1ª serie militar apostila matematica vol 1.pdf

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MATEMÁTICA

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AbordagemTeórica

1. PROPOSIÇÃO:

Proposição ou Sentença é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta um, e somente um, dos valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F).

Exemplo:

São proposições verdadeiras: 9 5≠ e 2 ∈ . São proposi-ções falsas: 1− ∈ e 2 5> .

Proposição simples ou atômica é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Exemplo: p: Augusto é alto.

Proposição composta ou molecular é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Exemplo: p: Au-gusto é alto e Bruno é baixo.

2. NEGAÇÃO:

A negação de uma proposição p é indicada por p (ou ) e tem sempre valor oposto ao de p .

Tabela–verdade

p p

V F

F V

Exemplo:

A negação de ( )p : 9 5 F= é ( )p : 9 5 V≠ .

noçõeS de lógica

3. CONECTIVOS

A conjunção (e), denotada por p q∧ ou p q⋅ , é verdadeira, se p e q são ambas verdadeiras. Se ao menos uma delas for falsa, então p q∧ é falsa.

A disjunção (ou), denotada por p q∨ ou p q+ , é verdadei-ra, se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira. Se p e q são ambas falsas, então p q∨ é falsa.

Tabela–verdade

p q p q∧ p q∨

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Exemplos:( ) ( )9 5 0 1> ∧ ≥ é falsa, pois V F∧ é falsa. ( ) ( )9 5 0 1> ∨ ≥ é

verdadeira, pois V F∨ é verdadeira.

4. CONDICIONAIS

O condicional, denotado por p q→ , é falso, somente, quan-do p é verdadeira e q é falsa. Caso contrário, p q→ é verdadeiro.

O bicondicional, denotado por p q↔ é verdadeiro somen-te, quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas. Se isso não acontecer, p q↔ é falso.

Tabela–verdade

p q p q→ p q↔

V V V VV F F FF V V FF F V V

A recíproca de p q→ é a proposição q p→ .

A contrária de p q→ é a proposição p q→ .

A contrapositiva de p q→ é a proposição q p→ .

MATEMÁTICA

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Uma proposição e sua contrapositiva são equivalentes:

p q q p→ ≡ → .

A recíproca e a contrária de uma proposição são equivalentes:

q p p q→ ≡ →

5. TAUTOLOGIA (PROPOSIÇÃO LOGICAmENTE VERDADEIRA)

Tautologia (proposição logicamente verdadeira) é a proposição que possui valor V (verdadeira) independente dos va-lores lógicos das proposições das quais depende.

Exemplo:

A frase “O recém-nascido é menino ou menina” é sempre verdadeira, pois, se for menino teremos “V ou F”, se for menina teremos “F ou V”. Em ambos os casos o resultado é verdadeiro.

6. CONTRADIÇÃO (PROPOSIÇÃO LOGICAmENTE FALSA)

Contradição (proposição logicamente falsa) é a propo-sição que possui valor F (falsa) independente dos valores lógicos das proposições das quais depende.

Exemplo:

A frase “O recém-nascido é menino e menina” é sempre fal-sa, pois se for menino, teremos “V e F”, se for menina teremos “F e V”. Em ambos os casos, o resultado é falso.

7. RELAÇÃO DE ImPLICAÇÃO

Diz-se que p implica q ( )p q⇒ , quando, na tabela de p e q, não ocorre VF em nenhuma linha, ou seja, quando o condi-cional p q→ é verdadeiro.

Nesse caso, pode-se dizer que “ p é condição suficiente para q ” ou “ q é condição necessária para p ”.

p q⇒

=

“ p é condição suficiente para q ”

=

“ q é condição necessária para p ”

Uma condição é dita necessária, quando ela precisa acon-tecer para o resultado ser verdadeiro, mas não garante que ele seja verdadeiro. Ex.: x 0≥ é uma condição necessária de x 1> .

Um teorema é uma implicação da forma ( )hipótese tese⇒. Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que, sempre que a hipótese for verdadeira, a tese também será verdadeira.

Exemplo:2x 2 x 4= ⇒ = (note que a volta não é necessariamente ver-

dadeira)

A proposição (p ⇒ q) será falsa, se existir um objeto matemá-tico que satisfaça a hipótese p e não satisfaça a conclusão (VF). Esse objeto é chamado contraexemplo para a proposição (p ⇒ q).

Por outro lado, um objeto matemático que satisfaça a hipó-tese p e a tese q se diz um exemplo para a proposição ( )p q⇒ .

É importante observar que um único contraexemplo é suficien-te para provar que uma proposição é falsa, entretanto enume-rar exemplos não garante que a proposição seja verdadeira.

8. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Diz-se que p é equivalente a q ( p q⇔ ou p q≡ ), quando p e q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico, ou seja, p q↔ é verdadeiro.

Nesse caso, diz-se que “p é condição necessária e suficiente para q” ou que “p se, e somente se, q”.

p q⇔=

“p é condição necessária e suficiente para q”

=

“p se, e somente se, q”

Uma proposição do tipo “p se, e somente se, q” é verdadei-ra, quando p q⇒ (p é condição necessária para q) e q p⇒ (p é condição suficiente para q) são ambas verdadeiras.

Exemplo:

3x 1 4 3x 4 1+ = ⇔ = −Na resolução de equações e inequações, deve-se atentar

para o significado das relações de implicação e equivalência. Passagens relacionadas por equivalência mantêm exatamente o mesmo conjunto verdade, pois ambas são verdadeiras ou falsas simultaneamente. Já passagens relacionadas por implicação não garantem o mesmo conjunto-verdade. Nesse caso, o novo con-junto-verdade contém o anterior, devendo-se ter cuidado com a introdução de raízes que não são válidas. Isso ocorre com frequ-ência na resolução de equações irracionais.

Exemplo:

Resolver a equação 2x 5x 1 1 2x+ + + =2 2x 5x 1 1 2x x 5x 1 2x 1+ + + = ⇔ + + = − ⇒

( )( )

22 2x 5x 1 2x 1 3x 9x 0

x 0 x 3

⇒ + + = − ⇔ − = ⇔

⇔ = ∨ =

Testando as raízes obtidas verifica-se que x 0= x = 0 não é uma raiz válida. Essa raiz apareceu exatamente quando elevou-se ao quadrado ambos os membros da equação, pois, nesse caso, não valia a relação de equivalência, mas somente a implicação. Como se pode notar, o novo conjunto solução { }S 0,3= continha o conjunto solução da equação inicial { }S 3= .

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MATEMÁTICA

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Uma outra maneira de resolver a equação utilizando somen-te equivalências seria:

2 2x 5x 1 1 2x x 5x 1 2x 1+ + + = ⇔ + + = − ⇔

( ) ( )( )x 5x 1 2x 1 2x 1 0⇔ + + = − ∧ − ≥ ⇔

2 13x 9x 0 x

2 ⇔ − = ∧ ≥ ⇔

( ) 1x 0 x 3 x x 3

2 ⇔ = ∨ = ∧ ≥ ⇔ =

9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Propriedade Idempotente:

p p p∧ ⇔p p p∨ ⇔

Propriedade Comutativa:

p q q p∧ ⇔ ∧p q q p∨ ⇔ ∨

Propriedade Associativa

( ) ( )p q r p q r∧ ∧ ⇔ ∧ ∧( ) ( )p q r p q r∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

Distributividade:

( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨

Absorção:

( )p p q p∧ ∨ ≡( )p p q p∨ ∧ ≡

Dupla negação:

( )p p≡

Contrapositiva:

(p q) (q p)⇒ ≡ ⇒

Transformação de implicação em disjunção:

(p q) (p q)⇒ ≡ ∨

10. SENTENÇAS ABERTAS

Sentenças abertas são proposições cujo valor lógico depende do valor de uma ou mais variáveis.

O conjunto de todos os valores que as variáveis podem assu-mir denomina-se Universo.

O subconjunto do universo para o qual a sentença aberta é ver-dadeira denomina-se Conjunto -Verdade ou Conjunto-Solução.

Exemplo:

No universo U = , o conjunto verdade da sentença 2x 5< é { }V 0,1,2= .

11. QUANTIFICADORES

1.1. Quantificador universal:

∀ indica “qualquer que seja” , “para todo”.

Exemplo:

(∀x∈R) (x2 ≥ 0)

11.2. Quantificador existencial:

$ indica “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.

$ indica “existe um único”, “existe um e um só”.

Exemplos: ( )( )x x 1 2∃ ∈ + > e ( )( )x x 1 2∃ ∈ + < .

12. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (LEIS DE DE mORGAN)

A negação de proposições com conectivos ou condicionais é feita com base nas relações seguintes (Leis de De Morgan):

( )p q p q∧ ⇔ ∨

( )p q p q∨ ⇔ ∧

( )p q p q→ ⇔ ∧A Leis de De Morgan mostram que:

i) Negar que duas proposições são verdadeiras, ao mesmo tempo, equivale a afirmar que pelo menos uma delas é falsa;

ii) Negar que, pelo menos uma de duas proposições é verda-deira, equivale a afirmar que ambas são falsas.

Exemplos:

1) A negação de “Juca é bom e honesto” é “Juca não é bom ou não é honesto”.

2) A negação de “Juca é bom ou honesto” é “Juca não é bom e não é honesto”.

3) A negação de “Se Juca é bom, então é honesto” é “Juca é bom e não é honesto”.

A negação de uma proposição do tipo “Para todo objeto com uma certa propriedade, algo acontece” é: “Existe um objeto com a certa propriedade, tal que aquele algo não acontece.”

MATEMÁTICA

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A negação de uma proposição do tipo “Existe um objeto com uma certa propriedade, para o qual algo acontece” é: “Para todo objeto com a certa propriedade, aquele algo não acontece.”

Em geral, usa-se o quantificador existencial para negar pro-posições com quantificador universal e o quantificador universal para negar proposições com quantificador existencial.

Atente para os casos a seguir:

PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO

Todos os alunos usam óculos.Existe pelo menos um aluno que não

usa óculos.

Algum aluno usa óculos. Nenhum aluno usa óculos.

“Todo homem é honesto” “Algum homem não é honesto”.

“Algum homem é honesto” “Todo homem não é honesto”.

9 > 5 9 ≤ 5

13. REGRAS DE DEDUÇÃO

i) F p⇒ e p V⇒ , em que p é uma proposição qualquer

ii) se a b⇒ e b a⇒ , então a b=iii) a b⇒ e b c⇒ , então a c⇒iv) a a b⇒ ∨ e a b a∧ ⇒ , quaisquer que sejam a e b

14. TÉCNICAS DE DEmONSTRAÇÃO

14.1 Demonstração Indireta ou Redução ao Absurdo

Consiste em admitir a negação da conclusão q e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer c (uma proposição logica-mente falsa como p. ex. p p∧ ).

Isso pode ser verificado, observando que:

( ) ( ) ( )q c q c q c q→ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ .

Exemplo:

Sendo *x,y +∈ , prove que x y

2y x

+ ≥ .

SOLUÇÃO:

Supondo por absurdo a negação da proposição inicial

x y2

y x+ < , teremos:

2 22 2x y x y

2 2 x y 2xyy x xy

++ < ⇔ < ⇔ + < ⇔ 7 ( ) 2

x y 0⇔ − < ⇔

CONTRADIÇÃO.

Logo, a proposição inicial é válida.

14.2. Contraexemplo

Para mostrar que uma proposição da forma ( ) ( )( )x A p x∀ ∈ é falsa (F), basta mostrar que a sua negação ( ) ( )( )x A p x∃ ∈ é verdadeira (V), isto é, existe pelo menos um elemento 0x A∈ , tal que ( )0p x é uma proposição falsa (F). O elemento 0x diz-se um contraexemplo para a proposição ( ) ( )( )x A p x∀ ∈ .

Exemplo:

Prove que a proposição ( )( )n 2x 2 n∀ ∈ > é falsa.

SOLUÇÃO: Basta verificar que, para n – 2, tem-se ( )2 22 2> é falsa. Logo, 2 é um contraexemplo para a proposição apresen-tada que, em consequência, é falsa.

14.3 Princípio Da Indução Finita (P.I.F.)

14.3.1 Axiomas de Peano

O conjunto dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:

(1) Existe uma função injetiva s : → . A imagem ( )s n de cada número natural n ∈ chama-se o sucessor de n;

(2) Existe um único número natural 1∈, tal que ( )1 s n≠ para todo n ∈.

(3) Se um conjunto X ⊂ é tal que 1 X∈ e ( )s X X⊂ (isto é, ( )n X s n X∈ ⇒ ∈ ) então X = .

Interpretação

(1) Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural. Números diferentes têm sucessores diferentes.

(2) Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro.

(3) Se um conjunto de número naturais contém o número 1 e também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse con-junto contém todos os números naturais. (Princípio da Indução)

14.3.2 método da Indução Finita (recorrência)

“Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supon-do P válida para o número n, daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais.”

Aplicação do PIF

I) demonstrar que a afirmação é verdadeira para um caso particular, por exemplo, n = 1 (ou o primeiro termo do conjunto);

II) supor que a afirmação é válida para n = k;

III) demonstrar,a partir disso, que a afirmação é válida para n = k + 1.

Exemplo:

Demonstrar que 1 + 2 + ... + n = n.(n + 1) / 2

SOLUÇÃO:

Para n = 1, é válido 1 = 1.(1 + 1) / 2

Supondo que a propriedade é válida para n = k, então

1 + 2 + ... + k = k.(k + 1) / 2

Para n = k + 1, temos:

1 + 2 + .. + k + (k + 1) = k.(k+1)/2 + (k+1) = (k+1).(k/2+1) = (k+1).(k+2)/2

Como a propriedade é válida também para n = k+1, ela é válida para todo natural. C.Q.D.

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MATEMÁTICA

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15. PRINCíPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET

1ª forma: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n - 1 ga-vetas, então, pelo menos uma delas conterá, pelo menos, dois objetos.

Exemplo:

Num grupo de 8 pessoas, pode-se garantir que, pelo menos duas nasceram no mesmo dia da semana (os 7 dias da semana são equivalentes a quantidade de gavetas).

2ª forma: Se m objetos são colocados em n gavetas, então

pelo menos uma gaveta contém, pelo menos, m 1

1n− +

objetos.

Exemplo:

Num grupos de 40 pessoas, pelo menos 4 têm o mesmo

signo, pois m = 40, n = 12 e m 1

1n− +

= 40 1

112

− + = 4.

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (UFF)

As três filhas de Seu Anselmo – Ana, Regina e Helô – vão para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no Colégio Santo An-tônio, outra no São João e outra no São Pedro. Seu Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio em que cada filha estuda. Lembra-se, entretanto, de alguns detalhes:

- Helô é a filha que anda de bicicleta;

- a filha que anda de ônibus não estuda no Colégio Santo Antônio;

- Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no Colégio São Pedro.

Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas in-formações e afirma:

I. Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.

II. Ana vai de moto.

III. Helô estuda no Colégio Santo Antônio.

Com relação a estas afirmativas, conclui-se:

a) Apenas a I é verdadeira.

b) Apenas a I e a II são verdadeiras.

c) Apenas a II é verdadeira.

d) Apenas a III é verdadeira.

e) Todas são verdadeiras.

02. (FGV)

Simplificando a expressão ( ) ( )X Y X Y∩ ∪ ∩ , teremos:

a) universo

b) vazio

c) X ∩ Y

d X Y∩e) X Y∩

03.

Sendo p e q proposições lógicas, pode-se afirmar que a proposi-ção composta ( ) ( )( )p q p q⇒ ∧ ∧ é equivalente a:

a) p

b) q

c) p q∨d) p q∧e) p q⇒

04.

Demonstrar a seguinte fórmula, n ∈ Z e n ≥ 1:

2 2 2 2 n (n 1) (2n 1)1 2 3 n

6⋅ + ⋅ +

+ + + + =

05. (OEMRJ)

Demonstre que num triângulo retângulo de hipotenusa a , cate-tos b e c e altura relativa à hipotenusa h , tem-se a h b c+ > + .

06. (FUVEST)

Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

07. (CN)

Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode haver empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual o nú-mero máximo de lutas necessário para se conhecer o campeão?

a) 27

b) 28

c) 29

d) 30

e) 31

MATEMÁTICA

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08.(CN)

Um bebedouro que usa garrafão de água tem 2,5 metros de ser-pentina por onde a água passa para gelar. Sabe-se que tal serpen-tina gasta 12 segundos para ficar totalmente gelada. Colocando--se um garrafão de 10 litros e ligando-se o bebedouro, leva-se 5 minutos para que toda a água saia gelada. Se, nas mesmas condi-ções, fosse colocado um garrafão de 20 litros no lugar do de 10 litros, o tempo gasto para que toda a água saísse gelada seria de:

a) 9 min 36 seg

b) 9 min 48 seg

c) 10 min

d) 10 min 12 seg

e) 11 min

09. (CN)

Em um navio, existem 6 barcos e 15 guarnições. Cada barco tem uma guarnição de serviço por dia. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que todas as guarnições tenham ficado de serviço o mesmo número de vezes?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 15

10. (IME)

a) Sejam x , y e z números reais positivos. Prove que:

3x y z

x y z3

+ +≥ ⋅ ⋅ . Em que condições se verifica a igualdade?

b) Considere um paralelepípedo de lados a , b e c , e área total 0S . Determine o volume máximo desse paralelepípedo em função de 0S . Qual a relação entre a , b e c para que o volume seja máximo? Demonstre seu resultado.

Exercícios deAprofundamento

01.

Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes decla-rações:

André: Carlos é o criminoso,

Bernardo: Eu não sou o criminoso,

Carlos: Danilo é o criminoso,

Danilo: Carlos está mentindo.

Sabendo que apenas um dos suspeitos disse a verdade, o crimi-noso é:

a) André

b) Bernardo

c) Carlos

d) Danilo

e) impossível determinar

02.

Eduardo mente nas quartas, quintas e sextas e diz a verdade no resto da semana. André mente aos domingos, segundas e terças e diz a verdade no resto dos dias. Se ambos dizem: “amanhã é um dia no qual eu minto”. Que dia da semana será amanhã?

a) Sábado

b) Terça-feira

c) Quarta-feira

d) Sexta-feira

03. (UFF)

Na cidade litorânea de Ioretin, é rigorosamente obedecida a se-guinte ordem do prefeito: “Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos .” Pode-se afirmar que:

a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu.

b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu.

c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos.

d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos.

e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.

04. (CEFET)

Qual o número mínimo de vezes que uma pessoa deverá lançar um dado (não viciado) para, com certeza, obter pelo menos três resultados repetidos?

a) 6

b) 12

c) 13

d) 18

e) 20

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MATEMÁTICA

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05. (CEFET)

Considere as seguintes afirmativas:

I) Todos os matemáticos são cientistas.

II) Alguns cientistas são filósofos.

III) Todos os filósofos são cientistas ou professores.

IV) Nem todo professor é cientista.

Agora, considere as seguintes afirmativas:

V) Alguns matemáticos são filósofos.

VI) Nem todo filósofo é cientista.

VII) Alguns filósofos são professores.

VIII) Se um filósofo não é matemático, ele é professor.

IX) Alguns filósofos são matemáticos.

Partindo do princípio de que as 4 (quatro) primeiras afirmativas

são verdadeiras, quantas afirmativas do 2º grupo são NECESSA-

RIAMENTE verdadeiras:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

06. (UFRJ)

Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais, fabrica-

das pela Nascebem S.A., foi enviada para a fiscalização sanitária.

No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por

conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram

aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número de pílulas

menor do que o especificado.

O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprova-

das em ambos os testes.

Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?

07.

Demonstrar que, para qualquer número inteiro n, o número n 2 2n 111 12+ ++ é divisível por 133.

08. (PUC)

Três caixas etiquetadas estão sobre uma mesa. Uma delas contém

apenas canetas, outra, apenas lápis, e há uma que contém lápis e

canetas. As etiquetas são “lápis”, “canetas” e “lápis e canetas”,

porém nenhuma caixa está com a etiqueta correta. É permitida

a operação escolher uma caixa e dela retirar um único objeto.

O número mínimo de operações necessárias para colocar correta-

mente as etiquetas é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

09. (EN)

Dada a proposição ( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ , podemos afirmar

que é:

a) logicamente falsa

b) uma tautologia

c) equivalente a ( )p q r∨ ⇔

d) equivalente a ( )p q r⇔ ∨

e) equivalente a ( )p q r∨ ⇔

01. (EPCAR)

Uma pessoa foi realizar um curso de aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso, foram aplicadas 9 avaliações que ocorre-ram em dias distintos, cada uma no período da tarde ou no perí-odo da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação no mesmo dia. Houve 7 manhãs e 4 tardes sem avaliação. O número x é divisor natural de:

a) 45 b) 36

c) 20 d) 18

02.

Sendo p e q proposições lógicas, pode-se afirmar que a propo-

sição composta ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )p q p q p q q p q p⇒ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇒ ∨ é equivalente a:

a) p q∨b) p q∧c) p q∨d) p q⇒e) p q⇒

03.

Sejam x, y e z números reais distintos, prove que

33 3x y y z z x 0− + − + − ≠ .

04.

Demonstrar que, para n 1> , é válida a desigualdade nn 1

n!2+ <

,

onde n! 1 2 3 n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

05.

Existe algum número inteiro n tal que n 1 n 1− + + é um núme-ro racional? Justifique sua resposta.

MATEMÁTICA

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GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. B 02. C

03. A

04.

PIF. Para n = 1, tem-se 2 1 (1 1) (2 1 1)1

6⋅ + ⋅ ⋅ +

= .

Supondo válido para n = k.

Vamos provar para n = k+1. 2 2 2 2

2

2

2

1 2 k (k 1)

k (k 1) (2k 1)(k 1)

6k (2k 1)

(k 1) k 16

2k k 6k 6(k 1)

6(k 1) (2k 7k 6) (k 1) (k 2) (2k 3)

6 6

+ + + + + =⋅ + ⋅ +

= + + =

⋅ + = + ⋅ + + = + + +

= + ⋅ =

+ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ += =

Como vale para n = k+1, está demonstrada a proposição.

05.

demonstração

Seja por absurdo, a h b c+ ≤ + .

Como a b 0+ > e b c+ > , então:

( ) ( )2 2 2 2 2 2a h b c a h b c a 2ah h b 2bc c+ ≤ + ⇒ + ≤ + ⇔ + + ≤ + + .

Sabemos que, em um triângulo retângulo ah bc= e 2 2 2a b c= + (teorema de Pitágoras), então 2h 0≤ (absurdo). Portanto, a h b c+ > + ( )C.Q.D. .

06. B 07. C

08. B 09. A

10. a) A igualdade ocorre quando x y z= = .

b) 30

MAX

SV

6 6= , quando a b c= =

RESOLUÇÃO:

a)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

3 3

2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 3abc

a b 3ab a b c 3abc

a b c a b a b c c 3ab a b c

a b c a b c ab ac bc

1a b c a b a c b c 0

2

+ + − =

= + − + + − =

= + + + − + + − + + = = + + + + − − − =

= + + − + − + − ≥

Logo, 3 3 3a b c 3abc 0+ + − ≥ e a igualdade só ocorre quando a b c= = .

Fazendo 3a x= ,

3b y= e

3c z= , temos:3 33 3x y z 3 x y z 0 x y z 3 xyz+ + − ⋅ ⋅ ≥ ⇔ + + ≥

( )3

C.Q.D.

x y zx y z

3+ +

⇔ ≥ ⋅ ⋅

Da mesma forma, a igualdade só ocorre, quando x y z= = .

b)

Em um paralelepípedo de lados a , b e c , a área total 0S é dada por ( )0S 2 ab ac bc= + + e o volume V por V abc= .

Usando a desigualdade do item (a):

303 023

SSab ac bc 2ab ac bc V V

3 3 6 6

+ +≥ ⋅ ⋅ ⇒ ≥ ⇔ ≤

Logo, o volume máximo é 30

MAX

SV

6 6= , que ocorre, quando há a

igualdade inicial, ou seja, quando a b c= = . Nesse caso, o para-lelepípedo é um cubo.

ExERCíCIOS DE APROFUNDAmENTO

01. B 02. C

03. E 04. C

05. A

06. 48

Com as informações do enunciado é possível construir o diagrama a seguir:

100 CAIxASAPROVADO QUALIDADETOTAL = 60

REPROVADO QUALIDADETOTAL = 40

Aprovado QuantidadeTotal = 74

x y

Reprovado QuantidadeTotal = 26

z 14

A partir do diagrama, podemos escrever as equações:

z + 14 = 26 ⇔ z = 12

x + 12 = 60 ⇔ y = 48

Caixas aprovadas em ambos os testes: y = 48

07.

aplicar PIF

Num certo país, as distâncias entre as cidades são distintas duas a duas. Certo dia, de cada cidade, parte um avião que se dirige para a cidade mais próxima. Calcular quantos aviões, no máximo, podem pousar numa mesma cidade.

RESPOSTA: 5 (usar demonstração por absurdo)

08. B 09. B

10. B

17

MATEMÁTICA

17

DESAFIO mIL

01. C 02. E

03.

Considere a fatoração

( )( )

3 3 3

2 2 2

a b c 3abc

a b c a b c ab ac bc

+ + − =

= + + + + − − −

Supondo por absurdo 33 3x y y z z x 0− + − + − = e definindo

3 x y a− = , 3 y z b− = e 3 z x c− = .

3 3 3a b c 0 a b c 3abc⇒ + + = ⇒ + + =

( ) ( ) ( ) 33 3x y y z z x 3 x y y z z x⇒ − + − + − = − − −

( )( )( )33 x y y z z x 0⇔ − − − =

A última igualdade implica que um dos três fatores deve ser nulo, ou seja, dois dos números x, y e z devem ser iguais, o que é uma contradição.

33 3C.Q.D.x y y z z x 0⇒ − + − + − ≠

04.

Vamos aplicar o Princípio da Indução Finita.

1° passo: A desigualdade é válida para n 2= , pois 29 2 1

2! 24 2

+ = < = .

2° passo: Supondo que a desigualdade é verdadeira para n k=

(hipótese de indução), ou seja, kk 1

k!2+ < .

3° passo: Vamos demonstrar que a desigualdade é verdadeira para n k 1= + .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

k k k k 1

k k

k 1k 1 ! k! k 1 k 1

2

k 1 k 2 k 2 k 22 2 2 2

+

+ + = ⋅ + < ⋅ + =

+ + + + = < = <

Portanto, pelo P.I.F., a desigualdade é válida para todo n 1> , como queríamos demonstrar.

05.

Se n 1 n 1− + + ∈ , então existem p ∈ e *q +∈ , com

( )m.d.c. p,q 1= , tais que p

n 1 n 1q

= − + +

( )

( ) ( )

p n 1 n 1n 1 n 1

q n 1 n 1

n 1 n 1 2

n 1 n 1 n 1 n 1

+ − −⇒ = − + + ⋅ =

+ − −+ − −

= =+ − − + − −

Temos então o seguinte sistema de equações:

pn 1 n 1

q

2qn 1 n 1

p

− + + = + − − = 2 2 2 2p 2q p 2q p 2q

2 n 1 n 1q p pq 2pq

+ +⇒ + = + = ⇔ + =

2 2 2 2 24p q n 4p q⇒ + 4 2 2p 4p q= + 4

2 2 2 4 4

4q

4p q n p 4q

+ ⇔

⇔ = +

42 | p 2 | p p 2k, k⇒ ⇒ ⇒ = ∈

2 2 2 4 4

2 2 2 4 4 4

4 4k q n 16k 4q

4k q n 4k q 2 | q 2 | q

⇒ ⋅ ⋅ = + ⇔

⇔ = + ⇒ ⇒

Isso contradiz a condição de ( )m.d.c. p,q 1= .

Logo, n 1 n 1− + + ∉ , ou seja, não existe nenhum inteiro n

que faz a expressão ser irracional.

REFERÊNCIA: Baltic Way 1994

noTaS

MATEMÁTICA

18

19

MATEMÁTICA

19

AbordagemTeórica

1. NOÇÕES PRImITIVAS

Conjunto, elemento e pertinência entre elemento e conjunto são noções primitivas, ou seja, conceitos iniciais para os quais não há definição.

1.1 Notação

Um conjunto costuma ser denotado por uma letra maiúscula e os seus elementos por letras minúsculas entre chaves.

Assim, o conjunto A de elementos a, b e c é denotado por { }A a,b,c= .

Se a é um elemento do conjunto A , diz-se que a pertence a A e denota-se a A∈ . Se b não é elemento de A, diz-se que b não pertence a A e denota-se b A∉ .

Exemplo:

Seja o conjunto { }A 1,2= , então 1 A∈ , 2 A∈ e 3 A∉ .

1.2 Descrição de um conjunto

Um conjunto pode ser descrito pela citação de seus elemen-tos ou por uma propriedade característica.

Exemplo:

{ } { }A a,e,i,o,u x | x é vogal= =

1.3. Conjunto vazio

O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos e é denotado por ∅ ou { } .

Exemplo:

{ }A x | x é ímpar e múltiplo de 2= = ∅

conjunToS

1.4 Conjunto unitário

Um conjunto unitário é um conjunto que possui somente um elemento.

Exemplos:{ }A 1=

{ } { }B x | x é um número primo par 2= ={ }{ }C 2,3= é um conjunto unitário de elemento { }2,3 .

{ }D = ∅ é um conjunto unitário de elemento ∅ .

1.5 Conjunto universo

Quando todos os conjuntos em análise são subconjuntos de um mesmo conjunto, este recebe o nome de conjunto universo e denota-se por U .

1.6 Conjuntos iguais

Dois conjuntos são iguais, se possuem os mesmos elementos.

( )( )A B x x A x B= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈Exemplos:

{ } { }a,b,c b,c,a={ } { }a,b,c a,b,c,d≠{ } { }a,b,c,a,c a,b,c= , pois ambos os conjuntos possuem os

mesmos elementos a , b e c .

2. SUBCONJUNTOS

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B , denotado por A B⊂ , se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B .

( )( )A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈Exemplo:

{ } { }a,b a,b,c,d⊂ ; { } { }a,b b,c,d⊄ .

MATEMÁTICA

20

2.1 Propriedades da inclusão

Para quaisquer conjuntos A , B e C , tem-se:

I) A∅ ⊂II) A A⊂ (propriedade reflexiva)

III) (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A = B (propriedade antissimétrica)

IV) (A ⊂ B ∧ B⊂ C) ⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva)

A é dito subconjunto próprio de B, quando A B⊂ e A B≠ .

Exemplo:

{ }1,2 é um subconjunto próprio de { }1,2,3 .

O conjunto vazio não tem subconjunto próprio.

Qualquer conjunto não vazio tem vazio como subconjunto próprio.

2.2 Conjunto das partes (ou conjunto potência)

O conjunto das partes ou conjunto potência de um determi-nado conjunto A é conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A e é denotado por ( )P A .

Exemplo:

{ } ( ) { } { } { }{ }A a,b P A , a , b , a,b= ⇒ = ∅Se ( )# X representa a quantidade de elementos do conjunto

X , a quantidade de elementos do conjunto das partes de um conjunto A pode ser calculada pela expressão abaixo:

( )( ) ( )# A# P A 2=

3. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

3.1 Reunião de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B , a sua reunião é o conjunto formado por todos os elementos que pertençam a A ou a B .

{ }A B x | x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

Exemplo:

{ } { } { }a,b b,c a,b,c∪ =A união de conjuntos também pode ser representada por

diagramas chamados Diagramas de Venn, em que os conjuntos são representados por círculos. O diagrama abaixo representa a união dos conjuntos A e B .

3.1.1 Propriedades:

Sejam A , B e C conjuntos quaisquer,então:

I) A A A∪ = (idempotente);

II) A A∪ ∅ = (elemento neutro);

III) A B B A∪ = ∪ (comutativa);

IV) ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ (associativa).

3.1.2 Número de elementos da união

O número de elementos da união de conjuntos pode ser calculado, com base no princípio da inclusão-exclusão. A seguir, estão as relações para o caso de dois e três conjuntos:

( ) ( ) ( ) ( )# A B # A # B # A B∪ = + − ∩

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

# A B C # A # B # C

# A B # A C # B C

# A B C

∪ ∪ = + +

− ∩ − ∩ − ∩

+ ∩ ∩

3.2 Interseção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B , a sua interseção é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B , ou seja, pelos elementos comuns aos dois conjuntos.

