sveuČiliŠte u rijeci - oliver.efri.hroliver.efri.hr/zavrsni/323.b.pdf · operacijska...

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

Ana Kos

PRIMJENA LINEARNOG PROGRAMIRANJA U OPTIMIZACIJI

PREHRANE PURANA

DIPLOMSKI RAD

Rijeka, 2013.

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

PRIMJENA LINEARNOG PROGRAMIRANJA U OPTIMIZACIJI

PREHRANE PURANA

DIPLOMSKI RAD

Predmet: Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje

Mentor: dr.sc. Ljiljana Lovrić

Student: Ana Kos

Studijski smjer: Financije i bankarstvo

JMBAG: 0081109246

Rijeka, rujan 2013.

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorici dr.sc. Ljiljani Lovrić na iskazanom povjerenju, vodstvu i

korisnim savjetima tijekom izrade ovog diplomskog rada.

Želim se zahvaliti svim kolegicama, posebice Nikolini i Mateji koje su mi vrijeme

provedeno na fakultetu uljepšale svojim prisutstvom i pomogle da to vrijeme smatram super

dijelom svoga života.

Na kraju bih se zahvalila svojoj obitelji na strpljenju i moralnoj podršci, te

povjerenju koje su mi ukazali tokom studija.

Sadržaj

1. UVOD ................................................................................................................... 1

1.1. Predmet istraživanja ........................................................................................ 1

1.2. Svrha i cilj istraživanja .................................................................................... 2

1.3. Struktura rada ................................................................................................. 2

1.4. Metode istraživanja ......................................................................................... 3

2. OSNOVE LINEARNOG PROGRAMIRANJA ...................................................... 4

2.1. Osnovne teorije i razvoj linearnog programiranja ............................................ 4

2.2. Formulacije problema linearnog programiranja s jednadžbama i

nejednadžbama .......................................................................................................... 8

2.2.1. Opći oblik problema linearnog programiranja .......................................... 9

2.2.2. Standardni problem linearnog programiranja ......................................... 12

2.2.3. Kanonski problem linearnog programiranja ........................................... 17

2.3. Metode linearnog programiranja ................................................................... 20

2.3.1. Grafička metoda .................................................................................... 20

2.3.2. Simpleks metoda.................................................................................... 22

2.3.3. Karmarkov algoritam ............................................................................. 26

3. LINEARNO PROGRAMIRANJE U MODELU PREHRANE ............................. 28

3.1. Problemi primjene i problemi ishrane............................................................ 28

3.2. Opći model problema prehrane ..................................................................... 29

3.3. Standardni problem minimuma i Charnesova M – procedura ........................ 31

4. PRIMJER PROBLEMA PREHRANE ................................................................. 36

4.1. Definiranje problema za ishranu purića ......................................................... 36

4.2. Formulacija modela i utvrđivanje parametara modela.................................... 38

4.3. Rješavanje modela i interpretacija problema ................................................. 45

4.3.1. Rješavanje problema za starter smjesu ................................................... 46

4.3.2. Rješenje problema za grover I smjesu .................................................... 47

4.3.3. Rješenje problema za grover II smjesu ................................................... 48

4.3.4. Rješenje problema za finišer smjesu ....................................................... 49

5. ANALIZA OSJETLJIVOSTI I PROMJENE U HRANIDBI PURANA ............... 50

5.1. Analiza osjetljivosti za starter smjesu ............................................................ 52

5.2. Analiza osjetljivosti za grover I smjesu ......................................................... 53

5.3. Analiza osjetljivosti za grover II smjesu ........................................................ 55

5.4. Analiza osjetljivosti za finišer smjesu............................................................ 57

5.5. Promjene u hranidbi i držanju purana u 21. stoljeću ...................................... 59

6. ZAKLJUČAK ...................................................................................................... 61

POPIS LITERATURE ................................................................................................ 64

POPIS TABLICA ....................................................................................................... 66

POPIS PRILOGA ....................................................................................................... 67

1

1. UVOD

1.1. Predmet istraživanja

Donošenje poslovnih odluka u uvjetima tržišne ekonomije predstavlja zahtjevan proces

i važan čimbenik poslovnog opstanka. U tu svrhu razvijene su tehnike modeliranja.

Faza modeliranja sastoji se od četiri međusobno povezane aktivnosti, a to su: odabir

tehnike modeliranja, odabir uzorka testiranja, proces konstruiranja modela te ocjena

kvalitete modela.

Matematički model određenog problema definira se pomoću funkcije cilja (za koju

treba naći ekstremnu vrijednost) i ograničenja. Matematički model koji realno odražava

sistem se istražuje, omogućuje da se pronađe veza između odgovarajućih parametara i

karakteristika sistema radi postizanja optimalnog funkcioniranja sistema.

Postoje dva postupka pronalaženja rješenja matematičkih modela. Prvi način je

pronalaženje u zatvorenom obliku (analitičko rješenje), a drugi način je pronalaženje

rješenja primjenom približnih numeričkih metoda (numeričko rješenje). Linearno

programiranje je dio matematike koja se bavi problemima kojima je cilj maksimizirati

ili minimizirati funkciju cilja uz uvjete dane linearnim jednadžbama.

Predmet istraživanja diplomskog rada je upotreba linearnog programiranja u problemu

prehrane. Polazna točka diplomskog rada je predstavljanje teorijskih odrednica

linearnog programiranja, metode rješavanja linearnog programiranja te primjena

linearnog programiranja na problemu prehrane.

Postavljena je temeljna radna hipoteza – upotrebom linearnog programiranja može se

efikasnije voditi politika troškova vezana za prehranu.

2

1.2. Svrha i cilj istraživanja

Svrha i cilj istraživanja je na pojednostavljenom primjeru pokazati kako je moguće

matematičkom formulacijom i matematičkim metodama sastaviti optimalnu krmnu

smjesu, postaviti neki zadani cilj: minimizacija troškova ishrane purana uz

odgovarajuća ograničenja (minimalne količine hranjivih sastojaka koji se trebaju naći u

dnevnoj dozi krmne smjese) i na taj način dobiti pouzdanu matematičku podlogu za

donošenje odgovarajućih odluka vezano za odabir krmne smjese neke farme purana.

1.3. Struktura rada

Diplomski rad se sastoji od šest međusobno povezanih dijelova.

U Uvodu se prikazuje problem, predmet i objekt istraživanja, radna hipoteza, svrha i

ciljevi istraživanja, znanstvene metode i struktura diplomskog rada.

Drugi dio, Osnove linearnog programiranja, sastoji se od 3 međusobno povezana

dijela koja se odnose na osnovne teorije i razvoj linearnog programiranja, matematičku

formulaciju osnovnih tipova problema linearnog programiranja i metode rješavanja

problema linearnog programiranja.

Naslov trećeg dijela je, Linearno programiranje u modelu prehrane, a sastoji se od

prikaza općeg modela problema prehrane i načina rješavanja navedenog problema

pomoću Charnesove M – procedure.

U četvrtom dijelu, Primjer problema prehrane, predstavljen je primjer za farmu

purana. Sastoji se od definiranja problema prehrane, formulacije modela i utvrđivanja

parametara, rješavanja i interpretacije navedenog problema.

3

U petom dijelu, Analiza osjetljivosti i promjene u hranidbi purana, prikazuje se

analiza osjetljivosti za svaku pojedinu vrstu krmne smjese i kratak osvrt na budućnost u

hranidbi purana.

Posljednji dio, Zaključak, predstavlja sintezu rezultata istraživanja kojima je dokazana

radna hipoteza.

1.4. Metode istraživanja

Znanstvene metode korištene u ovom diplomskom radu su: metoda analize i sinteze,

metoda klasifikacije, metoda deskripcije, komparativna metoda, metoda kompilacije,

metoda matematičke optimizacije i analize osjetljivosti.

4

2. OSNOVE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

U prvom poglavlju diplomskog rada ukratko se objašnjava povijesni razvoj teorije

linearnog programiranja, zatim se navode osnovni elementi potrebni za formuliranje i

rješavanje problema linearnog programiranja, tok rješavanja problema linearnog

programiranja, matematičke formulacije osnovnih tipova problema linearnog

programiranja te metode rješavanja navedenih tipova linearnog programiranja.

2.1. Osnovne teorije i razvoj linearnog programiranja

Prema povijesnom razvoju linearno programiranje je razmjerno mlada grana

primijenjene matematike. Počeci razvoja sežu neposredno pred početak drugog

svjetskog rata. Prve formulacije problema linearnog programiranja i prve metode

rješavanja susrećemo 1939. godine u knjizi ruskog matematičara L. V. Kantoroviča o

organizaciji i planiranju proizvodnje. Neovisno o ruskim matematičarima linearno su

programiranje razvijali na zapadu i američki naučenjaci. Kao prvi među njima je F. L.

Hitchock 1941. godine objavio studiju o transportnom problemu linearnog

programiranja. Godine 1947. je G. B. Dantzig otkrio opću algebarsku metodu za

rješavanje linearnih programa nazvanu simplex – metoda. Pomoću te metode numerički

se može riješiti svaki problem linearnog programiranja (Vadnal, 1972., p.10) . Linearno

programiranje se razvijalo usporedno i u tijesnoj povezanosti s dvije druge naučne

grane, s međusektorskom analizom i teorijom strateških igara.

Linearno programiranje u privrednu praksu uvelo se tek onda kada su se za numeričko

računanje mogla koristiti elektronska računala. Zato se u razvitku linearnog

programiranja 1952. godina smatra važnom prekretnicom jer je tada prvi put bio izrađen

program za elektronsko rješavanje problema linearnog programiranja po simpleks

metodi.

5

Matematičku osnovu linearnog programiranja tvore teorija linearnih nejednadžbi i

jednadžbi i teorija konveksnih poliedra, dakle dvije grane teoretske matematike koje su

za potrebe linearnog programiranja dovoljno razvijene (Vadnal, 1972., p.10).

Prve primjene linearnog programiranja bile su na vojnom području. Razvile su se u

drugom svjetskom ratu iz vojnih potreba. Ograničene resurse trebalo je u ratu

rasporediti na različite vojne aktivnosti i operacije. Pritom je trebalo postići što bolje

efekte, pa su pozvani znanstvenici da primjene znanstveni pristup u rješavanju takvih

problema.

Nakon toga slijedili su pokušaji primjene linearnog programiranja u problemima

industrije. Danas se mogu navesti mnogi problemi koji se rješavaju linearnim

programiranjem: proizvodni programi, izbor lokacije tvornice, optimalno planiranje

investicijskih ulaganja, sastavljanje optimalnih planova prehrane, transporta i slično

(Barković, 2001., p. 10).

Često se pri formulaciji problema (modela problema), vrše neka pojednostavljenja da bi

model bio linearan zbog toga što za rješavanje problema linearnog programiranja

postoje mnoge efikasne metode. Takva pojednostavljenja ne smiju biti prevelika jer se

time model može iskriviti i tada ne odgovara realnom problemu. Ta pojednostavljenja

se odnose na linearne veze među varijablama i sastoje se u tome da se linearna zavisnost

pretpostavi i tamo gdje u stvarnosti ne postoji funkcionalna linearna zavisnost.

Metode linearnog programiranja su trenutno najvažniji instrument operacijskih

istraživanja. Operacijska istraživanja su znanstvena disciplina kojom se matematički

modeliraju realni problemi radi donošenja optimalnih odluka.

Operacijska istraživanja su interdisciplinarna znanstvena grana koja putem modeliranja

i metoda, stoji između matematike, teorije sustava, informatike i teorije odlučivanja.

Linearno programiranje je jedna od disciplina matematičkog optimiranja u koje se

ubrajaju metode cjelobrojnog, nelinearnog i dinamičkog programiranja (Barković,

2001., p. 7-10).

Operacijska istraživanja znače takav znanstveni pristup istraživanju i projektiranju

sustava i donošenja odluka, koji se zasniva na matematičkom modeliranju procesa i

6

pojava. Pritom se radi o primjeni na probleme u kojima treba upravljati i koordinirati

operacijama ili aktivnostima u okviru neke organizacijske jedinice. Sam proces

započinje razmatranjem i formulacijom problema, na osnovi toga se izgrađuje model,

koji je najčešće matematički i predstavlja određenu aproksimaciju stvarnog problema.

Ako je model dovoljno dobra aproksimacija stvarnosti, onda se pomoću rezultata

(rješenja) dobivenih iz modela, mogu lakše donositi različite odluke, koje se odnose na

organizaciju odnosno sustav koji se promatra.

Rješenje dobiveno iz modela je najbolje, odnosno optimalno prema nekom kriteriju

(cilju) i koristi se kao pomoć u donošenju poslovnih i drugih odluka (Neralić., 2001., p.

134).

Mnogi problemi koji se javljaju u praksi, formulirani u matematičkom obliku sastoje se

u određivanju ekstrema, odnosno maksimuma ili minimuma, neke funkcije koja se

sastoji od određenog broja varijabli, koja treba zadovoljiti zadane uvjete (ograničenja)

na te varijable, a ograničenja su izražena u obliku jednadžbi odnosno nejednadžbi. Tako

formuliran problem naziva se problemom matematičkog programiranja. Specijalno ako

je funkcija cilja za koju treba odrediti minimum ili maksimum linearna, te ako su uvjeti

izraženi u obliku linearnih jednadžbi ili nejednadžbi, onda je takav problem, problem

linearnog programiranja (Neralić, 2001, p. 134).

