116630371 analisis de posicion de mecanismos planos

8/17/2019 116630371 Analisis de Posicion de Mecanismos Planos

1/70

1

Examen No. 15

Instituto Politécnico NacionalUPIITA

1ER EXAMEN DEPARTAMENTAL

ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS

Nombres: García Velasco Joel EQUIPO #: ___8____Loera Santillán Abraham Grupo: _2MM1_Miguel Nuñez José Francisco Fecha de Entrega: 8/03/11

Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, métodoanalítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica® 8.0, lo siguiente:

a) Grados de libertad.b) Análisis de posición: = 0 a 360.c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s.

Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo: Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo

(dimensiones, etc. ). El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de

la solución como: fórmulas, gráficas, validación de resultadosnuméricos, programas, etc. (Memoria Técnica)

Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además delcódigo en Mathematica® 8.0. (archivo: *.docx y el archivo *.nb).

Guardar todas las imágenes *.ai de illustrator en una carpeta:figura1.ai, figura2.ai,…,

Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.


2/70

2

INDICE PÁGPlanteamiento del problema 3

I. Grados de libertad 4II. METODO GRAFICO (posición) 5

III. METODO GRAFICO(velocidad) 7IV. METODO MATRICIAL (posición) 9V. METODO MATRICIAL (velocidad) 10VI. METODO ANALITICO (posición) 11VII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (posición) 15VIII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (velocidad) 25IX. METODO ANALITICO (velocidad) 21X. COMPARACI N DE RESULTADOSXI.

29

XII. SIMULACION 30


3/70

3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición yde velocidad del mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollodel análisis de posición, velocidad y aceleración utilizando los métodos: gráfico, analítico,

matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición y velocidad). Secomparan y se interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con elfin de validar los resultados. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal deMathematica® 8 y de Matlab® 2010a y Working Model® 2D 2004.

Para la parte dinámica se obtendrán los coeficientes de velocidad, y sus respectivasderivadas, de cada eslabón del mecanismo y la energía cinética del sistema para obtenerel modelo dinámico del mecanismo. Finalmente, se implementaran técnicas de controlPID para controlar la posición de la manivela en presencia de fuerzas externas actuandoen el mecanismo.

Datos:

Ф=60 La= 0.050 m n= 10 rad/s CB= 0.4 m BD=1.5 m

Figura 1. Mecanismo de dos lazos colisa invertida y biela manivela


4/70

4

Figura 2. Mecanismo de 1GDL

I. GRADOS DE LIBERTAD

La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradasindependientes que tiene un sistema para conocer la posición de todos los puntos detodos sus eslabones, referidos a un sistema inercial (fijo) de coordenadas. En este caso

X-Y.El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de Kutzbach-Grübler: = (1.1) donde: : Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular, = 0

:Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos(i,ii,..,vii) = : Es el número de eslabones que tiene el mecanismo. = 6 Sustituyendo en la ecuación (1.1) = 6 0 = Estos significa que basta una sola entrada a la manivela (eslabón 2) para conocer laposición de cualquier punto de cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistemade coordenas XY.

Recordando que es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo querelaciona las coordenadas de posición de los eslabones con la variable de entrada, en


5/70

5

este caso II. ANÁLISIS DE POSICIÓN

Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de las longitudes y de

los ángulos de los eslabones del mecanismo. Es decir, Se puede utilizar una regla y untransportador para trazar la configuración cinemática del mecanismo, y así de obtener losvalores de incógnitas que permitan ensamblarlo.

En este método se hace uso de la ecuación vectorial de posición: = Sin embargo, los signos de las coordenadas deben definirse visualmente.

II.1 MÉTODO GRÁFICO

Se pueden determinar algunas incógnitas basándonos en la configuración geométrica delmecanismo en el instante presentado.

Este método tiene un cierto margen de error, debido a sus argumentos geométricos, porlo cual en nuestro caso se realizó con la ayuda de Solid Works®.

Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de magnitudes yángulos del mecanismo dada la posición en el instante, con ayuda de herramientasgeométricas.

=

es una ecuación de lazo, los signos de las coordenadas se definen

visualmente.

En el análisis gráfico se mide manualmente las longitudes de vectores posición de puntos desde el origen del sistema de coordenadas. De la misma manera se miden losángulos Midiendo de la figura 3, se obtiene: = = = 6

= 06

Es importante señalar, que este método tiene un error considerable en los resultadosobtenidos, debido a que la obtención de la información fue de manera visual y depende dela habilidad que se tenga con la regla. Como herramienta alternativa se puede utilizaralgún software de CAD, o GeoGebra® para trazarlo y obtener valores más exactos.


6/70

6

Ecuaciones Posición (calculándolos por leyes de triangulos)

Ecuación de lazo 1: = Por ley de Senos = =6 Y por ángulos suplementarios Ф = Ф Ф=6

Ф= Por ley de Cosenos = √ 0

= 06

Figura 3 Método Gráfico


7/70

7

Dado que = = En magnitud = 6


8/70

8

Figura 4. Lazo I

METODO ANALITICO (POSICION)

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido aque representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremosla representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas

cartesianas: = =,Donde: denota la magnitud y su dirección. Nota: En la figura el eje: y=iy.Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizandoel método analítico, se utiliza el desacoplocinemático, que consiste en separar en doslazos el mecanismo a analizar, para plantearlas ecuaciones vectoriales de lazo,respectivamente.

Primero se analizará el lazo I, el cual semuestra en la Figura 4. = (2.1) = (2.2) Dónde, en términos de números complejos:

= Ф

= Ф = *00 + (Dato) En este caso el único ángulo conocido es Ф = 6 0 , por lo que es necesario encontrar elvalor del ángulo Ф, y la longitud que no es constante ya que siempre varía.Desarrollando la ecuación 2.1 se tiene = = Ф Ф (2.3) Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:Ф = Ф Ф (2.4 ) Ф = Ф Ф (2.5)Sustituyendo las ecuaciones (2.4) y (2.5) en (2.3), se obtiene la ecuación de lazo, encoordenadas cartesianas, esto es; para el lazo I.