{ }A B x | x A x B∩ = ∈ ∧ ∈

Exemplo:

{ } { } { }a,b,c,d c,d,e c,d∩ = ; { } { }a,b c,d∩ = ∅O diagrama de Venn, a seguir, representa a interseção de

dois conjuntos A e B .

3.2.1 Propriedades:

Sejam A , B e C conjuntos quaisquer,então:

I) A A A∩ = (idempotente);

II) A ∩ ∅ = ∅;

III) A B B A∩ = ∩ (comutativa);

IV) ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ (associativa).

21

MATEMÁTICA

21

3.2.2 Propriedade distributiva da união e da interseção

I) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩II) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

3.2.3 Conjuntos disjuntos

Conjuntos disjuntos são conjuntos cuja interseção é o con-junto vazio, ou seja, não possuem elementos comuns.

A e B são disjuntos A B⇔ ∩ = ∅

3.3 Diferença de conjuntos

A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto forma-do pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B .

{ }A B x | x A x B− = ∈ ∧ ∉

Exemplo:

{ } { } { }a,b,c,d c,d,e a,b− = ; { } { }a,b a,b,c− = ∅ ;

{ } { } { }a,b c,d a,b− =Os diagramas de Venn, a seguir, representam as diferenças

A B− e B A− .

3.4 Complementar de B em A

Dados dois conjuntos A e B, tais que B A⊂ , chama- se complementar de B em relação a A o conjunto A B− .

BAB A C A B⊂ ⇒ = −

Exemplo:

{ }A a,b,c= e { }B a,b={ }B

AB A C A B c⊂ ⇒ = − =Se B não for um subconjunto de A , então B

AC não está definido.

( )C A , A e A' são notações que representam o comple-mentar de A em relação ao universo.

3.5 Diferença simétrica

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a um, e somente a um, dos con-juntos A e B , e denota-se por A B∆ .

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B A B∆ = − ∪ − = ∪ − ∩Exemplo:

{ } { } { }a,b,c b,c,d a,d∆ =O diagrama de Venn, a seguir, representa a diferença simétri-

ca de dois conjuntos A e B .

4. LEIS DE DE mORGAN

I) A B A B∩ = ∪II) A B A B∪ = ∩

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (UFF)

Dado o conjunto { } { }{ }P 0, 0 , ,= ∅ ∅ , considere as afirmativas:

I. { }0 P∈II. { }0 P⊂III. P∅ ∈Com relação a estas afirmativas conclui-se que:

a) Todas são verdadeiras.

b) Apenas a I é verdadeira.

c) Apenas a II é verdadeira.

d) Apenas a III é verdadeira.

e) Todas são falsas.

02. (EPCAR)

No concurso para o CPCAR, foram entrevistados 979 candidatos dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesas e francesas é

a) 778

b) 658

c) 120

d) 113

MATEMÁTICA

22

03. (CN)

Num concurso, cada candidato fez uma prova de Português e uma de Matemática. Para ser aprovado, o aluno tem de passar nas duas provas. Sabe-se que o número de candidatos que pas-saram em Português é o quádruplo do número de aprovados no concurso, dos que passaram em Matemática, é o triplo do núme-ro de candidatos aprovados no concurso, dos que não passaram nas duas provas é a metade do número de aprovados no con-curso, e dos que fizeram o concurso é 260 . Quantos candidatos foram reprovados no concurso?

a) 140

b) 160

c) 180

d) 200

e) 220

04. (EPCAR)

Numa cidade, residem n famílias e todas leem jornais. Nela há três jornais, A , B e C , e sabe-se que 250 famílias leem jornal A , 180 leem o jornal B , 150 leem C , 110 leem A e B , 95 leem A e C , 80 leem B e C e 40 leem A , B e C . O número de famílias que leem SOMENTE os jornais A ou B é

a) 70

b) 185

c) 320

d) 280

05. (CN)

Considere o conjunto A dos números primos positivos menores do que 20 e o conjunto B dos divisores positivos de 36 . O nú-mero de subconjuntos do conjunto diferença B A− é:

a) 32

b) 64

c) 128

d) 256

e) 512

06. (EPCAR)

Um conjunto A tem n elementos e p subconjuntos e um con-junto B tem 3 elementos a mais do que o conjunto A . Se q é o número de subconjuntos de B , então:

a) q 3p=b) p 8q=c) p q 8= +

d) p 1q 8

=

e) q p 8= +

07. (EPCAR)

Dados os conjuntos A , B e C, tais que ( )A A B B C− ∩ ∩ = , pode-se afirmar, necessariamente, que

a) ( )C A B⊄ ×b) ( ) ( )n A B n B− <c) ( ) ( ) ( )n A C n A B n B∩ > ∪ −d) ( ) ( )n B C n C∩ =

08. (EPCAR)

Para uma turma de 80 alunos do CPCAR, foi aplicada uma prova de matemática valendo 9,0 pontos distribuídos igualmente em 3 questões sobre:

1a. FUNÇÃO;

2a. GEOMETRIA;

3a. POLINÔMIOS.

Sabe-se que:

I) apesar de 70% dos alunos terem acertado a questão sobre

FUNÇÃO, apenas 1

10 da turma conseguiu nota 9,0;

II) 20 alunos acertaram as questões sobre FUNÇÃO e GEOMETRIA;

III) 22 acertaram as questões sobre GEOMETRIA e POLINÔMIOS;

IV) 18 acertaram as questões sobre FUNÇÃO e POLINÔMIOS.

A turma estava completa nessa avaliação. Ninguém tirou nota zero. No critério de correção, não houve questões com acertos parciais e o número de acertos apenas em GEOMETRIA é o mes-mo que o número de acertos apenas em POLINÔMIOS.

Nessas condições, é correto afirmar que

a) o número de alunos que só acertaram a 2a questão é o dobro do número de alunos que acertaram todas as questões.

b) metade da turma só acertou uma questão.

c) mais de 50% da turma errou a terceira questão.

d) apenas 34

da turma atingiu a média maior ou igual a 5,0

09. (CN)

Considere os conjuntos A , B , C e U no diagrama abaixo. A região sombreada corresponde ao conjunto:

a) [A – (B ∩ C) ∪ [(B ∩ C) – A]

b) C(A ∪B∪C) [(A ∪ B) – C]

c) (CA∪(B∩C) [(A∩B) ∪ (A ∩ C)]

d) (A ∪ B) – [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)]

e) [(B ∩ C) – A] ∪ (A – B)

23

MATEMÁTICA

23

10.(CN)

Considere os diagramas em que A, B, C E U são conjuntos. A região sombreada pode ser representada por:

a) ( ) ( ) ( )A B A C B C∩ ∪ ∩ − ∩b) ( ) ( ) ( )A B A C B C∩ ∪ ∩ − ∪c) ( ) ( ) ( )A B A C B C∪ ∪ ∩ ∪ ∩d) ( ) ( ) ( )A B A C B C∪ − ∪ ∩ ∩e) ( ) ( ) ( )A B A C B C− ∩ − ∩ −

11. (CN)

Dados os conjuntos A, B e C, tais que: ( )n B C 20∪ = , ( )n A B 5∩ =

( )n A C 4∩ = , ( )n A B C 1∩ ∩ = e ( )n A B C 22∪ ∪ = , o valor de

( )n A B C− ∩ é:

a) 10

b) 7

c) 9

d) 6

e) 8

12. (CN)

Dados dois conjuntos A e B, tais que ( )n A B 10∪ = , ( )n A B 5∩ = e ( ) ( )n A n B> , pode-se afirmar que a soma dos valores possíveis para ( )n A B− é:

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14


01. (CMRJ)

Sejam A e B conjuntos quaisquer, A B A B∪ = ∩ , se e somente se,

a) A = ∅b) A B⊃c) A B⊄d) A B⊃ ou B A⊃e) A B⊂ e B A⊂

02. (CMRJ)

Se { }{ }A 1, 9 ,9,2= , assinale a afirmação errada:

a) 1 A∈b) 9 A∈c) { }9 A∈d) { }9 A⊂e) 2 A⊂

03. (CMRJ)

Considere o conjunto C = {1, 2, 3}. Para n ∈ C, sejam:

An = {x ∈ | 2n – 2 < x < 2n} e Bn = {x ∈ | 2n – 1 < x < 2n + 1}.

Podemos afirmar que:

a) a interseção da união dos conjuntos An com a união dos conjuntos nB é o intervalo ]0,7[.

b) a união de todos os conjuntos da forma An ∩ Bn é o intervalo ]1,6[.

c) a interseção de todos os conjuntos da forma An ∪ Bn é vazia.

d) a união da interseção dos conjuntos An com a interseção dos conjuntos Bn é o intervalo ]2,4[.

e) a interseção da interseção dos conjuntos An com a interse-ção dos conjuntos Bn é o intervalo ]1,7[.

04. (CMRJ)Uma pesquisa realizada com 300 alunos do Prevest do CMRJ re-velou que 135, 153 e 61 desses alunos pretendem fazer concurso para o IME, o ITA e a Escola Naval, respectivamente. Ela mostrou, também, que nenhum dos entrevistados pretende prestar vestibular para as três instituições. Vários deles farão dois desses concursos e que todos farão pelo menos um deles. Sabendo que a quantidade de estudantes que farão as provas para o IME e o ITA é igual ao dobro dos candidatos às provas para o IME e a Escola Naval. Esta quantidade, por sua vez, é igual ao dobro dos que prestarão con-curso para o ITA e a Escola Naval a quantidade de entrevistados que farão apenas as provas para a Escola Naval é igual a:a) 48b) 45c) 40d) 36e) 30

MATEMÁTICA

24

05. (UFF)

São subconjuntos do conjunto A = {{1}; 2; {1, 2}; ∅} os seguintes conjuntos:

a) { }{ }2 , { }1,2

b) A , ∅ , { }{ }2

c) A , ∅ , { }1,2

d) A , ∅ , { }1 , { }2

e) A , ∅ , { }2 , { }{ }1 ,2

06. (ETFQ)

Depois de N dias de férias, um estudante observou que:

1º. choveu 7 vezes, de manhã ou a tarde

2º. quando chovia de manhã, não chovia à tarde

3º. houve 5 tardes sem chuva

4º. houve 6 manhãs sem chuva.

Então, o valor numérico de N é:

07. (ETFQ)

Os habitantes de uma cidade lêem três tipos de jornais: A, B e C. Feita uma pesquisa, colheram-se os dados da tabela abaixo:

JORNAIS LEITORES

A 110

B 140

C 160

A e B 25

B e C 35

A e C 25

A, B e C 5

nenhum dos três 120

Quantos habitantes leem somente o jornal B?

08. (EPCAR)

No diagrama abaixo, a parte sombreada representa:

a) ( )A B C∩ ∪b) ( )A B C∩ ∪c) A B C∪ ∪d) ( )A B C∪ ∩e) ( )A B C∪ ∩

09. (EPCAR)

Numa cidade, residem n famílias e todas leem jornais. Nela há três jornais, A, B e C, e sabe-se que 250 famílias leem jornal A, 180 leem o jornal B, 150 leem C, 110 leem A e B, 95 leem A e C, 80 leem B e C e 40 leem A, B e C. O número de famílias que leem SOMENTE os jornais A ou B é:

a) 70 b) 185

c) 320 d) 280

10. (EPCAR)

De dois conjuntos A e B , sabe-se que:

I. O número de elementos que pertencem a A B∪ é 45 ;

II. 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos;

III. O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B .

Então, o número de elementos de cada conjunto é

a) ( )n A 27= e ( )n B 18=b) ( )n A 30= e ( )n B 21=c) ( )n A 35= e ( )n B 26=d) ( )n A 36= e ( )n B 27=

11. (EPCAR)

Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira so-bre, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes

I) nenhum tirou zero;

II) 11 acertaram a segunda e a terceira questões;

III) 15 acertaram a questão sobre conjuntos;

IV) 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana;

V) 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções.

É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi:

a) 4 b) 5

c) 6 d) 7

12. (EPCAR)

Analise as afirmativas abaixo:

I. Sejam A , B e C três conjuntos não vazios. Se A B⊂ e C A∩ ≠ ∅ , então, ( )A C B∩ ⊂ .

II. Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que

{ }A B x |1 x 8∪ = ∈ ≤ ≤ , A – B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8}, então A B∩ = ∅ .

III. Dados os números reais x , tais que { }x x | 1 x 2∉ ∈ − < ≤ ,

{ }x | x 0∈ < e { }x | x 3∈ ≥ , então, a união de todos os números reais x é o conjunto { }x | x 1ou x 3∈ ≤ − ≥ .

É correto afirmar que

a) apenas II é verdadeira.

b) apenas I é falsa.

c) todas são falsas.

d) II e III são falsas.

25

MATEMÁTICA

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13. (EPCAR)

Uma pessoa foi realizar um curso de aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso, foram aplicadas 9 avaliações que ocorre-ram em dias distintos, cada uma no período da tarde ou no perí-odo da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação no mesmo dia. Houve 7 manhãs e 4 tardes sem avaliação. O número x é divisor natural de:

a) 45

b) 36

c) 20

d) 18

14. (CN)

Sendo X e Y conjuntos em que { }X Y a,b− = e { }X Y c,d∩ = , o conjunto X pode ser:

a) { }∅b) { }a

c) { }a,d

d) { }a,c,d

e) { }a,b,c,d

15. (CN)

Se { }M P 2,4,6∩ = e { }M Q 2,4,7∩ = , logo ( )M P Q∩ ∪ , é:

a) { }2,4

b) { }2,4,6,7

c) { }6

d) { }7

e) { }6,7

16. (CN)

Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% conso-mem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. A porcentagem cor-respondente às famílias que não consomem esses três produtos é:a) 10%b) 3%c) 15%d) 5%e) 12%

17. (CN)

Num colégio, verificou-se que 120 alunos não têm pai professor 130 alunos não têm mãe professora e 5 têm pai e mãe profes-sores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem, pelo menos, um dos pais professor e que não existem alunos irmãos?

a) 125

b) 135

c) 145

d) 155

e) 165

18. (CN)

Considere os conjuntos { }{ }A 1, 1 ,2= e { }{ }B 1,2, 2= e as cinco afirmações:

I. { }A B 1− = ;

II. { } ( )2 B A∈ − ;

III. { }1 A⊂ ;

IV. { }{ }A B 1,2, 1,2∪ = ;

V. { }{ }B A 2− = .

Logo,

a) todas as afirmações estão erradas

b) só existe uma afirmação correta

c) as afirmações ímpares estão corretas

d) as afirmações III e IV estão corretas

e) as afirmações I e IV são as únicas incorretas

19. (CN)

Considere os conjuntos A, B, C e U no diagrama abaixo. A região sombreada corresponde ao conjunto

a) ( )[ ] ( )[ ]A B C B C A− ∩ ∪ ∩ −b) ( ) ( )[ ]A B CC A B C∪ ∪ ∪ −c) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

A B CC A B A C∪ ∩ ∩ ∪ ∩

d) ( ) ( ) ( )[ ]A B A B A C∪ − ∩ ∪ ∩e) ( )[ ] ( )B C A A B∩ − ∪ −

20. (CN)

Dados os conjuntos M, N e P tais que N ⊂ M, n(M ∩ N) = 60% . n (M), n (N ∩ P) = 50% . n (N), n (M ∩ N ∩ P) = 40% . n (P) e n (P) = x% . n (M). O valor de x é:

OBS.: ( )n A indica o número de elementos do conjunto A.

a) 80

b) 75

c) 60

d) 50

e) 45

MATEMÁTICA

26

21. (CN)

Num grupo de 142 pessoas, foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A , B e C e constatou-se que:

I. 40 não assistem a nenhum dos três programas;

II. 103 não assistem ao programa C ;

III. 25 só assistem ao programa B ;

IV. 13 assistem aos programas A e B ;

V. O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade dos que assistem somente a A e B ;

VI. 25 só assistem a 2 programas;

VII. 72 só assistem a um dos programas.

Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem

a) ao programa A é 30.

b) ao programa C é 39.

c) aos 3 programas é 6.d) aos programas A e C é 13.

e) aos programas A ou B é 63.

22. (CN)

Sejam U o conjunto das brasileiras, A o conjunto das cariocas, B o conjunto das morenas e C o conjunto das mulheres de olhos azuis. O diagrama que representa o conjunto de mulheres more-nas ou de olhos azuis, e não cariocas, ou mulheres cariocas e não morenas e nem de olhos azuis é:a)

b)

c)

d)

e)

23. (CN)

Sejam os conjuntos

A = {x ∈ | x = 6n + 3, n ∈ } e

B = {x ∈ | x = 3n, n ∈ },

em que é o conjunto dos números inteiros. Então, A ∩ Bé igual a:

a) { }x | x é par e múltiplo de 3∈

b) { }x | x é ímpar e múltiplo de 3∈

c) { }x | x é múltiplo de 3∈

d) { }x | x é múltiplo de 6∈

e) { }x | x é ímpar∈

24. (CN)

Sejam os conjuntos { }A 1,3,4= , { }B 1,2,3= e X. Sabe-se que qual-quer subconjunto de A B∩ está contido em X, que, por sua vez, é subconjunto de A B∪ . Quantos são os possíveis conjuntos X?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

25. (CN)

Observe os conjuntos { } { }{ }A 3, 3 ,5, 5= e { }{ }B 3, 3,5 ,5= . Sa-bendo-se que ( )n X representa o numero total de elementos de um conjunto X , e ( )P X é o conjunto formado por todos os sub-conjuntos do conjunto X , pode-se afirmar que:

a) ( )n A B 3∩ =b) ( )n A B 7∪ =c) ( )n A B 2− =d) ( )( )n P A 32=e) ( )( )n P B 16=

27

MATEMÁTICA

27

26. (CN)

Em uma classe de x alunos, o professor de matemática escreveu, no quadro de giz, um conjunto A de n elementos. A seguir, pediu que, por ordem de chamada, cada aluno fosse ao quadro e escrevesse um subconjunto de A , diferente dos que já foram escritos. Depois de cumprirem com a tarefa, o professor notou que ainda existiam subconjuntos que não haviam sido escritos pe-los alunos. Passou a chamá-los novamente, até que o 18 aluno seria obrigado a repetir um dos subconjuntos já escritos. O valor mínimo de x , que atende às condições dadas, está entre:a) 24 e 30. b) 29 e 35.c) 34 e 40. d) 39 e 45.e) 44 e 50.

27. (CN)Sejam A, B e C conjuntos tais que: { } { }{ }A 1, 1,2 , 3= , { }{ }B 1, 2 ,3= e { }{ }C 1 ,2,3= . Sendo X a união dos conjuntos (A – C) e (A – B), qual será o total de elementos de X?a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

28. (CN)

Numa pesquisa sobre a leitura dos jornais A e B, constatou-se que 70% leem o jornal A e 65% leem o jornal B. Qual o percentual máximo dos que leem os jornais A e B

a) 35% b) 50%

c) 65% d) 80%

e) 95%

01. (EFOMM)

Na Bienal do Livro realizada no Riocentro, Rio de Janeiro, os livros A, B e C de um determinado autor apresentaram os seguintes percentuais de vendas aos leitores:

• 48% compraram o livro A;

• 45% compraram o livro B;

• 50% compraram o livro C;

• 18% compraram os livros A e B;

• 25% compraram os livros B e C;

• 15% compraram os livros A e C;

• 5% não compraram nenhum dos livros.

Qual o percentual de leitores que compraram um, apenas um, dos três livros?

a) 10% b) 18%

c) 29% d) 38%

e) 57%

02. (IME)

Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirma-tivas relacionadas aos conjuntos A , B e C :

I. Se A B∈ e B C⊆ , então A C∈ ;

II. Se A B⊆ e B C∈ , então A C∈ ;

III. Se A B⊆ e B C∈ , então A C⊆ .

Estão corretas:

a) nenhuma das alternativas.

b) somente a alternativa I.

c) somente as alternativas I e II.

d) somente as alternativas II e III.

e) todas as alternativas.

03. (ITA)

Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos, tais que n (A ∪ B) = 8

n (A ∪ C) = 9, n (B ∪ C) = 10, n (A ∪ B ∪ C) = 11 e

n (A ∩ B ∩ C) = 2. Então, n (A) + n (B) + n (C) é igual a:

a) 11

b) 14

c) 15

d) 18

e) 25

04. (ITA)

Sejam X , Y e Z subconjuntos próprios de , não vazios. Com respeito às afirmações:

I. ( ) ( ){ }CC C CX Y X Y X X Y X ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ = ;

II. Se Z X⊂ então ( ) ( )[ ]CZ Y X Z Y X Y∪ ∪ ∪ ∩ = ∪ ;

III. Se ( )CX Y Z∪ ⊂ então CZ X⊂ ;

temos que:

a) apenas (I) é verdadeira.

b) apenas (I) e (II) são verdadeiras.

c) apenas (I) e (III) são verdadeiras.

d) apenas (II) e (III) são verdadeiras.

e) todas são verdadeiras.

05. (ITA)

Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de , tais que (X – Y) ∩ Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z ∩ Y = ∅, W ∩ (X – Z) = {7, 8}, X ∩ W ∩ Z = {2, 4}. Então, o conjunto [ ] [ ]X (Z W) W (Y Z)∩ ∪ − ∩ ∪ é igual a:

a) { }1,2,3,4,5

b) { }1,2,3,4,7

c) { }1,3,7,8

d) { }1,3

e) { }7,8

MATEMÁTICA

28

06. (ITA)

Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que ( ) { }CCB A f,g,h∪ = ,

{ }CB A a,b∩ = e { }CA \ B d,e= , então ( )( )n P A B∩ é igual a:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 4

e) 8

07. (ITA)

Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:

I. A negação de x A B∈ ∩ é: x A∉ ou x B∉ ;

II. A (B C) (A B) (A C)∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ;

III. (A \ B) (B \ A) (A B) \ (A B)∪ = ∪ ∩ .

Destas, é (são) falsa(s):

a) apenas I. b) apenas II.

c) apenas III. d) apenas I e III.

e) nenhuma.

08. (ITA)

Sejam A , B e C subconjuntos de um conjunto universo U . Das afirmações:

I. ( ) ( )C CA \ B \ C A B C= ∩ ∪ ;

II. ( ) ( )CC CA \ B \ C A B C= ∪ ∩ ;

III. ( )CC CB C B C∪ = ∩ ,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas:

a) I. b) II.

c) III. d) I e III.

e) II e III.

09. (ITA)

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que ( ) ( )( ) ( )( )n P A P B 1 n P A B∪ + = ∪ . Então, a diferença ( ) ( )n A n B− pode assumir

a) um único valor.

b) apenas dois valores distintos.

c) apenas três valores distintos.

d) apenas quatro valores distintos.

e) mais do que quatro valores distintos.

10. (ITA)

Dos n alunos de um colégio, cada um estuda, pelo menos, uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos es-tudam Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n .

noTaS

29

MATEMÁTICA

29

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. A 02. E

03. E 04. B

05. C 06. D

07. D 08. C

09. D 10. A

11. C 12. C


01. E 02. E

03. C 04. C

05. E

06. 9

07. 135

08. E 09. B

10. D 11. B

12. D 13. C

14. E 15. B

16. D 17. D

18. E 19. C

20. B 21. B

22. B 23. B

24. B 25. C

26. E 27. C

28. C

DESAFIO mIL

01. E 02. B.

03. D 04. B

05. C 06. C

07. E 08. C

09. A

10. 1ª RESOLUÇÃO:Ao representando as informações do enunciado em um diagrama de Venn, sendo x a quantidade de estudantes que estudam ape-nas Matemática e Química, temos:

( )( ) ( ) ( )

# M F Q n

48%n 28%n 63 x 63 x 28%n 63 n

4%n 63 n 1575

∪ ∪ =⇒ + − + + − + − =⇔ = ⇔ =

2ª RESOLUÇÃO:

( )# M 48% n= ⋅ ; ( )# Q 36% n= ⋅ ; ( )# F 32% n= ⋅ ;( )# F M 8% n∩ = ⋅

# %M F Q n∩ ∩( ) = ⋅4

( ) ( ) ( )# M Q # F Q 63 2# M F Q 63 8%n∩ + ∩ = + ∩ ∩ = +

em que é a quantidade de alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam somente Matemática e Química.

Usando a expressão do princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

# M F Q # M # F # Q

# M F # M Q # F Q # M F Q

100% n 48% n 36% n 32% n 8% n

63 8% n 4% n 4% n 63 n 1575

∪ ∪ = + +− ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅− + ⋅ + ⋅ ⇔ ⋅ = ⇔ =

Nessa resolução, adotamos a notação ( )# A para representar a quan-tidade de elementos de um conjunto finito A para evitar confusão.

MATEMÁTICA

30

noTaS

31

MATEMÁTICA

31

operaçõeS com númeroS naTuraiS e númeroS racionaiS

AbordagemTeórica

1. OPERAÇÕES COm NÚmEROS NATURAIS (N)

1.1 Conjunto dos Naturais ( )

= {0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adi-ção e multiplicação, mas não é em relação à subtração e à divisão.

Propriedades: a, b, c ∈ Tricotomia: Dados a, b ∈ quaisquer, vale uma, e somente

uma, das três alternativas: a = b, a < b ou a > b.Transitividade: (a = b) ∧ (b = c) ⇒ a = c e (a < b) ∧ (b < c) ⇒ a < cAssociatividade: (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc) Comutatividade: a + b = b + a e a . b = b . a Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Distributividade: a . (b + c) = a . b + a . cLei do corte: a + b = a + c ⇔ b = c e a . b = a . c ∧ a ≠ 0 ⇒ b = c

1.2 adição de números naturais

1.3. multiplicação de números naturais

2. CONJUNTO DOS NÚmEROS INTEIROS ( );

{ , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, }= − − −

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à adição, multiplicação e subtração, mas não é em relação à divisão.

Subconjuntos notáveis

Inteiros não-negativos: { }0,1, 2, 3,+ = =

;

Inteiros não-positivos: { }0, 1, 2, 3,− = − − −

;

Inteiros não-nulos: { }* , 3, 2, 1,1, 2, 3,= − − −

;

Inteiros positivos: { }* 1, 2, 3,+ =

;

Inteiros negativos: { }* 1, 2, 3,− = − − −

.

2.1 Subtração

Simétrico ou oposto para a adição:

Para todo a ∈ , existe a− ∈ tal que a + (-a) = 0.

Definição de subtração: a -b = a + (-b)

MINUENDO = SUBTRAENDO + RESTO

2.2 Divisão de Inteiros

Teorema: Se D, d ∈ e b > 0, existem inteiros q e r, univo-camente determinados, tais que D = d . q + r, em que 0 ≤ r < d.

Corolário: d ⋅ q ≤ D < d ⋅ (q + 1)

MATEMÁTICA

32

OBSERVAÇÕES:

1) Se o resto r é igual a zero, a divisão é dita EXATA.

2) O maior resto possível em uma divisão inteira é igual ao divisor menos uma unidade (d - 1).

3) Multiplicando-se o dividendo e o divisor de uma divisão por um número não nulo, o quociente não se altera e o resto fica multiplicado pelo número.

4) O maior número que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente é o divisor menos o resto menos um.

3. REGRAS GERAIS PARA CÁLCULO DO VALOR DE ExPRESSÕES NUmÉRICAS

1) Se a expressão contiver sinais de reunião (parênteses, colchetes ou chaves), deve-se iniciar pelas operações indicadas nos sinais mais interiores.

2) As operações de multiplicação e divisão devem ser efetuadas primeiro, na ordem que aparecerem.

3) As adições e subtrações devem ser efetuadas em seguida, também, na ordem que aparecerem.

Exemplo: Calcule 4 . (25 - 64 ÷ 8 - (3 . 7 - 14) ÷ 7)

4 . (25 - 64 ÷ 8 - (3 . 7 - 14) ÷ 7)=

= 4. (25 - 8 - (21 - 14) ÷ 7) =

= 4 . (25 - 8 - 7 ÷ 7) = 4 . (25 - 8 - 1) =

= 4 . 16 = 64

4. NÚmEROS RACIONAIS E REPRESENTAÇÃO DECImAL DAS FRAÇÕES

4.1 Número racional ou fração ordinária:

Número racional ou fração ordinária é o número que pode

ser colocado na forma pq

, em que p e q são inteiros, q não é zero e m.d.c.(p, q) = 1.

numeradorpdenominadorq

←←

4.2. Frações Equivalentes:

Frações equivalentes são frações que possuem o mesmo valor.

Exemplo: 1 2 52 4 10

= = .

Propriedades:

1) a c

ad bcb d

= ⇔ =

2) Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma fração pelo mesmo numero não nulo, obtém-se uma fração equivalente à primeira.

Exemplo: 3 3 2 64 4 2 8

⋅= =

⋅

4.3 Simplificação:

Simplificar uma fração é obter uma fração equivalente à pri-meira com termos menores. A simplificação só é possível, quando os dois termos admitem um divisor comum, ou seja, quando seu m.d.c. é diferente de 1 .

Exemplo:

12 12 2 616 16 2 8

÷= =

÷

.

4.4. Fração irredutível:

Uma fração é dita irredutível, quando o numerador e o deno-minador são primos entre si, não sendo possível simplificar a fração.

Exemplo:54

.

4.5 Fração própria e fração imprópria:

Fração própria é aquela que tem numerador menor que o denominador.

Exemplo:23

Fração imprópria é aquela que tem numerador igual ou maior que o denominador, podendo ser representada como um número misto.

Exemplo:54

4.6 Número misto:

Número misto é um número que possui uma parte inteira e uma fracionária e é equivalente a uma fração imprópria.

Exemplo: 1 5

14 4

=

33

MATEMÁTICA

33

4.6.1 Transformação de número misto em fração imprópria:numerador

(parte inteira) = denominador

parte inteira × denominador + numerador=

denominador

Exemplo:

1 3 2 1 73

2 2 2⋅ +

= =

4.7 Fração decimal:

Fração decimal é a fração cujo denominador é uma potência de 10.

Exemplo:7

10

e 1351000

4.8 Redução de frações ao mesmo denominador:

Para efetuar a adição e a subtração de frações, assim como para compará-las, é necessário que as frações possuam o mesmo denominador.

A redução de frações ao mesmo denominador consiste em encontrar frações equivalentes às frações originais que possuam denominador comum.

Procedimento:I. Colocam-se as frações na sua forma irredutível;II. Calcula-se o m.m.c. dos denominadores;III.Calcula-se o quociente do m.m.c. por cada um dos deno-

minadores;IV.Multiplicam-se o numerador e o denominador de cada

fração pelo quociente correspondente.Exemplo:

Reduzir ao mesmo denominador as frações , 21 5

e36 6

6,

16

forma irredutível: 3 7 5

, e8 12 6

.

mmc(8, 12, 6) = 24quocientes: 24 ÷ 8 = 3, 24 ÷ 12 = 2 e 24 ÷ 6 = 4.

3 . 3 9 7 . 2 14 5 . 4 20, e

8 . 3 24 12 . 2 24 6 . 4 24= = =

4.9 Comparação de frações:Se duas frações possuem o mesmo denominador, a maior é

a que possui maior numerador.Exemplo:

2 3 45 5 5

< <

Se duas frações possuem o mesmo numerador, a maior é a que tiver menor denominador.

Exemplo:

2 2 2< <

5 4 3

OBSERVAÇÃO:

Da mesma forma que se reduzem frações ao mesmo deno-minador, podemos reduzi-las ao mesmo numerador, o que em certos casos, é útil para compará-los. Use esta técnica

para comparar as frações 2 3

e375 452

4.10 Adição e subtração de frações:

Para somar ou subtrair frações, devemos:

I. Reduzi-las ao mesmo denominador;

II.Somar ou subtrair os numeradores e mantendo-se o deno-minador comum.

a c ad bcb d bd

±± =

Exemplo:

2 3 5 8 9 10 8 9 10 273 4 6 12 12 12 12 12

+ ++ + = + + = =

4.11. multiplicação de frações:

Para multiplicar frações, multiplicam-se os numeradores e os denominadores.

a c acb d bd

⋅ =

Exemplo:

5 3 5 3 157 4 7 4 28

⋅⋅ = =

⋅

4.12 Divisão de frações:

Para dividir frações, multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda.

a c a db d b c

÷ = ⋅

Exemplo:

5 3 5 4 5 4 207 4 7 3 7 3 21

⋅÷ = ⋅ = =

⋅

4.13 Número decimal:

As frações decimais podem ser escritas na notação de núme-ro decimal, de acordo com o sistema de numeração de base 10, segundo o qual um algarismo escrito à direita de outro representa unidades 10 vezes menores.

