12.1 实数的概念 -...

/上海版/马学斌编第十二章实数

1

12.1 实数的概念

【课前导读】

这节课学习 3 个问题：

1．无理数的三种表示形式；

2．实数的分类；

3．由有理数的相反数，扩充到实数的相反数．

【课本导学】

一、阅读课本第 1 页和第 2 页的问题 1、问题 2、问题 3，我们来认识 2 ．

（1）面积为 2 的正方形是存在的．

如图 1，两个边长为 1 的正方形的面积和为 2；

如图 2，把这两个正方形分割为相等的 4 部分；

如图 3，把图 2 的 4 部分可以拼成一个面积为 2 的正方形．

图 1 图 2 图 3

（2） 2 的几何意义——面积为 2 的正方形的边长用 2 来表示， 2 读作_______．

由正方形的面积公式“面积＝边长 2”，可知 2＝( )2．

（3） 2 在数轴上对应的点在哪里？

如图 3，面积为 2 的正方形的边长为 2 ．如图 4，以原点为圆心，以 2 长为半径画

圆，圆与数轴的正半轴的交点就是 2 所对应的点．

（4） 2 是“__ __ __ __ __ 小数”， 2 ≈1.414．

图 4

二、我们在六年级第一学期《圆和扇形》一章学过π，圆的周长÷直径＝圆周率π，π

是一个确定的数，π≈3. 14．其实π也是一个“__ __ __ __ __ 小数”．

三、阅读课本第 3 页问题 4，请你构造 2 个无限不循环小数，注意以“…”结束：

_________________________________，______________________________．

四、阅读课本第 3 页底部无理数的定义，__ __ __ __ __ 小数叫做无理数．

其实判断一个数是不是无理数，用无理数的定义判断不直观，无理数的表示形式有 3

种：


2

（1）定义直观型：__ __ __ __ __ 小数；

（2）根号型：例如 2 、 3 、 5 、 12 等，但是 4 、 9 等不是无理数；

（3）π及含π的式子：例如、2 、 1 、1

32 等，但是

不是无理数．

【课堂导练】

五、阅读课本第 4 页，完成下列实数的分类：

___

________

________

______

________

正有理数

有理数 —有限小数或__ __ __ __小数

实数

—__ __ __ __ __小数

六、区别π、3.14、3.1415926、3.1415926…、22

7等 5 个数．

（1）在这 5 个数中，____是分数，___________和_______________是有限小数，这 3

个数是有理数；

（2）无理数有_____和____________________，这两个数是__ __ __ __ __小数．

七、区别0.23、0.232323、0.232323…、0.2322322233、0.2322332223333…等 5 个数．

（1）在这 5 个数中，有限小数有__________________________________；

（2）无限循环小数有_________________________________________；

（3）无限不循环小数有______________________________．

八、阅读课本第 5 页课后练习 1，对照以前学过的有理数的分类方法，完成实数的分类：

________

0

________

________

____

________

整数

有理数

实数

九、阅读课本第 4 页、第 5 页的例题 1、例题 2，注意“包括”、“统称”、“是”等词语

的意义．

十、和同伴们一起交流一下第 5 页课后练习 2．

十一、阅读课本第 4 页上部，理解无理数的相反数的意义，并在图 4 的数轴上注明 2

的相反数．

十二、我们体验一下 5 的几何意义以及 5 在数轴上的位置：

（1）如图 5 所示的 5 个面积为 1 的正方形可以拼成如图 6 所示的面积为 5 的正方形，

这个正方形的边长 OA 为_____．


3

图 5 图 6

（2）在图 7 中，以原点为圆心，以 OA 为半径画圆，圆与数轴的正半轴的交点就是___．

（3）我们可以体验到， 5 介于____和____两个整数点之间，靠近整数点____．

（4）在图 7 中的数轴上注明 5 的相反数．

图 7


4

12.2 平方根和开平方（1）

【课前导读】

第一课时的概念象绕口令一样，容易把同学们搞晕，我们用类比的方法学习 5 个概念：

平方根，开平方，被开方数，算术平方根（正平方根），负平方根．

这节课先完成下面的导学，然后再看课本，效果会好一点．

【课本导学】

一、先类比一下，初步了解平方根、开平方：

（1）加法与______互为逆运算，加法的运算结果叫_____；

（2）乘法与______互为逆运算，乘法的运算结果叫_____；

（3）平方与开平方互为逆运算，平方的运算结果叫平方数，开平方的运算结果叫平方

根．

二、模仿说话，继续了解平方根：

例如：3 的平方等于 9，3 是 9 的一个平方根；

－3 的平方等于 9，－3 也是 9 的一个平方根．

9 的平方根等于±3．

（1）10 的平方等于 100，10 是______________________；

－10 的平方等于 100，－10 也是______________________．

100 的平方根等于________．

（2）0.4 的平方等于 0.16，0.4 是______________________；

－0.4 的平方等于 0.16，－0.4 也是______________________．

0.16 的平方根等于________．

（3）2

3的平方等于

4

9，

2

3是______________________；

2

3 的平方等于，

2

3 也是______________________．

4

9的平方根等于________．

（4） 2 的平方等于 2， 2 是______________________；

2 的平方等于， 2 也是______________________．

2 的平方根等于________．

三、大胆尝试完成下列问题：

（1）9 的平方根等于±3，25 的平方根等于_______；

（2）0.25 的平方根等于_______，0.49 的平方根等于_______；

（3）25

81的平方根等于_______，

49

4的平方根等于_______；

（4）3 的平方根等于_______，5 的平方根等于_______．


5

四、象加、减、乘、除一样，运算都有运算符号的，平方、开平方也有运算符号的．

例如：3 的平方等于 9，3 是 9 的一个平方根，算式为 32＝9，3 9 ；

－3 的平方等于 9，－3 也是 9 的一个平方根，算式为(－3)2＝9， 3 9 ．

9 的平方根等于±3，算式为 9 3 ．9 叫做被开方数．

请你模仿这个例子，把上面（二）中的（1）（2）（3）题的算式写在右边．

请你模仿这个例子，把上面（三）中的（1）（2）（3）题的算式写在右边．

五、0 的平方等于 0，0 的平方根等于 0．

算式为 02＝0， 0 0 0 ．

六、一个数的平方会不会是负数？负数____（填“有”或“没有”）平方根．

【课堂导练】

七、列式计算，求下列各数的平方根（课本第 7 页例题 1 的格式以后就这么写）：

（1）4；（2）0.16；（3）9

25；（4）900；

（5）0.01；（6）81

400；（7）

12

4；（8）

73

9．

解：（1） 4 2 ；（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）1 9

24 4

（8）

八、列式计算，求下列各数的正平方根．．．．（算术平方根）（仿照课本第 8 页例题 2 的格式

书写）：

（1）225；（2）0.0001；（3）9

121；（4）625；

（5）0.04；（6）49

169；（7）

49

289；（8）

289

169．

解：（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

九、续写下面各题，注意“＋”、“－”、“±”在等号前后要一致：

（1） 2 2( 4) 4 4；（2） 2( 5)


6

（3） 2( 10) （4） 2( 3)

（5） 22( )

