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1.2- MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN (ADM)

Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

El Método de Descomposición de Adomian fue inventado por el físico norteamericano G. Adomian (1923-1996) en 1984, pero ha sido bajo el impulso del profesor Y. Cherrault cuando el método ha encontrado su soporte matemático. En particular, Yves Cherrault y Karim Abbaoui han podido probar la convergencia bajo hipótesis razonables y dar formulas simples de los polinomios de Adomian.Numerosas modelizaciones de problemas físicos o biológicos desembocan en ecuaciones funcionales no lineales de diversos tipos: diferenciales ordinarias, diferenciales en derivadas parciales, integrales, integro-diferenciales…Linealización y discretización son las técnicas más utilizadas para su solución, aunque se corre el riesgo de que la solución se aleje de la solución del problema a resolver. El método no cambia la naturaleza del problema, en particular no efectúa ninguna linealización ni discretización. Está basado en la búsqueda de una solución en forma de serie y en la descomposición del operador lineal en serie en los que los términos se calculan de forma recurrente utilizando unos polinomios llamados los polinomios de Adomian.

Bajo ciertas condiciones de convergencia, la suma de la serie dará la solución exacta, pero en general la serie se truncará para dar una buena aproximación. El error de truncamiento puede ser estimado la mayoría de las veces.


ANÁLISIS DEL MÉTODOANÁLISIS DEL MÉTODOConsideremos la ecuación diferencial no lineal

donde F representa una combinación lineal de operadores lineales y no

Lineales, esto es,

donde L representa el operador lineal (generalmente L es la derivada de

orden superior ,fácilmente invertible), R es un operador lineal de orden

menor que L, N es un operador no lineal y g es el término fuente.


En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie

donde los un son calculados recursivamente.

Resolviendo esta ecuación para , ya que L es invertible, podemos escribir:

Si L, por ejemplo, es un operador derivada de segundo orden, L es una integral doble indefinida, resolviendo para u en la ecuación (1) obtenemos:

donde A y B son constantes de integración que pueden ser halladas con las condiciones iniciales o con las condiciones de frontera.

El término R es el resto del operador lineal L, el término N es una función no lineal de u, con la siguiente descomposición

Aquí los An son llamados los polinomios de Adomian, pueden ser generados de muchas formas (*). Se usa la formula de recurrencia:


Finalmente la solución puede ser escrita


El método no acude a la linealización o al supuesto de no linealidad débil, la solución generada es en general mas realista que aquellos que simplificaron el modelo del problema físico.

Ejemplos

Ejemplo_1 Considerar el PVI:

Se tiene:

La ecuación da:

Tenemos que

Curso Maestría en Matemáticas AplicadasEcuaciones diferenciales ordinarias no lineales

Continuando esta iteración se llega

Ejemplo_2 Considerar la ecuación integral (anexo)

Tenemos que

Supongamos que


Luego tenemos que

Así para cualquier

Por tanto

Verificar que sinx es la solución exacta de


Ejemplo_3 Considerar la ecuación integral de Volterra

Tenemos que

Notar que u2 no puede ser evaluada directamente. Por tanto, el método sólo puede da soluciones aproximadas. Para más información (Chama)


Donde N(t) es el número de células en el tiempo t, con la condición inicial que en t0 se tienen No células, es la tasa neta de crecimiento o decaimiento de la población (es la tasa de nacimiento, la tasa de muerte y Nc es la población más grande que el medio soporta (capacidad de carga).


Definamos el operador

Podemos escribir (1) como:

Ejemplo_4 Considerar la ecuación de Pearl-Verhulst

De aquí que

Escribiendo , donde los An son una clase especial de polinomios así:

Descompongamos N(t) en sus componentes los cuales están determinados tomando en este caso. Si hay un término no homogéneo esté deberá estar incluido en . Podemos ahora identificar


Así, cuando los An han sido evaluados, todas las Nn quedan completamente determinados en términos de la componentes precedentes, así que podemos tener

los cálculos de los An son:

Así


Consecuentemente, ya que )0(0 NN

Etc…Claramente todos los términos son fácilmente calculables.

Biological Systems Interations. G. Adomian, G. E. Adomian, R.E. Bellman


Aplicando el operador inverso:

Usando descomposición en series de un y la representación de

Sugerencia **

Método de Adomian modificado: acelera la convergencia

Ejemplo_5 Ecuación diferencial de Riccati

anexo


Las primeras componentes da

La solución exacta es .


