13 จำนวนจริง บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง จ านวนจรง

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน

- การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง

- การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

- การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1)



14. แบบฝกหด (ขนสง)

15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน

16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดน รวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง จ านวนจรง ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของจ านวนจรง

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน

ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


4

บทสารคดและขอมลเพมเตม ความเจรญกาวหนาทางคณตศาสตรไดเรมบมเพาะจากเมลดพนธทฝงอยในส านกของมนษยทกคน เมอความเปนจ าเปนในการด ารงชวต เปนเหมอนกบน าทหลอเลยงและ ยงใหเมลดพนธนไดจ าเรญงอกงามขน ผานวนเวลานานนบศตวรรษ ตามออารยธรรมทหลากหลายทวโลก ผานการลองผด ลองถก ความบงเอญ การจดระบบระเบยบทางความคด การใหเหตผล ตลอดจนการพฒนาตอยอด ทสงสมสบมาอยางตอเนอง จนกลายเปนไมใหญทหยดยน เหยยดยอดระบดใบ อยางในปจจบน


5

ในบรรดาศาสตรสาขาตางๆ ของคณตศาสตร ทง เรขาคณต พชคณต ตรโกณมต การนบ ความนาจะเปน สถต หรอในอกหลากหลายสาขา ดเหมอนวาเมอสาวลงไปถงแกนของศาสตรเหลานแลว ยอมจะพบจดรวมกนคอ “จ านวน” และหากปราศจากองคความรเรอง “จ านวน” เสยแลว ประดาศาสตรทงหลายเหลาน จะยงเกดมขนไดละหรอ แลคงจะตองปลาสนาการมลายหายสญกนไปเสยสน


6

แลวมนษยเรมรจก “จ านวน” ตงแตเมอไร ตอแตนไปเราจะยอนกลบไปในชวงเวลาทมนษยเรม รงสรรคสรรคสญลกษณเพอแทน “จ านวน” ตามแหลงอารยธรรมตางๆ เทาทจะพอมหลกฐานบนทกและ คาดคะเนไปถงได

อารยธรรมเมโสโปเตเมย อารยธรรมเมโสโปเตเมย อยในแถบลมแมน า ไทกรส-ยเฟรตส อารยธรรมนเรมกอตวขนเมอ

ราว 4,000 ปกอนครสตกาล มศนยกลางหลกอยท นครบาบโลน หรอปจจบนคอจงหวดบาบล (Babil) ในประเทศอรก อารยธรรมส าคญของโลกแหงนมการประดษฐและใชอกษรคนฟอรม (Cuneiform) หรอ อกษรลม ซงเปนการจารกลงบนแผนดนเหนยว โดยใชกานตนออกดลงบนแผนดนเหนยวขณะทยงออนตว


7

ในดานของระบบเลขฐาน ชาวเมโสโปเตเมยใชระบบฐานสบ (decimal system) ในการเขยน ตวเลขแสดงจ านวนทนอยกวาหกสบเมอตองการเขยนแสดงจ านวนมากกวาหกสบขนไป กลบใชระบบ ฐานหกสบ (sexagesimal system) และหลกฐานทางประวตศาสตรคณตศาสตรชนส าคญชนหนงท สะทอนใหเหนถงภมรและพฒนาการทางคณตศาสตรชนสงดานจ านวน ของกลมชนในดนแดนอารยธรรม แหงน กคอ แผนดนเหนยวพลมตน 322 ซงมเนอหาสวนหนงแสดงตารางสามสงอนดบแบบพทาโกรส (Pythagorean triples) ซงเปนชดตวเลขทมความสมพนธตามทฤษฎบทของพทาโกรส เชน (119, 120, 169) และ (12709, 13500, 18541)

เมอราว 1,800 กอนครสตกาล ชาวอมอไรต ไดสถาปนานครบาบโลน ใหเปนเมองหลวงของจกรวรรดบาบโลเนย ตอมาบาบโลนไดถกรกรานโดยชนชาตอนอกหลายครง สงผลใหนครแหงนไดสญสลายลง และตอมาชาวคาลเดยนกไดสถาปนาอาณาจกรบาบโลนขนอกครง เมอราว 539 ปกอนครสตกาล

