CAPÍTULO DIEZEstudios de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

a1) Concepto de estabilidad. Para entender correctamente el concepto de estabilidad, es necesario conocer las partes que integran una máquina síncrona dado que los estudios de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia son fenómenos electromecánicos que se caracterizan por la aparición de movimientos pendulares en los rotores y movimientos oscilatorios en las magnitudes eléctricas.

Partes de la Máquina Síncrona. Recordemos que el principio de funcionamiento de esta máquina es la Ley de la Fuerza de Lorenz de la cual se deriva la Ley de Inducción de Faraday y la Ley de la Fuerza sobre una Corriente dentro de un Campo Magnético. Es por ello que la máquina síncrona está conformada por un circuito magnético en el que se localizan fuerzas magnetomotrices y elementos mecánicos estáticos y rotatorios:

Núcleo magnético cilíndrico hueco con ranuras longitudinales en su superficie interna para alojamiento del devanado de armadura; estator.

Núcleo magnético cilíndrico sólido con elementos polares en su superficie externa producidos por un devanado de excitación en c.d; rotor.

Eje mecánico para la transmisión de energía mecánica; el rotor y todas las piezas montadas sobre el eje (turbinas motrices) poseen en conjunto un momento de inercia total .

Consideremos la máquina síncrona operando como generador. Cuando el alternador (ó generador de c.a.) recibe energía mecánica para poner en marcha el rotor a la velocidad de

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sincronismo , estando excitado el devanado de campo da lugar a un flujo

, y sin carga conectada al devanado de armadura , el voltaje generado es el

mostrado en la Fig. 10.1.

Figura 10.1 Diagrama vectorial del alternador en vacío

a2) Potencia generada por una máquina síncrona. Al entregar corriente el alternador con f.p. atrasado, los devanados trifásicos de armadura producen un flujo ( ) que gira a la

velocidad síncrona , como se ve en la Fig 10.2.

Figura 10.2. Diagrama vectorial del alternador con carga

Donde:: Flujo de armadura

: Voltaje generado resultante, fase a

142

El flujo de armadura se combina con el flujo polar (reacción de armadura) dando lugar al flujo resultante .A su vez, la corriente entregada por el generador, produce una caída de tensión, en la reactancia síncrona de los devanados de armadura, modificando la tensión de terminales al valor :

(Fase a).

Este voltaje resultante es precisamente el generado por ; por ello está 90° delante de

.

Estando en vacío el generador, el par aplicado al rotor, , es el necesario para vencer las fricciones en los rodamientos; pero al entregar corriente la máquina, se produce un par de retardo sobre el rotor ocasionado por la interacción del flujo de armadura y el flujo del

inductor . El nuevo par sobre el eje es:

,

donde:

: es el par retardante de origen electromagnético, mayor que y suficiente para

equilibrar además de las fricciones, a .

Despreciando el par por fricciones, obtenemos ó , lo que significa que

en estado estable, a , la masa rotórica del grupo primomotor - alternador no se ve perturbada en su energía rotatoria almacenada en su inercia, es decir:

y

donde:

: momento de inercia total de masas rotoras : ángulo mecánico del rotor respecto del estator.

El arreglo mecánico-geométrico de y , los flujos dentro del generador, es el de dos

objetos girando a la velocidad síncrona: (sobre el rotor) delante de , atrayendo éste a aquél.

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a3) Ecuación de oscilación.

Si ahora se multiplica por , entonces:

;

como , esta ecuación se transforma en:

con en radianes eléctricos

con en grados eléctricos,

ambas expresadas en p.u. a las bases nominales del alternador, donde está en rad

mec/seg y

.

( es la posición angular del rotor respecto de un eje que rota a ).

a4) Estabilidad transitoria. Cuando deja de ser cero, es claro que el alternador entra a un estado dinámico de operación mecánica. Consideramos a nuestro alternador conectado a un SEP uno de cuyos nodos próximos a la máquina es un bus infinito; mediando entre éste y las terminales del generador, consideremos una reactancia , Fig 10.3

Figura 10.3 Alternador conectado a un bus infinito mediante .

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La potencia real en la carga proveniente del alternador, es:

donde:

: ángulo entre y

Cuando súbitamente se perturba la potencia aportada por nuestro generador, cambia a

y y entran en un estado de modificación llamado estado transitorio, así que previo al disturbio la ecuación anterior queda como:

,

expresión para la cual:

: Voltaje interno transitorio del alternador.

Así:

ó ,

donde y están expresados en p.u.

Consideremos que súbitamente disminuye ( y se conservan), como se muestra

en la Fig.10.4, en la cual ( ) .