5 （6） 22

( 1 )3

十、我们一起来学习课本第 8 页课后练习 2：下列式子．．是否正确？

（1） 49 7 ；负数能开平方吗？或者说被开方数能是负数吗？

（2） 2( 3) 3 ，这个对还是 2( 3) 3 对？或者是 2( 3) 3 对？

（3） 2( 5) 5 ，负负得正在这里对吗？等号右边应该怎么改？

（4） 81 9 ，等号左边是求 81 的_____________，右边应该改为_____．


7

12.2 平方根和开平方（2）

【课前导读】

第二课时学习两个内容：

1．用计算器探索的近似值，就是课本第 9 页的内容，这个太难懂了，可以暂时搁置．

2．用计算器求一个正数的正平方根，进而可以写出这个正数的平方根、负平方根．

【课本导学】

一、先热身，复习一下四舍五入：将下列各数保留三位小数，注意用“≈”连接．

（1）3.14159≈

（2）15.28645

（3）24.39963

二、看看你会不会用计算器求一个正数的正的平方根（近似值保留四位小数）：

（1） 5 ≈ （2） 125

（3） 441 （4） 5.78

（5） 0.0392 （6） 64516

写完之后，请你对照课本第 10 页例题 3，检查两个项目：

“＝”号和“≈”号是否正确；近似数保留四位小数是否正确．

三、看看你怎样用计算器完成下面的计算（近似值保留三位小数）：

（1） 8 （2） 108

（3）3

7 （4）

42

9

写完之后，请你对照课本第 10 页例题 3，检查你写的保留三位小数是否正确．

【课堂导练】

四、借用计算器，完成下面计算，注意“＋”、“－”和“±”号，并把这些常用数据默

记下来：

（1） 121 （2） 144 （3） 169

（4） 196 （5） 225 （6） 256

（7） 289 （8） 324 （9） 361

（10） 625 （11） 1225 （12） 2025

（13） 3025 （14） 4225 （15） 5625

（16） 7225 （17） 9025 （18） 11025

五、完成课本第 11 页课后练习 2．用计算器，求近似值（保留三位小数）：

（1） 7 ≈ （2） 12


8

（3） 98 （4）8

613

六、完成课本第 11 页课后练习 3．用计算器，求下列各数的平方根的近似值（保留四

位小数）：

（1）11；（2）1

6；（3）32.4；（4）

32

7．

解：（1） 11 ≈ （2）

（3）（4）

七、完成课本第 11 页课后练习 1．求值：

（1）4

9 用“＝”还是“≈”？“－”号怎么办？

（2） | 1.21| 被开方数是负数吗？怎样用计算器？

（3） 0.0196 好像要用计算器帮忙．

（4） 2( 6) 被开方数是多少？

12.3 立方根和开立方

【课前导读】

这节课我们类比上节课《平方根和开平方》，学习 4 个概念：

立方根，开立方，被开方数，根指数．

这节课先完成下面的导学，然后再看课本，效果会好一点．

【课本导学】

一、先类比一下，初步了解立方根、开立方：

（1）平方与开平方互为逆运算，平方的运算结果叫________，开平方的运算结果叫

_______．

（2）立方与开立方互为逆运算，立方的运算结果叫立方数，开立方的运算结果叫立方

根．

二、模仿说话，学习立方根及其运算符号：

例如：（1）2 的立方等于 8， 8 的立方根是 2．

算式为 23＝8， 3 8 2 ．

3 8 读作三次根号 8，8 叫做被开方数，3 叫做根指数．


9

（2）－3 的立方等于－27，－27 的立方根是－3．

算式为(－3)3＝－27， 3 27 3 ．

3 27 读作___________，被开方数是______，根指数是_____．

（1）0.1 的立方等于 0.001，0.001 的立方根是___________．

算式为____________，_________________．

（2）2

3 的立方等于

8

27 ，

8

27 的立方根是__________．

算式为____________，_________________．

（3）0 的立方等于 0，0 的立方根等于 0．

算式为 03＝0， 3 0 0 ．

三、旧知识迁移到新知识：

（1）一个正数的立方是正数；反过来，一个正数的立方根是____数；

（2）一个负数的立方是___数；反过来，一个负数的立方根是____数．

四、阅读课本第 12 页例题 1 的解题过程，这里是用了开立方与立方互为逆运算．

如果我们把例题 1 的解题过程换个书写方式，就会得到一个关系式．

（1） 3 33 1000 10 10 ；（2） 3338

( )27

（3） 33 30.01 ( ) （4） 33 30 ( )

于是我们得到一个关系式： 3 3a ____，读作：一个数先立方再开立方等于它本身．

相应地， 33( )a ____，读作：一个数先开立方再立方等于_______．

【课堂导练】

五、用上面例题 1 得到的关系式，可以顺利完成课本第 12 页例题 2．

我们再练习一些常见的立方数．求值：

（1） 3 8 （2） 3 27

（3） 3 64 （4） 3 125

（5） 3 216 （6） 3 343

（7） 3 512 （8） 3 729

六、我们把常见的立方数“组合”训练一下：

（1） 38

125 （2） 3

64

27


10

（3） 364

125 （4） 3

216

125

（5） 327

512 （6） 3

343

729

七、我们把常见的立方数再训练一下：

（1） 3 8000 （2） 3 0.027

（3） 3 64000 （4） 3125

1000

（5） 3 216000 （6） 3 0.343

（7） 3 512000 （8） 3729

1000

八、我们一起完成课本第 13 页课后练习 1．下列说法是否正确？

（1）4 的平方根是±2；判断依据：

（2）8 的立方根是±2； 1．正数的平方根有两个，他们互为相反数；

（3）－27 的立方根是－3； 2．任何实数都有立方根，而且只有一个立方根．

（4）9 的平方根是 3．你判断正确的是_____________（写出题号）．

九、我们一起完成课本第 14 页课后练习 2，注意先列式，再计算．

已知 a3＝－125， 3 1

216b ，c

3＝0.064，求 a、b、c 的值．

解： 3 125a

3b

c

十、课本第 13 页例题 3 和第 14 页课后练习 3 是对应的，对照例题 3，看看你会不会使

用计算器求立方根的近似值，然后完成练习 3．

（1） 3 2006 注意“＝”还是“≈”?