แผนดนเหนยวพลมตน 322 เปนวตถโบราณหนงในชดของสะสมของพลมตน (George Arthur Plimpton) ซงซอมาจากพอคาวตถโบราณชาวอเมรกน ในป ค.ศ. 1922 ตอมาภายหลงพลมตนไดมอบโบราณวตถอนทรงคาทางคณตศาสตรชนส าคญนใหเปนสมบตของมหาวทยาลยโคลมเบย ในป ค.ศ. 1930


8

อารยธรรมอยปต ความอดมสมบรณของแมน าไนล เปนเสมอนสายเลอดหลกทหลอเลยงอยปตใหมความเจรญงอก

งามทางอารยธรรมเปนเวลายาวนานสบตอเนองกนราวเกอบ 3,000 ป นบตงแต 3,100 ปกอน ครสตศกราช และเชนเดยวกนกบในอารยธรรมอนๆ เพอใหสามารถใชและด ารงรกษาความรไว ตลอดจน สามารถขยายถายทอดความรออกไปได ชาวอยปตจงประดษฐอกษรภาพทเรยกวา เฮยโรกรฟฟค (Hieroglyphics) ขนมาเพอใชงาน

ในแงของการใชสญลกษณแสดงจ านวน ชาวอยปตใชระบบฐานสบ ใชรปขดตงตรงเหมอนตน ขาวแทนหนง รปกระดกสนเทาแทนสบ มวนกระดาษแทน รอย ดอกบวแทนพน นวชแทนหมน ลกออด (บางครงใช ปลา) แทนแสน และใชคนชมอ (บางครงใช คนตกใจ) แทนลาน


9

ภมรดานคณตศาสตรของชาวอยปต นอกจากจะสะทอนผานความเรองรองทางสถาปตยกรรม สงกอสราง เชน พระมดและวหารเทพเจาตางๆ แลว ยงพบวาชาวอยปตมการเขยนสญลกษณแสดงจ านวนในลกษณะของเศษสวน และมการถายทอดความรทางคณตศาสตร ดงเหนไดจาก พาไพรสไรนด ซงเปนเอกสารทบนทกโจทยปญหาทางคณตศาสตรตางๆ ในสมยนน อารยธรรมมายน เมอประมาณกวา 2,500 ปลวงมาแลว ในดนแดนอเมรกากลาง บรเวณชายฝงแถบยคาตน

(Yucatan) ซงปจจบนเปนสวนหนงของประเทศเมกซโก อารยธรรมอนรงโรจนของชาวมายนไดเรม กอตวขน อารยธรรมทโดดเดนเปนพเศษในดานดาราศาสตร การสรางปฏทนทางจนทรคต เพอประโยชน ทางดานการกสกรรมและพธกรรม

พาไพรสไรนด เดมเปนสมบตของ เฮนร ไรนด (Alexander Henry Rhind) นกอยปตวทยา ไรดซอมวนกระดาษโบราณทมเนอหาเกยวของกบคณตศาสตรนมาจากพอคาของเกาในตลาดเมองลกซอร เมอป ค.ศ.1858 ตอมาในป ค.ศ. 1863 เขาไดมอบเอกสารโบราณทรงคาชนนใหกบบรตช มวเซยม


10

ในดานความอดมของคณตศาสตร ชาวมายนใชสญลกษณจด () ซงคลายกอนกรวดเลกๆ เพอ

แทน หนง และเพมจ านวนจดเพอแทน สอง สาม ส แตส าหรบ หา กลบแทนดวยขดขวาง ซงมลกษณะ คลายกงไม สงส าคญสงหนงของระบบเลขของมายน คอการน าสญลกษณคลายเปลอกหอยหรอวงรมาใช เพอแทน ศนย และมการน าระบบเลขฐานยสบมาใชงาน


11

อารยธรรมกรก-โรมน รงอรณแหงอารยธรรมกรก ไดเรมฉายแสงแรกเมอราว 600 ปกอนครสตศกราช โดยมศนยกลาง

ความเจรญอยทนครรฐเอเธนส ดวยสภาพทางภมศาสตรทเปนจดบรรจบของทงยโรป เอเชย และแอฟรกา กอปรกบคณลกษณะของชาวกรกหรอชาวเฮลน (Hellene) ทสนใจทจะตอบค าถามวา “ท าไม” มากกวา “อยางไร” สงผลใหอารยธรรมกรกหรออารยธรรมเฮเลนคมความรงเรองในทกดาน