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Figura. 10.4 Curvas de oscilación del alternador conectado al bus infinito

Puesto que originalmente el alternador opera en , las potencias mecánica y eléctrica

están balanceadas:

,

y dado que se mantiene constante, al caer a en por algún disturbio en el sistema eléctrico, el primomotor acelera el rotor del alternador apartándolo de la velocidad síncrona a valores ligeramente superiores, debido a lo cual aumenta su energía cinética en una proporción igual al área sombreada arriba de la senoide y hasta la línea , abriendo el

ángulo hasta el valor para el cual

.

Sin embargo, debido al vuelo inercial que toman las masas rotóricas turbinas-rotor, el

ángulo se sigue abriendo hasta no obstante lo cual, el rotor se encuentra en un estado

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de desaceleración, pues , estado en el que el área arriba de la recta y hasta la senoide se hace igual al área anteriormente referida; por lo que después se vuelve a

cerrar entre el rotor, hasta , de tal forma que oscila alrededor de entre y

. En el proceso, al pasar de una a otra área, durante el transcurso de la primera área, el

rotor primero se acelera y, durante el transcurso de la segunda área se desacelera; al cerrarse , el rotor, en su viaje de regreso, se vuelve a acelerar durante el área superior para desacelerarse en la inferior y así continuaría de no haber amortiguamiento.

En , , por lo que en este ángulo se tiene el nuevo punto de equilibrio

estable en torno al cual oscila el rotor hasta estabilizarse en el.

a5) Tipos de estabilidad. Dado que:

,

entonces hay tres casos de estabilización :

Estabilidad de estado estacionario Estabilidad transitoria Estabilidad dinámica

ESTABILIDAD CAMBIOS Y DISTURBIOS

(EN UN SEP)

CAMBIO ESTUDIO REQUERIDO No. DE MAQUINAS

- Gradual Estabilidad en estado estacionario Pocas

- Lento Estabilidad dinámica Pocas

- Disturbio Estabilidad en estado estacionario Múltiples pequeño (retorna a su estado inicial)

- Disturbio Estabilidad transitoria Múltiples grande (transita a otro estado diferente)

Nota: Primera oscilación: 1 segundo, sin sistemas de control Múltiples oscilaciones: 10 segundos, considerando sistemas de control

a) Cuando el ángulo de oscilación es muy pequeño (pequeños disturbios), los estudios que permiten entender las oscilaciones del rotor en un alternador, reciben el nombre de estudios de:

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ESTABILIDAD DE ESTADO ESTACIONARIO.

Consideremos que las oscilaciones comentadas anteriormente son lo suficientemente pequeñas que la ecuación de oscilación se puede tomar como la ecuación de una línea recta; entonces:

ó

;

puesto que ( “potencia sincronizante” en ):

.

Así: ,

con lo que:

,

ó bien:

,

que es la ecuación que rige las oscilaciones pequeñas no amortiguadas de frecuencia:

rad elec/s

ó Hz para .

a6)Criterio de áreas iguales. Cuando el ángulo de oscilación es grande (grandes disturbios), la ecuación de oscilación no tiene el comportamiento de una línea recta por lo que el estudio que requiere el alternador en este caso recibe el nombre de:

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ESTABILIDAD TRANSITORIA

Para este estudio consideremos la Fig. 10.4 en la que se muestran los puntos a, b y c entre los cuales se producen las oscilaciones del rotor al disminuirse por disturbio la potencia entregada por el alternador. De acuerdo a esta figura es claro que:

De a hacia b, y el rotor se acelera desde ganando energía cinética de

a .

De b hacia c, y el rotor se desacelera desde perdiendo energía

cinética de a y recobrando aquí su

De c hacia b, y el rotor se acelera desde , ganando energía cinética

de a .

De b hacia a, el rotor se desacelera desde perdiendo energía cinética de

a y recobrando aquí su , en adelante se repite el proceso.

Demostración del “Criterios de áreas iguales”. Sabemos que:

y

o más simple:

Así:

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ó .

Integrando entre los instantes correspondientes a y c :

,

lo cual es:

De aquí:

Área debajo de = Área arriba de

Desde luego, si llega a tomar un valor por arriba de tal que sea imposible

alcanzar la igualdad de “Área arriba de ” con el “Área debajo de ”, el alternador

perderá sincronismo al acelerarse indefinidamente.

El ángulo crítico hasta el cual todavía es posible la igualdad de las áreas se determina

como sigue, Fig 10.5.

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Figura 10.5 Angulo crítico de estabilidad transitoria

De

y

,

al igualar las integrales, obtenemos:

;

y como y , entonces:

.

