52

1.10 Binom Teoremi

Bu kesimde ( )nba + ifadesinin a ve b nin kuvvetleri cinsinden açılımını vereceğiz.

Önce faktoriyel ve binom katsayısı kavramlarını verelim.

1.10.1.Tanım. Sabit bir doğal sayı k olmak üzere 1 den k ya kadar olan doğal sayıların

çarpımına k faktoriyel (ya da k çarpansal) denir ve k! ile gösterilir. Buna göre

k!=1.2.3...(k-1).k

dır. 0!=1 olarak tanımlanır. Örneğin, 4!=1.2.3.4=24 , 5!=1.2.3.4.5=120 dir.

Bu tanımdan her kÎIN için (k+1)!=k!(k+1) olduğu hemen görülmektedir.

1.10.2.Tanım. a bir reel sayı ve k da bir doğal sayı olmak üzere

÷øö

çèæa

k sembolü a altında k diye okunur ve

!)]1()][2()...[2)(1(

kkk

k

------=÷

øö

çèæ aaaaaa

ile tanımlanır ve ayrıca 10=÷

øö

çèæa olarak tanımlanır.

Mesela

,61.2

12!23.4

!2)14(4

!2)]12(4[44

2===

-=

--=÷

øö

çèæ

,161

483

683

1.2.3

)23)(

21(

21

!3

)221)(1

21(

21

!3

)13(21)[1

21(

21

21

3===

--=

--=

---=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

,252

2254

2

)54(

51

1.2

)151(

51

!2

)]12(51[

51

51

2-=

-=

-=

-=

--=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

,31

!131

31

1==

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

dir.

Özel olarak n ile k doğal sayılar olduğunda, kn ³ olmak üzere

!)1)(2)...(2)(1(

kknknnnnn

k

+-+---=÷

øö

çèæ

eşitliğinin sağ tarafının pay ve paydasını (n-k)! ile çarparsak,

])![(!!

])![(!])!)[(1)(2)...(2)(1(

knkn

knkknknknnnnn

k -=

--+-+---

=÷øö

çèæ

elde edilir.

MatematikNet.Com

53

Ayrıca her n doğal sayısı ve her nk ££0 için

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ n

kn

n

keşitliği sağlanır.

1.10.3.Teorem. }0{0 INUIN = olmak üzere her a reel sayısı ve her 0INk Î için

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ +

++

1

11

aaa

kkk

eşitliği sağlanır.

İspat.

aaa

+=÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ 1

10 ve 1

1

1+=÷

øö

çèæ +

aa

olduğundan k=0 için eşitlik doğrudur. Şimdi de

herhangi bir k doğal sayısı için eşitliğin sağlandığını gösterelim.

)!1())(1)...(2)(1(

!)1)(2)...(1(

1 +-+---

++-+--

=÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ

+ kkk

kkk

kk

aaaaaaaaaaa

)!1())(1)...(2)(1(

)!1()1)(1)(2)...(1(

+-+---

++

++-+--=

kkk

kkkk aaaaaaaaa

=)!1(

))(1)...(2)(1()1)(2)...(1()1(+

-+---++-+--+k

kkkkk aaaaaaaaa

=)!1(

)]()1)[(1)(2)...(1(+

-+++-+--k

kkkk aaaaa

=)!1(

)1)(1)(2)...(1(+

++-+--k

kk aaaaa

= ÷øö

çèæ=

++-+--+ +

+

1

1)!1()1)(2)...(1()1( aaaaaa

kkkk

bulunur.

Şimdi Binom teoremini veriyoruz:

1.10.4.Teorem. (Binom Teoremi) Her a b, reel sayısı ve her n doğal sayısı için

( ) nn

n

nn

n

nn

nn

nnn babbabaaba ÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=+ -

-

-- 1

1

22

2

1

10...

dir.

İspat. İspatı tümevarım yöntemi ile yapacağız.

Önce n=1 için eşitliğin doğru olduğunu görelim.

( ) baba +=+ 1 ve 1,11

1

1

0=÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ olduğundan, bababa +=+=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ .1.1

1

1

1

0

olacağından eşitlik n=1 için sağlanır.

Şimdi de n=m için eşitliğin doğruluğunun n=m+1 için doğruluğunu gerektirdiğini ispat

edelim. Eşitliğin n=m için doğru olduğunu kabul edelim. Bu takdirde

54

( ) mm

m

mm

m

mm

mm

mmm babbabaaba ÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=+ -

-

-- 1

1

22

2

1

10...

dir. Bu eşitliğin her iki tarafını ( )ba + ile çarparsak,

( ) ]...)[()( 1

1

22

2

1

10

mm

m

mm

m

mm

mm

mmm babbabaabababa ÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+=++ -

-

--

( ) +÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=+ -

-

-++ mm

m

mm

m

mm

mm

mmm abbababaaba 12

1

21

21

1

0

1 ...

+ 1

1

12

2

32

2

21

10... +

-

-

-

-- ÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ m

m

m

mm

m

mm

m

mm

mm

mm

babbabababa

bulunur. Burada

,11

1

1

00=÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ +

+

+ m

m

m

m

mm

olduğu ve Teorem1.10.3 den dolayı k=0,1,2,...m-1 için

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ +

++

1

11

m

k

m

k

m

k

olduğu kullanılırsa

( ) 11

1

112

1

1

211

2

1

1

11

0

1 ... ++

+

+-

+

-

-++

++

+÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=+ m

m

m

mm

m

mm

m

mm

mm

mmm babbababaaba

elde edilir. Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n doğal sayısı için Binom formülünün doğru

olduğu ispat edilmiş oldu.

55

1.10 Alıştırmalar (Binom Teoremi)

1) nn

n

n

n

nnn2...

1210=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ

- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme:

Binom formülünde a=1, b=1 yazınız.).

2) 0)1()1(...1

1

210=÷

øö

çèæ-+÷

øö

çèæ-++-÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ-÷

øö

çèæ

-

-n

n

nn

n

nnnn

eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.

(Yol Gösterme: Binom formülünde a=1, b=-1 yazınız.).

3) ......420531÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ nnnnnn

eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme:

Bir önceki alıştırmayı kullanınız.).

4) 1

5312... -=+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ n

nnn eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme: Bir önceki

alıştırmayı ve birinci alıştırmayı kullanınız.).

5)11

2

32 ÷øö

çèæ -

xx ifadesinin açılımında x3 lü terim var mıdır? Varsa bulunuz.

6) 2

22

1

2

2

2

1

2

0 )!()!2(...

nnn

n

n

n

nnn=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ

- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol

Gösterme:

]...][...[)1()1( 2

210

2

210

nn

n

nnnn

n

n

nnnnn xxxxxxxx ÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ

÷øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=++

eşitliğinde xn in katsayılarını karşılaştırınız ve÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ n

kn

n

k eşitliğini kullanınız.).

7) nn

n

nn

n

nnnn

322...221

1

2

2

10=÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ

-

- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol

Gösterme: binom formülünde a=1, b=2 yazınız.).

MatematikNet.Com