Linearno programiranje jedna je od najvažnijih metoda optimizacije u okviru

operativnih istraživanja. Teorijski razvoj operativnih istraživanja je bio iniciran velikom

raznolikošću praktičnih aplikacija, pri čemu se obično radi o optimalnom korištenju ili

alokaciji sredstava (resursa) raspoloživih u ograničenim količinama. Od svih mogućih

varijanti korištenja sredstava potrebno je naći takvu varijantu koja neku vrijednost

(prihod, troškovi…) čini bilo maksimalnom bilo minimalnom (Car, 1976., p. 1).

Metode optimizacije omogućuju nalaženje najboljih rješenja različitih vrsta problema i

vrlo su pogodne za rješavanje problema u poslovnoj ekonomiji. Tipični poslovni

problemi vezani su za korištenje ograničenih resursa (ljudi, oprema, materijali,

financiranje i slično) kojima se nastoji postići najveća moguća dobit, osigurati najveća

moguća kvaliteta usluge s postojećim poslovnim resursima i slično.

7

Kod svih tih problema zajedničko je to da je potrebno formulirati model problema,

analizirati moguće varijante rješenja i među njima pronaći najpovoljnije rješenje po

odabranom kriteriju (Čerić, p. 87).

Svaki problem linearnog programiranja mora ispunjavati određene uvjete:

jasno definirani cilj koji se želi postići,

postojanje ograničenih resursa,

postojanje više mogućih rješenja i

mogućnost izražavanja međuovisnosti varijabli linearnom vezom (Andrijić,

2002., p. 109).

S matematičkog gledišta problem linearnog programiranja se može svrstati u probleme

vezanog ekstrema. Kako je u problemu linearnog programiranja cilj utvrđivanje

ekstremne (minimalne ili maksimalne) vrijednosti funkcije cilja u konveksnom skupu s

linearnim jednadžbama ili nejednadžbama kao ograničenjima te s uvjetom

nenegativnosti varijabli, on se može rješavati metodama linearnog programiranja.

Metode linearnog programiranja su metode pomoću kojih se od većeg broja mogućih

rješenja, definiranih konveksnim skupom, odabire ono rješenje za koje linearna funkcija

cilja postiže ekstremnu vrijednost i takvo rješenje se onda naziva optimalnim rješenjem.

Tok rješavanja problema sastoji se u sljedećem:

preciziranju odnosno opisu problema,

formuliranju modela,

utvrđivanju parametara modela,

rješavanju modela i

analizi rješenja (Andrijić, 2002., p. 110).

8

2.2. Formulacije problema linearnog programiranja s jednadžbama i

nejednadžbama

Matematičku osnovu linearnog programiranja čini teorija linearnih jednadžbi i

nejednadžbi i teorija konveksnih skupova.

Problemi modela proizvodnje, ishrane, transporta i ostali problemi linearnog

programiranja mogu se zajednički opisati kao matematički zadaci na sljedeći način:

nenegativne vrijednosti danog skupa treba odrediti na takav način da zadovoljavaju

sustav uvjeta – ograničenja (linearne jednadžbe ili nejednadžbe) s time da zadana

linearna funkcija tih varijabli poprimi ili maksimalnu ili minimalnu vrijednost odnosno

optimalnu vrijednost (Filić, 1970., p. 10).

S obzirom na to da li kao uvjet dolaze samo jednakosti, samo nejednakosti istog znaka

ili dolaze nejednakosti različitih znakova i jednakosti, razlikuju se tri tipa problema

(Filić, 1970., p. 10):

standardni problem, u kojem dolaze samo nejednakosti istog znaka,

kanonski problem, u kojem dolaze samo jednakosti i

opći problem, u kojem dolaze uvjeti različitih znakova.

Svaki problem linearnog programiranja se može prikazati u tri navedene forme.

Isticanje raznih formi ima opravdanje u tome što se za neke analize jedna forma može

djelotvornije koristiti od druge.

Ako se u zadatku traži da zadana linearna funkcija cilja primi maksimalnu vrijednost, to

je problem maksimuma, a ako se zahtijeva minimalna vrijednost funkcije, to je problem

minimuma (Filić, 1970., p. 11).

9

2.2.1. Opći oblik problema linearnog programiranja

Glavni zadatak linearnog programiranja sastoji se u optimiranju (maksimiziranju ili

minimiziranju) jednog linearnog izraza (funkcija cilja) uz izvjesna ograničenja u vidu

niza uvjeta koji se javljaju u obliku jednadžbi i nejednadžbi. Tako se s matematičkog

stajališta pod linearnim programiranjem podrazumijeva optimiranje jedne funkcije cilja

uz izvjesna ograničenja koja limitiraju veličine varijabli.

Opći oblik problema linearnog programiranja može se formulirati na sljedeći način:

zadan je sistem od m jednadžbi i nejednadžbi, sa n varijabli koji se može prikazati na

sljedeći način (Car, 1976., p. 13):

Gdje je m zapravo broj ograničenja koja se postavljaju na varijable i može biti veće,

manje ili jednako n i gdje u svakom ograničenju vrijedi samo znak ( .

Potrebno je naći vrijednost varijabli xj koje zadovoljavaju prethodno navedene uvjete iz

relacije (1) tako da je xj ≥ 0, j = 1, 2,…, n ( uvjet nenegativnosti) i da te vrijednosti

maksimiziraju ili minimiziraju funkciju cilja iz relacije (2):

Pretpostavlja se da su aij, bi i cj poznate konstante i da je bi ≥ 0 ( i = 1,2,…,m). Kako je

lakše raditi s jednadžbama nego s nejednadžbama, uvode se dodatne varijable. Ako je

primjer:

pribrajanjem veličine x n+1 lijevoj strani jednadžbe dobivamo:

10

U teoriji linearnog programiranja takvu varijablu koja je dodana u relaciji (4) zovemo

neiskorištena ili oslabljena varijabla za razliku od varijabli viška koje uvodimo kad u

nekom ograničenju vrijedi znak ≥.

Pretpostavimo da smo ograničenja poredali tako da u (Car, 1976., p. 14):

1. grupu ( i = 1,2,…,u) dolaze ona sa znakom ≤,

2. grupu ( i = u + 1,…,v) dolaze ona sa znakom ≥,

3. grupu ( i = v + 1,…,m) dolaze ona sa znakom =.

Uvođenjem dodatnih varijabli problem linearnog programiranja se može prikazati na

sljedeći način:

1. grupa ograničenja:

2. grupa ograničenja:

3. grupu ograničenja:

U kojem su xn+h (h = 1,2,…,u) iz relacije (5) neiskorištene varijable, a xn+k (k = u +

1,…,v) iz relacije (6) su varijable viška. Ako pretpostavimo da u navedenom problemu

ima ukupno g varijabli od čega n strukturnih varijabli i g – n dodatnih varijabli sistem

se može formulirati na sljedeći način:

11

uz ograničenja:

ili kraće:

Možemo uočiti da su svi koeficijenti koji su u funkciji cilja, iz relacije (8), pridruženi

dodatnim varijablama (bilo da su te dodatne varijable, varijable viška ili neiskorištene

varijable), jednako 0.

12

Definicije rješenja (Car, 1976., p. 13):

vektor X je rješenje navedenog problema ako zadovoljava ograničenja iz relacije

(9) odnosno relacije (12).

Vektor X je moguće rješenje problema ako zadovoljava ograničenja iz relacije

(9) odnosno relacije (12) i relacije (10) odnosno relacije (13) odnosno ako

zadovoljava uvjet nenegativnosti.

Vektor X je optimalno rješenje ako je moguće i ako optimizira (maksimizira ili

minimizira) relaciju (8) odnosno relaciju (11).

Dakle, vektor X = [x1, x2,…,xg] je moguće rješenje linearnog programa ako zadovoljava

uvjet nenegativnosti (x ≥ 0) iz relacije (10) odnosno (13) i ograničenja iz relacije (9)

odnosno (12) bez obzira koju vrijednost daje funkciji cilja iz relacije (8) odnosno

relacije (11).

Svako moguće rješenje ima g komponenti. Ono je nebazično ako ima više od m

pozitivnih komponenti, odnosno bazično ako ima m ili manje m komponenti.

Bazično rješenje je nedegenerirano ako ima točno m komponenti, odnosno degenerirano

ako ima manje od m pozitivnih komponenti.

2.2.2. Standardni problem linearnog programiranja

Standardni problem linearnog programiranja može biti problem maksimuma i problem

minimuma.

Standardni problem maksimuma, je problem u kojem su sva ograničenja (osim uvjeta

nenegativnosti) tipa „≤“ odnosno u općenitom slučaju sa n varijabli može se prikazati

na sljedeći način (Babić, 2005., p. 71):

Treba maksimizirati funkciju cilja (naziva se i funkcija kriterija):

13

uz uvjete (ograničenja, restrikcije):

i uvjet nenegativnosti:

Dakle, standardni problem maksimuma linearnog programiranja, ima n varijabli i m

ograničenja, pri čemu su sva ograničenja tipa „≤“.

Uz navedene formulacije potrebno je točno definirati pojam „rješenje problema

linearnog programiranja“. Rješenje problema je svaki skup vrijednosti varijabli koje

zadovoljavaju uvjete problema iz relacije (15). Moguće rješenje problema je ono

rješenje koje zadovoljava i funkciju cilja iz relacije (14), dok je optimalno rješenje

problema ono moguće rješenje, koje funkciji cilja iz relacije (14) daje optimalnu

vrijednost.

Pod optimalnom vrijednošću smatra se samo konačna vrijednost funkcije cilja. Ako

postoji takvo rješenje, koje funkciji cilja daje veliku vrijednost (infinitivno ili

neomeđeno rješenje) smatra se da optimalno rješenje ne postoji.

Standardni problem može se napisati i u vektorskom obliku.

Treba maksimizirati funkciju cilja (Brajdić, 1998., p. 119):

uz uvjete:

14

pri čemu pojedini vektori imaju sljedeće komponente:

,

[ ]

Navedeni standardni problem maksimuma može se prikazati i na sljedeći način (Brajdić,

1998., p. 121):

Treba maksimizirati funkciju cilja:

uz uvjete (ograničenja):

…………………………………… (21)


za linearni program kažemo da je moguć ako postoji barem jedan X (X = [x1, x2,…,xg])

koji zadovoljava uvjete iz relacije (21) i relacije (22). Takav vektor se zove mogući

vektor ili moguće rješenje. Neki mogući vektor je optimalan ako maksimizira funkciju

cilja iz relacije (20). Skup svih takvih vektora naziva se skup mogućih rješenja.

15

Osim standardnog problema maksimuma, postoji i standardni problem minimuma.

Standardni problem minimuma se može izraziti kao originalni problem, ali i kao dualni

problem originalnom problemu maksimuma i može se prikazati na sljedeći način:

U sažetom obliku standardni problem minimuma možemo prikazati (Babić, 2005., p.

73):

Treba minimizirati funkciju cilja:

uz uvjete:


Navedeni problem minimuma može se prikazati u vektorskom obliku na sljedeći način

(Brajdić, 1998., p. 121):


uz uvjete:


16

pri čemu matrice i vektori imaju sljedeće komponente:

Standardni problem minimuma može se prikazati i na sljedeći način (Brajdić, 1998., p.

122):


uz uvjete:

…………………………………… (30)


17

Između originalnog problema – standardnog problema maksimuma i njegovog duala –

standardnog problema minimuma postoji jednostavna simetrija.

Vektor X u problemu maksimuma zamjenjuje se vektorom Y u problemu minimuma.

Vektor B koji je u problemu maksimuma s desne strane ograničenja, prelazi u problemu

minimuma u funkciji cilja, umjesto vektora C, koji dolazi na njegovo mjesto u

ograničenjima.

Također se relacije tipa „ ≤ “ u ograničenjima standardnog problema maksimuma u

problemu minimuma mijenjaju sa relacijama tipa „ ≥ “ u problemu minimuma.

2.2.3. Kanonski problem linearnog programiranja

Kanonski problem linearnog programiranja razlikuje se od standardnog problema u

tome da su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jednadžbi. Ovakav

problem naročito je pogodan za primjenu različitih metoda rješavanja problema

linearnog programiranja.

Isto kao i u standardnom problemu linearnog programiranja, originalni kanonski

problem može biti problem maksimuma ili problem minimuma. Zatim se postavlja

pitanje ima li kanonski model dual i ako ima koja mu je struktura.

Kanonski problem maksimuma može se izraziti na sljedeći način (Brajdić, 1998., p.

124):


uz uvjete:

18

Iz navedenog se vidi da su nejednakosti u uvjetima standardnog problema maksimuma

postale jednakosti što se prikazuje u relaciji (33), odnosno u kanonskom problemu

maksimuma imamo sva ograničenja samo jednadžbe. Uvjet nenegativnosti prikazan u

relaciji (34) i izraz za funkciju cilja iz relacije (32) su isti kao i kod standardnog

problema maksimuma.

Kanonski problem minimuma, kao originalni problem, definira se na isti način, osim što

umjesto maksimizirati stoji minimizirati.


uz uvjete:

Kanonski problem je od izuzetne važnosti za rješavanje problema linearnog

programiranja, posebno ako je problem zadan u standardnoj ili općoj formi. Za

primjenu najvažnijih metoda za rješavanje problema linearnog programiranja, potrebno

je prethodno originalne standardne i opće probleme transformirati u kanonski problem.

Da bi se standardni problem maksimuma promijenio u kanonski problem, u

ograničenjima standardnog problema treba dodati dodatne varijable koje imaju ulogu da

nejednakosti pretvore u jednakosti.

Ako su vrijednosti na lijevoj strani nejednadžbe manje ili jednake desnoj strani (kao kod

standardnog problema maksimuma) potrebno je vrijednostima na lijevoj strani dodati

neku veličinu. Ta se veličina zove dodatna varijabla.