9/70

9

= Ф Ф Ф Ф Separando en componentes reales e imaginarias:0 = Ф Ф

0 = Ф Ф Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: Ф y para encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica ®1 8.0, y seplantean los valores iniciales: { Ф,0}, * ,1}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.

(*Datos*)rab=.140;rbc=.650;rce=.250;rcd=.400;ref=.350;

(*Sistema de ecuaciones*)f1=rab Cos[ 1]+rbc Cos[ 2 Degree]-rcd Cos[ 3 Degree]-.370 0;

La solución obtenida, es:Ф = 92.7699º = 0.0461341m 1 ® Marca Registrada versión Trial.

= *00+ =0 = 6 0 = = ,- ==,- ,- = ,- ==,- ,- =,*+ *+- = * + ,,- - =,- =,- =

= *00+ = ,- ==,- ,- = ,- ==,- ,- =,*+ *+- = * + ,,- - =,,- =,,--

METODO ANALITICO DE POSICION

Nota 1: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Método Analítico.nb”,

ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8

Figura 5. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones

no lineal, utilizando el comando Solve.(PARA LAZO 1 Y LAZO 2

SIMULTANEAMENTE


10/70

10

Figura 6. Lazo II

Figura 6. Lazo 2 para el método analítico

Ahora que se conocen los ángulos del lazo I y la longitud en ese instante de tiempo,de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior, se obtienen las siguientesecuaciones de lazo: Lazo II.

= (2.7) = *000+ (2.8) Igualando las ecuaciones (2.7) y (2.8)

= *000+ (2.9)

Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler.

= Ф = Ф Ф = Ф = Ф Ф La ecuación (2.9) se puede reescribir de la siguiente forma:

*00+ = Ф Ф (2.10) Separando la ecuación (2.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienendos ecuaciones: = Ф Ф (2.10a) 0 0 = Ф Ф (2.10b)


11/70

11

Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuacionesanterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es lacorredera D, y el ángulo Ф, auxiliándose nuevamente con el software WolframMathematica® 8.0.

El código se encuentra en la figura 5 junto con el lazo 1

La solución obtenida es: Ф = -13.475º = 0.168938 m

II.3 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA (POSICIÓN)

Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformaciónlineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformaciónrepresenta una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre unarotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformaciónes la siguiente: , donde el punto “” significa todo el espacio vectorial , y laletra = es un parámetro de rotación que contiene la información de lacantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico delos componentes del parámetro son los siguientes: = = .La transformación está definida como: = || * + , y donde es elvector a rotar y tiene componentes

= , por otro lado la norma

|| = se

vuelve unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación binaria , se define como: = Siendo ,Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguienteecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:

=

= 1) Definir el problema:Cinemática Directa: Dados como datos se debe hallar , quesatisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal aresolver.


12/70

12

Figura 7. Definición de bases locales y fija .

Cinemática Inversa: Dados como datos . Se debe hallar los parámetrosp y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver.Síntesis: dados como datos: y encontrar: , se obtendrá unsistema de ecuaciones lineal.

2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cadabase respecto a la base inercial y construir los vectores de posición.

3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación delazo.

Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que seobtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que sonsensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valoresiniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistemade ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior,permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dosconjuntos de soluciones posibles.

1) Planteamiento del problema.

Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y laslongitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto F.

2) Definición de las bases.


13/70

13

En este punto, se define la base global (inercial) alineado paralelamente al sistema de

coordenadas xy, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Esimportante hacer coincidir paralelamente el vector = de cada base concada eslabón del mecanismo. Número de bases locales: n=4.

Base Inercial: = * + = *0+ = *0+ Bases móviles: = * +

= * +

= * + = = = = = = Datos:

= 0 ,

= ,

= 00 ,

Ф = 6 0

Entonces: ̅ =*0+ ̅ = = ̅ = = Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones.

̅ = ̅ ̅ Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:

= 0 (2.12)Separando en componentes la ecuación (2.11): = = 0


14/70

14

La ecuación auxiliar que falta es (2.12):

= Donde y son conocidas, ya que = 6 0 :

= = 0 ==0660Por lo tanto, las variables a determinar son: , , Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3incógnitas, es el siguiente: = = 0

= Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {q1,-0.017}, {q2,0.99}, {rba,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculaspara representarlos en el programa, (ver figura 9).

CINEMATICA DIRECTA

(*El método para rotar*)

Ro[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]};e={1,0};

Ф=60 ;

p1=Cos[Ф Degree];

p2=Sin[Ф Degree];

p={p1,p2}; q={q1,q2}; s={s1,s2};

e1=Ro[p,e]; e11=Ro[q,e]; e111=Ro[s,e];

rbc=4; rbd=15; b1={2.5,0}; b2=rbc*e11; b3=rbd*e111; b4=rba*e1; b5={rcdx,0.5};

(*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *)

f1=b4[[1]]==b1[[1]]+b2[[1]];

f2=b4[[2]]==b1[[2]]+b2[[2]];

f3=q1^2+q2^2==1;

R=Solve[{f1,f2,f3},{q1,q2,rba}]; R1={rba,q1,q2}/.R[[2]]; R[[2,1]](*rba*); R[[2,2]](*q1*);

R[[2,3]](*q2*); rba=R1[[1]]; q1=R1[[2]]; q2=R1[[3]]; 2=ArcCos[q1];

Ф2=ArcSin[q2];

(*la ecuacion de lazo 2 es b5 = b2 + b3 *)

f4=b5[[1]]==b2[[1]]+b3[[1]];

f5=b5[[2]]==b2[[2]]+b3[[2]];

f6=s1^2+s2^2==1;

R2=Solve[{f4,f5,f6},{s1,s2,rcdx}];Rr={rcdx,s1,s2}/.R2[[2]];

Nota 2 : El código mostrado a continuacion, se encuentra en el archivo llamado “posición

analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigosmathematica 8


15/70

15

Ahora de define la ecuación de lazo 2 y se representa en un sistema de ecuaciones.

