10.sinif matematik10.1.2.2 olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapar. a) eş olası olan ve...

“Sana özel, senin yanında”

Sorulardan önce Bilgi Köşesi

Seçenekli sorular (seviye 1)Seçenekli sorular (seviye 2)Yazılı için sorular

Çözümlü sorular

sorular kitabi

10.SINIF

MATEMATIK

Merhaba Dostum,İzin verirsen önce kendimi tanıtayım: Ben ArKi. Kirpigillerdenim. Sana, bu kitabı çalışmayı istediğin süre boyunca arkadaşlık etme niyetindeyim. Elbette sen de istersen.Niye böyle bir yola çıktığımı merak ediyorsundur belki. Dur, anlatayım. Gerçi, başlamadan bir parantez açmam gerekiyor. Aslında ben bu yola geçen yıl çıkmıştım yani sen 9. sınıftayken. Belki seninle arkadaşlığımız da geçen yıl başlamıştır, kim bilir? Ama geçen sene tanış-a-mamış olsak da bu yıl seninle iyi bir ikili olacağımıza eminim.Sebebe geri dönelim çok dağılmadan. Benim senin gibi 10. sınıfa giden bir kuzenim var ve bu yıl artık liseli olmanın tadını çıkarmak istiyor. Geçen sene, hem ortaokulu geride bırakıp yeni bir okula başlamış olmasından hem bir anda ona yakın dersle muhatap olmasından bir bocalama dönemi oldu ve çok anlayamadı bu liseli olmayı. İşte bundan sebep biraz uzak durmak istiyor derslerden ve çalışmaktan. Ama çevresindeki herkes özellikle annesi (saygılar teyzecimm) kuzenimle farklı düşünceye sahipler. Bense iki düşünceye de tamam diyemiyorum. Bana kalırsa ne hepten bırakma ne de tamamen “ders çalışma”ya gömülme doğru. Bu yüzden de “Evet, haklısın.” dedim kuzenime, “Liselisin ve bunu bir kere yaşayacaksın. Tadını çıkarmak en doğal hakkın ama eğer iyi bir kariyer hedefin varsa boşa geçireceğin bir yılın olmamalı. Üstelik, hem çok güzel bir sene geçi-rip hayatın boyunca hatırlayacağın güzel anılar biriktirebilir hem de hedeflerine yatırım yapabilirsin.” Kuzenim beni dikkate alır çünkü ona sadece “çalışmazsan şöyle olur, test çözmezsen yanarsın” bıdı bıdısı yapmam. Birlikte çok güzel vakit geçirip çok baba muhabbetler de yaparız. İşte bundan dolayı söylediklerime önem verir. Ona; ders çalışmayı eğlenceli hale getire-bileceğinden, derslerdeki konuların yanı sıra değişik bilgi ve beceriler de öğrenmesinin hayatına katkısı olacağından (mesela ben lisede öğrendiğim masa tenisini çok severek oynarım hala) ve en önemlisi ara ara nefes alacak vakitler oluşturmasının öneminden bahsettim. Tabi ki bu önerilerimi lafta bırakmadım. Kuzenim ve senin gibi arkadaşlarıma ders çalışmayı nasıl eğlenceli hâle getirebileceğini ve diğer söylediklerimi nasıl gerçek-leştirebileceğini bu kitapla göstermeyi ve elimden geldiğince ders çalışırken yanlarında hissedeceği bir arkadaş olmayı kafama koydum. Sen de bu kitabı aldığına göre sana arkadaşlık yapmama izin veriyor ve “Arki’nin kankileri” tayfasına katılıyorsun demektir. Eyvallah :) Bu güveni boşa çıkarmamak ve 10. sınıf olarak güzel bir yıl geçirmen için elimden geleni yapacağım.Sevgilerimle,Not: Beni instagram hesabımdan takip etmeyi unutma :)

İmza: ArKi

ürün adı 10. Sınıf Matematik Sorular Kitabı

ürün no OK00-10.02SKTO5

isbn 978-605-2000-55-7

yazarlar Saadet Çakır - Rafet Özdemir

katkıda bulunanlar İnci Baykal - Mustafa Karaarslan - Bilal Çakır

dizgi-mizanpaj ve grafik Test Okul Dizgi ve Grafik Servisi

yayın editörü Özge Burhan

yayın yönetmeni Nilgün Aydoğan

baskı Aykut MatbaasıFiruzköy Mah. Mezarlık Üstü Cad. No. 24/26 A Blok Avcılar/İstanbul

tlf: 0 212 428 52 74 - 428 54 26

iletişim www.testokul.com - [email protected]ülbahar Mah. Cemal Sururi Sk. No: 15/E Halim Meriç İş Merkezi

Kat: 9 Mecidiyeköy/İST. tlf: 0 212 275 00 35

Copyright © Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre her hakkı Eksen Yayıncılık ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ’ye aittir. Eksen Yayıncılık’ın

yazılı izni olmaksızın, kitabın herhangi bir şekilde kısmen veya tamamen çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde

gerekli yasal mevzuat uygulanır.

KİTABIMIZ HAKKINDA

ArKi Der ki, #arkiderki

KİTABIMIZI TANIYALIM

BİLGİ KÖŞESİTestlere başlamadan

yani sorulardan önce,

kısa bir konu özetiyle hatırlama yapalım.

Ünitenin numarası ve adı

Üni

teni

n ka

zanı

mla

rı

ÇÖZÜMLERLE ÖĞRENELİMKonuların anlaşılması için çözümlü sorular burada..

Ünitenin kavramları

BİLGİ KÖŞESİ Fen Lisesi için

hazırlanan bölüme de bakalım.

Fen lisesi için hazırladığımız testler

dikkatini çekecek.

Sana bir de yazılı sınavlar için sorular

hazırladık. Bu bölüm-deki sorularla yazılı sınavlarına hazırlık

yapmış olacaksın.

SEÇENEKLİ SORULARKolaydan zora dizilmiş

seçenekli sorular (seviye 1)ile konuyu kavramaya

hazırsın.

Bir de bunun seçenekli sorular (seviye 2)

olanı var. Mor renkli bu sayfalarda biraz

zorlanabilirsin, haberin olsun.

ArKi’nin tavsiyelerine bir göz at derim.

Bir de burada cevaplarını işaretleyebileceğin optik alan var. Bunu süs diye koymadık merak etme. Yaptığın işaretlemeler “Bulut Okuma”

uygulamasında cevaplarını takip edebilmen, çözemediklerinin videosunu izleyebilmen için veri sağlıyor.

KİTABIMIZIN İÇİNDEKİLER

SAYMA VE OLASILIKBİLGİ KÖŞESİ-1 SAYMA KURALLARI ....................................................................................................... 10

BİLGİ KÖŞESİ-2 FAKTÖRİYEL ................................................................................................................... 16

BİLGİ KÖŞESİ-3 PERMÜTASYON ............................................................................................................. 18

BİLGİ KÖŞESİ-4 TEKRARLI PERMÜTASYON ............................................................................................ 24

BİLGİ KÖŞESİ-5 DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON............................................................................. 30

BİLGİ KÖŞESİ-6 KOMBİNASYON ............................................................................................................. 32

BİLGİ KÖŞESİ-7 KOMBİNASYON PROBLEMLERİ ..................................................................................... 36

BİLGİ KÖŞESİ-8 PASCAL ÜÇGENİ VE BİNOM AÇILIMI ............................................................................ 46

BİLGİ KÖŞESİ-9 OLASILIK ........................................................................................................................ 52

YAZILI SINAVLAR İÇİN SORULAR .......................................................................................................... 60

1.ÜNİTE

FONKSİYONLARBİLGİ KÖŞESİ -1 FONKSİYON KAVRAMI VE GÖSTERİMİ ......................................................................... 64

BİLGİ KÖŞESİ-2 FONKSİYON TÜRLERİ .................................................................................................... 72

BİLGİ KÖŞESİ-3 FONKSİYONLARDA İŞLEMLER ...................................................................................... 78