（2） 33

98

带分数在计算器里怎样输入？

（3） 3 1737.7 注意“－”号！

十一、课本第 14 页例题 4 和第 14 页课后练习 4 是对应的，对照例题 4，看看你的计算

器显示的数值与课本是否一致？然后完成练习 4．


11

（1） 3 0.4 ≈

（2） 3 0.04 ≈

（3） 3 4 ≈

（4） 3 40 ≈

（5） 3 400 ≈

（6） 3 400 ≈

现在我们发现一下这道题目的规律：计算器显示的结果，除了小数点的位置不同，数字

相同的题号是：（1）与_____，（2）与_____，（3）与_____．

这个规律是：被开方数．．．．的小数点向右移动 3 位，立方根．．．的小数点向___移动___位．


12

12.4 n 次方根

【课前导读】

在前两节课学习《平方根和开平方》、《立方根和开立方》的基础上，这节课学习 n 次方

根和开 n 次方．

类比《平方根和开平方》，学习偶次方根和开偶次方．

类比《立方根和开立方》，学习奇次方根和开奇次方．

【课本导学】

一、模仿说话，熟悉奇次方根：

（1）因为 23＝8，所以 2 是 8 的立方根（三次方根），算式为 32 8 ．

因为(－2)3＝－8，所以－2 是－8 的立方根（三次方根），算式为 32 8 ．

（2）因为 25＝32，所以 2 是 32 的 5 次方根，算式为 52 32 ．

因为(－2)5＝－32，所以－2 是－32 的___次方根，算式为_____________．

（3）因为 27＝128，所以 2 是 128 的___次方根，算式为_____________．

因为(－2)7＝－128，所以－2 是－128 的___次方根，算式为_____________．

（4）因为 xn＝a（n 为奇数），所以 x 是 a 的___次方根，算式为_____________．

二、模仿说话，熟悉偶次方根：

（1）因为 22＝4，所以 2 是 4 的一个．．平方根（算术平方根），算式为2 4 ．

因为(－2)2＝4，所以－2 是 4 的一个．．平方根（负平方根），算式为 2 4 ．

因为(±2)2＝4，所以 4 的平方根（二次方根）是±2，算式为 4 2 ．

（2）因为 24＝16，所以 2 是 16 的一个．．4 次方根（正 4 次方根），算式为 42 16 ．

因为(－2)4＝16，所以－2 是 16 的一个．．__次方根（负__次方根），算式为 42 16 ．

因为(±2)4＝16，所以 16 的 4 次方根是_____，算式为_______________．

（3）因为 26＝64，所以 2 是 64 的一个．．__次方根（正__次方根），算式为_____________．

因为(－2)6＝64，所以－2 是 64 的一个．．__次方根（负__次方根），算式为_____________．

因为(±2)6＝64，所以 64 的 6 次方根是_____，算式为_______________．

（4）因为(±x)n＝a（n 为偶数），所以 a 的___次方根是±x，算式为_____________．

三、阅读课本第 14 页问题 1 和第 15 页思考 1，我们可以归纳出：

（1）正数的奇次方根是____数；

（2）负数的奇次方根是____数；


13

（3）0 的奇次方根是____．

四、阅读课本第 15 页问题 2 和第 15 页思考 2，我们可以归纳出：

（1）正数的偶次方根有____个，它们互为_______数；

（2）负数_____（填“有”或“没有”）偶次方根；

（3）0 的偶次方根是____．

五、阅读课本第 16 页例题 1，我们读读这两个题目的代表性．

（1）一个负数的奇次方根是____数；一个数先 5 次方，再开 5 次方，等于_______．

（2）一个正数的偶次方根有____个，它们互为______数；一个正数的 6 次方再开 6 次

方，等于这个数和它的_______数．

【课堂导练】

六、请写出下列各组运算的结果，注意“＋”、“－”、“±”号：

（1） 5 53.2 55 ( 3.2)

5 53.2 55 ( 3.2)

（2） 6 63 66 ( 3)

66 ( 3)

66 ( 3)

（3）6 34

6 34

26 ( 8 )

26 ( 8)

七、先列式，再计算，注意“＋”、“－”、“±”号：

（1）求 85( )

3 的 4 次方根；（2）求 153

( )2

的 5 次方根．

解：（1）

（2）

八、完成课本第 16 页课后练习 1．求值：

（1） 5 32

（2） 4 625

（3） 26

1( )