Te dodatne varijable su komponente novog vektora U, a zovu se i neiskorištene ili

oslabljene varijable (ako u optimalnom rješenju imamo jednu ili više dodatnih varijabli

koje su veće od nule, te varijable u interpretaciji, označavaju neiskorištene kapacitete,

neki višak u strukturi problema) za razliku od komponenta vektora X koje zovemo

19

strukturnim varijablama. Imat ćemo onoliko dodatnih varijabli koliko imamo

ograničenja odnosno relacija nejednakosti (Brajdić, 1998., p. 126).

Vektor U ima sljedeće komponente:

Uvođenjem tog vektora dolazi do promjene funkcije cilja i uvjeta:


uz uvjete:

Da bi se ublažio utjecaj dodatnih varijabli na konačno optimalno rješenje, u funkciji

cilja je vrijednost svih koeficijenata uz dodane vrijednosti jednaka nuli (38).

Na isti se način, standardni problem minimuma transformira u kanonski problem. U

ovoj transformaciji se uvodi novi vektor V, koji kao komponente također ima neke nove

dodatne varijable.

Komponente vektora V su (Brajdić, 1998., p. 127):


20

uz uvjete:

2.3. Metode linearnog programiranja

Riješiti model linearnog programiranja znači iz skupa mogućih rješenja, odnosno iz svih

bazičnih mogućih rješenja pronaći optimalno rješenje.

Postoje dvije osnovne metode linearnog programiranja, a to su (Brajdić, 1998., p. 127):

grafička metoda i

simpleks metoda.

2.3.1. Grafička metoda

Model linearnog programiranja koji ima najviše dvije varijable može se rješavati

grafičkim putem. Ova metoda se sastoji od grafičkog prikaza cijelog modela, odnosno

uvjeta i funkcije cilja u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Uvjetne jednadžbe

su predstavljene pravcima, a uvjetne nejednadžbe poluravninama (Andrijić, 2002., p.

114).

Skup točaka koje zadovoljavaju dana ograničenja odnosno nejednadžbe je neki podskup

skupa R2 (ravnine). Takav skup točaka nazivamo skupom mogućih rješenja. Očito je taj

skup (S) neki konveksni skup u R2.

21

Uvjeti nenegativnosti definiraju dvije poluravnine (x1 ≥ 0 i x2 ≥ 0 – broj tih poluravnina

ovisi o broju strukturnih varijabli), a njihov presjek je prvi kvadrant koordinatnog

sustava (uključujući koordinatne osi i ishodište) (Babić, 2005., p. 79).

Kako je slika uvjeta mnogokutnik i neograničena poluravnina, optimalno rješenje se

nalazi u jednom kutu mnogokuta. To su koordinate onog mnogokutnika za koje funkcija

cilja uzima ekstremnu vrijednost (Babić, 2005., p. 114):

Ako je cilj maksimalna vrijednost, to je kut u kojem je pravac funkcije cilja

najudaljeniji od ishodišta koordinatnog sustava – ekstremna točka koja daje

najveću vrijednost funkcije cilja.

Ako je cilj minimalna vrijednost riječ je o kutu u kojem je pravac funkcije cilja

najbliže ishodištu koordinatnog sustava – ekstremna točka koja rezultira

najmanjom vrijednošću funkcije cilja.

Sva moguća rješenja problema linearnog programiranja čine jedan konveksni skup.

Konveksni skup rješenja je zatvoren (u smislu da sadrži sve svoje ograde) i ograničen je

odozdo jer je x ≥ 0. Rješenja svakog problema linearnog programiranja nalaze se unutar

ili na granici konveksnog skupa definiranog uvjetima tog problema.

Kada postoje granice u svakom smjeru, tada je skup rješenja konveksni poliedar koji

ima konačan broj ekstremnih točaka. Skup rješenja može se neograničeno pružati u

nekom smjeru. U ovom slučaju neomeđeni skup rješenja ima također konačan broj

ekstremnih točaka, ali svaka njegova točka ne može se izraziti kao konveksna

kombinacija ekstremnih točaka.

Funkcija cilja ima ekstrem u nekoj od ekstremnih točaka konveksnog poliedera. Ako

funkcija cilja ima ekstremnu vrijednost u dvije ekstremne točke, tada ima istu vrijednost

u svakoj njihovoj međutočci, tj. za svaku konveksnu kombinaciju tih točaka.

U tom slučaju postoji beskonačno mnogo alternativnih optimalnih rješenja. U ovom

slučaju govori se o slučaju „multipliciteta optimalnih rješenja“. To znači da je svaka

točka s granice konveksnog skupa rješenja, a koja leži između ekstremnih točaka, točka

optimalnog rješenja.

22

Ako funkcija cilja ima samo jednu ekstremnu točku tada govorimo o jednom

optimalnom rješenju zadanog problema linearnog programiranja. Takva optimalna

točka (bilo minimum ili maksimum) zadovoljava sva postavljena ograničenja, a svojom

vrijednošću zadovoljava postavljenu funkciju cilja.

Ako poliedar nema ekstrema prema zadanim uvjetima i funkciji cilja (otvoren je odozdo

kod minimuma ili je otvoren odozgo kod maksimuma), tada ne postoji optimalno

rješenje zadanog problema, ali postoji beskonačno mnogo rješenja koja se nalaze unutar

granica otvorenog poliedra (ili na njegovim rubovima), a odabir pojedinog rješenja

(koje nije optimalno) ovisi o nekim drugim uvjetima koji nisu bili početno postavljeni

pri rješavanju problema linearnog programiranja.

Ako se prema zadanim ograničenjima iz problema linearnog programiranja ne može

odrediti zajednički poliedar rješenja za sva ograničenja, tada rješenje postavljenog

problema linearnog programiranja ne postoji, tj. nema zajedničke točke (ili točaka) koja

zadovoljava sve problemom postavljene uvjete. Tada govorimo o nemogućnosti

rješavanja problema linearnog programiranja pod zadanim uvjetima.

Promjenom uvjeta (ako je to moguće s obzirom na prirodu problema) u originalnom

problemu, moguće je postići rješivost, odnosno moguće je pronaći optimalno ili neko

drugo rješenje.

2.3.2. Simpleks metoda

Opća, iterativna, konačna numerička metoda za rješavanje problema linearnog

programiranja, kojom se može riješiti svaki problem je simpleks metoda. Simpleks

metoda je opća metoda zato jer rješava bilo koji problem linearnog programiranja (tj.

nalazi optimalno rješenje, ako ono postoji, ili ustanovi da problem nema rješenje ili

nema optimalno rješenje).

23

Kao iterativna metoda, ona dolazi do rješenja u određenom broju koraka. Pri tome se

polazi od početnog mogućeg rješenja i za njega provjeri da li je to rješenje ujedno i

optimalno.

U slučaju da je to rješenje optimalno, postupak se završava. U suprotnom slučaju,

određuje se bolje moguće rješenje, što znači rješenje s većom vjerojatnošću funkcije

cilja u problemu maksimizacije (ili rješenje s nižom vjerojatnošću funkcije cilja u

problemu minimizacije), za koje se opet provjerava njegova optimalnost (Neralić.,

2001., p. 202).

Autor simpleks metode je D. Dantzig, koji veliki dio zasluga za temeljne ideje te

metode pripisuje J. Von Neumanu. Iako je prve ideje razvio već 1947. godine, osnovni

rad o toj metodi objavljen je 1951. godine u knjizi T. C. Koopmansa „Activity analysis

of production and allocation“ (Neralić., 2001., p. 201).

Naziv simpleks potječe od toga što je jedan od prvih primjera riješen na jediničnom

trokutu, koji je konveksna ljuska skupa od tri točke iz prostora R2.

Do sada se nije našlo analitičko rješenje općeg problema linearnog programiranja. To je

dovelo do usavršavanja velikog broja numeričkih metoda, od kojih niti jedna ne rješava

problem u prvom koraku.

Sve te metode su iterativne odnosno polaze od nekog mogućeg rješenja da bi ga u nizu

koraka poboljšavale dok se ne dođe do optimalnog rješenja ili se utvrdi da tako rješenje

ne postoji. Utvrđeno je da je za početno rješenje najbolje uzeti ono u kojem su bazični

jedinični vektori odnosno da je baza ortonormalna baza (Brajdić, 1998., p. 139).

Simpleks metoda je iterativna metoda tj. metoda kojom se iz koraka u korak poboljšava

rješenje. Može se reći da se algoritam simpleks metode sastoji od četiri koraka (Babić,

2005., p. 121):

Konstruira se neko inicijalno (početno) moguće rješenje.

Primjenjuje se test da se odredi da li je optimalno rješenje.

Ako rješenje nije optimalno, daje uputu kako ići boljem rješenju.

Nakon konačno mnogo koraka dolazi se do optimalnog rješenja ili se utvrđuje

da ono ne postoji.

24

Simpleks metoda radi samo s kanonskim problemom. Već ranije navedeno da se svaki

standardni problem može prevesti u njemu ekvivalentan kanonski problem, odnosno

rješavanjem kanonskog problema dobivamo i rješenje standardnog problema.

Simpleks metoda predstavlja neku vrstu kompromisa između dvije krajnosti (Babić,

2005., p. 139):

potrebe da se optimalno rješenje nađe u jednom koraku i

potrebe da se ispitaju sva bazična rješenja (da bi bili sigurni da je optimalno

rješenje stvarno optimalno).

Ideja simpleks metode sadrži tri bitna elementa (Babić, 2005., p. 140):

alternativa određivanja barem jednog mogućeg rješenja,

alternativa provjere je li određeno moguće rješenje optimalno ili nije i

alternativa da se u svakom slučaju izbora mogućeg rješenja koje nije optimalno

odredi novi plan koji je najbliži optimalnom.

U slučaju da postoje sve tri mogućnosti, može se u okviru konačnog broja koraka dobiti

optimalno rješenje koje predstavlja rješenje formuliranog zadatka. Prema tome,

simpleks metoda se zasniva na sukcesivnom poboljšanju mogućeg plana, sve dok se ne

dobije optimalno rješenje.

Ovakav prilaz u formuliranju algoritma simpleks metode također omogućava da se u

procesu rješavanja bilo kojeg zadatka ustanovi da li je on rješiv ili nije.

Simpleks metoda predviđa čitav niz kontrola kojima se utvrđuje odgovara li posljednje

bazično rješenje optimalnom ili optimalna vrijednost ne postoji. Ta metoda omogućava

da se najkraćim putem dođe do ekstremne vrijednosti funkcije cilja prelaskom iz jednog

vrha poliedra na drugi.

U tom smislu simpleks metoda omogućava (Babić, 2005., p. 140):

postupak nalaženja vrhova poliedra, određivanje komponenti vektora koji

odgovara vrhu poliedra,

formiranje kriterija za brzu ocjenu je li odgovarajuća vrijednost funkcije cilja

minimalna (maksimalna) ili nije i

25

ako nije, simpleks metoda omogućava nalaženje drugog vrha u kojem funkcija

cilja ima veću vrijednost.

Prilikom korištenja te metode važno je analizirati pitanje rješivosti sustava nejednadžbi

ograničenja. Kod primjene simpleks metode polazimo od pretpostavke da je problem

linearnog programiranja konzistentan (moguć) i da niti jedna (ne)jednadžba sustava nije

suvišna.

Isto tako se pretpostavlja da su sva moguća bazična rješenja matematičkog problema

nedegenerirana. Uvođenjem dodatnih i umjetnih varijabli omogućava rješavanje pitanja

konzistentnosti, suvišnosti i dengeneriranosti u originalnom problemu.

Prvi korak simpleks metode je utvrđivanje polaznog (početnog, ishodišnog) rješenja.

Način formiranja početnog rješenja ovisi o tome da li je zadani problem maksimum ili

minimum kao i da li je zadan u kanonskoj ili nekoj drugoj formi. Ako problem nije

zadan u kanonskoj, tada ga prvo treba svesti na taj oblik.

Nakon toga, u slučaju da je zadan problem maksimuma, polazi se od rješenja u kojem je

najmanja dopustiva vrijednost strukturnih varijabli, a time i najmanja vrijednost

funkcije cilja jednaka 0. Ta se vrijednost u svakom sljedećem koraku povećava. Ako je

pak zadani problem minimuma, tada se polazi od najvećeg mogućeg rješenja i ono se

postepeno smanjuje (Brajdić, 1998., p. 143).

Nakon formiranja početnog rješenja pristupa se njegovom poboljšanju. Poboljšano

početno rješenje se podvrgava ispitivanju da li je ono optimalno. Ako nije tada se i to

rješenje poboljšava. Svaki takav korak naziva se interakcija. Kada se utvrdi da je

dobiveno rješenje optimalno ili da optimalno rješenje ne postoji, primjena metode je

završena.

Ukoliko je dobiveno rješenje optimalno, tada slijedi očitavanje optimalnih vrijednosti

varijabli funkcije cilja, a originalnog problema i njegovog duala. Takvo rješenje je

potrebno i adekvatno protumačiti. S interpretacijom cijeli postupak ne treba biti gotov,

jer se nakon toga može izvesti čitav niz daljnjih analiza, od traženja cjelobrojnog

rješenja, traženje vrijednosti duala ili analiza osjetljivosti.

26

Postupak kojim se dobiva novo moguće rješenje, uz testiranje da li je ono optimalno ili

nije naziva se simpleks algoritam. Taj algoritam treba omogućiti sljedeće (Brajdić,

1998., p. 143):

odabrati varijablu koja će zamijeniti neku od varijabli iz baze, odnosno iz skupa

bazičnih rješenja,

odabrati varijablu koja će izaći iz baze,

transformirati sustav ograničenja na način da nova varijabla stvarno zamijeni

staru, uključujući i promjene u funkciji cilja i

utvrditi da li je novo rješenje optimalno ili nije tj. da li je dobivena optimalna

vrijednost funkcije cilja.