BİLGİ KÖŞESİ-4 FONKSİYON GRAFİKLERİNİ ÇİZME .............................................................................. 84

BİLGİ KÖŞESİ-5 FONKSİYON GRAFİKLERİNİ YORUMLAMA .................................................................. 90

BİLGİ KÖŞESİ-6 GERÇEK HAYAT DURUMLARININ DOĞRUSAL FONKSİYONLARLA İFADE EDİLMESİ ............................................................................................................. 96

BİLGİ KÖŞESİ-7 BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR ................................. 98 BİLGİ KÖŞESİ-8 İKİ FONKSİYONUN BİLEŞKESİ ....................................................................................... 100BİLGİ KÖŞESİ-9 BİR FONKSİYONUN TERSİ ............................................................................................. 108


2.ÜNİTE


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

BİLGİ KÖŞESİ-1 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ................................................. 182

BİLGİ KÖŞESİ-2 DİSKRİMİNANT (∆) YARDIMIYLA DENKLEM ÇÖZÜMÜ ............................................... 188

BİLGİ KÖŞESİ-3 KARMAŞIK SAYILAR ...................................................................................................... 192

BİLGİ KÖŞESİ-4 KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER ............................................................................... 198

BİLGİ KÖŞESİ-5 KÖK - KATSAYI İLİŞKİSİ .................................................................................................. 204BİLGİ KÖŞESİ-6 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI ................................ 212


4.ÜNİTE

POLİNOMLARBİLGİ KÖŞESİ-1 POLİNOM KAVRAMI ...................................................................................................... 122

BİLGİ KÖŞESİ-2 POLİNOMDA KATSAYILAR TOPLAMI VE SABİT TERİMİN BULUNUŞU ........................ 128

BİLGİ KÖŞESİ-3 POLİNOMLARDA İŞLEMLER .......................................................................................... 132

BİLGİ KÖŞESİ-4 POLİNOMLARLA BÖLME İŞLEMİNDE KALANIN BULUNUŞU ...................................... 138

BİLGİ KÖŞESİ-5 BİR POLİNOMUN SIFIRI (KÖKÜ) VEYA SIFIRLARI (KÖKLERİ) ....................................... 146

BİLGİ KÖŞESİ-6 ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE VE ALMA GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARINA AYIRMA ............................................................................................. 150

BİLGİ KÖŞESİ-7 ÖZDEŞLİKLER YOLUYLA ÇARPANLARINA AYIRMA - I ................................................. 152

BİLGİ KÖŞESİ-8 ÖZDEŞLİKLER YOLUYLA ÇARPANLARINA AYIRMA - II................................................ 160

BİLGİ KÖŞESİ-9 ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ İFADELERİN ÇARPANLARINA AYRILMASI ......................... 166

BİLGİ KÖŞESİ-10 TERİM EKLEYİP ÇIKARMA YÖNTEMİYLE ÇARPANLARINA AYIRMA .......................... 170

BİLGİ KÖŞESİ-11 RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ ............................................................... 172


3.ÜNİTE


DÖRTGENLER VE ÇOKGENLERBİLGİ KÖŞESİ -1 ÇOKGENLER .................................................................................................................. 220

BİLGİ KÖŞESİ-2 ÇOKGENLERDE UZUNLUK ............................................................................................ 226

BİLGİ KÖŞESİ-3 ÇOKGENLERDE ALAN ................................................................................................... 230

BİLGİ KÖŞESİ-4 DÖRTGENLERDE AÇI ÖZELLİKLERİ ............................................................................... 234

BİLGİ KÖŞESİ-5 DÖRTGENLERDE UZUNLUK VE ALAN .......................................................................... 238

BİLGİ KÖŞESİ-6 YAMUK ........................................................................................................................... 244

BİLGİ KÖŞESİ-7 YAMUĞUN ALANI ......................................................................................................... 250

BİLGİ KÖŞESİ-8 PARALELKENAR ............................................................................................................ 256

BİLGİ KÖŞESİ-9 PARALELKENARIN ALANI ............................................................................................ 260

BİLGİ KÖŞESİ-10 EŞKENAR DÖRTGEN ..................................................................................................... 264

BİLGİ KÖŞESİ-11 EŞKENAR DÖRTGENİN ALANI ...................................................................................... 268

BİLGİ KÖŞESİ-12 DİKDÖRTGEN ................................................................................................................ 272

BİLGİ KÖŞESİ-13 DİKDÖRTGENİN ALANI ................................................................................................ 278

BİLGİ KÖŞESİ-14 KARE .............................................................................................................................. 282

BİLGİ KÖŞESİ-12 KARENİN ALANI ........................................................................................................... 288

BİLGİ KÖŞESİ-13 DELTOİD ........................................................................................................................ 292


5.ÜNİTE

UZAY GEOMETRİBİLGİ KÖŞESİ -1 PRİZMALARDA UZUNLUK ............................................................................................ 300

BİLGİ KÖŞESİ-2 PRİZMALARDA ALAN ................................................................................................... 304

BİLGİ KÖŞESİ-3 PRİZMALARDA HACİM .................................................................................................. 308

BİLGİ KÖŞESİ-4 PİRAMİTLERDE UZUNLUK ............................................................................................ 314

BİLGİ KÖŞESİ-5 PİRAMİTLERDE ALAN .................................................................................................... 318

BİLGİ KÖŞESİ-6 PİRAMİTLERDE HACİM.................................................................................................. 322


6.ÜNİTE

8

Arki'den sevgilerle, Merhabadeğerliarkadaşım.BenArki,senineniyidostunolmakiçinburadayım.Banagüvenebilir-sin,seninnasılöğreneceğinibiliyorum.MatematiktekiustalığımıtamamenSENİNiçinkullanacağım. "SaymaveOlasılık"konuyabakbee...Dahailkkonudanbüyülenmeyehazırol..!"Matematikşiir-dir."sözününaltınıçiziceğizbukonuyla. NeredeişimizeyarayacakArkicimdiyorsan.Hemensöylememlazım...HAYATTA...HERZAMAN...HERYERDE...:))Tabisen,ihtimallerledolubuhayattabaşarıodaklıbakmayıbilmelisin. HeradımıSENİNiçinplanladım. BanakulakVER:)) Herdediğimidikkatealdığınsüreceseninlebirliktebaşarınedemektirherkesegöstereceğiz.Amaunutmamangerekenbirmaddevar:ASLAPESETME...!!! VAZGEÇEREKİYİBİRMATEMATİKÇİOLAMAZSIN..! Benbaşlamakiçinsabırsızlanıyorummmm... Hadibakalım!Kulağınıaçbeniiyidinle..! USTANKONUŞUYOR...

İmza:ArKi

SAYMA VE OLASILIK

1.ÜNİTE

9

Ünitenin Kavramları

Ünitenin Kazanımları

toplama yöntemi

çarpma yöntemi

faktöriyel

permütasyon

tekrarlı permütasyon

dönel (dairesel) permütasyon

kombinasyon

Pascal üçgeni

binom açılımı

örnek uzay, olay, deney

çıktı

kesin olay

imkansız olay

ayrık olay

ayrık olmayan olay

bir olayın tümleyeni

olasılık

10.1.1 Sıralama ve Seçme 10.1.1.1 Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. a) Sayma konusunun tarihsel gelişim sürecinden söz edilir ve bu süreçte rol alan Sâbit İbn

Kurrâ‘nın çalışmalarına yer verilir. b) Faktöriyel kavramı verilerek saymanın temel ilkesi ile ilişkilendirilir.10.1.1.2 n çeşit nesne ile oluşturulabilecek r'li dizilişlerin (permütasyonların) kaç farklı şekilde yapılabi-

leceğini hesaplar. 10.1.1.3 Sınırlı sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) açıklayarak problemler çö-

zer. a) En az iki tanesi özdeş olan nesnelerin tüm farklı dizilişlerinin sayısı örnekler/problemler bağ-

lamında ele alınır ve gerçek hayat problemlerine yer verilir.