8

九、看看你会不会使用计算器求方根．先对照课本第 16 页例题 2，再完成第 16 页课后

练习 2 和课后练习 3，注意“＋”、“－”、“±”号．


14

（1） 4 1000 用“＝”还是“≈”？

（2） 5 640 “－”号怎么处理？

（3） 6 518 注意“－”！结果是“－”还是“±”？

（4） 53

25

和（2）一样吗？

（5） 10 0.3 结果是“＋”还是“±”？

12.5 用数轴上的点表示实数（1）

【课前导读】

这节课学习 4 个内容：

1．象有理数一样，无理数也可以用数轴上的点表示；

2．象有理数一样，无理数也有绝对值、相反数；

3．象有理数一样，实数也可以比较大小；

4．数轴上两点间的距离公式．

第一课时学习前 3 个内容．

【课本导学】

一、课本第 17 页“操作 1”的文字很长，其实告诉了我们两个信息：

（1）无理数 2 可以用数轴上的点表示；

（2）无理数 2 的相反数 2 也可以用数轴上的点表示，这两个点到原点的距离_____．

二、课本第 18 页“操作 2”的文字也很长，其实也告诉了我们两个信息：

（1）无理数π可以用数轴上的点表示；

（2）怎样在数轴上找到π对应的点——直径为____的圆的周长等于π，把这个圆滚动

一周，长度为_____．

三、阅读课本第 18 页倒数第二段和边款，这些话很绕口．

实数与数轴上的点是一一对应．．．．的．这句话的意思有两层：

（1）每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点．．．．．．来表示；

（2）反过来，数轴上的每个点也都可以用唯一的一个实数．．．．．．．来表示．

四、课本第 19 页上方的两个蓝色框题，我们在六年级《有理数》一章已经熟悉了，在

实数范围内有同样的意义．

（1）第一个框题是讲绝对值、相反数的；

（2）第二个框题是讲比较大小的．

【课堂导练】


15

五、写出下列各数的绝对值：

（1） | 3 | （2） 4| 5 |

（3） 3| 81 | （4） 5| 10 |

六、完成下列填空：

（1） 10 的相反数是__________；

（2） 3 12 的相反数是__________；

（3）数轴上， 2 到原点的距离等于________；

（4）数轴上，到原点的距离等于 5 的点是____________；

六、比较两个正实数的大小：

（1） 2 _____ 3 ；（2） 21 _____ 20 ；

（3） 35 _____6；（4）7_____ 50

（5） 3 10 _____ 3 15 ；（6） 4 36 _____ 4 40 ；

（7） 5 30 _____2；（8） 6 1.05 _____1．

七、比较两个负实数大小——绝对值大的反而小：

（1） 6 _____ 7 ；（2） 10 _____－3；

（3） 26 _____－5；（4）－10_____ 101

（5） 3 50 _____ 3 51 ；（6） 4 80 _____－3；

（7） 5 35 _____－2；（8） 6 0.99 _____－1．

八、写出下列各数的相反数：

（1） 2 3 的相反数是___________， 3 2 的相反数是___________；

（2） 5 2 的相反数是___________，2 5 的相反数是___________；

（3）3 10 的相反数是___________， 10 4 的相反数是___________；

（4） 3 的相反数是___________， 10 的相反数是___________．

九、写出下列各数的绝对值：

（1） | 2 3 | _____________；（2） | 5 3 | _____________；


16

（3） | 3 | _____________；（4） | 10 | _____________；

（5） | 2 1| _____________；（6） 0| ( 2 1) | ____．


17

12.5 用数轴上的点表示实数（2）

【课前导读】

第二课时学习数轴上两点间的距离公式．

【课本导学】

一、我们先用数轴上熟悉的整数点，来学习两点间的距离．

如图，已知数轴上的四个点 A、B、C、D 所对应的数依次是－5、－2、3、6，O 为原

点．

（1）写出线段的长：OA＝_____，OB＝_____，OC＝_____，OD＝_____；

