 ) =
b e g i n
( a
1
) , c
0
( n ) =
e n d
( a
n
) ,
c
0
( i ) = ( a
i
) , 1 < i < n a n d c
0
( i ) = q
e
f o r i , i > n
I n s e q u e n t i a l m o d e , w e h a v e t o s p e c i f y t h e s t a t e o f t h e r s t c e l l f o r t h e
n r s t c o n g u r a t i o n s , a n d w e h a v e t o d i s t i n g u i s h O C A a n d C A
{ I n t h e O C A c a s e ,
c
0
( 1 ) =
b e g i n
( a
1
) , c
n ? 1
( 1 ) =
e n d
( a
n
) ,
c
i
( 1 ) = ( a
i + 1
) , 0 < i < n ? 1 a n d c
0
( i ) = q
e
f o r i , 1 < i
{ I n t h e C A c a s e , w e h a v e t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e r e s u l t o f t h e t t o
t + 1 c o m p u t a t i o n s t e p o n t h e r s t c e l l , w h i c h i s t h e e n t r y c e l l . S o ,
c
0
( 1 ) =
b e g i n
( a
1
) , c
n ? 1
( 1 ) =
0
e n d
( a
n
) ,
c
i
( 1 ) =
0
( a
i + 1
) , 0 < i < n ? 1 a n d c
0
( i ) = q
e
f o r i , 1 < i ,
w h e r e
0
( a
i
) a n d
0
e n d
( a
n
) d e p e n d o n ( a
i
) a n d o n t h e c o m p u t a t i o n
o f t h e a u t o m a t o n o n t h e l e t t e r s a l r e a d y e n t e r e d .
I n t u i t i v e l y , a w o r d w i l l b e s a i d r e c o g n i z e d o r a c c e p t e d b y s o m e a u t o m a -
t o n w h e n t h e a u t o m a t o n , s t a r t i n g a t t i m e 0 f r o m a c o n v e n i e n t i n i t i a l c o n g -
u r a t i o n w i l l e n t e r , a f t e r a n i t e t i m e , a c o n g u r a t i o n c a r r y i n g s o m e s p e c i a l
i n f o r m a t i o n . W h e r e d o e s t h i s i n f o r m a t i o n c a n b e f o u n d ? W h e n i s i t r e a s o n -
a b l e t o e x p e c t i t ? I n o r d e r t o b e t t e r u n d e r s t a n d c o n v e n t i o n s a d o p t e d i n t h e
d e n i t i o n s t o c o m e , i t c a n b e w o r t h y t o w e l l c o n c e i v e h o w i n f o r m a t i o n g o e s
a c c o r d i n g t o t h e m o d e l .
2 . 3 D e p e n d e n c i e s i n C A a n d O C A
L o o k a t F i g u r e 2 . T h e p a t t e r n s o n c e l l x d o n o t r e p r e s e n t t h e s t a t e o f x
b u t o n l y t h e n u m b e r s ( c o d e d a s p a t t e r n s f o r a b e t t e r v i s i b i l i t y ) o f t h e c e l l s
i n f o r m a t i o n i n x i s d e p e n d i n g o n . L e t u s s e t u p s o m e n o t a t i o n s . F r o m
n o w o n w e w i l l r e f e r t o C A w o r k i n g i n b o u n d e d p a r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) m o d e
b y P C A ( S C A ) , t o O C A w o r k i n g i n b o u n d e d p a r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) m o d e b y
P O C A ( S O C A ) , a n d t o c o r r e s p o n d i n g d e v i c e s w o r k i n g i n u n b o u n d e d m o d e
a s u P C A , u S C A , u P O C A a n d u S O C A .
I t c a n h e l p t o n o t e t h a t :
O n P C A , t h e w h o l e i n i t i a l i n f o r m a t i o n , c o n t a i n e d i n t h e n a c t i v e c e l l s
o f t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n , i n d u c e s i n f o r m a t i o n o n e v e r y a c t i v e c e l l a s
s o o n a s t h e ( n ? 1 ) - t h c o m p u t a t i o n s t e p .
O n S C A , t h e w h o l e i n f o r m a t i o n i n d u c e d b y t h e i n p u t i s o n t h e i n i t i a l
c e l l a s s o o n a s t h e l a s t l e t t e r i s e n t e r e d .
5
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
8/32
cells
time
POCA
PCA SCA
SOCA
F i g u r e 2 : D e p e n d e n c i e s o n C A a n d O C A
6
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
9/32
O n P O C A , c e l l i o n l y g e t s i n f o r m a t i o n f r o m t h e c e l l s s i t u a t e d a t i t s
l e f t , w h i l e o n S O C A e a c h c e l l i h o l d s t h e w h o l e e n t e r e d i n f o r m a t i o n .
T h e s e f a c t s m a k e s o m e s i m u l a t i o n s i n t r i c a t e e n o u g h .
W e a r e n o w a b l e t o f o r m a l i z e w h a t w i l l m e a n f o r a w o r d t o b e a c c e p t e d
o r r e c o g n i z e d b y s o m e o f t h e a b o v e t y p e s o f c e l l u l a r a u t o m a t a .
2 . 4 A c c e p t a n c e o r r e c o g n i t i o n
C e l l u l a r a u t o m a t a i m p l i e d i n r e c o g n i t i o n p r o c e d u r e s h a v e s o m e d i s t i n g u i s h e d
s t a t e s : a q u i e s c e n t s t a t e a n d s o m e o t h e r s t a t e s c a l l e d t h e a c c e p t i n g s t a t e s .
F i g u r e 3 i l l u s t r a t e s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s , w h i c h d o n o t d e p e n d o n t h e
i n p u t m o d e , b u t o n t h e C A a n d O C A c a s e s a s w e l l a s o n t h e c o m p u t a t i o n
t y p e .
D e n i t i o n 2 . W o r d a c c e p t a n c e
A w o r d u i s a c c e p t e d o r r e c o g n i z e d b y a C A , A , i f , A s t a r t i n g a t t i m e
0 f r o m t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n d e n e d b y u , t h e r e e x i s t s a t i m e t s u c h
t h a t t h e i n i t i a l c e l l e n t e r s a n a c c e p t i n g s t a t e a t t . T h i s d e n i t i o n i s
v a l i d i n b o t h b o u n d e d a n d u n b o u n d e d c a s e s .
A w o r d u i s a c c e p t e d o r r e c o g n i z e d b y a n O C A , A , i f , A s t a r t i n g a t t i m e
0 f r o m t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n d e n e d b y u , t h e r e e x i s t a t i m e t a n d
a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t t h e m - t h c e l l e n t e r s a n a c c e p t i n g s t a t e
a t t . I n c a s e o f b o u n d e d c o m p u t a t i o n , m = u , w h i l e i n t h e u n b o u n d e d
c a s e , m u
I n c i d e n t a l l y , n o t e t h a t w e i m p l i c i t l y o n l y c o n s i d e r n o n e m p t y w o r d s .
W h a t h a p p e n s w h e n a w o r d i s n o t r e c o g n i z e d ? I n t h e b o u n d e d c a s e , a s
t h e s t a t e s n u m b e r i s n i t e , t h e r e i s a t i m e t
A
s u c h t h a t c e l l 1 ( i n c a s e o f C A
o r c e l l m i n c a s e o f O C A ) w i l l n e v e r e n t e r a n y a c c e p t i n g s t a t e i f t h a t h a s n o t
h a p p e n d b e f o r e t
A
c o m p u t a t i o n s t e p s , a n d t h e n i f a w o r d i s n o t r e c o g n i z e d ,
i t i s k n o w n t o b e o u t s i d e t h e c h e c k e d l a n g u a g e . I n t h e u n b o u n d e d c a s e , i f n o
r e j e c t i n g s t a t e i s s p e c i e d , o n l y a c c e p t i n g s t a t e s a r e s i g n i c a n t , a n d s o o n l y
a c c e p t e d w o r d s h a v e a s t a t u s .
W h a t a b o u t r e c o g n i t i o n t i m e s ? W e a l r e a d y h a v e s a i d t h a t t w o c l a s s e s a r e
o f m a j o r i n t e r e s t : t h e c l a s s e s o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n l i n e a r o r r e a l t i m e ,
t h a t i s i n t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e i n p u t l e n g t h o r i n \ m i n i m a l " t i m e . L e t
u s m a k e t h e n o t i o n s p r e c i s e .