U problemu maksimuma da bi se simpleks metoda mogla primijeniti potrebno je

problem svesti na kanonsku formu. To se radi na način koji proizlazi iz teorije linearnog

programiranja.

Ako je originalni problem standardni problem maksimuma, tada se on mora

transformirati u kanonski problem dodavanjem varijabli u ograničenjima i funkciji cilja,

s time da su svi koeficijenti uz dodane varijable u funkciji cilja jednaki 0 (Brajdić,

1998., p. 144).

Problem minimuma i simpleks metoda objasnit će se detaljnije u poglavlju 3.

2.3.3. Karmarkov algoritam

Premda je simpleks metoda algoritam koji se najčešće koristio i koristi za rješavanje

linearnih programa, krajem 1980 – tih godina pojavljuju se u krilu operacijskih

istraživanja vrlo različite nove strategije. Nova interior point metoda slijedi poboljšanu

paradigmu za rješavanje linearnog programa, ali ona primjenjuje kretanje posve

drugačije od onog u simpleks metodi. Umjesto da se ostane na granicama dopuštenog

područja i da se kreće od jedne ekstremne točke do druge, interior poin metoda

napreduje izravno kroz unutrašnjost dopuštenog područja (Barković, 2001., p.93).

27

Potrebno je uložiti mnogo računskog napora u tom kretanju ali njegov broj se

dramatično smanjuje. U mnogim velikim linearnim programima postiže se bitno kraće

vrijeme u pronalaženju rješenja od onog kod simpleksa.

Prvu komercijalnu interior point metodu za linearno programiranje razvio je Narendra

Karmarkar na temelju procedure projektivne transformacije, a razvoj se nastavlja do

današnjih dana.

Iako će se simpleks metoda koristiti i dalje u mnogim linearnim programima, nova

generacija software – e razvijena na temelju Karmarkova algoritma postaje popularna.

Američka zrakoplovna kompanija Delta je prva komercijalna zrakoplovna kompanija

koja koristi Karmarkov program, zvan KORBX, kojega je razvio i prodao AT & T.

Delta vjeruje da je taj program pospješio mjesečni raspored 7 000 pilota koji lete na više

od 400 zrakoplova u 166 gradova svijeta. Radi povećane efikasnosti računa se na uštedu

od više milijuna dolara na vremenu posade i odgovarajućim troškovima.

28

3. LINEARNO PROGRAMIRANJE U MODELU PREHRANE

U drugom poglavlju diplomskog rada prikazani su problemi primjene i problemi ishrane

purića, objašnjen je opći model prehrane purića i prikazana nutricijska matrica zatim

načini rješavanja navedenog problema te simpleks metoda za rješavanje standardnog

problema minimuma (Charnesova M – procedura).

3.1. Problemi primjene i problemi ishrane

Problemi na koje se linearno programiranje primjenjuje su mnogobrojni i u području

čiste i u području primijenjene matematike. Primjenu linearnog programiranja

omogućava i naročito ubrzava elektronska računska tehnika, koja sama nevjerojatno

brzo razvija te sve šire područje automatizacije u industriji kao proizvodnom i

profitnom jedinicom i drugdje.

Problem prehrane je prvi puta postavio Stigler, 1945. godine, a riješen je primjenom

simpleks metode 1947. godine. Problem je obuhvaćao 77 namirnica i 9 hranjivih

sastojaka. Povijesno gledano, problem ishrane je jedan od prvih problema linearnog

programiranja.

Ljudima i životinjama potrebne su za prehranu određene količine biokemijskih

sastojaka: bjelančevina, masnoća, ugljikohidrata, vitamina itd. Te sastojke dobivaju u

različitim živežnim namirnicama ili u krmi. Svaka živežna namirnica i svaka vrsta

krmiva imaju određenu cijenu. Problem što nastaje pri prehrani je u tome kako da

izaberemo ili miješamo živežne namirnice ili krmiva da bismo na najracionalniji način

zadovoljili potrebe za biokemijskim svojstvima (Vadnal, 1972., p.34).

Problemi te vrste dovode nas pri matematičkoj obradi na rješavanje linearnog programa.

Kao u svakom problemu linearnog programiranja možemo i problemima smjese

pristupiti na dva načina. Ili kao primarnom ili kao njima odgovarajućim dualnim

linearnim programima. To ovisi o izboru funkcije cilja. Kod primarnog linearnog

29

programiranja smjese postavimo zahtjev da ukupni troškovi za nabavu živežnih

namirnica ili krmiva trebaju biti najmanji. Kod njemu odgovarajućeg dualnog linearnog

programa, međutim tražimo da vrijednost nabavljenih biokemijskih sastojaka bude što

veća. Kod oba načina rješavanja dobivamo iste rezultate.

3.2. Opći model problema prehrane

Budući da je jedna od prvih ekonomskih primjena problema linearnog programiranja

bio tzv. problem ishrane prvo će se razmotriti ekonomska interpretacija tog problema.

Problem ishrane sastoji se u sljedećem (Babić, 2005., p. 142):

Potrebno je sastaviti program ishrane neke grupe ljudi (studentska menza, vojne

postrojbe) ili neke farme pilića ili krava s namjerom da izabrana hrana sadrži u

dovoljnoj količini sve potrebne hranjive elemente, ako što su kalorije,

bjelančevine, masti, a da troškovi za primjenu tog obroka budu minimalni.

Neka se izbor hrane provodi između n artikala prehrane H1, H2, … Hn, koji su

raspoloživi na danom tržištu. Tržišne cijene po jedinici j-tog artikla prehrane su

bj. Hranjive elemente koji se nalaze u tim artiklima prehrane označimo s E1,

E2,…, Em, a neka je aij iznos i – tog hranjivog elementa sadržanog u jedinici

j – tog artikla prehrane. Pored toga, neka je ci minimalni zahtjev za i – tim

hranjivim elementom, tj. količina i – tog hranjivog elementa koja mora biti

sadržana u optimalnom obroku. Označimo sa yj broj jedinica j – te vrste hrane.

Sve te elemente možemo prikazati tablici, pri čemu se matrica A, u kojoj se

nalaze elementi aij naziva nutriciona matrica.

Problem ishrane može se formulirati na sljedeći način (Babić, 2005., p. 143):

Funkciju cilja predstavljaju ukupni troškovi ishrane koje treba minimizirati, tj.

30

Tablica 1: Nutriciona matrica

Hranjivi elementi Vrste hrane (artikli prehrane) Minimalni zahtjevi za

hranjivim elementima H1 H2 …… Hn

E1 a11 a12 …… a1n c1

E2 a21 a22 …… a2n c2

Em am1 am1 …… amn cm

Cijene artikala

prehrane b1 b2 …… bn

Izvor: Babić, Z.: Linearno programiranje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split,

2005., p.143.

Budući da je u jednoj jedinici j – te vrste hrane ima aij jedinica i – tog hranjivog sastojka

umnožak yj * aij predstavlja količinu tog hranjivog sastojka u yj jedinica hrane Hj, pa se

zahtjev da u obroku, koji se sastoji od svih vrsta hrane, bude barem ci jedinica hranjivog

sastojka Ei, može prikazati sljedećim skupom ograničenja:

Uvjeti nenegativnosti također postoje budući da u optimalnom obroku neke vrste hrane

ima ( yj ˃ 0) ili nema (yj = 0).

Takav problem je tipičan problem minimuma linearnog programiranja. Funkcija

troškova se zove funkcija cilja. Zapravo, cilj se sastoji u izboru takvog programa koji tu

funkciju minimizira, pri čemu ipak moraju biti zadovoljene neke pretpostavke. To su

(Babić, 2005., p. 144):

1. Funkcija troškova je linearna, tj. troškovi zavise samo o količini kupljenih

namirnica, odnosno po istoj cijeni se kupuje i velika i mala količina hrane.

2. Elementi nutricione matrice A ( aij ) su konstantni.

31

Budući da simpleks metoda daje samo bazična rješenja, a ona imaju najviše m

komponenti koje su različite od nule, problem ishrane će biti realniji što je broj

ograničenja (m) veći. Naravno da će optimalni obrok biti i raznovrsniji ako je broj

varijabli (vrsta hrane) veći.

Model ishrane u ovom obliku može izgledati nedovoljno primjenjiv u stvarnim

situacijama. No, u nekim specifičnim situacijama može biti primjenjiv, kao što je

ishrana s najmanje troškova za potrebe vojske ili za potrebe neke dovoljno velike

zajednice, u slučajevima kao što su prirodne katastrofe, rat, bolesti, siromaštvo itd.

Može se koristiti i kod ishrane stoke, u poljoprivredi – za optimalnu kombinaciju

gnojiva, u rafinerijama nafte za razne potrebe smjese i slično.

Ograničenja modela (Brajdić, 1998., p. 109):

radi se o statičkom modelu koji zanemaruje varijabilnost okusa,

pretpostavlja kruto zbrajanje komponenata koje su sadržane u raznim

namirnicama (međusobni odnos hranjivih elemenata nije sumirajući, neki

hranjivi elementi mogu biti suprotstavljeni, a u smislu da njihova istovremena

nazočnost u obroku anulira određene pozitivne elemente),

po istoj cijeni se nabavlja mala i velika količina namirnica i

u realnoj hranjivoj matrici nema konstantnih elemenata, već su oni stohastički.

3.3. Standardni problem minimuma i Charnesova M – procedura

Rješavanje problema minimuma linearnog programiranja simpleks metodom donekle se

razlikuje od rješavanja problema maksimuma i to uglavnom u fazi postavljanja

početnog bazičnog problema. Kao i kod standardnog problema maksimuma, da bi se

simpleks metoda mogla primijeniti na standardni problem minimuma prethodno

problem treba svesti na kanonsku formu.

Znači, ukoliko je originalni problem standardni problem minimuma, tada se on mora

transformirati u kanonski problem oduzimanjem dodatnih varijabli u ograničenjima i

32

funkciji cilja. Vektori koeficijenata dopunskih varijabli w1, w2, …, wm nisu pozitivni

jedinični vektori i ne mogu nam dati nenegativno početno bazično rješenje. Iz tog

razloga uvode se nove umjetne (artificijelne varijable), W1, W2, …, Wm i one će tvoriti

početnu bazu (Babić, 2005., p. 145).

Budući da se originalni problem linearnog programiranja uvođenjem tih novih varijabli

mijenja, potrebno je osigurati da se u optimalnom rješenju varijable w1, w2, …, wm ne

pojave. Drugim riječima, simpleks procedurom treba izbaciti vektore W1, W2, …, Wm

jer je tada w1, w2, …, wm = 0.

Artificijelnim varijablama se pridružuje jedan veliki pozitivni broj M (M = + ∞) kao

njihov koeficijent u funkciji cilja. Na taj način vrijednost funkcije cilja postaje veoma

velika i simpleks procedura teži tome da varijable w1, w2, …, wm što prije postanu 0

odnosno slobodni vektori W1, W2, …, Wm što prije izađu iz baze, da bi funkcija postala

što manja (Babić, 2005., p. 146).

Ovaj pristup naziva se Charnesova dvofazna M – procedura. U prvoj fazi oslobađamo se

artificijelnih varijabli. Tek kada artificijelne vektore izbacimo iz baze dobivamo

početno bazično rješenje originalnog problema i nastavljamo simpleks proceduru. Kada

je vektor Wi jednom izašao iz baze on se u bazu više i ne vraća, pa u sljedećim koracima

ne trebamo računati njegove komponente.

Vektor koji ulazi u novu bazu biramo po kriteriju za problem minimuma odnosno

tražimo . Vrijednost funkcije cilja može se smanjivati sve dok postoji

diferencija

33

Početno rješenje simpleks metode za problem minimuma u standardnom obliku

Tablica 2: Početna simpleks tablica za standardni problem minimuma u sažetoj formi

± M

Baza

0 0 0

0 0 0

0 1 -1

0 0 0

Izvor: Brajdić, I.: Modeli odlučivanja, Hotelijerski fakultet Opatija, Opatija, 1998.,

p.158

U tabeli imamo vektora stupaca, i to uz vektore Aj i B još i vektore

(vektori sa m komponenata).

Navedeni vektori stupci su elemenata vektora tj. matrica i

iz kanonskog modela koji se dobiva transformacijom

standardnog modela.

Transformirani standardni model u kanonsko – simpleks problem može se prikazati na

sljedeći način:

34

gdje je:

Pretpostavka ovog modela prikazanog u tabeli je da u matrici A nema niti jednog

vektora – stupca Aj koji je jedinična matrica. Ako taj uvjet nije ispunjen tada se u bazu

početnog rješenja uz ostale vektore mogu odmah uvesti svi jedinični vektori – stupci Aj,

s time da se za toliko koliko ima jediničnih vektora – stupaca Aj u matrici A, smanjuje

broj umjetnih vektora Wi u kanonsko – simpleks formi i bazi početnog rješenja.

Prethodno prikazana tabela predstavlja početno rješenje za standardni problem

minimuma, a iz nje proizlazi (Brajdić, 1998., p. 157):

U bazi se nalazi m vektora stupaca Wi, čija je uloga da zbog tvorbe početnog

rješenja u simpleks tabeli, u bazi budu jedinični vektori.

Mogu se očitati moguća rješenja standardnog problema minimuma, polazeći od

toga da pojedinim vektorima odgovaraju istovrsne varijable i to:

a) Vektorima iz baze odgovaraju

b) Vektorima koji nisu u bazi i

Tada se vrijednost vektora koji se u bazi (bazičnih vektora), odnosno odgovarajućih

varijabli, očitavaju na stupcu – vektora B. u početnom rješenju imamo da su samo

umjetne varijable u bazi pa je

Za nebazične vektore odnosno za odgovarajuće nebazične varijable, imamo da su

njihove vrijednosti nula. U početnom rješenju u bazi nema niti jedne strukturne

35

varijable pa je za strukturne varijable , dok je za dodatne

varijable .