10.1.1.4 Dönel (dairesel) permütasyonu örneklerle açıklar. (*)10.1.1.5 n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar. a) Kombinasyon kavramı alt küme sayısı ile ilişkilendirilir. b) Kombinasyon kavramının aşağıdaki temel özellikleri incelenir: C (n, r) = C (n, n - r) C (n, 0) + C (n, 1) + ... + C (n, n) = 2n

10.1.1.6 Pascal üçgenini açıklar.10.1.1.7 Binom açılımını yapar. a) Binom açılımı Pascal üçgeni ile ilişkilendirilir. Sadece iki terimli ifadelerin açılımı ele alınır. b) Binom formülü ile ilgili örnekler yapılır ancak (ax + by)n açılımında n ∈ ℕ, a, b ∈ q' şeklindeki

örneklere yer verilmez.10.1.2 Basit Olayların Olasılıkları10.1.2.1 Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkansız olay, ayrık olay ve ayrık olma-

yan olay kavramlarını açıklar.

a) Örnek uzay, deney, çıktı kavramları eş olası durumlardan yola çıkılarak eş olası olmayan du-rumlar için de örneklendirilir ve tanımlanır.

b) Ayrık olay ve ayrık olmayan olay üzerinde durulur. El Kindî ve Laplace'ın çalışmalarına yer verilir.10.1.2.2 Olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapar.

a) Eş olası olan ve olmayan olayların olasılıkları hesaplanır. Tümleyen, ayrık olay ve ayrık olma-yan olay ile ilgili olasılıklar hesaplanır.

(*) Bu kazanım, sadece fen lisesi programı uygulayan okullarda okutulacaktır. Diğer kazanımlar tüm liselerde ortaktır.

Soru

lard

an ö

nce

Çözü

mlü

Sor

ular

ÇÖZÜMLERLE ÖĞRENELİM

10

Soru 1

Arki Kafe, satışlarını artırmak için afişi aşağıda gö-rülen kampanyayı düzenliyor.

KAMPANYAHamburger Çeşidi İçecekler

Cheese burger Ayran

Tavuk burger Meyve suyu

Dev burger Gazlı içecek

Islak hamburger Su

1 Hamburger + 1 İçecek = 10 TL

Bu kafeden bir hamburger çeşidi ve bir içecek alan müşteri 10 TL ödüyor.

Kampanyadan faydalanan bu müşterinin kaç farklı tercih yapabileceğini bulunuz.

Çözüm 1

Kampanyada 4 çeşit hamburger ve 4 çeşit içecek olduğundan müşteri bir çeşit hamburger ve bir çeşit içeceği,

4.4 = 16 değişik şekilde seçebilir.

Soru 2

4 farklı kalem 5 öğrenciye, her öğrenciye en çok bir kalem vermek koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

Çözüm 2

Burda dağıtılan nesne kalemdir.

Birinci kalem 5 öğrenciden birine, ikinci kalem kalan 4 öğrenciden birine, üçüncü kalem kalan 3 öğrenci-den birine ve dördüncü kalem ise kalan 2 öğrenci-den birine dağıtılabilir.

Çarpma yoluyla sayma yöntemine göre, bu dağıtım işlemi,

5.4.3.2 = 120 farklı şekilde olur.

TOPLAMA YOLUYLA SAYMA (TOPLAMA PRENSİBİ)

Birbirinden farklı r tane işten

1.si n1 değişik yoldan2.si n2 değişik yoldan3.sü n3 değişik yoldan . . . .r.si nr değişik yoldan gerçekleştirilebiliyorsa, bu r tane işten herhangi biri (1.si veya 2.si veya ....... r.si) n1 + n2 + n3 + ... + nrdeğişik yoldan gerçekleştirilebilir. Yapılan bu işleme toplama yoluyla sayma denir.

ÇARPMA YOLUYLA SAYMA (ÇARPMA PRENSİBİ)

Birbirinden farklı r tane işten

1.si n1 değişik yoldan2.si n2 değişik yoldan . . . .r.si nr değişik yoldan gerçekleştirilebiliyorsa, bu r tane iş birlikte, sıralı bir biçimde (1.si ve 2.si ve ....... r.si birlikte ve sıralı

bir biçimde) n1

. n2 ...... nrdeğişik yoldan gerçekleştirilir. Yapılan bu işleme çarpma yoluyla sayma denir.• Toplama yoluyla yapılan seçimde 1 eleman seçilir. Çarpma yoluyla yapılan seçimde en az 2 eleman seçilir.

BİLGİ KÖŞESİ-1 SAYMA KURALLARI

11

Buçöz

ümleritekraretm

ediğinde

ken

diniyok

ede

cektir:))San

atavsiyem

çöz

ümlüsoruka

taloğu

yap

abilirsin.B

iliyo

sunge

çmişim

atem

atikolanbir

öğrenc

ibaşarılıolm

ayamah

kûmdu

r.

Soru 3

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile,

a) 300'den büyük üç basamaklı kaç çift doğal sayı yazılır?

b) Rakamları farklı 340'tan küçük kaç farklı do-ğal sayı yazılır?

Çözüm 3

a) Sayı çift olduğuna göre birler basamağına 0, 2, 4, 6 rakamlarından herhangi biri 4 farklı biçim-de yazılır. Sayının 300 ve 300'den büyük olması için yüzler basamağına 3, 4, 5, 6 rakamlarından herhangi biri 4 farklı biçimde, onlar basamağına tüm rakamlar 7 farklı biçimde yazılır.

4 7 4Yüzlerbasamağı

Onlarbasamağı

Birlerbasamağı

300 veya 300'den büyük yazılabilecek üç basamak-lı sayılar,

4.7.4 = 112'dir.

İstenen sayılar 300'den büyük olduğu için 300'ü çı-karmamız gerekir.

O hâlde, 300'den büyük

112 – 1 = 111 tane çift sayı yazılır.

b)

• Yüzlerbasamağı1ve2olabilir.

2 6 5

{1, 2}

Yüzler basamağına 1 ve 2 rakamlarından herhangi biri yazıldık-tan sonra geri kalan 6 rakamdan biri ya-zılabilir.

Geriye kalan 5 ra-kamdan biri yazıla-bilir

• Yüzlerbasamağı3olanüçbasamaklıdoğalsayı-ları ayrı inceleyelim.

1 3 5

{3} {0, 1, 2}

• İkibasamaklıdoğalsayılarıntamamı340'tankü-çüktür.

6 6

Onlar basamağına 0 gelemez. Buraya 0 dışındaki 6 rakam-dan biri yazılabilir.

Birler basamağına 0 yazılabilir. Onlar basamağındaki rakam hariç 6 rakamdan biri gelir.

• Ayrıca0,1,2,3,4,5ve6sayılarıdayazılabilir.

O hâlde, istenilen koşula uygun toplam,

2.6.5 + 1.3.5 + 6.6 + 7 = 60 + 15 + 36 + 7

= 118 değişik sayı yazılır.

Soru 4

Bir sokakta yan yana bulunan aşağıdaki altı ev be-yaz, mavi ve sarı renkli boyalardan biri ile boyana-caktır.

Yan yana olan binalar farklı renklerde olmak üzere, kaç farklı şekilde boyama yapılabilir?

Çözüm 4

Evleri sırasıyla A, B, C, D, E ve F ile isimlendirelim.

A B C D E F

Boyamaya A binasından başlayalım;

• Abinasıiçin3rengidekullanabiliriz.

• AbinasındakullanılanrengiBbinasındakullana-mayacağımız için B binası için 2 renk kullanılabilir.

• B'de kullanılan rengi C'de kullanamayacağımıziçin C'de 2 renk kullanılabilir.

Benzer şekilde D, E ve F binalarını boyamak için de 2 renk kullanılabilir.

O hâlde, istenilen koşullara uygun boyama,

3.2.2.2.2.2 = 96 farklı şekilde olur.

