191257461 operacijska istrazivanja kalpic mornar skripta

Damir Kalpi Vedran Mornar

OPERACIJSKA ISTRAIVANJA

(ZEUS Zagreb, 1996)

-SKRIPTA-Sead Kurtovi, FSK Sarajevo

1.UVOD

1.1. Povijest operacijskih istraivanjaOperacijska istraivanja (Operational Research), jesu struna i znanstvena disciplina koja se bavi pomaganjem kod donoenja odluka na bazi egzaktnih metoda. Nastanak operacijskih istraivanja dobro ilustruje njihovu zadau i razlog postojanja. Poetkom II. Svjetskog rata V. Britanija bila je suoena s materijalno nadmonim neprijateljem te je morala ograniena sredstva i resurse iskoristiti na to pametniji nain. S tom je svrhom u vojsci bila formirana grupa strunjaka iz razliitih oblasti.Poznati su problemi u kojima je grupa postigla vane rezultate:a) Statistikom obradom podataka o napadima britanske avijacije na njemake podmornice, ustanovljeno je da se napad najee odigrao u trenutku uranjanja podmornice te da je prosjena dubina iznosila 35 stopa, dok su bombe bile podeene da eksplodiraju na dubini od 100 stopa. Promjenom tempiranja Britanci su poveali efikasnost napada za 700 posto, anijemci su povjerovali da su konstruisane nove snanije bombe.Te primjena ilustrira redukciju mnotva informacija na one bitne koritenjem statistikih metoda. Nakon toga, praktino bez ulaganja sredstava postignuti su veliki efekti.b) Prilikom prevoza materijala iz Amerike u Evropu formorani su konvoji trgovakih brodova. Radi zatite, konvoje su pratili ratni brodovi i oni su bili sredstvo kojeg manjka. Trebalo je odrediti optimalnu duljinu konvoja (dui konvoj vie robe; krai konvoj-manji gubitak u sluaju napada).Primjena ilustrira traenje optimuma izmeu suprotnih motiva.c) Razvijene su metode za to bolje koritenje radarske mree, za otkrivanje neprijateljskih brodova, za miniranje, bombardiranje itd.

Uoeno je da borba za efikasnost i uspjeh na tritu sadri elemente strategije i taktike, a uspjeh najvie ovisi o uspjenom i pravodobnom donoenju poslovnih odluka.Zbog napretka tehnike preduzea su postala sloenija, a samim tim postalo je nemogue odluivati na temelju iskustva i intuicije. Operacijska istraivanja dobila su presudnu pomo u razvoju raunarstva. Operacijska istraivanja jesu primjenjena disciplina koja koristi rezultate iz primjenjene matematika, numerike matematike, statistike, ekonomije, psihologije i drugih oblasti.

1.2. Izrada modelaDa bi se mogla obaviti kvantitativna analiza nekog sustava iz realnog svijeta, nuno je izraditi matematiki model tog sustava. Kod izrade modela zanemaruju se mnoge informacije i meusobne zavisnosti. U model se unose samo one veliine i veze za koje se smatra da su relevantne za dobivanje rjeenja problema za kojeg se model izrauje. Veze i zavisnosti u realnom svijetu najee su nelinearne i nedeterministike. Meutim, i podaci o realnom svijetu nisu nikada apsolutno tani. Vano je da se kod izrade modela procjeni ili kvantitativnim metodama odredi tanost podataka, pa se onda u skladu s tim mogu pojednostaviti meusobne veze i zakonitosti.

Analizom stanja u realnom svijetu dobiju se informacije za formulaciju modela. Odabranim postupcima nad

Formilacija

Dedukcija

Interpretacija

Sl. 1-1 Proces modeliranja

Realni svijet Model

Zakljuci o realnom svijetu

Zakljuci o modelu

modelom dobije se odziv, odnosno zakljuci o ponaanju modela. Te zakljuke treba interpretirati da bi bili upotrebljivi u realnom svijetu i usporediti sa zakljucima do kojih se dolazi analizom realnog svijeta, ali bez koritenja modela. Tek se tada mogu formulirati elementi za donoenje stvarne odluke.Deset principa modeliranja:1. Ne izraujte kompliciran model ako i jednostavan moe posluiti.Ne treba teiti impresionirati korisnika. Preporuljiv je postupak pojednostavljenja sve dok rjeenje ne postane matematiki izvodljivo, a zatim obogaivanje modela sve dok i to bude i dalje matematiki izvodljivo.2. Ne podeavajte problem da bi odgovarao tehnici rjeavanja.Kod snimanja stanja u realnom svijetu treba paziti da se i podsvjesno ne iskrivi slika u nastojanju da se problem svede u oblik koji moemo rjeiti nekom od poznatih tehnika. Ne svodi se svaki problem na optimiranje.3. Postupak stvaranja zakljuaka o modelu mora biti rigorozan.U obradi modela ne smiju promai logike pogreke. U suprotnom, ne moe se znati jesu li pogrene pretpostavke ili postupci.4. Model treba provjeriti prije ugradnje.Ulazne podatke treba generirati te ih varirati i na taj nain provjeriti ispravnost reakcije modela.5. Model ne treba nikad shvatiti suvie doslovno.Rezultate koji se dobiju obradom modela treba usporediti s iskustvenim podacima da se uoi jesu li logini.6. Ne treba oekivati da model rjeava probleme za koje nije bio projektiran.Izmjenom cilja izrade modela ne moe se oekivati da e postojei model biti adekvatan.7. Ne treba pretjerati s prodavanjem istog modela.Jednom uraen model mogue je primjeniti, uz minimalne izmjene, za rjeavanje razliitih klasa problema, opasnost je da se ne uoe razlike pa da se dobije neadekvatan rezultat to moe kompromitirati istraivaa i struku.8. Znatne su koristi ve od same izrade modela.Pri izradi modela mogue je da se otkriju odreene neloginosti koje su godinama bile prikrivene.9. Model ne moe biti bolji od ulaznih informacija.Kvaliteta rezultata dobijena obradom modela ne moe biti bolja od kvalitete ulaznih informacija. Ni model niti raunalo ne mogu generirati informacije. Model ne treba biti bolji od kvalitete ulaznih opodataka, pa je bolje usmjeriti vie truda na poboljanje kvalitete podataka.10. Modeli ne mogu nadomjestiti donosioca odluke.Postoje aspekti realnog svijeta koji nisu obuhvaeni modelom bilo zbog toga to ih se ne moe kvatificirati ili zato to ovise o okruenju pa je njihovo pojavljivanje nepredvidivo.

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Poslovno pitanje je zato LP jer znamo da u prirodi imamo veoma malo relacija za koju vrijedi linarni zakoni i koji podleu linearnoj proporcijanosti.Ali takoer znamo da uz odreenu zanemarenje i uzimanja u obzir tanosti u kojima se prikupljaju podaci ,nam daju za pravo da moemo koristiti linarnu aproksimaciju i to je sluaj sa sledeim odnosima:

1.Utroimo vrijeme za izradu nekog artikla najee u minutama ili koliinama (kg)2.Koliina prodatog artikla u kg ostvarena realizacija u novanim jedinicama (NJ)3.Utroak sirovina u kg i proizvedene koliine finalnog proizvoda u kg4.Vrijeme rada nekog stroja u satima i utroak energenata u kw/h,a litar ako se radi o tenom gorivu 5.Utroak energije u kw/h ili litara i iznos koji plaamo za taj utroak6.Utroak deviza ili (eura ili dolara) i ekvivalent u domaim NJ7.Devizna valorizacija eur-dolar i ekvivalent NJ8.Koliina robe koja se prenosi u kg i udaljenost u km i trokovima prevoza NJ9.Koliina koja uskladitena u kg i vrijeme skladitenja (mjesec) i cijena u NJ10.Koliina upotrebljivog sastava u kg11.Trokovi za izradu smjese u devizama (euro ili NJ) Kada izvrimo detaljnu analizu vidimo da ni jedan od ovih primjera ne vrijedi u potpunosti linearnosti,ali je greka koja se pravi linearnom aproksimacijom koje su dozvoljene pa u praksi koristimo koeficijent proporcionalnosti koji susreemo po ustaljenim nazivima

Koeficijent:

1.Produktivnost (kg/min)2.Prodajna cijena (NJ/kg)3.Normativ4.Snaga stroja u KW5.Normativ utroka nafte (l/kg)6.Cijena elektrine energije (NJ/kw)7.Cijena nafte (NJ/l)8.Devizni prodajni kurs (NJ/euro ili dolar)9.Devizni kupovni kurs (NJ/euro)10.Jedinini trokovi prevoza (NJ/kg ili NJ/kg.km)11.Troak skladitenja (NJ/kg.mjesec)12.Cijena sastojka (NJ/kg ili eura/kg)

Ako u opisu moemo koristiti ove koeficijente ili njihove reciprone vrijednosti a prihvatljiva je predpostavka linearnosti sa dovoljnom tanou tada postoje svi preduslovi da pristupimo izradi modela LP.U praktinim rjeenjima moramo poznavati numerike vrijednosti koritenih koeficijent proporcionalnosti.Posebno osjetljiva zadea je utvrivanje funkcije cilja odnosno ta sa LP elimo postii. Tipine funkcije cilja u praksi su:

1.Maksimalna realizacija u NJ2.Maksimalna kontribucija ili pokrie u NJ (i to je uvjek realizacija za varijabilni troak)3.Minimalni varijabilni troak u NJ4.Minimalni transporentni troak u NJ5.Maksimalna koliina proizvoda u kg6.Minimalni troak deviza7.Maksimalna devizna realizacija8.Maksimalno iskoritenje kapaciteta u satima9.Minimalno odstupanje od eljne vrijednosti10.Minimalno trajanje neke obrade11.Minimalna cijena izrade smjese NJ12.Minimalni gubitak NJ13.Maksimalni protok kg/min

Problem se javlja to ponekad nije opisano jasno ta je cilj koji neka organizacija eli postii pa se donositelji odluke ne mogu odluiti samo za jednu od predloenih funkcija.Pa su za to razvijena kriterijalna programiranja i pored svega ponekad je potrebna detaljna analiza da ustanovimo zbog ega neka organizacija postoji i koje drutvene potrebe zadovoljiti ,ta je njen globalni a ta partimularni interes.Ponekad je u ovim sliajevima mogue problem svesti na optimizaciju samo jednog kriterijuma i to je uvjek maksimizacija kontibucije u praksi.Ova maksimizacija u sebi nosi dvije alternativne funkcije cilja:

1.Maksimizacija realizacije2.Minimizacija varjabilnih trokova

Uvjek je pitanje zato ne moemo kontibuciju uiniti po volji velikom ili trokove svesti na 0 u realnim problemima.To je nemogue zbog postojanja niza ogranienja koji su najee ograniena raspoloivou sredstava (resursa).Kao to su sirovine,strojevi,novac (domai, strani) kadrovi,prostor,energija.esto puta susreemo tehnika,trina,zakonska i financijska ogranienja LP.

LP se moe uvijek primjenjivati kada proces pree u stacionarno ponaanje (drugo stacionarno stanje).

drugo stacionarnostanje

prvostacionarnostanje

LP ne vrijedi u prelaznom reimu.

Linearno programiranje (LP) je specijalan sluaj matematikog programiranja, definiran kao:

min/max f (x) uz gi (x) 0 ; i=1,...,m hi (x) = 0 ; j=1,...,k,

gdje je x vektor od n komponenti x1, x2, ... xn, a g1,... gn, i h1,... hk, jesu funkcije definirane u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru.Kod linearnog programiranja za zadanu realnu linearnu funkciju od n strukturnih varijabli trai se ekstrem (minimum ili maksimum), uz uvjet da bude zadovoljeno m+k linearnih ogranienja postavljenih na strukturne varijable, a formuliranih u obliku linearnih jednadbi i nejednadbi.

2.1. Matematike osnove linearnog programiranja

2.1.1. Definicija linearnog programiranjaStandardna definicija linearnog programiranja ima oblik:

uz i=1,...,m x j 0 ; j=1,...,n

Varijable xj ; j=1,...,n nazivaju se strukturnim varijablama.