Ukoliko očitane vrijednosti za strukturne, umjetne i dodatne varijable uvrstimo u

funkciju cilja dobijemo proširenu funkciju cilja:

Simpleks algoritam kod standardnog minimuma

U tabeli se nalazi sve potrebno za testiranje je li dobiveno rješenje i optimalno te za

dobivanje novog mogućeg rješenja.

Za standardni problem minimuma simpleks algoritam ima sljedeće korake:

Testira se da li je dobiveno rješenje optimalno; izračunavaju se i .

Ukoliko su svi elementi u retku tada je dobiveno rješenje i

optimalno. Ukoliko je barem jedan od elemenata odnosno ako

dobiveno rješenje nije optimalno, prelazi se na drugi koraka a to je nalaženje

novog mogućeg rješenja.

Traži se nova baza pri čemu je postupak isti kao i kod standardnog problema

maksimuma osim izbora vektor – stupca koji ulazi u bazu koji se bira po drugom

kriteriju i to tako da se traži najveći pozitivni element u retku

36

4. PRIMJER PROBLEMA PREHRANE

Danas se pridaje velika važnost prehrani domaćih životinja. Posebna pozornost se

posvećuje zdravoj prehrani odnosno najboljem odnosu unošenja svih potrebnih

hranjivih elemenata putem namirnica koje životinje svakodnevno konzumiraju.

Pravilna prehrana purana jedan je od glavnih preduvjeta, da ih održimo zdravima,

otpornima i da se pravilno razviju. Pod pravilnom prehranom podrazumijevamo onu

gdje purani dobivaju ne samo dovoljne količine krmnih smjesa, nego da je ta krmna

smjesa zdrava, ukusna, zasitna i gdje sadrži sve potrebne hranjive sastojke (Kaštelan,

1954., p. 129).

4.1. Definiranje problema za ishranu purića

Definiranje problema prvi je korak u toku rješavanja problema modela linearnog

programiranja.

Proizvodnja mesa, uz proizvodnju mlijeka i jaja, treba prvenstveno osigurati kvalitetne

bjelančevine u prehrani ljudi i očuvati njihovo dobro zdravlje. Peradarsku proizvodnju

čini posebnom mogućnost brzog obrta u poslovanju, koja u konačnici čini cjenovno

najprihvatljiviju vrstu mesa. Perad se u svijetu i u nas uzgaja radi mesa koje je lako

probavljivo. Zbog visoke nutritivne vrijednosti, prije svega visokog sadržaja

bjelančevina, a niskog sadržaja masti, meso peradi ubraja se u dijetetske proizvode

(Grgić, 2008., p.81).

Životinjama su za prehranu potrebne određene količine biokemijskih sastojaka:

bjelančevina, masnoća, ugljikohidrata, vitamina itd. Te sastojke dobivaju u različitim

živežnim namirnicama ili u krmnim smjesama. Svaka živežna namirnica i svaka vrsta

krmiva imaju određenu cijenu. Problem što nastaje pri prehrani je u tome kako da

izaberemo ili miješamo živežne namirnice ili krmiva da bismo na najracionalniji način

zadovoljili potrebe za biokemijskim svojstvima.

37

Purići se mogu toviti intenzivno i poluintenzivno. Intenzivan tov purića temelji se na

primjeni potpunih krmnih smjesa. Predmet istraživanja ovog diplomskog rada je odabir

najjeftinije krmne smjese koja zadovoljava sve nutritivne zahtjeve.

Najčešće se purići tove 13 – 16 tjedana, tj. do tjelesne mase 6 – 9 kg. Za kilogram

prirasta obično se utroši oko 3 kg krmne smjese (Senčić, 2001., p.55). U intenzivnom

tovu puriće treba hraniti po volji, potpunim krmnim smjesama. Zbog intenzivnog rasta,

purići imaju osobito velike potrebe za bjelančevinama. S porastom dobi purića,

smanjuju se i potrebe za bjelančevinama.

Normativi za ishranu purića razlikuju se ovisno o starosnoj dobi purića. U Tablici 3 dani

su nutritivni zahtjevi purana u miligramima ili jedinicama po kilogramu hrane.

Tablica 3: Minimalne, dnevno potrebne količine za hranjivim zahtjevi purana u

miligramima ili jedinicama po kilogramu hrane

SMJESA - hranjivi sastojci u

mg ( u jedinici kg)

Dob purića (tjedni starosti)

Starter

(1 – 4)

Grover I.

(5 – 8)

Grover II.

(9 – 12)

Finišer

(13 – 16)

Sirove bjelančevine 26 23 21,5 16

Sirove vlaknine 4,3 4,4 4,5 5

Kalcij 1,3 1,2 1,3 0,9

Fosfor 0,6 0,5 0,6 0,4

Natrij 0,18 0,17 0,17 0,17

Izvor: izradila studentica prema: http://www.afn.org/~poultry/flkman9.htm

(4.6.2013.), http://www.poultryhub.org/nutrition/nutrient-requirements/nutrient-

requirements-of-turkeys/ (4.6.2013.)

Purići se hrane različitim smjesama ovisno o dobi. Kod ishrane purića razlikujemo četiri

osnovne vrste potpunih krmnih smjesa, a to su Starter, Grover I., Grover II. I Finišer.

Prva četiri tjedna tova, hrana treba sadržavati minimalno 26 % sirovih bjelančevina, od

5 – 8 tjedna minimalno 23 %, od 9 – 12 tjedna minimalno 21,5 % i nakon toga od 13 –

16 tjedna minimalno 16 % sirovih bjelančevina. Potrebe za sirovim vlakninama

smanjuju se tokom rasta purića. Razlike u količini natrija su minimalne. Kod ishrane

38

purića potpunim krmnim smjesama može se primijetiti konstanta u zastupljenosti tog

hranjivog sastojka.

U diplomskom radu polazi se od primjera, odabira najpovoljnije krmne smjese različitih

proizvođača kako bi trošak ishrane intenzivnog tova putića bio najjeftiniji, a s druge

strane da bi bili zadovoljeni svi nutritivni zahtjevi, odnosno minimalne, dnevno

potrebne količine hranjivih sastojaka.

4.2. Formulacija modela i utvrđivanje parametara modela

Drugi korak u toku rješavanja problema modela linearnog programiranja jest

formulacija modela. Kako se purići hrane različitim krmnim smjesama ovisno o

njihovom uzrastu tako će u ovom diplomskom radu biti prikazani planovi ishrane purića

prema različitim proizvođačima krmnih smjesa.

U nastavku će se prikazati četiri tablice sastavljene tako da svaka prikazuje hranjive

sastojke ovisno o uzrastu purića, a prema pojedinom proizvođaču. Za svaki hranjivi

sastojak iskazana je cijena za kilogram krmne smjese.

Tablica 4: Hranjivi sastojci, vrste krmne smjesa prema dobi purića i cijena krmne

smjese za proizvođač A

Hranjivi sastojci u mg

(u jedinici kg) - A

Dob purića

Starter Grover I. Grover II. Finišer

Sirove bjelančevine 28 24 20 18

Sirove vlaknine 4,5 4,5 4,5 5

Kalcij 1,2 1,15 1,1 1

Fosfor 0,65 0,6 0,6 0,55

Natrij 0,15 0,15 0,15 0,15

Cijena za 1 kg 5 4,7 4,35 3,94

Izvor: izradila studentica prema: http://www.kusic-promet.hr (4.6.2013.)

http://www.kusic-promet.hr/

39


smjese za proizvođač B


(u jedinici kg) - B

Dob purića



Sirove vlaknine 5 5 6 6

Kalcij 1,8 1,5 1,2 1

Fosfor 0,8 0,8 0,7 0,5

Natrij 0,18 0,18 0,18 0,18

Cijena za 1 kg 4,83 4,56 4,43 4,04

Izvor: izradila studentica prema: http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)


smjese za proizvođač C


(u jedinici kg) - C

Dob purića




Kalcij 1,7 1,5 1,2 1,2

Fosfor 0,8 0,75 0,7 0,7

Natrij 0,19 0,18 0,15 0,15

Cijena za 1 kg 4,87 4,32 3,83 3,74

Izvor: izradila studentica prema: http://tshkc.hr (4.6.2013.)


smjese za proizvođač D


(u jedinici kg) - D

Dob purića




Kalcij 1,7 1,6 1,2 1,15

Fosfor 0,8 0,8 0,7 0,7

Natrij 0,19 0,19 0,18 0,18

Cijena za 1 kg 4,98 4,43 4,51 4,3

Izvor: izradila studentica prema: http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.)

40

Tablice nam prikazuju osnovne podatke koji će se koristiti za izračun optimalnog plana

koji će minimizirati troškove. Kada se raspolaže osnovnim podacima moguće je izraditi

tablice za izračun optimalnog plana. Prema tim početnim tablicama izradit će se još

četiri dodatne tablice, ali sada strukturirane prema krmnoj smjesi za svaku od dobnih

skupina purića.

Optimalan plan ishrane purića sadržat će se u tome da se odabere ona krmna smjesa

onog proizvođača koja je najjeftinija, odnosno koja će rezultirati najmanjim troškovima,

a da istovremenu budu zadovoljeni normativni zahtjevi.

Potpuna krmna smjesa za ishranu purića birat će se između četiri proizvođača. Pratit će

se da budu zadovoljeni svi minimalni zahtjevi za nutricionističkim sastojcima ovisno o

cijeni i o dobi purića. Potrebno je izračunati koju količinu pojedine krmne smjese treba

nabaviti.

Primjerima će se potkrijepiti teorija. Za prve dvije smjese: STARTER i GROVER I

prikazat će se standardni oblik minimizacije troškova. Druge dvije smjese: GROVER II

i FINIŠER će problem minimizacije troškova prikazati kroz kanonski oblik.

41

Tablica 8: Hranjivi sastojci, krmne smjesa prema proizvođačima i cijena krmnih smjese

za STARTER SMJESU (1 – 4 tjedna starosti)

Hranjivi sastojci u

mg (u jedinici kg)

Vrste smjesa Min. kol. hranjivog

sastojka u mg ( u

jedinici kg) Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove bjelančevine 28 28 28 28 26

Sirove vlaknine 4,5 5 5 5 4,3

Kalcij 1,2 1,8 1,7 1,7 1,3

Fosfor 0,65 0,8 0,8 0,8 0,6

Natrij 0,15 0,18 0,19 0,19 0,18

Cijena za 1 kg 5 4,83 4,87 4,98

Izvor: izradila studentica prema: http://www.afn.org/~poultry/flkman9.htm (4.6.2013.),

http://www.poultryhub.org/nutrition/nutrient-requirements/nutrient-requirements-of-

turkeys/ (4.6.2013.), http://www.kusic-promet.hr (4.6.2013.), http://tshkc.hr (4.6.2013.),

http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Prema Tablici 8 izradit će se standardni oblik modela minimizacije troškova. U modelu

je vidljivo izdvojena funkcija cilja koja prikazuje ukupne minimalne troškove u kunama

po kilogramu hrane, ograničenja za nutritivnim sastojcima su iskazana u miligramima i

na kraju je uvjet nenegativnosti.

Funkcija cilja:

Ograničenja:

Uvjet nenegativnosti:

42

Tablica 9: Hranjivi sastojci, krmne smjesa prema proizvođačima i cijena krmnih smjese

za GROVER I SMJESU (5 – 8 tjedna starosti)


(u jedinici kg)


sastojka u mg ( u

jedinici kg)

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D



Kalcij 1,15 1,5 1,5 1,6 1,2

Fosfor 0,6 0,8 0,75 0,8 0,5

Natrij 0,15 0,18 0,18 0,19 0,17

Cijena za 1 kg 4,7 4,56 4,32 4,43

Izvor: izradila studentica prema: http://www.afn.org/~poultry/flkman9.htm (4.6.2013.),

http://www.poultryhub.org/nutrition/nutrient-requirements/nutrient-requirements-of-

turkeys/ (4.6.2013.), http://www.kusic-promet.hr (4.6.2013.), http://tshkc.hr (4.6.2013.),

http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Prema podacima iz Tablice 9 koja navodi hranjive sastojke za grover I smjesu izražen je

standardni oblik minimizacije troškova sa pripadajućim ograničenjima i uvjetom

nenegativnosti.

Funkcija cilja:

Ograničenja:


43

Tablica 10: Hranjivi sastojci, krmne smjesa prema proizvođačima i cijena krmnih

smjese za GROVER II SMJESU (9 – 12 tjedna starosti)

Hranjivi sastojci u

mg (u jedinici kg)


sastojka u mg ( u

jedinici kg)

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove bjelančevine 20 20 20 20 21,5


Kalcij 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3

Fosfor 0,6 0,7 0,7 0,7 0,6

Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17

Cijena za 1 kg 4,35 4,43 3,83 4,51



requirements-of-turkeys/ (4.6.2013.), http://www.kusic-promet.hr (4.6.2013.),

http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr

(4.6.2013.)

Prema podacima iz Tablice 10 izrađen je kanonski oblik modela minimizacije troškova

sa pripadajućim dopunskim varijablama funkciji cilja, ograničenjima i uvjetom

nenegativnosti.

