11. sinif konu anlatimli - nihat bilgin...

11. SINIFKONU ANLATIMLI1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

7. Konu

İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM

ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

2

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

1. Ünite 7. Konu (İtme ve Çizgisel Momentum)

A’nın Çözümleri

1. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay doğ-

rultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta ya-

tay doğrultuda momentum değişmez. Momentum

değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anın-

da top mermisinin düşey hızı;

vy = v0 . sin37°

vy = 20 . 0,6 = 12 m/s dir.

vy1

37°

vy2 v

0

vx

37°vx

v0

vx

vy=0

hmax

Top mermisi atılırken düşey hızı vy1 = 12 m/s dir.

Top mermisi yere düşerken düşey hızı vy2 = –12

m/s olduğundan momentum değişimi;

ΔP = m(vy2 – vy1

)

ΔP = 4(–12 – 12) = –96 kg m/s bulunur.

2.

vortak

çarpışmadan sonra

BA C

Çarpışmadan önceki momentumların vektörel top-

lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel

toplamına eşittir. Momentumun korunumundan;

P önce = P sonra

m1 v 1 + m2 v 2 + m3 v 3 = (m1 + m2 + m3) v ortak

1 . 30 + 1 . 10 + 2 . 10 = (1+1+2) · vortak

vortak = 15 m/s bulunur.

3. a. Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları ko-

runacağından;

Pönce = Psonra

m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2). vortak

1 . 3 – 2 . 6 = 3 . vortak

–9 = 3 . vortak

vortak = – 3 m/s

bulunur. O halde cisim (–) yönde 3 m/s hızla hare-

ket eder.

b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji;

,

( )

,

, , .

E m v m v

E J

E m m v

E J

E J bulunur

2

1

2

1

2

11 9

2

12 36 40 5

2

1

2

13 3

13 5

40 5 13 5 27

· ·

· · · ·

· · ·

–

ilk

ilk

son ortak

son

kay p

1 12

2 22

1 22 2

ı

= +

= + =

= + =

=

= =

4.

37°

P2

P1

PortakPortak(y)

Portak(x)

Hem yatay eksende hem de düşey eksende mo-

mentum korunur. Yatay momentum korunumun-

dan; P ortak(x) = P 1

m · vortak · cos37° = m1 · v1

(3 + 2) · vortak · 5

4 = 2 · 4

vortak = 2 m/s

İtme ve Çizgisel Momentum7

3İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

αPönce = 16 kg.m/s

P2

P1 = 12 kg.m/s

x

y

P2 = P P12 2+

P2 = 12 162 2+ = 20 kg.m/s

P2 = m2 . v2

20 = 2 . v2 ⇒ v2 = 10 m/s

bulunur. O halde m2 kütleli cisim güneydoğu yönün-

de 10 m/s hızla hareket eder.

8. Cismin patlamadan önceki momentumu;

Pönce = m . v = 6 . 5 = 30 kg.m/s

dir. Patlamadan sonraki v1, v2 hızlı cisimlerin mo-

mentumları;

Pönce

x

y

60°

60°

P1 = 2 . 5 = 10 kg.m/s

P2 = 2 . 5 = 10 kg.m/s

|P1 + P2| = 10 kg.m/s

1 ve 2 numaralı parçaların momentumlarının bileş-

kesinin büyüklüğü 10 kg.m/s dir. Patlamadan son-

raki momentumun +x yönünde 30 kg.m/s çıkması

için üçüncü parça +x yönünde ve 10 m/s hızla hare-

ket etmelidir.

5. Pönce = Psonra

m1 . v1 – m2 . v2 = (M + m1 + m2) . vortak

0,1 . 300 – 0,4 . 50 = (500 + 100 + 400).10–3. vortak

30 – 20 = 1 . vortak

vortak = 10 m/s

dir. P1 > P2 olduğundan cisim (+) yönde ve 10 m/s

lik hızla hareket eder.

6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba yar-

dımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun koru-

numundan;

60°m1 . v1

m2 . v2x

m2 . v2y

Pönce = Psonra

m1 . v1 – m2 . v2x = (m1 + m2) .vortak

9 . 8 – 1 . 4 . cos 60° = 10 . vortak

72 – 2 = 10 . vortak


7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu

yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir.