7
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
10/32
Bounded devices Unbounded devices
Parallelinputs
Sequentialinputs
CA
OCA
Parallelinputs
Sequentialinputs
Useful area ofthe space timediagram
Active area ofthe space timediagram
F i g u r e 3 : U s e f u l ( d a r k e r c o l o r e d ) a n d a c t i v e a r e a s o f s p a c e - t i m e d i a g r a m s
a n d l o c a t i o n o f a c c e p t a n c e ( i n d i c a t e d b y a b l a c k p o i n t ) , i n c a s e o f C A a n d
O C A a c c o r d i n g t o t h e i n p u t m o d e . T h e b l a c k s t r a i g h t l i n e s r e p r e s e n t t h e
i n p u t s l e n g t h s .
8
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
11/32
3 L i n e a r a n d r e a l t i m e
T h e s e c l a s s e s a r e d i s t i n c t f o r m o s t o f t h e c l a s s i c a l c o m p u t a t i o n m o d e l s . U p
t o n o w , i t h a s n o t b e e n p r o v e d t h e y a r e d i s t i n c t i n t h e c e l l u l a r a u t o m a t a
c a s e i n p a r a l l e l m o d e , w h i c h i s o n e o f t h e m o s t s t r i k i n g q u e s t i o n r e m a i n i n g
o p e n i n t h i s e l d . I t i s a l l t h e m o r e i n t e r e s t i n g t h a t e a c h c a n d i d a t e , u p t o
d a t e , h a s u l t i m a t e l y b e e n p r o v e d t o b e a r e a l t i m e l a n g u a g e . C o m p u t a b i l i t y
t h e o r y a s s e r t s t h e r e e x i s t l a n g u a g e s n o t r e c o g n i z a b l e i n r e a l t i m e o n C A , b u t
n o s u c h l a n g u a g e h a s n e v e r b e e n e x h i b i t e d . T h a t g i v e s a n e w r e a s o n t o p a y
a t t e n t i o n t o t h e s e q u e n t i a l m o d e a n d t o O C A s f o r w h i c h t h i n g s a r e a l i t t l e
c l e a r e r .
W e s t a r t w i t h d e n i t i o n s , t h e n g i v e s o m e e x a m p l e s , s u m u p t h e e s t a b -
l i s h e d c o n n e c t i o n s b e t w e e n c l a s s e s a n d t h e s t i l l o p e n q u e s t i o n s .
3 . 1 L i n e a r t i m e
A l a n g u a g e L i s s a i d t o b e a l i n e a r t i m e l a n g u a g e i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r
k , k 1 , s u c h t h a t e a c h w o r d u o f L i s a c c e p t e d i n t i m e a t m o s t k u . M o r e
p r e c i s e l y :
D e n i t i o n 3 . L i n e a r t i m e l a n g u a g e s
L b e l o n g s t o t h e c l a s s L P C A ( L S C A ) o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n b o u n d e d
p a r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) l i n e a r t i m e i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r k s u c h t h a t ,
f o r e a c h u o f L , t h e r e e x i s t s t , t k u , s u c h t h a t c
t
( 1 ) i s a n a c c e p t i n g
s t a t e . D e n i t i o n s i n t h e u n b o u n d e d c a s e i s a n a l o g o u s a n d g i v e s r i s e t o
t h e c l a s s e s u L P C A a n d u L S C A
L b e l o n g s t o t h e c l a s s L P O C A ( L S O C A ) o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n
b o u n d e d p a r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) l i n e a r t i m e i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r k s u c h
t h a t , f o r e a c h u o f L , t h e r e e x i s t s t , t k u , s u c h t h a t c
t
( u ) i s a n
a c c e p t i n g s t a t e .
L b e l o n g s t o t h e c l a s s u L P O C A ( u L S O C A ) o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n
u n b o u n d e d p a r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) l i n e a r t i m e i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r k
s u c h t h a t , f o r e a c h u o f L , t h e r e e x i s t s t , t k u , s u c h t h a t c
t + u
( t ) i s
a n a c c e p t i n g s t a t e .
3 . 2 R e a l t i m e
A l a n g u a g e L i s s a i d t o b e a r e a l t i m e l a n g u a g e w h e n e a c h o f i t s w o r d s i s
a c c e p t e d \ a s s o o n a s p o s s i b l e " o r i n \ m i n i m u m " t i m e . T h u s , i n t h i s c a s e ,
u n b o u n d e d c o m p u t a t i o n s a r e n o m o r e r e l e v a n t .
9
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
12/32
D e n i t i o n 4 . R e a l t i m e l a n g u a g e s
L b e l o n g s t o t h e c l a s s R P C A ( R S C A ) o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n p a -
r a l l e l ( s e q u e n t i a l ) r e a l t i m e i f , f o r e a c h u o f L , c
u ? 1
( 1 ) i s a n a c c e p t i n g
s t a t e .
L b e l o n g s t o t h e c l a s s R P O C A o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n p a r a l l e l r e a l
t i m e i f , f o r e a c h u o f L , c
u ? 1
( u ) i s a n a c c e p t i n g s t a t e .
L b e l o n g s t o t h e c l a s s R S O C A o f l a n g u a g e s r e c o g n i z e d i n s e q u e n t i a l
r e a l t i m e i f , f o r e a c h u o f L , c
2 u ? 1
( u ) i s a n a c c e p t i n g s t a t e .
T h e s e d e n i t i o n s a r e i l l u s t r a t e d o n F i g u r e 4 . S o m e r e m a r k s c o u l d c o m -
p l e t e t h e m . F i r s t , i n t h e o n e - w a y c a s e , i n f o r m a t i o n g o i n g o n l y t o t h e r i g h t ,
i t i s n a t u r a l t o t a k e a d e c i s i o n w h e n t h e w h o l e i n i t i a l i n f o r m a t i o n r e a c h e s t h e
l a s t a c t i v e c e l l . B u t i n t h e t w o - w a y c a s e , w e c o u l d h a v e c h o s e n a n y a c t i v e
c e l l , o r r a t h e r , i n v i e w o f u n i f o r m i t y , a \ c e n t r a l " o n e . T h a t w o u l d h a v e s e t u p
t h e p r o b l e m o f k n o w i n g t h e c e n t r a l c e l l ( s ) , w h i c h i s n o t t r i v i a l f o r O C A a n d
c h a n g e s t h e p r o b l e m a t i c s . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e i n p u t i s n o t e n c o d e d b y
m e a n s o f
e n d
, w e h a v e t o a d d a u n i t t i m e t o g i v e t h e a u t o m a t o n t h e t i m e
t o k n o w t h a t t h e i n p u t i s c o m p l e t e d . S o , i n t h e a b o v e d e n i t i o n s w e h a v e t o
c o n s i d e r s u c c e s s i v e l y c
u
( 1 ) , c
u
( u ) a n d c
2 u
( u )
N o t i o n s w e a r e m a i n l y i n t e r e s t e d i n a r e n o w s u m u p i n F i g u r e 5 , w i t h
t h e i r a b b r e v i a t i o n s
1
T h e n o t a t i o n s w e h a v e c h o s e n a r e n o t t h e h i s t o r i c a l o n e s n o r t h e o n e s
u s e d i n t h e o t h e r c h a p t e r s o f t h i s v o l u m e . W e a r e n e v e r t h e l e s s k e e p i n g t h e m
u p i n t h e s e q u e l b e c a u s e t h e y a r e v e r y e x p r e s s i v e a n d s i m p l e , a n d w e g i v e
i n t h e f o l l o w i n g a r r a y t h e c o r r e s p o n d a n c e w i t h t h o s e u s e d e l s e w h e r e t h r o u g h
t h e v o l u m e .
1
I n t h e F i g u r e 5 , C A a n d O C A o b v i o u s l y m e a n 1 - C A a n d 1 - O C A : w e h a v e c h o s e n n o t
t o m e n t i o n t h e d i m e n s i o n w h e n i t i s 1 .