Svi ostali oblici mogu se svesti na navedenu definiciju:a) Minimizacija: Maksimizira se suprotna funkcija (pomnoena s -1):

max z (x) -min [- z(x)]

b) Ogranienje tipa : Mnoenje sa -1 dobije se tip .

n

max z = cj xj j=1

n a ij xj bi ; j=1

n n a ij xj bi -a ij xj -bi j=1 j=1

prelazni reim

c) Ogranienje tipa =: Uvode se dva ogranienja i s istim iznisima.

d) Ogranienja na strukturne varijable: Formiraju se dodatni reci.e) Strukturna varijabla moe biti negativna (dj xj ; dj< 0): Uvodi se supstitucija:

xj = xj dj ; xj 0

f) Strukturna varijabla moe poprimiti bilo koju vrijednost (- < xj > + ) : Uvodi se supstitucija

x j = x j x j ; xj 0 , xj 0

2.1.2. Definicija rjeenjaRjeenjem se naziva bilo koja uraena n-torka (x1..., , xn) Rn .Rjeenje je mogue ili dopustivo ako su sva postavljena ogranienja zadovoljena.Optimalno rjeenje jest ono mogue rjeenje za koje funkcija cilja z poprima maksimalnu vrijednost.Vrno mugue rjeenje takvo je rjeenje koje ne lei na spojnici bilo koja dva druga mogua rjeenja.Spojnica rjeenja (xj ,..., xn) i (x1 ,..., xn ) jeste skup taaka

{p x1 + (1-p) x1, ..., p xn + (1-p) xn }, 0 < p < 1.7

n n n a ij xj = bi a ij xj bi , a ij xj bi j=1 j=1 j=1

x1 - x1 x2 - x2---------- = ------------ = px1 - x1 x2 - x2

x2

x2 x

x2

x

xx

2

x1

x2 x

1 x

1 Sl.2-1 Spojnica dvaju rjeenja

2.1.3. Primjer formuliranja i rjeavanja LP

Jednostavni problem proizvodnje sa slike moe se pomou jednadbi i ogranienja formulirati kao problem LP.-Utroak vremena (Jednaine) :

STROJ..... 1 (h)= 1 (h/kg) ARTIKL.1 (kg)STROJ..... 2 (h)= 2 (h/kg) ARTIKL. 2 (kg)STROJ..... 3 (h)= 3 (h/kg) ARTIKL. 1 (kg) +2 (h/kg) ARTIKL. 2 (kg)

-Utroak vremena ne moe biti vei od raspoloivih kapaciteta (Ogranienja):STROJ..... 1 4 (h)STROJ..... 2 12 (h) STROJ..... 3 18 (h)

Ukoliko postevljena ogranienja nisu meusobno kontradiktorna, postoji beskonano mnogo rjeenja koja zadovoljavaju sva postavljena ogranienja. Izmeu tih beskonano mnogo moguih (ili dopustivih) rjeenja odabire se ono koje daje najpovoljniju vrujednost funkcije cilja. U naem sluaju bira se onaj plan proizvodnje kojim se postie najvea realizacija.Definiramo funkciju cilja, tj. relizaciju koja se iskazuje u nekim novanim jedinicama (NJ):

REALIZ (NJ) = 3 (NJ / kg) ARTIKL.1 (kg) + 5 (NJ / kg) ARTIKL. 2 (kg)

2.1.4. Grafiko rjeavanje linearnog programa

Stroj br. 1 Stroj br.3 maksimalni kapacitet 4h maksimalni kapacitet 18 h

Artikl br. 1 podajna cijena 3( NJ / kg )

Artikl br. 2 Prodajna cijena 5 ( NJ / kg

Stroj br.2 maksimalni kapacitet 12 h

Sl. 2-2 Jednostavan problem proizvodnje

1 ( h/kg )

2 ( h/kg )

3 ( h/kg )

2 ( h/kg )

Rjeenje problema jednoznano je definirano ako su poznate koliine ARTIKL.1 i ARTIKL.2, problem je dvodimenzionalan, te se moe rjeiti grafiki.

Primjer 2: Neka treba rjeiti: max { 2x1 +5 x2} uz, x1 400, x2 300, x1 + x1 500, xi 0.

1. nain-grafiki:

P(x1) = 0, P(x2) = 800, P(x3) = 1300, P(x4) = 1900, P(x5) = 1500, odavde slijedi da je optimalna taka P(x4) = 1900.2. nain- pomou funkcije cilja:

1) Pie se funkcija cilja P (x)= const.2) zatim uzimamo proizvoljno poetnu taku i iz nje izraunavamo vrijednost te konstante3) Proizvoljno uzmemo prvu komponentu druge take, a drugu izraunamo iz izraza P (x)= const.

1) P (0,0) = 02) x1 = 100, uzeli smo proizvoljno3) 2 x1 + 5 x2 = 0, odavde je: 2 100 + 5 x2 = 0, te slijedi da je : x2 =(- 200/5) = - 40.

ARTIKL.2

STROJ 318 Realizacija:7 STROJ 1 4 -ako je plan proizvodnje 1kg Art.1 i 1kg Art.2

(1,1), tada je realizacija:6 REALIZ=36 STROJ 212 REALIZ= 3(NJ/kg) 1+ 5 (NJ/kg) 1= 8 NJ

-ako je plan proizvodnje 4kg Art.1 i 3kg Art.25 (4,3), tada je realizacija:

REALIZ=3 4+5 2=12+10=224 -ako je plan proizvodnje 2kg Art.1 i 6kg Art.2

DOPUSTIVO (2,6), tada je realizacija:3 REALIZ=22 REALIZ=3 2+5 6=6+30=36

PODRUJE2

REALIZ=81

0 1 2 3 4 5 ARTIKL.1Sl. 2-3 Grafiko rjeenje jednostavnog problema proizvodnje

x2

500

400 x1 400

300 x5 (0,300) x

4 (200,300) x

2 300

200

100 x3 (400,0)

0 100 200 300 400 500 x

1

x1 (0,0) x

2 (400,0) x

1 + x

2 500

Pomjerajui pravu P(x)=2 x1 + 5 x2 dobijamo da je optimum na x4 (200,300).

Primjer 3: Neka je zadato: P (x)= 20 x1 + 15 x2 uz ogranienja: 0,4 x1 + 0,2 x2 200

x1 + x2 800x1 500

x2 200

1. nain: P(x1) = 3000 P(x2) = 8000 + 3000 = 11000 P(x3) = 13000 je rjeenje.

P(x4) = 12000

x2

500

400

300

200

100

0 100 200 300 400 500 600 x1

-40 P(x)=2 x1 + 5 x2

x2

x1 500

1000 800 x

4(0,800)

600 x

3(200,600)

400

200 x2

200 x

2(400,200)

0x

1(0,200) 200 400 600 800 1000 x

1

-133 x

1 + x

2 = 800

0,4 x1 + 0,2 x

2 200

P (x)= 20 x1 + 15 x

2

2. nain: 1) P(0,0) = 0 2) uzimamo proizvoljno x1 = 100 pa slijedi:

20 100 + 15 x2 = 0 , odavde imamo: 15 x2 = 2000, x2 = -133

2.1.5. Simpleksna metodaSimpleksna metoda je iterativni postupak, koji u svakom koraku rjeava sustav linearnih jednadbi. Za rjeavanje standardnog problema linearnog programiranja i uz uvjet bi 0 za i=1,...,malgoritam se sastoji od vie koraka.Linearni program u standardnom obliku izraen strukturnim varijablama

uz i=1,...,m x j 0 ; j=1,...,n

uvoenjem dopunskih varijabli prelazi u slijedeu formu

uz

i=1,...,m x j 0 ; j=1,...,n+m

Sustav linearnih jednaina sad se sastoji od m jednaina s m+m nepoznatih. Rjeenje tog sustava (s dopunskim varijablama) naziva se proireno rjeenje. Proireno vrno rjeenje naziva se bazinim rjeenjem.

nmax z = cj xj j=1

n a ij xj bi ; j=1

nmax z = cj xj j=1

n a ij xj +xn+1 bi ; j=1

Sustav u kojem ima vie nepoznanica nego linearno nezavisnih jednaina, ima beskonano mnogo rjeenja. Poto optimalno rjeenje mora biti i vrno rjeenje, treba ga traiti meu bazinim rjeenjima. Da bi bazino rjeenje bilo mogue, ono mora biti u prvom kvadrantu, zbog postavljenog uvjeta nenegativnosti.Simultanim rjeavanjemsistema od m linearnih jednaina s m+n nepoznanica dobije se bazino rjeenje ako se prethodno izabere n varijabli i fiksira ih u nulu. Te se varijble nazivaju nebazinima. Postoji najvie

naina da se od m+n varijabli izabere njih n nebazinih, prema tome ima isto najvie toliko bazinih rjeenja. Da bi se pronaao optimum trebalo bi nai sva bazina rjeenja. Meutim sa poveanjem broja ogranienja i nepoznanica broj bazinih rjeenja enormno raste. Zbog toga se u simpleksnoj metodi ispituju samo mogua bazina rjeenja, tako da svako slijedee nije loije od prethodnog. Za odreivanje poetnog bazinog rjeenja odabire se n nebazinih varijabli. Te se varijable fiksiraju na nulu i time omoguuju jednoznano rjeavanje sustava od m jednaina sa m nepoznanica. Pogodno je kao nebazine na poetku odabrati strukturne varijable. Tada preostaje m dopunskih varijabli u m jednaina s tim da se svaka od tih dopunskih varijabli nalazi samo u po jednoj jednaini, i to s koeficijentom 1. Takav izbor omoguuje izravno oitavanje prvog mogueg bazinog rjeenja. Ispituje se da li bi porast neke od nebazinih varijabli poboljao funkciju cilja. Ako bi, obavlja se zamjena jedne takve ulazne nebazine i jedne izlazne bazine varijable, i to tako da novo bazino rjeenje bude i dalje mogue.Kad se ne moe nai takva ulazna nebazina varijabla koja bi svojim porastom s vrijednosti nula poboljala funkciju cilja, rjeenje je optimalno.

2.1.5.1. Numeriki primjerZa model proizvodnje iz poglavlja 2.1.3. sa x1 oznaimo proizvedenu koliinu artikla 1, a sa x2 artikla 2, tada model glasi: max z = 3 x1+ 5 x2 uz ogranienja x1 4

2 x2 12 3 x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0Nejednaine ogranienja transformiraju se u jednaine dodavanjem dopunskih varijabli x3 , x4 i x5 pa imamo:

max z = 3 x1+ 5 x2 uz x1 + x3 = 4

2 x2 + x4 = 123 x1 + 2 x2 + x5 = 18 x1 , x2 , x3 , x4 i x5 0

Potrebno je odabrati poetno mugue bazino rjeenje, to znai da moramo odabrati 3 bazine i 2 nebazine varijable tako da sve bazine varijable imaju pozitivnu vrijednost. Jedino mogue bazino rjeenje moemo postii tako da x1 i x2 odaberemo za nebazine, iz ega slijedi da su x3 , x4 i x5 bazine varijable. U naem sistemu jednaina sve bazina varijable izraene su preko nebazinih. Ako i funkciju cilja proglasimo bazinom varijablom i izrazimo je preko nebazinih dobijamo sistem:

z = 0 + 3 x1+ 5 x2 x3 = 4 - x1x4 = 12 - 2 x2x5 = 18 3 x1 - 2 x2 ,

iz kojeg direktno moemo oitati poetno rjeenje: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4, x4 = 12, x5 = 18, z = 0.

(m+n) ! m ! n!

