11_diferenciales

8/19/2019 11_Diferenciales

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Diferenciales

La derivada de una función y = f (x ), puede aproximarse como una

relación de dos cantidades, dx y dy , donde dy = f

0

(x )dx

Entonces, f 0(x ) puede interpretarse como el factor deproporcionalidad entre dos cambios …nitos dy y dx , que se denominan

diferenciales de x y y , respectivamente.() 1 / 18

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DiferencialesAplicación

Elasticidad puntual

Dada una función de demanda Q = f (P ), su elasticidad se de…necomo (∆Q /Q )(∆P /P ).

Siendo que ∆Q y ∆P pueden aproximarse a través de sus diferencialesdQ y dP , entonces se puede obtener la noción de elasticidad puntual

de la demanda, a través de la siguiente expresión

εd dQ /Q

dP /P =

dQ /dP

Q /P

Se puede notar que la elasticidad puntual de la demanda εd representa una relación entre la función marginal y la funciónpromedio de la función de demanda

εxy = dy /dx

y /x =

función marginal

función promedio

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Diferenciales

Examples1 Si la función de demanda es Q = 100 2P , la elasticidad puntual

viene dada por la siguiente forma

εd =

dQ /dP

Q /P =

21002P

P

=

P

50 P

2 Si la función de oferta es Q = P 2 + 7P , determine si dicha función eselástica en P = 2

εs =

dQ /dP

Q /P =

2P + 7

P + 7Cuando P = 2, εs = 11/9 > 1, por lo que en dicho punto la oferta eselástica.

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Diferenciales

Problem

1 Determine la diferencial dy, dado 1 y = x (x 2 + 3)2 y = (x 8)(7x + 5)3 y = x /(x 2 + 1)

2 Dada la función de consumo C = a + bY (con a > 0; 0 < b < 1)

1 Halle la elasticidad ingreso del consumo εCY , y determine su signo asumiendo que Y > 0.

2 Demuestre que la función de consumo es inelástica en todos los niveles de ingreso positivo.

3 Encuentre la elasticidad puntual de la demanda, dado Q = k /P n ,donde k y n son constantes positivas

1 La elasticidad depende del precio? 2 Si n = 1, cuál es la forma de la curva de demanda?, cuál es la

elasticidad puntual?

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Diferenciales totales

El concepto de diferencial puede ampliarse a una función de dos omás variables independientes.

Si se tiene una función de ahorro S = S (Y , i ), que se supondecontinuamente diferenciable (S 2 C 0), cualquier cambio en Y (dY ) oen i (di ), provocará un cambio total en S , que se aproxima por la

diferencial

dS = ∂S

∂Y dY +

∂S

∂i di

dS = S Y dY + S i di

La expresión dS se denomina diferencial total, mienstras que lossumandos de los cambios aproximados de ambas fuentes sedenominan diferenciales parciales.

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Para un caso más general, sea la función de utilidad

U = U (x 1 , x 2 , ..., x n )

La diferencial total de esta función se puede expresar

dU = ∂U ∂x 1

dx 1 + ∂U ∂x 2

dx 2 + + ∂U ∂x n

dx n

dU = U 1dx 1 + U 2dx 2 + + U ndx n = ∑ n

i =1 U i dx i

De manera análoga, se pueden obtener elasticidades parciales parafunciones de varias variables

εSY = ∂S /∂Y

S /Y εSi = ∂S /∂i

S /i εUx i = ∂U /∂x i

U /x i

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Examples1 U (x 1 , x 2) = ax 1 + bx 2

dU = a dx 1 + b dx 2

2 U (x 1 , x 2) = x 21 + x 32 + x 1x 2

dU = (2x 1 + x 2) dx 1 +

3x 22 + x 1

dx 2

3 U (x 1 , x 2) = x a1 x b 2

dU =

ax a1 x

b 2

x 1

dx 1 +

bx a1 x

b 2

x 2

dx 2

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Problem1 Encuentre la diferencial total dado

1 z = 3x 2 + xy 2y 3

2 U = (x 3y )3

2 La función de oferta de cierto artículo es Q = a + bP 2 + R 1/2 (a < 0, b > 0) [R: lluvia]

Determine las elasticidades de la oferta con relación a los precios y ala lluvia.

3 La demanda exterior para nuestra exportaciones X depende del ingreso exterior Y f y de nuestro nivel de precios P : X = Y 1/2f + P

2.

Encuentre la elasticidad parcial de la demanda exterior para nuestras exportaciones respecto a nuestro nivel de precios.