Exemplo:

70,7

10=

e

423542,35

100=

MATEMÁTICA

34

Todo número racionalpq

pode ser representado por uma

fração decimal finita ou por uma infinita periódica (dízima peri-

ódica). Reciprocamente, toda fração decimal, finita ou periódica,

representa um número racional.

Os números que possuem representação decimal infinita e

não periódica são chamados irracionais e não podem ser escritos

sob a forma de uma fração irredutível.

4.14 Dízima periódica:

Dízima periódica é um número racional que possui represen-

tação decimal infinita e periódica.

A dízima periódica, em geral, é composta de três partes: par-

te inteira; parte não periódica e período.

Exemplo:

Na dízima periódica 1,25434343..., a parte inteira é 1, a par-

te não periódica é 25 e o período é 43.

Outras notações para indicar a repetição do período:

( )1,25434343... 1,2543 1,25 43= = .

A dízima que não possui parte não periódica é dita simples,

enquanto a que possui é dita composta.

ImPORTANTE:

Considerando a decomposição em fatores primos do deno-minador de uma fração irredutível, tem-se:

apenas fatores 2 e 5

a fração conver-te-se em um de-cimal exato 2

3 30,15

20 2 5= =

⋅

apenas fatores diferentes de 2 e 5

a fração conver-te-se em uma dízima periódica simples

1 10,030303

33 3 11= =

⋅

fatores 2 ou 5 com outros di-ferentes deles

a fração conver-te-se em uma díz ima periódica composta

1 10,1666

6 2 3= =

⋅

Geratriz de uma dízima periódica é a fração ordinária que dá origem à dízima periódica:

Obtenção da geratriz de uma dízima periódica

Numeradorparte inteira seguida de parte não periódica seguida do período, menos a parte inteira seguida da parte não periódica

Denominador

número formado de tantos 9 quantos fo-rem os algarismos do período, seguidos de tantos 0 quantos forem os algarismos da parte não periódica

Exemplos:

3 10,333...

9 3= =

24 80,242424...

99 33= =

13 1 12 20,1333...

90 90 15−

= = =

213 21 192 322,1333...

90 90 15−

= = =

12345 123 12222 6791,23454545...

9900 9900 550−

= = =

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (FUVEST) A seguir, está representada uma multiplicação em que os algarismos

a, b e c são desconhecidos. Qual é o valor da soma a b c+ + ?

1abc

3

abc4

×

a) 5b) 8c) 11d) 14e) 17

02. (CN ) Considere a seguinte subtração, em que x, b e z são algarismos:

6 8 4 x

x 6 8 4

b x b z

−

Logo, x b z+ + é igual a:a) 11b) 12c) 13 d) 14e) 15

03. (EPCAR) O divisor de uma divisão aproximada é 30 e o resto é 23. O maior número que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente é:a) primob) ímparc) maior do que 7d) múltiplo de 3e) múltiplo de 7

35

MATEMÁTICA

35

04. (EPCAr)

O produto de quatro números ficou valendo 1200, depois que multi-

plicou-se o primeiro por 2, o segundo por 3, dividiu-se o terceiro por

4 e o quarto por 5. Antes de efetuar tais operações, pode-se afirmar

que o produto inicial era um número:

a) múltiplo de 13

b) divisor de 800

c) múltiplo de 29

d) divisor de 8000

e) ímpar e maior que 3000.

05. (CMRJ)

Quando o natural P é dividido pelo natural D , o quociente é Q e o resto é R . Quando Q é dividido por d , o quociente é q e o resto é r . Considerando que o resto é sempre menor que o divisor, assinale o resto da divisão de P por D d⋅ :

a) R D r+ ⋅

b) r D R+ ⋅

c) R r⋅

d) R

e) r

06. (FGV)

Simplificando a fração 3

14

23

5

++

, obteremos:

a) 5173

b) 4769

c) 4971

d) 4567

e) 5375

07. (CEFET)

Assinale a forma irredutível do número:

13 2 4,25 11,333

20,28333 60

÷ + ÷

⋅

a) 1/289

b) 9/289

c) 125/100

d) 0,125

e) 9

08. (CN)

Ao dividir-se a fração 3 5 pela fração 2 3 , encontrou-se 2 5 .

Qual é, aproximadamente, o percentual do erro cometido?

a) 35,55%

b) 45,55%

c) 55,55%

d) 65,55%

e) 75,55%

09. (CN) Sejam A, B, C e D números naturais maiores que 1.

Para que a igualdade

AB

BCADCD

=

seja verdadeira, é necessário que:

a) 3

2 B CA

D=

b) 2B C AD=c) 4 4 4A B C=

d) 2

2

A BD C

=

e) 3 2B C=

10. (CN)

Um certo professor comentou com seus alunos que as dízimas peri-

ódicas podem ser representadas por frações em que o numerador e

o denominador são números inteiros e, neste momento, o professor

perguntou aos alunos o motivo pelo qual existe a parte periódica. Um

dos alunos respondeu justificando corretamente que, em qualquer

divisão de inteiros:

a) o quociente é sempre um inteiro.

b) o resto é sempre um inteiro.

c) o dividendo é o quociente multiplicado pelo divisor, adicio-nado ao resto.

d) os possíveis valores para o resto têm uma quantidade limita-da de valores.

e) que dá origem a uma dízima, os restos são menores que a metade do divisor.

11. (CN) Um aluno, ao efetuar a divisão de 13 por 41, foi determinan-

do o quociente até a soma de todos os algarismos por ele escritos.

Na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530. Quantas

casas decimais ele escreveu?

a) 144

b) 147

c) 145

d) 148

e) 146

MATEMÁTICA

36

12. (CN)

Sobre o número 19378192

, podemos afirmar que é:

a) uma dízima periódica simples

b) uma dízima periódica composta

c) um decimal exato com 12 casas decimais

d) um decimal exato com 13 casas decimais

e) um decimal exato com 14 casas decimais

13. (CN)

Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais com-postos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é a dízima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é:

a) 16

b) 256

c) 1024

d) 2048

e) maior que 3000

14. (CN)

A representação decimal do número ( ) 1a b c2 3 5−

⋅ ⋅ , por ser a , b e

c números naturais, é uma dízima periódica composta. Com isso,

pode-se afirmar que, necessariamente:

a) a 0, b 0 e c 0= ≠ ≠ .

b) a 0, b 0 e c 0≠ ≠ = .

c) a 0, b 0 e c 0≠ = ≠ .

d) a 0 ou c 0 e b 0≠ ≠ ≠ .

e) a 0, b 0 e c 0≠ ≠ ≠ .


01.

O valor de ( )( )( )( )( )2006 2005 2004 3 2 1− − − − − − é igual a:

a) 1001 b) 1002

c) 1003 d) 2001

e) 2002

02.

Um aluno, ao efetuar uma adição de quatro parcelas, encontrou no total 1234, porém, esse aluno cometeu os seguintes erros: 197 a mais na primeira parcela; 219 a menos na segunda; 345 a mais na terceira e 435 a menos na quarta. A soma correta era:

a) 1326 b) 1336

c) 1346 d) 1356

e) 1366

03. (CEFET)

Se a 0≠ , quais das seguintes sentenças são verdadeiras?

I – ( ) ( )ab c a bc⋅ = ⋅ ;

II – ( ) ( )a b c ab c⋅ + = + ;

III – ( ) ( ) ( )a b c ab ac⋅ + = + .

a) somente I

b) somente II

c) somente III

d) somente I e II

e) somente I e III

04. (CEFET)

O produto de três números é p . O produto das metades desses números é:

a) 2p

b) p2

c) p4

d) p2

e) p8

05. (UNICAMP)

A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1994 deixa resto

148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

a) 2148

b) 148

c) 154

d) 6

e) 994

06. (UFRJ)

Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5,

quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

a) 41

b) 21

c) 17

d) 14

e) 6

07. (CEFET)

Ao saber que k, x e y são números naturais, sendo k um número

ímpar não terminado em 5 e 2 x y

kT

3 4 5=

⋅ ⋅ um número com exa-

tamente quatro casas decimais, podemos afirmar que:

a) k é múltiplo de 3, x 4= e y 4=b) k é composto, x 2= e y 4=c) k é divisível por 3, x 1= e y 5=d) k é primo, x 0= e y 1=e) k é um quadrado perfeito, x 2= e y 2= .

37

MATEMÁTICA

37

08. (CMRJ)

A fração 3713

pode ser escrita sob a forma 1

21

x1

yz

++

+

, em que

( )x,y,z é igual a:

a) ( )11,2,5

b) ( )1,2,5

c) ( )5,2,11

d) ( )13,11,2

e) ( )1,5,2

09. (CMRJ)

Sendo n um número inteiro e positivo, o valor do produto abaixo vale:

1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 3 4 2n 2n 11

1200

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

a) 0

b) 198200

c) 1

d) 200199

e) 201200

10. (EPCAR)

As frações pq

e rs

são irredutíveis. Assim, p rq s

⋅ será irredutível,

a) se os denominadores forem primos entre si.

b) se o denominador de cada fração for primo com o denominador da outra.

c) sempre

d) se os numeradores forem primos entre si.

e) nunca.

11. (EPCAR)

O produto de duas frações equivalentes a 56

e 37

, tais que o

numerador da primeira seja igual ao denominador da segunda é:

a) 13

b) 3

14

c) 5

14

d) 143

e) 145

12. (EPCAR)

O valor numérico da expressão

10,625 0,7773

2 843

− ÷ −

é:

a) – 9

b) – 6

c) 9

10−

d) 937

−

e) 745

−

13. (EPCAR)

Uma fração equivalente a 1524

, cuja soma dos termos seja 78, tem

como diferença positiva dos mesmos termos o valor:

a) 6

b) 9

c) 18

d) 27

e) 36

14. (EPCAR)

Considere a expressão 3

10,6 0,3

30,3636361 32 8

⋅ −+

− ÷

. O seu valor é:

a) 7

110

b) 73

110

c) 109330

d) 131330

e) 109110

15. (EPCAR)

Uma aeronave voou no primeiro dia de uma viagem 35

do per-

curso. No segundo dia, voou 23

do que faltava e, no 3º dia, com

pletou a viagem voando 800 km. O percurso total, em km, é um número:

a) divisor de 12×103 b) divisor de 103

c) múltiplo de 104

d) múltiplo de 20×103

16. (EPCAR) Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas,

29

do que tem na bolsa.

Gasta depois 37

do resto em verduras e ainda lhe sobram R$ 8,00. Ela

levava, em reais, ao sair de casaa) 45,00b) 36,00c) 27,00d) 18,00

MATEMÁTICA

38

17. (EPCAR)

A soma de dois números é 475 e, se dividirmos o maior por 16 e o menor por 3, encontramos resto zero e quocientes iguais. Encon-tre os dois números e selecione a opção INCORRETA.

a) Um deles é quadrado perfeito.

b) O maior divisor comum dos números é 75.

c) O quociente do maior pelo menor é uma dízima periódica.

d) O menor múltiplo não nulo comum aos números é 1200.

18. (EPCAR)

Dois atletas iniciam juntos uma marcha. O comprimento do passo do primeiro é

23

do comprimento do passo do segundo. Enquan-to o primeiro dá 5 passos, o segundo dá 4. Tendo o primeiro atle-ta percorrido 60 km, pode-se dizer que o segundo terá percorrido

a) 32 km b) 50 km

c) 72 km d) 90 km

19. (CN)

O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela dividi-da pela menor dá quociente 4 e resto 3. Achar o produto dessas duas partes:

a) 240 b) 136

c) 217 d) 105

e) 360

20. (CN)

A divisão de um número inteiro e positivo A pelo número inteiro e positivo B dá quociente Q e deixa resto R . Se aumentarmos o dividendo A de 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B , a divisão dá exata e o quociente aumenta 2 unidades. O menor valor da soma A B+ que satisfaz as condições acima é:

a) 9 b) 11

c) 8 d) 10

e) 13

21. (CN)

O número inteiro e positivo N de dois algarismos, quando dividido por 13, dá quociente A e resto B e, quando dividido por 5, dá quociente B e resto A. A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima dá:

a) 160 b) 136

c) 142 d) 96

e) 84

22. (CN)

Seja P o produto de 3 números positivos. Se aumentarmos dois deles de 20% e diminuirmos o outro de 40%, teremos que P:

a) não se altera

b) aumenta de 13,6%

c) aumenta de 10%

d) diminui de 10%

e) diminui de 13,6%

23. (CN)

Dados os números:

A 0,27384951=B 0,27384951=C 0,27384951=D 0,27384951=E 0,27384951=F 0,2738495127989712888...=Podemos afirmar que:

a) A F E C D B> > > > >b) A F B D C E> > > > >c) F C D B A E> > > > >d) B C A F E D> > > > >e) E A C D F B> > > > >

24. (CN)

Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocan-do-se um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 alga-rismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é:

a) 5

b) 7

c) 8

d) 9

e) 11

25. (CN)

Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo × − , no qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismos para toda a expres-são. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos são todos distintos, o menor valor possível para toda a expressão é

(Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo)

a) 123

b) 132

c) 213

d) 231

e) 312

39

MATEMÁTICA

39

01.

Na seguinte soma, quanto valem x, y e z?

x x x x

y y y y

z z z zy x x x z

+

02.

Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:

1 a b

b 3

* * *

* * *

1 c c 0 1

×

Calcule a + b + c.a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 11

03. (IME) No produto abaixo, o “*” substitui algarismos diferentes de “3” e não necessariamente iguais. Determine o multiplicando e o mul-tiplicador.

** 3*

** 3

3***

*** 3 3

****

*******

×

04.

Os números naturais a e b são, tais que a b 2007+ = , b 0≠ e na divisão de a por b, obtém-se resto igual ao quociente. A soma de todos os valores possíveis de a é:

a) 4261

b) 4263

c) 4265

d) 4267

e) 4269

05.

Qual das 5 frações é a maior?

a) 2503887654125038876543

b) 2503887654325038876545

c) 2503887654525038876547

d) 2503887654725038876549

e) 2503887654925038876551

06.

Considere os números e marque a opção correta:1 3 5 99

x2 4 6 100

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e 2 4 6 100

y3 5 7 101

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a) x > y

b) 1

x10

<

c) 1x

10>

d) 1x

10=

e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

noTaS

MATEMÁTICA

40

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. D 02. C

03. D

04. Números: a, b, c ,d

( ) ( ) c d2a 3b 1200

4 5 ⋅ ⋅ ⋅ = ⇔

4 5

a b c d 1200 40002 3

⋅⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅

05. A 06. A

07. D 08. C

09. C 10. D

11. D 12. D

13. B 14. D


01. C 02. C

03. E 04. E

05. C 06. C

07. B 08. E

09. E 10. B

11. C 12. C

13. C 14. B

15. A 16. D

17. B 18. C

19. C 20. B

21. A 22. E

23. E 24. C

25. B

DESAFIO mIL

01. RESPOSTA: x = 9, y = 1 e z = 8

SOLUÇÃO:

Numa adição de três parcelas, podemos ter, no máximo “vão 2”. Temos, então, duas possibilidades:

x y z z 10+ + = + ⇔ x y 10+ =ou x y z z 20+ + = + ⇔ x y 20+ = (ABSURDO)

Logo, ao somar x y z+ + , resulta z e “vai 1”.

Na segunda adição, temos:

x y z 1 x 10+ + + = + ⇔ y z 9+ =ou x y z 1 x 20+ + + = + ⇔ y z 19+ = (ABSURDO)

Logo, ao somar x y z 1+ + + resulta x e “vai 1”.

Isso se repete até a última soma na qual o “vai 1” faz aparecer o 5º algarismo do resultado. Logo,

y = 1

y z 9+ = ⇔ z = 8

x y 10+ = ⇔ x = 9

02. D

03. RESPOSTA: 1237 e 893A B 3 C

D E 3

3 FGH

JK L 3 3

MN PQ

RSTUV X Z

×

Vamos substituir os asteriscos por letras.

Primeiro, analisaremos o produto 3 AB3C× . Como o resultado possui quatro algarismos e começa por 3, conclui-se que A 1= e não há “vai 1” no produto 3 x B, em que { }B 0,1, 2∈ .

Vamos analisar agora o produto E x 1 B3C.

Como o resultado possui 5 algarismos, devemos ter “vai 1” na última multiplicação que é E x 1. A multiplicação E x B é, no má-ximo, 18, logo “vão” para E x 1, no máximo 2. Assim, E deve ser 8 ou 9. Mas, notando que E x C termina em 3, E deve ser ímpar, então E = 9, C = 7 e J = 1, H = 1, G = 1, Z = 1, X = 4, { }K 0,1∈ e B 0≠ .

Nesse estágio, o maior número possível é 1237 x 993 = 1228341, logo R = 1.

Observando as somas, temos que em K + N, mesmo que tenha recebido 2, vai mandar no máximo 1. Logo, J + M = 1 + M vai receber no máximo 1 e, para que haja “vai 1”, { }M 8, 9∈ . M apa-rece como resultado do produto D x 1, como B é pequeno, então

{ }D 8, 9∈ .Mas, D não pode ser 9, pois isso faria com que Q fosse 3 o que contraria o enunciado, então D 8= , M 9= , Q 6= .

Agora, estamos com duas possibilidades:

1137 893 1015341× = e 1237 893 1104641× =Como a primeira delas apresenta 3 no resultado, ela não é aceitável.

Logo, o multiplicando é 1237 e o multiplicador é 893.

04. D 05. E

06. B

41

MATEMÁTICA

41

AbordagemTeórica

1. SISTEmAS DE NUmERAÇÃO

O nosso sistema de numeração chama-se hindu-arábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números.

Algarismos da base 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Os números restantes são representados por combinações destes símbolos.

Desta forma, escreve-se 75 para representar 7 10 5× + e 234 para representar 22 10 3 10 4× + × +

Em geral, tem-se:

n n 1 2 1 0 10

n n 1 2 1n n 1 2 1 0

(a a a a a )

10 a 10 a 10 a 10 a a−

−−

=

= + + + + +

em que ia {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∈Os números podem ser escritos em diversas bases de nu-

meração, conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que utilizamos o nosso sistema de base 10, devido à nossa quantidade de dedos, o que facilitaria o processo de contagem primitivo, to-mando os dedos como base.

Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal.

No sistema de base 2, os algarismos utilizados são 0 e 1, e os primeiros números são escritos:

( ) ( )2 101 1=( ) ( )10210 2=( ) ( )2 1011 3=( ) ( )102100 4=( ) ( )2 10101 5=( ) ( )2 10110 6=( ) ( )2 10111 7=Em geral, quando representamos os números da base 10,

omitimos o subíndice.

SiSTemaS de numeração

2. mUDANÇA DE UmA BASE QUALQUER PARA A BASE 10

Um sistema de numeração de base b se relaciona com a base 10 da seguinte forma:

n n 1 2 1 0 b

n n 1 2 1n n 1 2 1 0

(a a a a a )

b a b a b a b a a−

−−

=

= + + + + +

em que ia {0,1,2,3, ,b 1}∈ −

Na expressão acima, podemos notar que, num sistema de base b, são usados b algarismos e o maior algarismo é (b – 1). Por exemplo, o sistema de base 6 possui 6 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Exemplos:( )623 2 6 3 15= × + =( ) 2

6145 1 6 4 6 5 65= × + × + =( ) 3 2

21011 1 2 0 2 1 2 1 11= × + × + × + =Caso a quantidade de algarismos exceda 10, utilizamos letras

maiúsculas do nosso alfabeto. Desta forma, os algarismos são: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F; G; ..., em que A equivale a 10 unidades de base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante.

OBSERVAÇÃO:

É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para re-presentar que essas variáveis são algarismos que compõem um número.

Por exemplo, para a base 10:

número de 2 algarismos xy 10x y= +

número de 3 algarismos xyz 100x 10y z= + +

Este tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.Exemplo:(EsPCEx 1985) A soma dos dois algarismos de um número é 8 e a diferença entre esse número e o que se obtém, pela inversão da ordem dos mesmos algarismos, é 18. Determine o número. Resolução:Seja o número de dois algarismos x e y, N xy= , tem-se:

( ) ( )xy yx 18 10x y 10y x 18− = ⇔ + − + =( )9 x y 18 x y 2⇔ − = ⇔ − =

MATEMÁTICA

42

3. mUDANÇA DE BASE 10 PARA UmA BASE QUALQUER

Já sabemos como relacionar um número em uma base qual-quer com seu correspondente na base 10. Agora, vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10.

Para passar um certo número da base 10 para uma base qual-quer b, deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representação nesta nova base é dada pelo resto assim obtido tomado na ordem contrária.

Por exemplo: ( ) 2171 10101011=

4. mUDANÇA ENTRE BASES DIFERENTES DA BASE 10

Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra base também diferente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e, então, para a nova base.

Exemplo:

Escrever ( )76165 no sistema de base 12 .

( ) 3 276165 6 7 1 7 6 7 5 2154= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

Fazendo divisões sucessivas:

2154 12

6 179 12

11 14 12

2 1

Temos, ( )122154 12B6= e, portanto, ( ) ( )7 126165 12B6= .

EXERCÍCIOS DE AULA

01.

O número 47 na base representa o mesmo número que 74 na base b. Supondo que ambas as bases são inteiros positivos, qual o mínimo valor possível de a + b?

02.

O número ( )524,3 corresponde na base 10 a:

a) 14,8

b) 15,6

c) 14,6

d) 13,8

e) 13,6

03. (CN)

Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é:

a) 100.006.

b) múltiplo de 11.

c) múltiplo de 4.

d) múltiplo de 180.000.

e) divisível por 5.

04. (IME)

Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P é cons-truído, agregando-se o algarismo 1 à direita de N assim como o número Q, porém à esquerda N é construído, agregando-se o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendo-se que P é o triplo de Q, o algarismo das centenas do número N é:

a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

05.

Quando 9410 94− é desenvolvido, a soma de seus algarismos é:

a) 19

b) 94

c) 828

d) 834

e) 840

43

MATEMÁTICA

43

06. (CN)

A soma dos algarismos na base 10 de ( )3 2n10 3+ , em que n é um

número inteiro positivo, é:a) 16 b) 13c) 13n d) 3n 3+e) 6 3n 2n 1+ +

07. (CN)O cubo de ( )b12 é ( )b1750 . A base de numeração b é:a) primob) ímpar e não primoc) par menor que 5d) par entre 5 e 17e) par maior que 17

08.

Após cair no chão, uma máquina de calcular passou a apresentar o resultado das contas em outra base de numeração. Ao tentar utilizá-la, foram os seguintes os resultados:

3 5 17× =6 5 36× =

Se for feita a conta 4 5× , qual será o resultado?a) 18 b) 20c) 24 d) 26e) 28

09. (CN)Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos in-do-arábicos e o valor posicional do algarismo do numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo: no número 3452, tem-se:1ª Ordem: 3;2ª Ordem: 4;3ª Ordem: 5;4ª Ordem: 2.Além disso, cada 7 unidades de uma ordem forma 1 unidade da ordem registrada imediatamente à direita. Com base nesse siste-ma, coloque (E), quando a operação for efetuada erradamente e, (C) quando efetuada corretamente. Lendo o resultado da esquer-da para a direita, encontramos:

245 620 360461 555 4543 416 543

( ) ( ) ( )

− + ×

a) E E E b) E C C

c) C E C d) C C E

e) C C C

10. (CN)

O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração, o número dado é escrito com três algarismos?

a) 1 b) 3

c) 5 d) 7

e) 9


01.

Considere um inteiro x e um inteiro y, este com dois algarismos. Justapondo-se o número y à direita do número x, encontramos um valor que excede x em 248 unidades. Determine a soma x + y..

a) 52

b) 64

c) 128

d) 58

e) 68

02.

Sabendo que ( ) ( ) ( )bb b57 33 112+ = então ( ) ( )b b57 33⋅ é igual a:

a) ( )b2356

b) ( )b2365

c) ( )b2536

d) ( )b2563

e) ( )b26315

03.

Justapondo-se 82 à esquerda de um número x, obtém-se o número z. Ao justapor 36 à direita do mesmo número x, obtém-se o número y. Se y z 1563+ = , determine a soma dos algarismos de x.

a) 15

b) 7

c) 18

d) 10

e) 5

04.

Um astronauta da Terra, ao chegar a Marte, encontrou uma caixa com a inscrição: Contém 12 esferas. Entretanto, ao abrir a caixa, o astronauta encontrou apenas 8 esferas. Quantos dedos deve ter a mão de um marciano?

05. (CEFET)

Num sistema de numeração de base 6, o numeral mais simples de 51 se escreve ∆∇. Neste mesmo sistema, qual é o numeral mais simples de 81?

a) ∇∆b) ∆∇

c) ∆∇ d) ∇∆

e) ∇ ∆

MATEMÁTICA

44

06. (CEFET)

Num sistema de numeração de base 5, o numeral mais simples de 51 é Τ ^. Neste mesmo sistema e usando os mesmos símbolos, qual é o numeral mais simples de 35?

07. (CEFET)

Os cubos da figura seguinte foram contados, primeiro, no sistema de base 2, em seguida no sistema de base 8 e, finalmente, no sistema decimal. Os resultados obtidos, nessa ordem, foram:

a) 1010011; 123; 83

b) 1100101; 321; 73

c) 1100110; 273; 83

d) 83; 123; 1010011

e) 37; 321; 1110001

08. (CEFET)A data de hoje é 25/11/89. Se você fosse escrever essa data no sistema de numeração de base 8, a forma correta seria:a) 30/10/70b) 13/31/131c) 31/13/131d) 31/11/113e) 52/11/78

09. (CEFET)Escreva o numeral equivalente a doze dúzias no sistema de nu-meração de base 4.

10. (CEFET)

No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de 23 é:

a) 11101 b) 10111

c) 1100 d) 1001

e) 11

11. (CEFET)

A tabela abaixo está escrita no sistema binário. Determine o últi-mo elemento que satisfaça a sequencia:

1010 101 10 1

1011 110 11 100

1100 111 100 1001

1101 1110 1111 .....

a) 10000

b) 10001

c) 10010

d) 10011

e) 10100

12. (CEFET)

“O setor público registra déficit de R$ 33,091 bilhões em 1994”. Se x é igual ao número de zeros dessa quantia, desprezados os ze-ros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é:

a) 10(2)

b) 100(2)

c) 101(2)

d) 110(2)

e) 111(2)

13. (CEFET)

No numeral ( ) 311221 , qual o valor relativo do algarismo que ocupa a segunda ordem, quando escrito no sistema decimal?

14. (CEFET)

O número 27 está escrito no sistema de numeração decimal. Quando escrito no sistema de numeração cuja base é 4, repre-sentamo-lo por ( )4abc . Qual é a representação do número ( )4cba no sistema decimal?

15. (CMRJ)

Considere a seguinte afirmativa: “Somando-se 45 unidades a um número, cujo numeral tem dois algarismos, obtém-se outro núme-ro, cujo numeral tem os mesmos algarismos em ordem invertida.” Se, no numeral inicial, u indicar o algarismo das unidades e d, o das dezenas, uma equação que poderá representar a afirmativa dada é:

a) u = 6d

b) u – 3d = 3

c) u – d = 5

d) du = ud + 45

e) ud = du + 45

16. (EPCAR)

Um número de três algarismos a, b e c, nessa ordem, (a > c) é tal que, quando se inverte a posição dos algarismos a e c e subtrai-se o novo número do original, encontra-se, na diferença, um núme-ro terminado em 4. Essa diferença é um número cuja soma dos algarismos é:

a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

17. (EPCAR)

O produto de um número inteiro A de três algarismos por 3 é um número terminado em 721. A soma dos algarismos de A é

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

45

MATEMÁTICA

45

18. (CN)

Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os mesmos algarismos de N , na ordem inversa, então M N+ é necessariamente múltiplo de:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

19. (CN)

Os números ( )735041000 , ( )711600 e ( )762350000 estão na base 7 . Esses números terminam, respectivamente, com 3 , 2 e 4 zeros. Com quantos zeros terminará o número na base decimal

2012n 21= , na base 7 ?

a) 2012

b) 2013

c) 2014

d) 2015

e) 2016

01.

Viajando por uma estrada, Sá Bido passa por um marco quilométri-co onde está escrito um número de dois algarismos. Mais adiante, passa por outro marco, no qual os mesmos dois algarismos estão escritos, mas na ordem contrária. Mais outro trecho de estrada e passa por um novo marco, este com três algarismos: os mesmos do primeiro marco separados por um zero. Ele notou que a distância entre os dois primeiros marcos é igual à distância entre os dois últi-mos. Qual a soma dos valores dos dois primeiros marcos?

a) 77 b) 88

c) 99 d) 66

e) 55

02.

Seja N um número de 4 algarismos. Sabe-se que a soma dos qua-drados dos algarismos extremos é igual a 13 a soma dos quadra-dos dos algarismos do meio é 85, e, ao se subtrair 1089 de N, o resultado é um número que possui os mesmos algarismos de N, mas em ordem contrária. O produto dos algarismos de N:

a) é maior que 82 .

b) é múltiplo de 33 .

c) é um quadrado perfeito.

d) possui 18 divisores positivos.

03.

O preço de um carro usado é mostrado, em reais, em 4 cartões sobre o para-brisa. Cada cartão mostra um dígito. Se o cartão com o dígito do milhar voar com o vento, o preço mostrado será 49 vezes menor que o original. Qual o número no cartão do milhar?

a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 9

04.

A representação decimal de um número natural a consiste de n algarismos, enquanto a representação decimal de 3a consiste de m algarismos. Assinale, dentre os valores abaixo, aquele que m n+ não pode assumir:

a) 2007 b) 2008

c) 2009 d) 2010

e) 2011

05.

Determine 4a, sabendo que 1 2 3 4695 a a 2! a 3! a 4!= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ,

em que ka ( )k 1,2,3,4,= é um inteiro tal que k0 a k≤ ≤ e

n! 1 2 3 4 n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, ( )n 1,2,3,4,= .

06. (IME)

Demonstre que, se M = (14641)b , então, independentemente da base considerada, M é quadrado perfeito.

a) Determine a representação de M na base b + 1.

b) Determine a representação de M = (14654)b na base b + 1 .

07.

Seja 2008 algarismos

n 999 999=

. Quantos "9" há na representação decimal de 3n ?

a) 6021 b) 6020

c) 4015 d) 4014

e) nenhum

08.

Sejam a, b, n, p, q, r e x algarismos nas bases de numeração in-dicadas, tais que ( )7aba nnn= e ( ) ( )

b n aa nn a a pqr

− ++− − = . O valor

de x tal que ( )7x0 p q r= + + é

a) 3 b) 1

c) 4 d) 2

e) 5

09.

Sejam x, y, z e w números inteiros tais que 2x + 2y + 2z + 2w = 20993.

A soma x y z w+ + + é igual a:

a) 40 b) 38

c) 36 d) 35

e) 32

MATEMÁTICA

46

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. 24. 02. C

03. B 04. E

05. D 06. A

07. D 08. C

09. B 10. E


01. A 02. B

03. B 04. 3

05. B 06. ^Τ

07. A 08. C

09. 21004 10. B

11. A 12. E

13. 6. 14. 57.

15. C 16. C

17. B 18. E

19. A

DESAFIO mIL

01. A 02. D

03. B 04. C

05. 3

06. a) ( ) ( )b 1100 +

b) ( ) ( )b 110012 +

( ) ( ) 44 3 2b

M 14641 1 b 4 b 6 b 4 b 1 b 1= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = +Logo, M é um quadrado perfeito.

a) ( ) ( ) ( ) ( )4 2

b 1M b 1 b 1 100 += + = + =

b) ( ) 4 3 2b

M 14654 1 b 4 b 6 b 5 b 4= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )4

b 1M b 1 b 1 2 10012 += + + + + =

07. C 08. B

09. D

noTaS

47

MATEMÁTICA

47

AbordagemTeórica

1. CONTAGEm

1.1. Quantidade de números inteiros em um intervalo

Se n e p são números naturais com n > p, o número de na-turais entre n e p, inclusive, (isto é, contando também n e p), é igual a n – p + 1.