Pönce = m . v

Pönce = 8 . 2 = 16 kg . m/s

dir. Patlamadan sonra m1 kütleli cismin momentu-

mu;

P1 = m1 . v1 = 12 kg . m/s

dir. Momentumun korunması için P2 nin düşey bile-

şeni 12 kg.m/s, yatay ekseni ise 16 kg.m/s olmalı-

dır.

4 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

12. a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay mo-

mentumları neden olur. Momentumun korunu-

mundan;

Pönce = Psonra

m1 . v1 – m3 . v3 . cos 37° = mortak . vortak

10.10–3.160 – 5.10–3. 400 . 0,8 = 500 . 10–3 . vortak

1600 – 1600 = 500 . vortak

vortak = 0

bulunur. Yani tahta blok hareket etmez.

b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve ci-

simlerin toplam ağırlıkları meydana getirir.

F . Δt = ΔP

F . 0,1 = m3 . v3 . sin 37°

F . 0,1 = 5 . 10–3 . 400 . 5

3 ⇒ F = 12 N

T = F + G

T = 12 + (m1 + m2 + m3) . g

T = 12 + (485 + 5 + 10) . 10–3 . 10

T = 17 N bulunur.

13. a. P = m . v0x

60 = 2 . v0x ⇒ v0x = 30 m/s

Yatayda alınan yol;

x = v0x . t

240 = 30 . t ⇒ t = 8 s bulunur.

Cisme uygulanan itme;

I = F . Δt = mg . Δt

I = 2 . 10 . 8 = 160 N . s bulunur.

b. tuçuş = 2 g

v y0

8 = 2 · v

10

y0 ⇒ v0y = 40 m/s

Cismin yere çarpma hızı ve momentumu;

v0 = v vx y02

02+

v0 = 30 402 2+ = 50 m/s

P = m . v0 = 2 . 50 = 100 kg.m/s bulunur.

9. Cisim tepe noktasında 30 m/s yatay hıza ve

Pilk = m . v0x = 3 . 30 = 90 kg.m/s

lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke

momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Pat-

lamadan sonra hareketli iki cismin yatay momen-

tumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan 3. parça

düşey aşağı doğru 30 m/s hızla hareket etmelidir.

10. Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan mo-

mentum değişimini verir. O hâlde;

5

Fnet (N)

t(s)10

15

0

35

A1 A2

A1 = 2

35 15+ · 5 = 125 N.s

A2 = 15 · 5 = 75 N.s

∆P = A1 + A2 = 200 N.s

∆P = m(vson – v1)

200 = 10(vson – 0) ⇒ vs = 20 m/s

Ek = 2

1 m · vson2

Ek = 2

1 · 10 · (20)2 = 2000 J bulunur.

11. Momentumun korunumundan;

m1 · v = (m1 + m2) · vortak

50 · 10–3 · v = 1000 · 10–3 · 2 ⇒ v = 40 m/s


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

c. –x +xv1x v2x

m1 m2

Pönce = Psonra

m1 · v1x – m2 · v2x = (m1 + m2) · vortak

m · 30 – 3m · 40 = 4m · vortak

vortak = –22,5 m/s

bulunur. O halde cisim 22,5 m/s hızla –x yönün-

de yatay atış hareketi yapar.

16. m1 = 2m2 olduğundan m1 ve m2 kütleli cisimlerin A

noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu

noktadaki hızları v2 = 2v1 olmalıdır. Serbest düşme

hareketi kurallarına göre h1 = h ve h2 = 5h olur. O

hâlde;

h

h

5

1

2

1= bulunur.

17. a. m1 kütleli cisim a = g . sin 37° ivmesiyle yavaşlar,

m2 kütleli cisim ise a = g . sin 37° ivmesiyle hızlanır.

Çarpışmadan önceki hızları;

v1 = v0 – g . sin 37° . t

v1 = 36 – 10 . 0,6 . 2 = 24 m/s

v2 = g . sin 37° . t

v2 = 10 . 0,6 . 2 = 12 m/s

bulunur. Momentumun korunumundan;

m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak

2 . 24 – 1 . 12 = 3 . vortak

36 = 3vortak

vortak = 12 m/s

14. Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular.

F . Δt = ΔP = m . (v1 – v′1)

F . 2 . 10–2 = 10 . 10–3 . 80

F = 40 N bulunur.

F

h

L

G

r

Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre

moment alınırsa;

F . h = G . r

40 . 50 = G . 20

G = 100 N bulunur.