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Reglas de diferenciales

Sea k una constante y u , v y w tres funciones. Entonces las siguientesreglas son válidas

Regla I dk = 0

Regla II d (cu n ) = cnu n1du

Regla III d (u v ) = du dv

Regla IV d (uv ) = vdu + udv

Regla V d

u v

= 1

v 2 (vdu udv )

Regla VI d (u v w ) = du dv dw

Regla VII d (uvw ) = vwdu + uwdv + uvdw

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Examples1

2 y = 5x 21 + 3x 2

dy = d (5x 21 ) + d (3x 2) = 10x 1dx 1 + 3dx 2

3 y = 3x 21 + x 1x 22

dy = d

3x 21 + d

x 1x

22

= 6x 1dx 1 + x 22 dx 1 + x 1d (x 22 )=

6x 1 + x

22

dx 1 + 2x 1x 2dx 2

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ExampleSea y =

x 1 + x 22x 21

dy =

1

4x 41

2x

2

1 d (x 1 + x 2)

(x 1 + x 2) d (2x

2

1 )

= 1

4x 41

2x 21 (dx 1 + dx 2) (x 1 + x 2) 4x 1dx 1

= 1

4x 412x 1 (x 1 + 2x 2) dx 1 + 2x 21 dx 2

= (x 1 + 2x 2)

2x 31dx 1 +

1

2x 21dx 2

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Derivadas totales

Sea y = f (x , w ) y además x = g (w ), entonces, diferenciandototalmente a y , y dividiendo entre dw , se obtiene

dy = f x dx + f w dw

dy dw

= f x dx dw

+ f w

donde f x = ∂f /∂x y f w = ∂f /∂w

El proceso de hallar dy /dw (la derivada total) se conoce como

diferenciación total de y respecto a w .

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Derivadas totales

Examples

1

Sea y = f (x ,

w ) = 3x w 2

donde x = g (w ) = 2w 2

+ w + 4

dy

dw = 3(4w + 1) + (2w ) = 10w + 3

2 Sea la función de utilidad U = U (c , s ), donde c es la cantidad decafé consumido y s es la cantidad de azúcar consumida y otra funcións = g (c ) que indica la complementariedad entre estos dos artículos,entonces podemos escribir la función compuesta

U = U [c , g (c )]

de la cual se deduce que

dU

dc =

∂U

∂c +

∂U

∂g (c )g 0(c )

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Derivadas totales

Sea ahora, y = f (x 1 , x 2 , w ) donde x 1 = g (w ) y x 2 = h(w ), entoncesla derivada total respecto a w será

dy dw

= ∂y ∂x 1

dx 1dw

+ ∂y ∂x 2

dx 2dw

+ ∂y ∂w

= f 1dx 1dw

+ f 2dx 2dw

+ f w

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Derivadas totales

Example

Sea la función de producción

Q = Q (K , L, t )

El argumento t indica que la función de producción puede cambiar con el

tiempo en respuesta a cambios tecnológicos. Puesto que el capital y lamano de obra también pueden cambiar con el tiempo, podemos escribirK = K (t ) y L = L(t ). Entonces, la tasa de cambio de la producciónrespecto al tiempo podemos expresarla, de acuerdo a la siguiente expresión

dQ dt

= ∂Q ∂K

dK dt

+ ∂Q ∂L

dLdt

+ ∂Q ∂t

dQ

dt = Q K K

0(t ) + Q LL0(t ) + Q t

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D i d l

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Derivadas totales

Sea ahora, y = f (x 1 , x 2 , u , v ) donde x 1 = g (u , v ) y x 2 = h(u , v ),entonces la derivada total de respecto a u será

dy

du =

∂y

∂x 1

dx 1du

+ ∂y

∂x 2

dx 2du

+ ∂y

∂u

du

du +

∂y

dv

dv

du

= ∂y

∂x 1

dx 1

du

+ ∂y

∂x 2

dx 2

du

+ ∂y

∂u

[dado que dv

du

= 0]

Nótese que como x 1 y x 2 son funciones de varias variables, entoncesdx 1du y

dx 2du representan sus respectivas derivadas parciales

∂x 1∂u y

∂x 2∂u .

Asimismo, siendo que y no sólo depende de u sino también de v ,

entonces

dy

du es la derivada parcial total de y con respecto a u , la cualse puede denotar como §y §u . Por tanto

§y

§u =

∂y

∂x 1

∂x 1∂u

+ ∂y

∂x 2

∂x 2∂u

+ ∂y

∂u

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D i d l

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Derivadas totales

Problem1 Encuentre la derivada total dz /dy, a partir de

z = (x + y )(x 2y ), donde x = 2 7y

2 Determine la deriva total dz /dt, a partir de

z = f (x , y , t ), donde x = a + bt y y = c + kt

3 Halle la tasa de cambio de producción respecto al tiempo, si lafunción de producción es Q = A(t )K αL β, donde A(t ) es creciente en

t, y K = K 0 + at, y L = L0 + bt.4 Obtenga las derivadas parciales totales §W /§u y §W /§v si

W = ax 2 + bxy + cu, donde x = αu + βv y y = γu

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