̅ = ̅ ̅ Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:0 = (2.11)Separando en componentes la ecuación (2.11):

=

0 = La ecuación auxiliar que falta es (2.12): =

Donde y son conocidas, ya que Ф = (fue lo que se encontró primero): = Ф =00 = Ф =0Por lo tanto, las variables a determinar son:

,

,

Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3incógnitas, es el siguiente: = 0 = = Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {s1,-0.017}, {s2,0.99}, {rcdx,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculas

para representarlos en el programa, (ver figura 8).

Figura 8 Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones

polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el

comando FindRoot[]. Para ambos lazos.


16/70

16

MÉTODO MATRICIAL (POSICIÓN)

Se tiene la ecuación del lazo 1

=

=*00+ 0 Ф Ф=0 0 Ф Ф=0 =

= ̇ ̇ 0

Y para el lazo II del mecanismo se tiene

= 0 ФФ= 0 ФФ=00 Mathematica® 8.0 nos muestra los siguientes resultados al sistema de ecuaciones de 2X2por medio del siguiente código. =6

= 6

Ф= Ф=6 Estos resultados coinciden con los obtenido mediante el método analítico.

rcb=4;

=60;rbd=15;

f1= (rcb*Cos[

2 Degree])-rab*Cos[

Degree]

-2.5;

f2= rcb*Sin[

2 Degree] - rab *Sin[

Degree]

0;

f3= rab*Cos[

Degree]+rbd*Cos[

3 Degree]

rd;

f4=rab*Sin[

Degree]+rbd*Sin[

3 Degree]

0.5;

Solve[{f1,f2,f3,f4},{2,rab,3,rd}]

Nota 3: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Analítico.nb”,

ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8


17/70

17

Figura 10. Polígono de velocidad para el lazo 1

II.1 MÉTODO GRÁFICO (VELOCIDAD)

Ecuaciones de Velocidad

Se tiene que

=0 Y

=

=6 ⁄ Ecuación de Lazo I =

Ecuación de Lazo II

Figura 9 Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones


comando FindRoot . Para ambos lazos.


18/70

18

Figura 11. Polígono de velocidad para el lazo 2

Figura 12 Polígono de velocidades para el lazo 3

=

Ecuación de Lazo III =

Nota: =


19/70

19

Resultados Medidos en GeoGebra® =6 ⁄ =6 ⁄ =06 ⁄ =6 ⁄


20/70

20

Figura 13. Polígono de velocidad y velocidades angulares del lazo I,

para el método analítico

III.2 MÉTODO ANALÍTICO (VELOCIDAD)

LAZO I

Para obtener las velocidades angulares del mecanismo se utilizan las siguientesecuaciones vectoriales de velocidad:

=

= (3.2) Donde ⁄ y ⁄ , se leen como velocidad relativa del punto B con respecto al punto C yvelocidad relativa del punto B con respecto al punto D, respectivamente.

Recordando que la velocidad relativa es el vector diferencia entre los vectores develocidad de dos objetos o puntos, medidos desde un mismo sistema coordenado, comopuede observarse del polígono de velocidad formado en el origen O1 mostrado en la figura12.

Es importante señalar también que la velocidad

⁄, es en realidad la velocidad absoluta

del punto C.

Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:

= Ф = Ф


21/70

21

Figura 14. Polígono de velocidades del lazo 2

La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición de los puntos delmecanismo, por lo tanto:

= Ф

⁄ = Ф

Utilizando la representación de Euler se obtiene:

Ф = Ф Ф Ф = Ф Ф En este caso la velocidad del punto D en el eje y es cero, ya que sólo se puede deslizaren el eje x.

= Ф = Ф Ф Ф Ф

(3.3)

Separando en componentes la ecuación (3.3), toma la forma siguiente = Ф Ф = 0 = Ф Ф (3.5)

LAZO II = (3.6)La velocidad es una diferencia de velocidades, y se lee: diferencia de velocidad delpunto B de la barra BC, mirándola desde el punto B de la barra BA


22/70


23/70

23

Figura 16 Bases de Rotación método algebra compleja

III.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA

DEFINICIÓN DE LAS BASES

Número de bases: 3

Base Inercial: = * + = *0+ = *0+

=60;

2=92.77;

3=-13.4749;

rba=4.61; rcb=4; rbd=15; wba=10;(*planteando la ecuación de lazo 1 Vbcac=Vb-Vba*)

f1=-Vbcba Cos[

Degree]

-rcb wcb Sin[

2 Degree]+rba wba Sin[

Degree];

f2=-Vbcba Sin[

Degree]

rcb wcb Cos[

2 Degree]-rba wba Cos[

Degree];R=Solve[{f1,f2},{Vbcba,wcb}]; R1={Vbcba,wcb}/.R[[1]] Vbcba=R1[[1]];

wcb=R1[[2]];(*planteando la ecuación de lazo 2 Vd=Vbc-Vbd*)vd={vdx,0};

f3=vd[[1]]

-rcb wcb Sin[

2 Degree]+rbd wbd Sin[

3 Degree];

f4=vd[[2]]

rcb wcb Cos[

2 Degree]-rbd wbd Cos[

3 Degree];

RR=Solve[{f3,f4},{vdx,wbd}];R2={vdx,wbd}/.RR[[1]] wbd=R2[[2]];

igura 15 Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones


comando FindRoot[]. Para ambos lazos.


24/70

24

Figura 17. Polígono de velocidad lazo I

Base móviles:

= =

= =

= = Datos: = 0 , = , = 00 , Ф = 6 0 Entonces:

̅ =*0+

̅ = =


25/70

25

Figura 18. Polígonos de velocidad lazo 3

̅ = = ̅ = =

Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales: =*0 + =*0 + =*0 +

Para establecer el sistema de ecuaciones se define (ver Fig.14):

⃗ = ⃗ ⃗ (3.28)

= ⃗ ⃗ ⃗ = ̅ 1 = *0 + * + ⃗ = ̅ 1 = *0 + * +

(3.31)

Además: = 0 Sustituyendo las ec. (3.29), (3.30) y (3.31) en la ecuación (3.28): = * + * +


26/70

26

Separando en componentes: = = En la Figura 14, se muestran los vectores de velocidad y el polígono de velocidadesformado en 02, del cual se obtiene:

La ecuación de velocidad para el lazo 2 es = (3.34) Además: = * + = * +

= *0+ (3.38)Sustituyendo las ec. (3.31), (3.37) y (3.38) en la ec. (3.36) se obtiene: = * 0+ = * + * + Separando en componentes la ecuación anterior: =

= 0(3.40)

Por lo tanto se tiene un sistema lineal de 4x4 = = = = 0Donde las incógnitas son:

,

,

,

Nota 5: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Algebra

Compleja.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8


27/70

27

METODO MATRICIAL VELOCIDAD

Derivando las ecuaciones de la posición en ambos lazos con respecto al tiempo se tienenlas siguientes ecuaciones.