1 0
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
13/32
Parallelinputs
Sequentialinputs
CA OCA
F i g u r e 4 : U s e f u l a c t i v e a r e a s o f s p a c e - t i m e d i a g r a m s a n d l o c a t i o n o f a c c e p -
t a n c e , i n c a s e o f C A a n d O C A a c c o r d i n g t o t h e i n p u t m o d e , i n r e a l - t i m e
r e c o g n i t i o n .
Automaton type CA OCA 2-CA 2-OCA
Input mode
Time
P (parallel)
Space
S (sequential)
R (real)L (linear)
(bounded)u (unbounded)
(any)
F i g u r e 5 : U s u a l a b b r e v i a t i o n s .
1 1
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
14/32
I n p u t m o d e A u t o m a t o n t y p e P r e s e n t n o t a t i o n s O t h e r n o t a t i o n s
i n t h i s b o o k
1 D - C A
P a r a l l e l C A P C A L C A
P a r a l l e l O C A P O C A O L C A
S e q u e n t i a l C A S C A L I A
S e q u e n t i a l O C A S O C A O L I A
2 D - C A
P a r a l l e l C A 2 - P C A M C A
P a r a l l e l O C A 2 - P O C A O M C A
S e q u e n t i a l C A 2 - S C A M I A
S e q u e n t i a l O C A 2 - S O C A O M I A
4 R e s u l t s
L e t u s s t a r t w i t h s o m e e x a m p l e s i n o r d e r t o s i t u a t e w e l l k n o w n l a n g u a g e s i n
t h e d i e r e n t i n t r o d u c e d c l a s s e s o r t o p u t t o l i g h t s o m e o t h e r o n e s u s e d t o
s e p a r a t e s o m e o f t h e s e c l a s s e s . T h e r e a d e r i s r e f e r e d t o t h e s o u r c e p a p e r s
f o r p r o o f s o r t o 6 ] , w h e r e t h e m a i n r e s u l t s a r e p r o v e d , a n d t h e u s u a l p r o o f
m e t h o d s a r e e x p l a i n e d
2
4 . 1 E x a m p l e s
T h e y a r e g a t h e r e d t o g e t h e r i n t h e t w o f o l l o w i n g a r r a y s . T h e l e t t e r s w h i c h
c a n b e f o u n d i n s i d e a r e t o b e u n d e r s t o o d t h e f o l l o w i n g w a y : a ] s i g n i e s t h a t
t h e p r o o f i s b u i l t b y m e a n s o f s i g n a l s , b ] t h a t t h e r e s u l t i s i n f e r r e d f r o m 4 ]
a n d c ] t h a t i t i s a c o n s e q u e n c e o f 5 ] .
2
B u t , t h e r e , t h e p r o o f s , t h o u g h l a r g e l y i n s p i r e d b y t h e o r i g i n a l i d e a s a r e , g e n e r a l l y , n o t
t h e i n i t i a l o n e s .
1 2
-
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15/32
L a n g u a g e s R P O C A R P C A R S C A
f a
n
= n p r i m e g ? + +
5 ] 1 0 ]
f a
2
n
= n 0 g ? + +
5 ] 2 ]
f a
n
b
n
c
n
= n 1 g + + +
9 ] a ]
f a
n
b
n + m
a
m
= m ; n 1 g + + +
4 ] a ]
f u u = u 2
+
g ? + +
3
f u u = u 2
+
g ? + ?
3
f u u
R
= u 2
+
g + + +
9 ] 3 ]
f u u
R
= u 2
+
g
3
+ + ?
b ] 3 ]
f u
u
= u 2
+
g ? + +
c ] 3 0 ]
f u
u
= u 2
+
g ? + ?
3 0 ] 3 0 ]
I f u
1
d e n o t e s t h e n u m b e r o f 1 o c c u r r e n c e s i n t h e w o r d u , l e t u s d e n o t e
L t h e s e t f u = u = 1
n
0
n
; n > 0 g f u = u = 1
n
0 y 1 0
n
; y 2 f 0 ; 1 g
; n > 0 g , a n d
K t h e l a n g u a g e f u = u 2 f 0 ; 1 g
+
; u
1
= B i n ( u )
1
g . T h e n w e h a v e :
L a n g u a g e s R P O C A R P C A R S C A
K ? + ?
c ] 1 1 ]
3 1 ]
L + + +
a ] a ]
L L ? + +
3 2 ] a ]
T h e m a i n r e s u l t s i n l a n g u a g e r e c o g n i t i o n d o m a i n h a v e f o c u s e d o n c o m -
p l e x i t y c l a s s e s c o m p a r i s o n s . T h e k n o w n i n c l u s i o n o r n o - i n c l u s i o n r e l a t i o n s a s
w e l l a s s o m e s t i l l o p e n p r o b l e m s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 , w h e r e t h e n u m -
b e r s l a b e l i n g s o m e o f t h e a r r o w s r e f e r t o p a p e r s o r g i v e e a s y j u s t i c a t i o n s ,
a s f o l l o w s .
1 3
-
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16/32
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
17/32
{ E v e r y l a n g u a g e r e c o g n i z e d o n a S C A ( P C A ) i n t i m e t ( n ) i s r e c o g -
n i z e d o n a u S O C A ( u P O C A ) i n t i m e 2 t ( n ) .
W e h a v e h e r e t o p u t t o l i g h t a n i m p o r t a n t r e m a r k a b o u t t h e w o r k i n g
a r e a a n d t h e f a c t w e g o f r o m b o u n d e d t o u n b o u n d e d c o m p u t a t i o n s
t h r o u g h s o m e s i m u l a t i o n s , w h i c h m a y l e a d t o a m b i g u i t i e s o r e r r o r s .
A c t u a l l y , i n t h e l a s t p r o p o s i t i o n p r o o f , t h e s i m u l a t i o n s n e e d t h e w o r k i n g
a r e a t o b e e n l a r g e d
( 8 ) i s i n f e r r e d f r o m c l a s s i c a l t h e o r e m s o f C o m p u t a b i l i t y .
T h e g r a p h o f g u r e 6 s h o w s t h e c r u x o f d i c u l t y t h e n o d e \ R P C A =
L P O C A = R S O C A " r e m a i n s . N o t e a l s o t h a t , u p t o n o w , e a c h c a n d i d a t e
f o r d i e r e n t i a t i n g R P C A a n d L P C A h a s b e e n p r o v e d b e l o n g i n g t o R P C A !
F i g u r e 7 i s a n o t h e r w a y t o p r e s e n t t h e f o r m e r r e s u l t s , b e t t e r f o c u s i n g o n t h e
o p e n r e m a i n i n g p r o b l e m s , a n d i n c l u d i n g t h e c o m p a r i s o n s w i t h t h e C h o m s k y ' s
c l a s s e s .
4 . 2 C o m p a r i s o n s w i t h t h e C h o m s k y ' s h i e r a r c h y c l a s s e s
T h e k n o w n r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g t a b l e , w h e r e R a t d e n o t e s
t h e c l a s s o f r a t i o n a l ( o r r e g u l a r ) l a n g u a g e s , A l g ( A l g L ) t h e o n e o f a l g e b r a i c
( o r c o n t e x t f r e e ) ( l i n e a r a l g e b r a i c ( o r l i n e a r c o n t e x t f r e e ) ) l a n g u a g e s a n d C S
t h e o n e o f c o n t e x t - s e n s i t i v e l a n g u a g e s ( s e e 1 2 ] ) . M o r e o v e r , d ] m e a n s t h a t
t h e r e s u l t i s a c o n s e q u e n c e o f t w o f a c t s : P C A = D S P A C E ( n ) ( t h a t c a n b e
d e d u c e f r o m s i m u l a t i o n s i n 2 6 ] a n d C S = N S P A C E ( n ) 3 4 ] f o r e x a m p l e .
W e c a n a d d t h a t t h e u n a r y l a n g u a g e s i n R P O C A a r e t h e u n a r y r a t i o n a l
l a n g u a g e s 2 7 ] .