12

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

1)01

1. Bir lokantada 6 çeşit yemek, 4 çeşit çorba, 3 çeşit salata ve 2 çeşit tatlı vardır.

Yemek, çorba, salata ve tatlı çeşitlerinden birer tane seçmek koşuluyla kaç farklı seçim yapılır?

A) 144 B) 120 C) 72 D) 64 E) 58

2. 8 kişinin katıldığı bir güzellik yarışmasında birin-ci, ikinci ve üçüncü kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 21 B) 140 C) 284 D) 320 E) 336

3. Bir okuldaki öğrencilere ilk hanesi sessiz harf, ikinci hanesi çift rakam olan iki haneli numaralar verile-cektir. (b2, v0 gibi)

Buna göre, en çok kaç farklı numara oluşturula-bilir?

A) 84 B) 96 C) 102 D) 105 E) 1183

4. 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak üç basamaklı 5 ile tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı yazı-labilir?

A) 60 B) 55 C) 50 D) 45 E) 40

5. A = {a, b, c, d, e}

B = {1, 2, 3, 4}

kümeleri veriliyor.

x ∈ A ve y ∈ B olduğuna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi oluşturulabilir?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

6.

1 2 3

Şekildeki 1 numaralı kutuya çift rakam, 2 numaralı kutuya tek rakam, 3 numaralı kutuya ise asal rakam yazılarak üç haneli ürün kodları oluşturulacaktır.

Buna göre, en çok kaç farklı ürün kodu oluşturu-labilir?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 120 E) 150

7. Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde 5 rakamı bulunur?

A) 120 B) 140 C) 160 D) 180 E) 200

SAYMA KURALLARI - 1

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108345

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

13

İlkdersten

itibaren

sen

iniçinneka

darç

okçalıştığ

ımıg

örmen

iisted

im.N

oktasına

kad

aröne

mli...oka

dary

ani:))

Buarada

12.sorud

asayıların

dörtv

eyabe

ş ba

samak

lı olab

ildiğine de

dikka

t ettinm

i?

8. 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı olan, 564'ten küçük kaç değişik doğal sayı yazılabilir?

A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14

9. TESTOKUL kelimesinin harfleri kullanılarak anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kelimeler yazılacaktır.

Bu kelimelerin kaç tanesi TEL ile başlar?

A) 720 B) 480 C) 360 D) 240 E) 120

10. Bir banka, bankamatik kartları için 4 haneli, rakam-ları farklı ve 1 ile başlamayan doğal sayılardan olu-şan şifreleri kabul etmektedir.

Buna göre kaç farklı şifre oluşturulabilir?

A) 104 B) 94 C) 4032 D) 3024 E) 2924

11. {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin elemanlarıyla yazılan rakamları birbirin-den farklı üç basamaklı doğal sayılar küçükten bü-yüğe sıralanıyor.

Buna göre, baştan 38. sayı kaçtır?

A) 410 B) 411 C) 412 D) 413 E) 415

12. A = {0, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı 500'den büyük kaç çift sayı yazılabilir?

A) 96 B) 105 C) 120 D) 135 E) 150

13. Bir okuldaki öğrencilere aşağıdaki şartlara uygun beş haneli bir okul numarası veriliyor.

• Yalnızca0,1,2,5ve6rakamlarıkullanılacaktır.

• Verilecekokul numarası çift sayı ile başlamaya-caktır.

• Onlarbasamağındakirakambirlerbasamağında-ki rakamın 3 katı ve sıfırdan farklı olacaktır.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı okul numarası oluşturulabilir?

A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

2)

14

02 SAYMA KURALLARI - 21. 6, 7, 8, 9

rakamlarını kullanarak yazılabilecek, rakamları farklı tüm üç basamaklı sayıların toplamı kaçtır?

A) 53280 B) 52280 C) 20980

D) 19980 E) 18980

2. Baştan ve sondan okunuşları aynı olan sayılara pa-lindrom sayı denir.

Örneğin; 22, 151, 3883, 49794 sayıları birer palind-rom sayıdır.

0, 1, 3, 5, 7, 9

rakamlarını kullanarak beş basamaklı kaç farklı palindrom sayı yazılabilir?

A) 5400 B) 360 C) 216 D) 180 E) 120

3. A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı sayılar yazı-lıyor.

Bu sayılardan kaç tanesinde 5 rakamı vardır?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 61 E) 70

4. Aşağıdaki şekilde A, B, C ve D şehirleri arasındaki yollar gösterilmiştir.

A B C D

Buna göre, bir kişi verilen yollardan ok yönünde ilerleyerek A şehrinden D şehrine kaç farklı yolla gidebilir?

A) 17 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

5. Bir mağazadaki şapka, tişört ve ceket modellerine ait renk seçenekleri aşağıdaki katologda gösteril-miştir.

Aslı, bu katologdan her biri farklı renkte olacak bi-çimde bir şapka, bir tişört ve bir ceket seçecektir.

Buna göre, Aslı bu seçimi kaç farklı şekilde ya-pabilir?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

6. Birbirinden farklı 4 siyah, 3 kırmızı araba iki katlı bir otoparka aynı renkteki arabalar aynı katta ol-mak koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde park edilebilir?

A) 144 B) 180 C) 210 D) 224 E) 288

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108346


15

Saym

adaço

kyo

laldığınıg

örüy

orum

veço

ookmutluoluyo

rum.E

minola

rkad

aşım

,hersorusana

öze

ldi.Herzam

andiyorum

sen

innasıl

öğrene

ceğinibiliyo

rum.

7. {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarının beşli di-zilişlerinin kaç tanesi 1 ile başlar, 4 ile bitmez?

A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 6

8. Ali telefonuna yazdığı şifreyi unutuyor. Ancak;

• şifrenin 1, 2, 4, 6 rakamlarından oluştuğunu

• rakamların tekrarsız ve şifrenin dört haneli ol-duğunu

hatırlıyor.

Ali bu rakamlarla yazılabilecek tüm dört haneli sayı-ları küçükten büyüğe denemeye başlıyor.

Ali'nin şifresi 4216 olduğuna göre, Ali kaçıncı denemede şifreyi bulmuştur?

A) 12. B) 13. C) 14. D) 15. E) 16.

9. Bir okulun, okul aile birliğinde bulunan velilerin mes-lek dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Meslekler VeliSayısı

Doktor 3

Avukat 6

Öğretmen 10

Mühendis 4

Diğer 7

Veliler,aralarındanbirbaşkan,birbaşkanyardımcı-sı ve bir sekreter olmak üzere üç temsilci seçecek-lerdir.

Veliler başkanın bir avukat, yardımcının bir öğ-retmen ve sekreterinde avukat ve öğretmen dı-şında bir meslekten olmasına karar verdiklerine göre bu üç temsilciyi kaç farklı biçimde seçebi-lirler?

A) 840 B) 820 C) 800 D) 720 E) 640

10. Her biri 5 seçenekli 5 sorudan oluşan bir testin cevap anahtarı ardışık iki sorunun cevabı aynı seçenekte olmamak şartıyla kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

A) 4! B) 5! C) 44 D) 5.44 E) 55

11. E = {a, r, k, i, m, e} kümesi

A ∩ B ∩ C = ∅

A ∪ B ∪ C = E

olacak biçimde üç kümeye kaç farklı şekilde ay-rılabilir?

A) 64 B) 65 C) 66 D) 56 E) 57

12.

Yasemin0533 216

Betül arkadaşı Yasemin'in numarasının yazılı oldu-ğu bir kağıdın ucu yırtıldığı için numaradaki son dört rakamı görememektedir.

Betül, göremediği son dört rakamla ilgili şunları ha-tırlıyor:

• Sonikirakamaynıdır.

• Hepsiçiftrakamdır.

Buna göre Betül, en fazla kaçıncı denemesinde Yasemin'in numarasına kesinlikle ulaşır?