Se, no cômputo, incluirmos apenas um dos extremos, a quantidade de naturais é n – p.

O número de naturais entre n e p, exclusive (i.é, excluindo os dois extremos), é igual a n – p – 1.

Exemplos:

1) Entre 5 e 15, inclusive, há (15 – 5 + 1) = 11 números;

2) Entre 5 e 15 excluindo o 5 há (15 – 5) = 10 números;

3) Entre 5 e 15, exclusive (sem os dois extremos), há (15 – 5 – 1) = 14 números.

As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem in-versa, como no exemplo abaixo:

Exemplo:

Qual o vigésimo número após 15?

Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35.

Muitas vezes, precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Deve-se proceder como ocor-reu acima, considerando os números divididos por k.

Exemplo:

Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos?

Os números escritos vão de 3×11 até 3×111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111, inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números.

conTagem

Exemplo:

Quantos são os múltiplos positivos de 7 menores que 1000?

Nesse caso, os números vão de 7 1 7⋅ = até 7 142 994⋅ = , logo devemos contar a quantidade de números de 1 a 142, isto é, (142 1) 1 142− + = números.

1.2. Contagem da quantidade de algarismos

Outras vezes é solicitado que se contém a quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é necessário calcular quantos nú-meros são escritos com cada quantidade de algarismos.

Exemplo:

São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos fo-ram escritos?

De 1 a 9, há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo.

De 10 a 99, há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 algarismos.

De 100 a 150, há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos.

Logo, o total de algarismos escritos é 9×1 + 90×2 + 51×3 = 342.

A tabela abaixo mostra a quantidade de números inteiros que se pode formar na base 10 com cada quantidade de algarismos.

QTD DE ALGARISmOS INTERVALO QTD DE NÚmEROS

1 1 a 9 9

2 10 a 99 90

3 100 a 999 900

4 1000 a 9999 9000

5 10000 a 99999 90000

MATEMÁTICA

48

OBSERVAÇÃO:

Seja x um número inteiro positivo de n algarismos. Seja Q (x) a quantidade de algarismos necessários para escrever todos os números inteiros de 0 a x, inclusive. Vale, então, a seguin-te fórmula para Q(x):

( )n10 10

Q(x) n x 19

−= + −

Outra maneira de apresentar a fórmula acima é:

( ) nQ(x) n x 1 1= + −

em que nn algs

1 111 1=

.

Exemplo:

Quantos dígitos são usados, no total, para escrever os núme-ros naturais de 1 a 101000?

( )1001

1000 1000 10 10Q(10 ) 1001 10 1

9

−= + −

1000 1000 100010 10Q(10 ) 1001 10 1001 10

9 9= ⋅ + − ⋅ +

10001000 8999 10 9019

Q(10 )9

⋅ +=

Com frequência é apresentado o problema inverso, em que é fornecida a quantidade de algarismos escritos e perguntado o último número, como no problema da EPCAr que segue.

(EPCAR 1989)

Numerando as casas de uma rua, segundo a sequência dos números naturais, foram usados 852 algarismos. O número de casas existentes na rua é:

a) 170 b) 189

c) 220 d) 222

e) 320

GABARITO: E

RESOLUÇÃO:

1 a 9 → 9 números → 9 1 9⋅ = algs.

10 a 99 → 90 números → 90 2 180⋅ = algs.

100 a 999 → 900 números → 900 3 2700⋅ = algs.

Note-se que a quantidade de algarismos foi ultrapassada, logo o número procurado está entre 100 e 999. Para identi-ficá-lo, basta fazer o seguinte:

100 a x → (x 100) 1− + números → (x 99) 3− ⋅ algs.

Até 99, foram usados 9 + 180 = 189 algs., restam 852 189 663− = algs. a serem usados.

Assim, deve-se ter (x 99) 3 663− ⋅ = , que implica x 320= .

1.3. Contagem em bases de numeração não decimais

Muitos problemas envolvem a contagem de números ou al-garismos em um base de numeração diferente da base 10. Esses problemas são resolvidos de maneira análoga, bastando atentar para o fato de que muda a quantidade de números de cada quan-tidade de algarismos.

A tabela abaixo mostra a quantidade de números inteiros que se pode formar na base 5 com cada quantidade de algarismos.

QTD DE ALGARISmOS

INTERVALO QTD DE NÚmEROS

1 15 a 45 (45 – 15) + 15 = 45 = 4

2 105 a 445 (445 – 105) + 15 = 405 = 20 = 4 . 5

3 1005 a 4445

(4445 – 1005) + 15 = 4005 = 100 = 4 . 52

4 10005 a 44445

(44445 – 10005) + 15 = 40005 = 500 = 4 . 53

5 100005 a 444445

(444445 – 100005) + 15 = 400005 = 2500 = 4 . 5

Vamos usar essas ideias para resolver o seguinte problema do CEFET.

(CEFET 1992)

Um livro possui 50 páginas. Para numerá-las, usando o siste-ma de base 8, são necessários:

a) 133 algarismos

b) 93 algarismos

c) 91 algarismos

d) 86 algarismos

e) 40 algarismos

GABARITO: B

RESOLUÇÃO:

850 62=

81 a 87 → 8 8 8 8(7 1 ) 1 7 7− + = = → 7 1 7⋅ = algs.

810 a 862 → 8 8 8 8(62 10 ) 1 53 5 8 3 43− + = = ⋅ + = →43 2 86⋅ = algs.

Total de algs. = 7 86 93+ = .

49

MATEMÁTICA

49

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Determinar o número de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 a 175, inclusive.

02. (CN)

Um aluno escreveu todos os números naturais desde 1 até 2850. Quantas vezes escreveu o algarismo 7?

03. (CEFET)

Para se escrever, no sistema de numeração de base 8, todos os números de dois algarismos, são necessários:

a) 56 algarismos

b) 70 algarismos

c) 112 algarismos

d) 150 algarismos

e) 180 algarismos

04.

Quantos são os números primos maiores que 100 e menores que 200, nos quais o algarismo das dezenas é par e maior do que o das unidades?

a) um

b) dois

c) três

d) quatro

e) cinco

05. (CN)

Foram usados os números naturais de 26 até 575 , inclusive, para numerar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma li-xeira na casa que tivesse 7 no seu número. Foram compradas 55 lixeiras, assim sendo, podemos afirmar que:

a) O número de lixeiras compradas foi igual ao número de lixei-ras necessárias.

b) Sobraram duas lixeiras.

c) O número de lixeiras compradas deveria ser 100 .

d) Deveriam ser compradas mais 51 lixeiras.

e) Ficaram faltando 6 lixeiras.

06.

Se, à metade dos dias decorridos desde o início de um ano de 365 dias, acrescentamos a terça parte dos dias que ainda faltam para o término do ano, obteremos o número de dias passados. A data considerada foi:

a) 12 de abril b) 28 de abril

c) 14 de maio d) 22 de maio

e) 26 de maio

07.

Sá Bido fez aniversário na terça-feira, 27 de maio, no ano bissexto de 2008. Em que ano, o seu aniversário cairá na próxima vez em um sábado?

a) 2011

b) 2012

c) 2013

d) 2015

e) 2017

08.(CN)

Um livro de 200 páginas vai ser numerado no sistema de nume-ração de base 8. O número na base 10 de algarismos que serão utilizados é:

a) 520

b) 525

c) 530

d) 535

e) 540

09. (CN)

O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a

a) 268

b) 269

c) 270

d) 271

e) 272

10. (CN)

Justapondo-se os números naturais, conforme a representação abaixo, em que o sinal * indica o último algarismo, forma-se um número de 1002 algarismos.

123456789101112131415161718192021 *

O resto da divisão do número formado por 16 é igual a

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

11. (CN)

Qual será o dia da semana,102 na data 17 de setembro de 2009 (considerando que hoje é domingo, 29 de julho de 2007 )?

a) a2 feira.

b) a3 feira.

c) a4 feira.

d) a5 feira.

e) a6 feira.

MATEMÁTICA

50


01. (AFA)A quantidade de números distintos com 4 algarismos, sem repe-tição, que pode ser obtida com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, é:a) 60b) 240c) 300d) 360

02. (UNIRIO)

O Cristo Redentor é uma estátua localizada na cidade do Rio de Janeiro, no morro do Corcovado. Foi inaugurada no dia 12 de outubro de 1931 e, precisamente, 27.298 dias depois da inaugu-ração, no sábado 7 de julho de 2007, foi votada como uma das Novas Sete Maravilhas do Mundo. Determine o dia da semana no qual ocorreu a inauguração do Cristo Redentor.

a) sábado

b) domingo

c) segunda-feira

d) terça-feira

e) quarta-feira

03.

Sá Bido possui uma grande quantidade de 0’s, 1’s, 3’s, 4’s, 5’s, 6’s, 7’s, 8’s e 9’s, mas ele só dispõe de somente vinte e dois 2’s. Até que página, ele poderá numerar as páginas do seu novo livro?

a) 22 b) 99

c) 112 d) 119

e) 199

04.

Um livro possui n páginas numeradas consecutivamente de 1 a n. Sabendo que o algarismo 1 aparece 213 vezes nestes números, sobre o número n, podemos afirmar:

a) é igual a 517

b) é igual a 518

c) 519 n 520≤ ≤d) 521 n 530≤ ≤e) 531 n 540≤ ≤

05.

Se três meses consecutivos de um determinado ano possui cada um deles exatamente quatro domingos, um destes meses é, com certeza:

a) fevereiro

b) março

c) setembro

d) novembro

e) dezembro

06.

Ao observar o calendário de um ano, Sá Bido observou que um certo mês começava em um sábado e o mês seguinte terminava em uma quinta-feira. Em tal ano, o feriado de 7 de setembro ocorreu em:

a) uma terça-feira

b) um domingo

c) um sábado

d) uma quinta-feira

e) uma quarta-feira

07. (CN)

Uma fábrica de fósforo usa as seguintes definições:

Caixa: conjunto de 45 fósforos;

Maço: conjunto com 10 caixas;

Pacote: conjunto com 12maços.

Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22 fósforos por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de fósforos, tais que p m c f+ + + é igual a:

a) 25

b) 26

c) 27

d) 28

e) 29

08. (ESPCEX)

Empregaram-se 1507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será:

a) 555

b) 550

c) 549

d) 545

09. (ESPCEX)

Entre os quadrados de dois números naturais e consecutivos, há 112 números. Calcular o maior dos dois números.

10. (CMRJ)

Daniel estava lendo um livro e, ao olhar o número da página (300), veio em sua mente o seguinte questionamento: “De 1 a 300, quan-tos números inteiros têm a soma de seus algarismos igual a 10?” A resposta ao questionamento de Daniel é:

a) 15 números

b) 16 números

c) 26 números

d) 28 números

e) 30 números

51

MATEMÁTICA

51

11. (CMRJ)

Em certos anos, o mês de outubro, que tem 31 dias, possui exa-tamente quatro terças-feiras e quatro sábados. Nesses anos, o dia da semana a que corresponde o dia 5 de outubro é:

a) domingo b) segunda-feira

c) quarta-feira d) quinta-feira

e) sexta-feira

12. (CMRJ)

Numa confraternização no CMRJ, todos os participantes cumpri-mentaram-se com um aperto de mão, uma única vez. Sabendo que houve 105 apertos de mão, então, o número de pessoas que havia na confraternização era:

a) 210 b) 105

c) 53 d) 15

e) 13

13. (CN)

O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a:

a) 268 b) 269

c) 270 d) 271

e) 272

01.

No planeta Xenon, o ano dura 81 dias. O ano é dividido em 8 meses chamados (surpreendentemente) A, B, C, D, E, F, G e H. Os meses de A a G duram 10 dias, enquanto o mês H dura 11 dias. Os Xeno-nianos têm semanas de 5 dias e os dias da semana são denomina-dos I, II, III, IV e V. Se o sétimo dia do mês C no ano 3571 é o dia IV, que dia da semana é o terceiro dia do mês G no ano de 3578?

a) I b) II

c) III d) IV

e) V

02.

Em um determinado ano, houve exatamente 4 sextas-feiras e 4 segundas-feiras no mês de janeiro. Em que dia da semana caiu o dia 20 de janeiro nesse ano?

a) segunda-feira b) domingo

c) quarta-feira d) sábado

e) sexta-feira

03.

Ordenando todos os números positivos que podem ser expressos como uma soma de 2005 inteiros consecutivos, não necessaria-mente positivos, aquele que ocupa a posição 2005 é:

a) 4016015

b) 4018020

c) 4020025

d) 4022030

e) 4024035

04. (ITA)

Se colocarmos em ordem crescente , todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do nú-mero 61473 será:

a) 76°

b) 78°

c) 80°

d) 82°

e) n.d.a

05.

Seja S {1,2,3,5,8,13,21,34}= . Sá Bido faz uma lista de números da seguinte forma: para cada subconjunto S com dois elementos, ele escreve em sua lista o maior dos elementos deste subconjunto. A soma dos elementos dessa lista é:

a) 480

b) 482

c) 484

d) 486

e) 488

06. (ITA)

Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses números está entre

a) 5.106 e 6.106

b) 6.106 e 7.106

c) 7.106 e 8.106

d) 9.106 e 10.106

e) 10.106 e 11.106

07.

Um livro com 12 páginas necessita de 15 dígitos – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 1, 0, 1, 1, 1, 2 - para numerar todas as páginas. Qual dos seguintes números não pode ser o número de dígitos necessários para numerar as páginas de um livro?

a) 31

b) 543

c) 1998

d) 1999

e) 2001

MATEMÁTICA

52

GABARITO

ExERcícIOs dE AULA

01. 207 02. 865

03. C 04. B

05. D 06. e

07. e 08. C

09. B 10. e

11. D

ExERcícIOs dE ApROfUndAmEnTO

01. C 02. C

03. D 04. C

05. e 06.

06. D

07. A 08. B

09. 57

10. D 11. A

12. D 13. B

dEsAfIO mIL

01. B 02. B

03. C 04. A

05. C 06. B

07. D

NOTAS

53

MATEMÁTICA

53

MATEMÁTICA

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55

MATEMÁTICA

55

AbordagemTeórica

1. DIVISIBILIDADE

Definição: Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0.

Diz-se que a divide b (denotado por a | b) se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q.

A expressão acima significa que a é divisor de b ou de forma equivalente que b é múltiplo de a.

Se a não divide b escreve-se a | b/ .

Exemplo:

2 | 6, pois 6 = 2 . 3; e 3| 10/ , pois não existe inteiro q tal que 10 = 3 . q.

Teoremas: Sejam a, b, c Z.

I. a | 0, 1 | a e a | a

II. Se a | 1, então a = ± 1.

III. Se a | b e c | d, então a . c | b . d.

IV. Se a | b e b | c, então a | c (transitividade).

V. Se a | b e b | a, então a = ± b.

VI. Se a | b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|.

VII. Se a | b e a | c, então a | (bx + cy), ∀ ∈x,y .

1.1. Divisores de um inteiro

O conjunto dos divisores de um número inteiro a é dado por:

D (a) = {x Z* / x | a}.

Exemplo:

D (0) = Z*; D(1) = {–1, 1}; D(8) = {±1, ±2, ±4, ±8}.

Divisores próprios são todos os divisores do número exceto o próprio número.

múlTiploS e diViSoreS

1.2 Divisores comuns de dois inteiros

O conjunto dos divisores comuns de dois inteiros a e b é dado por:

{ } { }D(a,b) x * x | a e x | b x * x D(a) e x D(b) D(a) D(b)= ∈ = ∈ ∈ ∈ = ∩

Exemplo:

( ) { }D 12, 15 1, 3− = ± ± .

2. NÚmEROS PRImOS

Definição: Um inteiro positivo p > 1 é um número primo se, e somente se, 1 e p são os seus únicos divisores positivos.

Exemplo:

São números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... .

Observe que, de acordo com a definição, o número 1 não é um número primo.

Os inteiros maiores que 1 que não são primos, ou seja, tem pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo, são ditos compostos.

Exemplo:

São números compostos 4, 6, 8, 9, 10, ... .

Observe a lista de todos os números primos menores que 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

NOTA:

O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.

Números primos entre si: dois ou mais números são ditos primos entre si quando seu único divisor comum é a unidade.

Exemplo: 6 e 35 são primos entre si.

Teorema: Se p é um primo tal que p | a . b, então p | a ou p | b.

MATEMÁTICA

56

3. TEOREmA FUNDAmENTAL DA ARITmÉTICA

Todo inteiro positivo n > 1 pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.

1 2 k1 2 kn p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ (decomposição canônica)

onde p1, p2, ..., pk são números primos e α1, α2 , ..., αk são inteiros positivos.

Exemplo:Decomponha o número 27720 em um produto de fatores

primos.Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores

primos em ordem crescente como mostrado abaixo:27720 213860 26930 23465 31155 3385 577 711 111

Portanto, 27720 = 23 . 32 . 5 . 7 . 11.

Teorema de Euclides: Há um número infinito de primos.Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então a possui

um divisor primo p a≤ .NOTA:Esse teorema indica um processo para reconhecer se um número a > 1 é primo, bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a.Exemplo: Para verificar se o número 509 é primo, observamos que

22 509 23< < . Assim, devem ser testados os primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por nenhum desses números, conclui-se que 509 é primo.

4. DIVISORES DE Um INTEIRO

Se 1 2 k1 2 kn p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ é a decomposição canônica do

inteiro positivo n > 1, então os divisores positivos de n são números da forma:

1 2 kh h h1 2 kd p p p= ⋅ ⋅ ⋅ , onde 0 ≤ hi ≤ αi (i = 1, 2, ..., k)

Assim, os divisores de um inteiro só podem possuir os seus fatores primos e com expoentes menores ou iguais aos do número.

Exemplo:792 = 23 . 32 . 1112 = 22 . 31 ⇒ 12 | 792

228 2 7 28 | 792= ⋅ ⇒ / (pois 7 não é fator de 792)2 3108 2 3 108 | 792= ⋅ ⇒ /

(pois o expoente do fator primo 3 é maior que 2)

Exemplo:

Os divisores positivos de 60 = 22 . 3 . 5 são 1 = 20 . 30 . 50

2 = 21 . 30 . 50

3 = 20 . 31 . 50

4 = 22 . 30 . 50

5 = 20 . 30 . 51

6 = 21 . 31 . 50

60 = 22 . 31 . 51

30 = 21 . 31 . 51

20 = 22 . 30 . 51

15 = 20 . 31 . 51

12 = 22 . 31 . 50

10 = 21 . 30 . 51

Outro método para obter os divisores de um inteiro consiste em efetuar a sua decomposição em fatores primos. Em seguida, traça-se uma vertical à direita da decomposição e escreve-se no topo o número 1. Cada um dos fatores primos da decomposição será multiplicado pelo número 1 e também por todos os resultados obtidos antes dele.

160 2 230 2 415 3 3 – 6 – 125 5 5 – 10 – 20 – 15 – 30 – 601

OBSERVAÇÕES:

(1) Um número é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os expoentes obtidos em sua decomposição canônica são pares.

(2) Um número é um cubo perfeito se, e somente se, todos os expoentes obtidos em sua decomposição canônica são múltiplos de 3

(3) Um número é uma potência n-ésima perfeita se, e somente se, todos os expoentes obtidos em sua decompo-sição canônica são múltiplos de n.

Exemplos:7056 é um quadrado perfeito, pois 7056 = 24 . 32 . 72.1728 é um cubo perfeito, pois 1728 = 26 . 33.1296 é uma quarta potência perfeita, pois 1296 = 24 . 34.

5. NÚmERO DE DIVISORES NATURAIS

O número de divisores naturais um número n > 1, cuja decomposição canônica é 1 2 k

1 2 kn p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ , é dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 kd n 1 1 1 1= α + ⋅ α + ⋅ α + ⋅ ⋅ α +

A quantidade de divisores naturais de um número é igual ao produto das somas dos expoentes de cada um dos seus fatores primos com a unidade.

Exemplo: Quantos divisores naturais possui o número 60?Como 60 = 22 . 31 . 51, então a sua quantidade de divisores

naturais é d(60) = (2+1) . (1+1) . (1+1) = 12, o que é confirmado pela relação no exemplo anterior.

57

MATEMÁTICA

57

Para obter a quantidade de divisores ímpares de um número n > 1, deve-se excluir do produto que determina d(n) o fator relativo ao expoente do primo 2, se houver.

A quantidade de divisores pares de um número n > 1 pode ser obtida pela diferença entre o total de divisores naturais e a quantidade de divisores ímpares ou utilizando-se a fórmula que determina d(n) sem adicionar 1 ao expoente do fator primo 2.

Exemplo:

A quantidade de divisores ímpares de 60 é (1+1) . (1+1) = 4.

A quantidade de divisores pares de 60 é 2 . (1+1) . (1+1) = 8 ou 12 – 4 = 8.

A quantidade de divisores múltiplos de determinado número é obtida dividindo-se o número original por esse número e aplicando a fórmula da quantidade de divisores.

Exemplo:

A quantidade de divisores de 60 múltiplos de 4 é obtida a

partir de 1 16015 3 5

4= = ⋅ e é dada por (1+1) . (1+1) = 4.

6. SOmA DOS DIVISORES

Se 1 2 k1 2 kn p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ é a decomposição canônica do inteiro

positivo n > 1, então a soma dos divisores positivos de n é dada por:

1 2 k1 1 11 2 k

1 2 k

p 1 p 1 p 1s(n)

p 1 p 1 p 1

α + α + α +− − −= ⋅ ⋅ ⋅

− − −

.

Demonstração: Basta notar que todos os divisores aparecem como termos do desenvolvimento de:

( ) ( )( )

1 2

k

2 21 1 1 2 2 2

2k k k

s(n) 1 p p p 1 p p p

1 p p p

α α

α

= + + + + ⋅ + + + + ⋅

⋅ ⋅ + + + +

que fatorado resulta na expressão acima.

Exemplo: Qual a soma dos divisores positivos de 60?2 1 1 1 1 12 1 3 1 5 1 7 8 24

s(60) 1682 1 3 1 5 1 1 2 4

+ + +− − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− − −

A soma dos divisores positivos ímpares pode ser obtida desprezando o fator relativo ao primo 2 e a soma dos divisores positivos pares, subtraindo esse número do total.

Número perfeito é todo número que é igual à soma de seus divisores próprios.

Exemplo:

6 é um número perfeito, pois 6 = 1 + 2 + 3.

7. PRODUTO DOS DIVISORES:

O produto dos divisores positivos de um inteiro n > 1 é igual ao próprio número elevado à metade da sua quantidade de divisores positivos, ou seja,

( )( )d n2P n n= .

Exemplo:

Qual o produto dos divisores positivos de 60?

( )d 60 1262 2P 60 60 60= = = .

8. FÓRmULA DE POLIGNAC

A função maior inteiro (ou função piso) é a função que associa a cada número real x o maior inteiro maior ou igual a x e é denotada por x.

x = x + {x}, onde 0 ≤ {x} < 1 é a parte fracionária de x

Exemplo:

2 = 2, 2, 1 = 2, –2, 1 = –3

A fórmula de Polignac estabelece que se p é primo e *n +∈ , então o expoente de p em n! é dado por

2 3n n np p p

+ + +

.

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

O número de divisores naturais de x = 25 . 32 . 62 é:

a) 54; b) 28;

c) 20; d) 9;

e) 40;

02. (CN)

Seja N = 24 . 35 . 56. O número de divisores positivos de N que são

múltiplos de 10 é:

a) 24; b) 35;

c) 120; d) 144;

e) 210.

MATEMÁTICA

58

03. (CN)

O número de divisores naturais de N, sendo N igual ao produto de K números primos distintos, é:

a) k2; b) 2K;

c) K; d) 2K;

e) K + 2.

04. (CN)

Calcule a diferença y – x, de forma que o número: 2x . 34 . 26y possa ser expresso como uma potência de base 39.

a) 8; b) 0;

c) 4; d) 2;

e) 3.

05. (CN)

O número máximo de divisores positivos do número natural: 2x 2x48 2 − +⋅ , x N é:

a) 12; b) 10;

c) 24; d) 15;

e) 16.

06. (CN)

Considere as afirmativas:

I. O número 1147 não é primo.

II. Todo o número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.

III. Todo número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75.

IV. O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63.

O número de afirmativas verdadeiras é

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) 4.

07. (CN)

O produto de todos os divisores inteiros de 144 é:

a) –230 x 315; b) 230 x 315;

c) –260 x 330; d) 260 x 330;

e) –630.

08. (CN)

Quantos valores de K Z existem tais que 113 K 7K 1

⋅ ++

é um número inteiro?

a) 4. b) 5.

c) 6. d) 7.

e) 8.

09. (CN)

Se a e b são números naturais e 2a + b é divisível por 13, então um número múltiplo de 13 é:

a) 91a + b; b) 92a + b;

c) 93a + b; d) 94a + b;

e) 95a + b;

10. (CN)

Se a é um número natural, a5 – 5a3 + 4a é sempre divisível por:

a) 41. b) 48.

c) 50. d) 60.

e) 72.

11. (CN)

Se o número natural expresso por a2 – b2 é primo, a, b, N, b ≠ 0, então a é

a) o antecedente de b.

b) o consequente de b.

c) múltiplo de b.

d) divisor de b.

e) um número par.

12. (CN)

Um número natural N tem 2005 divisores positivos. O número de bases distintas da sua decomposição em fatores primos pode ser

a) um. b) cinco.

c) três. d) quatro.

e) seis.

13. (CN)

Observe o dispositivo abaixo.

N

x

x

x

1

x

x

x

x

No dispositivo acima, tem-se a decomposição tradicional em fatores primos de um numero natural N, em que a letra x está substituindo qualquer numero natural diferente de N, zero e um. Sendo y o numero total de divisores naturais de N, quantos são os valores possíveis para y?

a) Três. b) Quatro.

c) Cinco. d) Seis.

e) Sete.

14. (CN)

Sobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 e altura 3; sobre o maior lado desse último, constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assim sucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros termina o produto das áreas de cada um desses retângulos?

a) 39. b) 40.

c) 46. d) 78.

e) 80.

59

MATEMÁTICA

59

15. (CN)

Um número inteiro possui exatamente 70 divisores. Qual é o menor valor possível para |N + 3172|?

a) 2012 b) 3172

c) 5184 d) 22748

e) 25920

16. (CN)

O número N = 1.2.3.4.5.(...).(k–1).k é formado pelo produto dos k primeiros números naturais não nulos. Qual é o menor valor

possível de k para que 17

N7

seja um número natural, sabendo

que k é ímpar e não é múltiplo de 7?

a) 133 b) 119

c) 113 d) 107

e) 105

17.

Qual a maior potência de 10 que divide 1.2.3.4. ... .1000?

a) 101000 b) 10500

c) 10498 d) 10250

e) 10249

18.

Em quantos zeros termina o produto 1.2.3.4. ... .1000, quando todos os fatores forem escritos no sistema de base 6?

a) 197 b) 248

c) 249 d) 498

e) 499


01.

O menor natural N para o qual 1260.N = x3, sendo x um inteiro é:

a) 1260; b) 1050;

c) 12602; d) 7350;

e) 44100.

02.

Sendo N = 24.35.56, assinale a alternativa incorreta sobre seus divisores positivos:

a) 207 não são primos absolutos.

b) 175 são múltiplos de 3.

c) 144 são múltiplos de 10.

d) 120 são pares .

03. (CMS)

Se o número natural N = 2p . 3p+1 . 52 tem 90 divisores positivos. Então, o máximo divisor comum de N e 336 possui:

a) 20 divisores inteiros;

b) 25 divisores inteiros;

c) 30 divisores inteiros;

d) 35 divisores inteiros;

e) 40 divisores inteiros.

04. (OBM)

Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que x 99x 19

++

seja um número inteiro?

a) 5 b) 10

c) 20 d) 30

e) 40

05. (OBM)

Quantos números inteiros positivos menores que 30 têm exatamente quatro divisores positivos?

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

06.

Seja o número P. Sabe-se que:

1. kN 6

P1 2 3 4 5 6 7 8 9

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅;

2. P é inteiro e positivo;

3. k é inteiro maior que 9; e

4. N não é múltiplo de 2 nem de 3, mas é inteiro.

Determine a soma dos dois menores valores possíveis para N.

a) 210 b) 180

c) 215 d) 200

e) 289

07.

A população de Lagoa Santa era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original era um múltiplo de:

a) 3; b) 7;

c) 9; d) 11;

e) 17.

08. (CMRJ)

Três números são divisíveis por 7 e por 11 e não são divisíveis por nenhum outro número primo. Sabe-se que cada um deles possui 15 divisores diferentes da unidade. Então, o produto dos três números é:

a) 117 . 711; b) 77;

c) 7711; d) 1111 . 77;

e) 1177.

MATEMÁTICA

60

09. (EPCAR)

Sendo S a soma dos divisores positivos de 30, calcule S 504+ :

a) 24; b) 36;

c) 48; d) 60;

e) 68.

10. (EPCAR)

O valor de n para que 2n . 34 . 53 tenha 80 divisores positivos é:

a) um número par;

b) um divisor de 10;

c) um múltiplo de 2;

d) uma potência de 3;

e) um número composto.

11. (EPCAR)

O número y = 2a . 3b . c2 é divisor de N = 15 . 20 . 6. Sabendo-se que c é primo e y admite exatamente 36 divisores, é correto afirmar que

a) ab = c. b) a + b = c.

c) a< b< c. d) a – b = –1.

12. (EPCAR)

Se a e b são dois números inteiros não nulos tais que 4a + b = 2b – (3a –b), então, necessariamente, ocorre que

a) a é par e b é múltiplo de 7.

b) a é par e b é ímpar.

c) a e b são números primos.

d) a é divisor de 2 e b é divisor de 7.

13. (EPCAr)

Considere os algarismos zero e 4 e os números formados apenas com os mesmos. O número x representa o menor múltiplo positivo de 15, dentre os descritos acima.

Se x30

possui um número α de divisores positivos, então α é igual a

a) 4. b) 6.

c) 8. d) 10.

14. (CN)

Sejam os conjuntos: X = {–1, 0, 1, 2}; ∅: conjunto vazio; Y: conjunto dos números pares positivos que são primos; Z: conjunto dos múltiplos de 2 que têm um algarismo e que não são negativos. É falso afirmar que:

a) {x (X ∩ Y) | x > 3} = ∅;

b) {x (X – Y) | x < 4} = {–1, 0, 1};

c) {x (X ∪ Y) | x < 5} = X;

d) {x (X ∩ Y) | x ≤ 2} = {2};

e) {x (Z – Y) | x < 8} = Z – {8}.

15. (CN)

O produto de dois números inteiros é 2880. O primeiro destes números é um quadrado perfeito e o segundo não é quadrado perfeito, mas a raiz quadrada do segundo por falta excede a raiz quadrada do primeiro de 2 unidades. O maior destes dois números é:

a) múltiplo de 15; b) menor que 50;

c) maior que 90; d) menor que 68;

e) maior que 70.

16. (CN)

Analise as afirmativas abaixo.

I. Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si.

II. Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo do inteiro yz.

III. A igualdade (1/a) + (1/b) = 2/(a + b), é possível no campo dos reais.

Assinale a opção correta.

a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

d) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

17. (CN)

No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que ‘a’ é primo com ‘b’ quando mdc (a, b) = 1.

Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir.

I. A fatoração em números primos é única, exceto pela ordem dos fatores.

II. Existem 8 números primos com 24 e menores que 24.

III. Se (a + b)2 = (a + b)2 então b = c.

IV. Se a < b, então a . c < b . c.

Quantas das afirmativas acima são verdadeiras?

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

18.

Para quantos valores inteiros e positivos de n, o número n4 + n2 + 1 é primo?

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 4;

e) infinitos.

19.

A quantidade de primos positivos p, para os quais o número p1994 + p1995 é um quadrado perfeito, é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 4

e) infinitos

61

MATEMÁTICA

61

20.

João escolhe dois números do conjunto {1, 2, 3, ..., 17} tais que o produto desses dois números é igual à soma dos 15 números restantes. Sobre os dois números escolhidos, pode-se afirmar que:

a) um deles é um quadrado perfeito.

b) a soma deles é um quadrado perfeito.

c) a soma deles é um número primo

d) os dois são números primos.

e) os dois são pares.

