1

2

• Sumar y restar polinomios• Multiplicar un monomio por un monomio.• Multiplicar un monomio por un polinomio.• Multiplicar un polinomio por un polinomio.• Multiplicar polinomios usando los

productos especiales: la diferencia de cuadrados y la expansión de binomios.

Objetivos:

3

DefiniciónDefinición

Dos Dos términos términos son son semejantessemejantes si tienen las si tienen las mismas variables con los mismos exponentes.mismas variables con los mismos exponentes.

2 5 2 51) 3 y 4x y x y−

2) y 2ab ba

Ejemplos:

4

La suma y la resta de polinomiosLa suma y la resta de polinomios

DefiniciónDefinición

Para sumar polinomios, se suman losPara sumar polinomios, se suman los

coeficientes de los términos semejantescoeficientes de los términos semejantes

de los dos polinomiosde los dos polinomios..

Aclaración:Aclaración: Lo que nos permite definir la suma de Lo que nos permite definir la suma de

términos semejantes es la propiedad términos semejantes es la propiedad distributiva de los números reales.distributiva de los números reales.

5

Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.

( ) ( )3 2 21) 3 5 4 5 5 2x x x x x− − + + + − =

( ) ( ) ( )3 2 23 5 4 5 5 2x x x x x= + − + + − + + −3 23 4 3x x x= − + +

( ) ( )4 2 4 22) 3 7 8 3 3 6− + − + − + −x x x x x x

( ) ( ) ( ) ( )4 4 2 28 3 3 3 7 6x x x x x x= + + − − + + + − −

4 29 4 6 13= − + −x x x

6

La resta de polinomiosLa resta de polinomios

DefiniciónDefiniciónLa resta de dos polinómios se define comoLa resta de dos polinómios se define comola suma del opuesto del pololinomiola suma del opuesto del pololinomiosustraendo.sustraendo.

7

Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.

( ) ( )3 2 21) 3 5 4 5 5 2− − + − + −x x x x x

( ) ( )3 2 23 5 4 5 5 2= − − + + − − +x x x x x3 23 6 9 7= − − +x x x

( ) ( )4 2 4 22) 3 7 8 3 3 6− + − − − + −x x x x x x

( ) ( ) ( ) ( )4 4 2 28 3 3 3 7 6x x x x x x= − + − + + − + − +4 27 2 1= − + −x x

( ) ( )4 2 4 23 7 8 3 3 6= − + − + − + − +x x x x x x

8

( ) ( ) ( )3) 2 5 3 7 5 2 3x x x+ − − − − =

( ) ( )2 3 10 5 7 15x x x= − − + + +

11 27x= − +

( ){ } =+−−− 57462 )4 xxx{ } 57462 ++−−= xxx{ } 5722 ++−= xx

5722 +−−= xx2−=

9

La multiplicación de polinomiosLa multiplicación de polinomios

Aclaración:Aclaración: Para multiplicar polinomios, se necesita Para multiplicar polinomios, se necesita

conocer las conocer las reglas de los exponentes reglas de los exponentes enterosenteros y la y la propiedad distributiva de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.multiplicación con respecto a la suma.

10La multiplicación de monomiosLa multiplicación de monomios

La La multiplicación de dos monomiosmultiplicación de dos monomios se lleva a se lleva a cabo usando las leyes de exponentes y las cabo usando las leyes de exponentes y las propiedades de los números reales.propiedades de los números reales.

( ) ( )3 51) 4 5x x = 820x

( ) ( )2 32 3 4 22) 5 2y x y x− = ( ) ( )4 6 12 625 8y x y x−

16 12200y x−=

11La multiplicación de un monomio por un La multiplicación de un monomio por un polinomiopolinomio

La La multiplicación de un monomio por un multiplicación de un monomio por un polinomiopolinomio se lleva a cabo multiplicando el se lleva a cabo multiplicando el monomio por cada término del polinomio monomio por cada término del polinomio mediante la propiedad distributiva de los mediante la propiedad distributiva de los números reales.números reales.

( )2 41) 3 6 5 7x x x+ − = 618x 315x+ 221x−

( ) ( )3 10 52) 4 7 2w z w z− − = 1328w z− 3 68w z+

12La multiplicación de un polinomio por La multiplicación de un polinomio por otro polinomiootro polinomio

La La multiplicación de un polinomio por otro multiplicación de un polinomio por otro polinomiopolinomio se lleva a cabo multiplicando el cada se lleva a cabo multiplicando el cada término del primer polinomio por término del primer polinomio por cada términocada término del segundo polinomio mediante la propiedad del segundo polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.distributiva de los números reales.