A) 120 B) 125 C) 240 D) 420 E) 625

16

Soru

lard

an ö

nce n∈Z+ için 1'den n'ye kadar olan (n'de dahil) ardışık doğal sayıların çarpımına "n faktöriyel" denir ve n! ile gösterilir.

n! = n(n – 1)(n – 2) ....... 3.2.1

0! = 1

1! = 1

5! = 5.4.3.2.1 = 120

• n! = 1.2.3......(n – 1).n = (n – 1)!.n

(n – 1)!

n! = 1.2.3......(n – 2).(n – 1).n =(n – 2)!.(n – 1).n

(n – 2)!1442443

BİLGİ KÖŞESİ-2 FAKTÖRİYELÇö

züm

lü S

orul

ar

ÇÖZÜMLERLE ÖĞRENELİMSoru 1

17!15! + 16!

işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm 1

17! = 17.16.15! ve 16! = 16.15! olduğundan,

17!15! + 16!

= 17.16.15!15! + 16.15!

= 17.16.15!15!(1 + 16)

= 17.1617

= 16 bulunur.

Soru 2(x – 3)! + (x – 5)!(x – 2)! + (5 – x)!

işlemi tanımlı olduğuna göre,

sonucunu bulunuz.

Çözüm 2

x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

1442443

x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 eşitsizliklerinden x = 5 olur.

x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

5 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

O hâlde,

(x – 3)! + (x – 5)!(x – 2)! + (5 – x)!

= (5 – 3)! + (5 – 5)!(5 – 2)! + (5 – 5)!

= 2! + 0!3! + 0!

= 2 + 16 + 1

= 37

Soru 3

x, y birer doğal sayı ve

x!y!

= 6

olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm 3x!y!

= 6 ⇒ x! = 6.y! eşitliğinden

• y=5alınırsa,

x! = 6.5! = 6! ⇒ x = 6 ve x + y = 11 olur.

• x!=6.y! = 3.2.y!

eşitliğinde

y = 1 için x! = 3! ⇒ x = 3 ve x + y = 4

y = 0 için x! = 3.2.1 ⇒ x = 3 ve x + y = 3 bulunur.

O hâlde,

x + y toplamı 11, 4 ve 3 olmak üzere 3 farklı değer alır.

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108347


17

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

1)

"Çöz

mek

başarıyıd

oğurur,b

aşarıisealışka

nlıkyaratır."A

RKİ

03

1. 11! – 10!

8! + 9!

işleminin sonucu kaçtır?

A) 110 B) 100 C) 90 D) 72 E) 45

2. n! (n + 1)(n + 2)

(n + 1)! = 11

olduğuna göre, n kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

3. (n + 3)!

(n + 2)! +

(2n)!

(2n – 1)! = 21


A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

4. n doğal sayı olmak üzere,

(n + 4)! + (n + 3)!

(n + 5)!

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1n + 4

B) 1

n + 5 C)

1n + 3

D) n + 3 E) n + 4

5. (n – 3)! + (n – 4)!

(n – 2)! + (n – 3)! =

980


A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

6. T = 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ....... + 50.50!

sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

FAKTÖRİYEL

Soru

lard

an ö

nce

Çözü

mlü

Sor

ular


18

Soru 1

P(n + 1, 3) = 4.P(n, 2)

eşitliğini sağlayan n değeri için P(n, n) + P(n, 1) toplamını bulunuz.

Çözüm 1

P(n + 1, 3) = (n + 1).n(n – 1) ve P(n, 2) = n(n – 1)

olduğundan,

P(n + 1, 3) = 4.P(n, 2)

(n + 1).n(n – 1) = 4.n(n – 1)

n + 1 = 4 ⇒ n = 3 bulunur.

O hâlde,

P(n, n) + P(n, 1) = P(3, 3) + P(3, 1)

= 3! + 3

= 6 + 3 = 9 olur.

Soru 2

A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyon-larının kaç tanesinde,

a) b bulunur?

b) a bulunmaz ama e bulunur?

c) c veya d bulunur?

Çözüm 2

a) A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısın-dan b'nin bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısı çıkarılırsa b'nin bulunduğu üçlü permü-tasyonların sayısı bulunur.

• A kümesinin eleman sayısı 6 olduğundan üçlüpermütasyonlarının sayısı,

P(6, 3) = 6.5.4 = 120'dir.

• A kümesinden b'nin çıkartılmasıyla oluşan {a, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyonunda b bulunmaz. Buna göre,

P(5, 3) = 5.4.3 = 60 tanesinde b bulunmaz.

Sonlu bir kümenin elemanlarının tamamının veya bir kısmının belirli bir sıra ile dizilişlerinden her birine o kümenin bir per-mütasyonu denir.

Permütasyon, bir nesne grubu içerisinden sıra gözetilerek yapılan sıralamadır.

n, r ∈ N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere, n tane elemandan r tanesinin farklı sıralanışlarının sayısı,

P(n, r) = n!(n – r)!

ile hesaplanır.

• P(n, 0) = n!(n – 0)!

= n!n!

= 1

• P(n, n) = n!(n – n)!

= n!0!

= n!

• P(n, 1) = n

• P(n, n – 1) = n!P(n, r) = n(n – 1).......(n – r + 1)

r tane sayı14444244443

şeklinde hesaplanır.

Örneğin,P(8, 3) = 8.7.6

3 tane sayı123

P(7, 2) = 7.62 tane sayı123

BİLGİ KÖŞESİ-3 PERMÜTASYON

19

Ark

adaş

ım ç

özüm

lü s

orul

ar k

ılavu

zdur

ve

kıla

vuzu

ARK

İ ola

n ço

ook

hava

lıdır

:))

• İstenendurum=Tümdurum–b'ninbulunmadığıdurum

=120–60=60olur.

b) Akümesinina'nınbulunmadığıüçlüpermütas-yonsayısı

P(5,3)=5.4.3=60'dır.

Akümesinina'nınvee'ninbulunmadığı({b,c,d,f}ninoluşturacağı)üçlüpermütasyonlarınınsa-yısı,

P(4,3)=4.3.2=24'tür.

Bunagöre,Akümesinina'nınbulunmadığıe'ninbulunduğuüçlüpermütasyonlarınınsayısı,

60–24=36olur.

c) cveyad'ninbulunduğuüçlüpermütasyonsayı-sınıbulmakiçintümüçlüpermütasyonlarınsayı-sındancved'ninbulunmadığıüçlüpermütasyonsayısınıçıkarmalıyız.

Bunagöre,

P(6,3)–P(4,3)=6.5.4–4.3.2

=120–24

=96olur.

Soru 3

3 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 2 farklı kimya kitabı bir rafa;

• herdersinkitaplarıyanyana,

• matematikkitaplarıortada

olacak şekilde kaç değişik biçimde dizilir?

Çözüm 3

F1F2F3F

4M1M2M3

K1K2

fiziklerkendiaralarında4!

matematiklerkendiaralarında3!

kimyalarkendiaralarıda2!

fizikvekimyalarkendiaralarında2!

değişikşekildeyerdeğiştirebilirler.

Bunagöre,

4!.3!.2!.2!=24.6.2.2

=576değişiksıralamaolur.

Soru 4

3 doktor ve 5 hemşire, doktorların herhangi ikisi yan yana olmamak koşulu ile yan yana kaç deği-şik şekilde sıralanır?

Çözüm 4

Doktorlarınherhangiikisininyanyanaolmasıisten-mediğindenöncehemşirelerinyanyanasıralanışla-rınıdüşünelim.5hemşireyanyana5!farklışekildesıralanır.

–H1–H

2–H

3–H

4–H

5–

Hemşireleryanyanasıralandıktansonrayukarıdadagörüldüğügibi3doktoriçinuygun6boşyerolur.Doktorlardanherhangi ikisi yanyanagelmeyeceğiiçinbirincidoktorunyerleşebileceği6,ikincidokto-runyerleşebileceği5,üçüncüdoktorunyerleşebile-ceği4yervardır.

Ohâlde,doktorlarhemşirelerinarasına6.5.4farklışekildeyerleşirler.

Bunagöre,istenilenkoşulauygun

5!.6.5.4=120.120=14400sıralamaolur.