Funkcija cilja:

Ograničenja:


44

Tablica 11: Hranjivi sastojci, krmne smjesa prema proizvođačima i cijena krmnih

smjese za FINIŠER SMJESU (13 – 16 tjedna starosti)

Hranjivi sastojci u

mg (u jedinici kg)


sastojka u mg ( u

jedinici kg) Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D


Sirove vlaknine 5 6 6 6 5

Kalcij 1 1 1,2 1,15 0,9

Fosfor 0,55 0,5 0,7 0,7 0,4

Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17

Cijena za 1 kg 3,94 4,04 3,74 4,3




http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr

(4.6.2013.)

Za finišer smjesu izrađen je kanonski oblik modela minimizacije troškova.

Funkcija cilja:

Ograničenja:


45

4.3. Rješavanje modela i interpretacija problema

Nakon faze formulacije modela i utvrđivanja parametara slijedi rješavanje modela i

interpretacija problema. Za rješavanje problema prehrane za potrebe ovog diplomskog

rada korišten je alat Ms Excel – a pod nazivom Rješavatelj zbog jednostavnosti

primjene i zbog same prirode problema koji se rješava – pojednostavljeni problem

prehrane.

U ovom slučaju, rješavanjem postavljenog problema trebaju se dobiti one količine

pojedine krmne smjese čijom kombinacijom će se zadovoljiti potrebe ishrane purića za

minimalno potrebnim hranjivim sastojcima te da se minimiziraju troškovi potrebne

količine krmne smjese.

46

4.3.1. Rješavanje problema za starter smjesu

U prvom primjeru potrebno je izračunati količinu krmne smjese koja je potrebna za

puriće u dobi od 1 – 4 tjedna starosti, a da budu zadovoljeni normativni zahtjevi.

Tablica 12: Funkcija cilja za starter smjesu

Smjesa A Smjesa B Smjesa C Smjesa D Ukupni

trošak

Količina 0 0 0,94737 0 4,613684211

Cijena 5 4,83 4,87 4,98

Izvor: izradila studentica prema izračunu u Ms Excel-u

Optimalnom kombinacijom smjesa ostvaruje se minimalni trošak u iznosu od 4,61 kn

po kilogramu krmne smjese. Proizvodnja je optimalna ako utrošimo 0,947 kg smjese C.

Tablica 13: Ograničenja za starter smjesu


Količina natrija iskorištena je u cijelosti, dok kod svih ostalih hranjivih sastojaka postoji

prebačaj iznad minimalno zahtijevane količine hranjivih sastojaka. To isto rješenje ovog

problema prikazano je u Izvještaju odgovora u Prilogu 1 i Prilogu 2.

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol.

hranjivih

sastojaka

1. Sirove bjelančevine 28 28 28 28 26,52631 26

2. Sirove vlaknine 4,5 5 5 5 4,7368 4,3

3. Kalcij 1,2 1,8 1,7 1,7 1,6105 1,3

4. Fosfor 0,65 0,8 0,8 0,8 0,7578 0,6

5. Natrij 0,15 0,18 0,19 0,19 0,18 0,18

47

4.3.2. Rješenje problema za grover I smjesu

Grover I je smjesa koja se koristi u ishrani purića u dobi od 5 – 8 tjedana starosti.

Potrebno je izračunati količinu i cijenu krmne smjese da budu zadovoljeni normativni

zahtjevi a da troškovi ishrane budu najmanji.

Tablica 14: Funkcija cilja za grover I smjesu

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Ukupni trošak

Količina 0 0 0,95833 0 4,14

Cijena 4,7 4,56 4,32 4,43



po kilogramu krmne smjese. Proizvodnja je optimalna ako utrošimo 0,958 kg smjese C.

Tablica 15: Ograničenja za grover I smjesu

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol.

hranjivih

sastojaka

1. Sirove bjelančevine 24 24 24 24 23 23

2. Sirove vlaknine 4,5 5 5 5 4,7916 4,4

3. Kalcij 1,15 1,5 1,5 1,6 1,4375 1,2

4. Fosfor 0,6 0,8 0,75 0,8 0,7187 0,5

5. Natrij 0,15 0,18 0,18 0,19 0,1725 0,17


Količina sirovih bjelančevina iskorištena je u cijelosti, dok kod svih ostalih hranjivih

sastojaka postoji prebačaj iznad minimalno zahtijevane količine hranjivih sastojaka. To

isto rješenje ovog problema prikazano je u Izvještaju odgovora u Prilogu 3 i Prilogu 4.

48

4.3.3. Rješenje problema za grover II smjesu

Smjesa koja se koristi u dobi od 9 – 12 tjedana je grover II. Potrebno je izračunati

količinu i cijenu krmne smjese da budu zadovoljeni normativni zahtjevi a da troškovi

ishrane budu najmanji.

Tablica 16: Funkcija cilja za grover II smjesu

Smjesa A Smjesa B Smjesa C Smjesa D Ukupni trošak

Količina 0 0,25 0,8333333 0 4,299166667

Cijena 4,35 4,43 3,83 4,51



po kilogramu krmne smjese. Proizvodnja je optimalna ako utrošimo 0,25 kg smjese B i

0,83 kg smjese C.

Tablica 17: Ograničenja za grover II smjesu


Količina kalcija i natrija iskorištena je u cijelosti, dok kod ostalih hranjivih sastojaka

postoji prebačaj iznad minimalno zahtijevane količine hranjivih sastojaka. To isto

rješenje ovog problema prikazano je u Izvještaju odgovora u Prilogu 5 i Prilogu 6.

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol.

hranjivih

sastojaka

1. Sirove bjelančevine 20 20 20 20 21,6667 21,5

2. Sirove vlaknine 4,5 6 6 6 6,5 4,5

3. Kalcij 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3

4. Fosfor 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7583 0,6

5. Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17 0,17

49

4.3.4. Rješenje problema za finišer smjesu

Finišer smjesa je ona koja se koristi u ishrani purića u dobi od 13 – 16 tjedana starosti.

Potrebno je izračunati količinu i cijenu krmne smjese da budu zadovoljeni normativni

zahtjevi a da troškovi ishrane budu najmanji.

Tablica 18: Funkcija cilja za finišer smjesu

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Ukupni trošak

Količina 0 0,94444 0 0 3,815555556

Cijena 3,94 4,04 3,74 4,3



po kilogramu krmne smjese. Proizvodnja je optimalna ako utrošimo 0,94 kg smjese B.

Tablica 19: Ograničenja za finišer smjesu

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol.

hranjivih

sastojaka

1. Sirove bjelančevine 18 18 18 18 17 16

2. Sirove vlaknine 5 6 6 6 5,6667 5

3. Kalcij 1 1 1,2 1,15 0,9444 0,9

4. Fosfor 0,55 0,5 0,7 0,7 0,47222 0,4

5. Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17 0,17


Količina natrija iskorištena je u cijelosti, dok kod svih ostalih hranjivih sastojaka postoji

prebačaj iznad minimalno zahtijevane količine hranjivih sastojaka. To isto rješenje ovog

problema prikazano je u Izvještaju odgovora u Prilogu 7 i Prilogu 8.

50

5. ANALIZA OSJETLJIVOSTI I PROMJENE U HRANIDBI PURANA

Veliko značenje u problemu rješavanja linearnog programiranja imaju analize koje se

nadovezuju na optimalno rješenje. Posebno se to odnosi na analizu osjetljivosti i

parametarsko programiranje.

Kod korištenja modela linearnog programiranja donositelj odluka često želi znati što se

događa s optimalnim rješenjem ako se izvrše promjene nekih ulaznih parametara.

Naime, ulazni parametri su podložni promjenama. Postupak kojim se određuje

osjetljivost dobivenog rješenja na promjenu nekih ulaznih parametara modela naziva se

analiza osjetljivosti ili postoptimalna analiza (Babić, 2005., p. 201). Kod parametarskog

programiranja postepeno se mijenjaju određeni početni podaci, pri čemu se promatraju

i učinci na rješenje.

Najčešća pitanja koja se postavljaju su:

Kako promjena jediničnog prihoda (koeficijenta iz funkcije cilja cj) pojedinog

proizvoda utječe na promjenu optimalnog rješenja, odnosno koliko treba

promijeniti neki koeficijent u funkciji cilja da bi i to dovelo do promjene

optimalnog rješenja?

Pitanje se može postaviti i: koliko se može promijeniti neki koeficijent iz

funkcije cilja, a da to ne utječe na promjenu optimalnog rješenja?

Što će se dogoditi ako se promijene raspoložive količine (bi) pojedinog resursa

proizvodnje (kapacitet proizvoda, količine sirovina, minimalni zahtjevi za nekim

hranjivim sastojkom)? Kako promjena desne strane ograničenja utječe na

dobiveno optimalno rješenje?

Što se događa ako se uvede neka nova aktivnost, odnosno da li je isplativo uvesti

novi proizvod?

Što se događa ako se promijeni neki normativ?

Poslije pronalaženja optimalnog rješenja problema linearnog programiranja i prije nego

se pristupi realizaciji, vrši se postoptimalna raščlamba problema. Često može doći do

raznih promjena u matematičkom modelu ili neki od podataka nije bio točan pa je

jednostavnije izvršiti postoptimalnu raščlambu nego ponovno rješavati problem.

51

Cilj raščlambe osjetljivosti je proučavanje što se događa sa rješenjem nekog problema

ako se mijenjaju određeni parametri samog problema. Općenito se pretpostavlja da su te

varijacije male, točnije očitovanje tehničkih i statističkih podataka i ne mogu proizvesti

neke dramatične efekte pa se navedenom analizom nastoji odrediti interval tih varijacija

koje neće značajnije utjecati na promjenu rješenja problema (Brajdić, 2000., p. 67).

Kod parametarskog programiranja ide se korak dalje u odnosu na analizu osjetljivosti.

Ne pita se samo koliko je moguće promijeniti pojedine početne koeficijente nego ih se i

mijenja. Promjene se mogu odnositi na elemente desne strane (primarne vrijednosti), na

koeficijente funkcije cilja (dualne vrijednosti) ili pak na preostale koeficijente.

Istovremeno je moguće promijeniti više koeficijenata, što znači da se promjena izvrši u

čvrsto zadanom odnosu (Barković, 2002., p. 88).

Analizom osjetljivosti razmatra se osjetljivost rješenja:

1. Ulazne parametre: koeficijente u funkciji cilja i vektore slobodnih članova –

dobivamo odgovor o tome koliko se svaki od tih parametara pri nepromijenjenoj

vrijednosti ostalih parametara može mijenjati, a da to ne utječe na strukturu

optimalnog rješenja

2. Reducirani trošak ili opurtunitetni trošak – minimalna vrijednost od koje treba

biti veći koeficijent u funkciji cilja kako varijabla ne bi bila jednaka nuli u

optimalnom rješenju.

3. Dualna cijena ili cijena u sjeni – mjeri se utjecaj promjene za jednu jedinicu

desne strane pojedinog ograničenja na promjenu vrijednosti u funkciji cilja.

52

5.1. Analiza osjetljivosti za starter smjesu

Analiza osjetljivosti za starter smjesu prikazana je u nastavku kao preslika iz Ms Excel

programa.

Microsoft Excel 12.0 Izvještaj o osjetljivosti

Radni list: [starter (1-4 tjedana starosti).xls]List1

Izvještaj napravljen: 5.6.2013. 21:29:11

Prilagodljive ćelije

Završna Reducirano Cilj Dopustivo Dopustivo

Ćelija Naziv Vrijednost Trošak Koeficijent Povećanje Smanjenje

$B$13 Količina Smjesa A 0 1,1552632 5 1E+30 1,1552632

$C$13 Količina Smjesa B 0 0,2163158 4,83 1E+30 0,2163158

$D$13 Količina Smjesa C 0,9473684 0 4,87 0,11 4,87

$E$13 Količina Smjesa D 0 0,11 4,98 1E+30 0,11

Ograničenja

Završna Sjena Ograničenje Dopustivo Dopustivo

Ćelija Naziv Vrijednost Cijena R.H. Strana Povećanje Smanjenje

$F$18 1. Sirove bjelančevine utrošeno 26,526316 0 26 0,5263158 1E+30

$F$19 2. Sirove vlaknine utrošeno 4,7368421 0 4,3 0,4368421 1E+30

$F$20 3. Kalcij utrošeno 1,6105263 0 1,3 0,3105263 1E+30

$F$21 4. Fosfor utrošeno 0,7578947 0 0,6 0,1578947 1E+30

$F$22 5. Natrij utrošeno 0,18 25,631579 0,18 1E+30 0,0035714

Raspon unutar kojeg može varirati trošak po jedinici smjese A (pod pretpostavkom da

se ostalo ne mijenja) tako da optimalne količine smjesa ostanu identične kreće se od

3,84 kn do neograničeno velike vrijednosti.

Raspon unutar kojeg može varirati trošak po jedinici smjese B (pod pretpostavkom da



Raspon unutar kojeg može varirati trošak po jedinici smjese C (pod pretpostavkom da

se ostalo ne mijenja) tako da optimalne količine smjesa ostanu identične kreće se od 0

kn do 4,98 kn.

53

Raspon unutar kojeg može varirati trošak po jedinici smjese D (pod pretpostavkom da



Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja sirovih bjelančevina je 0 što znači da se s

povećanjem udjela sirovih bjelančevina ne može utjecati na ukupne troškove ishrane

purića, ako se ostala ograničenja ne mijenjaju.

Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja sirovih vlaknina, kalcija i fosfora je 0 što znači

da se s povećanjem udjela sirovih vlaknina, kalcija ili fosfora ne može utjecati na

ukupne troškove ishrane purića, uz uvjet da se ostala ograničenja ne mijenjaju.

Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja natrija je 25,63 što znači da dodatnih 0,01 mg

povećanog zahtjeva za natrijem u udjelu krmne smjese povećava troškove ishrane

purića za 0,25 kn uz uvjet da ostala ograničenja ostanu nepromijenjena.

