UPOUniversidad Peruana del Oriente

Docente: Ing. Elvis DEL ÁGUILA López

Curso: Teoría de Redes

Diciembre . 2014

Problema de flujo maximo

consiste en determinar la máxima cantidad

de flujo que puede ser enviada a lo largo de

una red dirigida, desde un nodo origen (de

oferta) hasta un nodo destino (de demanda).

Los nodos restantes son los nodos de trasbordo

Se permite el flujo a través de un arco solo en la

dirección indicada por la flecha, donde la cantidad

máxima de flujo está dada por la capacidad del arco.

El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo

de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en

cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es,

la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que

entra al destino.

Estructura

Para resolver un problema de flujo máximo

se debe seguir los siguientes pasos:

Se identifica el nodo origen y destino.

Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo

Se identifica los nodos de transbordo.

Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen.

Se calcula "k" y las capacidades nuevas.

Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo

procedimiento desde el inicio.

Formulario

C= capacidad

i,j= índice de nodos

K= flujo mínimo del camino

seleccionado

Cij,ji= (Ci-k , Cj+k)

Propone buscar caminos en los que se pueda

aumentar el flujo, hasta que se alcance el

flujo máximo. Es aplicable a los Flujos

maximales. La idea es encontrar una ruta de

penetración con un flujo positivo neto que

una los nodos origen y destino.

El algoritmo de Ford - Fulkerson

Método Ford FulkersonEl nodo de origen como se puede observar es el numero 1 de color negro, y el

nodo de destino es el numero 5 de color azul.

Las flechas de color rojo son las mayores capacidades que tienen cada nodo de

flujos de salida y los de color negro los flujos de entrada.

1

32

5

4

0

20

0

30

0

20

0

40

0

20

0

10

5

20

0

10

1. Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en

este caso es 30, y va dirigido al nodo numero 3 y sucesivamente hasta

llegar al nodo 5(destino), el cual seria 20.

1

32

5

0 20

30

0

20

0

40

0

20

0

10

20

0

2. Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad(que

recibe), y 1 es el nodo del cual proviene la capacidad y luego repetimos todo

el proceso, como si el nodo intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene

como flujo mayor 20 del nodo numero 3 al nodo numero 5, con el nodo de

transbordo como [20,3].

1

32

5

410

020

0

300 20

0

40

0

20

0

10

5

[∞,-] [20,3]

[30,1]

20

0

El nodo de transbordo de 1 es ∞

Porque no tiene un flujo

establecido y tampoco Proviene de

otro nodo Por lo que ponemos un -

3. Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las

capacidades nuevas.

K=min(∞,30,20)

K=20

C13,31 =(30-20, 0+20)

C13,31 =(10, 20)

C35,53 =(20-20, 0+20)

C35,53 =(0, 20)

1

32

5

410

0 20

0

30

0

20

0

40

0

20

0

10

5

[∞,-]

[30,1]

[20,3]

20

0

4. Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario

reemplazarlas tanto de entrada (fucsia) como de salida (rojo).

1

32

5

410

0 20

0

10

2020

0

40

0

0

20

10

5

20

0

5. Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores

flujos

K=min (∞,20,40,10,20)

K= 10

C12,21 =(20-10, 0+10)

C12,21 =(10, 10)

C23,32 =(40-10, 0+10)

C23,32 =(30, 10)

C34,43 =(10-10, 5+10)

C34,43 =(0, 15)

C45,54 =(20-10, 0+10)

C45,54 =(10, 10)

1

32

5

410

020

0

102020

0

40

0

0

20

10

5

[∞,-]

[40,2]

[20,4]

[10,3]

20

[20,1]

0

6. reemplazamos los nuevos valores.

1

32

5

410

010

10

1010 20

0

30

10

0

20

0

15

10

20

7. Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede

observar si se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado,

obligándose a volver al nodo origen, por lo que se toma el camino 2 al 5.

K=min(∞,10,20)

K=10

C12,21 =(10-10, 10+10)

C12,21 =(0, 20)

C25,52 =(20-10, 0+10)

C25,52 =(10, 10)

1

32

5

410

010

10

1010 20

0

30

10

0

20

0

15

10

20

[∞,-]

[10,1]

[20,2]

8. Reemplazamos los nuevos valores

1

32

5

410

0

10

10

2010

10

30

10

20

0

15

0

20

10

0

9. resolver de nuevo. Esta vez empezamos el camino de 1,3.

K=min(∞,10,10,10)

K=10

C13,31 =(10-10, 20+10)

C13,31 =(0, 30)

C32,23 =(10-10, 30+10)

C32,23=(0 , 40)

C25,52 =(10-10, 10+10)

C25,52=(0, 20)

1

32

5

410

010

10

1020 10

10

30

10

0

20

0

15

0

20

[∞,-]

[10,1][10,3]

[10,2]

10. ponemos los nuevos valores

1

32

5

410

0

10

10

0

20 0

20

40

0

0

20

0

15

0

30

11. por ultimo escogemos el camino 1,4.

K=min(∞,10,10)

K=10

C14,41 =(10-10, 0+10)

C14,41 =(0, 10)

C45,54 =(10-10, 10+10)

C45,54 =(0, 40)

1

32

5

410

010

10

020 0

20

0

0

20

0

15

0

30

[∞,-]

[10,1]

[10,4]

40

12. Reemplazamos los nuevos valores

1

32

5

40

100

40

0

20 0

20

0

0

20

0

15

0

30

40

13. Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente

forma, las capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo

cual seguimos a sumar a todas las K y ahí conseguimos el

flujo máximo.

Flujo Máximo = Σ K

Flujo Máximo = 20+10+10+10+10

Flujo Máximo = 60

El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino

es de 60.

1

32

5

40

10 0

40

020 0

20

0

0

20

0

15

0

30

40

Ejercicio propuesto: hallar el flujo máximo

1 3

4

2

76

56

0

3

3

2

2

2

2

60

3

3

1

1

0

5

0

5

0

2

2

2

MUCHAS GRACIAS