Lazo I

= 0

= *0+

= *0+

= *0+

= , - =,- =,- =,- = = *0+

=,- ==,- ,- =,- ==,- ,-

=,*+ *+- =*+,,- - = ,- =,-

=,- ==,- ,-

=,- ==,- ,-

=,*+ *+- = * + ,,- - =,,--=,,--

Figura 19. Código en Mathematica 8.0 para resolver un sistemas de ecuaciones polinomialesutilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. En el métodoalgebra compleja de velocidad para ambos lazos


28/70

28

Ф ̇ Ф Ф=0 Ф ̇ Ф Ф=0 En forma matricial.

Ф ФФ Ф ̇ 1 = ФФ = [

̇] = ФФ Ф ФФ Ф

Resultados que resultan utilizando el software de Mathematica® 8.0 ̇ = 6 ⁄ = 6

Lazo II Ф ̇ Ф = Ф Ф ̇ Ф = Ф En forma matricial

Ф Ф 0 1 = ̇ Ф Ф ̇ ФФ (2.3)

= 06 = 66

El siguiente código desarrollado en Mathematica® 8.0 resuelve la matriz (2.3)

Nota 6: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “ Metodo

Matricial .nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigosmathematica 8


29/70

29

Y los resultados desplegados son los siguientes:

= 06

= 66 ⁄

rbc=4;

=60;rab=4.61341;

2=92.76985; wab=10;

3 =-13.475042521701134;

rbd=15;l=Inverse[{{-rbc*Sin[

2 Degree],-Cos[

Degree]},{rbc*Cos[

2

Degree],-Sin[

Degree]}}];

a=l.{-rab*Sin[

Degree],rab*Cos[

Degree]}; wbc=wab*a[[1]] Vab=wab*a[[2]]

g=Inverse[{{-rbd*Sin[

3 Degree],-1},{rbd*Cos[

3 Degree],0}}];

b={{-Vab*Cos[

Degree]+rab*Sin[

Degree]*wab,-Vab*Sin[

Degree]-rab*Cos[

Degree]*wab}};

a=g.{-Vab*Cos[

Degree]+rab*Sin[

Degree]*wab,-Vab*Sin[

Degree]-rab*Cos[ Degree]*wab};a[[1]]

Figura 20 Código en Mathematica® 8.0 para resolver el método algebra

compleja


30/70

30

COMPARACIÓN DE RESULTADOS

POSICION

Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos ycomparación de los métodos aplicados.

Incógnita MétodoGráfico

MétodoAnalítico

ÁlgebraCompleja 0 0 0 60 6 6 6 6 6 00 0 0

VELOCIDAD

Tabla 2. Despliegue de resultados numéricos y comparación.

IncógnitaMétodoGráfico

MétodoAnalítico

MétodoMatricial

AlgebraCompleja

0.181rad/s 0.181636 rad/s 06 06 6 ⁄ ⁄ 66 ⁄ 66 ⁄

13.7152rad/s 13.7064 rad/s 6 6 ⁄ 6 ⁄ 6 ⁄ 6 ⁄

En la tabla 2 se puede observar que, una vez más, el método gráfico es el que presentaun error mayor, sin embargo la importancia de este método no radica en su exactitud, sinoen que ofrece un visión general del comportamiento del mecanismo, en este caso, ladirección y magnitud de las velocidades de cada eslabón, además de ser un métodosencillo y fácil de realizar.(aumentar conclusiones)

Los métodos de análisis mas confiables resultan ser el matricial, el analítico y el dealgebra compleja ya que al observar la tabla de resultados de posición y velocidad sonmucho mas similares los resultados de estos métodos a comparación del método grafico,sin embargo cabe recalcar que el método grafico es muy importante, ya que nos da un


31/70

31

panorama general para empezar a atacar el problema en la parte de posición y para laparte de velocidad es el método que nos deja visualizar los polígonos de velocidad yaceleración para así obtener las ecuaciones de lazo y descomponerlas por componentespara algunos métodos, es interesante también el método de algebra compleja ya quematemáticamente se resuelve mucho más sencillo a comparación de otros métodos y lametodología en la resolución también es interesante pues está basado en parámetros deeuler, los cuales nos dan mayor precisión en los resultados.

V.4 SIMULACIONES DE VELOCIDAD DEL MECANISMO.

A continuación se presentan las simulaciones generadas por los métodos vistos. Lamanivela gira los 360 grados y se despliegan las posiciones y velocidades delmecanismo: Se despliegan también los vectores de velocidad y se representan enpolígonos de velocidad para aludir el método gráfico. Archivo enC:\Users\User\Desktop\EXAMEN\codigos mathematica 8

FIGURA 21. simulación del mecanismo en mathematica® 8.0 por elmétodo de álgebra compleja


32/70

32

FIN

1 er EXAMEN


33/70

33

Figura 22. Polígono de aceleraciones del lazo 1, montado sobre el punto B

IV. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN

IV.1 MÉTODO GRÁFICO

La ecuación del polígono 1 de aceleración queda de la siguiente manera:

= (4.1)Se conocen algunas magnitudes y direcciones de las aceleraciones , , . Dedonde se puede despejar la aceleración de la barra 2, que es la barra BC: =

Para encontrar la aceleración del punto G se utiliza la fórmula = = (4.2)La velocidad angular del eslabón AG, ω1, es constante, por lo tanto:


34/70

34

Figura 23. Polígono de aceleraciones del lazo 2, montado sobre el punto B

1 0

=

= 00

Ahora se conoce magnitud y sentido de la aceleración del punto G.