（2）AB＝_____，OA－OB＝_____，(－2)－(－5)＝_____；

（3）CD＝_____，OD－OC＝_____，(＋6)－(＋3)＝_____；

（4）AC＝_____，OA＋OC＝_____，(＋3)－(－5)＝_____；

（5）BD＝_____，OB＋OD＝_____，(＋6)－(－2)＝_____；

我们总结（2）、（3）、（4）、（5），可以发现，数轴上两点间的距离，等于右边的一个点

表示的数减去_________________________．

二、阅读课本第 20 页的全部内容，我们发现小明、小杰和小丽求线段 BC 的长，方法

虽然不同，但是结论都是相同的．

你比较一下，谁的方法总结为蓝色框题的结论了？答：_____的方法．

【课堂导练】

三、完成课本第 21 页课后练习 4．

已知数轴上的四点 A、B、C、D 所对应的数依次是－1.2、1

33

、3

4、4.3．

（1）在数轴上描出点 A、B、C、D；

（2）分别求 A 与 B、C 与 D、A 与 C 两点间的距离．

解：（1）

（2）AB＝|( )－( )|＝

CD＝

AC＝

四、已知数轴上的四点 A、B、C、D 所对应的数依次是－2、 2 、 3 、4．

分别求 A 与 B、C 与 D、A 与 C 两点间的距离．

解： AB＝|( )－( )|＝

CD＝

AC＝


18

12.6 实数的运算（1）

【课前导读】

这节课是同学们普遍头疼的一节课，似乎都会，似乎都不自信．

究其原因，是例题 1、例题 2、例题 3 共讲了 10 个计算题，但是这 10 道计算题是 10

个不同类型的题目．

我们这节课分五个课时，按类型低起点、小步子进行基本功训练．

【课本导学】

一、阅读课本第 21 页下方和第 22 页上方，这些运算顺序很熟悉了．

新增加了两点：（1）开方与______是同级运算；

（2）运算的结果可能是化简了的一个算式，如___________、__________．

【课堂导练】

二、类比合并同类项，计算（结果用含根号的式子表示）：

（1）2 7 3 7 7 （2）2 5 5 4 5

(2 3 1) 7

（3）1 3 5

6 6 62 2 2

（4）1 1 1

7 7 72 3 4

（5）1 2 5

10 10 102 3 4

（6） 15 2 15 3 15a b c

（7）3 2 3

32 3 4

a a a （8）1 2 3

2 3 4ax ax ax


19

三、利用同底数幂的乘法，计算：

（1） 2( 2) （2） 3 2( 2) ( 2) 2

（3） 4( 2) （4） 5( 2)

（5） 6( 2) （6）特别地， 0( 2)

四、类比同底数幂的乘法、同底数幂的除法，计算（注意“＋”、“－”号）：

（1） 3 5( 2) ( 2)

（2） 11 8( 3) ( 3)

（3） 15 12( 10) ( 10)

（4） 3 5 6( 5) ( 5) ( 5)

（5） 5 7 2( 30) ( 30) ( 30)

（6） 9 5( 6) ( 6)

五、类比乘法分配率，计算（结果用含根号的式子表示）：

（1） 3( 3 1) （2） 3(3 3)

（3） 5( 5 4) （4） 6(2 3 6)

（5）1

10( 10 5)2

（6）1

39( 39 2)3

六、利用乘法与除法互为逆运算，计算：

（1）2 2 （2）5 5

（3）10 2 （4）10 5

（5）6 2 2 （6）10 3 4 3

七、类比多项式除以单项式，计算（结果用含根号的式子表示）：

（1） (5 2 5) 5 （2） (2 6 6) 6

（3） (6 3 3) 2 3 （4） (4 3 2) 2

（5） (4 5 10) 5 5 （6） (4 7 35) 5 7


20

12.6 实数的运算（2）

【课前导读】

第二课时我们集训按类型低起点、小步子进行基本功训练．

【课本导学】

一、阅读课本第 23 页的想一想，这两个等式是用计算器验证得到的．

我们不用计算器，用特殊值进行验证．

（1） 4 9 2×3＝_____， 4 9 36 _____；

（2） 16 100 4×10＝_____， 16 100 1600 _____；

（3）9 ( )

( )25 ，

9 ( )

25 ( ) ；

（4）81 ( )

( )49 ，

81 ( )