U svakoj iteraciji simpleksnog postupka treba odabrati jednu varijablu koja e postati bazinom, i jednu varijablu koja e time postati nebazinom. Te emo varijable nazvati ulazna nebazina i izlazna bazina varijabla.Za ulaznu nebazinu varijablu poeljno je odabrati onu nebazinu varijablu (x1 , x2) iji e prirast najvie popraviti funkciju cilja. Kao mjera za poboljanje uzima se funkcija cilja uz jedinini prirast ulazne nebazine varijable.(Na primjer: -ako varijabla x1 poraste za 1, funkcija cilja poraste za 3 jedinice. Ako x1 poraste sa 0 na 1, tada se x3 smanjuje za 1, a x5 se smanji za 3. -ako sada posmatramo varijablu x2 : njenim poveanjem za 1, funkcija cilja raste za 5).Prema tome povoljnije je odabrati x2 za ulaznu nebazinu varijablu. Potrebno je sada izraunati koliko ta varijabla moe porasti a da pri tome rjeenje ostane mogue, tj da niti jedna varijabla ne postane negativna: Iz tree jednaine slijedi ako x2 poraste na 6, tada x4 pada na nulu; iz etvrte jednaine zakljuujemo da x2 moe rasti do 9 (x1 jeste nebazina i ima vrijednost 0). Slijedi da moemo dopustiti prirast do 6 tako da x4 postaje 0 i naputa bazu.Da bi smo oitali novo bazino rjeenje, moramo ponovo izraziti bazine varijable pomou nebazinih, tj. postii da u svakoj jednaini postoji samo jedna bazian varijabla i to sa koeficijentom 1. To emo uiniti Gaus-Jordanovom eliminacijom nakon prebacivanja svih varijabli na lijevu stranu znaka jednakosti:

z - 3 x1 - 5 x2 = 0 x1 + x3 = 4 x2 + x4 = 6 (treu jedn.podjelili smo sa 2)

3 x1 - 2 x2 + x5 = 18, Sada treu jedn. pomnoimo sa -2 i dodamo etvrtoj te tako iz etvrte jedn. eliminiramo x2 .

z - 3 x1 - 5 x2 = 0 x1 + x3 = 4 x2 + x4 = 6

3 x1 - x4 + x5 = 6,

Sada treu jed. Mnoimo sa 5 i dodajemo u jedn. koja odgovara f-ji cilja.:z - 3 x1 + 5/2 x4 = 30

x1 + x3 = 4 x2 + 1/2 x4 = 6

3 x1 - x4 + x5 = 6, iz ega oitamo:x1 = 0, x2 = 6, x3 = 4, x4 = 4, x5 = 6, z = 30.Kandidati za ulaznu nebazinu varijablu sada su nebazine varijable x1 i x4 .(Ako x1 raste za 1, tada z raste za 3, tada se smanjuje x3 za 1, x5 za 3. Ako x4 raste za 1, tada x2 se smanjuje za , a x5 se poveava za 1, z je tada -5/2 to je u suprotnosti sa ciljem optimizacije.) Dakle, za ulaznu nebazinu varijablu biramo x1.Iz druge jedn. dozvoljeni prirast za x1 je 4, a prema etvrtoj 6/3, tj. 2. Odabiremo manji prirast, ime x5 postaje nebazina varijabla. Postupkom eliminacije dobijamo sistem:

z + 3/2 x4 + x5 = 30 + x3 + 1/3 x4 -1/3 x5 = 2 x2 + 1/2 x4 = 6

x1 - 1/3 x4 + 1/3 x5 = 2, iz ega oitamo:x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2, x4 = 0, x5 = 0, z = 36.Iz retka koji odgovara funkciji cilja vidi se da promjena baze, dakle porast nebazinih varijabli x4 i x5 donosi negativnu promjenu funkcije cilja, pa zakljuujemo da je postignut optimum.Varijable x4 i x5 nadopunjuju ogranienja na kapacitet strojeva 2 i 3. U optimalnom rjeenju one imaju vrijednost nula, to znai da su kapaciteti tih strojeva iskoriteni maksimalno. Varijabla x3 svojom vrijednou pokazuje koliko je na stroju 1 jo ostalo neutroena vremena.Ako posmatramo x1 i x2, moemo primjetiti da je simpleksni postupak krenuo iz take t1 = (0,0) preko t2 = (0,6) do konanog rjeenja t3 = (2,6). Sa slike 2-3 vidimo da su te take vrhovi poligona

koji ograniava dopustivo podruje. Simpleksni postupak kretat e se uvijek od vrha do vrha dopustivog podruja prema boljem rjeenju ili onom koje je jednako dobro.

2.1.6. Simpleksna metoda u tablinom oblikuPromotrimo problem:Televizori tipa A: cijena je 410 NJ po komadu, potrebno 4 sata za pripremu, 1 sat za sastavljanje.Televizori tipa B: cijena je 490 NJ po komadu, potrebno 2 sata za pripremu, 3 sata za sastavljanje.Jedan sat pripreme kota 9 NJ, jedan sat rada odjela za sastavljanje kota 6 NJ.Moe se prodati 100 komada televizora, a na raspolaganju je 160 sati rada u pripremi i 180 sati u odjelu za sastavljanje. Treba nai proizvodni program koji daje maksimalnu razliku izmeu prihoda od prodaje i direktnih trokova izrade.Rjeenje :Ako sa x1 oznaimo broj proizvedenih televizora tipa A, a sa x2 broj proizvedenih televizora tipa B, funkcija cilja e biti:

max z = [410 (4 9 + 1 6)] x1 +[490 (2 9 + 3 6) x2] = 368 x1 + 454 x2 uz ogranienja:

x1 + x2 1004x1 +2 x2 1601x1 +3 x2 180 x1 , x2 0

Proglasimo x1 i x2 nebazinim varijablama i proirimo model dopunskim varijablama, te izrazimo funkciju cilja preko nebazinih varijabli:

z - 368 x1 - 454 x2 = 0 x1 + x2 + x3 = 100

4x1 + 2 x2 + x4 = 160 1x1 + 3 x2 + x5 = 180

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0

Ovaj sistem moemo napisati u tablinom obliku:

Baza Iteracija 0 Desna strana z x1 x2 x3 x4 x5

z 1 -368 -454 0 0 0 0x3 0 1 1 1 0 0 100x4 0 4 2 0 1 0 160x5 0 1 3 0 0 1 180

Vrijednost funkcije cilja (z) moemo poveati poveanjem negativnih koeficijenata uz varijable (x1,x2) to je i cilj optimizacije.Za ulaznu nebazinu varijablu biramo x2 jer ima po apsolutnoj vrijednosti vei negativni koeficijent (i time vie doprinosi poboljanju funkcije cilja).Za izlaznu bazinu varijablu biramo onu koja prva padne u nulu sa porastom ulazne bazine varijable (u ovom sluaju x2). Redak izlazne bazine varijable bit e redak s najmanjim nenegativnim konanim kvocjentom desne strane i koeficijenta uz ulaznu nebazinu varijablu.

Kvocjent

Redak u kojem je pronaen najmanji odnos identificira izlaznu bazinu varijablu (u ovom sluaju x5) i naziva se stoernim retkom.

Da bi oitali rjeenje obavlja se stoerni razvoj koji zapoinje tako da se stoerni redak podijeli stoerom (3).

/3

Modificirani redak pomnoen sa odgovarajuim koeficijentom dodaje se ostalim recima tako da se eliminiraju koeficijenti u stupcu ispod varijable x2 (sad ve bazine).

U retku funkcije cilja ima jo negativnih koeficijenata to znai da postupak nije zavren.Za ulaznu nebazinu varijablu biramo x 1 i raunamo minimalni odnos desne strane i koeficijenata u stupcu ispod x1.


z 1 -368 -454 0 0 0 0x3 0 1 1 1 0 0 100x4 0 4 2 0 1 0 160

x5 0 1 3 0 0 1 180


zx3x4

x2 0 1/3 1 0 0 1/3 60

Baza Iteracija 1 Desna strana

z x1 x2 x3 x4 x5z 1+0 (454)=1 -368+(1/3)(454)= -650/3 -454+1(454)=0 0+0 (454)=0 0+0 (454)=0 0+(1/3)454=454/3 0+60 (454)=27240

x3 0+0(-1)=0 1+(1/3) (-1)=2/3 1+1(-1)=0 1+0(-1)=1 0+0(-1)=0 0+(1/3) (-1)= -1/3 100+60 (-1)=40

x4 0+ 0(-2)=0 4+(1/3) (-2)=10/3 2+1(-2)=0 0+0 (-2)=0 1+0(-2)=1 0+1/3(-2)= -2/3 160+60 (-2)=40

x2 0 1/3 1 0 0 1/3 60

100/1=100160/2=80180/3=60

Kvocjent

40*3/2=6040*3/10=1260*3=180

Za izlaznu bazinu varijablu odabire se x4 , te radimo stoerni razvoj (prvo stoerni redak dijelimo sa stoerom).

Zatim modificirani redak pomnoen odgovarajuim koeficijentom dodaje se ostalim recima tako da se eliminiraju koeficijenti u stupcu ispod varijable x1 (sada ve bazine).

U retku koji odgovara funkciji cilja nema vie negativnih koeficijenata, iz ega zakljuujemo da je postignut optimum:x1=12, x2= 56, x3= 32, x4= 0, x5= 0, z= 29840.Prema tome, optimalni plan proizvodnje sastoji se u proizvodnji 12 televizora tipa A i 56 tipa B. Varijabla x3 nadopunjuje ogranienje na broj televizora koji se mogu plasirati na trite, ostale je bazina varijabla i njena vrijednost govori koliko bi se jo televizora moglo prodati prije zasienja trita. x4 i x5 nadopunjuju ogranienja na kapacitet odjela i njihova vrijednost nula ukazuje na to da su kapaciteti oba odjela potpuno utroeni.


z 1 -650/3 0 0 0 454/3 27240x3 0 2/3 0 1 0 -1/3 40

x4 0 10/3 0 0 1 -2/3 40

x2 0 1/3 1 0 0 1/3 60


z 1 -650/3 0 0 0 454/3 27240x3 0 2/3 0 1 0 -1/3 40

x1 0 1 0 0 3/10 -1/5 12

x2 0 1/3 1 0 0 1/3 60

Baza

Iteracija 1 Desna strana

z x1 x2 x3 x4 x5z 1+0(650/3)=1 -650/3+1(650/3)=0 0+0(650/3)=0 0+0(650/3)=0 0+(3/10)(650/3)=65 454/3+(-1/5)

(650/3)=10827240+12(650/3)=29840

x3 0+0 (-2/3)=0 2/3+1 (-2/3)=0 0+0 (-2/3)=0 1+0(-2/3)=1 0+(3/10)(-2/3)=-1/5 -1/3+(-1/5)(-2/3)=-1/5 40+12(-2/3)=32

x4 0 1 0 0 3/10 -1/5 12x2 0+0 (-1/3)=0 1/3+1(-1/3)=0 1+0 (-1/3)=1 0+0 (-1/3)=0 0+3/10 (-1/3)=-1/10 1/3+(-1/5) (-1/3)=2/5 60+12(-1/3)=56

2.1.7. Ogranienja tipa = i 2.1.7.1. Metoda veliko MPrimjer:Na kontroli proizvoda u nekoj tvornici rade kvalificirani i visokokvalificirani kontrolori. Dnevno je potrebno kontrolirati barem 1800 proizvoda. VKV kontrolori kontroliraju 25 proizvoda na sat uz 98% sigurnost, plaeni su 5 NJ na sat. KV kontrolori kontroliraju 15 proizvoda na sat uz 95% sigurnost, aplaeni su 3 NJ na sat. Raspoloivo je ukupno 6 VKV i 10 KV kontrolora. Radno vrijeme jeste 8 sati na dan. Svaki neispravan proizvod koji se propusti na tritu stoji preduzee 2 NJ. Treba rasporediti kontrolore tako da se posao obavi uz najmanji troak.

Ako je x1 broj VKV , x2 broj KV kontrolora moemo postaviti ogranienja: x1 6, x2 10Nejednaina dnevne produktivnosti uz radno vrijeme od 8 sati:(8 h 25 kom/h) x1 + (8 h 15 kom/h) x2 1800 kom odnosno (200 x1 + 120 x2 1800 / 40, slijedi: 5 x1 + 3 x2 45)

Ukupni troak je:(8 h 5 NJ/h + 2 NJ/kom 8h 25 kom/h 0,02) x1 + (8 h 3 NJ/h + 2 NJ/kom 8h 15 kom/h 0,05) x2 , odavde je :

min z = 48 x1 + 36 x2 , minimalni troak uz slijedee uslove:x1 6x2 105 x1 + 3 x2 45Sada nejednaine pretvaramo u jednaine:x1 + x3 = 6 x2 + x4 = 10Nejednainu produktivnosti pretvaramo u jednainu uvoenjem neke nove varijable koja mora biti pozitivna: 5 x1 + 3 x2 - x5 = 45 (ako bi bazina varijabla bila x5 = - 45 to nije dozvoljeno)Zato pri transformaciji nejednaine tipa ( ) osim dodavanja dopunske varijable sa negativnim predznakom, dodaje se i umjetna varijabla: 5 x1 + 3 x2 - x5 + x6 = 45Umjetna varijabla za razliku od dopunske, predstavlja prekoraenje ogranienja u nedoputenom smjeru. Zato se mora osigurati da umjetne varijable ne budu bazine u konanom rjeenju. To se radi tako da se umjetna varijabla uvede u funkciju cilja s vrlo nepovoljnim koeficijentom, taj koeficijent se oznaava sa M (metoda veliko M). Tako sada imamo linearni program:

min z = 48 x1 + 36 x2 + M x6 uz uvjete: x1 + x3 = 6

x2 + x4 = 10 5 x1 + 3 x2 - x5 + x6 = 45

Predstavimo gornje jednaine u tablinom obliku:

Iz tablice ne moemo oitati bazini rjeenje jer u retku funkcije cilja postoje dvije bazine varijable sa koeficijentom razliitim od nule (ne moe se oitati ni promjena funkcije cilja). Zato iz prvog retka eliminiramo koeficijent uz bazinu varijablu x6 tako da etvrti redak pomnoen sa M dodamo prvom retku:

Sada su sve bazine varijable izraene pomou nebazinih, pa moemo izabrati ulaznu nebazinu varijablu.