R a t R P O C A R a t R S C A
A l g L R P O C A 2 7 ] A l g S O C A 1 5 ]
A l g 6 R S C A 3 R S C A 6 A l g 3
R P O C A 6 A l g 3 A l g 6 R P O C A 3 2 ]
P C A = S C A C S
S o , c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e C h o m s k y ' s h i e r a r c h y a n d t h e i n t e r e s t i n g c l a s s e s
v i a c e l l u l a r a u t o m a t a a r e n o t q u i t e e a s y t o i n t e r p r e t . A c c o r d i n g t o F i g u r e
7 , a l g e b r a i c l a n g u a g e s c o u l d t o b e l o w i n c o m p l e x i t y , a n d i t c o u l d b e a g a p
b e t w e e n A l g a n d C S , b u t h o w r e a l l y d e e p ? I t i s a n e x c i t i n g q u e s t i o n .
1 5
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
18/32
RPOCA RSCA
RPCA LPOCA RSOCA
LPCA LSCA LSOCA
POCA SOCA
PCA SCA CS
uSCA uSOCAuPOCA uPCA r.e
?
?
?
Inclusion No inclusion Unknown?
Rat
AlgL
Alg
?
?
F i g u r e 7 : M a i n c o m p l e x i t y c l a s s e s a n d t h e i r r e l a t i o n s , f o r o n e - d i m e n s i o n a l
c e l l u l a r a u t o m a t a .
1 6
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
19/32
4 . 3 C l o s u r e p r o p e r t i e s
I n f o r m a l l a n g u a g e t h e o r y , c l o s u r e p r o p e r t i e s a r e n a t u r a l l y s t u d i e d , a n d t h e y ,
a c t u a l l y , c a n l e a d t o r e s u l t s w h i c h r e s i s t t o o t h e r i n v e s t i g a t i o n m e t h o d s . T h e
f o l l o w i n g t a b l e s h o w s s o m e r e s u l t s k n o w n , u p t o n o w , f o r t h e c o m p l e x i t y
c l a s s e s w e p r i v i l e d g e d . A c t u a l l y m o r e i s k n o w n , a n d t h e r e a d e r i s r e f e r e d t o
t h e n e x t c h a p t e r b y O . I b a r r a , b u t w e h a v e c h o s e n t o e m p h a s i z e t h e s e o n e s
i n o r d e r t o p u t l i g h t o n t h e r e s u l t j u s t b e l o w .
C l a s s e s r e v e r s a l C o n c a t e n a t i o n B o o l e a n O p .
2 7 ]
P C A + + +
1 5 ] 1 5 ]
P O C A + + +
L S O C A + ? +
R P C A ? ? +
R P O C A + ? +
2 ] 3 2 ]
R S C A ? ? +
3 ] 3 ]
A m o n g t h e r e s u l t s p r o v e d i n 1 6 ] , w e h a v e t o s t r e s s t h e f o l l o w i n g o n e
w h i c h i s e x a m p l a r y :
R P C A i s c l o s e d u n d e r r e v e r s a l i f a n d o n l y i f L P C A = R P C A
A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e R P C A c l o s u r e u n d e r r e v e r s a l w o u l d
b e t h a t R P C A i s c l o s e d u n d e r c o n c a t e n a t i o n . B o t h q u e s t i o n s a r e o p e n s i n c e
1 9 7 1 2 7 ] .
5 A b o u t p r o o f s
M o s t p r o o f s a r e f o u n d e d o n t h e m a i n f o l l o w i n g m e t h o d s : \ f o l d i n g " t h e w o r k -
i n g a r e a , g r o u p i n g c e l l s , u s i n g s i g n a l s a n d s y n c h r o n i z a t i o n
T h e o n l y a l g e b r a i c m e t h o d i s d u e t o S . C o l e . I t c o n s i s t s i n e s t i m a t i n g
t h e n u m b e r o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f r e l a t i o n s E
k
d e n e d a s f o l l o w s : l e t b e
a n a l p h a b e t , L a l a n g u a g e o n a n d k a n i n t e g e r , t h e n t w o w o r d s u a n d v
a r e e q u i v a l e n t m o d u l o E
k
i f a n d o n l y i f f o r e v e r y w o r d w , w k , o n ,
u w 2 L $ v w 2 L . W e r e f e r t o t h e c h a p t e r i n t h i s v o l u m e b y V . T e r r i e r ,
w h o d e v e l o p s a n d u s e s a n a l o g o u s p r o c e s s e s . A s f o r u s , w e w i l l i l l u s t r a t e t h e
r s t c i t e d m e t h o d i n p r o v i n g t h a t u L P C A = L P C A
1 7
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
20/32
5 . 1 F o l d i n g t h e w o r k i n g a r e a
A c t u a l l y , t o p r o v e u L P C A = L P C A c o m e s d o w n t o p r o v e u L P C A
L P C A . S o , s u p p o s e t h a t L i s i n u L P C A . T h a t m e a n s t h a t t h e r e e x i s t s
a c e l l u l a r a u t o m a t o n A a n d a p o s i t i v e i n t e g e r k
L
s u c h t h a t e a c h w o r d u i n
L , u = n , i s r e c o g n i z e d i n t
u
s t e p s w i t h t
u
k
L
n . W e c a n s e e t h e u s e f u l
c o m p u t a t i o n a r e a s o n F i g u r e 8 , w i t h k
L
= 2 a n d k
L
= 3
ncase k = 2 case k = 3
F i g u r e 8 : U s e f u l c o m p u t a t i o n a r e a s d u r i n g t h e r e c o g n i t i o n o f a w o r d i n p a r -
a l l e l u n b o u n d e d m o d e a n d l i n e a r t i m e k n
W e a r e l o o k i n g f o r a n a u t o m a t o n , b u i l t f r o m A a n d s u c h t h a t t h e u s e f u l
c o m p u t a t i o n a r e a w o u l d b e t h e r s t s t r i p e o f l e n g t h e q u a l t o t h e i n p u t l e n g t h .
T h e c a s e k
L
= 3 i n F i g u r e 8 i n v i t e s t o s i m p l y f o l d b a c k t h e s e c o n d n - w i d t h
s t r i p e o n t h e r s t o n e a n d t o b u i l d a n a u t o m a t o n t h e s t a t e s o f w h i c h a r e
2 - u p l e s s u c h t h a t t h e 2 - t h c o m p o n e n t o f h x ; t i i s t h e s t a t e h 2 n ? x + 1 ; t i o f
A
M o r e g e n e r a l l y , i f k
L
i s o d d a n d k
L
= 2 k
0
+ 1 , i t i s n o t d i c u l t t o v e r i f y
t h a t t h e u s e f u l c o m p u t a t i o n a r e a i s i n s c r i b e d i n s i d e k
0
+ 1 s t r i p e s o f w i d t h
n , u p t o t h e r i g h t e d g e o f t h e ( k
0
+ 1 ) - t h s t r i p e . T h e i d e a t o d e n e t h e n e w
a u t o m a t o n i s t o g e n e r a l i z e t h e a b o v e r e m a r k i n f o l d i n g o v e r t h e s t r i p e s o f
w i d t h n a s s h o w n o n F i g u r e 9 , a n d t o c o n s i d e r a s s t a t e s ( k
0
+ 1 ) - u p l e s s u c h
t h a t , i f x i s a n y c e l l o f t h e r s t s t r i p e o f w i d t h n , t h e j - t h c o m p o n e n t o f h x ; t i
i s t h e s t a t e o f t h e c e l l o f t h e j - t h s t r i p e w h i c h i s s u p e r i m p o s e d o n x i n t h e
f o l d i n g ( s e e F i g u r e 1 0 ) .
M o r e g e n e r a l l y t h e f o l l o w i n g l e m m a h o l d s , f r o m w h i c h u L P C A L P C A
c a n b e e a s i l y d e d u c e d , a s s o o n a s i t i s r e m a r k e d t h a t i f L i s r e c o g n i z e d i n
t i m e k
L
n t h e n i t i s r e c o g n i z e d i n t i m e c n , c 2 N, c kL
, w h i c h i m p l i e s t h a t
a s s u m i n g k
L
o d d i s n o t r e s t r i c t i v e .
1 8
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
21/32
Area of computation in time 7n.
A B C D
Area of computationfolded once.
A
A+BCD
Area of computationfoldedtwice.