49 ( ) ；

根据（1）、（2），可以归纳得到 ab a b ．想一想，a、b 能取负数或 0 吗？

根据（1）、（2），可以归纳得到a a

b b ．想一想，b 的取值有什么限定？

【课堂导练】

二、利用公式 a b ab 或a a

bb 进行计算：

（1） 2 18 （2） 5 20

（3） 5 80 （4） 45 20

（5）3

12 （6）

63

7

（7）1300

13 （8）

16

64

三、利用公式 ab a b 进行化简：

（1） 8 4 2 4 2 （2） 12

（3） 18 （4） 20

（5） 24 （6） 32


21

（7） 48 （8） 50

（9） 72 （10） 200

四、利用公式 a b ab 进行计算：

（1） 3 5 （2） 3 6 3 3 2

（3） 5 15 （4） 12 6

（5）2 7 14 （6）1

10 302

（7）1

15 452

（8）1

35 705

五、利用公式 ab a b 或a a

bb 进行计算：

（1） ( 49) ( 25) （2） ( 36) ( 81)

（3）100

49

（4）

81

4

六、乘法与除法的混合运算，可以把除号先改写为分数线，能约分的就约分．

（1） 2 3 2 （2）2 2 3 3 3 2

（3）3 2 5 3 6 3 （4）1

2 2 32


22

12.6 实数的运算（3）

【课前导读】

第三课时我们灵活运用幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式等进行计算．

【课本导学】

一、我们回顾 7 年级上学期学过的一些知识：

（1）幂的乘方：(am)n＝a

mn．例如 3 2 2 3[( 2) ] [( 2) ] _____．

（2）积的乘方：(a·b)n＝a

m·bn．例如 3 3 33 3

( 2) ( ) ( 2 )2 2

_____．

（3）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b

2．例如 2( 2 1)( 2 1) ( 2) 1 _____．

（4）完全平方公式：(a＋b)2＝a

2＋2ab＋b2，(a－b)

2＝a2－2ab＋b

2．

例如 2 2 2( 2 5) ( 2) 2 2 5 ( 5) ____________________．

【课堂导练】

二、利用积的乘方公式(a·b)n＝a

m·bn进行计算：

（1） 2 2 2(2 2) 2 ( 2) （2） 2(2 3)

（3） 2(3 2) （4） 2( 2 5)

（5） 33(2 5) （6） 33

1( 3 )

3

（7） 44

3(2 )

4 （8） 4

42

( 3 )3

三、利用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b

2进行计算：

（1） ( 3 2)( 3 2)

（2） ( 3 2)( 3 2)

（3） ( 5 2)( 5 2)

（4） (3 10)(3 10)

（5） (3 2 10)(3 2 10)

（6） (3 2 2 5)(3 2 2 5)

（7） ( 4 17)(4 17)

（8） (3 2 2 3)( 3 2 2 3)


23

四、利用完全平方公式：(a＋b)2＝a

2＋2ab＋b2，(a－b)

2＝a2－2ab＋b

2 进行计算：

（1） 2( 2 1)

（2） 2( 2 2)

（3） 2( 3 2)

（4） 2( 5 3)

（5） 2(2 3 1)

（6） 2(2 3 5)

（7） 2(2 3 3 2)

（8） 2(5 2 2 5)

五、化简：

（1）2( 2 1) （2）

2( 2 1)

（3）2( 2 2) （4）

2( 3 2)

（5）2(3 2 2) （6）

2(2 3 3 2)

六、利用平方差公式进行计算：

（1） 2 240 32 (40 32)(40 32) 72 8 9 8 8

（2） 2 261 11

（3） 2 250 14

（4） 2 265 60

七、计算：

（1） 2 23 4

（2） 2 2( 6) ( 8)

（3） 2 2( 2 3) (4 16)

（4）4 4( 3 5) (2 5)


24

12.6 实数的运算（4）

【课前导读】

第四课时我们学习较为复杂的混合运算．

【课本导学】

一、我们来解答课本第 24 页例题 3，解完之后对照课本，寻找自信和成就．

（1）2 2( 3) ( 7)

（2） 9 7( 3) ( 3)

（3） ( 2 3 2 3 3) 3 方法一，先分配再合并．方法二，先合并再分配．

＝＝

＝＝

＝＝

＝＝

（4） 2 2( 3 2) ( 3 2) 方法一，先乘方再乘法．方法二，先用积的乘方．

＝＝

＝＝

＝＝

＝＝

【课堂导练】

二、完成课本第 24 页课后练习 1．不用计算器，计算：

（1）2 6 3 6 4 6

（2） 5 2 2 2 2 5

（3）2

5( 5 )5

（4） 2 2 2( 5) ( 13) 125

三、为顺利完成课本第 24 页课后练习 2，我们先复习一下负整数指数幂：

（1）任何数（零除外）的零次幂等于 1．例如 0( 2 1) _____．

（2）3 0 3 0 3 3

3

1 12 2 2 2 1 2

2 ( )

．

（3） 21( )

4

（4）11

( )3 1


25

四、完成课本第 24 页课后练习 2．不用计算器，计算：

（1） 3 2( 2) ( 2 3)

（2） 2 21( ) ( 10)