15. a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde;

v1x . t + v2x . t = 280

50 · cos 53° · t + 40 2 · cos 45° · t = 280

70t = 280

t = 4 s

bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri

v1y = v2y = 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin

maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu ne-

denle cisimler yörüngenin tepe noktasında çar-

pışır.

b. hmax = ( ) ( )

g

v

g

v

2 2

y y12

22

=

hmax = ·

( · °)sin

2 10

50 53 2

= 80 m bulunur.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

18. Cismin yere göre sahip v0y = 30 m/s

m = 2 kg

v0x = 40 m/s

olduğu hız bileşenleri

v0x = 40 m/s ve v0y = 30

m/s dir. Cismin havada

kalma süresi;

–h = v0y . t – 5t2

–35 = 30 . t – 5t2

t2 – 6t – 7 = 0

(t – 7) (t + 1) = 0 ⇒ t = 7 s

bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, mo-

mentum değişimine eşit olacağından;

ΔP = F . Δt = mg . Δt

ΔP = 2 . 10 . 7 = 140 kg . m/s bulunur.

19. a.

30 m/s 30 m/s

40 m/s 40 m/s

x = 60 m

Yatay hızları 30 m/s olan iki cisim arasındaki

uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için

1 saniye sonra çarpışırlar. Yani t1 = 1 saniyedir.

b. Cisimlerin çarpışma anında yatay momentum-

ları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda

momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır ol-

duğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla ha-

reket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra;

t = 2 · ·v

2 10

2 40y0= = 8 s

havada kalırlar. Bunun 1 saniyesi çarpışma ön-

cesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye son-

ra atıldıkları noktaya gelirler.

b. vs son hız, vi ilk hız alınarak;

vs = vi – a . t

0 = vortak – g . sin 37° . t

vortak = g . sin 37° . t

12 = 10 . 0,6 . t ⇒ t = 2 s

bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan 2 sa-

niye sonra durur ve yön değiştirir.

c. Ei = 2

1 m1 · v12 +

2

1 m2 · v22

Ei = 2

1 · 2 · (24)2 + 2

1 · 1 · (12)2

Ei = 576 + 72 = 648 J

Es = 2

1 (m1 + m2) · vortak2

Es = 2

1 · 3 · (12)2 = 216 J

Kaybolan kinetik enerji;

E = Ei – Es = 648 – 216 = 432 J bulunur.

ç. m1 , m2 kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şe-

kildeki gibidir. m1 kütleli cismin aldığı yol x1 , m2

kütleli cismin aldığı yol x2 kadardır.

v (m/s)

t (s)

36

0

24

12

x1

x2

|AB| = x1 + x2

x1 = 2

36 24+ · 2 = 60 m

x2 = ·

2

12 2 = 12 m

|AB| = 60 + 12 = 72 m


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

ΔEk = Ek – E′k = 5000 – 2000

ΔEk = 3000 J olur.

22. m1 kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir

kuvvet uygulayarak m2 kütleli vagonu harekete geçi-

rir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar

devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan iti-

baren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkış-

ma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momen-

tumun korunumundan;

P Pönce sonra=/ / m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vort

4000 · 10 + 0 = (10000) · vort

vort = 4 m/s

bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre me-

kanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız m1

kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan

sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın

potansiyel enerjisi vardır. O hâlde;

E Eilk son=//

2

1 · m1 · v12 =

2

1 · (m1 + m2) · vort2 +

2

1 · k · x2

2

1 · 4 · 103 · 100 = 2

1 · (1 · 104) · 16 + 2

1 · 12 · 104 · x2

2 · 105 = 8 · 104 + 6 · 104 · x2

x = 2 m bulunur.

20.

45°

K

L

v0

–h

h

v0x

v0y

45°

K noktasından atılan cisim L noktasına düşmekte-

dir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde

eşit h yollarını almaktadır.

h = v0 · cos 45° · t = v0 22

· t ................. (1)

–h = v0 · sin 45° · t – 2

1 gt2 ..................... (2)

(1) denklemi (2) denkleminde yerine yazılırsa;

–v0 · 22

t = v0 · 22

t – 5t2

5t2 = 2( 22

v0) · t

5 · 2 = 2 · v0 ⇒ v0 = 5 2 m/s

PK = m · v0 = 2 · 5 2 = 10 kg.m/s

21. Çarpışmadan önceki momentumların vektörel top-

lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel

toplamına eşittir.

Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı;

m1v1 + 0 = (m1 + m2)vortak

100 . 10 = (250) . vortak

vortak = 4 m/s

bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri;

Ek1 =

2

1 m1v12 =

2

1 100(10)2 = 5000 J

Ek2 = 0 dır.

Ek(top) = Ek1 + Ek2

= 5000 J

Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi

ise;

E′k = 2

1 (m1 + m2)vortak2

E′k = 2

1 (250)42 = 2000 J

olur. Kaybolan kinetik enerji;


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

3. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey bile-

şenlerini alalım.

Şekil I

4 mv

2 mv

mv

2 mv A

Şekil II

3 mv

Birim karelerin kenarları 1 birim alındığında çarpış-

madan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri

Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II

de gösterilen yönde hareket eder.

Yanıt B dir.

4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 1 birim alı-

nırsa v2 = 2 birim, v3 = 2 birim olduğu görülür.

45°45°

P1 = mv

P2 = 2 2 mvP3 = 2 mv

Şekil I

2 mv

Şekil II

3 mvIV

Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bü-

yüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadele-

şince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifa-

deyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numa-

ralı yolu izler.

Yanıt D dir.

Test 1 in Çözümleri

1. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden yararlana-

rak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz.

–v

hz

zaman0

IIII

3tt 2t

–2v

II

Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve

II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın

azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyor-

sa aynı aralıkta momentum da azalır.

Yanıt E dir.

2. Momentum, P = m v bağıntısı ile bulunan vektö-

rel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık

nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri

ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki

tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği ve-

rilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.

t

hız

zaman2t 3t

4v

3v

2v

v

0

I II III

Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi

verir. Şekilden a1 = 0, a2 nin artan, a3 ün sabit oldu-

ğu görülür. F = ma olduğuna göre I. aralıkta kuvvet

sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir.

Yanıt E dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

7.

v v

v

120°

120° 120°

Psonra = 0

A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ay-

rılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O

hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfır-

dır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına

varmış olması gerekir. Buradan;

hmax = g

v

2 20

6002 2

=

hmax = 180 m bulunur.

Yanıt D dir.

8.

ipm1

= 300 kg m2

= 400 kg

v1 v2

(–) (+)

İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan

momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentum-

ların vektörel toplamı yine sıfır olacağından;

Pönce = Psonra

0 = 400 · v2 + 300 · (–v1)

4 · v2 = 3 · v1

v

v

3

4

2

1= bulunur.

Yanıt A dır.

5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 2v ,

v2 = 2 v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki mo-

mentum vektörleri şekildeki gibidir.

P1 = 2m1.v

P2x

P2y

P2 = 2 m2.v

–x45°

+x

Ortak kütlenin (–x) yönünde hareket edebilmesi

için;

P1 = P2y

P1 = 2 m2v · sin 45°

2m1v = 2 m2v · 22

2m1 = m2

m

m

2

1

2

1= bulunur.

Yanıt C dir.

6. a

m1.g = 5 N

m2.g = 15 N

m2 = 1,5 kg

m1 = 0,5 kg

Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a = 5 m/s2

lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğun-

dan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle;

,

,.

P

P

m v

m v

P

Pbulunur

1 5

0 5

3

1

·

·

2

1

2

1

2

1

=

= =

Yanıt C dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

11.

BCA

60 m 45 m

v1x=20 m/s

v1y=15 m/s v1=25 m/s

37° 45°

v2x=15 m/s

v2y=

15 m

/s

v2=15 2 m/s

Şekil I

m1, m2 kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının

yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki

cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı

yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 15 m/s

olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi 3 s dir.

Bu nedenle A noktasından atılan m1 kütleli cisim,

3 s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır.

Benzer biçimde B noktasından atılan m2 kütleli ci-

sim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına va-

rır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri

yer tarafından dengelenir.

m m

v1x = 20 m/s v2x = 15 m/s

m m

vort = 2,5 m/s

Şekil II

C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bile-

şenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak küt-

le ise sağa doğru 2,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde

düzgün doğrusal hareket yapar.

Yanıt B dir.