21.

“O número de elfos na Grã-Bretanha é um número de seis dígitos, eu afirmo. É um cubo. É um quadrado. Se seis elfos forem embora, um número primo de elfos restará.” Quantos são os elfos?

a) 558003 b) 279643

c) 117649 d) 108144

e) 21025

22. (IME)

A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição.

a) k < 720

b) 720 ≤ k < 750

c) 750 ≤ k < 780

d) 780 ≤ k < 810

e) k ≥ 810

23.

Sejam a e b números primos diferentes de 3, e N = 3a . bb . a3 um número que admite 68 divisores compostos e não é divisível por 27. A soma dos algarismos de N é

a) 9. b) 5.

c) 4. d) 3.

e) 6.

01.

Determine quantos números naturais menores que 2010 têm um número ímpar de divisores positivos.

a) 1005 b) 502

c) 105 d) 80

e) 44

02.

Quantos são os pares (a, b) de números naturais não nulos primos entre si tais que a + b = 1000?

a) 200 b) 240

c) 300 d) 400

e) 480

03.

A soma dos dígitos do menor número natural que é o dobro de um quadrado perfeito e o triplo de um cubo perfeito é igual a:

a) 12; b) 18;

c) 24; d) 30;

e) 36.

04.

Seja n > 1 um número inteiro tal que 10n possui exatamente 21 divisores positivos a mais do que n. O menor valor que n pode assumir é:

a) 92; b) 108;

c) 120; d) 144;

e) 150.

05. (IME)

O par ordenado (x, y), com x e y inteiros positivos, satisfaz a equação 5x2 + 2y2 = 11 (xy – 11). O valor de x + y é

a) 160; b) 122;

c) 81; d) 41;

e) 11.

06. (IME)

Seja a equação pn + 144 = q2 onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine a quantidade de possíveis valores de n.

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

07. (IME)

Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato nacional de futebol de salão onde cada vitória valia um ponto, cada empate meio ponto e cada derrota zero ponto. Sabendo que cada participante enfrentou todos os outros apenas uma vez, que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram, em conjunto, oito pontos, que cada um dos outros clubes alcançou à mesma quantidade k de pontos e que a quantidade de clubes é maior que 10, determine a quantidade de clubes que participou do torneio.

a) 12 b) 15

c) 16 d) 18

e) 20

MATEMÁTICA

62

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. E 02. D

03. D 04. A

05. A 06. D

07. C 08. E

09. C 10. D

11. B 12. A

13. C 14. C

15. A 16. D

17. E 18. D


01. D 02. D

03. A 04. C

05. D 06. A

07. B 08. C

09. A 10. D

11. B 12. A

13. B 14. E

15. E 16. A

17. E 18. B

19. B 20. C

21. C 22. C

23. A

DESAFIO mIL

01. E 02. D

03. B 04. D

05. D 06. D

07. C

noTaS

63

MATEMÁTICA

63

AbordagemTeórica

1. mÁxImO DIVISOR COmUm (m.D.C.)

Definição: sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a, b) que satisfaz:

(1) d|a e d|b

(2) se c|a e c|b, então c ≤ d.

Corolários:

(I) mdc (a, 1) = 1

(II) se a ≠ 0, então mdc (a, 0) = |a|

Exemplos:

mdc (8, 1) = 1; mdc (–2, 0) = 2

Diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se, mdc (a, b) = 1.

Exemplo:

São primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16, e 20 e 21.

Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e –1.

1.1. Propriedades do mDC:

I. O MDC de dois números tais que um divide o outro é o módulo do divisor.

a | b ⇒ mdc (a, b) = |a|

Exemplos:

mdc (–6, 12) = |–6| = 6.

máximo diViSor comum (mdc) e mínimo múlTiplo comum (mmc)

II. Dividindo-se dois números pelo seu MDC, os quocientes são primos entre si.

mdc (a, b) = d ⇒ mdc (a/d, b/d) = 1

Exemplo:

( ) ( )42 54mdc 42,54 6 mdc , mdc 7,9 1

6 6 = ⇒ = =

III. Se dois números são primos entre si, então todos os divisores de um deles são primos com o outro.

a | b ∧ mdc (b, c) = 1 ⇒ mdc ( a, c) = 1

Exemplo:

3 | 18 ∧ mdc (18, 35) = 1 ⇒ mdc (3, 35) = 1

IV. Se dois números são divisores de um terceiro e são primos entre si, então o produto desses números também é um divisor do terceiro número.

a | c, b | c ∧ mdc (a, b) = 1 ⇒ a . b | c

Exemplo:

2 | 72, 3|72 ∧ mdc (2, 3) = 1 ⇒ 2 . 3 | 72

V. Se um número é primo com dois outros, também é primo com seu produto.

mdc (a, b) = mdc (a, c) = 1 ⇒ mdc (a, bc) = 1

Exemplo:

mdc (2, 5) = mdc (2, 7) = 1 ⇒ mdc (2, 35) = 1

VI. Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um número não nulo, seu mdc fica multiplicado ou dividido por esse número.

mdc (a, b) = d ⇒ mdc (a.k, b.k) = d.|k|

mdc (a, b) = d ∧ k | d ⇒ mdc (a/k, b/k) = d/|k|

Exemplos:

mdc (72, 30) = 6

( )72 30 6mdc , mdc 36,15 3

2 2 2 ⇒ = = =

( ) ( )mdc 72 3,30 3 mdc 216,90 6 3 18⇒ ⋅ ⋅ = = ⋅ =

MATEMÁTICA

64

VII. Teorema de Euclides: Se um número divide o produto de outros dois e é primo com um deles, então esse número divide o outro.

a | b . c ∧ mdc (a, b) = 1 ⇒ a | c

Exemplo:

3 | 12 . 14 ∧ mdc (3, 14) = 1 ⇒ 3 | 12

VIII. O mdc de dois números positivos é igual ao mdc do menor e do resto da divisão desses dois números.

a = b . q + r, 0 ≤ r < b ⇒ mdc (a, b) = mdc (b, r)

Demonstração: se mdc (a, b) = d, então d | a e d | b, donde d | (a – qb), ou seja, d | r. Logo, d é divisor comum de b e r. Se c é um divisor comum de b e r, então c | (bq + r), ou seja, c | a, isto é, c é divisor comum de a e b, donde c ≤ d. Logo, mdc (b, r) = d.

Exemplo:

72 = 30 . 2 + 12 ⇒ mdc (72, 30) = mdc (30, 12

30 = 12 . 2 + 6 ⇒ mdc (30, 12) = mdc (12, 6)

12 = 6 . 2 ⇒ mdc (12, 6) = mdc (6, 0) = 6

IX. Existência e unicidade do MDC: sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos, então mdc (a, b) existe, e é único; além disso, existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b.

A representação do mdc (a, b) como combinação linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) = d = a . (x + bt) + b(y – at), para qualquer inteiro t.

X. Múltiplos do MDC: O conjunto de todos os múltiplos do mdc (a, b) = d é T = {ax + by | x, y Z}.

XI. Dois inteiros a e b, não simultaneamente nulos, são primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y tais que ax + by = 1.

XII. A equação ax + by = c (equação diofantina linear de duas variáveis) nas variáveis x e y possui solução inteira se, e somente se, mdc(a, b) = d | c. Sendo (x0, y0) Z2 tais que ax0 + by0 = c, então o conjunto-solução da equação ax + by = c é

0 0b a

S (x,y) | x x t e y y t; td d

= = + = − ∈

Exemplo:

Resolver no conjunto dos inteiros a equação 12 x + 15y = 6.

Inicialmente, observamos que mdc (12, 15) = 3 | 6. Portanto, a equação possui solução inteira.

Por inspeção, temos 12 . 3 + 15 . (–2) = 6. Logo, o conjunto solução da equação é dado por:

S = {(x, y) | x = 3 + 5t e y = –2 – 4t; t Z}

1.2. métodos de obtenção do mDC

1.2.1. método das Divisões Sucessivas ou Algoritmo de Euclides

Para encontrar o mdc de dois números, divide-se o maior pelo menor; em seguida, o menor pelo resto; depois, o primeiro resto pelo segundo resto; e assim sucessivamente, até que se obtenha resto zero. O mdc dos números será o último divisor.

O método acima normalmente é apresentado através do dispositivo de cálculo a seguir:

q1 q2 q3 ... qn qn+1

a b r1 r2 ... rn–1 rn

r1 r2 r3 ... rn 0

O aparecimento do resto 0 indica que rn = mdc (a, b).

Exemplo:

Calcular o mdc (936, 588)

1 1 1 2 4 2

936 588 348 240 108 24 12

348 240 108 24 12 0

resto = 0 ⇒ mdc (936, 588) = 12

1.2.2. método das Decomposições Canônicas:

Se 1 2 n1 2 na p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ e 1 2 n

1 2 nb p p pβ β β= ⋅ ⋅ ⋅ , em que

1 2 np , p , ,p são os fatores primos que ocorrem nas fatorações de a e b, e os expoentes podem ser nulos, então

( ) { } { } { }1 2 2 n nmin , 1 min , min ,1 2 nmdc a,b p p pα β α β α β= ⋅ ⋅ ⋅ ,

ou seja, mdc (a, b) é o produto dos fatores primos comuns às duas decomposições tomados com seus menores expoentes.

Exemplo:

588 = 22 . 3 .72 ∧ 936 = 23 . 32 13

⇒ mdc (588, 936) = 22 . 3 = 12

65

MATEMÁTICA

65

2. míNImO mÚLTIPLO COmUm (mmC)

Sejam a e b dois inteiros não nulos, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc (a, b) que satisfaz as condições:

(1) a | m e b | m

(2) se a | c e b | c, com c > 0, então m ≤ c.

A condição (1) diz que m é um múltiplo comum de a e b; a condição (2) diz que qualquer outro múltiplo comum será maior ou igual a c.

2.1. Propriedades do mmC:

I. O mmc de dois números é menor ou igual ao módulo do seu produto.

mmc (a, b) ≤ |a . b|

Exemplo:

mmc (18,12) = 36 ≤ 18 .12 = 216

II. O mmc de dois números tais que um é múltiplo do outro é o módulo do múltiplo.

a | b ⇒ mmc (a, b) = |b|

Exemplo:

18 | 54 ⇒ mmc (18, 54) = 54

III. Se dois números são primos entre si, então o mmc entre eles é o seu produto.

mdc (a, b) = 1 ⇒ mmc (a, b) = a . b

Exemplo:

mdc (15, 14) = 1 ⇒ mmc (15, 14) = 15 . 14 = 210

IV. Dividindo-se o mmc de dois ou mais números positivos, por cada um dos números, os quocientes obtidos são primos entre si.

mmc (a, b) = m ⇒ mdc (m/a, m/b) = 1

Exemplo:

mmc mdc mdc( , ) , ( , )18 12 363618

3612

2 3 1= ⇒

= =

V. Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um número não nulo, seu mdc fica multiplicado ou dividido pelo módulo por esse número.

mmc a b m mmc ak bk m k

mmc a b m

k mdc a bmmc a k b

( , ) ( , ) .

( , )

| ( , )( / ,

= ⇒ ==

⇒ // ) / | |k m k=

Exemplos:

mmc

mmc mmc

mmc

( , )

, ( , )

( .

72 30 360

722

302

36 15360

2180

72 3

=

= = =

,, . ) ( , ) .30 3 216 90 360 3 1080= = =mmc

VI. Teorema: o produto do mdc pelo mmc de dois números positivos é igual ao produto dos números.

mdc (a, b) . mmc (a, b) = a . b

DEmONSTRAÇÃO:

Sejam mdc (a, b) = d e mmc (a, b) = m. Como a | a . (b/d) e b | b . (a/d), então ab/d é múltiplo comum de a e b. Portanto, existe k Z tal que ab/d = mk, donde a/d = (m/b) . k e b/d = (m/a) . k, isto, é k é divisor comum de a/d e b/d. Mas, a/d e b/d são primos entre si, donde k = 1. Logo, ab/d = m, ou seja, ab = dm.

2.2. métodos de obtenção do mmC

2.2.1. método das Decomposições Simultâneas

Os números são divididos pelos fatores primos comuns e não comuns até que os números resultantes sejam todos iguais a 1. O mmc é o produto dos fatores primos obtidos.

Exemplo: Calcular mmc (936, 588)

936 588 2

468 294 2

234 147 2

117 147 3

39 49 3

13 49 7

13 7 7

13 1 13

1 1

mmc (936, 588) = 23 . 32 . 72 . 13 = 45864

2.2.2. método das Decomposições Canônicas:

Se 1 2 n1 2 na p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ e 1 2 n

1 2 nb p p pβ β β= ⋅ ⋅ ⋅ , onde

1 2 np , p , ,p são os fatores primos que ocorrem nas fatorações de a e b, e os expoentes podem ser nulos, então

mmc a b p p pnn n( , ) max , max , max ,= ⋅ ⋅ ⋅{ } { }

− − −{ }

1 21 1 2 2α β α β α β

ou seja, mmc (a, b) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.

Exemplo:

588 = 22 . 3 . 72 ∧ 936 = 23 . 32 . 13

⇒ mmc (588, 936) = 23 . 32 . 72 . 13 = 45864

MATEMÁTICA

66

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Dois números inteiros positivos têm soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar o maior dos dois números sabendo que o produto deles deve ser o maior possível.

a) 48 b) 84

c) 60 d) 72

e) 36

02. (CN)

Calcular m, no número A = 2m–1 . 32 . 5m, de modo que o MDC entre o número A e o número 9000 seja 45.

a) 0 b) 2

c) 3 d) 4

e) 1

03. (CN)

O mmc de dois números é 300 e o mdc desses números é 6. O quociente entre o maior e o menor desses números é inteiro, então esse quociente:

a) pode ser 2.

b) tem 4 divisores positivos.

c) é um número primo.

d) tem 6 divisores positivos.

e) nada se pode afirmar.

04. (CN)

O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de dois múltiplos de um inteiro N diferente de 1 é 4235. O número N é:

a) 385 b) 77

c) 65 d) 11

e) 35

05. (CN)

Se o mdc (a; b; c) = 100 e o mmc (a; b; c) = 600, podemos afirmar que o número de conjuntos de três elementos distintos a, b e c é:

a) 2 b) 4

c) 6 d) 8

e) 10

06. (CN)

Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 50 segundos aberto, enquanto outro permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:

a) 110 b) 120

c) 150 d) 200

e) 300

07. (CN)

O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b é 360 e a . b = 3600. Qual o menor valor que a + b pode assumir?

a) 120 b) 130

c) 150 d) 200

e) 370

08. (CN)

Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e y por mdc (x, y); assim, o número de pares

ordenados (x, y) que são soluções do sistema ( )x y 810

mdc x,y 45

+ = =

é igual a:

a) 6 b) 8

c) 10 d) 16

e) 18

09. (CN)

Se mmc (x, y) = 23 . 33 . 52 . 7 e mdc (x, y) = 23 . 32 . 5, x e y números naturais, quantos são os valores possíveis para x?

a) 16 b) 8

c) 6 d) 4

e) 2

10. (CN)

O algoritmo abaixo foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B.

1 1 2

A B C 40

D E 0

Logo A + B + C vale:

a) 400 b) 300

c) 200 d) 180

e) 160

67

MATEMÁTICA

67

11. (CN)

No algoritmo abaixo, tem-se a decomposição simultânea em fatores primos dos números a, b e c, onde x está substituindo todos os números que são diferentes de a, b, c e 1. Analise as afirmativas abaixo:

a, b, c 2

a, x, x 2

a, x, x 2

a, x, x 3

x, x, x 3

x, x, x 3

x, x, x 5

x, x, 1 7

1, 1, 1

I. a certamente é múltiplo de 36.

II. b certamente é múltiplo de 30.

III. c certamente é múltiplo de 35.


a) Apenas a afirmativa I é falsa.

b) Apenas a afirmativa II é falsa.

c) Apenas a afirmativa III é falsa.

d) Apenas as afirmativas II e III são falsas.

e) As afirmativas I, II e III são falsas.

12. (CN)

Deseja-se revestir uma área retangular, de 198 cm de comprimento e 165 cm de largura, com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do lado dessas lajotas, expressa por um numero inteiro de cm, seja a maior possível. Quantas lajotas deverão ser usadas?

a) 27 b) 30

c) 33 d) 36

e) 38

13. (CN)

O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os naturais a, x e b, são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo a < x < b, quantos são os valores de x que satisfazem essas condições?

a) Nenhum. b) Apenas um.

c) Apenas dois. d) Apenas três.

e) Apenas quatro.

14. (CN)

De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se forem feitos lotes de 5 DVDs, sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs, sobram 9 e se forem feitos lotes com 14 DVDs, sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo a não haver sobra?

a) 6 b) 8

c) 9 d) 13

e) 15

15. (CN)

Qual é o menor valor positivo de 2160x + 1680y, sabendo que x e y são números inteiros?

a) 30 b) 60

c) 120 d) 240

e) 480


01.

O produto de dois números que não são primos entre si é 6435. Qual é o máximo divisor comum desses dois números?

a) 3 b) 5

c) 9 d) 11

e) 15

02.

O mdc de dois inteiros positivos a e b é 74 e, na sua determinação pelo algoritmo de Euclides, os quocientes obtidos foram 1, 2, 2, 5, 1 e 3. Calcular a e b.

a) a = 12802 e b = 9102

b) a = 12802 e b = 3700

c) a = 9102 e b = 3700

d) a = 9102 e b = 1702

e) a = 3700 e b = 1702

03. (CEFET)

O maior valor real que t deve assumir na equação na variável x dada por (t . x + 264) (t . x – 408) (312 + t . x) = 0, de modo que esta só tenha números inteiros como raízes, é:

a) 3 b) 6

c) 12 d) 24

e) 48

04. (CMRJ)

O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 650. Então, o quociente entre o MMC e o MDC desses dois números é:

a) 35 b) 29

c) 26 d) 24

e) 23

05. (EPCAR)

Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 15 e 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Se o total de suas figurinhas está compreendido entre 240 e 360, pode-se afirmar que a soma dos algarismos significativos desse total é:

a) 6 b) 9

c) 10 d) 13

MATEMÁTICA

68

06. (EPCAR)

Se o mínimo múltiplo comum entre os inteiros a = 16 . 3k (k ≠ 0) e b = 2p . 21 for 672, então, pode-se concluir que:

a) p é divisor de 2p . 21.

b) 3k é divisível por 2p.

c) pk é múltiplo de 3.

d) p – k = 4k.

07. (EPCAR)

Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectiva-mente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é:

a) 36 b) 34

c) 30 d) 25

08. (EPCAR)

Assinale a alternativa correta.

a) Se x N, y N e x ≠ y ≠ 1 e se x e y são divisíveis por p, então p é o máximo divisor comum de x e y.

b) O máximo divisor comum de dois números naturais divide o seu mínimo múltiplo comum.

c) Se x e y são números primos, com x > y > 2,o máximo divisor comum de x e y é igual a x.

d) Se o conjunto dos múltiplos do número natural x é subconjunto do conjunto dos múltiplos do número natural y, então x não é múltiplo de y.

09. (CN)

Marcar a frase certa.

a) Todo número terminado em 30 é divisível por 3 e por 5

b) Todo número, cuja soma de seus algarismos é 4 ou múltiplo de 4, é divisível por 4.

c) O produto de dois números positivos é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números.

d) O MMC de dois números primos entre si é a semissoma desses números.

e) Toda soma de dois quadrados perfeitos é um quadrado perfeito.

10. (CN)

O quociente de dois números inteiros dá 74

e o mínimo múltiplo

comum entre esses dois números é 1680. O máximo divisor comum terá:

a) 12 divisores b) 16 divisores

c) 8 divisores d) 10 divisores

e) 20 divisores

11. (CN) As divisões, do número x por 4 e do número y por 3, têm resultados exatos e iguais. Sabendo que o menor múltiplo comum multiplicado pelo maior divisor comum desses dois números x e y, dá 588. Podemos dizer que a soma x + y dá:a) 36 b) 52c) 49 d) 42e) 64

12. (CN) A soma de dois números inteiros positivos, em que o maior é menor que o dobro do menor, dá 136 e o máximo divisor comum entre eles é 17. A diferença entre esses números é:a) 102 b) 65c) 34 d) 23e) 51

13. (CN)

A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 12 é:

a) 180 b) 72

c) 0 d) 192

e) 168

14. (CN)

O número 12 é o máximo divisor comum entre os números 360, a e b tomados dois a dois. Sabendo que 100 < a < 200 e que 100 < b < 200, pode-se afirmar que a + b vale:

a) 204 b) 228

c) 288 d) 302

e) 372

15. (CN)

Um cofre é equipado com um sistema automático que o destranca por um minuto e volta a trancá-lo se não for aberto. Tal sistema tem dois dispositivos independentes: um que dispara de 46 minutos em 46 minutos, após ser ligado o sistema, e o outro de 34 minutos em 34 minutos. Sabendo-se que o cofre pode ser aberto tanto por um, quanto pelo outro dispositivo, e que um não anula o outro, quantas vezes por dia pode-se dispor do cofre para abertura, sendo o sistema ligado a zero hora?

a) 74 b) 73

c) 72 d) 71

e) 70

16. (CN)

Em um navio existem 6 barcos e 15 guarnições. Cada barco tem uma guarnição de serviço por dia. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que todas as guarnições tenham ficado de serviço o mesmo número de vezes?

a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 15

69

MATEMÁTICA

69

17. (CN)

Um pedaço de doce de leite tem a forma de um paralelepípedo, com seis faces retangulares, como indica a figura abaixo. O doce deve ser dividido totalmente em cubos iguais, cada um com x mm de aresta. O maior valor inteiro d x é:

a) 16

b) 18

c) 24

d) 30

e) 32

01.

O maior divisor comum de 878787878787 e 787878787878 é igual a:

a) 3

b) 9

c) 27

d) 10101010101

e) 30303030303

02.

O mínimo múltiplo comum dos números 144 e x = 2n . 3p . 5q é 720 e o seu máximo divisor comum é 24 . 3p. A soma de todos os valores de x nestas condições é igual a:

a) 1000

b) 1010

c) 1020

d) 1030

e) 1040

03.

Determine a soma dos algarismos do menor número inteiro positivo n, que ao ser dividido por 10 deixa resto 9, ao ser dividido por 9 deixa resto 8, ao ser dividido por 8 deixa resto 7, etc, e ao ser dividido por 2 deixa resto 1.

a) 9b) 13c) 17d) 19e) 20

04.

Seja n um número natural tal que MMC (n, MDC (18, 2n)) = 4, então 2n + n é igual a:

a) 5n

b) 7n

c) 4n

d) 6n

e) 3n

05.

Calcule MDC(A, B), se MDC(15A, 35B) = 30 e MDC(35A, 15B) = 90.

a) 10

b) 5

c) 9

d) 15

e) 6

noTaS

MATEMÁTICA

70

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. C 02. E

03. D 04. D

05. B 06. E

07. B 08. A

09. B 10. A

11. E 12. B

13. C 14. C

15. D


01. A 02. A

03. D 04. C

05. D 06. D

07. C 08. B

09. C 10. A

11. C 12. C

13. A 14. C

15. C 16. A

17. E

DESAFIO mIL

01. E 02. E

03. C 04. A

05. E

noTaS

71

MATEMÁTICA

71

AbordagemTeórica

1. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

1.1 Divisibilidade por 2

2 | n ⇔ n é par

Exemplo:

2 | 356 e 2 |/ 357

Sugestão para demonstração:

Considere n = 10k + r, onde r é o algarismo das unidades de n.

O resto na divisão de n por 2 é 0, se n é par, ou 1, se n é ímpar.


⇔

a soma dos algarismos3 | n

de n é múltiplo de 3

Exemplos:

3 | 111, pois 1 + 1 + 1 = 3

3 | 114, pois 1 + 1 + 4 = 3 . 2

3 |/ 112, pois 1 + 1 + 2 = 4


Considere 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1, ... na representação n = 10k ak +10k-1ak-1 +...+ 102 a2 + 10a1 + a0.

O resto na divisão de n por 3 é o resto da soma dos algarismos de n por 3.

diViSibilidade


4o número formado pelos dois últimos

| nalgarismos de n é múltiplo de 4

⇔

Exemplos:

4 | 3240, pois 4 | 40

4 | 1516, pois 4 | 16

4 |/ 126, pois 4 |/ 26


Considere n = 100k + xy, onde xy é o número formado pelos dois últimos algarismos de n.

O resto na divisão de n por 4 é o resto do número formado pelos dois últimos algarismos de n por 4.


o algarismo das unidades5 | n

de n é 0 ou 5

⇔

Exemplos:

5 | 110, 5 | 115 e 5 |/ 111



O resto na divisão de n por 5 é o resto do último algarismo de n por 5.


6 | n ⇔ n é par e múltiplo de 3

Exemplos:

6 | 120, 6 | 126 e 6 |/ 124

O resto na divisão de n por 6 é o resto da soma do algarismo das unidades de n com o quádruplo da soma dos demais algarismos por 6.

MATEMÁTICA

72


⇔

soma das classes ímpares menos7 | n

a soma das classes pares é múltiplo de 7

O resto na divisão de n por 7 é o resto da soma das classes ímpares menos a soma das classes pares de n por 7.


o número formado pelos três últimos8 | n

algarismos de n é múltiplo de 8

⇔

Exemplos:

8 | 3240, pois 8 | 240

8 | 5136, pois 8 | 136

8 |/ 1516, pois 8 |/ 516


Considere n = 1000k + xyz, onde xyz é o número formado pelos três últimos algarismos de n.

O resto na divisão de n por 8 é o resto do número formado pelos três últimos algarismos de n por 8.


a soma dos algarismos9 | n

de n é múltiplo de 9

⇔

Exemplos:

9 | 117, pois 1 + 1 + 7 = 9

9 | 738, pois 7 + 3 + 8 = 9 . 2

9 |/ 116, pois 1 + 1 + 6 = 8.


Considere 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1, ... na representação n = 10k ak +10k-1 ak-1 +...+ 102 a2 + 10a1 + a0.

O resto na divisão de n por 9 é o resto da soma dos algarismos de n por 9.


10 | n ⇔ o algarismo das unidades de n é 0

Exemplos:

10 | 110, 10 | 2100, mas 10 |/ 111 e 10 |/ 115



O resto na divisão de n por 10 é o último algarismo de n.


a soma dos algarismos de n de ordem

11| n ímpar menos a soma dos algarismos

de ordem par é múltiplo de 11

⇔

Exemplos:11 | 187, pois 1+ 7 – 8 = 011 | 627, pois 6 + 7 – 2 = 1111 |/ 826, pois 8 + 6 – 2 = 12Sugestão para demonstração: Considere 10 = 11– 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 – 1,

10000 = 9999 + 1, 100.000 = 100.001 – 1... na representação n = 10k ak + 10k-1 ak-1 +...+ 102 a2 + 10a1 + a0.

O resto na divisão de n por 11 é o resto da soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par de n por 11.


a soma do número formado pelos dois últimos

12 | n algarismos com o quádruplo da soma dos

demais algarismos é múltiplo de 12

⇔

Exemplos:12 | 276, pois 76 + 4 . 2 = 84 = 12 . 712 |/ 284, pois 84 + 4 . 2 = 84 = 12 . 7 + 8

O resto na divisão de n por 12 é o resto da soma do número formado pelos dois últimos algarismos com o quádruplo da soma dos demais algarismos de n por 12.


( ) ( )k 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5

n=a a a a a a a a13 | n

13 | a 3a 4a a 3a 4a

⇔ − − − − − +

Exemplos:13 | 3185, pois 5 – 3 . 8 – 4 . 1 – 3 = –26 = (–2) . 1313 |/ 4759, pois 9 – 3 . 5 – 4 . 7 – 4 = –38 = (–3) . 13 + 1

O resto na divisão de n por 13 é o resto de

(a0 – 3a1 – 4a2) – (a3 – 3a4 – 4a5) + ... por 13, onde

k 6 5 4 3 2 1 0n = a a a a a a a a .

1.13 Divisibilidade por 2k

kk

o número formado pelos k últimos2 | n

algarismos de n é múltiplo de 2

⇔

Exemplos:16 = 24 | 1113392, pois 3392 = 16 . 21216 = 24 416 2 | 1017572= / 1017572, pois 7572 = 16 . 473 + 4O resto na divisão de n por 2k é o resto do número

formado pelos k últimos algarismos de n por 2k.

73

MATEMÁTICA

73

1.14 Divisibilidade por 10k

10k | n ⇔ os últimos k algarismos de n são 0

Exemplos:

1000 = 103 | 1576000

1000 = 103 416 2 | 1017572= / 1350300

O resto na divisão de n por 10k é igual ao número formado pelos k últimos algarismos de n.

2. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

Cada uma das representações especiais a seguir representa todos os números inteiros, considerando todos os possíveis restos para cada quociente em uma divisão.

2kk

2k 1

∈ +

3k

3k 1 k

3k 2

+ ∈ +

4k

4k 1k

4k 2

4k 3

+ ∈ + +

5k

5k 1 k

5k 2

± ∈ ±

nk

nk 1k

nk (n 1)

+ ∈ + −

Exemplo:

Prove que todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.

Solução:

Nesse caso é interessante usar o divisor 2 para representar os números inteiros, pois ao serem elevados ao quadrado aparecerão números 4.

Assim, os inteiros podem ser representados pelos números: 2k e 2k + 1, com k Z.

Os quadrados perfeitos então são da forma:

(2k)2 = 4k2 ⇒ resto 0 por 4

(2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4 . (k2 + k) + 1 ⇒ resto 1 por 4

Logo, todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.

3. PROPRIEDADES DOS RESTOS NA DIVISÃO

I. O resto da soma por um determinado quociente é igual ao resto da soma dos restos de cada uma das parcelas por esse quociente.

Exemplo:

Calcule o resto por 9 de 1234 + 2345 + 3456.

Solução:

1238 2347 3451 7036 7

165 7 4

7

+ + = →

↓ ↓ ↓+ + =

↓

II. O resto do produto por um determinado quociente é igual ao resto do produto dos restos de cada um dos fatores por esse quociente.

Exemplo:

Calcule o resto por 9 de 1234 x 2345 x 3456.

Solução:

124 236 344 10066816 1

287 2 2

1

× × = →

↓ ↓ ↓× × =

↓

Veja que nesse exemplo o uso da propriedade reduz bastante as contas.

III. O resto de uma potência por um determinado quociente é igual ao resto da base elevada ao expoente por esse quociente.

Exemplo:

Calcule o resto de 423 por 9.

Solução:3

3

41 68921 8

5 125 8

= →↓

= →

4. BASE, POTÊNCIA E RESTO

Esse é um método prático que permite encontrar o resto de potências grandes.

Esse método baseia-se na propriedade (III) e na identificação do período de repetição dos restos que fica determinado com o aparecimento do resto 1, devido à propriedade (II).

Basta então dividir o expoente pelo período de repetição e o resto dessa divisão é o expoente que corresponde ao resto procurado.

Facilita muito as contas, a aplicação da propriedade (II) da seguinte forma: resto de kn+1 é igual ao resto de kn vezes o resto de k1.

Exemplos:

1) Determinar o resto da divisão de 12341234 por 5.

Solução:

Primeiro aplica-se a propriedade (III), assim:

12341234 → 4 1234

MATEMÁTICA

74

Efetuar 41234 para encontrar seu resto por 5 é inviável, por isso, vamos estudar o comportamento do resto por 5 das potências de 4.

41 → 4

42 → 1

O aparecimento do resto 1 indica que os restos se repetem em períodos de tamanho 2, ou seja, o resto é 4, se o expoente é ímpar e 1, se o expoente é par.


Solução:


12341234 → 21234

Vamos estudar o comportamento do resto por 7 das potências de 2.

21 → 2

22 → 2

23 → 1

O aparecimento do resto 1 indica que os restos se repetem em períodos de tamanho 3, assim

1 2’ 3’ 4’ 3

0 3 411

0 4

1

Logo, o resto é o mesmo de 21, ou seja, 2.