Baza Iteracija 0 Desna strana z x1 x2 x3 x4 x5 x6

z 1 -48 -36 0 0 0 -M 0x3 0 1 0 1 0 0 0 6x4 0 0 1 0 1 0 0 10 x6 0 5 3 0 0 -1 1 45


z 1 5M-48 3M-36 0 0 -M 0 45Mx3 0 1 0 1 0 0 0 6x4 0 0 1 0 1 0 0 10 x6 0 5 3 0 0 -1 1 45

Iz tablice napiimo funkciju cilja: z = 45M (5M - 48) x1 (3M - 36) x2 + M x5 , (u ovoj jednaini traimo najvei pozitivni koeficijent jer je rije o minimizaciji, kod postupka maksimizacije traili smo najvee negativni koeficijent). Za ulaznu nebazinu varijablu biramo x1. Zbog najmanjeg kvocjenta (omjera) desne strane i koeficijenta u stupcu uz ulaznu nebazinu varijablu , kao izlaznu bazinu varijablu biramo x3 :

6/1=610/0=

45/5=9

Nakon stoernog razvoja (dijeljenja retka sa stoernim elementom i eliminacije ostalih koeficijenata u stupcu ispod x1) dobijamo:

6/0=10/1=10

15/3=5

Za ulaznu nebazinu varijablu biramo x2 , a bazu naputa x6 . Ponovo radimo stoerni razvoj te dobijamo:


z 1 5M-48 3M-36 0 0 -M 0 45M

x3 0 1 0 1 0 0 0 6

x4 0 0 1 0 1 0 0 10 x6 0 5 3 0 0 -1 1 45


z 1 0 3M-36 -5M+48 0 -M 0 15M+288x1 0 1 0 1 0 0 0 6x4 0 0 1 0 1 0 0 10

x6 0 0 3 -5 0 -1 1 15

U retku koji odgovara funkciji cilja vie nema pozitivnih koeficijenata te je postignut minimum.Sada iz tablice moemo oitati rjeenje:x1 = 6, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 5, x5 = 0, x6 = 0, z = 468 .

Treba zaposliti 6 VKV 5 KV kontrolora, sa dnevnim trokom od 468 NJ, ostalo je jo 5 nerasporeenih KV kontrolora (dopunska varijabla x4).

2.1.7.2. Dvofazna simpleksna metodaMetoda veliko M nije prikladna za ugradnju u raunalo zbog koeficijenta M koji je za nekoliko redova veliine vei od najveeg koeficijenta koji se oekuje u matrici, te ova metoda nije primjenjiva u raunarima.

Povoljnija za rjeavanje je simpleksna metoda ilustrirana slijedeim primjerom: Za prehranu u nekom periodu raspoloive su 3 vrste konzervi, iji je osnovni sastav dat tablicom:

Tip konzerve Kalorija Vitamina C (mg)123

200015001000

5010060

U tom je periodu potrebno konzumirati barem 600 mg vitamina C. Kojih 10 konzervi treba odabrati da bi se, pored dovoljne koliine vitamina, konzumirala i maksimalna koliina kalirija, ako nije raspoloivo vie od 6 konzervi tipa 1?Rjeenje: Ako sa xi oznaimo broj konzervi tipa i , funkcija cilja ima oblik:

max z = 2000 x1 + 1500 x2 + 1000 x3 uz ogranienja:x1 + x2 + x3 = 10

50 x1 + 100 x2 + 60 x3 600x1 6

Sada nejednaine pretvaramo u jednaine na ve poznati nain. Da bi izabrali poetno bazino rjeenje , u ogranienju tipa = potrebno je dodati umjetnu varijablu koju emo uiniti nebazinompostupkom optimizacije. Tako da sada imamo slijedei sistem:

x1 + x2 + x3 + x4 = 1050 x1 + 100 x2 + 60 x3 - x5 + x6 = 600 x1 + x7 = 6

(Ovaj sistem moemo rijeiti i metodom veliko M tako da u funkciju cilja dodamo umjetne varijable x4 i x6 sa vrlo nepovoljnim koeficijentom).Drugi nain rjeavanja je uvoenje nove funkcije cilja, koja se sastoji samo od umjetnih varijabli i koju emo minimizirati.

min y = x4 + x6


z 1 0 0 -12 0 -12 -M+12 468x1 0 1 0 1 0 0 0 6x4 0 0 0 5/3 1 1/3 -1/3 5x2 0 0 1 -5/3 0 -1/3 1/3 5

Problem minimizacije moe se prikazati kao maksimizacija suprotne funkcije, tj.:min y = x4 + x6 min y

kvocjent

10/45

U retku koji odgovara funkciji cilja nema vie nagativnih koeficijenata, to znai da je postignut maksimum. Iznos funkcije cilja jeste 0. Podsjetimo se da je rije o umjetnoj funkciji cilja koju smo uveli da bi dobili mogue bazino rjeenje u kojem su umjetne varijable nebazine. U daljem postupku te varijable su nepotrebne. Ako za umjetnu funkciju cilja ne dobijemo vrijednost 0, tada ne moemo ukloniti umjetne varijabla iz baze te je rjeenje nemogue i postupak se prekida.Potrebno je sada izvriti optimizaciju originalne funkcije cilja. Koristimo simpleksnu tablicu koju smo dobili u prvoj fazi postupka (Iteracija 3). Varijable u originalnoj funkciji cilja prebacujemo na lijevu stranu jednaine.

z 2000 x1 1500 x2 1000 x3 = 0 i eliminiemo bazine varijable (x1, x2 , x3) tako da redom dodajemo etvrtu, treu i drugu jednainu sistema pomnoene s odgovarajuim koeficijentom. Dodamo etvrtu jednainu pomnoenu sa 2000, te dobijemo:

z 1500 x2 1000 x3 + 2000 x7 = 12000Dodamo treu jednainu pomnoenu sa 1500:

z 1000 x3 75/2 x5 + 2375 x7 = 14250Dodavanjem druge jednaine pomnoene s 1000 dobijamo:

z 25/2 x5 1125 x7 = 16750U novoj tablici moemo izabrati x5 kao ulaznu i x3 kao izlaznu bazinu varijablu:


y* x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y* 1 0 0 -4/10 0 -1/100 101/100 1/2 -1x4 0 0 0 4/10 1 1/100 -1/100 -1/2 1x2 0 0 1 6/10 0 -1/100 1/100 -1/2 3x1 0 1 0 0 0 0 0 1 6


y* x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y* 1 0 0 0 1 0 1 0 0x3 0 0 0 1 10/4 1/40 -1/40 -5/4 5/2x2 0 0 1 0 -6/4 -1/40 1/40 1/4 3/2x1 0 1 0 0 0 0 0 1 6

kvocjent

100

Nakon stoernog razvoja dobijemo konano rjeenje:

Rjeenje itamo direktno iz tablice: potrebno je uzeti svih 6 konzervi tipa 1 i 4 konzerve tipa 2 to e ukupno iznositi 18000 kalorija. Zadana koliina vitamina C premaena je za 100 mg.

Postupak optimizacije je tekao u dvije faze: u prvoj fazi uklonjene su umjetne varijable iz bazinog rjeenja minimizacijom njihove sume, dok je u drugoj fazi (koritenjem iste simpleksne tablice) nastavljena optimizacija originalne funkcije cilja te se i postupak zove dvofazna simpleksna metoda.

Poreenjem metode veliko M i dvofazne simpleksne metode zakljuujemo:a) osnovni pristup kod obe metode je jednak: dodaju se umjetne varijable da se postigne poetno mogue umjetno bazino rjeenje.,b) identine su izmjene baze,c) jednak je broj iteracija koji dovodi do rjeenja.Dvofaznom simpleksnom metodom moemo izbjei numerike tekoe koji su mogue kod metode veliko M, pa je ona pogodnija za upotrebu u raunalima (iako se ne koristi u profesionalnim programskim sistemima za linearno programiranje zbog prevelikog zauzimanja centralne memorije).2.1.8. Vrste rjeenja2.1.8.1. Funkcija cilja neogranieno raste Promotrimo primjer: max 3 x1 + 2 x2

x1 - x2 2 x1 3


z x1 x2 x3 x5 x7 z 1 0 0 0 -25/2 1125 16750x3 0 0 0 1 1/40 -5/4 5/2x2 0 0 1 0 -1/40 1/4 3/2x1 0 1 0 0 0 1 6


z x1 x2 x3 x5 x7 z 1 0 0 500 0 500 18000x3 0 0 0 40 1 -50 100x2 0 0 1 1 0 -1 4x1 0 1 0 0 0 1 6

x1 , x2 0 Dodavanjem dopunskih varijabli dolazimo do slijedee tablice i zapoinjemo postupak optimizacije:

Kvocjent

23

kvocjent

1

Kvocjent

-1

Jedinino poveanje x3 poboljalo bi funkciju cilja za dvije jedinice. Meutim, iz druge i tree jednaine vidi se da x3 moe proizvoljno rasti: u drugoj jednaini kvocjent desne strane i elementa u stupcu je . U treoj jednaini kvocjent je negativan, to znai da je doputeni porast ulazne nebazine varijable beskonaan. Vidi sliku ispod. Nemogunost pronalaenja izlazne bazine varijable ukazuje na neogranieno rjeenje. U realnim problemima to ukazuje na pogreno formuliran model.


z x1 x2 x3 x4z 1 -3 -2 0 0 0x3 0 1 -1 1 0 2x4 0 1 0 0 1 3


z x1 x2 x3 x4z 1 0 -5 3 0 6x1 0 1 -1 1 0 2x4 0 0 1 -1 1 1


z x1 x2 x3 x4z 1 0 0 -2 5 11x1 0 1 0 0 1 3x2 0 0 1 -1 1 1

2.1.8.2. Nemogue rjeenjePrimjer:

max z = 2 x1 + x2 x1 + x2 2

x1 - 2x2 4 x1, x2 0Odluimo li se za dvofaznu simpleksnu metodu, nakon uvoenja dopunskih varijabli x3 i x4 i umjetne varijable x5 , definiranja nove funkcije cilja : min y = x5 max y* = - x5 i eliminacije bazine varijable x5 iz funkcije cilja, moemo napisati simpleksnu tablicu.

Kvocjent

24


y* x1 x2 x3 x4 x5 y* 1 -1 2 0 1 0 -4x3 0 1 1 1 0 0 2x5 0 1 -2 0 -1 1 4


y* x1 x2 x3 x4 x5 y* 1 0 3 1 1 0 -2x3 0 1 1 1 0 0 2x5 0 0 -3 -1 -1 1 2

x2

3 x1 3

2 x

1 - x

2 2

1

1 2 3 x1

z = 6 Sl. Neogranieno rjeenje

Koeficijenti u funkciji cilja ukazuju na to da se funkcija vie ne moe poboljati, a umjetna varijabla x5 jo je uvijek bazina. Ako u prvoj fazi dvofazne simpleksne metode ne moemo postii da je iznos funkcije cilja jednak 0 (ili u metodi veliko M njen iznos sadri koeficijent M), zakljuujemo da je rjeenje nemogue. Za razliku od neogranienog rjeenja, koje je uglavnom posljedica pogrenog formuliranja modela, nemogue e rjeenje u realnim primjenama biti ea pojava. Obino se radi o zahtjevoma koji premauju raspoloive resurse. Geometrijsko znaenje kontradiktornih ogranienja jest da ne postoji skup taaka koje istovremeno zadovoljavaju sva ogranienja. Vidjeti sliku ispod.

2.1.8.3. Alternativni optimumPrimjer: max z = 3 x1 + 2 x2 uz x1 4

2 x2 12 3 x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0

Kvocjent

46


z x1 x2 x3 x4 x5 z 1 -3 -2 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 12x5 0 3 2 0 0 1 18

x2

3

2 x

1 + x

2 2

1x

1 - 2 x

2 4

1 2 3 4 5 x1

Sl. Nemogue rjeenje

Kvocjent

63

Nakon stoernog razvoja dobit emo tablicu u kojoj je jedan od koeficijenata uz nebazine varijable u funkciji cilja jednak nuli. Dakle, ulaskom u bazu te varijable nee se promjeniti iznos funkcije cilja. Negativnih koeficijenata nema, to znai da je postignut optimum.