9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada

yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin ya-

tay hızı vx = v0 . cos 60° = 15 m/s dir. Yani patlama

olmadan önce cismin momentumu;

Px = m · vx = 2 · 15 = 30 kg.m/s

dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korun-

ması gerekir.

v1 = 30 m/s

1 kg 45°v2x = 30 m/s

v2y = 30 m/sv2 = 30 2 m/s

1 kgB

Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla

45° lik açı yapacak biçimde v2 = 30 2 m/s ilk hız-

la eğik atış yapar.

Yanıt B dir.

10. Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi

olmadığından momentum değişimi de yoktur. Dü-

şey eksende ise momentum değişimi vardır.

B

C

vilk = v

vson = –v

T

Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum

değişimi;

ΔP = m . Δ v = m . ( v son – v ilk)

ΔP = m (–v – v) = –2mv bulunur.

Yanıt E dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

14. m2 kütleli cisim arabadan atılmadan önce, araba-

nın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıl-

dıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentu-

mu oluşacak ancak bu momentumun arabanın hız

vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki

momentumun korunumundan;

v2y

60°v2x

v1 = 4 m/sm2

v2

P Pö ( ) ( )nce x sonra x=/ / (m1 + m2)v1 = m1v′1 + m2v2x

10 · 4 = 8 · 4 + 2 · v2x

8 = 2v2x ⇒ v2x = 4 m/s

bulunur. Buradan v2 hızı;

v2x = v2 . cos 60°

4 = v2 · 2

1 ⇒ v2 = 8 m/s bulunur.

Yanıt C dir.

15.

m1 = 4 kg

v1 = 14 m/sv2 = 0

m2 = 3 kg m1

v1 v2

m2

ç. önce ç. sonra

Şekil I Şekil II

Hızı v1 = 14 m/s olan m1 kütleli cisim, durgun hâl-

deki m2 kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor

(Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v′1,

v′2 olsun.

v′2 = (m m

m2

1 2

1

+) · v1

v′2 = (7

8 ) · 14 = 16 m/s olur.

Yanıt C dir.

12.

yer

h = 80 m

v0 = 40 m/s

30 m/s

2 kg

yatay

Balondan atılan cismin yere düşme süresi;

–h = v0y · t – 2

1 · g · t2

–80 = 30 · t – 5t2

t2 – 6t – 16 = 0

(t – 8) · (t + 2) = 0 ⇒ t1 = 8 s, t2 = –2 s olur.

Zaman negatif değer almayacağına göre t = 8 s dir.

Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uy-

gulanan itme;

itme = F . Δt

itme = mg . Δt

itme = 2 . 10 . 8 = 160 N.s olur.

Yanıt C dir.

13. m1 = 4 kg

m2 = 1 kg

m2.g = 10 N

a = 2 m/s2

Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığın-

da ok yönünde a = 2 m/s2 lik ivme ile hızlanır. Sis-

temin, dolayısıyla m2 kütleli cismin hızı arttıkça po-

tansiyel enerjisi azalır. m2 kütleli cismin potansiyel

enerjisi 360 J azaldığında

∆Ep = ∆Ek

∆Ep = 2

1 · (m1 + m2) · v2

360 = 2

1 · 5 · v2 ⇒ v = 12 m/s

bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. m1 küt-

leli cismin ilk hızı sıfır, son hızı 12 m/s olduğundan

momentumundaki değişme;

ΔP = m1 . Δv = 4 . (vson – vilk)

ΔP = 48 kg m/s bulunur.

Yanıt D dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

16. Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki

ortak hızı bulalım.

P Pnce sonraö =/ / m1v1 + m2 · 0 = (m1 + m2) · vort

0,1 · 300 + 0 = 1 · vort

vort = 30 m/s

v1

= 300 m/s v2

= 0

m2

m1

vort

m1 + m

2

ç. önce ç. sonra

Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel

enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı;

Ek = Ep

2

1 · mv2 = mgh

h = g

v

2 20

900ort2

=

h = 45 m bulunur.

Yanıt A dır.

17. Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk mo-

mentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan son-

ra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler.

Pönce = 2m . 3v + 3m (–2v) = 0

olduğundan, Psonra = 0 olmalıdır. Bu nedenle;

v′1 = –3v

v′2 = 2v olur.

m1 = 2m

v1 = 3v v2 = 2v

m2 = 3m

(–) (+)

Yanıt E dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

4. • Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini ve-

rir.

• Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet

zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu

verir.