A
A+B
A+B+C D
Area of computation,the whole area folded
A + B
A + B + C
A + B + C + D
A
A
A + B
A + B + C
n
F i g u r e 9 : F o l d i n g o v e r t h e c o m p u t a t i o n a r e a .
5n-1
n
F i g u r e 1 0 : E x a m p l e s o f c e l l s t h a t w i l l b e s u p e r i m p o s e d i n t h e f o l d i n g .
1 9
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
22/32
F a c t 1 .
L e t k b e a n y p o s i t i v e i n t e g e r a n d A = ( Q
A
;
A
) a c e l l u l a r a u t o m a t o n w o r k -
i n g i n p a r a l l e l m o d e , w i t h a d i s t i n g u i s h e d s t a t e q
e
s u c h t h a t q
e
= ( q
1
; q
2
; q
3
)
i m p l i e s q
1
= q
2
= q
3
= q
e
T h e n t h e r e e x i s t s a c e l l u l a r a u t o m a t o n A
( k )
= ( Q
A
k + 1
;
A
( k
) s u c h t h a t : f o r
e a c h i n t e g e r n , n 2 N a n d s e q u e n c e ( x1
; x
2
; : : : ; x
n
) o f Q
A
s t a t e s , i f t h e
c o n g u r a t i o n s c
A
( x ) a n d c
A
( k
( x ) a r e d e n e d b y
f o r e a c h z , z 2 Z, z n , cA
( x ) ( z ) = q
e
a n d c
A
( k
( x ) ( z ) =
( q
e
; q
e
; : : : ; q
e
) ,
f o r z 2 f 1 ; : : : ; n g , c
A
( x ) ( z ) = x
z
a n d c
A
( k
( x ) ( z ) = ( x
z
; q
e
; : : : ; q
e
) ,
t h e n ,
h 1 ; ( 2 k + 1 ) n ? 1 i
A
( k
= ( h 1 ; ( 2 k + 1 ) n ? 1 i
A
; q
2
; : : : ; q
k + 1
)
w h e r e q
i
; 2 i k + 1 c a n b e a n y s t a t e i n Q
I n o r d e r t o d e n e
A
( k
, l e t u s s e t
A
( k
?
( q
`
1
; : : : ; q
`
k + 1
) ; ( q
c
1
; : : : ; q
c
k + 1
) ; ( q
r
1
; : : : ; q
r
k + 1
)
= ( q
?
1
; : : : ; q
?
k + 1
) . W e w i l l
d i s t i n g u i s h t w o c a s e s a c c o r d i n g w h e t h e r i , 1 i k + 1 i s o d d o r e v e n
( w h i c h r e s p e c t i v e l y c o r r e s p o n d s t o t h e f a c t t h a t t h e i - t h s t r i p e o f t h e u s e f u l
c o m p u t a t i o n a r e a i s f o l d e d f r o m t h e r i g h t o f t h e r s t o n e o r f r o m t h e l e f t ) .
F i g u r e 1 1 i l l u s t r a t e s t h e i d e a u n d e r t h e f o r m a l d e n i t i o n . A c t u a l l y , i t h o l d s :
( h x ; t i
A
( k
)
i
= h x + ( i ? 1 ) n ; t i
A
w h e n i i s o d d ,
( h x ; t i
A
( k
)
i
= h i n ? x + 1 ; t i
A
w h e n i i s e v e n .
L e t u s n o w p r e c i s e l y d e n e
A
( k
1 i o d d I n t h i s c a s e , t h e u s e f u l c o m p u t a t i o n a r e a h a s b e e n f o l d e d o v e r
a n e v e n n u m b e r o f t i m e s a n d t h e c o m p u t a t i o n i s d o n e i n t h e i n i t i a l ( A )
o r d e r
- i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n ,
q
?
i
=
A
( q
`
i
; q
c
i
; q
r
i
)
C o n c e r n e d c e l l s a r e n o t e d g e o n e s
- i i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
c
i ? 1
; q
c
i
; q
r
i
) w i t h q
c
0
= q
e
T h e c o n s i d e r e d c e l l i s o n t h e l e f t e d g e o f t h e a c t i v e a r e a , q
?
1
=
( q
e
; q
c
1
; q
r
1
) , a n d t h e h y p o t h e s i s m a d e o n q
e
e n s u r e s t h a t ( q
e
; q
e
; q
e
)
m a r k s t h e l i m i t s o f t h e c o m p u t a t i o n a r e a
2 0
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
23/32
1
2 3
1
2 3
1
2 3
3
1
2
F i g u r e 1 1 : B a s i c f e a t u r e s i n o r d e r t o c o n c e i v e
A
( k
- i i i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
`
i
; q
c
i
; q
c
i + 1
)
C o n c e r n e d c e l l s a r e o n t h e r i g h t e d g e o f t h e c o m p u t a i o n a r e a
- i v - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
c
i ? 1
; q
c
i
; q
c
i + 1
)
T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e n = 1
2 i e v e n I n t h i s c a s e t h e u s e f u l c o m p u t a t i o n a r e a h a s b e e n f o l d e d o v e r
a n o d d n u m b e r o f t i m e s , t h e c o m p u t a t i o n i s d o n e i n t h e o r d e r o p p o s i t e
t o t h e i n i t i a l o n e . T h e d i e r e n t c o n s i d e r e d p o s s i b i l i t i e s a r e t h o s e o f t h e
p r e v i o u s c a s e
- i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) , a l o r s
q
?
i
=
A
( q
r
i
; q
c
i
; q
`
i
)
- i i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
r
i
; q
c
i
; q
c
i + 1
)
2 1
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
24/32
- i i i - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) 6= ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
c
i ? 1
; q
c
i
; q
`
i
)
- i v - I f ( q
`
1
; : : : ; q
`
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) a n d ( q
r
1
; : : : ; q
r
k
) = ( q
e
; : : : ; q
e
) , t h e n
q
?
i
=
A
( q
c
i ? 1
; q
c
i
; q
c
i + 1
)
5 . 2 U s i n g s i g n a l s a n d s y n c h r o n i z a t i o n
T h i s m e t h o d i s u s e d i n p r o v i n g L P C A L S C A f o r e x a m p l e . W e w i l l o n l y
g i v e a h i n t o f t h e p r o o f b y m e a n s o f g u r e s , n a m e l y F i g u r e 1 2 .
a1
a2
a3
a4
a2
a4
a1
a4
a2
a1
a1
a1
a2
a2
a3
a2
a4
a4
a3
a3
a4
a3
(b)
Time
CellsSite (1,0)
a1
a2
an
Sequential input
a1
a2
an
a1a2
an
Site (n, 2(n-1))
Site (1, n-1)
Site (1, 3(n-1))
Parallel input
(a)
S1
S2
F i g u r e 1 2 : D a t a m o v e s i n o r d e r t o c o n v e r t a s e q u e n t i a l i n p u t i n t o a p a r a l l e l
o n e , i n l i n e a r t i m e .
S u p p o s e t h a t u = a
1
: : : a
n
i s a w o r d r e c o g n i z e d o n s o m e P C A , A , i n
l i n e a r t i m e . I f w e w a n t i t t o b e a c c e p t e d o n s o m e S C A B , w e h a v e t o s e t
u p s o m e p r o c e s s w h i c h c o n v e r t s t h e s e q u e n t i a l i n p u t c o r r e s p o n d i n g t o u i n t o
s o m e c o n g u r a t i o n r e a l i z i n g t h e p a r a l l e l i n p u t c o r r e s p o n d i n g t o u o n B I t
i s s h o w n o n F i g u r e 1 2 a .
W h e n t h e r s t i n p u t l e t t e r a r r i v e s o n t h e c e l l 1 a t t i m e 0 , c e l l 1 s e n d s a
s i g n a l S
2
, a t s p e e d 1 = 2 . W h e n t h e l a s t i n p u t l e t t e r a
n
e n t e r s c e l l 1 a t t i m e
n ? 1 , t h e n c e l l 1 s e n d s a s i g n a l S
1
a t m a x i m a l s p e e d , w h i c h m e e t s s i g n a l S
2
o n c e l l n a t t i m e 2 ( n ? 1 ) . A n d t h e n a s y n c h r o n i z a t i o n i s l a u n c h e d , v i a a
F i r i n g S q u a d o p t i m a l t i m e s o l u t i o n , w h i c h e n d s u p , a t t i m e 3 ( n ? 1 ) , w i t h
t h e w a n t e d p a r a l l e l i n p u t o n t h e r s t n c e l l s . T h e r e c o g n i t i o n p r o c e s s o n A
2 2
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
25/32
c a n s t a r t , a n d t h e w o r d u w i l l o b v i o u s l y b e r e c o g n i z e d o n B i n l i n e a r t i m e .