Soru 5

Aralarında Ezgi ile Özge'nin de bulunduğu 6 kişi-lik bir öğrenci grubunda, Ezgi ile Özge arasında daima 1 öğrenci oturmak şartıyla; düz bir sıraya yan yana kaç değişik şekilde oturabilirler?

Çözüm 5

E–Ö–––

–E–Ö––

––E–Ö–

–––E–Ö

EzgiileÖzgeşekildekigibi4farklıkonumdayerala-bilir.EzgiileÖzgekendiaralarındayerdeğiştirdikle-rinde4farklıdurumdahaoluşur.

Herikidurumdadadiğer4kişi4!kadardizilebilir.

Ohâlde,istenilenkoşullarda8.4!=8.24=192deği-şikşekildeoturabilirler.

20

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

1)04

1. P(5, 2) + P(4, 2) – P(3, 1)

işleminin sonucu kaçtır?

A) 30 B) 29 C) 28 D) 27 E) 26

2. P(n, 1) + P(n, 2) = 49


A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3. 6 kişi yan yana kaç farklı şekilde dizilir?

A) 520 B) 580 C) 620 D) 700 E) 720

4. 3 kız ve 5 erkek, erkekler bir arada olmak şartıyla yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

A) 2820 B) 2880 C) 2890 D) 2920 E) 2940

5. 3 Fenerbahçe, 2 Galatasaray ve 1 Beşiktaş taraftarı bir sıraya dizilecektir.

Galatasaray taraftarları yan yana olmamak şar-tıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

A) 720 B) 640 C) 480 D) 360 E) 320

6. 3 Türkçe, 4 İngilizce ve 2 Almanca kitabı bir rafta yan yana dizilecektir.

Buna göre, bu kitaplar, aynı dersin kitaplarının yan yana olması şartıyla kaç farklı şekilde sırala-nabilir?

A) 1728 B) 1720 C) 1680 D) 1528 E) 1428

PERMÜTASYON - 1

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108348


21

Arkad

aşım

hay

attaherkon

udasıralamaya

parız

amaön

cebutestlerdesıralamay

ıiyiöğren

meliyiz...Sen

insıra

lamalarında

matem

atiğinbirnu

-maraoldu

ğunu

biliyo

rum:))H

a!buarad

a9.sorud

aMelikeile

Elif'in

deke

ndia

raların

dayerdeğ

iştir

eceğ

iniu

nutm

a!

7. P(n, 2) = 20

olduğuna göre, P(n, 5) + P(n, 0) – P(n, 1) işlemi-nin sonucu kaçtır?

A) 116 B) 115 C) 114 D) 113 E) 112

8. 7 kişinin bulunduğu bir yarışmada ilk üç sıra kaç farklı şekilde sonuçlanır?

A) 336 B) 280 C) 210 D) 180 E) 120

9. Aralarında Melike ve Elif'in de bulunduğu 6 kişilik bir grup bir sıraya dizilmektedir.

Melike ve Elif başta ve sonda olacağına göre, kaç farklı şekilde dizilim yapılabilir?

A) 24 B) 48 C) 60 D) 120 E) 240

10. A = {k, a, y, s, e, r, i}

kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesin-de k ve s harfleri bulunmaz?

A) 210 B) 120 C) 90 D) 60 E) 10

11. 4 evli çift, eşler yan yana olmak şartıyla düz bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir?

A) 144 B) 192 C) 288 D) 384 E) 396

12. 1 2 3 4 5 6

Koltuk numaraları verilmiş 6 kişilik bir sıraya 3 kız ve 3 erkek oturacaktır.

Kızlar tek numaralı yerlerde oturmak şartıyla kaç farklı oturma düzeni oluşabilir?

A) 6! B) 5! C) 72 D) 36 E) 24

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

2)

22

05 PERMÜTASYON - 21. P(2n + 2, 2) = 2P(n + 1, 2) + 50


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. {a, b, c, d, e}

kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesin-de b bulunur ama a bulunmaz?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

3. Ali ve Mehmet 6 kişilik bir yemek kuyruğundadır.

Ali'nin Mehmet'in önünde olduğu kaç farklı du-rum vardır?

A) 30 B) 60 C) 120 D) 360 E) 720

4. ERKAN kelimesi ile anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimeler yazılıyor.

E harfinin A harfinin solunda bulunduğu kaç ke-lime yazılabilir?

A) 30 B) 36 C) 45 D) 48 E) 60

5. 3 doktor ile 5 avukat, herhangi iki doktor yan ya-na gelmemek şartıyla düz bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir?

A) 14560 B) 14400 C) 14360

D) 14320 E) 14300

6. Aralarında Kerem ile Nilay'ın da bulunduğu 8 ki-şilik bir öğrenci grubu Kerem ile Nilay arasında daima 2 öğrenci oturmak koşuluyla, düz bir sıra üzerinde yan yana kaç değişik şekilde otururlar?

A) 3600 B) 4200 C) 5600

D) 6400 E) 7200

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108349


23

Seniyordu

ğumun

farkında

yımarkad

aşım

.Amaem

inim

,sen

inçoo

okiyio

lman

ıisted

iğim

ibiliyo

sun.Şim

dibira

zdinlen

vedinlen

irken

onde

fa

"ArkiS

eniS

eviyorum

"yaz

:))B

ilirsinsevgikarşılık

lıdır...

7. 4 kız ve 4 erkekten oluşan bir folklör ekibi aynı cinsi-yetten olanlar yan yana olmayacak şekilde yan yana diziliyor.

Bu diziliş kaç değişik şekilde yapılabilir?

A) 1152 B) 1052 C) 640

D) 576 E) 480

8. Beş basamaklı 25793 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek yazılan beş basamaklı do-ğal sayıların kaç tanesinde 3 rakamı 5 rakamının solundadır?

A) 48 B) 60 C) 72 D) 80 E) 100

9. 3 mühendis ve 4 mimar aşağıdaki koşullara uygun biçimde fotoğraf çektireceklerdir.

• 3kişiönde,4kişiarkadayanyanaduracaktır.

• Mühendislerbiraradaduracaktır.

Buna göre, kaç farklı şekilde dizilirler?

A) 424 B) 430 C) 432

D) 440 E) 456

10. Nilgün ile Hilal'in de aralarında bulunduğu 6 kişi, Nilgün ile Hilal arasında en çok 1 kişi olacak bi-çimde yan yana kaç değişik biçimde sıralanabi-lirler?

A) 364 B) 400 C) 412

D) 420 E) 432

11. Ahmet, Bengü, Can, Demet, Emre ve Figen altı ki-şilik bir banka aşağıdaki kurallara göre oturacaktır.

• BengüveDemetyanyanaoturacaktır.

• BankınuçlarındanbirindeEmre,diğerindeyseCan olacaktır.

Buna göre, bu altı kişi banka kaç farklı şekilde oturabilir?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 24 E) 32

12. ASUDEM kelimesinin harflerinin yerleri değişti-rilerek yazılan altı harfli kelimelerin kaç tanesin-de A ve D harfleri M harfinin sağındadır?

A) 300 B) 240 C) 200

D) 180 E) 120

24

Çözü

mlü

Sor

ular


Soru

lard

an ö

nce

Soru 1

4540054 sayısının rakamlarının yerleri değiştiri-lerek yedi basamaklı kaç değişik çift doğal sayı yazılabilir?

Çözüm 1

Sayının çift olması için birler basamağıdaki rakam çift olmalıdır. Yani birler basamağındaki rakam 0 veya 4 olabilir.

• Birlerbasamağı0olsun.

– – – – – –

4, 5, 4, 0, 5, 414243

10

Birler basamağına 0 rakamlarından birini yerleşti-relim. Geriye kalan 4, 5, 4, 0, 5, 4 rakamlarını sı-ralarken 0 ile başlayanları çıkarmalıyız. Bu altı ra-kamdan,

6!3!.2!