Para el lazo 2, de la ecuación vectorial de velocidad = (4.3)

Se deduce = (4.4)Esta ecuación es la base para trazar el polígono de aceleración. Se conoce tantodirección y sentido de las componentes normal de , pero solo se intuye elsentido de sus componentes tangenciales. Para obtener el valor de las componentesnormales de aceleración: = = IV.2 MÉTODO ANALÍTICO

Para el lazo l

Tomando en cuenta la siguiente ecuación vectorial de aceleración que tiene incluida a laaceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones se tiene:

| | Ф ||Ф = (4.5) = Ф Ф (4.6)


35/70

35

= Ф Ф(4.7)El signo negativo de la aceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones es por sudirección en sentido opuesto al eje del sistema de coordenadas al que están alineadas.

Sustituyendo en la ecuación (4.1) las aceleraciones

y

| | Ф ||Ф = Ф Ф Ф Ф (4.8)Utilizando la representación de Euler:

Ф =Ф Ф Ф =Ф Ф Ф =Ф Ф

Separando en componentes reales e imaginarias:

Ф Ф = Ф Ф Ф(4.9) Ф Ф = Ф Ф Ф (4.10)Para encontrar la aceleración del punto G

= ||Ф | | Ф (4.10.1) = Ф Ф (4.10.2) = || (4.10.3)Sustituyendo la representación de Euler en la ecuación (4.10.1)

= (Ф Ф) (Ф Ф) Ф Ф (4.10.4)

Separando en componentes reales e imaginarias:

= Ф Ф Ф (4.10.5) = Ф Ф Ф (4.10.6)Para el lazo 2Partiendo de la siguiente ecuación de aceleración = = (4.11) = Ф Ф (4.12)


36/70

36

= Ф Ф (4.13) Utilizando la representación de Euler:

Ф =Ф Ф Ф =Ф Ф Sustituyendo en la ecuación (4.1):

* 0 + = Ф Ф Ф Ф (4.14)Separando la ecuación anterior en componentes reales e imaginarias

= Ф Ф Ф Ф (4.15)

0 = Ф Ф Ф Ф (4.16)nota 7:El sistema se soluciona con el siguiente código desarrollado en Mathematica ®8.0, el archivo Metodo Analitico.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ Metodo Analitico.nb

Método analítico de aceleración

Ac=2*wba*2.967527123340167;(*planteando la ecuación de lazo 1 Ac+aA4A2=aA4-aA2*)

f11=-(wcb^2)*rcb* Cos[

2 Degree]-

cb*rcb*Sin[

2 Degree]

-

(wba^2)*rab* Cos[

Degree]+Ac* Sin[

Degree]-aA4A2* Cos[

Degree];

f22=-(wcb^2)*rcb* Sin[

2 Degree]+

cb*rcb*Cos[

2 Degree]

-

(wba^2)*rab* Sin[

Degree]-Ac* Cos[

Degree]-aA4A2* Sin[

Degree];(*planteando la ecuación de lazo 2 *)

f33=ad

-(wcb^2)*rcb*Cos[

2 Degree]-

cb*rcb*Sin[

2 Degree]-(wbd^2)*rbd*Cos[

3 Degree]-

bd*rbd*Sin[

3 Degree];

f44=-(wcb^2)*rcb*Sin[

2 Degree]+

cb*rcb*Cos[

2 Degree]-

(wbd^2)*rbd*Sin[

3 Degree]+

bd*rbd*Cos[

3 Degree]

0;(*resolviendo el sitema de ecuaciones*)

R1=Solve[{f11,f22,f33,f44},{

cb,aA4A2,

bd,ad}]

R11={

cb,aA4A2,

bd,ad}/.R1[[1]];

cb=R11[[1]]


37/70

37

Figura 25 Método matricial, a) Lazo I; b) Lazo II

Figura 24. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver el sistemas

de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo mediante el método analítico.

aA4A2=R11[[2]]

bd=R11[[3]]ad=R11[[4]]

IV.3 MÉTODO MATRICIAL CASO 1

Para este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I ylazo II

Ecuaciones de velocidad:

Lazo I

= ̇ ̇ Ф Ф ̇ = 0 (4.17) = ̇ ̇ Ф Ф ̇ = 0 (4.18)Lazo II

= Ф Ф ̇ Ф Ф ̇ ̇ = 0 (4.19)


38/70

38

= Ф Ф ̇ Ф Ф ̇ 0 = 0 (4.20)

Se derivan nuevamente respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración:

Lazo I

= ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ Ф ̇ Ф Ф ̈ = 0 (4.21) = ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ Ф Ф ̇

Ф Ф ̈ = 0 (4.22)

Lazo II

= Ф Ф ̇ ФФ ̈ Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ ̈ = 0 (4.23)

= Ф Ф ̇ ФФ ̈ Ф Ф ̇ Ф ̈ 0 = 0 (4.24)

Reacomodando:

Lazo I

̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ = 0 (4.25) ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ = 0 (4.26)Lazo II

Ф Ф ̇ ФФ ̈ Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ ̈ = 0 (4.27)

Ф Ф ̇ ФФ ̈ Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ 0 = 0 (4.28)Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:


39/70

39

̈ ̈ = ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ .Ф ̇ / ФФ ̈ ФФ = 001 (4.29)

̈ ̈ =.Ф ̇ / (Ф ̈ ) Ф .Ф ̇ / ФФ (Ф ̈ ) ФФ ̈0 1 = 001 (4.30)Teniendo como incógnitas a ̈ , Ф ̈ , Ф ̈ , ̈ Para calcular la aceleración del punto G

Primero definimos su posición:

= Ф (4.30.1) = Ф (4.30.2)Teniendo en cuenta que: = ||

Para calcular la aceleración del punto G se deriva su ecuación de posición con respecta altiempo:

̇ = Ф Ф ̇ ̇ ̇ (4.30.3)

̇ = Ф Ф ̇ ̇ ̇ (4.30.4)

