1.1 schwingungsgleichung 1.2 statische vorlast 1.3...

Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastdoynamik

2.1-1

1. Freie ungedämpfte Schwingungen

1.1 Schwingungsgleichung

1.2 Statische Vorlast

1.3 Einheiten

1.4 Federsysteme


2.1-2


● Lösung der Bewegungsgleichung:

– Für freie ungedämpfte Schwingungen lautet der Impulssatz:

– Mit folgt daraus die Schwingungsgleichung

– Sie hat die allgemeine Lösung

– Die Ableitungen berechnen sich zu

m xc x=02=c /m

x2 x=0

x t =As sin t Accos t =A cos t

x t =v t =− A sin t= A cos t/2x t =a t =−2 A cos t=2 A cos t


2.1-3


– Für die Maxima gilt:

● Schwingungskenngrößen:

– Die Kreisfrequenz ω kann direkt aus der Schwingungsglei-chung abgelesen werden.

– Daraus lassen sich Frequenz und Periode berechnen:

xmax=A , vmax= A , amax=2 A

f =

2, T=

1f=2


2.1-4


● Anfangsbedingungen:

– Die Konstanten As und A

c bzw. A und φ werden durch die

Anfangsbedingungen festgelegt:

– Für die Konstanten A und φ folgt:

x 0=x 0=Ac Ac=x 0

v0= x 0= As As=v0

A= As2Ac2= x 02 v0 2

, tan =−AsAc

=−v0

x 0


2.1-5


– Ergebnis:

x t =x 0cos t v0 sin t

= x02v0 2

cos t

mit tan =−v0

x 0


2.1-6


● Beispiel: Stab mit Einzel-masse

– Ermittlung der Federkon-stanten c:

● Auslenken der Masse um x

L

E, A

m

Fx

● Dazu nötige Kraft F:

● Federkonstante c:

– Schwingungsgleichung:

– Frequenz:

F= A=E A=EAxL

c=Fx

=EAL

f =12 EAmL

xEAm L

x=0


2.1-7


● Beispiel: Torsionsstab mit Einzelmasse

– Torsionsstab:● Länge L● Torsionssteifigkeit GJ● masselos

– Scheibe:● Massenträgheitsmoment

Θ

– Freiheitsgrad:● Verdrehung φ

L G, J

M, φ

Θ


2.1-8



● Verdrehen der Scheibe um Winkel φ

● Bestimmung des dazu nötigen Moments M:

● Für die Federkonstante folgt:

– Schwingungsgleichung:

– Kreisfrequenz:

– Frequenz:M=

GJL

c=GJL

c =0

= c= GJL

f =

2=12 GJL


2.1-9


● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse


● Auslenken der Masse um w

● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:

● Für die Federkonstante c folgt:

– Frequenz:

L

E, I m

F

w

F=3EI

L3w

c=3EI

L3

f =12 3 EIm L3


2.1-10


● Beispiel: Rollschwinger – Eine zylindrische Walze mit Masse m und Massenträg-heitsmoment Θ bezüglich des Schwerpunktes wird durch eine im Schwerpunkt befestigte Feder der Stei-figkeit c gehalten.

– Die Walze rollt auf einer ho-rizontalen Ebene.

r

m, Θ

xφc


2.1-11


– Walze freigeschnitten:

– Rollbedingung:

– Drallsatz bezüglich Schwerpunkt S:

– Impulssatz:

– Bewegungsgleichung:

– Frequenz:

r

m, Θ

φc∙x

x

mg

NH

S

x=r x=r

=r H

mr2 c r2=0

f =12 c r 2

mr2

m x=−c x−H H=−c r−mr


2.1-12


xs

xx

s + x

G

G

c(xs + x)

G


2.1-13


● Statische Ruhelage:

● Impulssatz:

● Die Schwingung erfolgt um die statische Ruhela-ge.

c x s=G

m x=G−c x sx

m xc x=0

● Vorspannkraft und stati-sche Last sind im Gleich-gewicht.

● Bei linearen Systemen muss die statische Last nicht berücksichtigt wer-den, wenn die Auslenkung von der statischen Ruhe-lage aus gemessen wird.


2.1-14


● Die Frequenz kann aus der statischen Auslenkung be-rechnet werden:

– Gewichtskraft:

– Statische Ruhelage:

– Frequenz:

G=m g

c x s=m g cm

=gxs

f =12 gx s


2.1-15

1.3 Einheiten

● Die Einheiten von Steifig-keit und Masse müssen konsistent sein.

– Beispiel:

[c ]=Nm, [m ]=kg

[ cm ]= Nm⋅kg

=kg⋅m

s2⋅m⋅kg=1

s2

[ f ]=[ cm ]=1s=1Hz

● In der Praxis werden in der Regel folgende Einhei-ten verwendet:

– Längeneinheit: mm

– Krafteinheit: N

– Elastizitätsmodul: N/mm2

● Damit ist die Einheit für die Masse eine abgeleitete Einheit.