• Momentum P = m . v olduğundan P ve m bilinen-

leriyle v hızı bulunur.

Yanıt D dir.

5. hz

I IIIII

t 2t 3tzaman

v

0

Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği bir-

birine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre ci-

sim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a = 0

ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşla-

mıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez.

Yanıt D dir.

6. itme = ∆P

itme = m(vs – vi)

itme = m(– v

2 – v) = – ·m v

2

3

bulunur. (–) işareti itmenin azaldığını gösterir.

Yanıt B dir.

Test 2 nin Çözümleri

1. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında

Ek = m

P

2

2 bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde;

P = 5 kg.m/s

iken Ek = 5 J olduğu görülür. Buradan;

5 = m2

52

2m = 5

m = 2

5 bulunur.

Yanıt A dır.

2.

2t

kuvvet

F

0

–F

t

3t 4tzaman

+

–

Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum

değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun

sıfır olduğu görülür.

Yanıt E dir.

3. ivme-zaman grafiğinden cismin 2 s sonraki hızı

1. s için; v1 = 10 – 2 . 1 = 8 m/s

2. s için; v2 = v1 + 2 . 1 = 10 m/s

dir. Momentum değişimi;

ΔP = m . (v2 – v1)

ΔP = 2 . (10 – 10) = 0 bulunur.

Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk 2 sa-

niyede hızdaki değişim sıfırdır.

Yanıt C dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

10. m1 ve m2 kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı;

v1 = 2 · ·g h2

v2 = · ·g h2

olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre

ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O

hâlde;

P1 = P2

m1 · 2 gh2 = m2 · gh2

m

m

2

1

2

1= bulunur.

Yanıt B dir.

11. m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında

hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K

cisminin kinetik enerjisi, 2

1 mv2 kadar azalır.

Yanıt C dir.

12.

A

P2 = 6 kg.m/s

x

y

30°

60°60°

P = 6 kg.m/s

P1 = 6 kg.m/s

Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu

P = 6 kg . m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütle-

nin hızı;

P = (m1 + m2) . vortak

6 = (3 + 2) . vortak

vortak = 1,2 m/s

Yanıt D dir.

7. Cismin 50 m yükseklikten 10 m yüksekliğe ininceye

kadar geçen zaman;

h = 5t2

40 = 5 . t2

t = 2 2 s

bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve mo-

mentum;

v = g . t

v = 10 . 2 2 = 20 2 m/s

P = m . v

P = 2 · 20 2 = 40 kg . m/s

Yanıt C dir.

8. Grafikte cismin ilk hızı 10 m/s, son hızı –10 m/s ola-

rak verilmiştir. Momentumdaki değişim;

ΔP = m (vs – vi)

ΔP = 2 . (–10 – 10)

ΔP = 2 . (–20) = –40 kg . m/s

Yanıt C dir.

9. Momentumun korunumu ilkesinden, Pilk = Pson

olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyük-

lük olduğundan →P2 ve

→P1 momentumlarının vektörel

toplamı →P momentumunu vermelidir. Bunu sağla-

yan →P1 momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV

ile ifade edilmiştir.

Yanıt D dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

15. Pönce = Psonra

m . v = (M + m) . vortak

10 . 10–3 . 400 = (990 + 10) . 10–3 . vortak

vortak = 4 m/s

bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı;

h = g

v

2

ortak2

h = ·

( )

2 10

4

5

42

= m bulunur.

Yanıt C dir.

16. m kütleli cismin L noktasındaki hızı;

mgh = 2

1 m · v2

10 · 1,8 = 2

1 v2 ⇒ v = 6 m/s

bulunur. Momentumun korunumundan;

Pönce = Psonra

m . v = (m + 2m) . v′

m . 6 = 3m . v′ ⇒ v′ = 2 m/s

bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler;

h = g

v

2

2l

h = m20

4

5

1=

yüksekliğe çıkar.

Yanıt B dir.

17. Pönce = Psonra

m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vortak

m1 · v = (m1 + m2) · v

3

m1 · v = m1 · v

3 + m2 · v

3

3

2 · m1 · v = 3

1 · m2 · v

m

m

2

1

2

1=

Yanıt B dir.

13.

Ax

y

P1 = 1 · 12 = 12 kg.m/s

PP2 = 2 · 8 = 16 kg.m/s

P = ( ) ( )12 162 2+ = 20 kg.m/s

P = (m1 + m2) · vortak

20 = (2 + 1) · vortak

vortak = 3

20 m/s

Yanıt A dır.