Observe en la siguiente gráfica, Fig. 10.6, como más allá de ya no es posible la

igualdad de las áreas.

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Figura 10.6 Condición de oscilación en que no existe ángulo crítico

Consideramos ahora el siguiente caso, Fig. 10.7.

Figura 10.7 Oscilación de un generador conectado a un bus infinito a través de líneas y transformadores.

El generador está conectado a un sistema considerado como bus infinito ( ) a través

de y dos circuitos ( y ) de una línea de transmisión, entregando al sistema una

potencia eléctrica tal que , Fig. 10.8.

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Figura 10.8 Curvas de oscilación para estados prefalla, falla y postfalla.

Cuando en P sobre el circuito se produce un corto-circuito la potencia transmitida al

sistema desde cae a , que es una fracción de , menor . Esto acelera al rotor

de abriendo el ángulo de carga de la máquina con un par acelerante hasta que la falla

queda librada; desde luego hay un ángulo máximo permitido de libramiento después del cual el alternador pierde sincronismo con el sistema de bus infinito.

En tanto está en curso la falla, la alimentación al sistema es , muy poca ( ); tan

pronto como se libra la falla, aunque la potencia alimentada al sistema no se recupera

totalmente, esta toma un valor tal que su curva tiene su valor tope sobre la recta , es

decir, siendo una fracción de mayor que . El ángulo crítico de

libramiento se determina mediante la siguiente expresión obtenida mediante el criterio de áreas iguales:

Para determinar el tiempo crítico de libramiento a partir de debemos primero

obtener la curva de oscilación de vs. resolviendo las ecuaciones de oscilación

correspondientes.

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a7) Obtención de la curva de oscilación por el método de Runge-Kutta. El criterio de las áreas iguales sólo nos permite saber si un generador síncrono mantiene o no su sincronismo con un sistema cuando la potencia que suministra a éste se ve perturbada por alguna causa, i.e. , nos ayuda a encontrar si el ángulo de carga toma valores por abajo ó por arriba de para que el sincronismo se mantenga ó no, respectivamente, cuando se libra la perturbación.

Sin embargo, para saber como se comporta después de una perturbación es necesario resolver la ecuación de oscilación.

En orden de importancia, las fallas que más abaten la transmisión de potencia desde un alternador hacia un sistema son:

1. falla L – T2. falla L – L 3. falla 2L – T 4. falla LLL

Para obtener mayor confiabilidad, un Sistema Eléctrico de potencia deberá diseñarse para una estabilidad transitoria para el caso de la falla en el peor lugar, como práctica universal.

La solución formal de la ecuación de oscilación

p.u.,

trata con integrales elípticas; reescrita:

, ó

La solución numérica mas popular de estas ecuaciones es el método por aproximación reiterada de Runge-Kutta:

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Consideremos que:

Ecuaciones diferenciales.

Condiciones iniciales.

Nota: Para entender el método repasar el método de Euler.

Si establecemos como “Paso de integración” a para toda aproximación reiterada, entonces se calculan las siguientes ocho constantes para la iteración cero:

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a partir de los cuales:

y los valores actualizados de t, y serán:

con

en seguida reemplazamos y con y y recalculamos las constantes , y

y .

En general:

.

Los cálculos se efectúan mejor mediante computadora.

Las sumas y anteriores pueden interpretarse como una pendiente promedio.

Nótese que es la pendiente en el extremo izquierdo del intervalo; es la pendiente en

el punto medio; es una segunda aproximación a la pendiente en el punto medio y

finalmente es la pendiente en el extremo derecho del intervalo.

Así pues, obtenemos una serie de valores para y con un paso de integración , que nos definen la forma en que varían y en el tiempo.

Así, con conocido es posible determinar sobre la curva vs. el tiempo crítico de

libramiento .

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a8)Factores de mejora de la estabilidad. Hay dos indicadores de la estabilidad de una unidad generadora:

a) Oscilaciones angulares de moderadas durante y después de una perturbación – aceleración moderada.

b) Tiempo crítico de libramiento.

Oscilaciones moderadas. Estas se obtienen cuando:

.

Por lo tanto, para que la condición anterior se cumpla:

debe ser grande

La diferencia debe ser pequeña, lo que se logra para

cuando en la expresión:

la tensión es elevada y la reactancia es pequeña ó cuando se ajusta mediante el control de válvulas de turbina del primo motor.

Tiempo crítico de libramiento amplio. Este se obtiene cuando ante contingencia,

no se abate críticamente, pues de hacerlo se incrementa tanto que decrece y se

acorta la diferencia entre y , con lo que oscilaciones aún moderadas pueden

alcanzar a .