Kvocjent

42

Mogue je nainiti jo jednu iteraciju da se dobije alternativni optimum:

Kvocjent


z x1 x2 x3 x4 x5 z 1 0 -2 3 0 0 12x1 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 12x5 0 0 2 -3 0 1 6


z x1 x2 x3 x4 x5 z 1 0 0 0 0 1 18x1 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 0 3 1 -1 6x2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3


z x1 x2 x3 x4 x5 z 1 0 0 0 0 -1 18x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6

612

Kao to smo i oekivali, iznos funkcije cilja nije se promjenio. Slijedea iteracija dovela bi nas u prethodno bazino rjeenje, iz ega moemo zakljuiti da smo obili sva optimalna vrna rjeenja (u viedimenzionalnom prostoru moe biti i vie alternativnih optimuma).Za dvodimenzionalni se sluaj alternativni optimumi pojavljuju kad je neko od ogranienja paralelno s funkcijom cilja, slika ispod, koja predstavlja problem koji smo upravo rijeili.

2.1.8.4. Degeneracijamax z = 11x1 + 12 x2

uz x1 8 x2 6

1/4 x1 + x2 7 3/4 x1 + x2 9

x1 , x2 0

Kvocjent

6


z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 -11 -12 0 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 0 8x4 0 0 1 0 1 0 0 6x5 0 1/4 1 0 0 1 0 7x6 0 3/4 1 0 0 0 1 9

x2

x1 4

9 3 x1 + 2 x

2 18

x2 6

6

3 z = 18

2 4 6 x1

Sl. Alternativni optimum

79

Kvocjent

844

Kvocjent

160

U navedenom primjeru vidimo da je maksimalni dozvoljeni prirast varijable x4 jednak nuli. To znai da e njena vrijednost ulaskom u bazu ostati na nuli, i da nee doi do promjene funkcije cilja. Pogledati prethodnu i narednu sliku.


z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 -11 0 0 12 0 0 72x3 0 1 0 1 0 0 0 8x2 0 0 1 0 1 0 0 6x5 0 1/4 0 0 -1 1 0 1x6 0 3/4 0 0 -1 0 1 3


z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 0 0 0 -32 44 0 116x3 0 0 0 1 4 0 0 4x2 0 0 1 0 1 0 0 6x1 0 1 0 0 -4 4 0 4x6 0 0 0 0 2 -3 1 0

Simpleksni postupak krenuo je iz take (0,0) preko (0,6) u (4,6). Meutim, u taki (4,6) sijeku se vie nego dva ogranienja, to moemo promatrati kao vie sjecita u istoj taki. Biti e, dakle, potrebno obaviti jednu iteraciju kojom emo se premjestiti iz jednog sjecita u drugo, pri emu e vrijednost funkcije cilja ostati ista. Ta se pojava naziva degeneracijom.

Kvocjent

24

Postupak se oslobodio degeneracije i slijedea vodi u optimum.


z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 0 0 0 0 -4 16 116x3 0 0 0 1 0 2 -2 4x2 0 0 1 0 0 3/2 -1/2 6x1 0 1 0 0 0 -2 2 4x4 0 0 0 0 1 -3/2 1/2 0

x2

z = 11 x1 + 12 x

2 = 124 x

1 4

9

x2 6

6 x

2 + 1/4 x

1 7

3x

2 + 3/4 x

1 9

0 4 8 12 x

1

Sl. Degeneracija

Ako se velik broj ogranienja u viedimenzionalnom prostoru sijee u istoj taki, teorijski moe doi do kruenja postupka. Meutim, osim kod nekih problema, pojava kruenja u praksi je veoma rijetka. Smanjenje opasnosti od kruenja postie se Charnesovim postupkom koji vrijednost desne strane 0 privremeno zamijeni nekommalom konstantom . Zbog toga kvocjenti postaju razliiti od nule i meusobno se razlikuju.

2.1.9. DualnostNakon dodavanja dopunskih varijabli standardni LP s maksimizacijom funkcije cilja i ogranienjima tipa , moe se tablino prikazati kao:

z x1 . . . xj . . . x n x n+1 . . . x n + i . . . x n + m b1000

c 1 . . . c j . . . -c n 0 . . . 0 . . . 0a 11 . . . a 1j . . . a 1n 1 . . . 0 . . . 0a i1 . . . a ij . . . a in 0 . . . 1 . . . 0a m1 . . . a mj . . . a mn 0 . . . 0 . . . 1

0b1bibm

Nakon obavljene optimizacije sadraj tablice je slijedei:

z x1 . . . xj . . . x n x n+1 . . . x n + i . . . x n + m b1000

z1 - c 1 . . . z1 - c j . . . zn - c n y 1 . . . y i . . . y m a 11 . . . a 1j . . . a 1n 11 . . . 1j . . . 1n a i1 . . . a ij . . . a in i1 . . . ij . . . in a m1 . . . a mj . . . a mn m1 . . . a mj . . . mn

y 01 i m

Budui da su tokom simpleksnog postupka pojedini reci bili mnoeni s odreenim koeficijentima ta dodavani drugim recima i to su bile jedine operacije, moe se zakljuiti na koji su nain nastali koeficijenti u funkciji cilja za dopunske varijable, oznaeni kao y 1 , y 2 , ... ,y m . Na tim je pozicijama u poetnoj tablici bila 0, a ispod njih nalazila se jedinina matrica. Prema tome y i , za i=1,2, ... ,m, nastao je direktno ili indirektno, mnoenjem retka i s vrijednosti y i i pribrajanjem tog


z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 0 0 2 0 0 12 124x5 0 0 0 0 1 -1 2x2 0 0 1 -3/4 0 0 1 3x1 0 1 0 2 0 0 0 8x4 0 0 0 3/2 1 0 -1 3

retka retku funkcije cilja. Vrijednosti koeficijenata u funkciji cilja za strukturne varijable uveane su za z 1 , z 2 , ... ,z n . Te su vrijednosti dobivene mnoenjem i dodavanjem pojedinih redaka retku funkcije cilja: m

z j = a i j y i ; j= 1, ... n (1) i=1Analogno, vrijednost funkcije cilja u optimalnoj tablici je:

my 0 = b i y i ; (2)

i=1Interesantno je uoiti da je vrijednost funkcije cilja izraena kao funkcija raspoloivosti resursa bi , i=1, ...,m.Zakljuak: redak funkcije cilja u optimalnoj simpleksnoj tablici dobije se iz poetne tablice tako da se svaki redak i, i=1, ..., m poetne tablice pomnoi s pripadnim y i i doda retku funkcije cilja.Postavljanjem uvjeta optimalnosti:

z j - c j 0 ; j=1, ..., ny j 0 ; i=1, ..., m (3)

te supstitucijom izraza (1) u (3) i uz oblik funkcije cilja (2) dobije se:

m y 0 = b i y i i=1 m

a i j y i c i j ; j= 1, ..., n i=1

y i 0 ; i= 1, ..., m

Prema tome, postavljanjem uvjeta optimalnosti ponovo je dobijen linearni program, ali izraen varijablama y i , i= 1, ..., m koji sadri n ogranienja tipa . Matrica strukturnih koeficijenata jest AT , tj. transponirana u odnosu na poetni problem. Takav linearni prigram naziva se dualom, dok je poetni problem primal. Potrebno je jo utvrditi smjer optimizacije u dualnom problemu. Ako sa x* oznaimo neko mogue rjeenje primalnog problema, a sa y* neko mogue rjeenje dualnog problema, tada vrijedi:Zbog uvjeta iz primalnog problema:

A x* b x* 0

Zbog uvjeta iz dualnog problema:y * T A c T y * 0

Mnoenjem obe strane prvog uvjeta iz primalnog problema sa y * T :y * T A x* y * T b

Mnoenjem prvog uvjeta iz dualnog problema sa x*:y * T A x* c T x*

zbog svojstva tranzitivnosti, supstitucijom za y * T - A - x* , slijedi da svako mogue dualno rjeenje daje funkciju cilja koja je vea ili jednaka funkciji cilja primalnog problema:

y * T b c T x* Razmatranjem optimalnog rjeenja primalnog problema u tablinom obliku pokazalo se da je vrijednost funkcije cilja za primalni problem jednaka funkciji cilja dualnog problema:

c T x* = b T y * Prema tome ako se eli rjeavanjem dualnog problema saznati vrijednosti primalnih varijabli, u dualnom problemu treba traiti minimum funkcije cilja.

Rjeenja za varijable primalnog problema nai e se ispod dopunskih varijabli u retku funkcije cilja.Suboptimalno primalno rjeenje (ono rjeenje koje u retku funkcije cilja ima negativnih koeficijenata) predstavlja nemogue dualno rjeenje jer nisu zadovoljeni uvjeti nenegativnosti. Poto se u dualnom problemu trai minimum funkcije cilja, a u primalnom maksimum, takvo suboptimalno primalno rjeenje odgovara ne samo nemoguem ve i superoptimalnom dualnom rjeenju jer je vrijednost funkcije manja ngo to e biti u optimumu.

Izmeu primalnog i dualnog rjeenja postoji potpuna simetrija te se za svaki linearni program moe postaviti njegov dual. Odnos izmeu primalnog i dualnog problema prikazan je tablicom ispod. Treba uoiti da simetrinost primala i duala vrijedi samo ukoliko je linearni program u standardnom obliku, tj. maksimizacija funkcije cilja uz ogranienja tipa , ili minimizacija funkcije cilja uz sva ogranienja tipa . Na sve varijable postavljen je uvjet nenegativnosti.

PRIMALKoeficijenti

x1 x2 . . . xj . . . xnDesne strane

DUAL

y1 y2 Koefi- . cijenti yi . ym

a11 a12 . . . a1j . . . a1n a21 a22 . . . a2j . . . a2n . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . .am1 am2 . . . amj . . . amn

b1 b2 . . . bi . . . bm

min

Desne strane

c1 c2 . . . cj . . . cn

max

Svoenje na standardni oblik obavlja se na slijedee naine : Ogranienje tipa pretvara se u , ili obratno, mnoenjem nejednaine sa -1.Ogranienje u obliku jednakosti pretvara se u dvije nejednaine tipa ili , prema potrebi, s meusobno suprotnim koeficijentima, tj. ogranienje: n n n

a i j x j = bi transformira se u: a i j x j bi , a i j x j b i j=1 j=1 j=1 Ako sva ogranienja moraju biti npr. oblika , drugo se ogranienje mnoi s -1: n n

a i j x j bi - a i j x j - bi j=1 j=1

U dualnom problemu uz ta dva ogranienja pridruiti e se dualne varijable yi* i yi** koje se javljaju u svakom ogranienju duala i u dualnoj funkciji cilja s meusobno suprotnim koeficijentima. Mogu se zamijeniti varijablom yi = yi* - yi** . Takva varijabla nema ogranienja na predznak. Prema tome, primalno ogranienje u obliku jednakosti u dualu odgovara slobodnoj varijabli.

Rjeavanjem primalnog problema istovremeno se rjeava i dualni problem. Bazinim dopunskim varijablama iz primala, odgovaraju nebazine dualne varijable. Ovo je evidentno jer je za svaku bazinu varijablu aktuelni koeficijent u retku funkcije cilja jednak 0. Ako je neka dopunska varijabla bazina, tj. vea od 0, to znai da ogranienje u kojem je dodana nije aktivno, odnosno da resurs ija je raspoloivost ogranienjem opisana, nije potpunosti iskoriten. Nebazina pripadna dualna varijabla ukazuje da je tzv. marginalna vrijednost, utjecaj varijacije raspoloivosti resursa na vrijednost funkcije cilja, za taj resurs jednaka 0.Nebazina dopunska varijabla ukazuje da je ogranienje aktivno, odnosno da je pripadni resurs u potpunosti iskoriten. Takvom ogranienju pridruena je bazina dualna varijabla koja sadri

marginalnu vrijednost resursa. Optimalna vrijednost funkcije cilja suma je umnoaka marginalnih vrijednosti i raspoloivosti resursa. U praksi je interesantan podatak o marginalnoj vrijednosti resursa jer ukazuje koliko bi se poboljala funkcija cilja poveanjem raspoloivosti resursa. Taj podatak vrijedi do prelaska u susjedno bazino rjeenje i uz pretpostavku da su svi ostali podaci neizmjenjeni.Opisana interpretacija vrijednosti dualnih varijabli odgovara za sluaj da se primalnim smatra problem maksimizacije s ogranienjima tipa . Kod minimizacije i ogranienja tipa , najee se ne radi o resursima ve o zahtjevima. Dualne varijable tada ukazuju na mogue smanjenje funkcije cilja (npr. trokova), ako se smanje zahtjevi izraeni nejednadbom tipa .Osobine dualnih varijabli osnova su za obavljanje i interpretaciju analize osjetljivosti.