4

（3） 11( ) 5 20

3 1

（4）2 0( 3 2) ( 2 1)

五、仿照课后练习 2，再练习几道题目，计算：

（1） 4 2( 2) ( 2 5)

（2）2 0(3 10) ( 3 5)

（3） 11( ) 2 2 3

3 2

（4） 3 2 01( ) ( 3 7) (5 2)2


26

12.6 实数的运算（5）

【课前导读】

第五课时学习三组内容：

1．根据生活经验，能区别准确数、近似数．

2．近似数与准确数的接近程度——精确度．

（1）把一个近似数“保留两位小数”（“精确百分位”、“精确到 0.01”）的方法是“四舍

五入”．

（2）把一个近似数“保留四个有效数字” 的方法也是“四舍五入”．

【课本导学】

一、阅读课本第 25 页，根据生活经验，体会准确数、近似数．

有一个比较简便的方法可以区别准确数、近似数：

（1）可以数．出来的个数．．，一般都是准确数；

（2）用工具测量．．出来的数值．．，一般都是近似数——误差在所难免！

【课堂导练】

二、根据着重号的提示，指出下列近似数各精确到哪一个数位：

（1）近似数 2000．精确到_____位；

（2）近似数 5. 6．精确到_____位；

（3）近似数 3.14．精确到_____位；

（4）近似数 0.618．精确到_____位．

三、根据提示，指出下列近似数各精确到哪一个数位：

（1）近似数 15．万精确到_____位；（提示：15．万＝15．0000）

（2）近似数 7.2．万精确到_____位；（提示：7.2．万＝72．000）

（3）近似数 7.20．万精确到_____位；（提示：7.20．万＝720．00）

（4）近似数 13．亿精确到_____位；（提示：13．亿＝1 3．00 000 000）

（5）近似数 1.025．亿精确到_____位．（提示：1.025．＝102 5．00 000）

四、根据提示，指出下列近似数各精确到哪一个数位：

（1）近似数 5.10．×105 精确到_____位．（提示：5.10．×10

5＝510． 000）

（2）近似数 5.0．×106 精确到_____位．（提示：5.0．×10

6＝50．00 000）

（3）近似数 5．×103精确到_____位．（提示：5．×10

3＝5．000）

（4）近似数 1.3．×109 精确到_____位．（提示：1.3．×10

9＝_______________）

五、用四舍五入法，按要求取近似数：

（1）把 0.5463300 精确到十分位是_________________；

（2）把 26. 495421 精确到百分位是_________________；

（3）把 3.1415926 精确到千分位是_________________．

六、用四舍五入法，按要求取近似数（提示：用科学记数法表示）：

（1）把 5463300 精确到万位是_________________；

（2）把 42180 精确到百位是_________________；

（3）把 1998500 精确到千位是_________________；

（4）把 1999500 精确到千位是_________________．


27

七、完成课本第 27 页课后练习 1，学习有效数字：

（1）近似数 3.45 有_____个有效数字，它们是，，；

（2）近似数 3.450 有_____个有效数字，它们是_____________；

（3）近似数 3.0450 有_____个有效数字，它们是_____________；

（4）近似数 0.0450 有_____个有效数字，它们是_____________；

（5）近似数－0.4500 有_____个有效数字，它们是____________．（和“－”号无关）

八、填空：

（1）近似数 2000 有_____个有效数字，它们是_____________；

（2）近似数 2010 有_____个有效数字，它们是_____________；

（3）近似数 1001 有_____个有效数字，它们是_____________．

九、填空：

（1）近似数 20 亿有_____个有效数字，它们是_____________；

（2）近似数 2.10 万有_____个有效数字，它们是_____________；

（3）近似数 9 千万有_____个有效数字，它们是_____________．

九、填空：

（1）近似数 2.01×105 有_____个有效数字，它们是_____________；

（2）近似数 6.00×108 有_____个有效数字，它们是_____________；

（3）近似数 9.080×1010有_____个有效数字，它们是_____________．

十、用四舍五入法，按要求取近似数：

（1）把 0.0546332 保留 4 个有效数字是_________________；

（2）把 26. 495421 保留 4 个有效数字是_________________；

（3）把 3.1415926 保留 4 个有效数字是_________________．

十一、用四舍五入法，按要求取近似数（提示：用科学记数法表示）：

（1）把 5463300 保留 4 个有效数字是_________________；

（2）把 420000 保留 3 个有效数字是_________________；

（3）把 1998500 保留 4 个有效数字是_________________；

（4）把 1999500 保留 4 个有效数字是_________________．


28

12.7 分数指数幂（1）

【课前导读】

六年级第二学期《有理数的乘方》一节课，我们学习过 25 的意义．

七年级第一学期《同底数幂的除法》一节课，我们学习过 20、2

-3的意义．

这节课第一课时我们学习

1

32 和

1

32

的意义．

【课本导学】

一、课本第 30 页开篇回顾了两个问题，提出了一个新问题：

（1）8－5＝8＋(－5)，减法转化为加法，相反数来帮忙．

（2）2 3 2 8

5 8 5 3 ，除法转化为乘法，倒数来帮忙．