MEDIDAS PARA INCREMENTAR LA ESTABILIDAD

Medida Ganancia de

Sistema rápido de excitación 0.5 a 1.5 ciclosControl rápido de válvulas 1.0 a 2 ciclosOperación unipolar de interruptores 2 a 5 ciclosTiempos rápidos de libramientoReactancia mínima de transmisión Menor aceleración del rotor Compensación capacitiva de líneas de transmisión Menor aceleración del rotorLíneas de transmisión adicionales Menor aceleración del rotor

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BlBLlOGRAFÌA

1. G. W. Stagg Y A. H. EI-Abiad, Computer Methods in Power Systems (Nueva York: McGraw- Hill, 1968).

2. O. I. E1gerd, Electric Energy Systems Theory, 2a. ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1982).

3. C. A. Gross, Power System Analysis (Nueva York: Wiley, 1979).

4. W. D. Stevenson, Jr., Elements of Power System Analysis, 4a. ed. (McGraw-Hill, 1982).

5 A. Bergen, Power System Analysis, , 1a. ed. (Prentice Hall, 1982).

6 E. Bustamante, Modern Analysis of Alternating Current Network, 1a. ed. Vols. I y II (Wiley, 1962).

7 Karni, Analysis of Electrical Network, 1a. ed. (Wiley, 1982).

8 Guru, Máquinas Eléctricas y Transformadores, 3a. ed. (Oxford, 2003).

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INDICE

Admitancia mutua, Alambres de blindaje,Alternadores (véase Maquinas sincr6nicas) Alto voltaje cd, Ampacidad,Angulo de potencia,Autoadmitancia,Autoimpedancia, Autotransformador, Banco de capacitores en paralelo, Bus de oscilaci6n, de voltaje controlado, infinito,

Cambio de fase en transformadores Trifásicos,Campo eléctrico del conductor, en la superficie del conductor, Capacidad de carga de la línea, Capacitancia(s) de secuencia, línea de transmisi6n, ,~ Capacitorescomo una fuente de potencia reactiva, para compensación de series, para mejorar la estabilidad, Compensaci6n(es), capacitivas en serie, reactiva,Compensador Var estático, Componente(s) de secuencia cero, negativo, positiva,simétricos de corrientes trifásicas, de voltajes trifásicos,definición, potencia en términos de,Condensador sincrónico, Conductancia,Conductividad,Conductor(es)Carga, de impedancia de sobrevoltaje, del nodo, equilibrada,Circuito equivalente para la matriz de impedancia del bus (equivalente de rastrillo),para línea de transmisióncorta, de longitud media ( nominal), larga ( equivalente), para maquinas sincr6nicaspara transformadores prácticos, Circuitos CAecuaciones de red, potencia en tres fases,

potencia en una sola rase,trifásico balanceado,en paralelo, trifásicos conexi6n delta, conexi6n estrella, corrientes de línea, potencia en, de secuencia, voltajes en, Coeficiente(S) ,~ B, de perdida, Control de excitación, del generador, de generación automática, de la frecuencia de carga (CFC), de motor primario, del flujo de potencia, del generador de voltaje, del gobernador de la turbina,

generación en una planta (despacho econ6rnico), 525de retorno a tierra Constante de propagación, de armadura, subtransitoria, transitoria, H, Cortos circuitos (véase Fallas) Costo de operación, incremental, del combustible,

Criterio de áreas iguales, Despacho económico,

Coeficientes B, Conversión de impedancias por unidad, delta-estrella, Y -delta, Corriente(s) componentes simétricos de, trifásica, de activación, de carga, de prefalla, de desplazarniento cd, Ecuación(es) algebraicas,lineales, no lineales, de oscilación, nodales para circuitos de ca, para estudios de flujo de potencia,para líneas de transmisión largas,

Diagrama equivalente línea-a-neutro, unifilar,Dimensiones de la unidad generadora, Dispersi6n, Disposiciones de nodos, Distancia media geométrica,

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Eliminación de Gauss, energía cinética, Enlaces de flujo a un conductor, a una bobina, de un conductor a un acomodo, externo, interno, Equivalente de rastrillo, Error de control de área, Estabilidad criterio de áreas iguales, de varias maquinas,dinámica, ecuaci6n de oscilaci6n, estado estable, métodos de diseño para mejorar, transitoria,