12

อารยธรรมกรก นอกจากจะไดรบอทธพลโดยตรงจากอารยธรรมอยปตและเมโสโปเตเมยแลว ชาว กรกยงไดพฒนาอารยธรรมทมเอกลกษณของตนเองขน หนงในนนคอระบบจ านวน ชาวกรกใชระบบฐาน สบ และมระบบการเขยนสญลกษณแสดงจ านวนทนยมอยหลายแบบ แตมหลกการรวมกนคอการใช ตวอกษรกรกแทนจ านวน

ระบบการเขยนแสดงจ านวนทชาวกรกนยมใชมอย 2 แบบ คอ 1. ระบบแอคโครโฟนค ซงใชรอยขดลงตามจ านวนเพอแสดงหนงถงส ใชสญลกษณพเศษเพอแทนหา และใชตวอกษรแรกของชอจ านวนเพอแสดงจ านวนนนๆ นอกจากนยงมการก าหนดสญลกษณใหม โดยใชสญลกษณเดมมาประสมกน เชน ใชสญลกษณของหาและสบมาเขยนรวมกนเพอแทนหาสบ เปนตน 2. ระบบตวเลขเชงอกษร ซงใชอกษรกรกแทนจ านวน แบงออกอกษรออกเปนสามกลมกลมละ 9 ตว เพอแทน 1-9 10-90 และ 100-900 ตามล าดบ


13

ในเวลาใกลเคยงกบทอารยธรรมกรกก าลงเจรญรงเรอง ณ บรเวณคาบสมทรอตาล อารยธรรม โรมน หนงในอารยธรรมโบราณทมพฒนาการสงสด กก าลงกอตวขน ดวยความสามารถทางการทหาร และการปกครอง โรมนจงสามารถมอ านาจเหนอนครรฐกรก แตขณะเดยวกนโรมนกลบเปนผรบเอา ปญญาความคดของกรกไปเกบรกษาและปรบใชกบอารยธรรมของตน

ในแงของระบบตวเลข แมวาระบบตวเลขแบบโรมนจะสะดวกในการใชจดบนทกมากกวาระบบตวเลขแบบอนๆ แตถงกระนนกตาม การค านวณดวยตวเลขแบบโรมนกลบเปนเรองทยากและเยนเยอ ดวยขอดอยนเองทอาจท าใหการพฒนาทางคณตศาสตรในโลกตะวนตกเปนไปอยางเชองชา (ดนตรนงหนอง) จนกระทงโลกไดรจกกบอารยธรรมอนเดยและอารยธรรมอสลาม


14

อารยธรรมอนเดย

ราว 1,500 ปกอนครสตศกราช ชาวอารยนไดเรมเขามาตงถนฐานในบรเวณแถบลมแมน าสนธ และสรางอารยธรรมใหมของตนเองโดยผสานรวมกบอารยธรรมของทองถนเดม จนกลายเปนอารยธรรม อารยนทมความโดดเดนเทยบไดกบอารยธรรมในแถบซกโลกตะวนตก

ในดานคณตศาสตรอารยธรรมอารยนใชระบบฐานสบและมการเขยนสญลกษณแสดงจ านวน

โดยสญลกษณเหลานถกปรบเปลยนไปตามชวงเวลาตางๆ ในชวงแรกนน อนเดยยงไมมการใชสญลกษณ แทนศนย จวบจนราวครสตศกราชท 700 จากหลกฐานทปรากฏในงานของพรหมคปต (Brahmagupta, 598 - 668) นกคณตศาสตรคนส าคญของอนเดย ซงเชอกนวาเปนบคคลแรกทก าหนด สญลกษณวงกลม เพอแทนศนย แนวคดเกยวกบศนยของอนเดย นอกจากจะใชในการเปลยนหลกเหมอน ในอารยธรรมมายน อนเดยยงมองวา 0 ซงออกเสยงวา สญญ (Sunya) เปนตวเลขตวหนงในการแสดง ความไมมหรอความวางเปลา