Teniendo en cuenta que: ̇ = ̇ Para encontrar la aceleración se deriva nuevamente con respecto al tiempo:

̈ = Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ ̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ (4.30.5) ̈ = Ф Ф ̇ Ф Ф ̈ ̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ (4.30.6)

Teniendo en cuenta que:

̈ = ̈

Reordenando en forma matricial:

⌊ ̈ ̈ ⌋ = ̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ ФФ (4.30.7)


40/70

40

nota 8: A continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 pararesolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial .nb se encuentraen el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb

V.4 MÉTODO MATRICIAL CASO 2

Lazo 1:

Este caso utiliza el modelo matemático siguiente:

,̈- = ̈,- ̇ ,- Es decir:,̈- = ̈ Ф ̇ Ф

Primero se obtiene el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respectoa las variables a encontrar:

METODO MATRICIAL

Caso 1

r3=0.461;r3p=2.967527123340167;r2=0.4;q=60;qp=10;qpp=0;

2=92.77;

**++

2p=13.706366501502039;(*para resolverlo*)f11=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(-Sin[q Degree]))+((r3pp-r3*(qp^2))*(Cos[q Degree]))+

((r2*(

2p^2))*(Cos[

2 Degree]))+((r2*(

2pp))*(Sin[

2

Degree]))

0;f22=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(Cos[q Degree]))+((r3pp-r3*(qp^2))*(Sin[q Degree]))+

((r2*(

2p^2))*(Sin[

2 Degree]))+((r2*(

2pp))*(-Cos[

2

Degree]))

0;

R1=Solve[{f11,f22},{r3pp,

2pp}]

Figura: 26 Código en Mathematica® 8.0 para resolver las ecuaciones del método

matricial.(caso1)


41/70

41

= [ Ф Ф ]

= Ф Ф

= [ ] = Sustituyendo en la ecuación de velocidad: ,- = ̇1 = , - 1 ,- = Ф =

̇ ̇Ф ̇ = Ф Ф (4.31)

El

= Ф Ф = Ф

Por lo tanto

,- = Ф Ф Ф ,- = Ф Ф Ф

,- = Ф Ф Ф ,- = Ф Ф

,- = Ф = Ф Ф

Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad

= = Ф Ф (Ф ) (4.32)

= Ф Ф

= Ф Ф Ф = Ф = Ф ФФ (Ф) (4.33)


42/70

42

Ф = Ф Ф Ф (Ф )

Ф

= Ф

Ф

Ф

=Ф

Ф

Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda

,̈- = ̈ Ф ̇ Ф ФФ Ф (4.34)

Por último se resuelve el sistema

Para el lazo 2

Con el mismo modelo matemático:

,̈- = Ф ̈ Ф Ф ̇ Ф (4.35)Primero se saca el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto alas variables a encontrar:

=[

Ф Ф ]

= Ф Ф 0

[ ] =

ФФ

,- = Ф = Ф ̇Ф ̇ ̇Ф ̇

= Ф Ф 0 ФФ (4.36)El

=Ф

Por lo tanto

,- = Ф 0 Ф Ф ФФ ,- = Ф Ф Ф Ф Ф Ф


43/70

43

,- = Ф Ф Ф Ф Ф Ф ,- =

Ф

Ф

Ф

Ф

Ф = ФФФ ФФ

Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad:

Ф = Ф = ФФФФФ ̇Ф ̇Ф (4.37)

Ф = ФФ Ф ФФ Ф

Ф = ФФ ФФ

= = ФФФФ ̇Ф ̇ ФФФФ ̇Ф ̇Ф (4.38) = Ф ФФ Ф Ф Ф ФФ Ф

= Ф ФФ Ф ФФ Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda

,̈- = Ф ̈ Ф Ф ̇ Ф

,̈- = Ф ̈ Ф Ф ̇ ФФ Ф Ф1ФФФ Ф ФФ (4.39)

Por último se resuelve el sistema


44/70

44

nota 9: continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 pararesolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial .nb se encuentraen el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb

IV.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA

METODO MATRICIAL

r3=0.461;r2=0.4;r4=1.5;q=60;qp=10;

2=92.77;

2p=13.706366501502039;

3=-13.4749;(*los coeficientes de velocidad*)

kr3=-r3*Tan[(

2-q) Degree];

kt3=(r3/r2)*(1/Cos[(

2-q) Degree]);

(*los coeficientes de aceleración*)lr3=((kr3^2)/r3)+((r2^2)/r3)*(kt3^2)*(1-kt3);lt3=((kr3*kt3)/r3)*(2-kt3);(*del lazo 2*)

k

3=-(r2/r4)*(Cos[

2 Degree]/Cos[

3 Degree]);

kx=(r2*Sin[(3-2) Degree])/(Cos[3 Degree]);l

3=(r2/r4)*(((Sin[

2 Degree])/(Cos[

3

Degree]))+((r4/r2)*(k

3^2)*Tan[

3 Degree]));

lx=(r2)*((Cos[(

3-

2) Degree])*(1/Cos[

3 Degree])*(k

3-

1)+((kx/r2)*(Tan[

3 Degree])*k

3));(*resolviendo el sistema simultaneamente*)

f1=r3pp

(qp^2)*(lr3);

f2=

2pp

(qp^2)*(lt3);

f3=

3pp

2pp*k

3+(

2p^2)*l

3;

*

^ *

FIGURA 27 Código en Mathemaica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método

matricial caso 2.