F i g u r e 1 2 b s h o w s h o w t h e i n p u t l e t t e r s s u c c e s s i v e l y a p p e a r o n t h e d i a g o n a l
s t e m m i n g f r o m s i t e ( 1 ; 0 )
5 . 3 G r o u p i n g c e l l s
T h i s m e t h o d i s u s e d t o p r o v e u L S O C A = L S O C A f o r e x a m p l e . I t w a s
e x t e n s i v e l y i n 8 ] a n d 2 2 ] . S o w e w i l l o n l y r e c a l l i t s p r i n c i p l e o n F i g u r e 1 3 .
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
d
d
d
d
d
d
e
e
e
e
e
e
ff
f
f
f
f
g
g
g
gg
g
a
b
c
de
f
g h
h
hh
h
h
j
i j
i j
i j
i ji j
i
h
j
i
l
k
m
n
p
l
k
m
n
p
l
k
m
n
p
l
k
m
n
p
l
k
m
n
p
l
k
m
n
p
l
k
m
n
ph
j
i
l
k
m
n
p
h
j
i
l
k
m
n
p
h
j
i
l
k
m
n
p
a
b
cd
ef
g
a
bc
d
ef
g
ab
c
d
ef
g
xx
xx
xx
xx
xx
a
xx
xx
xx
xx
xx
d
de
def
gabc
def
ghabc
def
ghi
j
abcdef
ghijk
abcdef
ghi
jk
labc
def
ghi
jkl
m
bc
def
ghi
jkl
mn
p
np
l
mnp
kl
mnp
i
jkl
mnp
hi
jkl
mnp
f
ghi
jkl
mnp
ef
ghi
jkl
mnp
cdef
ghi
jkl
mnp
b
bc
bc
bc
input
input
u-LOCA diagram with:time = 2 nspace = 3 n
LOCA diagram with:time = 2 nspace = n
F i g u r e 1 3 : A h i n t f o r p r o v i n g u L S O C A = L S O C A
6 L a n g u a g e s o n 2 - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a
L a n g u a g e s o n 2 - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a c a n b e u n d e r s t o o d e i t h e r a s
s e t s o f 2 - d i m e n s i o n a l p a t t e r n s ( a l s o o f t e n c a l l e d i m a g e s ) o r a s s t a n d a r d l a n -
g u a g e s o f n i t e w o r d s . A c t u a l l y , a l t h o u g h s o m e w o r k h a s b e e n d o n e o n
i m a g e s ( 2 9 ] , 1 8 ] a n d 3 3 ] ) , w e w i l l h e r e r e s t r i c t t h e m a t t e r t o t h e l a t t e r
o n e s .
I n t h e f r a m e o f 2 - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a , i n p u t s a n d o u t p u t s p r o b -
l e m s n a t u r a l l y b e c o m e a l i t t l e m o r e i n v o l v e d , b u t , m o r e o v e r , a n e w o n e m a y
a r i s e b e c a u s e t h e s t a n d a r d r s t n e i g h b o r s n e i g h b o r h o o d o f d i m e n s i o n o n e
s p l i t s i n t o v o n N e u m a n n ' s a n d M o o r e ' s n e i g h b o r h o o d s .
2 3
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
26/32
6 . 1 I n p u t a n d o u t p u t m o d e s
F i r s t , a l l t h e a u t h o r s c h o o s e s o m e d i s t i n g u i s h e d c e l l , w h i c h i s u s e d t o c o m -
m u n i c a t e w i t h t h e o u t s i d e , t h a t m e a n s t o e n t e r l e t t e r s o n e a f t e r t h e o t h e r
( s e q u e n t i a l m o d e ) , t o e n t e r t h e r s t i n p u t l e t t e r ( p a r a l l e l m o d e ) o r , p o s s i b l y ,
t o d e c i d e t h e a c c e p t a t i o n . B u t , d e p e n d i n g o n t h e w a y w o r d s a r e e n c o d e d
o n t h e p l a n e , a s e c o n d c e l l h a s t o b e c h o s e n , w h e r e t h e r e c o g n i t i o n w i l l b e
d e c i d e d i f t h e r e i s a r e a s o n .
S e c o n d l y , c o m p u t a t i o n s a r e b o u n d e d o n e s .
T h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t f o r s e q u e n t i a l i n p u t m o d e h a s b e e n o b t a i n e d
b y S . C o l e , w h o p r o v e d t h a t 2 - S C A a r e s t r i c t l y m o r e p o w e r f u l t h a n S C A 3 ] ,
a n d m o r e g e n e r a l l y t h a t ( k + 1 ) - S C A a r e s t r i c t l y m o r e p o w e r f u l t h a n k - S C A .
T h e p r o o f ( f o u n d e d o n t h e p r e v i o u s l y m e n t i o n e d a l g e b r a i c m e t h o d ) c o n s i s t s
i n p r o d u c i n g a l a n g u a g e w h i c h i s r e c o g n i z e d b y s o m e ( k + 1 ) - S C A a n d n o t
r e c o g n i z e d b y a n y k - S C A ( w i t h v o n N e u m a n n ' s n e i g h b o r h o o d ) .
T h e c a s e o f o n e - w a y c o m m u n i c a t i o n s i s e s p e c i a l l y s t u d i e d , i n 1 3 ] . L e t u s
o n l y e m p h a s i z e h e r e t h a t t h e c h o s e n n e i g h b o r h o o d i s s t i l l t h e v o n N e u m a n n ' s
o n e , w h i c h m e a n s , i n t h i s f r a m e , t h e v e c t o r ( ( x
c
? 1 ; y
c
) ; ( x
c
; y
c
? 1 ) ) i f ( x
c
; y
c
)
i s t h e c o n s i d e r e d c e l l .
I n n o v a t i o n i n p a r a l l e l m o d e i s t h a t t h e r e a r e m a n y w a y s t o e n t e r t h e
i n p u t . S o m e o f t h e m a r e r e p r e s e n t e d o n F i g u r e 1 4 , a s t h e d i s t i n g u i s h e d c e l l s .
I n h i s f o l l o w i n g c o n t r i b u t i o n , O . I b a r r a u s e s l i n e l i k e ( l l o ) o r b r o k e n w o r d l i k e
( b w l o ) o r d e r , w h i l e i n 3 3 ] , i t i s t h e s n a k e l i k e ( s n l o ) o n e w h i c h i s u s e d . T h e
l a s t o n e i s t h e s p i r a l l i k e o r d e r ( s p l o ) 6 ] , b u t o n e c a n i m a g i n e o t h e r s o r t o f
\ w i r e s " .
T h e c h o i c e o f t h e a c c e p t i n g c e l l d e p e n d s o n t h e w a y t h e w o r d i s d i s p l a y e d
o n t h e p l a n e a n d a l s o o n t h e c o m m u n i c a t i o n w a y . E x a m p l e s a r e g i v e n o n
F i g u r e 1 5 .
L e t u s r e m a r k t h a t b r o k i n g t h e i n p u t w o r d b r i n g s a n e w p a r a m e t e r i n ,
w h i c h c a n b e s e e n a s d i s t i n g u i s h i n g t w o c e l l s : t h e s e c o n d o n e , i n f a c t t h e
a c c e p t i n g c e l l , t e l l i n g h o w t h e i n p u t i s e n t e r e d .
6 . 2 R e a l t i m e
W h a t d o e s m e a n r e a l t i m e i n t h i s f r a m e ? A s u s u a l , t h a t m e a n s t h e m i n i m a l
t i m e n e c e s s a r y t o t h e a c c e p t i n g c e l l t o k n o w t h e w h o l e i n p u t . W e w i l l n o t
g i v e f o r m a l d e n i t i o n s , b u t o n l y s o m e e x a m p l e s i l l u s t r a t i n g h o w r e a l t i m e
d e p e n d s u p o n d i e r e n t c o m p u t a t i o n f e a t u r e s .