2.1-16

1.3 Einheiten

● Einheit für die Masse: ● Konsistente Einheiten:

– N, kg, m

– N, t, mm

● Falsch:

– N, kg, mm

1N=1kg⋅m

s2=1kg⋅103mm

s2

1N=1000kg⋅mm

s2

1 kg=10−3 N s2

mm

1N s2

mm=1000 kg=1 t


2.1-17

1.3 Einheiten

● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse

– Für die folgenden Zahlenwerte ist die Frequenz zu bestim-men:

● E = 2∙105N/mm2

● I = 2∙105mm4

● L = 1000mm● m = 1kg

– Umrechnung der Masse:● m = 1∙10-3t


2.1-18

1.3 Einheiten

– Frequenz:

f =12 3 EIm L3

f =12 3⋅2⋅10

5N /mm2⋅2⋅105mm4

10−3Ns2/mm⋅10003mm3=12 4⋅3⋅10

10Nmm2

106Ns2mm2

=100 3

1s=55,13Hz


2.1-19

1.4 Federsysteme

x

c1

c2

c

m m

● Parallelschaltung:

– Beide Federn haben die gleiche Auslenkung x.

– Die Federkräfte addieren sich:

– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:

– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:

F=F 1F 2=c1 xc2 x=c1c2 x=c x

c=c1c2

c=∑k=1

n

ck


2.1-20

1.4 Federsysteme

● Reihenschaltung:

– Beide Federn haben die gleiche Kraft F.

– Die Wege addieren sich:

– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:

– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:

m

c1

c2

x

x

c

x=x1 x2=Fc1

Fc2

=F 1c11c2

1c=1c1

1c2

c=c1c2c1c2

1c=∑k=1

n1ck


2.1-21

1.4 Federsysteme

EI

m

L/2 L/2

EI

m

L/2 L/2

cF

cF

System 1 System 2

● Beispiel:


2.1-22

1.4 Federsysteme

– Die beiden dargestellten Systeme bestehen je-weils aus einem masse-losen Balken (Biegestei-figkeit EI), einer Feder (Federkonstante c

F ) und

einer Masse m.

– Wie groß sind die Eigen-frequenzen?

– Daten:● L = 1m● m = 5kg● EI = 4∙1010Nmm2

● cF = 500N/mm


2.1-23

1.4 Federsysteme

– System 1:● Durchbiegung in Bal-

kenmitte und Verlänge-rung der Feder sind gleich.

● Es handelt sich um eine Parallelschaltung.

● Federsteifigkeit des Bal-kens:

cB=48 EI

L3

● Ersatzsteifigkeit:

● Frequenz:

c1=cFcB=c F48 EI

L3

f 1=12 c1m

=12 cF L

348 EI

mL3


2.1-24

1.4 Federsysteme

– System 2:● Die Auslenkung der

Masse ist gleich der Summe der Durchbie-gung des Balkens und der Verlängerung der Feder.

● Es handelt sich um eine Reihenschaltung.

1c2

=1cF

L3

48 EI

=48 EIcF L

3

48 cF EI

● Ersatzsteifigkeit:

● Frequenz:

f 2=12 48 cF EI

cL348 EI m


2.1-25

1.4 Federsysteme

– Zahlenwerte:● Masse:

● Balkensteifigkeit:

5 kg=5⋅10−3 t=5⋅10−3 Ns2

mm

cB=48⋅4⋅1010

109Nmm2

mm2

=1920Nmm

● Ersatzsteifigkeiten:

c1=500 N /mm1920 N /mm=2420 N /mm

c2=cF cBc FcB

=500⋅19205001920

N 2⋅mm

mm2⋅N=396,7N /mm


2.1-26

1.4 Federsysteme

● Frequenzen:

f 1=12 24205⋅10−3

N⋅mmmm⋅Ns²

=110,7Hz

f 2=12 396,75⋅10−3

N⋅mmmm⋅Ns²

=44,8Hz


2.1-27

1.4 Federsysteme

● Schräg eingebaute Feder:

– Bei einer schräg eingebauten Feder ist die Federachse ge-genüber der Schwingungsrichtung geneigt.

– Vorgehen:● Die Verschiebung wird in ihre Komponenten parallel und

senkrecht zur Federachse zerlegt. Da die Verschiebung als klein vorausgesetzt wird, kann diese Zerlegung am unver-formten System durchgeführt werden.

● Mit Hilfe der Federkonstanten wird die Federkraft parallel zur Federachse ermittelt.

● Daraus wird die Komponente der Federkraft in Schwingungs-richtung berechnet.


2.1-28

1.4 Federsysteme

– Beispiel:

● Die abgebildete Masse kann sich nur in x-Rich-tung bewegen.

● Sie wird durch zwei Fe-dern gestützt.

αx

m

cc

● Zerlegung der Verschie-bung x:

● Federkraft:

x

xp

α

α

x p=x sin

F p=c x p=c x sin


2.1-29

1.4 Federsysteme

● Kraft in Schwingungsrichtung:

● Ersatzsteifigkeit der beiden Federn:

Fp

αF

F=F p sin =c sin2 x

cges=2 c sin2

1.1 schwingungsgleichung 1.2 statische vorlast 1.3...

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