45/70

45

Figura 28. Definición de la bases de rotación inercial y locales móviles

Base inercial: = {1,0} = {0,1} Bases móviles: = =

= = = = = Datos: Ф = 6 0 =06 = 0

=

= 00

Entonces:

̅ =*0+ ̅ = = ̅ = =


46/70

46

̅ = = Para el método de álgebra compleja se forma la ecuación de lazo, en este caso semultiplica por un número dual que contiene la aceleración normal y la aceleracióntangencial del mecanismo. Para el lazo 1:

| | || = (4.40)Donde los números duales de aceleración son: = * + =* + = ̅ (4.41) =, ̅ - (4.42)| | =

(4.43)

Sustituyendo las ecuaciones (4.41), (4.42) y (4.43) en la ecuación (4.40)|| || = || || =, ̅ - ̅ Para calcular la aceleracion del punto G su ecuación queda de la siguiente forma: = | | || (4.40.1)

El numero dual de aceleración es:

= * + (4.40.2) = ̅ (4.40.3) = * + (4.40.4)Donde: = || & ̅ = =

Ya que se tienen las ecuaciones del lazo I se calculan las del lazo II: = (4.44)* 0+ = ̅ ̅ Los números duales de velocidad =* + =* + = ̅ (4.45)


47/70

47

Figura 29. Polígono de aceleración Lazo I

= ̅ (4.46)Cabe mencionar que la aceleración que pertenece al bloque que se desliza,solo tiene una componente en x, ya que solo puede moverse en este sentido

= *

0+

Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: nota 10: Este sistema se resuelve con Mathematica ®8.0, el archivoaceleracion_metodo_algebra_c.nb se encuentra en el siguiente directorioMecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica

analisis de posición

cinematica directa

Ro[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]],P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]};

e={1,0};

=60 ;

p1=Cos[

Degree];

p2=Sin[

Degree]; p={p1,p2};q={q1,q2};s={s1,s2};e1=Ro[p,e];e11=Ro[q,e];e111=Ro[s,e];rbc=0.4;rbd=1.5; b1={0.25,0}; b2=rbc*e11; b3=rbd*e111; b4=rba*e1; b5={rcdx,0.05};

(*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *)f1=b4[[1]]

b1[[1]]+b2[[1]];


48/70

48


49/70

49

**00006060006006000066+*06060606060006060060000+*60006060006006000066+*66060606060006060060000++

rcdx=R1[[4]]

3=ArcCos[s1]

3=ArcSin[s2](*g=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b4}], AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b4,b5}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{{0,0},b4}]}];Show[g,AxesTrue,PlotRange{{20,-20},{20,-20}}]*)

cinematica inversai=0;

For[

1=1,

1

360,

1+=2,i++;Clear[Q1,Q2,S1,S2,rba1,rcdx1];

P1=Cos[

1 Degree];

P2=Sin[

1 Degree];

P={P1,P2};Q={Q1,Q2};S={S1,S2};a1=Ro[P,e1];a11=Ro[Q,e11];a111=Ro[S,e111]; b22=rbc*a11; b33=rbd*a111; b44=rba1*a1; b55={rcdx1,0.5};(*estableciendo la ecuacion de lazo 1 b44=b1+b2*)

h1=b44[[1]] b1[[1]]+b22[[1]];h2=b44[[2]]

b1[[2]]+b22[[2]];

h3=Q1^2+Q2^2

1;(*estableciendo la ecuacion de lazo 2 b5=b2+b3*)

h4=b55[[1]]

b22[[1]]+b33[[1]];

h5=b55[[2]]

b22[[2]]+b33[[2]];

h6=S1^2+S2^2

1;


50/70

50

**6060060606666606++

k1={rba1,rcdx1,S1,S2,Q1,Q2}/.k[[4]];rba1=((k1[[1]])*(k1[[1]]))^(1/2);rcdx1=((k1[[2]])*(k1[[2]]))^(1/2);S1=k1[[3]];S2=k1[[4]];Q1=k1[[5]];Q2=k1[[6]];

gk[i]=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b44

}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b44,b55}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{{0,0},b44}]}]; punto[i]=Graphics[{

{PointSize[0.002],RGBColor[1,0,0],Point[{b55,0.5}]}}];];

x=Norm[b22]x1=Norm[b33]

Manipulate[Show[gk[t],Table[punto[u],{u,1,t}],Axes

True,Pl

otRange

{{-20,20},{-10,10}}],{t,1,i,1}]

analisis de velocidad

w1=10; W1={0,w1}; W2={0,w2}; W3={0,w3};e1=Ro[p,e];vba=Ro[W1,b4];vbc=Ro[W2,b2];

vbd=Ro[W3,b3]; Vbcab=-vbcab*e1;vd={vdx,0};(*estableciendo la ecuacion de lazo 1*)ff1=Vbcab[[1]]==vbc[[1]]-vba[[1]];ff2=Vbcab[[2]]==vbc[[2]]-vba[[2]];(*estableciendo la ecuacion de lazo 2*)ff11=vbc[[1]]==vbd[[1]]+vd[[1]];ff22=vbc[[2]]==vbd[[2]]+vd[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*) V=Solve[{ff1,ff2,ff11,ff22},{w2,vbcab,w3,vdx}] Vv={w2,vbcab,w3,vdx}/.V[[1]]; w2=Vv[[1]]vbcab=Vv[[2]] w3=Vv[[3]]vdx=Vv[[4]]


51/70

51

{*0600600660000+}

w1=10;

1=0;e2={0,1};

e22=Ro[p,e2];(*numeros duales de aceleracion*)

A2={-(w2^2),

2};

A1={-(w1^2),

1};

A3={-(w3^2),

3};a2=Ro[A2,b2];a1=Ro[A1,b4];a3=Ro[A3,b3]; Ac=2*w1*vbcab; Aco=Ac*e22;adif=aA2A1*e1;

ad=-Ad*e; Norm[b2];(*planteando la ecacion de aceleracion con coriolis*)fa1=-Aco[[1]]-adif[[1]]==a2[[1]]-a1[[1]];fa2=-Aco[[2]]-adif[[2]]==a2[[2]]-a1[[2]];(*para el lazo 2 *)fa3=ad[[1]]==a2[[1]]+a3[[1]];fa4=a2[[2]]+a3[[2]]==ad[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*)

A=Solve[{fa1,fa2,fa3,fa4},{aA2A1,

2,Ad,

3}]

A1={aA2A1,

2,Ad,

3}/.A[[1]];

aA2A1=A1[[1]]

2=A1[[2]] Ad=A1[[3]]3=A1[[4]]

l=1;rg=l-rba; bg=rg*e1; Vbcab=-vbcab*e1; Vgb=Ro[W1,bg]; Vg={vgx,vgy};(*ecuaciones para la velocidad de G*)

fg1=Vg[[1]]

Vbcab[[1]]+Vgb[[1]];


52/70

52

Tabla 3. Despliegue de resultados numéricos de aceleración y comparaciones

de los métodos utilizados

Método Gráfico Método Analítico Algebra Compleja Método

Matricial(caso2)

0 0 0 00 06 0 0 6 066 0 60 06 06 En la tabla 3 se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis

para aceleración se puede notar como el método de álgebra compleja y matricial sevuelven más complicados, por lo cual se requiere más tiempo para su análisis, por otrolado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida de entender pero con ladesventaja de no ser un método de precisión y exactitud.