2.1.9.1. Dualna simpleksna metodaPrisjetimo se jednostavnog problema proizvodnje iz poglavlja 2.1.3:

max z = 3 x1 + 5 x2 uz x1 4 2 x2 12 PRIMAL 3 x1 + 2 x2 18

x1 , x2 0Za taj problem moemo postaviti dual. Primalni problem ima dvije varijable i tri ogranienja. -Za svaku primalnu varijablu nastat e jedno dualno ogranienje, a za svako primalno ogranienje jedna dualna varijabla. -Desne strane primalnog problema postaju koeficijenti u funkciji cilja, a koeficijenti u funkciji cilja primalnog problema postaju desne strane u dualu. -Poto su sve primalne varijable nenegativne, pripadna dualna ogranienja biti e tipa .-Sva su primalna ogranienja tipa , pa su dualne varijable nenegativne. -Matrica koeficijenata transponira se, a maksimizacija prelazi u minimizaciju, pa je dualni problem ovaj:

min z = 4 y1 + 12 y2 +18 y3

uz y1 + 3 y3 3 DUAL 2 y2 +2 y3 5y1 , y2 , y3 0

Ovaj problem bi mogli rjeiti dodavanjem dopunskih i umjetnih varijabli metodom veliko M ili dvofaznom simpleksnom metodom.

Pokuajmo, meutim, nejednaine pretvoriti u jednaine oduzimanjem dopunskih varijabli, a uvoenjem suprotne funkcije cilja minimizaciju pretvoriti u maksimizaciju. Sada imamo:

max z* = -z = -4 y1 - 12 y2 -18 y3 uz y1 + 3 y3 - y4 = 3

2 y2 + 2 y3 -y5 = 5 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0

Mnoenjem jednaina ogranienja sa -1 dobijamo: max z* = -4 y1 - 12 y2 -18 y3

uz -y1 - 3 y3 + y4 = - 3 -2 y2 - 2 y3 + y5 = - 5 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0

Napiimo to u obliku tablice prebacivanjem funkcije cilja na lijevu stranu:

Baza Iteracija 0 z* y1 y2 y3 y4 y5

Desnastrana

z*y4 y5

1 4 12 18 0 0 0 -1 0 -3 1 0 0 0 -2 -2 0 1

0 - 3 - 5

Iz tablice se vidi da su svi koeficijenti u funkciji cilja pozitivni, to kod problema maksimizacije znai da je postignut optimum. S druge strane, bazine varijable y4 i y5 imaju negativne vrijednosti, pa je rjeenje nemogue. Kao to vidimo, dobili smo nemogue rjeenje kod kojeg je zadovoljen kriterij optimalnosti. Takvo rjeenje zovemo superoptimalnim.

Sada vrimo promjene baze tako da rjeenje postane mogue ali da se ne izgubi kriterij optimalnosti.Obe bazine varijable y4 (-3) i y5 (-5) imaju negativnu vrijednost, s tim to je apsolutna vrijednost y5 (3 < 5) vea pa tako vie doprinosi ukupnoj nemogunosti rjeenja, zbog toga je ona kandidat pogodan za izlaznu bazinu varijablu. Smanjenje apsolutne vrijednosti varijable, koja je u nekom retku bazina a vrijednost joj je negativna, moe se kompenzirati jedino porastom neke od nebazinih varijabli koje u tom trenutku imaju negativni koeficijent. To su u naem sluaju y2 (-2) i y3 (-2). Za ulaznu nebazinu varijablu odabrati emo onu koja ima po apsolutnoj vrijednosti manji kvocjent koeficijenata iz funkcije cilja i negativnog koeficijenta u retku izlazne bazine varijable, ime zadravamo kriterij optimalnosti.Kvocjent za ulaznu nebazinu varijablu y2 uz odabranu izlaznu bazinu varijablu y5 iznosi po apsolutnoj vrijednosti 12/2 = 6, dok za y3 iznosi 18/2 = 9. Kao ulazna nebazina varijabla izabire se y2 . Zbog toga e i nakon promjene baze svi koeficijenti u funkciji cilja ostati nenegativnima.


Desnastrana

z*

y4

y5

1 4 12 18 0 0 0

0 -1 0 -3 1 0 - 3

0 0 -2 -2 0 1 - 5

Nakon obavljanja stoernog razvoja ostaje y4 nagativno, a kandidati za ulazni nebazinu varijablu jesu y1 i y3 , zbog negativnih koeficijenata u retku izlazne bazine varijable y4 . Ako bismo odabrali y1 , nakon stoernog razvoja koeficijent u funkciji cilja uz y3 postao bi negativan (-6), pa biramo y3 :


Desnastrana

z*y4

y2

1 4 0 6 0 6 30

0 -1 0 -3 1 0 - 3

0 0 1 1 0 -1/2 5/2

Nakon obavljena stoernog razvoja niti jedna varijabal nije nagativna, a svi su koeficijenti u funkciji cilja pozitivni, to znai da smo postigli optimalno i mogue rjeenje:

Baza Iteracija 2

z* y1 y2 y3 y4 y5 Desnastrana

z*

y3

y2

1 2 0 0 2 6 -36

0 1/3 0 1 -1/3 0 1

0 -1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2

Rjeenje je : y1 = 0 , y2 = 3/2, y3 = 1 .

Pogledajmo rjeenje primalnog problema iz poglavlja 2.1.5. Stanje nakon posljednje iteracije izgledalo je ovako:

z + 3/2 x4 + x5 = 36 x3 + 1/3 x4 1/3 x5 = 2

x2 + 1/2 x4 = 6 x1 - 1/3 x4 + 1/3 x5 = 2ili u tablinom obliku:

Vidimo da se rjeenje primalnog problema moe oitati iz koeficijenata uz dopunske varijable duala. Analogno, koeficijenti uz dopunske varijable u primalnoj funkciji cilja rjeenja su dualnog problema.

2.1.9.2. Vrste dualnih rjeenja2.1.9.2.1. Dualno nemogue rjeenjePogledajmo problem iz poglavlja 2.1.8.1.:

max z = 3 x1 + 2 x2 uz x1 - x2 2

x1 3 x1 , x2 0

Rjeenje tog problema jest neogranieno. Pokuajmo sada rjeiti njegov dual:min z = 2 y1 + 3 y2

y1 + y2 3 - y1 2

y1 , y2 0Problem moemo pripremiti za rjeavanje dualnom simpleksnom metodom:

max z* = - 2 y1 - 3 y2 - y1 - y2 + y3 = - 3

Baza Desna strana

z x1 x2 x3 x4 x5 z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

y1 + y3 = - 2 y1 , y2 , y3 , y4 0

Problem emo sada napisati u tablinom obliku i izabrati izlaznu bazinu i ulaznu nebazinu varijablu:

Nakon obavljenog stoernog razvoja varijabla y1 postaje opet negativnom, a u retku nema niti jednog negativnog koeficijenta oko kojeg bismo mogli obaviti stoerni razvoj. Te zakljuujemo da je rjeenje nemogue:


z* y1 y2 y3 y4z* 1 2 3 0 0 0y3 0 -1 -1 1 0 -3y4 0 1 0 0 1 -2


z* y1 y2 y3 y4z* 1 0 1 2 0 -6y1 0 1 1 -1 0 3y4 0 0 -1 1 1 -5


z* y1 y2 y3 y4z* 1 0 0 3 1 -11y1 0 1 0 0 1 -2y2 0 0 1 -1 -1 5

2.1.9.2.2. Dualno neogranieno rjeenjePrimjer iz poglavlja 2.1.8.2. :

max z = 2 x1 + x2 uz x1 + x2 2

x1 - 2x2 4 x1 , x2 0

ima nemogue rjeenje. Treba primjetiti da je drugo ogranienje tipa , pa ga treba prije transformacije u dual pomnoiti sa -1:

-x1 + 2 x2 - 4Dual nakon toga ima oblik:

min z = 2 y1 - 4y2 y1 - y2 2 y1 + 2y2 1 y1 , y2 0

Uvoenjem nove funkcije cilja i dopunskih varijabli te mnoenjem ogranienja s -1 dobijamo:max z* = -2 y1 + 4 y2 - y1 + y2 + y3 = - 2 - y1 - 2 y2 + y4 = -1 y1 , y2 , y3 , y4 0 ili u tablinom obliku:

Vidimo da su varijable y3 i y4 nagativne, a nije zadovoljen kriterij optimalnosti.


z* y1 y2 y3 y4z* 1 2 -4 0 0 0y3 0 -1 1 1 0 -2y4 0 -1 -2 0 1 -1


z* y1 y2 y3 y4z* 1 2 -4 0 0 0y3 0 -1 1 1 0 -2y4 0 -1 -2 0 1 -1

Vidimo da smo postigli mogue, ali suboptimalno rjeenje. Varijabla y2 moe, meutim, neogranieno rasti, ime smo pokazali da nemoguem rjeenju primala odgovara neogranieno rjeenje duala.Mogli bismo, radi vjebe, jo jednom rjeiti primalni problem, sada kombiniranom metodom. U prvoj je tablici varijabla x4 negativna pa zapoinjemo dualnom metodom:

Varijabla x3 jest negativna, a u retku nema negativnih elemenata oko kojih bismo mogli vriti stoerni razvoj. Rjeenje je dakle nemogue.


z* y1 y2 y3 y4z* 1 0 -2 2 0 -4y1 0 1 -1 -1 0 2y4 0 0 -3 -1 1 1


z* x1 x2 x3 x4z 1 2 -1 0 0 0x3 0 1 1 1 0 2x4 0 -1 2 0 1 -4


z* x1 x2 x3 x4z 1 0 3 0 -2 -8x3 0 0 3 1 1 -2x1 0 1 -2 0 -1 4

2.1.9.2.3. Dualna degeneracijaKod primjera iz poglavlja 2.1.8.2., 2.1.8.3. uoili smo alternativni optimum. Problem je imao oblik:

max z = 3 x1 + 2 x2 uz x1 4 2 x2 12 3 x1 + 2 x2 18

x1 , x2 0

Njegov dual izgleda ovako:min z = 4 y1 + 12 y2 +18 y3

uz y1 + 3 y3 3 2 y2 + 2 y3 2 y1 , y2 , y3 0

ili nakon transformacije:max z* = - 4 y1 - 12 y2 - 18 y3

uz -y1 - 3 y3 + y4 = - 3 -2 y2 - 2 y3 + y5 = - 2 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0

Sad moemo raditi iteracije dualne simpleksne metode:


Desnastrana

z*

y4

y5

1 4 12 18 0 0 0

0 -1 0 -3 1 0 - 3

0 0 -2 -2 0 1 - 2


Desnastrana

z*

y1

y5

1 0 12 6 4 0 -12

0 1 0 3 -1 0 3

0 0 -2 -2 0 1 - 2


Desnastrana

z*

y1

y5

1 0 6 0 4 3 18

0 1 -3 0 -1 3/2 0

0 0 1 1 0 -1/2 1

Postigli smo optimalno rjeenje, ali je jedna od bazinih varijabli jednaka nuli, to znai da imamo degeneraciju.

