13 1 ecuacion de difusion esquema de crank nicholson

7/24/2019 13 1 Ecuacion de Difusion Esquema de Crank Nicholson

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Ecuacin de Difusin.- Esquema de Crank-Nicholson(basado en unos apuntes del Prof. Javier Garca de Jaln)

Sea la ecuacin diferencial de difusin:

t

u)t,X(p

X

u

2

2

=

con las condiciones iniciales:

u(x,0) = f(x) 0 x Ly condiciones de contorno

0t)t(hx

t)u(L,(t)t)u(L,

0t)t(gx

t)u(0,(t)t)u(0,

=

+

=

+

Para resolverlo se va a utilizar el mtodo de los elementos finitos con funciones de interpolacin lineales, teniendoen cuenta que los valores ukvan a ser funciones del tiempo.

Considrese el intervalo [0,L] dividido en M elementos cuyos extremos son [X1,X2], [X2,X3], [X3,X4], ., [Xk,Xk+1],.., [XM,XM+1], donde X1 = 0 y XM+1 = L. Se va reducir este estudio al elemento genrico ek, definido en elsubintervalo [Xk,Xk+1] cuyos nodos son Xky Xk+1.

Se aproxima la solucin mediante las funciones de interpolacin lineales:

kk1

h

x1)x(N =

y

donde hk= Xk+1- Xky las funciones estn expresadas en coordenadas locales que se relacionan con las globalesmediante la ecuacin:

X = x + Xk

Represe que dX = dx, con lo que la ecuacin diferencial expresada en coordenadas locales para el elemento ektendra la forma:

t

u

)t,xX(px

uk2

2

+=

Con estas funciones de interpolacin la funcin en este elemento se aproxima mediante la lnea recta definida por:

)x(Nu)x(Nuy k21kk1k += +

donde uk y uk+1 son los valores de las ordenadas en los nodos del elemento, y funciones del tiempo, en lasabscisas, expresadas en coordenadas globales, Xky Xk+1, respectivamente.

Aplicando el mtodo de Galerkin, en el que

i) Integrando por partes la integral correspondiente al primer miembro

dxdx

)x(dN.xu)x(N

xudx)x(N

xu kh

0

kr

kh

0

kr

kh0

kr2

2

=

Particularizando ahora para r = 1 y, sustituyendo a u por su valor, se obtiene

dxdx

)x(dN.

dx

)x(dNudx

dx

)x(dN.

dx

)x(dNu

X

)t,X(u kh

0

k1

k2

1kkh

0

k1

k1

kk

+

Para r = 2 se obtiene,

dxdx

)x(dN.

dx

)x(dNudx

dx

)x(dN.

dx

)x(dNu

X

)t,X(u kh

0

k21

k2

1kkh

0

k2

k1

k1k

+

+

llamando

dxdx

)x(dN

dx

dNK k

h

0

k1

k1k

11 =

k

k2 h

x)x(N =

2,1rdx)x(Nt

u)t,xX(pdx)x(N

x

u kk h

okrk

h

0kr2

2

=

+=


2/4

2/4

dxdx

)x(dN

dx

dNKK k

h

0

k2

k1k

21k12

==

dxdx

)x(dN

dx

dNK k

h

0

k2

k2k

22 =

se llega a las siguientes expresiones

1kk12k

k11

k uKuKX

)t,X(u+

1kk22k

k21

1k uKuKX

)t,X(u+

+

ii) El segundo miembro

( ) =++=+ + dx)x(NNuNu)t,xX(pdx)x(Ntu

)t,xX(p kh

o

kr

k21k

k1kk

kh

o

krk

&&

+++= + kh

o

kr

k2k1k

kh

o

kr

k1kk

dx)x(N)x(N)t,xX(pudx)x(N)x(N)t,xX(pu &&

llamando

+= kh

o

kr

k1k

k1r dx)x(N)x(N)t,xX(pC

y

+=kh

o

kr

k2k

k2r dx)x(N)x(N)t,xX(pC

La expresin anterior matricialmente adopta la forma:

=

+++ 1k

kk22

k21

k12

k11

1k

kk22

k21

k12

k11

1k

k

u

u

CC

CC

u

u

KK

KK

X

)t,X(uX

)t,X(u

&

&

Se suele llamar

=

k22

k21

k12

k11k

el KK

KKK y

=

k22

k21

k12

k11k

el CC

CCC

que, como se ha visto, son simtricas.

Si se ha discretizado el dominio en M elementos, por cada uno de ellos se obtienen dos ecuaciones, como las

vistas. Es obvio que las componentes de los vectores correspondientes a las condiciones de contorno de loselementos, por continuidad, son iguales en el nodo comn a elementos adyacentes. Por tanto, se puede pasar delas 2xM ecuaciones a M+1, sin ms que sumarlas dos a dos.

[ ] [ ]K K= ==

e

e

n

1

[ ]K1 [ ]K2

[ ]K3

[ ]K4

Ensamblaje de la matriz [K].

Este proceso, conocido tambin como ensamblaje de matrices, conduce a la siguiente ecuacin matricial:


3/4

3/4

=

+

+

+

+

+ 1M

2

1

M22

M12

M11

1M22

311

211

212

211

122

112

111

1M

1

u

u

u

K

KKK

0sim

KK

0KKK

00KK

X)t,X(u

0

0X

)t,X(u

+

+

+

=

+

1M

2

1

M22

M12

M11

1M22

311

211

212

211

122

112

111

u

u

u

C

CCC

sim

CC

CCC

00CC

&

&

&

De modo simblico:{v} K{u} = C{du/dt}

Ahora se va a ver cmo integrar numricamente el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que slodependen del tiempo t. Integrar este sistema precisa disponer de una expresin que permita calcular las

temperaturas en el instante t+t a partir de las temperaturas en el instante t. Aplicando esta expresin

recurs ivamente a partir de las temperaturas en el instante inicial, se pueden calcular las temperaturas encualquier instante de tiempo.:

t t+t/2 t+t

T(t+t)T(t)

Mtodo de Crank-Nicholson.

Segn se muestra en la figura, el mtodo de Crank-Nicholson supone la ecuacin aplicada en el instante (t+ t/2),en la forma:

[ ]{ } [ ]{ } { }vuu 2/tt2/tt =+ ++ &

CK

En esta ecuacin se introducen ahora las siguientes aproximaciones, basadas en los conceptos aproximados devalor medioy der ivada:

{ } { } { }( )ttt2/tt

uu2

1u ++ +=

{ } { } { }( )ttt2/tt uut1

u

= ++&

Sustituyendo estos valores en la ecuacin y reordenando se obtiene:

t2/ttttu}v{u BA =+ ++

donde,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]KCBKCA2

1

t

1

2

1

t

12/tt2/tt

=+

= ++


4/4

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ecuacin de la que puede calcularse { }ttu + conocido { }tu . Mediante esta ecuacin se puede avanzar paso apaso desde el instante inicial, hasta el instante de tiempo que se desee. En otras palabras, a partir de las

condiciones iniciales { }0u se calcula { }1u ; a partir de { }1u se calcula { }2u ; y as sucesivamente hasta el ltimoinstante de tiempo previsto en el clculo.

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