（3）开方 3 2 能否转化为乘方2m？谁来帮忙？m 等于多少？

二、用方程来解决问题：

第一步：设 3 2 2m ．

第二步：去根号，等式两边立方，得 3 33( 2) (2 )m ．

第三步：整理，得32 2 m ．

第四步：根据底数相同，指数相等，得 1＝3m．

第五步：解得1

3m ．

结论：

1

3 32 2 ．开方可以转化为乘方形式的运算，方根可以表示为幂的形式，——分

数指数幂来帮忙！

【课堂导练】

三、把正分数指数幂转化为熟悉的开方的形式，再计算：

（1）

1

24 4 （2）

1

338 8

（3）

1

416 （4）

1

532

（5）

1

38

( )27

（6）

1

481

( )16

四、把正分数指数幂分两步转化为熟悉的开方的形式，再计算：

（1）

2 2

32 23 38 (8 ) 8 （2）

3 3

3 32 24 (4 ) 4

（3）

2

31000 （4）

3

2100


29

（5）

3

416 （6）

4

327

五、用两种方法把负分数指数幂转化为熟悉的开方的形式，再计算：

（1）1 1

1 12 21

4 (4 ) ( 4)4

或

1 1 1

12 2 21 1

4 (4 ) ( )4 4

（2）

1

38

或

1

38

（3）

1

416

或

1

416

（4）

1

532

或

1

532

（5）

1

38

( )27

或

1

38

( )27

（6）

1

481

( )16

或

1

481

( )16

六、用两种方法把负分数指数幂转化为熟悉的开方的形式，再计算：

（1）

2 2

3 3 1

3 2

18 (8 )

8

或

2 2 2

1 23 3 3 31 1

8 (8 ) ( ) ( )8 8

（2）

3

24

（3）

2

31000

（4）

3

2100

（5）

3

416

（6）

4

327

七、把下列方根转化为分数指数幂的形式：

（1） 3 5 （2） 5 3

（3）3

1

6 （4） 3

1

6

（5）3 2

1

5 （6）

23

1( )5

（7）5 3

1

2 （8）

351

( )2


30


31

12.7 分数指数幂（2）

【课前导读】

第二课时学习分数指数幂的运算．如果你不喜欢分数指数幂的形式，把它转化为熟悉的

方根形式就好了．

七年级上学期学过的 4 个法则要反复使用：

同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方．

【课本导学】

一、我们用多种方法来解读课本第 33 页例题 4，看看你更习惯哪一种．计算：

（1）

1

3(8 27) 3 3 38 27 8 27 一步转化，步步亲切！

1

3(8 27) =

1 1

3 38 27 3 38 27 半路转化，也显亲切！

1

3(8 27)1 1

33 3 3 3(2 3 ) (2 3)

逆向转化，大胆细心！

1

3(8 27)1 1 1

3 33 3 3 3 3(2 3 ) 2 3

殊途同归，你更爱谁？

（2）

1 1

2 22 81 1

2 22 8 2 8 2 8

1 1

2 22 81

2(2 8) 2 8

1 1

2 22 81 1 1 3 1 3

32 2 2 2 2 22 (2 ) 2 2 2

你习惯哪种方法？

（3）

2 1

33 3(4 6 )2 1 2 1

( 3) ( 3)33 3 3 3(4 6 ) 4 6

2 1

33 3(4 6 )1

32 3(4 6)

2 1

33 3(4 6 )

3 3

3 2 33 3 316 8

( 4 6)6 3

（4）

13 3

32 4(5 25 )

3 1 13 1 1 1 1

22 3 34 2 4 2 45 25 5 25 5 (5 )

13 3

32 4(5 25 )

11 1

332 4(5 25 )

113 3 3 33

2 32 4 2 25 (5 ) (5 5 )

11 13

32 4(5 25 )

二、课本第 33 页例题 5，4 个题目代表了 4 个运算．计算：

（1）

2 1

3 25 5 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．


32

（2）

1

36 6 同底数幂相除，底数不变，指数相减．

（3）

2 1

3 4(8 )

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

（4）

1

3 3 6(12 4 ) 1

3 6(12 4) 先积的乘方，再幂的乘方．

三、课本第 34 页例题 6，你用计算器作一下，再对照课本，看看你会不会用计算器．

【课堂导练】

四、不管你使用什么方法，看看你能不能把课本第 34 页课后练习 1 作正确．

（1）

1 1

42 2(3 5 )

（2）

4 3

23 2(3 5 )

（3）

1

2 2 2(2 3 )

（4）

1 1

63 2(2 3 )

五、对应例题 5，看看你能不能把课本第 34 页课后练习 2 作正确．

（1）

1 2

6 39 9

（2）

1

247 7

（3）

21

34(27 )

（4）

1

5 5 6(3 2 )

（5）

1 1

2 25 5

（6）

1 1

32 2(2 3 )

五、对应例题 6，看看你用计算器能不能把课本第 34 页课后练习 3 作正确．

（1）

2 2

3 36 4

（2）

2 3

3 45 10

（3）

1 1

33 3(3 4 )

（4）

1 21

3 32(5 6 )


33

如果您对这个导学案有兴趣，请介绍给您的朋友．

上海地区的新华书店、教辅书店、当当

网上书城、淘宝店都有售．

团购垂询：13585587770．

12.1 实数的概念 -...

Documents