2.1.9.2.4. Dualni alternativni optimumU primjeru iz 2.1.8.4. imali smo degeneraciju. Problem je bio slijedei:

max z = 11x1 + 12 x2 uz x1 8

x2 61/4 x1 + x2 7

3/4 x1 + x2 9x1 , x2 0

Dual ima oblik:min z = 8 y1 + 6 y2 + 7 y3 + 9 y4

uz y1 + 1/4 y3 + 3/4 y4 11 y2 + y3 + y4 12

y1 , y2 , y3 , y4 0Nakon transformacije u:

max z* = -8 y1 - 6 y2 - 7 y3 - 9 y4 uz - y1 - 1/4 y3 - 3/4 y4 + y5 - 11

- y2 - y3 - y4 + y6 - 12 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 0

slijede iteracije dualne simpleksne metode:


z* y1 y2 y3 y4 y5 y6 z* 1 8 6 7 9 0 0 0y5 0 -1 0 -1/4 -3/4 1 0 -11y6 0 0 -1 -1 -1 0 1 -12


z* y1 y2 y3 y4 y5 y6 z* 1 8 0 1 3 0 6 -72y5 0 -1 0 -1/4 -3/4 1 0 -11y2 0 0 1 1 1 0 -1 12

Nakon stoernog razvoja, koeficijent uz nebazinu varijablu y3 jednak je nuli, to ukazuje na postojenje alternativnog rjeenja u dualu, odnosno degeneracije u primalu:

3. VIEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE

U procesu odluivanja esto nije mogue definirati samo jednu funkciju cilja. Kriterija koje traeno rjeenje treba zadovoljiti obino ima vie. Kod izbora automobila, ne primjer, bili pri kupovini ili proizvodnji, elimo ostvariti to veu udobnost, brzinu i ubrzanje uz najmanju cijenu i utroak goriva. Problem prehrane trai zadovoljenje dnevnih potreba organizma uz najmanje trokove i munimalnu konzumiranu koliinu tetnih tvari. Kod planiranja proizvodnje eli se postii maksimalni doprinos za pokrie (kontribucija), tj. razlika izmeu prihoda i diraktnih trokova ali cilj moe biti i zadovoljenje potreba trita u to kraem roku. Izbor konanog rjeenja tada predstavlja kompromis izmeu nekoliko zahtjeva, esto suprotnih. Od donosioca odluke zahtjeva se da procjeni prihvatljivost ponuenog rjeenja i eventualno usmjeri proces optimizacije


z* y1 y2 y3 y4 y5 y6 z* 1 4 0 1 0 4 6 -116y4 0 4/3 0 1/3 1 -4/3 0 44/3y2 0 -4/3 1 2/3 0 4/3 -1 -8/3


z* y1 y2 y3 y4 y5 y6 z* 1 0 3 2 0 8 3 -124y4 0 0 1 1 1 0 -1 12y2 0 1 -3/4 -1/2 0 -1 3/4 2

prema boljem. Metoda viekriterijskog programiranja ima mnogo, od kojih svaka ima neke prednosti, ali i nedostatke. Ovdje e biti spomenute najpoznatije i najee koritene metode.

3.1. Podjela metoda viekriterijskog programiranjaViekriterijsko programiranje moe se podijaliti u dvije osnovne kategorije:

1. Metode optimalnog izbora (Multiple Attribute Decision Making Methods) koriste se u sluaju da treba izabrati najbolju mogunost izmeu ogranienog broja prethodno definiranih mogunosti. Svaka e mogunost biti opisana s nekoliko atributa, koji mogu biti kvalitativni i kvantitativni. Kao optimalno rjeenje odabire se mogunost iji su atributi po nekim kriterijima bolji od atributa ostalih mogunosti. Te e se metode koristiti, na primjer, pri kupovini raunala kad treba izabrati najpovoljniju izmeu nekoliko ponuda raznih proizvoaa, pri odabiranju poslovnih partnera i slino.2. Metode optimizacije s vie funkcija cilja (Multiple Objective Decision Making Methods) nisu povezane s izborom iz skupa prethodno definiranih rjeenja. Problemi kojima se te metode bave sastoje se od odreenog broja funkcija cilja koje treba maksimizirati ili minimizirati i skupa ogranienja koja se postavljaju na varijable modela. Takvi problemi imaju beskonano mnogo rjeenja. Kao primjer za tu grupu metoda moe se navesti problem smjese, prehrane ili oblikovanja novog proizvoda. Svaka metoda viekriterijskog programiranja zahtijeva prisutnost ovjeka koji postavlja zahtjeve, usmjerava proces optimizacije i na kraju prihvaa ili odbija ponueno rjeenje. Za tu osobu, ili vie njih, uobiajeni je naziv donosilac odluke. Dalja podjela obiju grupa uslijedie prema ueu donosioca odluke u procesu optimizacije. Metode optimizacije s vie funkcija cilja dijele se prema zahtjevima koji se postavljaju na donosioca odluke da usmjeri proces prema zadovoljavajuem rjeenju, te prema tipu informacija koje treba dati u proces i prama trenutku u kojem su te informacije potrebne. Tako postoje metode koje ne zahtijevaju od donosioca odluke da se izjesni o preferencijama na funkciju cilja, odnosno metode kod kojih se preferencije zadaju prije procesa optimizacije, u toku njega ili nakon njega. Metoda optimalnog izbora dijele se prema tome daje li donosilac odluke informaciju o svojim zahtjevima na atribute modela, ili se izjanjava o preferenciji neke mogunosti, ili ne daje nikakvu informaciju.

3.2. Metode optimizacije sa vie funkcija cilja3.2.1. Osnovni pojmovi i definicijeProblem optimizacije s vie funkcija cilja matematiki se moe prikazati kao:

Max [ f1 (x), f2 (x), ... fk (x) ] gdje su fi (x), i = 1, ... k funkcija cilja, uz ogranienjeg j (x) 0, j = 1, ..., m ,

x jest n-dimenzionalan vektor. U vektorskoj notaciji to moemo napisati kao: max f (x) uz ogranienja g (x) 0 (1)Simbol u vektorskoj nozaciji moemo definirati ovako: a b ako i samo ako je a i b i za svaki i.Sve vrijednosti x za koje je zadovoljna nejednadba (1) tvore skup moguih rjeenja X:

X = { x | g ( x ) 0 } Sve vrijednosti f ( x ) uz zadovoljenje nejednaine (1) tvore skup funkcionalnih rjeenja S:

S = { f ( x ) | x X } Rjeavanjem k problema : max fj (x), j = 1, ... k uz ogranienja g ( x ) 0 dobijemo k optimalnih rjeenja x*j , j=1, ...kAko postoji rjeenje y takvo da je x*j = y , j=1, ... k tada kaemo da problem ima savreno rjeenje. Savreno e se rjeenje rijetko postii zbog najee konfliktnih zahtjeva na funkciju cilja.Efikasno rjeenje takvo je rjeenje kod kojeg nije mogue postii poboljanje niti jedne funkcije cilja bez istovremenog pogoranja barem jedne od preostalih funkcija cilja. Drugim rjeima, ne postoji niti jedno rjeenje koje je po jednom kriteriju bolje, a da po ostalima nije loije od njega. Za efikasno rjeenje nalazimo jo i slijedee nazive: nedominirano, neinferiorno ili paretovski optimalno rjeenje. Efikasno rjeenje koje donosilac odluke prema nekim vlastitim mjerilima prihvati kao konano naziva se najbolje rjeenje.

Zadovoljavajue rjeenje ne mora biti ujedno i efikasno, ali ga donosilac odluke prihvaa u nemogunosti da svojim znanjem, sposobnostima ili metodom koju koristi doe do boljeg.

Za ilustraciju navedenih pojmova moe posluiti slijedei primjer: Potrebno je maksimizirati dvije funkcije cilja

max f1 = x1 + x2max f2 = x2 - x1 , uz ogranienja x1 3, x2 3, x1 , x2 0.

Skup dozvoljenih rjeenja X i funkcije cilja u svojim optimumima prikazani su na slici 3.1. Skup dozvoljenih rjeenja nalazi se unutar konveksnog skupa ABCD, dok se skup efikasnih rjeenja nalazi na duini BC. Na slici 3.2 prikazana je ovisnost meu iznosima rjeenja za funkcije cilja. Konveksni skup ABCD tu predstavlja skup funkcionalnih vrijednosti. Donosilac odluke moe sada izabrati najbolje rjeenje iz skupa efikasnih rjeenja, tj. sa spojnice optimalnih rjeenja BC.

Openito postoje dva pristupa u rjeevanju linearnog problema optimizacije s vie funkcija cilja. -Prvi pristup sastoji se u optimizaciji jedne funkcije cilja dok se na ostale dodaju ogranienja koja predstavljaju ciljeve koji se u procesu moraju postii. Takav pristup naziva se ciljno programiranje i moe se formulirati kao max f i ( x ) uz uvjete g ( x ) 0 f j ( x ) a j , j=1, ... k, gdje j i a j , jeste cilj koji elimo postii za funkciju cilja j.-Drugi pristup, ekvivalentan traenju efikasnog rjeenja , ukljuuje optimizaciju nove funkcije cilja

Uz uvjete g ( x ) 0 , wi jesu teine ili ponderi koji se obino normaliziraju tako da je:

Naravno, kod sloenijih modela nije mogue unaprijed odrediti ciljeve odnosno teine, tako da oba postupka, u jednostavnom obliku u kojem su prikazana ovdje, nisu prikladna za rjeavanje problema iz prakse. To ne znai da se njihovom doradom ne mogu dobiti efikasni i vrlo upotrebljivi algoritmi.

kmax w i f i ( x ) i=1

k w i =1 , w i > 0 i=1

x 2 f

2

B 3 B C 2 f

2 1 S

f1 A C

2 f1

X -1 1 -2

-3 D

A 1 2 D x

1

Sl. 3.1 Skup moguih rjeenja Sl. 3.2 Skup funkcionalnih rjeenja

3.2.2.Metode kod kojih se naglaavaju preferencije na funkcije ciljaPri koritenju tih metoda nije potrebno davati nikakve subjektivne informacije, dovoljno je

definirati funkciju cilja i postaviti ogranienja. Donosilac odluke mora samo prihvatiti ili odbaciti dobiveno rjeenje. Prednost te grupe metoda je u jednostavnom koritenju i minimalnoj koliini podataka koje treba zadati. Tu ne treba zadavati preferencije, to bitno olakava posao, ali kao posljedica proizilazi rjeenje na koje se ne moe uticati i kao takvo ne mora biti prihvatljivo.

3.2.2.1. Metoda globalnog kriterijaOsnovna ideja metode je vidljiva ve iz naziva: sastoji se u optimizaciji nekog globalnog kriterija, npr. minimizaciji sume kvadrata udaljenosti od idealnih rjeenja za pojedine funkcije cilja. Metoda se sastoji od dva osnovna dijela:a) Rijei se k problema:

max f j ( x ) , j = 1, ...,k uz ogranienja: g i ( x ) 0 , i = 1, ... m, i dobije k idealnih rjeenja: f j ( x *) , j = 1, ...,k b) Ako je f j ( x *) 0 , j = 1, ... ,k tada se rijei problem:

Uz ogranienja: g i ( x ) 0 , i = 1, ... m, Rjeenje openito ovisi o parametru p te nije jednostavno odluiti se za konkretnu vrijednost. Za p = 1 i f ( x ) i g ( x ) linearne funkcije, radi se oproblemu linearnog programiranja, koji se moe rijeiti npr. simpleksnim postupkom.

3.2.3. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju prije rjeavanja problemaDonosilac odluke, koristei neku od ovih metoda, duan je saopiti svoje preferencije prije nego zapone s rjeavanjem problema, anakon formirtanja modela. Informacije mogu biti kardinalne ili mjeovite (kardinalne i ordinalne). Kod zadavanje kardinalnih informacija preferencije e biti definirane nekim brojanim iznosom, dok e se u sluaju ordinalnih informacijafunkcije cilja zadavati redom prema znaenju.