Solução:


7849493 → 6493


61 → 6

62 → 3

63 → 7

64 → 9

65 → 10

66 → 5

67 → 8

68 → 4

69 → 2

610 → 1


4 9’ 3’ 10

9 3 49

3

Logo, o resto é o mesmo de 63, ou seja, 7.

4) Calcule o algarismo das unidades de 5837649.

Solução:

Para obtermos o algarismo das unidades, devemos calcular o resto por 10.

O algarismo das unidades de um número é o resto na sua divisão por 10.

Aplicando a propriedade (III): 5837649 → 7649


71 → 7

72 → 9

73 → 3

74 → 1


649 4

1 162

Logo, o resto é o mesmo de 71, ou seja, o resto e consequentemente, o algarismo das unidades é 7.

5. CONGRUÊNCIA

5.1 Definição

Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é congruente a b módulo m se, e somente se, a – b é múltiplo de m.

a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a – b)

Exemplo:

10 ≡ 1 (mod 3), pois 3 | (10 – 1)

5.2 Propriedades

I. a ≡ 0 (mod m) ⇔ m | a

II. a ≡ a (mod m)

III. a ≡ b (mod m) ⇔ b ≡ a (mod m)

IV. a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)

V. a ≡ b (mod m) ∧ c ≡ d (mod m) ⇒

⇒ a + c ≡ b + c (mod m) ∧ a – c ≡ b – c (mod m)

VI. a ≡ b (mod m) ∧ c ≡ d (mod m) ⇒

⇒ a . c ≡ b . c (mod m)

VII. a ≡ b (mod m) ∧ n | m (n > 0) ⇒ a ≡ b (mod m)

VIII. a ≡ b (mod m) ∧ c ≠ 0 ⇒ ac ≡ bc (mod m)

IX. a ≡ b (mod m) ∧ d | a ∧ d | b ∧ d | m (d > 0) ⇒

⇒ (a/d) ≡ (b/d) (mod m/d)

X. a ≡ b (mod m) ⇒

⇒ a ± c ≡ b ± c (mod m) ∧ a . c ≡ b . c (mod m)

XI. a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m), ∀n Z*+

XII. a . c ≡ b . c (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m)

XIII. a . c ≡ b . c (mod m) ∧ mdc (c, m) = d ⇒

⇒ a ≡ b (mod m/d)

75

MATEMÁTICA

75

XIV. a . c ≡ b . c (mod m) ∧ mdc (c, m) = 1 ⇒

⇒ a ≡ b (mod m)

XV. a .c ≡ b . c (mod p) ∧ p é primo ∧ p - c ⇒

⇒ a ≡ b (mod p)

XVI. Teorema: a ≡ b (mod m) se, e somente se, os restos das divisões de a e b por m são iguais.

XVII.a ≡ b (mod m1) ∧ ... ∧ a ≡ b (mod mk) ⇒

⇒ a ≡ b (mod mmc (m1, m2, ..., mk))

XVIII.a ≡ b (mod m) ⇒ P(a) ≡ P(b) (mod m) para todo polinômio de coeficientes inteiros.

Exemplo:

Calcule o algarismo das unidades de 5837649.

Para obtermos o algarismo das unidades, devemos calcular o resto por 10.

5837 ≡ 7 (mod 10)

58372 ≡ 7 . 7 ≡ 9 (mod 10)

58373 ≡ 9 . 7 ≡ 3 (mod 10)

58374 ≡ 3 . 7 ≡ (mod 10)

O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4. Observando os expoentes nota-se o seguinte:

ExPOENTE RESTO POR 10

4n +1 7

4n + 2 9

4n + 3 3

4n 1

Como o expoente 649 = 4 . 162 + 1, o resto por 10 é 7, ou seja, o algarismo das unidades é 7.

5.3 Equação Diofantina Linear

Equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c, onde a, b e c são inteiros. Sejam a e b inteiros positivos e d = mdc (a, b). Se d d - c, então a equação ax + by = c não possui nenhuma solução inteira. Se d | c, então ela possui infinitas soluções e se x = x0 e y = y0 é uma solução particular, então todas as soluções são dadas por

( )( )

0

0

x x b d k

y y a d k

= + = −

onde k é um inteiro.

Teorema de Silvester:

Sejam a e b inteiro positivos primos entre si, então ab – a – b é o maior valor inteiro positivo de c para o qual a equação ax + by = c não possui solução nos inteiros não negativos (Z+).

5.4 Congruência linear

Congruência linear é uma congruência da forma ax ≡ b (mod m), onde x é uma incógnita, a, b Z, m Z*

+ e mdc (a, m) = d. Se d - b, a congruência ax ≡ b (mod m) não possui nenhuma solução e, quando d | b, a congruência possui exatamente d solução não congruentes módulo m.

Exemplo:

Calcule x sabendo que 7x ≡ 4 (mod 10).

Primeiro notemos que mdc (7, 10) = 1 e 1 | 4, logo há uma única solução módulo 10.

Como x0 = 2 é uma solução dessa congruência linear, então x ≡ 2 (mod 10) é o conjunto de todas as soluções, que podem ser representadas como x = 2 + 10k, k Z.

6. PEQUENO TEOREmA DE FERmAT

Se p é primo e p - a, então a p–1 ≡ 1 (mod p).

Exemplo:

67–1 ≡ (mod 7).

Corolário: Se p é primo e a é um inteiro positivo, então ap ≡ a (mod p).

p é primo e a, b N ⇒ (a + b)p ≡ ap + bp (mod p2)

p é primo e b ≥ a ⇒ (b – a)p ≡ bp + ap (mod p2)

p é primo e ap ≡ bp (mod d) ⇒ ap ≡ bp (mod p2)

7. TEOREmA DE EULER

7.1 Função φ de Euler

Função φ de Euler é uma função aritmética definida para todo inteiro positivo n tal que φ(n) é o número de inteiros positivos menores ou iguais a n e que são relativamente primos com n.

Exemplo:

φ(8) = 4, pois 1, 3, 5 e 7 são relativamente primos com 8.

p é primo ⇒ φ(p) = p – 1

p é primo e k é um inteiro positivo ( )k k 1p p 1

p ⇒ φ = ⋅ −

Se 1 21 2

kkn p p pα α α= ⋅ ⋅ ⋅ é a decomposição canônica do

inteiro positivo n > 1, então

( )k

i 11 2 k i

1 1 1 1n n 1 1 1 n 1

p p p p=

φ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ∏

.

Exemplo:

( )2 1 112 2 3 12 12 1 1 4

2 3 = ⋅ ⇒ φ = ⋅ − ⋅ − =

MATEMÁTICA

76

7.2 Teorema de Euler:

Se m Z*+, a Z e mdc (a, m) = 1, então aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Exemplo:

mdc (10, 33) = 1 ⇒ 10φ(33) = 1020 ≡ 1 (mod 33).

Exemplo:

Se mdc (a, m) = 1, resolver ax ≡ b (mod m).

Pelo teorema de Euler,

aφ(m) ≡ 1 (mod m) ⇒ aφ(m) . b ≡ b (mod m) ⇒

Como mdc (a, m) = 1, podemos cancelar o fator a, então x ≡ aφ(m)–1 . b (mod m).

A parte inteira da metade de φ(n) representa a quantidade de espécies de polígonos regulares que se pode formar de n lados, convexos e estrelados.

A quantidade de algarismos do período de uma dízima

periódica, obtidos a partir de uma fração irredutível ND

, é igual a

φ(D) ou um divisor positivo deste.

Exemplo:

Seja a fração 211

, como φ (11) = 10, seu período pode ter 1, 2,

5 ou 10 algarismos. Como 2 1811 99

= o período terá 2 algarismos.

7.3 Ordem de a com respeito a n

Ordem de a com respeito a n é o número natural ordn (a) = min {i N; ai ≡ 1 (mod n)}.

Se a, n N, com mdc (a, n) 1, então ordn (a) | φ(n).

8. FUNÇÃO mAIOR INTEIRO (OU FUNÇÃO PISO)

8.1 Função maior inteiro (ou função piso)

Função maior inteiro (ou função piso) é a função que associa a cada número real x o maior inteiro maior ou igual a x e é denotada por x.

x = x + {x}, onde 0 ≤ {x} < 1 é a parte fracionária de x

Exemplo:

2 = 2, 2, 1 = 2, –2, 1 = –3

8.2 Fórmula de Polignac

Se p é primo e n Z*+, então p expoente de p em n! é

2 3

n n np p p

+ + + .

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

O resto da divisão do número 74348 por 6 é:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

02. (CN)

Sabendo-se que o resultado de 12 x 11 x 10 x ... x 3 x 2 x 1 x + 14 é divisível por 13, qual o resto da divisão do número 13 x 12 x ... x 3 x 2 x 1 por 169?

a) 143. b) 149.

c) 153. d) 156.

e) 162.

03. (CN)

Seja N = xyzzyx um número natural escrito na base dez, onde x, y e z são algarismos distintos. Se N1 e N2 são os dois maiores números divisíveis por 3 e 25, obtidos a partir de N pela substituição de x, y e z, então N1 + N2 é igual a

a) 1008800. b) 1108800.

c) 1156650. d) 1157000.

e) 1209800.

04. (CN)

O resto da divisão de 5131 + 7131 + 9131 + 15131 por 12 é igual a

a) 0. b) 2.

c) 7. d) 9.

e) 11.

05. (CN)

Um número natural N deixa: resto 2 quando dividido por 3; resto 3 quando dividido por 7; e resto 19 quando dividido por 41. Qual é o resto da divisão do número k = (N + 1) . (N + 4) . (N + 22) por 861?

a) 0. b) 13.

c) 19. d) 33.

e) 43.

06. (CN)

O valor numérico da expressão 120k4 + 10k2 + 8, sendo k pertencente ao conjunto dos números naturais, é o quadrado de um numero natural para:

a) somente um único valor de k.

b) somente dois valores de k.

c) somente valores de k múltiplos de 13.

d) somente valores de k múltiplos de 18.

e) nenhum valor de k .

77

MATEMÁTICA

77

07. (CN)

Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg, sendo uma de cada vez. Quantas viagens com uma carga deverá fazer, no mínimo, para transportar exatamente uma tonelada dessa carga?

a) 18. b) 17.

c) 16. d) 15.

e) 14.

08. (CN)

Dado o número N = [(2009)40 –1]40 – 2010, analise as afirmativas a seguir.

I. N é divisível por 2008.

II. N é divisível por 2009.

III. N é divisível por 200940 – 2010.

Com base nos dados apresentados, pode-se concluir que

a) apenas a afirmativa I é verdadeira.

b) apenas a afirmativa II é verdadeira.

c) apenas a afirmativa III é verdadeira.

d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

09. (CN)

Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno conseguiu determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação 5x2 + 11y2 = 876543. Qual foi o número de soluções que este aluno obteve?

a) 0. b) 1.

c) 2. d) 3.

e) 4.

10. (CN)

É correto afirmar que o número 52011 + 2 . 112011 é múltiplo de

a) 13. b) 11.

c) 7. d) 5.

e) 3.

11. (CN)

Assinale a opção que apresenta o único número que NÃO é inteiro.

a) 6 1771561 b) 4 28561

c) 6 4826807 d) 4 331776

e) 6 148035889

12. (CN)

Seja 'x' um número real. Define-se x como sendo o maior inteiro menor do que 'x', ou igual a 'x'. Por exemplo, 2, 7; –3, 6; 5 são, respectivamente, 2; –4 e 5. A solução da igualdade x + 2X = 6 é o intervalo [a; b). O valor de a + b é

a) 154

b) 92

c) 112

d) 133

e) 175

13.

Calcule os dois últimos algarismos de 2222 – 1.

a) 03. b) 13.

c) 23. d) 43.

e) 63.


01.

Sendo A, B, C, D, E e F números inteiros positivos, assinale o resto da divisão do número

1 . (1771 . a)6F – 2 + 2 . (1785 . B + 1)6F – 1 + 3 . (1799 . C + 3)6F

+ 4 . (1813 . D – 4) 6F + 1 + 5 . (1834 . E + 6)6F + 2 por 7.

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

02. (CMRJ)

Em um grande lançamento imobiliário, os cinco vendedores de plantão realizaram, numa semana, as seguintes vendas de unidades: Ademar vendeu 71, Bastos 76, Sobral 80, Calvet 82 e Euler 91. Valéria é a diretora do departamento de vendas da empresa e precisa calcular a venda média de unidades realizada por estes cinco profissionais. Curiosamente observou que, à medida que os valores iam sendo digitados e a média calculada, o programa de computador adotado gerava para resultados números inteiros. Assim, a última venda digitada por Valéria foi a realizada por

a) Calvet. b) Bastos.

c) Ademar. d) Sobral.

e) Euler.

03. (EPCAR)

Seja o número m = 488a9b, onde “b” é o algarismo das unidades e “a” o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a + b é igual a

a) 1. b) 7.

c) 9. d) 16.

04. (EPCAR)

Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é correto afirmar que

a) n + 1 é divisível por 7.

b) n está entre 2000 e 3009.

c) n + 2 é múltiplo de 10.

d) n apresenta 12 divisores positivos.

MATEMÁTICA

78

05. (EPCAR)

Seja um número m = 488a9b, onde “b” é o algarismo das unidades e “a”, o algarismo das centenas. Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a

a) 2. b) 7.

c) 10. d) 13.

06. (EPCAR)

O produto de um número inteiro A de três algarismos por 3 é um número terminado em 721. A soma dos algarismos de A é

a) 15. b) 16.

c) 17. d) 18.

07. (EPCAR)

Um número de três algarismos a, b e c, nessa ordem, (a > c) é tal que, quando se inverte a posição dos algarismos a e c e subtrai-se o novo número do original, encontra-se, na diferença, um número terminado em 4. Essa diferença é um número cuja soma dos algarismos é

a) 16. b) 17.

c) 18. d) 19.

08. (EPCAr)

Considere os algarismos zero e 4 e os números formados apenas com os mesmos. O número x representa o menor múltiplo positivo de 15, dentre os descritos acima.

Se x

30 possui um número α de divisores positivos, então α é igual a

a) 4. b) 6.

c) 8. d) 10.

09. (CN)

O resto da divisão por 5 do número 57439319 é

a) 0. b) 2.

c) 1. d) 4.

e) 3.

10. (CN)

O resto da divisão por 11 do resultado da expressão: 121120 + 911932 . 34326, é

a) 9. b) 1.

c) 10. d) 6.

e) 7.

11. (CN)

O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é

a) indeterminado. b) 20.

c) 18. d) 11.

e) 2.

12. (CN)


I. o número 1147 não é primo.

II. todo número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.

III. todo número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75.

IV. o número de divisores naturais de 576 é divisor de 63.

O número de afirmativas verdadeiras é

a) 0. b) 1.

c) 2. d) 3.

e) 4.

13. (CN)

Observe a ilustração a seguir.

Qual a quantidade mínima de peças necessárias para revestir, sem falta ou sobra, um quadrado de lado 5, utilizando as peças acima?

a) 12. b) 11.

c) 10. d) 9.

e) 8.

14. (CN)

Em dois triângulos, T1 e T2, cada base é o dobro da respectiva altura. As alturas desses triângulos, h1 e h2, são números ímpares positivos. Qual é o conjunto dos valores possíveis de h1 e h2, de modo que a área de T1 + T2 seja equivalente à área de um quadrado de lado inteiro?

a) ∅. b) unitário.

c) finito. d) {3, 5,7, 9, 11, ...}.

e) {11, 17, 23, 29, ...}.

15.

Os números da forma 2 2 2 2 2k 2010 k 2011 k 2012 k 2013 k 20144 4 4 4 4+ + + + ++ + + +

são sempre múltiplos de

a) 17. b) 19.

c) 23. d) 29.

e) 31.

16.

Para algum expoente inteiro n, tem-se 2008n = 162575A010009B, onde dois algarismos foram substituídos pelas letras A e B. O valor de |A – B + n| é

a) 2. b) 3.

c) 5. d) 6.

e) 8.

79

MATEMÁTICA

79

17.

Se x e y são números naturais e 19x + 97y = 1997, então o menor valor possível de x + y é

a) 21. b) 23.

c) 38. d) 41.

e) 47.

18.

O número de cinco dígitos 32a1b é múltiplo de 156, Calcule ab + a – b.

a) 57. b) 55.

c) 33. d) 21.

e) 36.

19.

A divisão de 30 + 31 + 32 + ... + 32009 por 8 deixa resto:

a) 0. b) 1.

c) 2. d) 4.

e) 6.

20.

Ao efetuar a soma 131 + 132 + 133 + ... + 132006 + 132007 obtemos um número inteiro. Qual é o algarismo das unidades desse número?

a) 1. b) 3.

c) 5. d) 7.

e) 9.

01.

Se n é um inteiro positivo, então os últimos dois algarismos de n10 não podem ser iguais a

a) 01. b) 25.

c) 36. d) 49.

e) 76.

02.

Seja k = 20082 + 22008. Qual é o algarismo das unidades de k2 + 2k?

a) 0. b) 2.

c) 4. d) 6.

e) 8.

03.

Sejam k, n Z*+ tais que (k + 1)n + (k + 2)n + (k + 3)n + (k + 4)n + (k + 5)n

é divisível por 5. Sobre n podemos afirmar que

a) é múltiplo de 5. b) é par.

c) é ímpar. d) não é múltiplo de 4.

e) nada se pode afirmar sobre n.

04.

Seja an igual a 6n + 8n, então o resto de a83 quando dividido por 49 é

a) 0. b) 11.

c) 23. d) 35.

e) 41.

05.

Os últimos dois dígitos do número 2 3 19915 5 5 52 2 2 2+ + + +

, quando escrito na base 10, são:

a) 12; b) 16;

c) 24; d) 28;

e) 56;

06.

O dígito das dezenas do quadrado de um inteiro a é 7. Qual é o dígito das unidades de a2?

a) 7. b) 6.

c) 5. d) 4.

e) 2.

07. (IME) Todo número real a pode ser escrito de forma única como a = a + {a}, em que a é inteiro e 0 ≤ {a} < 1. Chamamos a parte inteira de a e {a} parte fracionária de a. Se x + y + {z} = 4,2, y + z + {x} = 3,6 e z + x + {y} = 2, quanto vale x – y + z?a) –1. b) –0,5.c) 0. d) 0,5.e) 1.

08. (IME) Seja x um número inteiro positivo menor ou igual a 20.000. Sabe-se que 2x – x2 é divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de x.a) 4237. b) 4516.

c) 4923. d) 5247.

e) 5716.

noTaS

MATEMÁTICA

80

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. A 02. D

03. C 04. A

05. A 06. E

07. D 08. E

09. A 10. E

11. C 12. B

13. A


01. B 02. D

03. B 04. A

05. A 06. B

07. C 08. B

09. B 10. B

11. D 12. D

13. D 14. A

15. E 16. A

17. B 18. A

19. D 20. E

DESAFIO mIL

01. C 02. D

03. D 04. D

05. A 06. B

07. B 08. E

noTaS

81

MATEMÁTICA

81

poTenciação e radiciação

AbordagemTeórica

1. POTÊNCIA DE ExPOENTE NATURAL

Definição: Seja *a ∈ e n ∈ . A potência de base a e expoente n é um número na tal que:

0

n n 1

a 1

a a a , n, n 1−

=

= ⋅ ∀ ≥

Além disso, se *n ∈ , então n0 0= .

Assim, 1 1 1a a a 1 a a−= ⋅ = ⋅ = , 2 2 1a a a a a−= ⋅ = ⋅ ,...

Em geral pa , p ∈ e p 2≥ , é um produto de p fatores iguais a a : p

p fatores

a a a a= ⋅ ⋅ ⋅

.

Exemplos:04 1= ; ( ) 0

5 1− = ;

12 2= ; 11 1

5 5 = ; ( )1

4 4− = − ;

25 5 5 25= ⋅ = ; ( ) ( ) ( )23 3 3 9− = − ⋅ − = ;

20 0= ; 22 2 2 4

3 3 3 9 = ⋅ = ;

Deve-se ter especial atenção para a diferença entre os dois exemplos seguintes:

( ) ( ) ( )22 2 2 4− = − ⋅ − =22 2 2 4− = − ⋅ = −

Propriedades:

I. 0a 1, a 0= ∀ ≠II. 00 não é definido

III. 1a a=IV. p *0 0, p += ∀ ∈

V. Se n é par, então na 0> . Se n é ímpar, então na tem o mesmo sinal de a .

2. POTÊNCIA DE ExPOENTE INTEIRO NEGATIVO

n *n

1a , a

a− = ∈

Em geral, temos: n na b

b a

− =

.

Exemplos:

11

1 13

3 3− = = ; 2

2

1 13

3 9− = = ;

( )( )

3

3

1 1 13

27 273

−− = = = −−− ;

2

2

2 1 1 943 4293

− = = =

3. RAIZ N-ÉSImA ARITmÉTICA

Definição: Seja o radicando a +∈ e o índice n ∈ , existe sempre a raiz b +∈ , tal que

nn a b b a= ⇔ = .

Exemplo:5 32 2= , pois 52 32= .

A definição permite concluir que 4 16 2= e não 4 16 2= ± .

Da mesma forma, 2a a= . Assim, temos ( ) 25 5 5− = − = .

Se o radicando a é um número negativo, somente estão definidas no conjunto dos números reais as raízes de índices

ímpares. Assim, 3 8 2− = − , pois ( ) 32 8− = − , e 4− ∉ .

MATEMÁTICA

82

3.1 Propriedades das raízes

Sejam *n,p ∈ e a,b +∈ .

I. n pn m m pa a⋅ ⋅=II. n n na b a b⋅ = ⋅

III. n

nn

a ab b

= , b 0≠

IV. ( )m n mn a a=

V. p p nn a a⋅=Exemplos:

2 3 23 62 2 4⋅= = ; 2 218 2 3 2 3 3 2= ⋅ = ⋅ =9 9 34 24

= = ; ( )2 2 8= = ; 3 2 3 62 2 2⋅= =

3.2 Operações com radicais

Só é possível somar ou subtrair raízes idênticas (mesmo índice e radicando).

Exemplos:

3 3 2 3 5 3+ =3 3 34 2 2 3 2− =

Para multiplicar ou dividir raízes, basta que as raízes possuam o mesmo índice, o que é possível obter reduzindo as raízes ao mesmo índice com auxílio da propriedade (i).

Exemplos:3 3 3 32 3 2 3 6⋅ = ⋅ =

3 2 2 33 2 63 6 6 62 3 2 3 8 9 8 9 72⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

4. POTÊNCIA DE ExPOENTE RACIONAL

Seja *a +∈ e pq

∈ , define-se:

pq pqa a= ,

onde o numerador p do expoente fracionário torna-se po-tência do radicando e o denominador q do expoente fracionário, índice da raiz.

Exemplos:123 3= ;

23 235 5=

As potências de expoente irracional são definidas por “aproximação” de potências racionais, mas apenas para bases não negativas.

5. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

Seja *a,b +∈ e *p,q ∈ , são válidas as seguintes relações:

I. O produto de potências de mesma base é efetuado conser-vando-se a base e somando-se os expoentes:

p q p qa a a +⋅ =

II. O quociente de potências de mesma base é efetuado conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes:

pp q

q

aa

a−=

III. O produto de potências de bases diferentes e mesmo expoente é efetuado multiplicando-se as bases e conservando o expoente:

( )pp pa b a b⋅ = ⋅

IV. O quociente de potências de bases diferentes e mes-mo expoente é efetuado dividindo-se as bases e conservando o expoente:

pp

p

a ab b

=

V. A potenciação é efetuada multiplicando-se os expoentes:

( ) qp p qa a ⋅=

Exemplos:3 2 3 2 55 5 5 5+⋅ = = ;

55 2 3

2

22 2

2−= = ;

( ) 22 2 22 3 2 3 6⋅ = ⋅ = ; 22

22

6 63

2 2 = = ;

( ) 23 3 2 65 5 5⋅= = ; 23 95 5=

ATENÇÃO:

A potenciação cba deve ser efetuada de cima para baixo.

Isso é diferente de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cb b b b b

c fatores

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ =

. Assim,

23 95 5= e ( ) 23 3 2 65 5 5⋅= = .

6. EQUAÇÕES ExPONENCIAIS

Sendo 0 a 1< ≠ , entãox na a x n= ⇔ =

O método básico para a resolução de equações exponenciais é reduzir ambos os membros a uma base comum.

Exemplos:

1) x x 53 243 3 3 x 5= ⇔ = ⇔ =

2) x 3 x 5 3x 518 (2 ) 2 2 2

32− −= ⇔ = ⇔ =

53x 5 x

3⇔ = − ⇔ = −

3) 2x

x 34 34x 2 8

( 3) 9 3 3 x4 3 3

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

4) 2 22x 3x 2 2x 3x 2 0 25 1 5 5 2x 3x 2 0+ − + −= ⇔ = ⇔ + − = ⇔ x = -2

ou 1

x2

=

83

MATEMÁTICA

83

5) ( ) ( )2x 3 3 x3x 1 2x 3 3 x 3x 1 2 32 4 8 2 2 2+ −− + − −⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔

3x 1 4x 6 9 3x 7x 5 9 3x2 2 2 2 2− + − + −⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔2

7x 5 9 3x 10x 4 x5

⇔ + = − ⇔ = ⇔ =

No caso seguinte, devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente.

6) x 2 x x 15 5 5 505− +− + = ⇔x 2 2 x 2 3 x 25 5 5 5 5 505− − −⇔ − ⋅ + ⋅ = ⇔

( )x 2 2 3 x 25 1 5 5 505 101 5 505− −⇔ ⋅ − + = ⇔ ⋅ = ⇔x 2 15 5 x 2 1 x 3−⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Neste caso devemos fazer a substituição xy 2= e reduzir a equação a uma equação de 2º grau.

7) x x x 2 x4 4 5 2 (2 ) 5 2 4 0+ = ⋅ ⇔ − ⋅ + = ⇔x 2y 2 y 5y 4 0 y 1 y 4= ⇒ − + = ⇔ = ∨ =

x x 02 1 2 2 x 0= ⇔ = ⇔ =x x 22 4 2 2 x 2= ⇔ = ⇔ =

8) x x x4 6 2 9+ = ⋅ ( )x9÷x x 2x x4 6 2 2

2 0 2 09 9 3 3

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

x2

y 12

y y y 2 0 ou3

y 2 (não convém)

= = ⇒ + − = ⇔ = −

x21 x 0

3 ⇔ = ⇔ =

7. INEQUAÇÕES ExPONENCIAIS

A resolução de inequações exponenciais é baseada mono-tonicidade da função exponencial. Os dois casos estão apresen-tados abaixo:

x na 1: a a x n> > ⇔ >x n0 a 1: a a x n< ≠ > ⇔ <

As expressões acima refletem o fato da exponencial ser cres-cente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1.

A resolução das inequações é feita reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando as relações acima, que consistem em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1, e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.

1) x x 53 243 3 3 x 5> ⇔ > ⇔ >

2) x x 3 x 33 125 3 5 3 3

5 27 5 3 5 5

− ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ x 3⇔ ≥ −

7.1 Comparação entre potências

As relações das inequações exponenciais também permitem realizar a comparação entre potências.

Dessa forma, para potências de mesma base a 1> , a maior delas é a que possui maior expoente. Por outro lado, para po-tências de mesma base 0 a 1< < , a maior delas é a que possui menor expoente.

No caso de potências de bases distintas e mesmo expoente positivo, a maior potência corresponde à maior base. Note que no caso de expoentes negativos essa relação fica invertida.

Exemplos:32 é menor do que 52 ;

30,5 é maior do que 50,5 ;32 é menor do que 35 ; e

32 − é maior do que 35 −

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (UFPE)

Se n é um cubo perfeito, qual é o menor cubo perfeito maior que n?

a) ( )3 3n 1 3 n n 1+ + +

b) ( )3 3n 1 3 n n 1− + +

c) ( )3 3n 1 3 n n 1+ − +

d) ( )3 3n 1 3 n n 1− − +

e) ( )3 3n 1 3 n n 1+ + −

02. (EPCAr)

Simplificando-se a expressão

( ) ( )

( )

2 22 2

32

3

12 32 2

232 3

x . xS ,

x . x

−− − − =

−

onde x 0,≠ x 1≠ e x 1,≠ − obtém-se

a) 94x −− b) 94x

c) 94x − d) 94x−

03. (EPCAr)

O oposto do número real

( ) ( )( ) ( ) 12 2 1

2 2 1526 2

x495 128

−+

− − = +

está compreendido entre

a) 0,061− e 0,06−b) 0,062− e 0,061−c) 0,063− e 0,062−d) 0,064− e 0,063−

MATEMÁTICA

84

04. (CN)

Considere as afirmativas abaixo:

I. ( )6868 68 68 68 68 682 10 2 2 5 2 2 5+ = + × = + × = 68 68 684 5 20= × =II. ( )6868 68 68 68 68 682 10 2 2 5 2 2 5+ = + × = + × = 136 682 5= ×III. ( ) ( )17 2317 236 10 2 3 2 5+ = × + × = ( ) ( )17 17 23 23 17 23 17 232 3 2 5 2 2 3 5= × + × = × + ×Pode-se afirmar que:

a) apenas a afirmativa I é verdadeira

b) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras

c) apenas a afirmativa II é verdadeira

d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras

e) as afirmativas I, II e III são falsas

05. (CN)

O valor da expressão

( )25

322

316 16 3

0,333... 127 9 4

+− − + ⋅ + − −

, é

a) 313

−

b) 323

c) 0

d) 1

e) 1−

06. (CN)

São dadas as afirmativas abaixo no conjunto dos números reais:

(1) ( ) 22 2− = −

(2) ( ) ( )( ) ( )

4 1 4 1 4 4 239 1 9 91 9

− − ⋅ − ⋅= = = =

− − ⋅− ⋅(3) ( ) 2

2 2− = −

(4) 3 2 3 2+ = +Assinale a alternativa correta:

a) Todas as afirmativas são falsas.

b) Somente 2 é verdadeira.

c) 1 e 2 são verdadeiras.

d) 1, 2 e 3 são verdadeiras.

e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

07. (CN)

Sabendo que 3 2 6x 1999= , 4y 1999= e 5 4 8z 1999= , ( x 0> ,

y 0> e z 0> ), o valor de 13(x y z)

−⋅ ⋅ é:

a) 91999 b) 61999

c) 191999 d) 61999 −

e) 91999 −

08. (CN)

Para registrar o resultado da operação 101 972 5⋅ , o número de dígitos necessários é:

a) 96

b) 97

c) 98

d) 99

e) 100

09. (CN)

Coloque (F) Falso ou (V) Verdadeiro nas afirmativas no conjunto dos números reais e assinale a opção correta.

( ) Se 2x 4= então 6x 64= .

( ) Se 6x 64= então x 2= .

( ) ( ) 332 22 2< .

( ) Se x10 0,2= então 2x10 0,04= .

( ) n 2 n n2 2 5 2+ + = ⋅ .

a) (F) (V) (V) (V) (F)

b) (V) (F) (V) (V) (V)

c) (V) (F) (V) (V) (F)

d) (V) (V) (F) (V) (V)

e) (V) (F) (V) (F) (V)

10. (CMRJ)

Reduzindo

2 23

11 1

34

5

a bab aba a

b b

− −

−− −

−

−

×

à expressão mais simples, encontramos:

a) ab

b) ba

c) 1

ab d) ab

e) 2a

b

11. (CMRJ)

Se− − + +

− − + +

+ + + ⋅ + ⋅=

+ + + − ⋅

n 2 n 1 n n 1 n 1 n

n 2 n 1 n n 1 n 2 n

3 3 3 3 10 7 2 72 2 2 2 7 37 7

,

então o valor de n é

a) –4

b) –2

c) 0

d) 2

e) 4

85

MATEMÁTICA

85

12. (CMBH)

Dados os números 1355 , 909 e 2253 , podemos afirmar que:

a) 135 90 2255 9 3> >b) 225 135 903 5 9> >c) 90 135 2259 5 3> >d) 135 225 905 3 9> >e) 90 225 1359 3 5> >

13. (CN)

Se 200x 7= , 40 100y 1024 3= ⋅ e 25 50z 16 625= ⋅ , pode-se afirmar que:

a) x y z< < b) x z y< <c) y x z< < d) y z x< <e) z x y< <

14. (UFC)

Dentre as alternativas a seguir, marque aquela que contém o maior número.

a) 3 5 6⋅ b) 36 5⋅

c) 35 6⋅ d) 3 5 6⋅

e) 3 6 5⋅


01.