Ukoliko bi se koristila smjesa A ukupni trošak po kilogramu hrane porastao bi za 1,56

kn, za smjesu B 0,22 kn odnosno za smjesu D 0,11 kn.

5.2. Analiza osjetljivosti za grover I smjesu

Analiza osjetljivosti za grover I smjesu prikazana je kao preslika iz Ms Excel programa.


Radni list: [Knjiga1]List1





$B$18 Količina Smjesa A 0 0,38 4,7 1E+30 0,38

$C$18 Količina Smjesa B 0 0,24 4,56 1E+30 0,24



54

Ograničenja



$F$23 1. Sirove bjelančevine utrošeno 23 0,18 23 1E+30 0,3333333

$F$24 2. Sirove vlaknine utrošeno 4,7916667 0 4,4 0,3916667 1E+30



$F$27 5. Natrij utrošeno 0,1725 0 0,17 0,0025 1E+30









kn do 4,43 kn.




Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja sirovih bjelančevina je 0,18 što znači da se s

povećanjem udjela sirovih bjelančevina za 1 mg ukupni troškovi ishrane purića

povećavaju za 0,18 kn, uz uvjet da ostala ograničenja ostanu ista.

Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja sirovih vlaknina, kalcija, fosfora i natrija je 0

što znači da se s povećanjem udjela sirovih vlaknina, kalcija, fosfora ili natrija ne može

utjecati na ukupne troškove ishrane purića, uz uvjet da se ostala ograničenja ne

mijenjaju.

Kada bi se koristila smjesa A ukupni trošak po kilogramu hrane porastao bi za 0,38 kn,

za smjesu B 0,24 kn odnosno za smjesu D 0,11 kn.

55

5.3. Analiza osjetljivosti za grover II smjesu

Analiza osjetljivosti za grover II smjesu prikazana je kao preslika iz Ms Excel

programa.


Radni list: [grover II (9 - 12 tjedana starosti).xls]List1






$C$18 Količina Smjesa B 0,25 0 4,43 0,08 0,6



Ograničenja



$F$23 1. Sirove bjelančevine utrošeno 21,666667 0 21,5 0,1666667 1E+30

$F$24 2. Sirove vlaknine utrošeno 6,5 0 4,5 2 1E+30

$F$25 3. Kalcij utrošeno 1,3 0,6916667 1,3 0,06 0,01


$F$27 5. Natrij utrošeno 0,17 20 0,17 0,025 0,0075






3,83 kn do 4,51 kn.



3,69 kn do 4,43 kn.

56




Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja sirovih bjelančevina i sirovih vlaknina je 0 što

znači da se s povećanjem udjela sirovih bjelančevina ili sirovih vlaknina ne može

utjecati na ukupne troškove ishrane purića, ako se ostala ograničenja ne mijenjaju.

Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja kalcija je 0,69 što znači da dodatnih 1 mg kalcija

u udjelu krmne smjese povećava troškove ishrane purića za 0,69 kn uz uvjet da ostala

ograničenja ostanu nepromijenjena.

Dualna vrijednost zahtjeva ograničenja fosfora je 0 što znači da se s povećanjem udjela

fosfora ne može utjecati na ukupne troškove ishrane purića, ako se ostala ograničenja

ne mijenjaju.

Dualna vrijednost ograničenja natrija je 20 što znači da dodatnih 0,01 mg natrija u

zahtijevanom udjelu krmne smjese povećava troškove ishrane purića za 0,20 kn uz uvjet

da ostala ograničenja ostanu nepromijenjena.

Kada bi se koristila smjesa A ukupni trošak po kilogramu hrane porastao bi za 0,59 kn,

a za smjesu D 0,08 kn.

57

5.4. Analiza osjetljivosti za finišer smjesu

Analiza osjetljivosti za finišer smjesu prikazana je kao kopija slike iz Ms Excel

programa.








$C$18 Količina Smjesa B 0,9444444 0 4,04 0,26 4,04

$D$18 Količina Smjesa C 0 0,3733333 3,74 1E+30 0,3733333


Ograničenja



$F$23 1. Sirove bjelančevine utrošeno 17 0 16 1 1E+30

$F$24 2. Sirove vlaknine utrošeno 5,6666667 0 5 0,6666667 1E+30



$F$27 5. Natrij utrošeno 0,17 22,444444 0,17 1E+30 0,008






kn do 4,3 kn.



3,35 kn neograničeno velike vrijednosti.

58




Dualna vrijednost ograničenja sirove bjelančevine, sirovih vlaknina, kalcija i fosfora je

0 što znači da se s povećanjem udjela sirovih bjelančevina, sirovih vlaknina, kalcija ili

fosfora ne može utjecati na ukupne troškove ishrane purića, ako se ostala ograničenja

ne mijenjaju.

Dualna vrijednost ograničenja natrij je 22,44 što znači da dodatnih 0,01 mg natrija u

zahtijevanom udjelu krmne smjese povećava troškove ishrane purića za 22,44 kn uz

uvjet da ostala ograničenja ostanu nepromijenjena.

Ukoliko bi se koristila smjesa A ukupni trošak po kilogramu hrane porastao bi za 0,57

kn, za smjesu C 0,37 kn a za smjesu D 0,08 kn.

59

5.5. Promjene u hranidbi i držanju purana u 21. stoljeću

Hranidba i držanje purana će u 21. Stoljeću ovisiti o četiri glavna čimbenika (Zdolec,

2006., p. 60):

zaštiti okoliša i dobrobiti peradi

konkurentnosti u udjelu bjelančevina i energije u krmnim smjesama

modeliranju hranidbenih potreba za povećane zahtjeve porasta purana i o

globalnoj konkurentnosti.

U rezultatima dobivenim iz istraživanjima spomenutog autora vidljivo je da krmne

smjese za hranidbu tovnih purana sadrže prekomjerne količine kalcija i fosfora što

rezultira tri do četiri puta većim izlučivanjem fosfora putem izmeta u odnosu na onu

količinu koju u svom izmetu izbace bojleri i kokoši nesilice. Trenutno se u krmne

smjese ugrađuju različiti dodaci koji sadrže enzim fitazu, no ukoliko se ne smanji udio

fosfora u krmnim smjesama neće doći ni do njegovog značajnijeg smanjenja izlučivanja

u okoliš. Korištenjem sintetskih aminokiselina i dodavanjem pripravaka za vezanje

amonijaka može se ublažiti stvaranje amonijaka, njegovo isparavanje i otpuštanje u

atmosferu iz objekata u kojem se tove purani.

Povećani prirast tjelesnih masa purana u svakom dijelu njihove dobi dovest će do

promjena u sastavljanju krmnih smjesa. Današnji prirast tjelesne mase kod purana u

prosjeku iznosi jedan kilogram tjedno što rezultira s prodajnom težinom od 18 – 20

kilograma. Kod purica je prosječni tjedni prirast oko 0,6 kilograma, odnosno postižu

prodaju težinu od 6,5 do 7,5 kilograma. Stalno povećanje prirasta kod purana

podrazumijeva da će oni konzumirati i veće količine hrane, odnosno doći će do

povećanja njihovih potreba za bjelančevinama i energijom. U prilog stalnim

promjenama u prirastima purana govori i činjenica da purani koji se u prva tri tjedna

hrane groverom, a ne starterom kao do sada mogu postići istu težinu četiri dana ranije

od hibridnih purana uzgojenih 2004. godine.

Neki od problema koji su vezani uz povećani prirast su mortalitet uzrokovan srčanim

udarom i smanjenjem kvalitete prsnih mišića. Prema sporazumima sa Svjetskom

trgovačkom organizacijom promjene u obujmu proizvodnje pojedinih poljoprivrednih

60

proizvoda je moguće očekivati u mnogim zemljama. Multinacionalne kompanije koje

sudjeluju u proizvodnji puretine proizvodnju organiziraju u zemljama s nižim

troškovima transporta, ljudskog rada i energije. Sadašnji i novi propisi za očuvanje

okoliša i dobrobit peradi koji su usvojeni u većini zemalja utjecati će na profitabilnost

proizvodnje puretine. Cijena energije će u budućnosti također biti jedan od čimbenika

koji će neke proizvođače dovesti do samog dna profitabilnosti, dok će neki biti prisiljeni

i na gašenje proizvodnje. Razlog je u tome što je moderna peradarska proizvodnja,

posebno u krajevima s povišenim dnevnim temperaturama, povezana s korištenjem

ventilacije i sustava za hlađenje.

Uz pojavu „ptičje gripe“ i djelovanje multinacionalnih kompanija, na proizvodnju

purana u 21. stoljeću će utjecati i količina te cijena stočne hrane, odnosno već se sada

postavlja pitanje hoće li je biti dovoljno da bi se planirana proizvodnja mogla i provesti.

61

6. ZAKLJUČAK

Prehrana je značajan čimbenik okoline čiji se utjecaj na zdravlje očituje tijekom čitavog

života kako ljudi tako i domaćih životinja. Hrana osigurava energiju potrebnu za rast,

tjelesnu aktivnost i ostale tjelesne funkcije. U prehrani mogu koristiti sve vrste

zdravstveno ispitanih namirnica. Pritom je važno koliko se dotična vrsta namirnica

dopunjuje ili kombinira s ostalom hranom da bi se zadovoljile energetske potrebe i

potrebe za hranjivim tvarima određene osobe.

U diplomskom radu želi se na pojednostavljenom i imaginarnom primjeru prikazati

kako se uz pomoć korištenja linearnog programiranja može uvelike olakšati vođenje

odnosno nadzor, kontrola i planiranje troškova prehrane neke farme.

Linearno programiranje jedna je od najvažnijih metoda optimizacije u okviru

operativnih istraživanja. U poslovnoj ekonomiji najviše se koriste metode linearne

optimizacije koje omogućuju nalaženje najpovoljnijih rješenja problema u kojima se

nalaze: funkcija cilja (npr. dobit) i utrošci resursa (npr. materijala ili vremena) koji su

linearno proporcionalni vrijednostima nezavisnih varijabli (npr. broju proizvedenih

proizvoda).

Takvi problemi se mogu najčešće predstaviti kao problemi linearnog programiranja i

mogu se rješavati metodama linearnog programiranja. Svaki problem linearnog

programiranja mora ispunjavati određene uvjete: jasno definirani cilj koji se želi postići,

postojanje ograničavajućih resursa, postojanje više mogućih rješenja i mogućnost

izražavanja međuovisnosti varijabli linearnom vezom.

Problemi modela proizvodnje, ishrane, transporta i ostali problemi linearnog

programiranja mogu se zajednički opisati kao matematički zadaci na sljedeći način:

nenegativne vrijednosti danog skupa treba odrediti na takav način da zadovoljavaju

sustav uvjeta (linearne jednadžbe ili nejednadžbe) s time da zadana linearna funkcija tih

varijabli poprimi ili maksimalnu ili minimalnu vrijednost odnosno optimalnu vrijednost.

62

S obzirom na to da li kao uvjeti dolaze samo jednakosti, samo nejednakosti istog znaka

ili dolaze nejednakosti različitih znakova i jednakosti razlikuju se tri tipa problema:

standardni problem (u kojem dolaze samo nejednakosti istog znaka), kanonski problem

(u kojem dolaze samo jednakosti) i opći problem (u kojem dolaze uvjeti različitih

znakova.

Svaki problem linearnog programiranja se može prikazati u tri navedene forme.

Isticanje raznih formi ima opravdanje u tome što se za neke analize jedna forma može

djelotvornije koristiti od druge.

Postoje dvije osnovne metode za rješavanje problema linearnog programiranja. Model

linearnog programiranja koji ima najviše dvije varijable može se rješavati grafičkom

metodom. Ova metoda se sastoji od grafičkog prikaza cijelog modela, odnosno uvjeta i

funkcije cilja u dvodimenzionalnom kvadratnom sustavu. Uvjetne jednadžbe su

predstavljene pravcima, a uvjetne nejednadžbe poluravninama.

Druga metoda rješavanja problema linearnog programiranja je simpleks metoda.

Simpleks metoda je procedura po kojoj se konstruira neko inicijalno moguće rješenje.

Kada se dobije to rješenje, primjeni se test, da se odredi da li je to rješenje optimalno.

Ako dobiveno rješenje nije optimalno, simpleks metoda daje uputstvo kako se dolazi do

boljeg rješenja. U konačnom broju koraka dolazi se do optimalnog rješenja, ako to

rješenje postoji ili se doznaje da je maksimum, odnosno minimum infinitivan i da

problem nema optimalnog rješenja.

Životinjama su za prehranu potrebne određene količine biokemijskih sastojaka:

bjelančevina, masnoća, ugljikohidrata, vitamina itd. Te sastojke dobivaju u različitim

živežnim namirnicama ili u krmnim smjesama. Svaka živežna namirnica i svaka vrsta

krmiva imaju određenu cijenu. Problem jest u tome kako izabrati ili miješati živežne

namirnice ili krmiva da bismo na najracionalniji način zadovoljili potrebe za

biokemijskim svojstvima.

Kao u svakom problemu linearnog programiranja tako i u problemu prehrane možemo

pristupiti na dva načina: ili kao primarnim ili kao njima odgovarajućim dualnim

linearnim programima što ovisi o izboru funkcije cilja.

63

Problem prehrane je prvi puta postavio Stigler, 1945. godine, a riješen je primjenom

simpleks metode 1947. godine. Problem je obuhvaćao 77 namirnica i 9 hranjivih

elemenata.

