8/18/2019 12' P3 (2.2)

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U. DE SANTIAGO DE CHILE FAC.DE CIENCIA DEP. DE

MATEMATICA Y C.C.

Pauta PEP 3 Ecuaciones Diferenciales

Pregunta 1

Use el método de separación de variables para resolver la ecuación del telé-

grafo@ 2u

@t2  + 2

@u

@t  + u =

  @ 2u

@x2; t > 0; x 2 (0; )

u(x; 0) = sin(x);  @u

@t(x; 0) = 0; x 2 [0; ]

u(0; t) =  u(; t) = 0; t > 0:

Solución.-

Buscamos una solución de la forma  u(x; t) =  M (x)N (t). Reemplazando en laecuación, obtenemos

M 00(x)

M (x)  =

  N 00(t) + 2N (t) + N (t)

N (t)  = :

.....................................................................................................................................................0.3

Separando variables, se tiene

M 00(x) + M (x) = 0   y   N 00(t) + 2N 0(t) + ( + 1)N (t) = 0:

.............................................................................................................................................0.2

Con las condiciones frontera planteamos el problema de Sturm-Liouville

M 00(x) + M (x) = 0;   con M (0) = M () = 0

cuyos autovalores son:   n  =  n2 y las autofunciones son:   M (x) = sin(nx)   con

n 2 N.

.............................................................................................................................................0.5

La solución de la ecuación   N 00(t) + 2N 0(t) + (n2 + 1)N (t) = 0  es:

N n(t) =  et(an cos(nt) + bn sin(nt))

.............................................................................................................................................0.3

La solución general d la e.d.p es:

u(x; t) =1Xn=1

et(an cos(nt) + bn sin(nt)) sin(nx):

.............................................................................................................................................0.2

1

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De las condiciones iniciales, obtenemos que

sin(x) =  u(x; 0) =1Xn=1

an sin(nx) =) a1 = 1; an  = 0;   8n 6= 1:

y ............................................................................................................................................0.2

0 =  @u

@t(x; 0) =

1Xn=1

(an+nbn)sin(nx) =) nbn  =  an  =) b1  = 1; bn  = 0;   8n 6= 1:

.............................................................................................................................................0.2

Luego,  u(x; t) =  et(cos(t) + sin(t)) sin(x).

.............................................................................................................................................0.1Pregunta 2

Encuentre la solución de la ecuación del calor no homogénea

4@ 2u

@x2  =   @u

@t  + 16e2x

u(0; t) =  u(1; t) = 1   t > 0u(x; 0) =  e2x 0 < x  0v(x; 0) = Ax   0 < x

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Usando el método de separación de variables, suponemos solución de la forma

v(x; t) =  M (x)N (t)

y obtenemos que  M   y  N  deben cumplirM 00(x) + jM (x) = 0   M (0) = 0   M (1) = 0

N 0(t) + 4 jN (t) = 0

por lo tanto   j  =   n22 ; M (x) =   sen(nx)   y   N (t) =   e4n22t

; 8n 1.............................................................................................................................................0.4

y la solución es

v(x; t) =1Xn=1

ane4n22tsen(nx)

.............................................................................................................................................0.2

imponiendo la condición inicial, tenemos

Ax =1

Xn=1

an   sen(nx)

y los coe…cientes los podemos obtener por medio de Fourier

an  = 2

1Z 

0

Ax sen(nx)dx

.............................................................................................................................................0.2

intergrando por partes obtenemos

an  =  2An

(1)n

.............................................................................................................................................0.2

la solución en la variabe  v  es entonces

v(x; t) =  2(1e2)

1Xn=1

(1)n

n  e4n

22tsen(nx)

.............................................................................................................................................0.1

y la solución de la ecuación no homogénea es

u(x; t) =  2(1e2)

1Xn=1

(1)n

n  e4n

22tsen(nx) + e2x + (1 e2)x

.............................................................................................................................................0.1

Pregunta 3

Resuelva el problema:

urr  + 1

rur +

  1

r2u  = 0; r > 1; 0 2

u(1; ) = 1 + sin(4) + sin2(4)

limr!1

u(r; )   <   1

Solución.-

Usando el método de seoaración de variables se obtiene:

3

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u(r; ) =   C 02

  +D0 ln r+1Xn=1

C nr

n + Dnrn

cos n+1Xn=1

E nr

n + F nrn

sin n

.............................................................................................................................................0.4

como

limr!1

u(r; ) < 1

se tiene:

D0   = 0

C 0   = 0   8n

E 0   = 0   8n

Luego,

u(r; ) =  C 0

2  +

1Xn=1

Dnrn cos(n) +

1Xn=1

F nrn sin(n)

.............................................................................................................................................0.4

De la condición de borde para r=1 tenemos:

1 + sin 4 + 1

2 

 1

2 cos 8 =

  C 0

2  +

1Xn=1

Dn cos(n) +1Xn=1

F n sin(n)

luego,

C 0   = 3

D0   =   1

2F 4   = 1

Dn   = 0   8n; n 6= 8

F n   = 0   8n; n 6= 4

.............................................................................................................................................0.8

Por lo tanto,

u(r; ) =

 3

2  

 1

2 r8

cos(8) + r4

sin(4)

.............................................................................................................................................0.4

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