Factor Gobernador, de penalizaci6n, de potencia.Falla (s) de calculo con el nodo Z de corriente AC,doble línea a tierra, dos conductores abiertos, frecuencia de aparici6n, línea a línea,trifásica, un conductor abierto, sistema de 37 buses, efecto de bancos de capacitores en derivaci6n, Flujo de potencia almacenaje compacto, control de, criterios de convergencia, desacoplado, ecuaciones, formulación del problema,

Gauss-Seidel, Newton-Raphson, optimo, rápido desacoplado, Fortescue, Funciones hiperb6licas, Generaci6n energía eléctrica, Generador sincrónico, cortocircuito, Generadores (véase Maquinas sincrónicas) GMD, GMR, de asimetría, Imágenes, método de, Impedancia(s) autoimpedancia, característica, de falla, de secuencia de cargas de impedancias trifásicas,una sola línea a tierra, de líneas de transmisión,de maquinas sincrónicas, de transformadores,definición de,cero,

negativa,positiva,

de sobrevoltaje,

mutua, sucesi6n de,variación de,

Incongruencias en los estudios de flujo de potencia, Inductancia conductores combinados,de circuito, de líneamonofásica bifilar, trifásica trifilar, de un conductor so1ido cilíndrico, externa,interna, Integración numérica de la ecuaci6n de oscilación,Intensidad de campo fuerza del campo eléctrico, intensidad del campo magnético,Interruptor de circuito corriente nominal, reconexión,voltaje nominal, Intervalo de tiempo de coordinación,

Jacobiano, Ley(es) de Ampere,de Faraday,

de Gauss, de Kirchhoff, perdida de potencia, de política,

Limite de caída de voltaje,

térmico, líneas de transmisión admitancias de fase en paralelo, de secuencia en paralelo, aisladores, alambres de blindaje, capacidad de carga de la línea,

Matrices de impedancia de secuencia del bus, Matriz de admitancia del bus para ecuaciones nodales, para estudios de cortocircuitos, para estudios de estabilidad transitoria, para estudios de flujo de potencia,de impedancia del bus

en programas de cortocircuitos,

Longitud de onda,

Maquinas sincrónicas ángulo de potencia,circuito equivalente, armadura,subtransitoria,tabla,

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transitoriaconstante H

control (es)de flujo de potencia, de frecuencia de carga, de generación automática,de voltaje de generador,modelo simplificado para estudios de estabilidad transitoria momento de inercia,reactancia sincrónica, subtransitoria, redes de secuencia, ____representaci6n de sistema para fallas,

Parámetros ABCD,Perdidas, efecto en el despacho económico, Permeabilidad, Permisividad, Potencia activa, ángulo del factor de potencia, aparente, compleja, en circuitos trifásicos, en circuitos trifásicos equilibrados, en redes de secuencia, instantánea, promedio, reactiva,

para fallas asimétricas, ____ para fallas simétricas, milésimas, circulares, de pulgada, Newton – Raphson, Nodo, cil (NERC),

Radio medio geométrico de conductores compuestos, tablas de, Raíz media cuadrática (rmc), Reactancias de fuga, de fuga, tabla de, de secuencia (véase Impedancias de secuencia) cero (véase Impedancias de secuencia) negativa (véase Impedancias de secuencia) positiva (véase Impedancias de secuencia) real, triangulo de potencia, Precio marginal local (PML), Regla de la mano derecha, regulación de voltaje, regulador de voltaje,relación de numero de espiras inoperante, Reluctancia, Rerregulaciòn, Resistencia conductor de,de conductores, tabla,de maquinas sincr6nicas, tabla, del campo eléctrico,del devanado del transformador,

efectiva,Resistividad, Redes de secuencia

carga de impedancia, equivalentes de rastrillo, de Thevenin, generador sincr6nico, impedancias en serie, líneas trifásicas, maquinas rotatorias, de zonas de traslape, motor de inducción, sincr6nico, por unidad, transformadores, Regla de la mano derecha,

Superposici6n, Regulador de voltaje,

Terminales de falla, Tiempo critico para eliminar la falla, de interrupción interruptores de circuitos,

Transformador(es) autotransformador, cambio de fasemonofásicos, trifásicos, circuitos equivalentes, conexiones de transformadores trifasicos, Segunda ley de Newton, Sistema por unidad, Transposición, Triangulo de potencia,

Valor efectivo, Valores básicos, Velocidadde propagación, ____sincrónica, ____Vo1taje(s) componentes simétricos de, trifásico, para líneas de transmisión en, en circuitos trifásicos equilibrados, estado estable, línea a línea, balanceados, línea a neutro, balanceados, notación de doble subíndice, de un solo subíndice, Y bus' Z bus' Zonas de protección,

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