= 6.5.4.3!3!.2

= 60 tane sayı yazılır.

6 tane rakamdan bir tanesi 0'dır.

0 ile başlayan sayılar yedi basamaklı olamayaca-ğından başa 0 dışındaki altı rakamdan biri gelme-lidir.

O hâlde, tüm sayıların 56

'sı kadar yani,

60. 56


• Birlerbasamağı4olsun.

– – – – – –

4, 5, 0, 0, 5, 414243

14

Birler basamağına 4 rakamlarından biri yerleştiril-dikten sonra kalan 6 rakamdan,

6!2!.2!.2!

= 6.5.4.3.2!2.2.2!

= 90 tane sayı oluşur.

Bu altı rakamdan iki tanesi 0 olduğundan 90 tane

sayının 26

'sı 0 ile başlar, 46

'sı 0 ile başlamaz.

O hâlde, istenilen koşula uygun,

90. 46


Buna göre, yazılabilecek çift doğal sayıların sayısı bu iki durumdan 50 + 60 = 110 tanedir.

Soru 2

x, y, z doğal sayılar olmak üzere,

x + y + z = 8

eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y, z) sıralı üçlüsü yazılabilir?

Çözüm 2

8 tane 1'i üç parçaya ayırmamız isteniyor. Birinci parça x, ikinci parça y, üçüncü parça z olsun. Üç parçaya ayırma işlemi için iki ayraç (|) kullanırız.

Örneğin;

1111| 1 |111 sıralaması x = 4, y = 1, z = 3 x y z

|111|11111 sıralaması x = 0, y = 3, z = 5 x y z

durumuna karşılık gelir.

Soruyu "8 tane özdeş 1 sayısı ve 2 tane özdeş ay-raç kaç farklı şekilde sıralanır?" şeklinde düşüne-biliriz.

O hâlde cevap,

10!8!.2!

= 10.9.8!8!.2

= 45 olur.

n1 tanesi birinci türde, n2 tanesi ikinci türde, ..., nk tanesi k. türde olan,

n = n1 + n2 + ... + nk tane nesne olsun.

n tane nesnenin tümü sıralanırsa elde edilen farklı dizilişlerin sayısı,

n!n1!

.n2!.....nk! olur.

BİLGİ KÖŞESİ-4 TEKRARLI PERMÜTASYON

25

Çözü

mlüörnek

lerim

inhep

sinad

idebirç

içek

tir.O

nlarıd

üşün

celerin

lesulam

azsanolmaz

...Zam

anayırv

eöz

ümse...Arki'd

ensevgilerle

...

Soru 3

A

BC

D

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-larını göstermektedir.

A'dan hareket edip BC yolundan geçerek D'ye en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir?

Çözüm 3

A

B C

D

D

D

D

Y

Y Y

YY Y Y

D

D D

DD

• ŞekildendegörüldüğügibiA'danB'yehangiyol-dan gidilirse gidilsin her seferinde 2 yatay (Y), 3 düşey (D) olmak üzere toplam 5 bölme oluşuyor. Buna göre, YYDDD dizilişlerinin sayısı kadar de-ğişik yol oluşur.

Yani A'dan B'ye,

5!2!.3!

= 5.4.3!2!.3!

= 10 değişik yoldan gidilir.

• B'denC'ye1yolvardır.

• C'den D'ye hangi yoldan gidilirse gidilsin herseferinde 3 yatay (Y), 2 düşey (D) olmak üzere toplam 5 bölme oluşuyor. Buna göre, YYYDD di-zilişlerinin sayısı kadar yani,

5!3!.2!

= 10 değişik yol izlenir.

O hâlde, istenilen koşula uygun,

10.1.10 = 100 değişik yol izlenir.

Soru 4

653124 sayısının rakamlarının yerleri değiştiri-lerek yazılan altı basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde 1 rakamı 6'nın sağında 5'in solunda-dır? (1, 6 ve 5 rakamları yan yana olmak zorunda değildir.)

Çözüm 4

653124 sayısında 1 rakamı 6'nın sağında ve 5'in solunda olacağı için bu rakamları özdeş düşünebi-liriz. Çünkü bu rakamların kendi aralarında sırala-ması söz konusu değildir. Bu durumda soru 3 tanesi özdeş olan 6 nesnenin farklı dizilişlerinin sayısını bulmaya dönüştü.

O hâlde, istenilen koşula uygun sıralama sayısı,

6!3!

= 6.5.4.3!

3! = 120 olur.

Soru 5

Yandaki şekilde asılı özdeş yedi balon var-dır. Bir atıcı 7 atış ya-parak balonları patlata-caktır. Atıcı ipte asılı olan balonlardan altta-kini patlatmadan üstte-kine atış yapamaz.

Buna göre, bu atıcı her atışında bir balon pat-latmak koşuluyla bu balonları kaç farklı şekilde patlatabilir?

Çözüm 5

2'si özdeş 2'si özdeş

3'ü özdeş

Atıcı aynı ipte asılı olan balonlardan alttakini pat-latmadan üsttekini patlatamayacçağı için aynı ipteki balonların kendi aralarında yer değiştirmeleri müm-kün değildir. Yani aynı ipte asılı olan balonları özdeş kabul ederiz.

Buna göre, atıcı balonları

7!2!.2!.3!

= 7.6.5.4.3!2.2.3!

= 210 farklı şekilde patlatır.

26

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

1)06

1. "ARKİDERKİ" kelimesindeki harflerin yer değiş-tirmesiyle yazılan dokuz harfli, anlamlı ya da an-lamsız kelimelerin kaç tanesi R ile başlar A ile biter?

A) 1260 B) 1840 C) 2520

D) 2680 E) 2720

2. 231233

sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı

I. 60 tane sayı yazılır.

II. 40 tane tek sayı yazılır.

III. 4 tane sayı 12 ile başlar.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

3. 5032052 sayısının rakamlarının yerleri değişti-rilerek yazılan yedi basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi çift sayıdır?

A) 120 B) 150 C) 240 D) 270 E) 320

4.

C

B

A


A'dan hareket edip B'ye uğrayarak C noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç deği-şik yol izleyebilir?

A) 64 B) 80 C) 90 D) 120 E) 150

5. A ve B takımlarının karşılaştığı bir futbol müsabaka-sını A takımı 5 – 3 kazanmıştır.

Buna göre, takımların atmış oldukları gollerin sı-ralaması kaç farklı şekilde olur?

(A ve B takımlarında golleri aynı kişiler atmıştır.)

A) 48 B) 56 C) 90 D) 120 E) 150

6. Özdeş 3 mavi, 4 beyaz ve 2 mor bilye bir sırada dizilecektir.

Buna göre, mor bilyeler yan yana olmak koşu-luyla tüm bilyeler kaç farklı şekilde dizilirler?

A) 180 B) 200 C) 210 D) 240 E) 280

TEKRARLI PERMÜTASYON - 1

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108350


27

TEKR

ARTE

KRARsö

ylüy

orum

amaÇA

LIŞÇ

ALIŞÇ

ALIŞ...:)))

7. REYHAN kelimesinin harflerinin yerleri değiş-tirilerek yazılabilecek altı harfli kelimelerin kaç tanesinde sesli harfler soldan sağa doğru alfa-betik sıradadır? (RAYNHE, HAENYR gibi)

A) 360 B) 320 C) 300

D) 280 E) 240

8. A

K

S SS SS

K

M

L

LE E E E

L L

L LI

İ İ

II I

Üstteki A harfinden başlayarak komşu harfleri takip ederek kaç farklı biçimde AKLISELİM keli-mesi yazılabilir?

A) 50 B) 56 C) 60 D) 64 E) 70

9. 5 tane özdeş oyuncak üç çocuğa kaç farklı şekil-de dağıtılabilir?

A) 18 B) 20 C) 21 D) 24 E) 25

10. MATEMATİK

kelimesinin harfleri kullanılarak her M harfinden sonra T harfinin geldiği dokuz harfli kaç değişik kelime yazılır?