15

อารยธรรมอาหรบ ราวครสตศตวรรษท 5 ถงครสตศตวรรษท 15 ในชวงทโลกยโรปก าลงตกอยในยคมด (Dark age) เปนระยะเวลายาวนานเกอบหนงพนป แตในโลกอาหรบชวงเวลาดงกลาวราวครสตศตวรรษท 8 จนถง กลางครสตศตวรรษท 15 กลบเปนยคทอารยธรรมอาหรบมความเจรญรงเรองทางดานศลปวทยาการถง ขดสด


16

อารยธรรมนมรากฐานจากแรงศรทธาทางศาสนา โดยมศนยกลางอยบรเวณกรงแบกแดด ซงเปน จดเชอมตอระหวางโลกตะวนตกและโลกตะวนออก บทบาทส าคญทเดนชดของอารยธรรมอสลาม นอกจากจะชวยธ ารงรกษาภมปญญาโบราณ ดวยการแปลต าราจากภาษากรกเปนภาษาอาหรบเปน จ านวนมาก เชน หนงสออลเมนต (The elements) ของ ยคลด(Euclid, 450 – 380 ปกอนครสตศกราช) แลว ยงเปนทประจกษวาแนวคดใหมๆ ทางคณตศาสตรทปรากฏในยโรปชวงครสตศตวรรษท 16 ถง ครสตศตวรรษ 18 ลวนแตเปนความรทชาวอาหรบไดคนพบกอนแลวกวา 400 ป

จากหลกฐานใน หนงสอของ อลควารซม (al – Khwarizmi, Muhammad Ibn Musa, ค.ศ. 780 - 850) นกคณตศาสตรคน ส าคญของโลก พบวาบทบาททส าคญยงอกประการของหมนก คณตศาสตรชาว อาหรบ คอการเปลยนกระบวนทศนทางคณตศาสตรจากแบบเกาของกรกทองแนวคดเชงเรขาคณต ซง ตงอยบนฐานคดของการ ค านวณจากการวาดรปจรง มาเปนแบบใหมทอง แนวคดเชงพชคณต


17

จากการตดตอทางการคาของกองคาราวานทรอนแรมมาจากอนเดย ท าใหระบบฐานสบและตวเลขศนย ไดแพรขยายไปสอารยธรรมอสลาม สงผลใหประเทศในแถบอาหรบมระบบตวเลขอยหลายแบบ และหนงในนนคอระบบตวเลขส าหรบงานทางคณตศาสตร ซงเปนระบบฐานสบ โดยอาศยการก าหนดคาประจ าหลกและเลขโดด 0 ถง 9 ทรบมาจากอนเดย โดยรปแบบการเขยนมการปรบเปลยนไปตามกาลเวลาจนเปนรปแบบทคลายกบการเขยนตวเลขในปจจบน ซงเรยกวาระบบตวเลขฮนด-อารบก จากการตดตอคาขาย และการขยายตวของอาณาจกรมสลม สงผลใหภมรของอารยธรรมอสลามทงทไดจากการแปลต ารากรก การพฒนาองคความรขนเอง และการรบอทธพลจากอนเดย คอยๆ แพรขยาย แทรกซม และสบตอไปสดนแดนแถบยโรป จากแตละอารยธรรม ทสบตอภมรทางดานจ านวน จากรอยบากบนกงไมเพอชวยในการนบ กลบกลายเปนระบบจ านวนทชวยแกปญหาทซบซอนกวา การสบตอนเปนเหมอนเชอกทสบสายทอดยาว หากแตเมอหลายอารยธรรมไดตดตอสอสาร แลกเปลยนเรยนรทงทางตรงและทางออม เชอกแหงภมปญญาของแตละอารยธรรม กลบกระหวดเกยว ถกทอจนเปนเกลยวเชอกอนฝนแนนมนคง ใหมนษยไดใชชดดงและสรางเปนองคความรคณตศาสตรในแขนงตางๆ ตอไป


18

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ

เรอง จ านวนจรง


19

จ านวนจรง

สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง พนฐานการแยกตวประกอบ

ทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ

ทฤษฎบทเศษเหลอ การแยกตวประกอบ

การแกสมการพหนาม

โจทยประยกต สมการพหนาม

อสมการ

เสนจ านวนและชวง

โจทยประยกต

เทคนคการแกอสมการ

สมบตพนฐานของคาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

การแกสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ ก

คาสมบรณ

โจทยประยกต


20

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


21

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


22


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


23


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

13 จำนวนจริง บทนำ

Documents