F i g u r e 1 6 s h o w s r e a l t i m e i n c a s e o f c e l l u l a r a u t o m a t a , c h e c k i n g w o r d s o f
l e n g t h n i n p a r a l l e l \ l i n e l i k e o r d e r " i n p u t m o d e , t h e a c c e p t i n g c e l l b e i n g t h e
n - t h o n e , i n c a s e o f M o o r e ' s a n d v o n N e u m a n n ' s n e i g h b o r h o o d s .
2 4
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
27/32
a9 a8 a7 a6
a5a4a3a2a1
a12
a22 a23a21
a20 a16
a15a11
a10
* *
a13 a14
a19 a17a18
a7 a8 a9 a10
a5a4a3a2a1
a12
a16 a20
a15a11
a6
a22 a23a21 * *
a13 a14
a17 a19a18
snakelike order broken wordlike order
line word order
a1 a2 a3 a4 a22 a23a5
a1a2
a3a4a5
a6
a7 a8 a9 a10
a11
a12
a13a14a15a16a17
a18
a19
a20
a21 a22 a23
spiral like order
F i g u r e 1 4 : D i e r e n t s t a n d a r d i n p u t s o f n i t e w o r d s , i n p a r a l l e l m o d e o n
2 - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a .
2 5
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
28/32
a1 a2
n
an
one-way
accepting cell mark
one-way
ala2a1
al+1
am an
two-way
ala2a1
al+1
am
two-way
a1
F i g u r e 1 5 : L o c a l i z a t i o n o f t h e a c c e p t i n g c e l l .
Moores neighborhood Von Neumans neighborhood
Real time : n - 1
Real time : 2 n - 1
F i g u r e 1 6 : R e a l t i m e c o m p u t a t i o n e x a m p l e s .
2 6
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
29/32
I n c a s e o f l e n g t h n w o r d s d i s p l a y e d i n s n a k e l i k e o r d e r i n s i d e a s q u a r e o f
s i z e ( d
p
n e ; d
p
n e ) a s o n F i g u r e 1 5 , w i t h t h e r s t c e l l a s a c c e p t i n g o n e , t h e
r e a l t i m e i s d
p
n e ? 1 i n c a s e o f M o o r e ' s n e i g h b o r h o o d a n d 2 ( d
p
n e ? 1 ) i n
c a s e o f v o n N e u m a n n ' s o n e .
W h e n w o r d s o f l e n g t h n a r e d i s p l a y e d i n s p i r a l i k e o r d e r r e a l t i m e i s
O ( d
p
n e ) , a n d i t h a s b e e n s h o w n t h a t r a t i o n a l l a n g u a g e s a r e r e c o g n i z e d i n
r e a l t i m e 1 9 ] .
6 . 3 S o m e r e s u l t s a n d o p e n q u e s t i o n s
L e t u s s u m u p s o m e i n t e r e s t i n g c o m p a r i s o n r e s u l t s o n s t a n d a r d c o m p u t a -
t i o n a l c o m p l e x i t y c l a s s e s . I n c i d e n t a l l y , s o m e o f t h e m s h o w t h e g a p w h i c h
e x i s t s b e t w e e n t h e d i m e n s i o n s 1 a n d 2 .
1 . A c c o r d i n g t o 1 3 ] , t h e 2 - P C A w i t h v o n N e u m a n n n e i g h b o r h o o d , o n
s t a n d a r d i n p u t s , a r e s t r i c t l y m o r e p o w e r f u l t h a n a n a l o g o u s 2 - P O C A .
T h a t c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t 2 P O C A
! V N
= D S P A C E ( n
3 = 2
) a n d
2 S O C A
V N
= D S P A C E ( n
3 = 2
) , w h i l e 2 P C A
! V N
= D S P A C E ( n
2
)
a n d 2 S C A
V N
= D S P A C E ( n
2
) . O n e o b s e r v e s h e r e a n o t h e r e c i e n t
p r o o f m e t h o d , w h i c h c o n s i s t s i n s e p a r a t e l y c o m p a r i n g c l a s s e s d e t e r -
m i n e d v i a c e l l u l a r a u t o m a t a a n d c l a s s e s d e t e r m i n e d v i a a n o t h e r c o m -
p u t a t i o n m o d e l ( T u r i n g m a c h i n e s p a r e x c e l l e n c e ) .
2 . I t i s n o t k n o w n w h e t h e r 2 - P O C A a r e m o r e p o w e r f u l t h a n P O C A ,
n o r w h e t h e r t h e r e e x i s t s s o m e r e l a t i o n b e t w e e n 2 P O C A a n d P C A ,
a p a r t t h e f a c t t h a t 2 P C A
b l o ; V N
= 2 P C A
s n l o ; V N
w h i c h c a n b e d e d u c e d
f r o m t h e f a c t t h a t D S P A C E ( n ) = 2 P C A
b l o ; V N
a n d D S P A C E ( n ) =
2 P C A
s n l o ; V N
3 . O b v i o u s l y , t h e f a m o u s p r o b l e m R P C A =
?
P C A c a n b e t r a n s p o s e d
i n d i m e n s i o n 2 t o t h e d i e r e n t r e l e v a n t e x p l i c i t c a s e s a c c o r d i n g i n p u t s
f o r m s a n d n e i g h b o r h o o d s .
6 . 4 I m a g e s l a n g u a g e s
T o n i s h , a n d t h o u g h w e d e c i d e d t o f o c u s e o n l a n g u a g e s o f n i t e w o r d s , i t i s
w o r t h y t o s t r e s s t h e f o l l o w i n g r e s u l t i n 3 3 ] :
T h e r e e x i s t s a t w o - d i m e n s i o n a l l a n g u a g e r e c o g n i z e d i n r e a l t i m e i n c a s e o f v o n
N e u m a n n ' s n e i g h b o r h o o d , w h i c h i s n o t r e a l - t i m e i n c a s e o f M o o r e ' s n e i g h b o r -
h o o d
2 7
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
30/32
R e f e r e n c e s
1 ] A l b e r t J . a n d
C u l i k I I K . A s i m p l e u n i v e r s a l c e l l u l a r a u t o m a t o n a n d i t s
o n e - w a y t o t a l i s t i c v e r s i o n . C o m p l e x S y s t e m s . V o l . n o . 1 : 1 - 1 6 , 1 9 8 7 .
2 ] C h o r u t C . a n d
C u l i k I I K . O n r e a l t i m e c e l l u l a r a u t o m a t a a n d t r e l l i s
a u t o m a t a . A c t a I n f o r m a t i c a V o l . n o . 2 1 : 3 9 3 { 4 0 7 , 1 9 8 4 .
3 ] C o l e S . R e a l t i m e c o m p u t a t i o n b y n - d i m e n s i o n a l a r r a y s . I E E E T r a n s -
a c t i o n s o n C o m p u t e r s . V o l . n o . 4 : 3 4 9 - 3 6 5 , 1 9 6 9 .
4
C u l i k I I K . V a r i a t i o n o f t h e r i n g s q u a d s y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e m . I n -
f o r m a t i o n P r o c e s s i n g L e t t e r V o l . n o . 3 0 : 1 5 2 - 1 5 7 , 1 9 8 9 .
5
C u l i k I I K . , G r u s k a J . a n d S a l o m a a A . S y s t o l i c T r e i l l i s A u t o m a t o n ( f o r
V L S I ) . R e s . R e p C S . D e p t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v . o f W a t e r l o o .
V o l . n o . 8 1 - 3 4 , 1 9 8 1 .
6 ] D e l o r m e M . a n d M a z o y e r J . R e c o n n a i s s a n c e d e L a n g a g e s s u r A u t o -
m a t e s C e l l u l a i r e s . R e s e a r c h r e p o r t L I P - I M A G , V o l . n o . 9 4 - 4 6 , 1 9 9 4 .