O valor de 3 616 8 0,125⋅ é:

a) 2 8 b) 34 4

c) 4 2 d) 32 2

e) 64 2

02. (IFRJ)

Se a 1= , b 2= e c 3= , o possível valor da expressão ( )c a1

b b 3a c− é

a) –2

b) –3

c) –4

d) 1

e) 0

03.

Que tipo de número é ( ) 5050

50 ?

a) um número irracional

b) uma quinta potência perfeita

c) um quadrado perfeito

d) um número racional não inteiro

e) um cubo perfeito

04.

O inverso da expressão:232 00,00001 0,01 1000 4 30

0,160,001 0,25 4

−

× ×+ − ⋅

é

a) 1 b) 1110

c) 1011

d) 10011

e) 11

100

05.

O valor de

( ) ( ) 251 5 33 12 2 2

2 3 10 3

50,3331 25 2 3 5

−

−

− − −

é:

a) 100

b) 120

c) 92

d) 121

e) 139

06.

Calcule o valor de

( ) ( )( ) ( )

4 22 1 2 1

32 2 1 1

ab a b abx

a b a b a b

− − −

− − −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

sendo 3a 10 −= e 2b 10 −= .

a) 0

b) 1

c) 10

d) 100

e) 1000

07.

O valor numérico de 44

33x

x −+ , sendo 60000 0,000003

x0,0004 1500000

⋅=

⋅, é:

a) 4 163 10⋅b) 4 163 10 −⋅c) 4 166 10⋅d) 5 162 3 10 −⋅ ⋅e) 5 162 3 10⋅ ⋅

MATEMÁTICA

86

08.

Considerando o conjunto dos números reais, analise as propo-sições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas.

( ) 3 2 3

12 5

3

a a aa a

a a a

⋅= , a 0>

( ) Se 5 9

20

a c0

b< , b 0> e a c 0− < , então a 0< e c 0> .

( ) ( ) 21 1

13 36

13

a aa

( a)

− −

−

⋅=

−, a 0>

( ) Se 2 6a 99= e 3 9b 33= , então 12

18a(0,111...)

b

− =

.

A sequência correta é

a) F – V – F – V

b) F – V – V – V

c) V – F – V – V

d) V – V – V – F

09. (UFC)

Sejam m, n, p e q inteiros não todos nulos tais que m n p q45 60 75 90 1⋅ ⋅ ⋅ = e m n p q 8+ + + = , o valor de m n p q⋅ ⋅ ⋅ é

a) 368640 b) 184320

c) 552960 d) 138240

e) 691200

10. (EsPCEx)

Se n é um número inteiro positivo, então o valor de ( ) ( )n n 12 2

+− + − será sempre igual a:

a) zero b) 2

c) n2 , para todo n d) ( )n2− , se n for ímpar

e) n2− , se n for par

11.

Sendo 2x 343= , 3 2y 49= e 6 5z 7= , o algarismo das unidades

simples do resultado de 24xy

z

é:

a) 1 b) 3

c) 5 d) 7

e) 9

12. (IME)

Sabendo que log2 0,3010= , log3 0,4771= e log5 0,6989= , o menor número entre as alternativas abaixo é:

a) 304

b) 249

c) 4025

d) 2081

e) 15625

13. (CMRJ)

A expressão 5 22 5

− , é igual a:

a) 1−

b) 103

c) 3

11

d) 10

3

e) 3 1010

14. (CMRJ)

Assinale a única FALSA dentre as afirmativas abaixo:

a) ( )20

54 13

3− =

b) 3 8 52 2 2− −÷ =

c) 2 3

89

16 82

2⋅

=

d) 3 8 2 1÷ =

e) 1

2 12

⋅ =

15. (EPCAR)

Marque a alternativa FALSA

a) 2x x= somente se x 0≥ .

b) 3 2 3

12 7

3

a a aa a

a a a= , *a +∈ .

c) 2x 2x 1 x 1+ + = + , x∀ ∈ .

d)

1 12 22 2 5 6

3 3 6

−

+ = .

16. (EPCAR)

Simplificando a expressão abaixo, obtém-se2

5 6

4 43 66 39 9

31 10 83 4

2 2

+ − −

⋅

a) ( ) 22

−−b) 22 −−c) 22−d) ( ) 2

2−

87

MATEMÁTICA

87

17. (EPCAr)

Considere os números reais

x 2,7=

( )34

1

y 0,25 16−

−

= +

( )2

23 13 5 322 5

27

2 2z

12

− ⋅

−

− −=

−

É FALSO afirmar que

a) z 3y 2

< −

b) 1

x y5

− <

c) x z 0+ <d) ( )x y z+ + ∉ −

18. (CN)

O valor de

( )0,5 73

3,444 4,5559 0,333 4 0,0625

64

+× + × −

é:

a) 0

b) 2

c) 3 2−d) 2 2−e) 1

19. (CN)

Analise as afirmativas a seguir.

I. ( ) ( )33270,333... 33 3=

II. ( ) 12 3 2 3

−+ = −

III. 3k10 tem ( )3k 1+ algarismos, qualquer que seja o número natural k .


a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

20. (CN)

Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10?

a) Uma.

b) Duas.

c) Três.

d) Quatro.

e) Cinco.

21. (CN)

Observe as afirmativas abaixo sobre os números reais x e y e assinale a opção correta.

I. 1

yx

< , então 1

xy

> , xy 0≠ .

II. x xy y

= , y 0≠ .

III. 2x y,> então x y> .

a) Apenas I é falsa.

b) Apenas II é falsa.

c) Apenas III é falsa.

d) I, II, III são falsas.

e) Apenas I e II são falsas.

22. (CN)

Resolvendo-se a expressão

( )7,2012

53

33 33 33 33 33 302

1,331 11

8 8 8 8 8 2

− − ×

+ + + +

encontra-se:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

23. (CN)

O valor da expressão

( ) ( )2 73

0,5

3 1 0,1 11 22

912 6 17 31

216 15

+ ⋅ −− − + ÷ + ÷

é:

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

24. (CN)

Resolvendo-se a expressão30,666... 9 0,52

12

8 4 2 9

149

−

+ − +

,

encontra-se

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

MATEMÁTICA

88

25. (CN)

A expressão

( )( )

2 0,333... 3

3

0,5 2 16

0,125

−

−

⋅ ⋅

escrita como potência de base 2 , tem como expoente:

a) 143

− b) 163

−

c) 6− d) 223

−

e) 8−

26. (CN)

Considere as sentenças abaixo.

I. 38 10244 2=

II. 6 34 64 512 128= <

III. 25 56 9+ =

IV. 4 4 2 2A B A B+ = + , para todo A e B reais

Pode-se concluir que:

a) Todas são verdadeiras.

b) (III) é a única falsa.

c) Somente (I) e (II) são verdadeiras.

d) (IV) é a única falsa.

e) Existe somente uma sentença verdadeira.

01.

Se 1 a 0− < < , então a alternativa correta sobre a relação existente

entre a3, –a3, a4, –a4, 1a

e 1a

− é:

a) 4 3 3 41 1a a a a

a a< − < < − < < − ;

b) 3 4 4 31 1a a a a

a a< < − < < − < −

c) 3 4 4 31 1a a a a

a a< < − < < − < −

d) 3 4 4 31 1a a a a

a a< < < − < − < −

e) 3 4 4 31 1a a a a

a a− < − < < − < <

02.

Dados 5p = 9, 9q = 12, 12r = 16, 16s = 20 e 20t = 25. Qual é o valor de p q r s t⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ?

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

03.

Se a b ax a x+ −= ⋅ , com x 0≠ , então ( )b

2a 2xb xx x⋅ é igual a:

a) a–1 b) 1

c) a d) 2a

e) a2

04.

Se nn 4= , então

n 8n 3n 2n 1nn

++++

é igual a:

a) 1

b) 16

c) 256

d) 400

e) maior que 1.000.000

05.

As representações decimais dos números 21999 e 51999 são escritas lado a lado. O número de algarismos escritos é igual a:

a) 1999

b) 2000

c) 2001

d) 3998

e) 3999

06.

Sejam

( ) ( )0

123 01

3 5

5 4 4a 0,2666...

(0,333...) ( 5)

−

−

⋅ − + − = + ⋅ −

,

12 3

3 245 0

153 149 153 149 8b . 27

4(2 3).(2 3)97

+ −= ÷ +

+ − e

( ) 411 33 520 2 2

2 12 33

51 2 3c

2 3 55−

= − − −

,

o valor de a b c− + é

a) 225

b) 5

c) 135

d) 10

e) 15

07.

Sabendo que a2010 67= e b2010 10= , o valor de 1 a b1 b

201− −

− é:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

e) 67

89

MATEMÁTICA

89

08. (IME)

Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por:

x y x ye e e

x y K

+ + = + =

,

admite solução real.

a) 0 ≤ K ≤ 2

b) 0 ≤ K ≤ ln2

c) 2K e −≥d) K ≥ ln4

e) 0 ≤ K ≤ 1

09. (ITA)

Considere um número real a 1≠ positivo, fixado, e a equação em x

2x xa 2 a 0+ β − β = , β ∈ .

Das afirmações:

I. Se 0β < , então existem duas soluções reais distintas;

II. Se 1β = − , então existe apenas uma solução real;

III. Se 0β = , então não existem soluções reais;

IV. Se 0β > , então existem duas soluções reais distintas,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

a) I. b) I e III.

c) II e III. d) II e IV.

e) I, III e IV.

noTaS

MATEMÁTICA

90

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. A 02. A

03. C 04. E

05. C 06. A

07. E 08. D

09. B 10. C

11. E 12. B

13. C 14. B


01. D 02. A

03. B 04. C

05. E 06. D

07. D 08. A

09. A 10. E

11. A 12. A

13. E 14. D

15. a) V: 2x x x, se x 0= = ≥b) V:

3 3 62 3 4 3 7

6 4 33 3 2 2

6 127 1412 7

12 127 7

a a a a a a a a

a aa a a a a a

a a a aa a

a a

⋅= = =

⋅⋅

= =

c) F:

Contra exemplo:

( ) ( )( )

22x 2 x 2x 1 2 2 2 1

1 1 1 2 1 x 1

= − ⇒ + + = − + ⋅ − + =

= = ≠ − = − + = +

Note que a expressão correta é 2x 2x 1 x 1+ + = + .

d) V:

1 12 22 2 2 3 2 3 5 6

3 3 63 2 6

− + + = + = =

16. A 17. A

18. D 19. E

20. C 21. D

22. E 23. C

24. A 25. B

26. C

DESAFIO mIL

01. C 02. B

03. C 04. C

05. B 06. A

07. B 08. D

09. C

noTaS

91

MATEMÁTICA

91

produToS noTáVeiS e FaToração

AbordagemTeórica

1. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão é transformá-la num produto de fatores de menor grau que a expressão original.

Produtos notáveis são expressões de forma conhecida que são memorizadas para facilitar o desenvolvimento de expressões algébricas e o processo de fatoração.

Para se realizar uma fatoração, duas técnicas são importan-tíssimas, a saber:

Evidenciação: consiste em aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em expressões cujos termos tenham fatores comuns:

( )a b a c a b c⋅ + ⋅ = ⋅ +

Exemplo:

( )2 23a b 6ab 3ab a 2b+ = +

Agrupamento: consiste em realizar seguidas evidenciações.

a . b + a . c + b . d + c . d =

= a . (b + c) + d . (b + c) = (b + c) . (a + d)

Exemplos:

( ) ( ) ( )( )3 2 2 2x x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x 1+ + + = + + ⋅ + = + +

2. PRODUTOS NOTÁVEIS

Vamos agora apresentar alguns produtos notáveis e fatorações úteis na resolução de problemas.

Produto de Stevin:

( ) ( ) ( ) ( )2x y x z x y z x yz+ ⋅ + = + + ⋅ +

Diferença de quadrados:

( ) ( )2 2a b a b a b− = + ⋅ −

Quadrado da soma e da diferença:

( ) 2 2 2a b a 2ab b+ = + +

( ) 2 2 2a b a 2ab b− = − +

( ) 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2ac 2bc+ + = + + + + +

( )( )

21 2 k

2 2 21 2 k 1 2 1 3 1 k k 1 k

2i i j

a a a

a a a 2a a 2a a 2a a 2a

a 2 a a

−

+ + + =

= + + + + + + + + + =

= +∑ ∑

Esses produtos notáveis são obtidos com auxílio da distribu-tividade da multiplicação em relação à adição.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

2 2

a b a b a b a a b b a b

a ab ba b

a 2ab b

+ = + ⋅ + = ⋅ + + ⋅ + =

= + + + =

= + +A fórmula do quadrado da diferença pode ser obtida facilmen-

te a partir da fórmula do quadrado da soma da seguinte forma: ( ) ( )( ) ( ) ( )22 22 2 2a b a b a 2 a b b a 2ab b− = + − = + ⋅ ⋅ − + − = − + .

A mesma ideia é útil para calcular o quadrado da soma de três números quando há sinais negativos.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

22

2 22

2 2 2

a b c a b c

a b c 2a b 2a c 2 b c

a b c 2ab 2ac 2bc

− − = + − + − =

= + − + − + − + − + − − =

= + + − − +

Identidades de Legendre:

( ) ( ) ( )2 2 2 2a b a b 2 a b+ + − = +

( ) ( )2 2a b a b 4ab+ − − =

( ) ( ) ( )4 4 2 2a b a b 8ab a b+ − − = +

Teorema: O trinômio da forma ax bx c+ + é o quadrado de um binômio do primeiro grau se, e somente se, 2b 4ac= .

Cubo da soma e da diferença:

( ) ( )3 3 2 2 3 3 3a b a 3a b 3ab b a b 3ab a b+ = + + + = + + +

( ) ( )3 3 2 2 3 3 3a b a 3a b 3ab b a b 3ab a b− = − + − = − − −

( ) 3

3 3 3 2 2 2 2 2 2

3 2

a b c

a b c 3a b 3a c 3b a 3b c 3c a 3c b 6abc

a 3 a b 6abc

+ + == + + + + + + + + + =

= + +∑ ∑

MATEMÁTICA

92

(a + b + c)3 ≡ a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc

(a + b + c)3 =

= a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

Soma de cubos:

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

Diferença de cubos:

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

Identidade trinômica ou identidade de Argand:

( ) ( )2 2 4 2x x 1 x x 1 x x 1+ + ⋅ − + = + +

( )( )2 2 2 2 4 2 2 4x xy y x xy y x x y y+ + − + = + +

( )( )2m m n 2n 2m m n 2n 4m 2m 2n 4nx x y y x x y y x x y y+ + − + = + +

3. BINÔmIO DE NEWTON

( )n n n 1 1 n 2 2 1 n 1 n

np n p

p 0

n n na b a a b a b a b b

1 2 n 1

nb a

p

− − −

−

=

+ = + + + + + = −

= ∑

Os coeficientes do desenvolvimento são chamados números binomiais e calculados da seguinte maneira:

( )n n!p p! n p !

= −

onde ( ) ( )k! k k 1 k 2 3 2 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , com k ∈ .

Esses coeficientes podem ser obtidos no diagrama abaixo

chamado de “Triângulo de Pascal”, no qual o valor de n

p

é o

( )p 1+ -ésimo elemento da linha correspondente a n.

Dessa forma, podemos escrever os seguintes desenvolvimentos.

( ) 4 4 3 2 2 3 4a b a 4a b 6a b 4ab b+ = + + + +

( )5 5 4 3 2 2 3 4 5a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b+ = + + + + +

( )6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6a b a 6a b 15a b 20a b 15a b 6ab b+ = + + + + + +

A seguir vamos apresentar algumas outras fatorações úteis.

( )( )

n n

n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1

n : a b

a b a a b a b a b ab b− − − − − −

∀ ∈ − =

= − + + + + + +

( )( )

n n

n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1

n e n ímpar : a b

a b a a b a b a b ab b− − − − − −

∈ + =

= + − + + + − +

Essa última fatoração é obtida a partir da anterior, substituindo b por ( )b− .

4. OUTRAS IDENTIDADES ImPORTANTES

Identidades de Gauss:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2

2 2 2

a b c 3abc a b c a b c ab ac ab

1a b c a b a c b c

2

+ + − = + + + + − − − =

= + + ⋅ − + − + −

( )( )( ) ( )( )a b b c c a abc a b c ab bc ca+ + + + = + + + +

Identidade de Sophie - Germain:

( )( )4 4 2 2 2 2a 4b a 2b 2ab a 2b 2ab+ = + + + −

Identidade de Lagrange:

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2ac bd ad bc a b c d+ ± = + +

5. TEOREmA DE D’ALEmBERT

Outro teorema muito útil para efetuar fatorações é o Teorema de D’Alembert: “O resto de um polinômio P(x) por (x – a) é P(a).

Um corolário desse teorema é: “Se um polinômio P(x) se anula para x = a, então ele contém o fator (x – a).”

Exemplo:

O trinômio ( ) 2p x x 3x 2= + + possui um fator (x + 1), pois se anula para x = –1. Note que ( ) ( )( )p x x 1 x 2= + + .

93

MATEMÁTICA

93

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Se m n p 6+ + = , mnp 2= e mn mp np 11+ + = , podemos dizer

que o valor de m n pnp mp mn

+ + é:

a) 1

b) 3

c) 7

d) 18

e) 22

02. (CN)

A expressão ( ) ( )2 23 3 3 3 3 3

3 3

x y z x y z

y z

+ + − − −+

, x y z 0⋅ ⋅ ≠ , é equi-

valente a:

a) 34x

b) 34yzx

c) 34yx

d) 4xyz

e) 34xz

03. (CN)

Dadas as afirmativas a seguir:

1) ( )( )( )5 2x 1 x 1 x 1 x 1− ≡ − + −

2) ( )5 2 21 5 1 5x 1 x 1 x x 1 x x 1

2 2

− +− ≡ − + + + +

3) ( )( )5 4 3 2x 1 x 1 x x x x 1− ≡ − + + + +

4) ( )( )5 3 2x 1 x 1 x 1− ≡ + −

5) ( )( )( )( )( )5x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1− ≡ − + − + −Quantas são verdadeiras?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

04. (CN)

Um aluno encontrou zero para o valor numérico da expressão 2 2x y 2x 5 4y+ − + + . Pode-se concluir que os valores pelos quais

substituiu as variáveis x e y são tais que sua soma é:

a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

05. (CN)

Para se explicitar x na equação 2ax bx c 0+ + = , a 0≠ , usa-se o recurso da complementação de quadrados. Usando-se o recurso da complementação de cubos um aluno determinou uma raiz real r da equação 3 2x 6x 12x 29 0− + − = . Pode-se afirmar que:

a) 0 r 1< <b) 1 r 2< <c) 2 r 3< <d) 3 r 4< <e) 4 r 5< <

06. (CN)

Simplificando a expressão

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc a b c

a b c a c 2ac b

− − − ⋅ + −

+ + ⋅ + − −

para os valores de a, b, c que não anulam o denominador, obtêm-se:

a) 1

b) 2

c) 3

d) a + b + c

e) a – b + c

07. (CN)

Simplificando

( )( )4 4

2 22 2 2 2

a b 2aba ba b 2ab a b 2ab

−−

−+ + + −

para b a≠ ± obtém-se:

a) 1

b) a ba b

+−

c) ba

d) a ba b

−+

e) ab

08. (EPCAR)

Considere os números a, b e x tais que a + b = x, a – b = x–1 e a b 0≠ ≠ . O valor da expressão

( )( )( )( )

2 2 3 3

2 2 2 2

2

a 2ab b a ba b a ab by

a ab2a

+ + −− + +=

−

é:

a) 2

b) 2x2

c) x2

d) 2x

2

MATEMÁTICA

94

09.

Fatorando x5 + x4 + 1 em dois fatores de menor grau, um dos fatores obtidos é:

a) x2 – x + 1 b) x2 + x – 1

c) x2 – x – 1 d) x3 – x + 1

e) x3 + x + 1

10.

Sabendo que x2 + y3 = 1 e x4 + y6 = 2, o valor de

( ) 22 3 4 2 3 6x y x 2x y y− − − − é

a) 0 b) 1

c) –1 d) 2

e) –2

11. (CN)

O quociente da divisão de ( ) 3 3 3 3a b c a b c+ + − − − por

( ) ( )2a b c c a b ab + + + + é:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

12. (CN)

Se2 2 2 x y z 8x y z yz xz xy 3

+ + + + + =

e x + y + z = 16, o produto x y z⋅ ⋅ é:

a) 192 b) 48

c) 32 d) 108

e) 96

13. (CN)

Qual é o produto notável representado, geometricamente, na figura acima, na qual ABCD é um retângulo?

a) 3 3a b+b) ( ) 3

a b+c) ( ) 2

a b+d) ( ) 22 2a b+e) ( ) 4

a b+

14. (CN)

Simplificando-se a fração4 4 2 2

2 2

a b 6a ba b 2ab

+ −− +

,

onde a b> , obtém-se

a) 2 2a b 2ab− − b) 2 2a b 2ab− +c) 2 2a b 2ab+ − d) 2 2a b 2ab+ +e) 2 2a b+

15. (CN)

Simplificando-se a fração2 2

2 2

x(x x y) y (y 1)x y xy+ − + +

+ −,

2 2x y xy 0+ − ≠ , obtém-se:

a) x y 1− + b) x y 1− −c) x y 1+ − d) 1 x y+ +e) 1 x y− +


01. (EPCAR)

Sendo ( ) ( ) ( )( )2 2E' a b a b a b a b= − − + + + −

e ( ) ( )3 3E'' a b a b= − + + , identifique E' E''+ :

a) ( ) ( )2 22a 1 a 6a 1 b 4ab− + + +b) ( ) ( )2 22a 1 a 6a 1 b 4ab+ + − −c) ( ) ( )2 22a 1 a 6a 1 b 4ab− − + −d) ( ) ( )2 22a 1 a 6a 1 b 4ab+ − + +e) ( ) ( )2 22a 1 a 6a 1 b 4ab− − − +

02. (EPCAR)

A expressão 2x 2x 2y 2z yx zx− − − + + é equivalente a:

a) ( )( )21 y z x 2− − −b) ( )( )x y z 2 x− + +c) ( )( )x y z 2 x− − −d) ( )( )x y z x 2+ + −e) ( )( )x y z x 2− − +

03. (EPCAR)

O produto

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a ab b a ab b a b a b+ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ +

é equivalente a:

a) a4 + b4

b) a4 – b4

c) a6 – b6

d) a4 – b6

e) a6 – b4

95

MATEMÁTICA

95

04. (EPCAR)

Sabendo que K é o valor que torna o trinômio 2m m n

2p p q

a 2a bK

c c d− + o

quadrado de uma diferença. Calcule K para b d n q 2= − = − = = .

a) (–2)8

b) 2–8

c) 2–4

d) (–2)4

e) 28

05. (EPCAR)

Dadas as expressões 2

2 2

x mx nx mnE

x m− − +

=−

e 1ED

n x−=

−, tem-se

que D é igual a

a) – x – m

b) x – m

c) x + m

d) – x + m

06. (EPCAR)


( )

2

2

2

x1 x

y

x y 2 xy

− − ⋅ − +

,

com x y 0> > , obtém-se

a) x – y

b) x + y

c) y – x

d) xy

07. (EPCAR)

Se 21

n 3n

+ = , então vale

a) 0

b) 3 3

c) 6 3

d) 10 3

3

08.

O produto

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2P x 1 x x 2 1 x 1 x x 2 1= − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +

quando simplificado se torna igual a:

a) 8x 1−b) 8x 1+c) 8 4x 2x 1+ −d) 8 4x 2x 1− −e) 8x

09.

Se 1 3 2x x

2−+ = então 3 3x x −+ é igual a:

a) 9 2

2

b) 9 2

4

c) 27 2

8

d) 27 2

4

e) 3 2

8

10.

Fatorando 5x x 1+ + em dois fatores de menor grau, um dos fatores obtidos é:

a) x2 – x + 1

b) x2 + x – 1

c) x2 – x – 1

d) x3 – x + 1

e) x3 – x2 + 1

11.

Se 1 12 2x x 3

−

+ = , calcule

3 32 2

2 2

x x 2x x 3

−

−

+ ++ +

.

a) 0,2

b) 0,4

c) 0,6

d) 0,8

e) 1

12.


1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a b b c c a 2 a b c 2 ab bc ac− + − + − = + + − + +

2. ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3a b c a b c 3 a b b c c a+ + − + + = + + +

3. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 31a b c a b b c c a a b c 3abc

2 + + − + − + − = + + −

Assinale:

a) Se somente as afirmativas (1) e (2) forem verdadeiras.

b) Se somente as afirmativas (1) e (3) forem verdadeiras.

c) Se somente as afirmativas (2) e (3) forem verdadeiras.

d) Se todas as afirmativas forem verdadeiras.

e) Se todas as afirmativas forem falsas.

MATEMÁTICA

96

13.

Analise as igualdades a seguir:

I. a b c

0(a b).(a c) (b c).(b a) (c a).(c b)

+ + =− − − − − −

II. 2 2 2 2 2 2

2

(x+y) (y+z) (z+x) (x y z )1

(x+y+z)+ + − + +

=

III. 2 b c 2 c a 2 a b1

b c (c a).(a b) c a (a b).(b c) a b (b c).(c a)− − −

+ + + + + =− − − − − − − − −

IV. 2 2 2 3

3 3 3 3 2 2

a ab a ab+b 2a 2ab b1 1

a b a+b a b a ab+b a b

− + ⋅ − − ⋅ − = − + + +

A quantidade de igualdades verdadeiras é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

14.

Analise as afirmações abaixo:

I. 3 3 34021 2011 2010

34021 2011 2010

− −=

⋅ ⋅II. ( )( )( ) ( )( )2 3 1023 2 4 256 5121 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x+ + + + + = + + + ⋅ ⋅ + +

III. ( ) ( ) ( ) ( )1.000.000 1.000.001 1.000.002 1.000.003 1 1.000.030.000.001⋅ ⋅ ⋅ + =

IV. 3 31 4 16 2,1 2 + + ∈ + A quantidade de afirmações FALSAS é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

15.


( )( )2011 20114 4

2 2 2010 2009 2008 2 2 2008 2009 2010

x y x yx 4yx 2xy 2y x x y x y x y xy y

+ ++−

− + − + − + − +

obtemos:

a) x2 + y2 b) 2x2 + y2

c) x2 + 2y2 d) 2x

e) 2y

16.

Se xy

ax y

=+

, yz

by z

=+

, zx

cz x

=+

, onde a,b,c 0≠ , então x é

igual a:

a) abc

ab bc ca+ +

b) 2abc

ab bc ca+ +

c) 2abc

ab bc ca− +

d) 2abc

ab bc ca− + +

e) 2abc

ab bc ca+ −

17. (CMRJ)

Sendo 7

a18

= , 5

b8

= e 2

c9

= , o valor numérico da expressão

abaixo vale:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 23a b 2c 2a 3c 5 c a a c b 2a b+ − − − + − + + −

a) 0 b) 49

c) 1 d) 3527

e) 2518

18. (CMRJ)

Dados os números reais a, b, c diferentes de zero e a b c 0+ + ≠ , para que a igualdade

1 1 1 1a b c a b c

+ + =+ +

sempre se verifique, devemos ter, necessariamente:

a) a b 2c= =b) a b 2c= = −c) a b= ou b c= ou a c=

d) a c

b2+

=

e) a b= − ou b c= − ou a c= −

19. (CMRJ)

Se 3 2

2

x 3x 3x 1M

5x 10x 5− + −

=− +

e 3x 1

N5x 10

−=

+, o valor de

MN

para

x 2= é:

a) 4 2

5+

b) 1 2

7+

c) 4 2+

d) 4 2

5−

e) 4 2

7+

20. (CMRJ)

Simplificando a fração algébrica3 2

4 3 2

2x 3x 272x 3x 9x 27x 81

− −+ − − −

,

encontramos

a) x + 3

b) 1

x 3+c) x – 3

d) 1

x 3−

e) x 3x 3

+−

97

MATEMÁTICA

97

21. (IME)

Seja x um número real ou complexo para o qual 1

x 1x

+ = . O valor

de 66

1x

x +

é:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

22. (CN)

Sabe-se que 3a 3a 1 93− + = e 4K a 6a 1= − + . Logo, K também pode ser expresso por:

a) 23a 86a 1+ +b) 23a 84a 1+ +c) 26a 86a 1+ +d) 26a 84a 1+ +e) 29a 86a 1+ +

23. (CN)

Se x y 2+ = e ( ) ( )2 2 3 3x y x y 4+ + = , então xy é igual a:

a) 12/11

b) 13/11

c) 14/11

d) 15/11

e) 16/11

24. (CN)

O número a 0≠ tem inverso igual a b. Sabendo-se que a + b = 2, qual é o valor de ( )( )3 3 4 4a b a b+ − ?

a) 8

b) 6

c) 4

d) 2

e) 0

25. (CN)

A soma das raízes de uma equação do 2 grau é 2 e o produto dessas raízes é 0,25 . Determine o valor de

3 3 2

2 2

a b 2aba b

− −−

,

sabendo que 'a' e 'b' são as raízes dessa equação do 2 grau e a b> , e assinale a opção correta.

a) 12

b) 3 24−

c) 1−

d) 1

24

+

e) 1

24

−

26. (CN)

Sejam ‘a’, ‘b‘ e ‘c‘ números reais não nulos tais que1 1 1

pab bc ac

+ + = , a b c a b c

qb a a c c b

+ + + + + =

e ab + ac + bc = r. O valor de q2 + 6q é sempre igual a

a) 2 2p r 9

4+

b) 2 2p r 9p

12−

c) 2 2p r 9−

d) 2 2p r 10

4r−

e) 2 2p r 12p−

01.

Se2

22

1992 1992x 1 1992

1993 1993= + + + ,

então qual das afirmações é verdadeira?

a) 1992 < x < 1993

b) x = 1993

c) 1993 < x < 1994

d) x = 1994

e) x > 1994

02.

Sabendo que x, y e z são reais satisfazendo xyz = 1, calcule o valor da expressão:

1 1 1A .

1 x xy 1 y yz 1 z xz= + +

+ + + + + +

a) 0 b) 1

c) –1 d) 2

e) –2

03.

Se a b

xa b

−=

+,

b cy

b c−

=+

e c a

zc a

−=

+, então o valor de

( )( )( )( )( )( )1 x 1 y 1 z

1 x 1 y 1 z

+ + +− − −

é

a) 0

b) 1−c) 1

d) a b c+ +

e) ( )( )( )( )( )( )a b b c c aa b b c c a

+ + +− − −

MATEMÁTICA

98

04. (CN)

Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que 2 24 y z

3yz 2z 2y

+ + = . Qual é o valor de y z+ ?

a) –2 b) –1

c) 0 d) 2

e) 3

05.

Sejam a, b, c números reais não nulos tais que a b c 0+ + = e 3 3 3 5 5 5a b c a b c+ + = + + . O valor de 2 2 2a b c+ + é

a) 1 b) 34

c) 45

d) 54

e) 65

06.

Um fator entre 1000 e 5000 do número 33 19 172 2 2 1− − − é igual a:

a) 1999 b) 1998

c) 1993 d) 1988

e) 1983

07.

Se x y z

0y z z x x y

+ + =− − −

, então o valor de

2 2 2

x y z(y z) (z x) (x y)

+ +− − −

é:

a) 0

b) x + y

c) 1

d) x + y + z

e) 3

08.

Sabendo que ( )( )( )( )( )( )a b b c c a 2008a b b c c a 2009

− − −=

+ + +, o valor de

a b ca b b c c a

+ ++ + +

é igual a:

a) 40174018

b) 40154016

c) 40184019

d) 40184017

e) 40194018

09.

Escrevendo o número 5 64 53 4+ como o produto de dois inteiros,

ambos maiores que 200910 , um dos fatores obtidos é:

a) 256 15625 256 78139 2 3 2+ + ⋅b) 256 15624 256 78139 2 3 2+ + ⋅c) 256 15625 256 78129 2 3 2+ + ⋅d) 256 15624 256 78139 2 3 2+ − ⋅e) 256 15625 256 78129 2 3 2+ − ⋅

10.