A) 1080 B) 1120 C) 1200

D) 1260 E) 1340

11. 238654

sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek ya-zılan altı basamaklı doğal sayıların kaç tanesin-de tek rakamlar ve çift rakamlar kendi aralarında soldan sağa doğru küçükten büyüğe doğru sıra-lanmıştır?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

12. 250405

sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek altı basamaklı ve 5 ile kalansız bölünebilen kaç fark-lı doğal sayı yazılabilir?

A) 72 B) 80 C) 84 D) 90 E) 96

seçe

nekl

i sor

ular

(sev

iye

2)

28

07 TEKRARLI PERMÜTASYON - 21. Kredi kartı şifresini unutan Ali Bey, şifresinin yedi ba-

samaklı tek doğal sayı olduğunu ve içinde iki tane 2, bir tane 0, bir tane 5 ve üç tane 3 rakamının bulun-duğunu hatırlıyor.

Buna göre, Ali Bey en fazla kaçıncı denemede doğru şifreye kesinlikle ulaşır?

A) 150 B) 160 C) 180

D) 190 E) 200

2. a, b, c birer pozitif tam sayı olmak üzere,

a + b + c = 7

eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü yazılabilir?

A) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

3. 2203432 sayısının rakamları kullanılarak altı ba-samaklı kaç değişik doğal sayı yazılır?

A) 210 B) 250 C) 260

D) 310 E) 360

4. B

A


Buna göre, A'dan B'ye en kısa yoldan kaç deği-şik şekilde gidilebilir?

A) 190 B) 187 C) 186

D) 185 E) 172

5. Rakamlarının çarpımı 1050 olan beş basamaklı kaç değişik doğal sayı yazılır?

A) 40 B) 60 C) 80 D) 120 E) 150

6. 1, 2, 3 rakamları istenilen sayıda kullanılarak rakamları toplamı 5 olan kaç değişik doğal sayı yazılabilir?

A) 18 B) 15 C) 13 D) 12 E) 10

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108351


29

10.ve11.sorularıçöz

,EFS

ANEOL!Arki'n

inunu

tulm

ayan

larlistesine

gir!

7. ATAHAN

kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek ya-zılan altı harfli kelimelerden kaç tanesi A harfi ile başlar, T harfi ile bitmez?

A) 98 B) 96 C) 90 D) 84 E) 48

8. Boyları birbirinden farklı 4 erkek ve 3 kız yan yana sıralanacaktır.

Kızların soldan sağa doğru kısadan uzuna sıra-landığı kaç farklı durum vardır?

A) 360 B) 480 C) 600

D) 720 E) 840

9. M

M

M

M

E

L

M

L E M

E

M

S

S

M

L

L

E

E

L L

E

İ

İ

L

S

E

M

M

İ

İ

İ

A

EE

M

Yukarıdaki şekilde sola, sağa ve aşağıya doğru kaç farklı MELİSA kelimesi okunabilir?

A) 56 B) 60 C) 63 D) 65 E) 70

10. Deniz, 11 basamaklı bir merdiveni ikişer veya üçer adım atarak kaç değişik biçimde çıkabilir?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 10

11. x, y, z birer doğal sayı olmak üzere,

x.y.z = 38

eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y, z) üçlüsü yazı-labilir?

A) 45 B) 48 C) 50 D) 52 E) 56

12. Simay, 100 TL'yi üç kişiye her birine en az 10 TL ve 10 TL'nin katları olacak şekilde paylaştırmak istiyor.

Buna göre, Simay bu paylaşımı kaç değişik şe-kilde yapabilir?

A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36

30

Fen

Lise

si iç

inÇö

züm

lü S

orul

ar

ÇÖZÜMLERLE ÖĞRENELİMSoru 1

6 kız ve 3 erkek yuvarlak bir masa etrafında, her-hangi iki erkek yan yana olmamak koşuluyla kaç farklı şekilde otururlar?

Çözüm 1

Herhangi iki erkeğin yan yana olması istenmediğin-den önce kızları masa etrafına yerleştirelim.

K1

K2

K3

K4

K5

K6

6 kız yuvarlak masa etrafında (6 – 1)! = 5! farklı biçimde oturur.

Erkekler için ise kızların arasında oturabilecekleri 6 boş yer var. 3 erkek bu 6 boş yere P(6, 3) farklı şekilde oturur.

O hâlde, istenilen koşula uygun olarak,

5! . P(6, 3) = 5.4.3.2.1.6.5.4 = 14400 farklı şekilde oturur.

Soru 2

7 farklı anahtar belli ikisi yan yana olmak koşu-luyla maskotsuz ve halka şeklinde bir anahtarlı-ğa kaç farklı şekilde takılabilir?

Çözüm 2

A1 A

2 A

3 A

4 A

5 A

6 A

7

7 anahtar

(6 – 1)!2

.2! = 5!2

.2 = 120

Soru 3

5 evli çift yuvarlak masa etrafında, evli çiftler bir-birinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilirler?

Çözüm 3

E1K

1

E2K

2

E3K

3E

4K

4

E5K

5

Her evli çift bir kişi olarak düşünülürse yuvarlak masa etrafında (5 – 1)! = 4! değişik şekilde oturur. Ayrıca her çift kendi aralarında 2! şekilde yer değiş-tireceğinden,

4! . 2! . 2! . 2! . 2! . 2! = 768 değişik şekilde dizilirler.

BİLGİ KÖŞESİ-5 DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON

• n tane kişi, yuvarlak masa etrafında (n – 1)! kadar farklı şekilde sıralanır.

• n ≥ 3 olmak üzere, n farklı anahtar halka şeklinde ve maskotsuz bir anahtarlığa (n – 1)!2

farklı şekilde takılabilir.

Maskotlu anahtarlıkta maskot farklı bir anahtar gibi düşünüldüğünden n!2

olur.

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

108352


Fen

Lise

si iç

in

31

Senşimdicev

aplarıko

ntrole

diyo

sunve

hep

sinidoğ

ruyap

tığınıg

ördü

ğünd

ene

çok

mutluoluyo

sun.Tab

iben

idemutluediyo

sun:)))B

unun

de

ğerin

ibilarka

daşım.B

enartıkbuha

zzıp

ekalamıyorum

.Çün

küherşeyibilm

ekbaz

enağırg

eliyor:)))

08 DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON1. Anne, baba ve yaşları birbirinden farklı 3 çocuk

yuvarlak bir masa etrafında,

I. 24 değişik şekilde oturur.

II. Anne ile baba yan yana olacak şekilde 12 deği-şik şekilde oturur.

III. En küçük çocuk anne ile baba arasında otur-mak koşuluyla 24 değişik şekilde oturur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?



2. Bir öğretmen, iki stajyer ve 4 öğrenciden oluşan 6 kişi, stajyerler öğretmenin her iki yanında ol-mak şartıyla yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde dizilirler?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 72

3. 3 kız ve n tane erkek yuvarlak bir masa etrafında kızlar yan yana olmak koşulu ile 720 farklı şekil-de oturabildiğine göre, n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. I. 5 farklı anahtar maskotlu ve halka şeklinde anahtarlığa 60 farklı şekilde dizilir.

II. 5 farklı anahtar maskotsuz ve halka şeklinde anahtarlığa 12 farklı şekilde dizilir.

III. 5 farklı anahtarın belli ikisi daima yan yana ol-mak koşuluyla maskotsuz ve halka şeklindeki bir anahtarlığa 6 farklı şekilde dizilir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?



5. Her birinin iki çocuğu olan dört anne, her anne kendi çocuklarının arasında oturmak koşulu ile yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturur?

A) 240 B) 172 C) 144 D) 96 E) 84

6. 4 avukat ve 4 savcı, yuvarlak bir masa etrafında herhangi iki avukat yan yana olmamak şartıyla kaç farklı biçimde dizilirler?

A) 144 B) 152 C) 170

D) 210 E) 288

10.sinif matematik10.1.2.2 olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapar. a) eş olası olan ve...

Documents