7 ] D e l o r m e M . a n d M a z o y e r J . A n o v e r v i e w o n l a n g u a g e r e c o g n i t i o n o n
o n e d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a . i n S e m i g r o u p s , A u t o m a t a a n d L a n -
g a g e s . W o r l d S c i e n t i c , J . A l m e i d a E d : 8 5 - 1 0 0 , 1 9 9 6 .
8 ] D e l o r m e M . A n i n t r o d u c t i o n t o C e l l u l a r A u t o m a t a . T o a p p e a r
i n C e l l u l a r A u t o m t a : a p a r a l l e l d e v i c e , M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a -
t i o n , K l u w e r : 5 { 4 9 , 1 9 9 8 .
9 ] D y e r C . O n e - w a y b o u n d e d C e l l u l a r A u t o m a t a . I n f o r m a t i o n a n d C o n -
t r o l . V o l . n o . 4 4 : 5 4 - 6 9 , 1 9 8 0 .
1 0 ] F i s c h e r P . C . G e n e r a t i o n o n p r i m e s b y a o n e d i m e n s i o n a l r e a l t i m e i t -
e r a t i v e a r r a y . J . A . C . M . V o l . n o . 1 2 : 3 8 8 - 3 9 4 , 1 9 6 5 .
1 1 ] H e m m e r l i n g A . R e a l t i m e r e c o g n i t i o n o f s o m e l a n g a g e s b y t r e l l i s a n d
c e l l u l a r a u t o m a t a a n d f u l l s c a n T u r i n g m a c h i n e s . E A T C S . V o l . n o .
2 9 : 3 5 - 3 9 , 1 9 8 6 .
1 2 ] H o p c r o f t J . a n d U l l m a n J . I n t r o d u c t i o n o f a u t o m a t a t h e o r y , l a n g u a g e s
a n d c o m p u t a t i o n . A d d i s o n W e s l e y , 1 9 7 9 .
1 3 ] I b a r r a O . C o m p u t a t i o n a l c m p l e x i t y o f c e l l u l a r a u t o m a t a : a n o v e r v i e w .
T o a p p e a r i n C e l l u l a r A u t o m t a : a p a r a l l e l d e v i c e , M a t h e m a t i c s a n d I t s
A p p l i c a t i o n , K l u w e r : 5 { 4 9 , 1 9 9 8 .
2 8
-
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31/32
1 4 ] I b a r r a O . , J i a n g T . a n d V e r g i s A . O n t h e p o w e r o f o n e - w a y c o m m u n i -
c a t i o n . J . A . C . M V o l . 3 5 n o . 3 : 6 9 7 - 7 2 6 , 1 9 8 8 .
1 5 ] I b a r r a O . a n d J i a n g T . O n o n e - w a y c e l l u l a r a r r a y s . S . I . A . M J . C o m p u t .
V o l . 1 6 n o . 6 : 1 1 3 5 - 1 1 5 4 , 1 9 8 7 .
1 6 ] I b a r r a O . a n d J i a n g T . R e l a t i n g t h e p o w e r o f c e l l u l a r a r r a y s t o t h e i r
c l o s u r e p r o p e r t i e s . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e . V o l . n o . 5 7 : 2 2 5 -
2 3 8 , 1 9 8 8 .
1 7 ] I b a r r a O . K i m S . a n d M o r a n S . S e q u e n t i a l m a c h i n e c h a r a c t e r i z a t i o n
o f t r e i l l i s a n d c e l l u l a r a u t o m a t a a n d a p p l i c a t i o n s . S . I . A . M J . C o m p u t .
V o l . n o . 1 4 : 4 2 6 { 4 4 7 , 1 9 8 5 .
1 8 ] I n o u e K . a n d N a k a m u r a A . S o m e p r o p e r t i e s o f t w o - d i m e n s i o n a l o n -
l i n e t e s s a l a t i o n a c c e p t o r s . I n f o r m a t i o n S c i e n c e s . V o l . n o . 1 3 : 9 5 - 1 2 1 ,
1 9 7 7 .
1 9 ] M a z o y e r J . P a r a l l e l l a n g u a g e r e c o g n i t i o n o n a p l a n e o f a u t o m a t a . U n -
p l u b l i s h e d p a p e r , 1 9 9 8 .
2 0 ] M a z o y e r J . E n t r e e s e t s o r t i e s s u r l i g n e s d ' a u t o m a t e s . i n A l g o r i t h m i q u e
p a r a l l e l e . C o s n a r d M . , N i v a t M . a n d R o b e r t Y . E d s , M a s s o n , 4 7 { 6 5 ,
1 9 9 2 .
2 1 ] M a z o y e r J . C e l l u l a r a u t o m a t a , a c o m p u t a t i o n a l d e v i c e . i n C I M P A
S c h o o l o n P a r a l l e l C o m p u t a t i o n . T e m u c o ( C h i l e ) , 1 9 9 4 .
2 2 ] M a z o y e r J . C o m p u t a t i o n s o n c e l l u l a r a u t o m a t a . T o a p p e a r i n C e l l u l a r
A u t o m t a : a p a r a l l e l d e v i c e , M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n , K l u w e r :
7 7 { 1 1 8 , 1 9 9 8 .
2 3 ] M a z o y e r J . a n d R e i m e n N . A l i n e a r s p e e d - u p f o r c e l l u l a r a u t o m a t a .
T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e . V o l . n o . 1 0 1 : 5 8 - 9 8 , 1 9 9 2 .
2 4 ] M a z o y e r J . a n d T e r r i e r V . S i g n a l s o n o n e d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u -
t o m a t a . T o a p p e a r i n T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 1 9 9 8 .
2 5 ] R o k a Z s . S i m u l a t i o n s b e t w e e n C e l l u l a r A u t o m a t a o n C a y l e y G r a p h s .
T o a p p e a r i n T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 1 9 9 8 .
2 6 ] S m i t h I I I A . C e l l u l a r a u t o m a t a t h e o r y . T e c h n i c a l R e p o r t 2 . S t a n f o r d
U n i v e r s i t y , 1 9 6 0 .
2 9
-
7/28/2019 10.1.1.39.6435
32/32
2 7 ] S m i t h I I I A . R e a l t i m e l a n g u a g e r e c o g n i t i o n b y o n e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r
a u t o m a t a . J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m S c i e n c e . V o l . n o . 4 : 2 9 9 -
3 1 8 , 1 9 7 1 .
2 8 ] S m i t h I I I A . S i m p l e c o m p u t a t i o n - u n i v e r s a l s p a c e s . J o u r n a l o f A C M .
V o l . n o . 1 8 : 3 3 9 - 3 5 3 , 1 9 7 1 .
2 9 ] S m i t h I I I A . T w o - d i m e n s i o n a l f o r m a l l a n g u a g e s a n d p a t t e r n r e c o g n i -
t i o n b y c e l l u l a r a u t o m a t a . P r o c e e d i n g s o f t h e 1 2 - e m e A n n u a l I E E E
S y m p o s i u m o n S w i t c h i n g a n d A u t o m a t a T h e o r y . : 1 4 4 { 1 5 2 , E a s t L a n s -
i n g , M i c h i g a n , 1 9 7 1 .
3 0 ] T e r r i e r V . L a n g u a g e r e c o g n i z a b l e i n r e a l t i m e b y c e l l u l a r a u t o m a t a .
C o m p l e x s y s t e m s V o l . n o . 8 : 3 2 5 { 3 3 6 , 1 9 9 4 .
3 1 ] T e r r i e r V . O n r e a l t i m e o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a . T h e o r e t i c a l C o m -
p u t e r S c i e n c e V o l . n o . 1 4 1 : 3 3 1 { 3 3 5 , 1 9 9 5 .
3 2 ] T e r r i e r V . L a n g u a g e n o t r e c o g n i z a b l e i n r e a l t i m e b y o n e - w a y c e l l u l a r
a u t o m a t a . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e . V o l . n o . 1 5 6 : 2 8 1 { 2 8 7 ,
1 9 9 6 .
3 3 ] T e r r i e r V . T w o d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a r e c o g n i z e r s . T o a p p e a r
i n T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e
3 4 ] W a g n e r K . a n d W e c h s u n g G . C o m p u t a t i o n a l C o m p l e x i t y . R e i d e l , 1 9 8 6 .
3 0