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DerivadasDerivadasDerivadasDerivadas
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Introdução
O estudo da derivada está relacionado com a determinação da reta tangente auma curva y=f(x) em um determinado pontouma curva y=f(x) em um determinado ponto.
Obs.: Esse estudo foi desenvolvido por Isaac Newton e outros matemáticos doséculo XVII.
Esse estudo possibilita a resolução de problemas que envolvem a determinaçãoda reta tangente a uma curva e, ainda, taxas de variação.
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Definição
Dada a função y = f(x) definida no intervalo (a,b) e dois pontos, xo e xo+x,pertencentes a esse mesmo intervalo sendo x um acréscimo sofrido na variaçãopertencentes a esse mesmo intervalo, sendo x um acréscimo sofrido na variaçãoda variável independente x.
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Taxa média de variação da função
O quociente entre y e x é denominada de Taxa média de variação da funçãoe vale:e vale:
Essa taxa expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre os
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p ç p çpontos xo e xo+ x.
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Derivada da função
O limite:
Quando existe, é denominado de Derivada da Função f(x) no ponto xo. Diz-se
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Q , ç ( ) pque a função f(x) é derivável no ponto xo.
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Notação
A notação utilizada para dizer que a função é derivável no ponto xo é:
Se f’(x) > 0 A função é crescenteSe f’(x) < 0 A função é decrescente;Se f’(x) = 0 A função é constante;
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Se f (x) 0 A função é constante;
Se f”(x) > 0 A concavidade é voltada para cima;Se f”(x) < 0 A concavidade é voltada para baixo.
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Exemplo
Considerando-se a função e o ponto xo = 2, determine a derivadadessa função nesse pontodessa função nesse ponto.
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Logo, a derivada da função no ponto xo = 2 é f’(xo)=f’(2)=12.
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Função Derivada
Seja f(x) uma função derivável em todo ponto x do intervalo (a, b). A função que atodo x associa o número f’(x) é denominado de Função Derivada de f(x) em (a,b).
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Exemplo
Qual é a função derivada da função ?
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Logo, função derivada da função é
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Regras de Derivação
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Derivada de uma Constante
Sendo K um número real qualquer tem-se:
Exemplo:
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Derivada da função identidade
A derivada da função identidade é igual a unidade.
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Derivada da Função Potência
A derivada de uma função potência de x de expoente genérico “n”, é verificada peladefinição de derivadas e pelo Binômio de Newton.
Exemplo:
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Derivada de uma Função do 1º Grau
A derivada de uma função do 1º grau e igual ao coeficiente de x.
Exemplo:
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Derivada de uma Função multiplicada por constante
A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto daconstante pela derivada da função.
Exemplo:
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Derivada da soma ou da diferença de função
A derivada de uma soma/subtração de funções é igual à soma/diferença dasderivadas dessas funções.
Exemplo:
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Derivada de um Produto de Funções
Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à somados produtos de uma das funções pela derivada da outra.
Exemplo:
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Derivada de um Quociente de Funções
Sendo u e v funções de x, a derivada do quociente destas funções é dada pelarelação.
Exemplo:
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Derivada da Função Exponencial
Sendo ”a” um número real (a > 0 e a ≠ 1) então a derivada da função é dadapor:
Exemplo:
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Derivada da Função Logarítmica
A derivada de uma função logarítmica é dada por:
Exemplo:
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Regra da Cadeia
Derivação de uma função composta.
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis e f(x) = u(v(x)) ou, em uma outra notaçãode função composta, f(x) = (u v)(x).
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Exemplo #1
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Exemplo #2
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