セント・ペテルスブルグパラドクス

担当：修士２年　金井槙太朗

大変申し訳ないのですが補足・訂正から

実数値関数とは

→事象を入力すると実数値を返す関数

y=2x

補足・訂正①

〜

ただし、

ここが「正の線形変換」定数倍して、定数を加える一

次変換

補足・訂正②

「正の」なので

（ α>0)

例えば

u(前田） =5u(大島） =10

前田

大島

※基数効用は「比」については言及できません

補足・訂正③

選好逆転について

補足・訂正④

前回は効用理論が経験的に成り立たない一例として、

選好逆転現象を紹介しました。

今回はこんな問題を考えてみま

しょう

僕とゲームをしましょう

コインを投げます。n回目に表が出た時に

2の n乗の賞金を上げます。参加するのにいくら払う？

期待値を計算してみると・・・

1 2

12

8

18

4

14

2

12

nn

n

シグマ記号

nの数字は「１」から

無限まで足す

1+1+1+・・・1を無限に足していくから、

期待値は無限！？

期待値が無限なので、いくら払ってでもこのゲームに参加した方

が良いが、実際に

いくらでも賭けていいよ！オッケー ！

©Saki Tamura

っていう人はいない

我々の直観は、期待値と矛盾している

故に、セントペテルスブルグパラドックス

この問題を 18世紀の数学者ダニエル・ベルヌーイは

こう考えた

「主観的な価値」を数値化して考える為に、下記のような

対数関数の効用 u(2n）=log(2n)の期待値である、

期待効用EU(Expected Utility)を考えた。

対数関数とは

NpNa aP log

Na4

3 273例：Nalog4

27log3 3

対数の性質

3

2

4

10log

5log

　 　 　

　例： a

10log3

5log4

2

a

このように対数関数の効用関数の期待値を考えると、有限の値に

収束する

対数関数で表現される効用関数は、大きな金額になるほど、効用

の増加率が少なくなる→「限界効用の逓減」

なぜ、対数を導入したか、ですが、この対数効用関数と心理学の感覚量の研究知見には密接な関連があるので、紹介します

ウェーバーの法則100mlの水に 10ml加えることにより、初めて「増えたッッ！」と感じるとしたら、 200mlの水に何mlの水を加えたら「増えたッッ！」と感じるだろうか？

⇒はじめの刺激量を Iとし、対応する識別閾値（今回は増えたと感じるまでの「加える水の量」）を ΔIとすると・・・　　　

一定

ウェーバーの法則は聴覚、視覚、触覚など様々な感覚領域で成り

立つ

100円から 50円値引くのと、1万円から 50円値引くのとで同じような割安感が得られない

のもそのため。

フェヒナーの法則フェヒナーの法則⇒人の感覚の大きさ（ S）は、刺激強度（ I）の対数に比例する！（式）　 S=klogI　 (kは定数）

xが 0から 10へ、 10増えると yはだいぶ増えるけど・・・

xが 30から 40に 10増えても yはほとんど変わらない !

このフェヒナーの法則は、ウェーバーの法則から導出され

うるのです

識別閾値 ΔIの最小単位を考え、 dIと置く。また、感覚量を ΔSと置き、その最小単位を考え、 dSと置く。感覚量は刺激量と比例していると考え、

ΔI=識別閾値I=刺激量

両辺を積分すると、

S=klogI+C　 (kは定数）

さらに、S=0のとき、 I=I0とすると0=klogI0+CC=-klogI0元の式に代入して、S=klogI-klogI0

となり、　を刺激閾の値 I0によって基準化された刺激強度であると考えると、フェヒナーの法則と同じ形が得られる。

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セント・ペテルスブルグパラドックス限界効用の逓減