13

( ) ( )1) 2 1 4 3− − =x x 28x 6x− 4x− 3+

= 28x 10x− 3+

( ) ( )2 2 22) 4 6 2− + + − + =x y x xy y

44x− 34x y+= 2 24x y− 26x y+ 26xy− 36y+ 2 22 2 2+ − +x xy y

( ) ( )2 2 23) 2 4 2+ + − − + =x y x xy y

42− x 32− x y= 2 24+ x y 2−x y 2−xy 32y+ 2 24 4 8− − +x xy y

14

( ) ( )4) 3 2 4 1− − =x x 212x 3− x 8− x 2+212= x 11− x 2+

( ) ( )2 2 25) 2 4 3 2− + + − + =x y x xy y

43= − x 32+ x y 2 2−x y 26x y+ 24− xy 32+ y 2 212 8 4+ − +x xy y

( ) ( )2 2 26) 2 3 4 2 2+ + − + =x y x xy y

42x= 34− x y 2 24+ x y 23+ x y 26− xy 36y+ 2 24 8 8+ − +x xy y

15

( )( ) =−+ baba

( )( ) =−+ 5353 xx 259 2 −x

( )( ) =+− 4747 xx 1649 2 −x

2 2a b= −

1. Diferencia de Cuadrados

Productos especiales

EjemplosEjemplos:

1)

2)

2 2a ab ba b+ − −

16

( ) ( ) =−+ yxyx 3232 22 94 yx −

( )( ) =+− 2323 4343 baba 46 169 ba −

3)

4)

17

2. La expansión de un binomio al2. La expansión de un binomio al cuadrado cuadrado

( ) ( )a b a b+ +

2a=

( ) ( )a b a b− −

( ) =+ 2ba

( ) =− 2ba

− ab2 + 2b

( ) =+ 25x2x + x10 + 251)

Ejemplos:Ejemplos:

+ ab2 + 2b2a=

18

( ) =+ 238x 264x + x48 + 9

( ) =− 285 y 25 − y80 264y+

( ) =− 23 34x 616x − 324x + 9

2)

3)

4)

19

( ) =+ 3ba

( ) =− 3ba

3a + ba23 + 23ab + 3b

3a − ba23 + 23ab − 3b

3. La expansión de un binomio al cubo

20

EjemplosEjemplos:

( ) =+ 352x 38x + ( ) ( )523 2x + ( )( ) 2523 x + 125

= 38x + ( )( )543 2x + ( ) ( )2523 x + 125

= 38x + 260x + x150 + 125

1)

21

( ) =− 343x 327x− 2108x + x144 − 64

( ) =− 32yx3x − 223 yx + 43xy − 6y

2)

3)

22

Aclaración:Aclaración:

Para dividir polinomios éstos deben estar Para dividir polinomios éstos deben estar expresados en expresados en forma decendenteforma decendente. Esto es. Esto es;; las potencias deben aparecer en orden de las potencias deben aparecer en orden de mayor a menor.mayor a menor.

De faltar alguna potencia se añadirá con De faltar alguna potencia se añadirá con coeficiente cerocoeficiente cero..

División de PolinómiosDivisión de Polinómios

23Teorema: Algoritmo de DivisiónSi dividimos un polinomio ( ) por otro

polinomio ( ) llamado el divisor, entonces

existen polinomios ( ) llamado el cociente y

( ) llamado el residuo ,con el grado de ( )

menor que el grado de (

P x

D x

Q x

R x R x

D x), tal que

( ) ( ). ( ) ( )P x D x Q x R x= +

1

6

372Ejemplo:

7 2(3) 1= +

P(x) D(x) Q(x) R(x)

24Procedimiento para le división de polinomios

1. Colocar el dividendo dentro del símbolo ( la casita ) de división en forma descendente de acuerdo con los exponentes.

2. Si alguna potencia no aparece añádala con coeficiente cero.

3. Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término cociente.

4. Multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del divisor.

5. Resta el dividendo menos el polinomio obtenido al multiplicar el paso anterior.

6. Repite los pasos 3,4 y 5 hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

25

Ejemplo 1Ejemplo 1Usa la división larga para Usa la división larga para ddividir los polinomios.ividir los polinomios.

( ) ( ) =+÷++ 2865 3 xxx

Primero expresamos los polinomios

en forma decendente.

2+x

ojo

8605 23 +++ xxx

( ) ( ) =+÷+++ 28605 23 xxxx

26

2+x 8605 23 +++ xxx

25x

35x + 210x210x x6+

x10−

210x− x20−x26 8

26+

x26 +52+

44− residuo

+ +

27

Resultado:

26105 2 +− xx +2

44

+−x

25 10 26x x= − + −2

44

+x

35 6 8

2

x x

x

+ + =+

( ) ( )3 2

Usando el algoritmo de división t

5 6 8 2 5 10 26

enemos

4

,

4x x x x x+ + = + − + −

28( ) ( )25 17 12 42. x x x− − ÷ − =

12175 2 −− xx4−xx5

25x x20−x3 12−

3+

x3 12−0 residuo

35 +x

29

( )3

2

3 7

1. 3 x x

x

+ + =−

12

732

3

+−++=xx

xx

12

7302

23

+−+++=

xx

xxx

30

730 23 +++ xxx122 +− xx

x

3x 22x− x+22x x2+ 7+

2+

22x x4− 2+x6 5+ residuo

31

Resultado:

2+x +12

562 +−

+xx

x

( )3

2

3 7

1

x x

x

+ + =−

( ) ( )23

Usando el algoritmo de división

3 7

1 2 6 5

tenemos,

x x x x x+ + = − + + +