3.2.3.1. Metode funkcije korisnostiKod svih metoda iz te grupe problem viekriterijskog optimiranja definira se kao:

max u (f 1 , f 2 , ..., f 3 ) = u ( f ) uz g i ( x ) 0 , i = 1, ... m,Funkcija u( f ) naziva se funkcijom korisnosti (Utility Function). Ako se u( f ) korektno postavi, metoda daje najprihvatljivije rjeenje. Funkciju nije lako odrediti i u tome je osnovna potekoa kod primjene. u( f ) se moe rastaviti na sabirke pa u tom sluaju imamo:

Uz g i ( x ) 0 , i = 1, ... m,

Poseban oblik funkcije korisnosti jeste koritenje teine ili pondera:

Iako i ovdje postoje tekoe oko zadavanja teina, taj se oblik ee koristizbog svoje jednostavnosti i, prije svega, zbog mogunosti rjeavanja linearnim programiranjem.

p k f

i ( x* ) - f

i ( x )

min i=1

f

i ( x* )

kmax u = u j (f j ) i=1

kmax w i f i ( x ) , w i > 0 i=1

3.2.3.2. Metode ograniavanja funkcije ciljaKod tih metoda donosilac odluke postavlja minimalne prihvatljive iznose na pojedine funkcije cilja i pristupa optimizaciji jedne od njih.

max f r ( x ) gdje je : g i ( x ) 0 , i = 1, ... m, f j ( x ) l j , j = 1, ...k, j r

Mogue je zadati i najvei dozvoljeni iznos, pa tako gornjim nejednainama dodajemo jo i f j ( x ) h j , j = 1, ..., k, j r

Potekou kod koritenja te metode predstavlja zadavanje korektnih iznosa koje funkcije cilja moraju postii. Nedostatak informacija o ponaanju modela u trenutku zadavanja lako moe dovesti k nemoguem rjeenju, a odabiranje jedne od funkcija cilja za optimizaciju zapravo je degradiranje viekriterijalnosti. 3.2.3.3. Leksikografska metodaLeksikografska metoda predstavnik je postupaka kod kojih se zadaju ordinalne informacije. Tu je potrebno funkcije cilja svrstati po vanosti. Proces optimizacije tee na slijedei nain, pod uvjetom da indeks funkcije cilja ima znaenje njenog ranga po vanosti:1. Rijei se: max f 1 ( x ) uz g i ( x ) 0 , i = 1, ... m,2. Postavlja se: j =2:3. Rije se: max f j ( x ) uz g i ( x ) 0 , i = 1, ... m, i f k ( x ) = f *k , k = 1, ..., j-1,Ako je rjeenje jedinstveno, tj. vrijednosti svih funkcija cilja ostale su iste kao u prethodnom koraku, ili je to posljednja funkcija cilja, postupak je gotov. Inae, postavlja se j: = j + 1 i postupak nastavlja od 3.Nedostatak tog postupka jeste zanemarivanje ostalih funkcija cilja odmah nakon postizanja jedinstvenog rjeenja. Metodu je mogue poboljati tako da se kod optimizacije slijedeih funkcija cilja dozvoljava promjena iznosa prethodnih za odreeni iznos d.U j-tom koraku sada imamo:

max f 1 ( x ) uz g i ( x ) 0 , i = 1, ... m, f k ( x ) f *k - d k , k = 1, ..., j-1,

3.2.3.4. Ciljno programiranje3.2.3.5. Interaktivne metode3.2.3.5.1.Metoda zadovoljavajuih ciljeva3.2.3.5.2. Metoda STEM3.2.4. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju naknadno3.2.4.1. Variranje teina3.3. Metode optimalnog izbora3.3.1. Osnovni pojmovi3.3.2. Transformacija atributa3.3.3. Metode kod kojih se ne naglaavaju preferencije3.3.3.1. Metoda dominacije3.3.3.2. Maksmin3.3.3.3. Maksiimaks3.3.4. Metode kod kojih se naglaavaju preferencije na atribute3.3.4.1. Leksikografska metoda3.3.4.2. Aditivna metoda3.3.4.3. Metoda ELECTRE3.3.4.4. Metoda TOPSIS3.3.5. Metode kod kojih se zadaju preferencije na mogunosti3.3.5.1. Metoda LINMAP

5. DINAMIKO PROGRAMIRANJE

U veini problema kojima se bave operacijska istraivanja potrebno je odrediti iznos nekih varijabli, koje moemo nazvati varijablama odluke, tako da se postigne optimalna vrijednost neke funkcije cilja. Algoritmi te varijable tretiraju simultano. Meutim, esto se problem moe razloiti na komponente i sistematskim povezivanjem meusobnih uticaja rjeenja pojedinih komponenata doi do optimalnog rjeenja cijelog problema. Kod metoda dinamikog programiranja problem se

rjeava po fazama, te se u proraunu svake faze koriste optimalne vrijednosti dobivene u prethodnoj fazi. Taj postupak poznat je kao Belmanov princip i njime se dobije slijed optimalnih odluka. Dinamiko programiranje uspjeno se primjenjuje u svim segmentima operacijskih istraivanja, od linearnog i cjelobrojnog programiranja, preko analize mrea do problema skladita. O inventivnosti i inteligenciji operacijskog istraivaa ovisi hoe li prepoznati problem koji se moe rjeiti dinamikim programiranjem i hoe li se dosjetiti kako to uiniti.

Osnovna pretpostavka dinamikog programiranja je uspjena dekompozicija problema na faze. Unutar faze n-1 problem se nalazi u nekom (i-tom) od moguih stanja Si n-1 iz kojeg nekom (j-tom) od za to stanje dozvoljenih odluka Oi j n-1 prelazi u slijedeu fazu n, a time i u stanje Sj n , pogledaj sliku:

Stanje u slijedeoj fazi funkcija je stanja u prethodnoj fazi i odluke koja je tamo donesena, tj. S j n = g (Si n-1, Oi j n-1 ) .Pretpostavimo da za sva stanja j u nekoj fazi n poznajemo optimalnu vrijednost funkcije cilja fj n*. Pretpostavimo da poznajemo i funkciju h kojom se iz vrijednosti funkcije cilja u fazi n i odluke Oi j n-1 kojom se prelazi iz faze n-1 u fazu n moe izraunati vrijednost funkcije cilja u fazi n-1:

fi n-1 = h ( fj n*, Oi j n-1 ) Optimalna vrijednost fi (n-1)*= opt j h (f ij n*, Oi j n-1 ).

Ovom metodom se rjeavaju tehniki problemi tipa raunarskih komunikacija, GSM, potanskog saobraaja, prenosa poiljki i komoletnih komunikacija, pa razmotrimo slijedei problem: 5.1. Problem najbreg prenosa:

5.1. Problem najbreg prenosaRazmotrimo slijedei problem:U raunarskoj mrei potrebno je poslati elektronsku potu od raunala 1 do raunala 11. Ne postoji direktna veza izmeu ta dva raunala, ali je komunikacija mogua preko ostalih raunala u mrei. Poznat je prosjeni intenzitet prometa informacija na svakoj od linija u mrei. Potrebno je odabrati vorove preko kojih e se obaviti prenos informacija tako da pota u najkraem roku stigne do odredita. Pretpostavka je da je brzina prenosa informacija na nekoj liniji obrnuto proporcionalna intenzitetu prometa na toj liniji. Zbog svojstva da je brzina prenosa obrnuto proporcionalna intenzitetu prometa u mrei, za najbri put treba odabrati onaj kod kojeg je suma intenziteta prometa u pojedinim granama najmanja.

(Oi-1, j-1) n-1

(Oi-1, j) n-1 (Oi-1, j+1) n-1

Faza n-1 Faza n

Sl. Prelaz iz faze n-1 u fazu n

Si-1

n-1

Si

n-1

Si+1

n-1

Sj-1

n

Sj

n

Sj+1

n

Problem je jednak problemu najkraeg puta, ako intenzitete prometa shvatimo kao udaljenosti. U mrei se moe uoiti 5 faza:

Stanje u nekoj fazi puta odreeno je vorom u kojem se u toj fazi nalazimo. Iz toga se stanja prelazi u slijedeu fazu, a time i slijedee stanje izborom slijedeeg vora na putu. Odluku da u voru i u fazi n-1 kao direktnog nasljednika izaberemo vor j nazvati emo Oi j n-1.

U fazi 4 lako je za svaki vor izraunati najkrai put do odredita i odrediti vor koji treba odabrati da bi se krenulo najkraim putem. Ako sa i 4 oznaimo vor u kojem se moemo nalaziti u fazi 4, sa fi 4* najkrai put do odredita, a sa Oij 4* optimalnu odluku za svaki vor iz faze 4, moemo pisati:

U fazi 3 moemo se nalaziti u vorovima 5, 6 i 7. Ako se pota nalzi u raunalu 6, tada je mogue odabrati vorove 8, 9 i 10. Ako se krene preko vora 8 imaemo intenzitet 1+2=3, ako krenemo preko 9 imaemo 5+3=8, i ako krenemo preko 10 imaemo intenzitet 4+3=7. Optimalno je, dakle, ako se naemo u raunalu 6, nastaviti preko raunala 8. Identina su razmatranja ako se poruka nae u voru 5 ili 7. prema tome, ako sa pij oznaimo promet izmeu vora i i vora j, funkcija kojom moemo izraunati vrijednost funkcije cilja za sva stanja u fazi 3 u ovisnosti od vrijednosti u fazi 4 i odluke u fazi 3 ima oblik: fi 3 = pij + fi 4* , pa je optimalna vrijednost za svaki vor u fazi 3 ravna: : fi 3* = minj (pij + fi 4* ). Tako za svaki vor u fazi 3 i svaku odluku moemo izraunati vrijednost funkcije cilja i iz toga odrediti optimalnu vrijednost i optimalnu odluku:

fi 3 = pij + fj 4*

fi 3* Oij 3*j 4

8 9 10i 3 5 7 (5+2) 6 (3+3) 8 (5+3) 6 9

i 4 fi 4* Oij 4*8 2 119 3 1110 3 11

7 5

4 3 5 5 2 2 4 1 3 2 5 3

1 4 4 3 2 1 2 3 8 2

Faza 1 Faza 2 Faza 3 Faza 4 Faza 5 Sl. Prikaz faza prilikom dinamikog programiranja

1 3 6 9 11

2 5 8

4 7 10

6 3 (1+2) 8 (5+3) 7 (4+3) 3 87 3 (1+2) 6 (3+3) 5 (2+3) 3 8

U fazi 2 razmatranja je slino. Za vor 2, na primjer, vrijednost funkcije cilja iznosi 7+6=13, ako odaberemo za nasljednika vor 5 (jer je intenzitet od 2 do 5 jednak 7, a od 5 do 11 optimum je 6) , ako se odluimo za vor 6 bie intenzitet 4+3=7, a ako se odluimo da idemo preko vora 7 intenzitet e biti 5+3=8. Za vorove 3 i 4 razmatranje je slino:

fi 2 = pij + fj 3*

fi 2* Oij 2*j 3

5 6 7

i 22 13 (7+6) 7 (4+3) 8 (5+3) 7 63 10 (4+6) 5 (2+3) 4 (1+3) 4 74 8 (2+6) 5 (2+3) 11 (8+3) 5 6

U fazi 1 dolazimo do konanog rjeenja:

fi 1 = pij + fi 2*

fi 1* Oij 1*j 2

2 3 4

i 1 1 9 (2+7) 7 (3+4) 9 (4+5) 7 3

Najmanji ukupni intenzitet prometa na koji se nailazi iznosi 7. Iz raunara 1 idemo u 3, iz 3 dalje u raunar 7, iz 7 produavamo do raunara 8 te iz 8 idemo u 11.Ovaj pristup pored optimalnog daje i sva ostala rjeenja Lako odreujemo put ako iz bilo kog razloga otkae neki od raunara. Ako otkae raunar 3, onda imamo dva jednako isplativa puta. Ako se pdluimo preko raunara 2 ili 4 u oba sluaja dalje se ide preko 6,8,9 na 11.

5.2 Problem raspodjele investicija Polazimo od aksioma da se uspjenim i osmiljenim ulaganjem u neku djelatnost uvijek ostvaruje dobit koja u pravilu raste sa poveanjem uloenog kapitala to vrijedi sve dok ne doemo u zasienje. Za ovo se obavlja kvalitetna ekonomska analiza kojom odreujemo zakonitost po kojoj se ravna dobit u zavisnosti od uloenih sredstava. Neka raspolaemo kapitalom od 10 NJ koje trebamo uloiti u proizvodnju u etiri podruja ili oblasti. Ekonomske analize se moraju uraditi kako bi dobili koliku dobit moemo oekivati u pojedinim podrujima uz odreeno investiranje sredstava. Neka su podruja A, B, C, D (oekivana dobit u ovisnosti od investicija) data u tabeli.

INVESTICIJA DOBIT A DOBIT B DOBIT C DOBIT D0 0 0 0 01 0,28 0,25 0,15 0,202 0,45 0,41 0,25 0,333 0,65 0,55 0,40 0,424 0,78 0,65 0,50 0,485 0,90 0,75 0,62 0,536 1,02 0,80 0,73 0,567 1,13 0,85 0,82 0,588 1,23 0,88 0,90 0,609 1,32 0,90 0,96 0,6010 1,38 0,90 1,00 0,60

esto se puta ovi podaci daju i grafiki gdje su investicije na horizontalnoj osi. esto puta ovo ide klasinim prikazivanjem pravcima.

DOBIT A B C

0,7 D

0,50,4

0,20,1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 INVESTICIJA

U naem primjeru moramo raspodjeliti raspoloivih 10 NJ na 4 podruja investicija tako da postignemo optimalnu vrijednost funkcije cilja (maksimalnu jer se radi o dobiti). Ako se

191257461 operacijska istrazivanja kalpic mornar skripta

Documents