Ecuaciones diferenciales parciales no lineales

Dif. de mayor orden en x

Dif. de mayor orden en y

Suponer Lx es el de menor entre los dos


Haciendo como antes…….

Las componentes de Un se tienen en forma recursiva

Conociendo los An


Linealización exacta:

No lineal lineal

Directamente ADM

Sea donde

Observación Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

Resolviendo para

sumando

definiendo

Sustituyendo obtenemos:

Con esto todas las componentes quedan determinadas.


Ejemplo 6_ Considerar el problema de valor en la frontera

Un operador para (1) sería

donde por tanto

Aplicando a ambos lados de (2)

donde


El método de Adomian, descompone la solución en una serie infinita decomponentes

y el término no lineal por una serie infinita de polinomios

Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en (3) da

El método de descomposición identifica la componente cero con todosLos términos que se presentan de las condiciones de frontera y la integración del término no homogéneo.


Por consiguiente, el método de descomposición admite el uso dela relación de recurrencia

Los polinomios de Adomian que representan el término no lineal estándefinidos por

Usando (7) y (8), hallamos


Sustituyendo los resultados de (9) en (4) da la solución en forma de serie con f(y) aún sin determinar. Usando la condición de frontera u(x,0)=1(x) en la solución en seriesobtenida e igualando los coeficientes en potencias de x para así determinar esto nos dará una expresión en series de Maclaurin para f(x).Una vez establecida f(x), la solución en serie se sigue inmediatamente.

Resultados numéricos

Aplicando a ambos lados de (1*) da

donde


Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en ambos lados de (2*) da

Esto da la relación de recurrencia

Las primeras componentes de están dadas por


Esto da

para terminar falta determinar f(y).

Usando la condición en la frontera en la ecuación anterior da

Igualando los coeficientes en potencias de x en ambos lados

La expansión de Maclaurin de f(y) es dada por


D aquí que en (6*) lleva a la solución exacta


Ejemplo 7_ (Ecuación cúbica de Schrödinger no lineal)

En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie

donde los un son calculados recursivamente.

Aplicando ADM

(Operador lineal , operador no lineal )

Operador inverso


Ecuación diferencial parcial no lineal dispersiva. Describe la evolución espacio-temporal del campo complejo .

El término no lineal N(u) se descompone en una serie infinita de polinomios de la forma

Donde los An son los polinomios de Adomian, que al sustituir en (3) da

De acuerdo a Adomian u0(x,t) es identificado con el dato inicial f(x) y la siguiente formula de recurrencia se propone

donde los polinomios de Adomian vienen dados por


O bien, escribiendo el término no lineal en la forma

Así por ejemplo, si


Suponiendo que se tenga lo siguiente


Sumando ahora estas componentes produce

con . Puede verse que esta es la solución exacta, cuando se compara con otros métodos analíticos.(*)

Ejemplo: (**)


Ejercicios_2

Donde

Solución: ?

Ejercicios_3

Donde

Solución:

Ejercicios_1

Donde

Solución:


Ejercicios_5

Donde

Solución:

Ejercicios_3

Donde

Ejercicios_4

Donde

Solución:

Solución:


Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales

Sea el sistema de EDP no lineal:

Escribiendo de otra forma:

Descomponemos las soluciones en series

Y los términos no lineales


Donde los polinomios de Adomian vienen dado por:


Ejemplo 8_ ( Sistema de manakov) Sistema acoplados de ecuaciones diferenciales no lineales de Schrödinger)

Aplicando ADM

Donde denota el operador lineal. Usando el operador inverso a ambas ecuaciones se tiene:


En el ADM se supone que la solución u y v puedan ser expandidas como una serie

donde los un y vn son calculados recursivamente.

Operador inverso

Donde:

Operadores no lineales

Los términos no lineales N1(u,v) y N2(u,v) se descompone serie infinita de polinomios de la forma


donde Akm son los polinomios de Adomian dados por:

De aquí , se obtiene lo siguiente:


ANEXO_1

Ecuación integral lineal de Fredholm

1ª clase

2ª clase

Ecuación integral lineal de Volterra

1ª clase

2ª clase

Ecuación de Volterra a PVI:


Método de descomposición de Adomian


Ver

Método de descomposición mejorado

Ejercicio: Aplicarlo a

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Para más información :

A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.


Pag.14

Partial Differential Equations_Method and Applications . Abdul-Majid WazwazA First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific.


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