14. Sistemin ilk kinetik enerjisi;

Ek1 = 2

1 mv2 + 2

1 · 2m( v

2)2

Ek1 = 4

3 m · v2 .............................................. (1)

bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukla-

rı kinetik enerji;

m · v + 2m · v

2 = 3m · v′

2mv = 3m · v′ ⇒ v′ = 3

2 v

Ek2 = 2

1 · 3m · (3

2 v)2

Ek2 = 3

2 mv2 ............................................... (2)

bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlanırsa;

·

·

E

E

m v

m v

4

3

3

2

9

8

k

k

1

2

2

2

= =

Yanıt B dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

20. F

37°

9 m

Fx

Fy

Dinamiğin temel prensibinden;

Fnet = F . cos 37° = m . a

60 . 0,8 = 6 . a

a = 8 m/s2 bulunur.

x = 2

1 a · t2

9 = 2

1 · 8 · t2 ⇒ t = 2

3 s

I = Fnet · ∆t

I = 60 · cos 37° · 2

3

I = 60 · 5

4 · 2

3 = 72 N.s bulunur.

Yanıt A dır.

21. Cismin momentumdaki değişimi;

Δ→P =

→Ps –

→Pö

dir. O hâlde;

30°

mv

30°

60°

60°

mv

mv

bulunur.

Yanıt A dır.

18. Çarpışmadan sonra;

Pönce = Psonra

m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) . vortak

1 · 20 = (1 + 3) · vortak

vortak = 5 m/s

hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde;

h = 5 t çu2

20 = 5 t çu2 ⇒ tuç = 2 s

x = vortak · tuç = 5 · 2 = 10 m bulunur.

Yanıt D dir.


Pönce = Psonra

m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . v

380 . 20 – 20 . 100 = 400 . v

5600 = 400 . v

v = 14 cm/s

bulunur ve P1 > P2 olduğundan cisim +x yönünde

hareket eder.

Yanıt D dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

3.

m1

m2

P1

2P

P

P2

1 br

1 br

Şekle bakıldığında;

P1 = m1 . 2 br = P ............................................ (1)

P2 = m2 . 1 br = 2P .......................................... (2)

elde edilir. (1) ve (2) denklemleri oranlanırsa;

·

·

m br

m br

P

Pm

m

1

2

2 4

1

2

1

2

1&= =

Yanıt E dir.

4. 3m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan

önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle par-

çaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır

olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı 2v olur.

Her birinin momentumu 2mv olan parçalar arasın-

daki açı 120° olduğundan bileşkeleri +x yönünde

2mv olur.

Momentumun korunması için 3m kütleli cismin par-

çalanmadan önceki hızının 3

2 v olması gerekir.

Yanıt B dir.

Test 3 ün Çözümleri

1. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba

yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun ko-

runumu göz önüne alınıldığında;

Pönce = Psonra

m1 . v = (m1 + m2) . vortak

4 . 10 = (4 + 1) . vortak


Yanıt C dir.

2. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu

hız ve kinetik enerji;

mgh = 2

1 m · v2

10 · 20 = 2

1 · v2 ⇒ v = 20 m/s

Ek(önce) = 2

1 m · v2 = 2

1 · 1 · (20)2 = 200 J

bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi;

Pönce = Psonra

m · v = (m + m) · vortak

1 · 20 = (1 + 1) · vortak ⇒ vortak = 10 m/s

Ek(sonra) = 2

1 · 2m · vortak2 =

2

1 · 2 · (10)2 = 100 J

Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji;

E1 = Ek(önce) – Ek(sonra) = 200 – 100 = 100 J

bulunur. Enerjinin korunumundan;

Ek(sonra) = E2 + mgh

100 = E2 + 2 . 10 . 2,5 ⇒ E2 = 50 J

bulunur. O hâlde;

E

E

50

100

2

1= = 2 bulunur.

Yanıt E dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk mo-

mentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın

momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur.

| P 1 + P 2 + P 3| = 0

P 3 = – ( P 1 + P 2)

olmalıdır. O hâlde;

60°60°

|P2| = 20 kg.m/s

|P1| = 20 kg.m/s |P1 + P2| = 20 kg.m/s

|P3| = 20 kg.m/s

60°

P3 = m . v3

20 = 2 . v3

v3 = 10 m/s bulunur.

