Выборка. Выборочное пространство

Грауэр Л.В.

Примеры задач

Какова доля брака в продукции завода?Правильно ли настроен станок?Действует ли новое лекарство?Однородны ли посетители магазина в выходные и в будние?Сколько заказать товара на следующий месяц?Согласованы ли оценки экспертов?

Основные задачи математической статистики

I приближенное определение вероятности события поотносительной частоте

I нахождение приближенного закона распределения с.в.I оценивание числовых характеристик или параметров

распределения с.в.I проверка статистических гипотезI определение эмпирической зависимости между

переменными, описывающими случайное явление

Выборка. Выборочное пространство

В одномерном случаеξ(ω) : Ω −→ R

(R,B(R),Pξ)

В многомерном случае(ξ1, . . . , ξm) : Ω −→ Rm,

(Rm,B(Rm),Pξ)

Совокупность взаимно независимых реализаций случайнойвеличины ξ образует выборку X[n] объема n:

X[n] = (X1, . . . ,Xn) ,

где Xi — числовая реализация случайной величины ξ в i-омэксперименте (i = 1, . . . , n).

Если ξ = (ξ1, . . . , ξm)T — случайный вектор, то

X1 =

X11

X21...

Xm1

, . . . ,Xn =

X1n

X2n...

Xmn

.

Случайная величина ξ, реализации которой мы наблюдаем, частоназывается генеральной совокупностью.

Примеры

ξ ∼ B(N, p), P(ξ = k) = C kNp

k(1− p)N−k

X[10] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

ξ ∼ N(a, σ)

X[10] = (1.34, 0.70, 1.21, 0.46, 1.40, 1.47, 1.56, 1.09, 1.62, 1.56)

Примеры

ξ ∼ B(N, p), P(ξ = k) = C kNp

k(1− p)N−k

X[10] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

ξ ∼ N(a, σ)

X[10] = (1.34, 0.70, 1.21, 0.46, 1.40, 1.47, 1.56, 1.09, 1.62, 1.56)

Простой случайный выбор

Процесс составления выборки называется выбором

Простым случайным выбором называется выбор с возвращениемв урновой модели, когда из конечного множества каждый элементвыбирается независимо и равновероятно с другими элементами

Свойства простого случайного выбора

С теоретической точки зрения элементы выборки —случайные величины

Все элементы выборки могут быть выбраны иравновероятноКаждый элемент конкретной выборки получен в равныхусловиях выбора

Свойства простого случайного выбора

С теоретической точки зрения элементы выборки —случайные величины

Все элементы выборки могут быть выбраны иравновероятно

Каждый элемент конкретной выборки получен в равныхусловиях выбора

Свойства простого случайного выбора

С теоретической точки зрения элементы выборки —случайные величины

Все элементы выборки могут быть выбраны иравновероятноКаждый элемент конкретной выборки получен в равныхусловиях выбора

Виды реальных выборов

Механический выбор

Серийный выбор

Типический выбор

Выбор на основе суждения

Функция распределения выборки:

FX[n](x1, . . . , xn) =

Выборкам объема n соответствует выборочное пространство(Rn,B(Rn),PX[n]

)

Функция распределения выборки:

FX[n](x1, . . . , xn) =

Выборкам объема n соответствует выборочное пространство(Rn,B(Rn),PX[n]

)

При n→∞ рассмотрим бесконечномерное пространство:(R∞,B(R∞),PX[∞]

).

(Rn,B(Rn),PX[n]

)— подпространство

(R∞,B(R∞),PX[∞]

),

соответствующее первым n координатам.

Эмпирическая вероятностная мера

Эмпирическим распределением назовем вероятностную меру,определенную следующим образом

P∗n(B) =ν(B)

n,

где B ∈ B(R), а ν(B) — количество элементов выборки, попавшихв B .

Эмпирической функцией распределения называется функция

F ∗n (x) = P∗n(−∞; x) =ν(−∞; x)

n, x ∈ R.

(X1,X2, . . . ,Xn)⇒ X(1) < X(2) < . . . < X(n)

F ∗n (x) =

, если x 6 X(1);, если X(1) < x 6 X(2);, если X(2) < x 6 X(3);

. . .

, если X(k) < x 6 X(k+1);. . .

, если x > X(n).

Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема о предельномраспределении эмпирических вероятностей

ТеоремаДля ∀ B ∈ B(R) выполняется:

P∗n(B)п.н.−−−−→

n−→∞Pξ(B).

и для ∀ x ∈ R выполняется:

F ∗n (x)п.н.−−−−→

n−→∞Fξ(x).

Теорема Гливенко-КантеллиПусть заданы ф.р. Fξ(x) и эмпирическая ф.р. F ∗n (x), тогда

supx∈R|F ∗n (x)− Fξ(x)| п.н.−−−−→

n−→∞0

ТеоремаДля ∀ B ∈ B(R) выполняется:

√n (P∗n(B)− Pξ(B))√Pξ(B)(1− Pξ(B))

d−−−−→n−→∞

ζ,

где ζ ∼ N(0, 1).