11 PRIMJENA PLANOVA BRZINA U STATICI

KONSTRUKCIJA

11.1 Planovi brzina kao pomono sredstvo pri rjeavanju statikih problema

U statikim problemima znaajnu ulogu imaju pomaci pojedinih elemenata u

konstrukciji. Pomou planova brzina moemo odrediti brzinu bilo koje take

konstrukcije. Izmeu brzina i pomaka postoji jednostavna veza, pa tako

odreujemo i pomake bilo koje take konstrukcije.

(11.1)

Ako se uzme da je t=1, tada pomaci i brzine postaju po numerikoj

vrijednosti jednake.

Slika 11.1 Plan brzina

s v t

11.2 Princip virtualnog rada

Princip virtualnog rada glasi: sistem sa idealnim vezama je u ravnotei ako

je virtualni rad svih aktivnih sila na bilo kojim moguim pomjeranjima, koji

ispunjava uslove veza, jednak nuli.

U statici se posmatraju nosai koji su geometrijski nepomjerljivi, pa prema

tome nisu mehanizmi, tj. u njima ne mogu nastati relativni pomaci izmeu

krutih elemenata.

Kod statiki odreenih konstrukcija nema prekobrojnih veza, gdje se

uklanjanjem samo jedne veze od nepomjerljivog sistema stvara mehanizam

za koji se moe konstruisati plan pomaka (brzina) ako se odabere samo

jedan linearni ugaoni pomak.

Plan pomaka daje upravo virtualne tj. mogue pomake koje veze i sistem

doputaju, pa se na njih moe primijeniti princip virtualnih radova.

(11.2)

p sA A 0

P u F 0

11.3 Stvaranje mehanizma od ravninske konstrukcije

Mehanizam od nosive konstrukcije moe se dobiti na dva naina:

a) Uklanjanjem vanjskih veza (reakcija oslonaca i ukljetenja);

b) Uklanjanjem unutranjih veza.

Slika 11.2 Prikaz stvaranja mehanizma na ramu

Primjer 11.1: Odreivanje reakcije u osloncu B metodom virtualnih pomaka.

Slika 11.3 Prikaz stvaranja mehanizma na Gerberovom nosau

2B3 4

1 F qY 1 q 1 02 2

Slika 11.4 Prikaz stvaranja mehanizma pri oslobaanju unutranjih veza

Slika 11.5 Prikaz stvaranja mehanizma pri oslobaanju unutranjih veza

11.4 Trozglobni lukovi

Svaki nosa se moe zamisliti presjeenim u proizvoljnom presjeku i opet

kruto spojenim u tom istom presjeku pomou tri tapa.

Slika 11.6 Veza u presjeku pomou tri tapa

Ako presijeemo tap 1 veza u prejeku postaje zglobna, a taka A postaje

relativni pol. Takva veza ne moe primiti momenat savijanja.

Presijecanjem tapa 2 nastaje mogunost translatornog pomaka lijevog i

desnog kraja tapova, pri emu takva veza ne moe primiti transverzalnu

silu.

Na slici 11.6 lijevo pri tom rasporedu tapova ako presijeemo tap 2 javlja

se mogunost uzdunog relativnog pomjeranja tapova, pa takva veza ne

prima normalnu silu.

Dakle, ako je potrebno odrediti momenat savijanja pomou plana pomaka u

proizvoljnom presjeku luka, u tom presjeku se ubacije zglob.

Na slici 11.7 to je taka D.

Slika 11.7 Mehanizam sa ubaenim zglobom u taki D

1 2 2

2 1

2

AD PD

AD

PD

1,2 1 2

2 2 3 3

23 2

3

P C P C

P C

P C

2,3 2 3

Ako je potrebno odrediti transverzalnu silu u taku D ubacuje se

transverzalni zglob.

Slika 11.8 Mehanizam sa ubaenim transverzalnim zglobom u taki D

1 2

2 1 1,2

1,2 0

2 3 2,3

2,3 2 2 3 3

2,3 2

3 2

3

P P P C

P P

P C

2,3 2 3

Ako je potrebno odrediti normalnu silu u taku D ubacije se aksijalni

zglob.

Slika 11.9 Mehanizam sa ubaenim aksijalnim zglobom u taki D

1 2

2 1 1,2

1,2 0

2 3 2,3

2 2 3 3

23 2

3

P C P C

P C

P C

2,3 2 3

11.5 Reetkasti elementarni nosai

Presijecanjem donjeg pojasa reetka postaje mehanizam koji sa elementarnim pomacima nastalim usljed toga moe posluiti za odreivanje

normalne sile u presjeenom tapu.

Usljed izduenja tapa donjeg pojasa mogu se dobiti vertikalni pomaci svih

vorova donjeg pojasa.

1,2

1

h

1 2 1 1,2 2 1,2

2 1,2 2 1,2 1 1

PP P P

PP P P

Slika 11.10 Mehanizam reetke

Slika 11.11 Mehanizam reetke

Slika 11.12 Mehanizam reetke

1 2

8 70

8 7

0

v v

B8 A7

v cos v cos 1

1

B8cos A7cos

Slika 11.13 Mehanizami reetke za odreivanje sila i pomaka

11.6 Pomaci vorova reetkastih nosaa Williotov plan pomaka

Pomjeranja vorova reetkastih nosaa mogu nastati usljed promjene duine tapova reetke i pomjeranja drugih vorova i oslonaca.

Slika 11.14 Plan pomjeranja take C usljed pomaka A i B

C A CA

C B CB

Slika 11.15 Plan pomjeranja take od izduenja tapova i pomaka oslonaca

Ako se na vor C nadovezuje slijedei vor, onda e pomak vora C

posluiti za odreivanje daljnjih pomaka. Plan pomjeranja koji se dobija na

taj nain zove se Williotov plan pomaka.

C A AC AC

C B BC BC

Slika 11.16 Wiliotov plan pomjeranja

11.7 Primjena planova pomaka kod metode deformacije

U Statici konstrukcija II obrauje se dio koji se zove Metoda deformacije.

Ova metoda koristi se za rjeavanje statiki neodreenih konstrukcija.

Po metodi deformacije formiraju se dvije grupe jednaina: jednaine

obrtanja vorova i jednaine pomjeranja vorova.

Druga grupa jednaina zasniva se na pretvaranju krutog sistema u

kinematiki mehanizam. Broj jednaina pomjeranja vorova jednaka je broju

stepeni slobode kretanja mehanizma.

Slika 11.17 Statiki sistem

Statiki sistem u mehanizam se pretvara ubacivanjem zglobova na mjestu krutih veza i na mjestu ukljetenja, kao to je prikazano na slici 11.18.

Slika 11.18 Mehanizam zadatog sistema

Ovaj mehanizam ima 2 stepena slobode kretanja.

Zatim se blokiraju sva pomjeranja osim jednog, u ovom sluaju prvog, i

formira jednaina virtualnog rada. Tako se nastavlja do k pomjeranja.

r rs n 3 v 6 3 16 2

m 2 n s r 2 7 6 6 2

Slika 11.19 Prvi stepen slobode kretanja mehanizma

1 3

1 1 1 1

1 P 3 P 5 1 1 5 1 2 6 6 2 1

1 1

2 3 3 2 2 3 4 4 3 3

P P M M M M

M M M M 0

Slika 11.20 Drugi stepen slobode kretanja mehanizma

3

2 2 2

3 P 7 4 4 7 4 4 3 3 4 5

2

2 3 3 2 6

P M M M M

M M 0

k kk

k k in jnii

i j i jL L