Yanıt B dir.

8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve

zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldik-

leri hızın tersi ile hareket ederler.

Yanıt A dır.

9. I. hg

v

2maxortak2

=

bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı ol-

duğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı

olur.

II. m . v = (m + 2m) . vortak

bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki

yerde de aynıdır.

III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yük-

sekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı

da farklı olur.

Yanıt B dir.

5. Cisimler 3h yüksekliğinden bırakıldıklarından P

noktasında kazanacakları hız değeri v = gh6 dır.

Momentumun korunumundan;

2m · gh6 – m · gh6 = 3m · vortak

m · gh6 = 3m · vortak

vortak = gh

3

6

bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksi-

mum yükseklik;

mgh′ = 2

1 m · (vortak)2

gh′ = gh

2

1

3

62

d n

gh′ = ··g h

2

1

9

6 ⇒ h′ = h

3

bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-

min momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak

kütle PS arasında bir noktaya çıkar.

Yanıt D dir.

6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin kazan-

dığı hız v1 , 2m kütleli cismin kazandığı hız v2 ol-

sun. Şimdi bu hızları bulalım.

mgh = 2

1 m · v12

10 · 0,8 = 2

1 · v12

v1 = 4 m/s

2mgh = 2

1 · 2m · v22

10 · 3,2 = 2

1 · v22

v2 = 8 m/s bulunur.

Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan;

2m . v2 – m . v1 = (m + 2m + 3m) . vortak

2m . 8 – m . 4 = 6m . vortak

12m = 6m . vortak

vortak = 2 m/s

bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-

min momentumundan büyük olduğundan (b) yö-

nünde hareket eder.

Yanıt A dır.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

13. Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket et-

tiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O

halde;

P1y = P2y

m1 · v · cos 37° = m2 · v · sin 37°

°

°

cos

sinm

m

37

37

4

3

2

1= = bulunur.

Yanıt D dir.

14. Pönce = Psonra

m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak

90 . 10 – 10 . 30 = (90 + 10) . vortak

600 = 100 . vortak

vortak = 6 cm/s

bulunur. m1 kütleli cismin momentumu daha büyük

olduğundan cisim v1 yönünde hareket eder.

Yanıt A dır.

15. Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan;

1 br

1 br

|P1 + P2| = 4 kg.br

|P2| = 2 2 kg.br

|P1| = 2 2 kg.br

x

y

P3

| P 1 + P 2 < P 3|

4 kg.br < m3 . 1 br

4 kg < m3

olmalıdır. Sistemin –x yönünde hareket edebilmesi

için m3 kütlesi 5 kg olabilir.

Yanıt A dır.

10. m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından

B noktasındaki hızı v = 2 gh2 olur. Çarpışmadan

sonra momentumun korunumundan;

m · 2 gh2 = 2m · vortak

vortak = gh2

bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik;

h

g

v

hg

ghh

2

2

2

ortak2

=

= =

l

l

bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar.

Yanıt C dir.

11. Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve

Pönce = 8 · 12 = 96 kg.m/s dir.

Patlamadan sonra m1 ve m2 kütleli parçaların mo-

mentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir.

Momentumun korunması için m3 kütleli parçanın

momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir.

m3 = 2 kg olduğundan v3 hızı +x yönünde 45 m/s

olur.

Yanıt A dır.

12. Pönce = Psonra

(m1 + m2) . v2 = m2 . v2′ – m1 . v1 . cos 60°

(m + 2m) · 15 = 2m · v2′ – m · 30 · 2

1

45m = 2m · v2′ – 15m

2mv2′ = 60

v2′ = 30 m/s bulunur.

Yanıt C dir.


Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

16. Parçalanma olmadan önce momentum +x yönün-

dedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parça-

nın momentumlarının bileşkesi +x yönünde olmalı-

dır.

Parçalanmadan sonra v1 ile v3 hız vektörlerinin

düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momen-

tum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vek-

törü v2 ile birlikte +x yönündedir.

Yanıt B dir.


Pönce = Psonra

m1 · 2v = (m1 – m2) · v′

v′ = m m

m2

–1 2

1 · v

bulunur.

Yanıt E dir.

11. sinif konu anlatimli - nihat bilgin...

Documents