U diplomskom radu postavljen je, riješen i na odgovarajući način interpretiran

pojednostavljeni problem prehrane. Polazi se od sastavljanja odgovarajuće kombinacije

krmne smjese koja treba zadovoljiti potrebe za hranjivim sastojcima za ishranu purana.

U diplomskom radu je dobivena optimalna kombinacija krmnih smjesa za svaku vrstu

krmne smjese ovisno o uzrastu purana. Namjera je bila na pojednostavljenim

primjerima pokazati kako je moguće matematičkim programiranjem odrediti optimalnu

krmnu smjesu prema uzrastu purana u cilju minimizacije ukupnih troškova prehrane

farme purana.

64

POPIS LITERATURE

A. KNJIGE

1) Andrijić, S.: Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom

društvu, 3. Izdanje, Synopsis, Zagreb – Sarajevo, 2002.

2) Babić, Z.: Linearno programiranja, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Splitu,

Split 2005.

3) Barković, D.: Operacijska istraživanja, 2. Izdanje, Sveučilište J. J. Strossmayera,

Ekonomski fakultet, Osijek, 2001.

4) Brajdić, I.: Modeli odlučivanja, Hotelijerski fakultet Opatija, Opatija, 1998.

5) Brajdić, I.: Operacijska istraživanja u ekonomiji i osnove teorije linearnog

programiranja, Safita d.o.o., Opatija, 2000.

6) Car, M.: Uvod u operativno istraživanje, Centar ekonomskih znanosti

Sveučilišta u Rijeci, OOUR Ekonomskog fakulteta u Rijeci, Studij za

organizaciju, Rijeka, 1976.

7) Filić, M.: Što je linearno programiranje, Zavod za unapređivanje osnovnog

obrazovanja Socijalističke RH, Zagreb 1970.

8) Martić, LJ.: Teorija linearnog programiranja, Ekonomski institut narodne RH,

Zagreb 1963.

9) Senčić, Đ. i dr.: Proizvodnja mesa, Sveučilište J. J. Strossmayera, Ekonomski

fakultet, Osijek, 2010.

10) Vadnal, A.: Linearno programiranje; Teorija i upotreba u privresi, Informator,

izdavačka kuća, Zagreb, 1972.

B. ČASOPISI

11) Grgić, Z. i dr.: Perspektive hrvatske peradarske industrije, Agronomski glasnik,

Vol. 70, 2008.

12) Kaštelan, D.: Krmne smjese i njihova upotreba, Mljekarstvo, Hrvatska

mljekarska udruga, Zagreb, Vol. 4, broj 6, lipanj 1954.

13) Neralić, L.: O linearnom programiranju I, Matematičko fizički list, Hrvatsko

matematičko društvo i hrvatsko fizikalno društvo, Zagreb, god. 51, broj 203,

2000 – 2001.

65

14) Neralić, L.: O linearnom programiranju I, Matematičko fizički list, Hrvatsko

matematičko društvo i hrvatsko fizikalno društvo, Zagreb, god. 51, broj 204,

2000 – 2001.

C. Internet

15) http://www.afn.org/~poultry/flkman9.htm (4.6.2013.)

16) http://www.poultryhub.org/nutrition/nutrient-requirements/nutrient-

requirements-of-turkeys/ (4.6.2013.)

17) http://www.kusic-promet.hr (4.6.2013.)

18) http://tshkc.hr (4.6.2013.)

19) http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.)

20) http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

D. OSTALO

21) Čerić, V.: Linearno programiranje, Ekonomski fakultet Zagreb, Zagreb, 2007.

66

POPIS TABLICA

Broj

tablice Naslov tablice

Broj

stranice

1. Nutriciona matrica 30

2. Početna simpleks tablica za standardni problem minimuma u sažetoj

formi 33

3. Minimalne, dnevno potrebne količine za hranjivim zahtjevi purana u

miligramima ili jedinicama po kilogramu hrane 37

4. Hranjivi sastojci, vrste krmne smjesa prema dobi purića i cijena krmne

smjese za proizvođač A 38


smjese za proizvođač B 39


smjese za proizvođač C 39


smjese za proizvođač D 39

8. Hranjivi sastojci, krmne smjesa prema proizvođačima i cijena krmnih

smjese za STARTER SMJESU (1 – 4 tjedna starosti) 41


smjese za GROVER I SMJESU (5 – 8 tjedna starosti) 42


smjese za GROVER II SMJESU (9 – 12 tjedna starosti) 43


smjese za FINIŠER SMJESU (13 – 16 tjedna starosti) 44

12. Funkcija cilja za starter smjesu 46

13. Ograničenja za starter smjesu 46

14. Funkcija cilja za grover I smjesu 47

15. Ograničenja za grover I smjesu 47

16. Funkcija cilja za grover II smjesu 48

17. Ograničenja za grover II smjesu 48

18. Funkcija cilja za finišer smjesu 49

19. Ograničenja za finišer smjesu 49

67

POPIS PRILOGA

Broj priloga Naslov priloga Broj

stranice

1. Podaci za starter smjesu i definiran model u Ms Excel

programu 68

2. Izvještaj odgovora za starter smjesu u Ms Excel programu 69

3. Podaci za grover I smjesu i definiran model u Ms Excel

programu 70

4. Izvještaj odgovora za grover I smjesu u Ms Excel programu 71

5. Podaci za grover II smjesu i definiran model u Ms Excel

programu 72

6. Izvještaj odgovora za grover II smjesu u Ms Excel programu 73

7. Podaci za finišer smjesu i definiran model u Ms Excel

programu 74

8. Izvještaj odgovora za finišer smjesu u Ms Excel programu 75

68

Prilog 1: Podaci za starter smjesu i definiran model u Ms Excel programu

STARTER SMJESA (1 - 4 tjedna

starosti)

Hranjivi sastojci

u mg (u jedinici

kg)

Vrste smjesa Min. kol.

hranjivog

sastojka u

mg

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove

bjelančevine 28 28 28 28 26


Kalcij 1,2 1,8 1,7 1,7 1,3

Fosfor 0,65 0,8 0,8 0,8 0,6

Natrij 0,15 0,18 0,19 0,19 0,18

Cijena za 1 kg 5 4,83 4,87 4,98


(4.6.2013.), http://www.poultryhub.org/nutrition/nutrient-

requirements/nutrient-requirements-of-turkeys/ (4.6.2013.), http://www.kusic-

promet.hr (4.6.2013.), http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Funkcija cilja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Ukupni

trošak

Količina 0 0 0,9473 0 4,61368

Cijena 5 4,83 4,87 4,98

Ograničenja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol. hranjivih

sastojaka

1. Sirove

bjelančevine 28 28 28 28 26,5263 26

2. Sirove

vlaknine 4,5 5 5 5 4,7368 4,3

3. Kalcij 1,2 1,8 1,7 1,7 1,6105 1,3

4. Fosfor 0,65 0,8 0,8 0,8 0,7578 0,6

5. Natrij 0,15 0,18 0,19 0,19 0,18 0,18

Izvor: obradio autor

69

Prilog 2: Izvještaj odgovora za starter smjesu u Ms Excel programu

Microsoft Excel 12.0 Izvještaj odgovora

Radni list: [starter (1-4 tjedana starosti).xls]List1


Ciljna ćelija (Minimum)

Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost

Količina Ukupni trošak 19,68 4,613684


Naziv Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost

Količina Smjesa A 1 0

Količina Smjesa B 1 0

Količina Smjesa C 1 0,94736

Količina Smjesa D 1 0

Ograničenja

Naziv Vrijednost

ćelije Formula Stanje Stog

1. Sirove bjelančevine

utrošeno 26,52631 $F$18>=$G$18 Nepovezivanje 0,52631

2. Sirove vlaknine utrošeno 4,736842 $F$19>=$G$19 Nepovezivanje 0,43684

3. Kalcij utrošeno 1,61052 $F$20>=$G$20 Nepovezivanje 0,31052

4. Fosfor utrošeno 0,757891 $F$21>=$G$21 Nepovezivanje 0,15789

5. Natrij utrošeno 0,18 $F$22>=$G$22 Povezivanje 0


70

Prilog 3: Podaci za grover I smjesu i definiran model u Ms Excel programu

GROVER I SMJESA (5 - 8 tjedna

starosti)

Hranjivi sastojci u

mg (u jedinici kg)


hranjivog

sastojka u

mg

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove



Kalcij 1,15 1,5 1,5 1,6 1,2

Fosfor 0,6 0,8 0,75 0,8 0,5

Natrij 0,15 0,18 0,18 0,19 0,17

Cijena za 1 kg 4,7 4,56 4,32 4,43




http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.),

http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Funkcija cilja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Ukupni

trošak

Količina 0 0 0,9583 0 4,14

Cijena 4,7 4,56 4,32 4,43

Ograničenja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol. hranjivih

sastojaka

1. Sirove

bjelančevine 24 24 24 24 23 23

2. Sirove vlaknine 4,5 5 5 5 4,7916 4,4

3. Kalcij 1,15 1,5 1,5 1,6 1,4375 1,2

4. Fosfor 0,6 0,8 0,75 0,8 0,7187 0,5

5. Natrij 0,15 0,18 0,18 0,19 0,1725 0,17


71

Prilog 4: Izvještaj odgovora za grover I smjesu u Ms Excel programu





Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost



Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost


Količina Smjesa B 1 0



Ograničenja

Naziv

Vrijednost



utrošeno 23 $F$23>=$G$23 Povezivanje 0




5. Natrij utrošeno 0,1725 $F$27>=$G$27 Nepovezivanje 0,0025


72

Prilog 5: Podaci za grover II smjesu i definiran model u Ms Excel programu

GROVER II SMJESA (9 - 12 tjedna

starosti)

Hranjivi sastojci

u mg (u jedinici

kg)


hranjivog

sastojka u

mg

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove

bjelančevine 20 20 20 20 21,5


Kalcij 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3

Fosfor 0,6 0,7 0,7 0,7 0,6

Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17

Cijena za 1 kg 4,35 4,43 3,83 4,51




promet.hr (4.6.2013.), http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr (4.6.2013.), http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Funkcija cilja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Ukupni

trošak

Količina 0 0,25 0,8333 0 4,29916

Cijena 4,35 4,43 3,83 4,51

Ograničenja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol. hranjivih

sastojaka

1. Sirove

bjelančevine 20 20 20 20 21,6667 21,5

2. Sirove

vlaknine 4,5 6 6 6 6,5 4,5

3. Kalcij 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3

4. Fosfor 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7583 0,6

5. Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17 0,17


73

Prilog 6: Izvještaj odgovora za grover II smjesu u Ms Excel programu


Radni list: [grover II (9 - 12 tjedana starosti).xls]List1



Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost



Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost


Količina Smjesa B 1 0,25



Ograničenja

Naziv

Vrijednost


1. Sirove bjelančevine utrošeno 21,66667 $F$23>=$G$23 Nepovezivanje 0,16667

2. Sirove vlaknine utrošeno 6,5 $F$24>=$G$24 Nepovezivanje 2

3. Kalcij utrošeno 1,3 $F$25>=$G$25 Povezivanje 0




74

Prilog 7: Podaci za finišer smjesu i definiran model u Ms Excel programu

FINIŠER SMJESA (13 - 16 tjedna

starosti)

Hranjivi sastojci

u mg (u jedinici

kg)


hranjivog

sastojka u

mg

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Sirove


Sirove vlaknine 5 6 6 6 5

Kalcij 1 1 1,2 1,15 0,9

Fosfor 0,55 0,5 0,7 0,7 0,4

Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17

Cijena za 1 kg 3,94 4,04 3,74 4,3




promet.hr (4.6.2013.), http://tshkc.hr (4.6.2013.), http://www.tisup.mps.hr

(4.6.2013.), http://www.gaspar.hr (4.6.2013.)

Funkcija cilja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D

Ukupni

trošak

Količina 0 0,94444 0 0 3,8155

Cijena 3,94 4,04 3,74 4,3

Ograničenja:

Smjesa

A

Smjesa

B

Smjesa

C

Smjesa

D Utrošeno

Min. kol. hranjivih

sastojaka

1. Sirove

bjelančevine 18 18 18 18 17 16

2. Sirove

vlaknine 5 6 6 6 5,6667 5

3. Kalcij 1 1 1,2 1,15 0,9444 0,9

4. Fosfor 0,55 0,5 0,7 0,7 0,4722 0,4

5. Natrij 0,15 0,18 0,15 0,18 0,17 0,17


75

Prilog 8: Izvještaj odgovora za finišer smjesu u Ms Excel programu





Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost



Naziv

Izvorna

vrijednost

Završna

vrijednost


Količina Smjesa B 1 0,94444

Količina Smjesa C 1 0


Ograničenja

Naziv

Vrijednost



utrošeno 17 $F$23>=$G$23 Nepovezivanje 1






76

IZJAVA

kojom izjavljujem da sam diplomski rad s naslovom PRIMJENA LINEARNOG

PROGRAMIRANJA U OPTIMIZACIJI PREHRANE PURANA izradila samostalno

pod voditeljstvom prof. dr. sc. Lovrić. U radu sam primijenila metodologiju znanstveno

– istraživačkog rada i koristila literaturu koja je navedena na kraju diplomskog rada.

Tuđe spoznaje, stavove, zaključke, teorije i zakonitosti koje sam izravno ili

parafrazirajući navela u diplomskom radu na uobičajen, standardan način citirala sam i

povezala s korištenim bibliografskim jedinicama. Rad je pisan u duhu hrvatskog jezika.

Također izjavljujem da sam suglasna s objavom diplomskog rada na službenim

stranicama Fakulteta.

Studentica

Ana Kos

sveuČiliŠte u rijeci - oliver.efri.hroliver.efri.hr/zavrsni/323.b.pdf · operacijska...

Documents