TRABAJO VIRTUAL

Para este análisis se utilizará el modelo matemático del trabajo virtual, el cual es:

= O también de la siguiente forma: = Donde:: Se llama trabajo virtual.: es el vector que apunta al punto de aplicación de la fuerza.

**66600000666066600660++

(*para la aceleracion de G*)ag={agx,agy};agb=Ro[A1,bg];fg3=-Aco[[1]]-adif[[1]]+agb[[1]]==ag[[1]];fg4=-Aco[[2]]-adif[[2]]+agb[[2]]==ag[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*)G=Solve[{fg1,fg2,fg3,fg4},{vgx,vgy,agx,agy}]

Figura 30. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del análisis de

aceleración, tomando en cuenta velocidad y posición


53/70

53

Figura 31. Esquema del modelado del trabajo virtual.

: es el número de eslabones.: es una fuerza física.: Desplazamiento angular virtual: es un momento aplicado al eje de giro, medida por .

La posición de la fuerza aplicada a nuestro mecanismo es:= = Los desplazamientos se obtienen derivando las coordenadas de la posición del puntodonde se aplica la fuerza:

= = Para el análisis con gravedad se utilizan los desplazamientos de los centros de gravedadde cada uno de los eslabones y de los bloques, por lo tanto también se deben deestablecer las coordenadas de estos centros de masa:

= =


54/70

54

= Ф = ФФ = Ф = ФФ

=

=

Donde:: indica la coordenada en y de la barra 1 es decir la barra AB: indica la coordenada en y de la barra 2 es decir la barra BC: indica la coordenada en y de la barra 3 es decir la barra BD: indica la coordenada en y del bloque 1Es importante mencionar que como la fuerza solo tiene una componente en el eje y, bastacon encontrar las coordenadas en y de los centros de gravedad y los puntos de aplicación

de la fuerza.Para el caso sin gravedad solo se requerirá conocer las coordenadas del punto deaplicación de la fuerza. Sustituyendo en la ecuación del trabajo virtual e igualando a 0para mantener en equilibrio el sistema:

00 = 0 ( ) Por lo tanto:

=

Con un momento de 3 N.m

La fuerza = 6 Ahora considerando la fuerza de gravedad igual a 9.81

:00 = 0 () ФФ ФФ

Utilizando los coeficientes de velocidad:

Ф = Ф Por lo tanto:

Ф = Ф = Ф


55/70

55

De igual forma: Ф = Ф Por lo tanto:

Ф = Ф = Ф Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación del trabajo virtual:

00 = 0 ( ) ФФ ФФ Se despeja la fuerza que mantiene en equilibrio al sistema

= ФФ ФФ Por último se sustituyen las masas, las longitudes de cada barra, el momento y loscoeficientes de velocidad que se obtuvieron del método matricial. = 0


56/70

56

REACCIONES

BIELA-MANIVELA

= = = = = = ̈ ∑ = = ̈ ̈ =̈ ̇ SEGUIDOR

= = = = ∑ = = ̈

= = ̈

BIELA

= = = = ∑ = = ̈ ∑ = = ̈

̈ = ̈ ̇ COLLARIN = =

Fig 1. Diagrama de cuerpo libre de la

biela manivela

Fig 2.Diagrama de cuerpo libre para el segu

Fig 3.Diagrama de cuerpo libre para la biela


57/70

57

∑ = = = =

∑

= = CORREDERA = = = = = =

= = = = = 0

Fig 4.Diagrama de cuerpo libre para elcollarin

Fig 5. Diagrama de cuerpo libre para edeslizador


58/70

58

Figura 32. Esquema del modelo dinámico con resorte amortiguador.

MODELO DINÁMICO(RESORTE- AMORTIGUADOR)

Los datos del mecanismo son los siguientes:

= = = =

= = 0 =0 =


59/70

59

=00 = = 0

Análisis de Posición

= =

=

Coeficientes cinemáticos de Velocidad

= =

=

=

Coeficientes cinemáticos de Aceleración

= =

=

=

Coeficientes de Velocidad de los centros de masa de cada eslabón

Eslabón 1

=


60/70

60

= = = = =

= = ( )

= = ( ) =

= ( ) =

= = = ( ) = = = 0

= 0 Por lo tanto la Inercia generalizada se puede expresar como:

= { } 〈 〉 ( ) { } 〈 〉


61/70

61

Y se define

=

= {

} {

} {

} { } { } = * + = ̇

Sustituyendo las expresiones en la ecuación fundamental de la dinámica :

̈ =

̇

COEFICIENTES DE VELOCIDAD DELOS CENTROS DE GRAVEDAD

Para la colisa = ̇ = ̇ = = , - = ̇ = ̇

= = ,

-

Para la barra actuada

= ̇ = ̇


62/70

62

= = = ̇ = ̇

= = Para la biela = ̇ = ̇ ̇ = = , -

= ̇ = ̇

̇

= = , - Para el deslizador

= ̇ = ̇ ̇ = = , -

= ̇ = ̇ ̇

= = , - Para la corredera

= ̇ =̇ ̇ = = , - = ̇ = ̇ ̇ = = , - La matriz de reacciones


63/70

63

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[

]

=

̇ ̈ ̈ 0


64/70


65/70

65

F12


66/70

66

F42

F43


67/70

67


68/70

68

F46


69/70

69

F56


70/70

F15

116630371 analisis de posicion de mecanismos planos

Documents