O número

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

10 324 22 324 34 324 46 324 58 324

4 324 16 324 28 324 40 324 52 324

+ + + + +

+ + + + +

é igual a:

a) 371 b) 372

c) 373 d) 374

e) 375

noTaS

99

MATEMÁTICA

99

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. C 02. A

03. B 04. B

05. E 06. A

07. D 08. B

09. D 10. D

11. C 12. E

13. C 14. A

15. D


01. B 02. D

03. C 04. B

05. A 06. A

07. A 08. A

09. B 10. E

11. B 12. D

13. B 14. B

15. E 16. E

17. E 18. E

19. E 20. B

21. B 22. A

23. C 24. E

25. E 26. C

DESAFIO mIL

01. B 02. B

03. C 04. A

05. E 06. E

07. A 08. E

09. A 10. C

noTaS

MATEMÁTICA

100

101

MATEMÁTICA

101

AbordagemTeórica

1. NÚmEROS IRRACIONAIS

São aqueles que possuem representações decimais infinitas e não periódicas. Os números irracionais ao contrários dos racionais

não podem ser representados na forma ab

com b 0≠ .

Exemplo:

2 1,41421356= e 3 2 1,259921=

Outro aspecto importante sendo α irracional e r racional

não nulo é que os números rα + r, rα − , rα ⋅ , rα

e rα

são

todos irracionais.Exemplo:

São irracionais: 2 1+ , 2 3− , 5 2 , 2

2 e

1

2.

2. RACIONALIZAÇÃO

Racionalizar consiste em transformar as expressões com radicais no denominador em expressões equivalentes que não apresentem radicais no denominador.

Esta operação é feita multiplicando-se o numerador e o de-nominador da fração por um fator racionalizante. Este fator é a expressão que multiplicada pelo denominador resulte em uma expressão sem radicais. Este fator é encontrado tendo por base as propriedades de potências e raízes, e a analogia com as fórmulas da fatoração.

2.1 Casos de racionalização

2.1.1 Baseados nas propriedades de potências e raízes:

a) 2

1 1 2 2 222 2 2 2

= ⋅ = =

b) 3 2 3 3

33 3 3 32 3

3 3 3 3. 9 3. 99

33 3 3 3= ⋅ = = =

racionalização eradical duplo

2.1.2 Baseados na fórmula: ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

a)

( ) ( )2 2

1 1 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 23 2

3 23 2

+= ⋅ =

− − ++ +

= = = +−−

b)

( ) 22

1 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 12 1

2 12 1

−= ⋅ =

+ + −− −

= = = −−−

2.1.3 Baseados nas fórmulas: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b± = ± +

a)

( )( )

( )( )

( )

223 3

23 3 23 3

2 223 3 3 3

3 33

33

2 2 1 11 1

2 1 2 1 2 2 1 1

2 2 1 1 2 2 14 2 1

2 12 1

+ ⋅ += ⋅ =

− − + ⋅ +

+ ⋅ + + += = = + +

−−

b)

( ) ( )

3 3 33 3 3 3 3

3 3 33 3 3

3 3

1 1 3 2

9 6 4 9 6 4 3 2

3 2 3 2 3 23 2 53 2

= ⋅ =− + − + +

+ + += = =

MATEMÁTICA

102

3. TRANSFORmAÇÃO DE RADICAIS DUPLOS

A C A CA B

2 2+ −

± = ± , onde 2C= A B−

Demonstração: Supondo a transformação possível, escrevem-se as igualdades a seguir

A B x y

A B x y

+ = + − = −

Somando e subtraindo, vem:

A B A B 2 x

A B A B 2 y

+ + − = + − − =

Elevando ambas ao quadrado e simplificando, tem-se:

1º)2

22

A B A B 2 A B 4x

A A B2A 2 A B 4x x

2

+ + − + − = ⇔

+ −⇔ + − = ⇔ =

2º)2

22

A B A B 2 A B 4y

A A B2A 2 A B 4y y

2

+ + − − − = ⇔

− −⇔ − − = ⇔ =

Como interessam os casos em que x e y são racionais, 2A B− deve ser um quadrado perfeito, isto é, 2 2A B C− = . Daí,

A Cx

2+

= e A C

y2−

= , que substituído na expressão inicial resulta

na fórmula que queríamos demonstrar.

Exemplo 1:

3 2 3 2 5 1 10 23 5

2 2 2 22

+ − ++ = + = + =

2C 3 5 2= − =

Exemplo 2:

6 4 6 46 2 5 6 20 5 1

2 2+ −

− = − = − = −

2C 6 20 4= − =

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CMRJ)

A expressão 5 22 5

− , é igual a:

a) –1 b) 103

c) 3

11 d)

10

3

e) 3 1010

02. (CN)

3

2 2

5 3 2−

−

é um número que está entre:

a) 0 e 2. b) 2 e 4.

c) 4 e 6. d) 6 e 8.

e) 8 e 10.

03. (CN)

O número 4

1

2 2 3+ é igual a

a) 2 1+ b) 2 2+

c) 2 1− d) 1 2−

e) 2 2−

04. (CN)

O denominador racionalizado de 4

1

3 12 1+ + é:

a) 10 b) 8

c) 4 d) 3

e) 2

05. (CN)

O valor de

( )( ) 2

3 2 3 5 2 1

2 3 52 2 3 5 1 1

+ + +−

+ ++ + + −

é:

a) 3 4 2 15

12+ −

b) 2 3 5

12+ +

c) 2 3 3 2 30

24+ −

d) 2 3 3 2 30

24+ +

e) 2 3 3 2 4 30

24+ +

103

MATEMÁTICA

103

06. (CN)

O valor de 4 4

4

8 2 1 8 2 1

8 2 1

+ − − − −

− + é:

a) 1 b) 2

c) 2 d) 2 2

e) 3 2

07. (CN)

O denominador da fração irredutível, resultante da racionalização

de 1

6 50 5 75 128 16 48− − − é:

a) 11 b) 22

c) 33 d) 44

e) 55

08. (CN)

Se a 4 10 2 5= − + e b 4 10 2 5= + + , então a b+ é

igual a:

a) 10 b) 4

c) 2 2 d) 5 1+e) 3 2+

09. (CN)

O resultado mais simples para a expressão

( ) ( )2 24 448 7 48 7+ + −

é:

a) 2 3

b) 44 3

c) 4

d) 2 7

e) 4 3 7 4 3 7+ + −

10. (CN)

Um aluno resolvendo uma questão de múltipla escolha chegou

ao seguinte resultado 4 49 20 6+ , no entanto as opções esta-

vam em números decimais e pedia-se a mais próxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo que o radicando da raiz de índice 4 é quarta potência de uma soma de dois radicais simples, concluiu, com maior facilidade, que a opção para a resposta foi

a) 3,00 b) 3,05

c) 3,15 d) 3,25

e) 3,35

11. (CN)

O número 3 31 4 16+ + está situado entre

a) 1 e 1,5 b) 1,5 e 2

c) 2 e 2,5 d) 2,5 e 3

e) 3,5 e 4


01.

Se1

2 11

22 x

= ++

+

então x é igual a:

a) 2 2− b) 2 2+c) 2 d) 2 1+e) 2 1−

02. (UFC)

O valor exato de 32 10 7 32 10 7+ + − é

a) 12 b) 11

c) 10 d) 9

e) 8

03. (CEFET)

Simplificando a expressão a seguir, temos:

5 3 520 35 25 1024

576 392 450 441

− − +

− + −

a) 3 2 2 3

7+

b) 9 2 6

7+

c) 3 2 2 3

7−

d) 9 2 6

7−

e) 2 37−

04.

O valor de2

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −+

+ + − −

é igual a:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 6

05.

O valor do inteiro a tal que ( )3 3 3 3

3

12 1 1 2 4

a− = − + é igual a:

a) 2 b) 4

c) 6 d) 8

e) 9

MATEMÁTICA

104

06.

O valor de

4 4

4

125 5 1 125 5 1

2000 1280 4

+ − − − −

− +

é:

a) 1 b) 2

c) 2 d) 2 2

e) 3 2

07. (CMRJ)

Racionalizando o denominador da fração 6 6 3

5

16 196 49+ +,

obtemos:

a) 33 2+ b) 33 2−

c) 3 37 2− d) 35 5+

e) 37 2+

08. (CN)3 10 6 3+ é igual a:

a) 1 7+ b) 1 6+c) 1 5+ d) 1 3+e) 1 2+

09. (CN)

Efetuando 2 3 2 3

2 3 2 3

+ −+

− +, obtém-se:

a) 4 b) 3

c) 2 d) 23

e) 1

10. (CN)

3 33 2 2 2 3 2 2 2+ − − , é igual a:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

11. (CN)

Sejam

( ) ( )1997 19972 3 2 3

x2

+ + −= e

( ) ( )1997 19972 3 2 3

y3

+ − −= ,

o valor de 2 24x 3y− é:

a) 1

b) 4

c) 2

d) 5

e) 3

12. (CN)

O valor da expressão1 1 1 1

1 2 2 3 3 2 99 10+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ + + +

é:

a) –10 b) –9

c) 19

d) 9

e) 10

13. (CN)

Se 2 x 3< < , então x 2 x 1 x 2 x 1+ − − − − é igual a:

a) 2 b) x

c) 2 x 1− d) 2 x

e) 3

14. (CN)

O valor de

( )( )

2008

1338

3 2 23 2 2

5 2 7

++ −

+

é um número

a) múltiplo de onze.

b) múltiplo de sete.

c) múltiplo de cinco.

d) múltiplo de três.

e) primo.

01.

Sendo x e y números inteiros positivos tais que

14 3 3 2 5 12 3 2 2 x y+ + − − = + , o valor de x y− é:

a) 1 b) 3

c) 7 d) 10

e) 12

02.

O número real2

x

3 5 13 48

=+ − +

está entre:

a) 0 e 1 b) 1 e 2

c) 2 e 3 d) 3 e 4

e) 4 e 5

105

MATEMÁTICA

105

03.

Simplificando

( )1

33 3 3

3 3 3 3 3

3 40 1013 4 5 2 25 25

64 25 8 5 25

−

+ − ⋅ − − + − +

obtemos:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

04.

O valor da soma

( )( )

( )( ) ( )( )

4 4

4 4 4 4

1S

1 2 1 21 1

...2 3 2 3 255 256 255 256

= ++ +

+ + ++ + + +

é igual a

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

05.

O valor de 3 3 3 33 2 23

1 1S

1 2 4 26 26.27 27= + +

+ + + + onde

o k-ésimo termo possui a forma 3 2 233

1

k k(k 1) (k 1)+ + + +.

a) 1

b) 2

c) 3 227 1−

d) 3 227 1+

e) 3 2 327 27 1− +

06.

Para cada inteiro n, seja 3 3 32 2 2

1f(n)

n 2n 1 n 1 n 2n 1=

+ + + − + − +.

O valor de f(1) f(3) f(5) f(999997) f(999999)+ + + + + é:

a) 1

1000000

b) 1

100c) 1

d) 50

e) 100

noTaS

MATEMÁTICA

106

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. E 02. B

03. C 04. C

05. C 06. C

07. B 08. D

09. C 10. C

11. C


01. E 02. C

03. D 04. B

05. E 06. A

07. C 08. D

09. A 10. B

11. B 12. D

13. A 14. D

DESAFIO mIL

01. A 02. B

03. D 04. C

05. B 06. D

noTaS

107

MATEMÁTICA

107

conjunToS numéricoS, inTerValoS reaiS, produToS

carTeSianoS e relaçõeSAbordagemTeórica

1. CONJUNTOS NUmÉRICOS

Os conjuntos numéricos são apresentados a seguir do mais simples para o mais complexo. Deve-se observar que os conjun-tos são ampliações dos anteriores para possibilitar a realização de determinadas operações.

Para melhor compreender isso é importante entender o sig-nificado da propriedade do fechamento: um conjunto é fechado em relação a uma determinada operação se, quaisquer que sejam os elementos do conjunto a ser operados, o resultado pertence ao conjunto. Por exemplo, a soma de dois números naturais é sem-pre um número natural, logo os naturais são fechados em relação à adição; já a subtração de dois naturais nem sempre é natural, assim os naturais não são fechados em relação à subtração.

1.1 Conjunto dos números naturais:

São os números usados para contar.

{ }0,1,2,3,=

O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação, mas não é fechado em relação à subtração e à divisão.

O conjunto dos naturais positivos { }0−

é denotado por *

.

{ }* 1,2,3,=

Propriedades: a, b, c ∈

Tricotomia: Dados a, b ∈ quaisquer, vale uma, e somen-te uma, das três alternativas: a = b, a < b ou a > b.

Transitividade:

(a = b) ∧ (b = c) ⇒ a = c e (a < b) ∧ (b < c) ⇒ a < c

Associatividade:

( ) ( )a b c a b c+ + = + + e ( ) ( )ab c a bc=Comutatividade:

a + b = b + a e a . b = b . a

Elemento neutro:

a + 0 = a e a . 1 = a

Distributividade:

a . (b + c) = a . b + a . c

Lei do corte:

a + b = a + c ⇔ b = c e a . b = a . c ∧ a ≠ 0 ⇒ b = c

Princípio da boa-ordenação: todo subconjunto não vazio dos números naturais possui um menor elemento.

1.2. Conjunto dos números inteiros:

= {..., – 2, –1, 0, 1, 2,...}

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à adição, multiplicação e subtração, mas não é fechado em relação à divisão.

Subconjuntos notáveis:

Inteiros não-negativos: + = {0, 1, 2, 3...} =

Inteiros não-positivos: – = {0, –1, –2, –3...}

Inteiros não-nulos: * = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3,...}

Inteiros positivos: { }* 1, 2, 3,+ =

Inteiros negativos: { }* 1, 2, 3,− = − − −

O conjunto dos números inteiros possui todas as proprieda-des dos números naturais e adicionalmente é fechado em relação à subtração.

Simétrico ou oposto para a adição:

Para todo a ∈ , existe a− ∈ tal que a + (–a) = 0.

Definição de subtração: a – b = a + (–b)

Valor absoluto ou módulo de um inteiro

a, se a 0a

a, se a 0

≥= − <

MATEMÁTICA

108

Exemplos:

|1| = 1, |–1| = – (–1) = 1 e |0| = 0.

Propriedades do módulo:

1) |x| ≥ 0

2) – |x| ≤ x ≤ |x|

3) |x| ⋅ |y| = |x| ⋅ |y| = |x ⋅ y||

4) 2x x=

5) |x|2 = x2

6) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular)

7) |x| – |y| ≤ |x + y|

8) |x| – |y| ≤ |x – y|

1.3. Conjunto dos números racionais:

É o conjunto dos números que podem ser escritos sobre forma de fração.

*aa , b e mdc(a, b) 1

b = ∈ ∈ =

Exemplos:

2 7 6 3 7 6 2; ;0,6 ;7 ;0,666...

7 3 10 5 1 9 3−

= = = = =

O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adi-ção, subtração, multiplicação e divisão (denominador não nulo).

Nesse conjunto encontram-se:

inteiros

frações

decimais exatos

dízimas periódicas

Os números inteiros são também números racionais, pois po-dem ser considerados frações de denominador 1 .

Não são números racionais as dízimas não periódicas, pois não podem ser escritas sob forma de fração.

No conjunto dos racionais são adotadas as seguintes defini-ções e operações:

igualdade: a cad bc

b d= ⇔ =

adição: a c ad bcb d bd

++ =

multiplicação: a c acb d bd

⋅ =

divisão: a c a db d b c

÷ = ⋅

1.4. Conjunto dos números reais:

O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais (dízi-mas não periódicas).

= ∪

Os números irracionais são representados por Ι ou , são números que não podem ser escritos sob forma de fração e sua representação decimal é na forma de dízimas não periódicas.

Exemplos:

2 , 3 , π , e .O conjunto dos números reais é fechado em relação à adi-

ção, subtração, multiplicação, divisão. (denominador não nulo) e radiciação (exceto raiz par de números negativos).

Representação em diagramas:

Como pôde ser observado pelas definições dos conjuntos e acrescentando o conjunto dos números complexos, vale a seguin-te relação:

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

Isso pode ser representado pelo seguinte diagrama.

Reta real

Entre o conjunto dos pontos de uma reta orientada e o conjunto dos números reais existe uma correspondência biunívoca, ou seja, o conjunto pode ser representado por uma reta orientada que recebe o nome de reta real.

-2 -1 1 20

232−

�O módulo de um número, definido anteriormente, pode ser

entendido como a distância entre o ponto correspondente ao número na reta real e a origem da mesma.

1.5. Conjunto dos números irracionais

Vamos tratar agora de algumas propriedades dos números irracionais.

Em contraste com os números racionais, que são fechados em relação à adição, subtração e divisão (exceto por zero), os números racionais não possuem nenhumas dessas propriedades.

109

MATEMÁTICA

109

Teorema: Seja α um número irracional e r um número racio-nal diferente de zero. Então a adição, subtração, multiplicação e divisão de r e α resultarão em números irracionais. Também são irracionais −α e 1−α .

2. INTERVALOS REAIS

Dados dois números reais a b< , define-se:

2.1 Intervalo fechado em a e b:

[a, b] = [x ∈

|a ≤ x ≤ b}

2.2 Intervalo fechado em a e aberto em b:

[a, b[ = [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b}

2.3 Intervalo aberto em a e fechado em b:

]a, b] = (a, b] = {x ∈

|a < x ≤ b}

2.4 intervalo aberto em a e b:

]a, b[ = (a, b) = {x ∈

|a < x < b}

2.4. Intervalo aberto em a e b:

] [ ( ) { }a,b a,b x a x b= = ∈ < <

2.5. Intervalos de extremos infinitos:

[a, +∝[ = [a, +∝) = {x ∈

|x ≥ a}

]a, +∝[ = (a, + ∝) = {x ∈

|x > a}

] ] ( ] { }, a ,a x x a−∞ = −∞ = ∈ ≤

] [ ( ) { },a ,a x x a−∞ = −∞ = ∈ <

As extremidades infinitas de intervalos são sempre represen-tadas abertas, como por exemplo [ [2,+∞

Na representação gráfica de intervalos sobre a reta real, extremidades fechadas são sempre representadas por bolas pin-tadas e extremidades abertas por bolas não pintadas. Assim, o intervalo [2, 3[ pode ser representado como segue:

As operações entre intervalos são as mesmas vistas no estu-do dos conjuntos e podem ser mais facilmente efetuadas com o auxílio de representações gráficas.

Exemplo:

Sejam os intervalos [ ]2,7Ι = e ] [J 5,9= , determine JΙ ∩ ,

JΙ ∪ e JΙ − .

] ]J 5,7Ι ∩ =, [ [J 2,9Ι ∪ =

, [ ]J 2,5Ι − =

3. PAR ORDENADO

O conceito de par ordenado é um conceito primitivo, deno-tado por (a, b), sendo um conjunto de dois elementos ordenados.

3.1 Igualdade:

Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, as suas

duas coordenadas são iguais.

( ) ( )a,b c,d a c b d= ⇔ = ∧ =

MATEMÁTICA

110

3.2. Representação gráfica

Os pares ordenados podem ser representados no SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL onde o primeiro elemento do par orde-nado é representado no eixo horizontal Ox (eixo das abscissas) e o segundo elemento do par ordenado é representado no eixo vertical Oy (eixo das ordenadas). Isso pode ser observado na figura a seguir:

4. PRODUTO CARTESIANO

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo termo em B.

( ){ }A B x,y x A y B× = ∈ ∧ ∈

Se um dos conjuntos for vazio, o produto cartesiano é vazio.B A∅ × = × ∅ = ∅ × ∅ = ∅

O produto cartesiano não é comutativo, assim A B B A× ≠ ×, quando A B≠ .

Quando a quantidade de elementos dos dois conjuntos está definida, o número de elementos do produto cartesiano pode ser obtido multiplicando a quantidade de elementos de cada um dos deles.

( ) ( ) ( )n A B n A n B× = ⋅Exemplo:

{ }A 0,2= e { }B 1,3,5=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }A B 0,1 ; 0,3 ; 0,5 ; 2,1 ; 2,3 ; 2,5× =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B A 1,0 ; 1,2 ; 3,0 ; 3,2 ; 5,0 ; 5,2× =( ) ( )n A B n B A 2 3 6× = × = ⋅ =

O produto cartesiano A x A é denotado por A2.

A diagonal de A2 é ( ){ }2A x,y A x y∆ = ∈ = .

É possível representar o produto cartesiano graficamentea-través de um diagrama de flechas.

Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5} , então

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

A B 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,1 ; 2,2 ;

2,3 ; 2,4 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4

× =

terá a representação abaixo.

O produto cartesiano pode ser representado graficamente no plano cartesiano ortogonal, através da representação dos pa-res ordenados que o compõe.

A representação gráfica é útil também para apresentar o re-sultado do produto cartesiano entre intervalos reais.

Exemplo 1:

A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}

111

MATEMÁTICA

111

Exemplo 2:

A = [1, 3] e B = [1, 5[

Propriedades:

( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∪ = × ∪ ×( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∩ = × ∩ ×( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − ×

5. RELAÇÃO

Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A x B.

Quando R é uma relação de A em A, diz-se apenas que R é uma relação em R.

Numa relação de A em B, A é chamado conjunto de partida A e conjunto de chegada. O conjunto de todas as primeiras coordena-das que pertencem a R é chamado domínio e o conjunto de todas as segundas coordenadas que pertencem a R é chamado imagem, ou seja, o domínio e a imagem são formados por elementos que

efetivamente estão em algum par ordenado da relação.

( )D R A⊂ e ( )Im R B⊂

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10}

R : A → B

R = {(1, 2); (2, 4); (2, 8)}

D(R) = {1, 2} e Im(R) = {2, 4, 8}

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (UFJF)

Marque a alternativa INCORRETA:

a) se x e y são números racionais, então x + y é um número racional;

b) se x e y são números irracionais, então x + y é um número irracional;

c) se x e y são números racionais, então x . y é um número ra-cional;

d) se x é um número racional e y é um número irracional, então x + y é um número irracional.

02. Sejam { }A x 3 x 1= ∈ − ≤ < , [ [B 1,2= − e 5C 2,4

= − ,

determine:

a) A ∩ B ∩ C

b) (A – B) ∪ C

c) (A ∩ B) – C

03. (UFJF)

Na reta numérica abaixo, estão representados os números reais 0, a, b e 1.

Representando o produto a . b nesta reta numérica, ele ficará:

a) à direita de 1.

b) entre b e 1.

c) entre a e b.

d) entre 0 e a.

e) à esquerda de 0.

MATEMÁTICA

112

04.

Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos

I. ( )Todo número irracional é um número decimal ilimitado.

II. ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado.

III. ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real.

IV. ( ) Todo número decimal limitado é um número racional.

V. ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional.

Conclui-se que:

a) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso.

b) os três últimos são verdadeiros.

c) somente o quinto é verdadeiro.

d) o segundo e o terceiro são verdadeiros.

05. (ITA)

Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 - r2 e r1 + r2 + r3 são racio-nais. Das afirmações:

I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;

II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;

III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,

é (são) sempre verdadeira(s):

a) apenas I.

b) apenas II.

c) apenas III.

d) apenas I e II.

e) I, II e III.

06. (EPCAr)

Considere as alternativas abaixo e marque a correta.

a) Se a e b são números irracionais, então αβ

é, necessariamente irracional.

b) Se a e b são números naturais não-nulos, M(a) é o conjunto dos múltiplos naturais de a e M(b) é o conjunto dos múltiplos natu-rais de b, então M(b) ⊃ M(a) se, e somente se, a é divisor de b.

c) Se 1 1

3 3 3 3α = −

− +, então [ ] [ ]( )α ∈ − ∩ ∪ .

d) Se A é o conjunto dos divisores naturais de 12, B é o conjunto dos divisores naturais de 24 e C é o conjunto dos múltiplos positivos de 6 menores que 30, então A – (B ∩ C) = A – C.

07. (CMRJ)

Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA.

a) Seja a um número real não nulo. Então, 1a − ∈ .

b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual ao próprio número.

c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número.

d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro negativo.

e) Todo número real negativo possui inverso.

08. (CN)

Dos números:

I) 0,4333...

II) 0,101101110...

III) 2IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma

circunferência.

São racionais:

a) Todos.

b) Nenhum.

c) Apenas 1 deles.

d) Apenas 2 deles.

e) Apenas 3 deles.

09. (UEL)

Em × , sejam (2m + n, m - 4) e (m + 1, 2n) dois pares ordena-dos iguais. Então mn é igual a:

a) -2

b) 0

c) 12

d) 1

e) 2

10. (EPCAR)

Um ponto do plano cartesiano tem coordenadas (x + 3y, -x - y) ou (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, xy é igual a:

a) -8

b) -6

c) 1

d) 9

11.

Dados os conjuntos A {0, -1, 1}, B = {1, 3, 4} e C = {0, 1} e , temos

(A – b) x (C – b) é igual a:

a) {(0, 0)}; (0, -1)}

b) {(-1, 0); (0, 0)}

c) {(0, 0) ; (0, 1)}

d) {(0, 1); (0, -1)]

e) ∅

12. (EPCAR)

No produto cartesiano M x P = {(2, 3); (4, 1); (5, 3); (4, 0); (5, 1); (2, 1); (4, 3); (2, 0); (x, y)}, conclui-se que:

a) x = 0 e y = 5

b) x = 0 e y = 4

c) x = 4 e y = 2

d) x = 5 e y = 0

e) x = 5 e y = 2

113

MATEMÁTICA

113

13. (CMRJ)

A alternativa que representa o gráfico do conjunto B x A onde A = {2,3,4} e B = {x ∈ | 2 ≤ x ≤ 4} e B = {x ∈ | 2 ≤ x ≤ 4}.a) b)

c) d)

e)

14.

Prove que 2 é irracional.


01.

Assinale a afirmativa verdadeira.

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.

b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.

c) O quadrado de um número irracional é um número racional.

d) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.

e) A diferença entre um número racional e um número irracio-nal é um número irracional.

02.

P é uma propriedade que é válida para todo e qualquer número inteiro. Consideremos as afirmações:

I. P não é válida para os números irracionais.

II. P não é válida para os números naturais.

III. P é válida para qualquer número real.

IV. P é válida apenas para os números naturais.

A quantidade de afirmações verdadeiras é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

03.

Para todo n ∈ e k ∈

, com n k< , é sempre verdadeira a sentença:

a) 1 1n k

<

b) n knk+

, é um número inteiro.

c) n k<

d) 1 n 1 k− < −

e) n k

1 12 2

>

04. (FGV)

Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x . y é irracional b) y . y é irracional

c) x + y é racional d) x y 2− + é irracional

e) x + 2y é irracional

05. (UFJF)

Marque a alternativa INCORRETA a respeito dos números reais:

a) Se a representação decimal infinita de um número é periódi-ca então esse número é racional;

b) Se a representação decimal de um número é finita então esse número é racional;

c) Todo número irracional tem uma representação decimal infinita;

d) Todo número racional tem uma representação decimal finita.

06. (UFSC)

Determine a soma dos números associados à(s) proposição (ões) VERDADEIRA(S).

01. A operação de subtração definida no conjunto dos números inteiros possui a propriedade comutativa.

02. O número racional representado por 13

também pode ser representado na forma decimal finita.

04. O valor absoluto de um número real menor que zero é o oposto dele.

08. O número 437 é primo.

16. A diferença entre os números reais 75 e 5 3 é um nú-mero racional.

MATEMÁTICA

114

07. (CEFET)

Considere os conjuntos , , e e as afirmativas:

I. Zero pertence aos quatro conjuntos ( )

II. 1/2 não pertence aos conjuntos e ( )

III. –1 somente não pertence a ( )

IV. 0,333... não pertence a ( )

V. 2 pertence somente a ( )

Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, na ordem certa, a resposta é:

a) F, F, V, V, F

b) F, V, V, F, F

c) V, V, V, V, F

d) V, V, V, F, V

e) F, F, F, V, V

08. (CEFET)

Sabendo que:

[ ]A B 1,6∪ = − ;

{ }A B x | 2 x 5∩ = ∈ ≤ <

] ]A C 1,2∩ = −{ }B A x | 5 x 6− = ∈ ≤ ≤

e

] [C B 1,2− = −Podemos concluir que:

a) A = [–1, 5] e B = ]2, 6]

b) A = [–1, 5[ e B = [2, 6]

c) C = ]–1, 2] e A = ∅

d) A = [–1, 5[ e C = [–1, 2]

e) A = [–1, 5] e B = [2, 6]

09. (CMRJ)

Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA.

a) Seja a um número real não nulo. Então, 1a − ∈ .

b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual ao próprio número.

c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número.

d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro negativo.

e) Todo número real negativo possui inverso.

10. (CMRJ)

Se x, y e z são números racionais e , 2 x 3z

y 3

+=

−então:

a) x = y2

b) x + y = 3

c) x

2y

=

d) x - y = 1

e) xy = -2

11. (CMRJ)

Considere a função f : →

, tal que:

( ) 1, se x é racionalf x

1, se x é irracional

= −

O valor de é ( ) ( ) ( ) ( )1f f f 2,1313 f 2 f 3,14

2 + π + − +

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

12. (EPCAR)

Seja x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. Analise as proposições abaixo e marque a alternativa correta.

I. ( )2 x⋅ pode ser racional.

II. y2 é sempre irracional.

III. y3 nem sempre é irracional.

IV. x é sempre um número real.

São verdadeiras somente as proposições

a) I e IV

b II e III

c) I e III

d) II e IV

13. (EPCAR)

Assinale a alternativa FALSA.

a) − = conjunto dos números inteiros negativos

b) − = conjunto dos números racionais não inteiros

c) + −∩ = ∅

d) *

= conjunto dos números inteiros não nulos

14. (EPCAR)

Na figura abaixo estão representados os números reais0, a, b e 1.

É FALSO afirmar que

a) 1 1a b

>

b) a . b < a

c) b

1a

<

d) a - b < 0

115

MATEMÁTICA

115

15. (EPCAR)

Na reta real abaixo estão representados os números reais a, b, c, d, zero e 1.

Analise os itens abaixo, classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos.

01) a bc<

03) 0 ab 1< <

04) 2 2d c>

06) c d b a+ − <

08) 1 1. 1

a b>

A soma dos números associados aos itens verdadeiros é um nú-mero do intervalo

a) [1, 5]

b) [6, 11]

c) [12, 17]

d) [18, 22]

16. (EPCAr)

Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( ) ( ) ( )1,65 ∈ ∪ − ∩

( ) ( ) { }31,23459 ∈ ∪ −

( ) ( ) ( )⊂ ∩ ∩ ∩

( ) ( ) ( )− ⊃ ∪ − ∩

( ) ( ) ( ) 5, 2,

7 ∪ − ∩ ⊃ π

A sequência correta é:

a) F, V, V, V, F

b) V, F, V, F, V

c) V, V, F, V, V

d) F, F, V, F, F

17. (EPCAr)

Considere os conjuntos numéricos , , e e analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas.

( ) Se A = {x ∈ | x = 6n + 3, n ∈ } e B = {x ∈ | x = 3n, n ∈ }

então A ∪ B = {x ∈ | x é múltiplo de 3}.

( ) Se P = ∩ , ( )*T = ∩ ∪

e ( )* *S += ∪ ∩ ,

então P T S −∩ ∩ = − .

( ) Se nn 2 2n 2

600y

25 5+ +=−

para { }n 0,1∈ −

, então y é irracional.

Marque a alternativa que apresenta a sequência correta.

a) V - V - F b) F - F - V

c) V - F - F d) F - V - V

18. (AFA )

Analise as alternativas abaixo e marque a correta.

a) Se a + b + c e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, neces-sariamente.

b) Se ] [A 1,5= e ] [B 3,3= − , então ] [B A 3,1− = − .

c) Se { }2B m | m 40= ∈ <

, então o número de elementos do conjunto B é 6.

d) Se 1 1

2 1 2 1α = +

− +, então ( ) ( )α ∈ − ∩ −

01. (CN)

Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais foram denominados A, B e C não necessariamente nessa ordem. Em um grupo de 19 números reais, sabe-se que 4 são irracionais,7 pertencem a C e 10 pertencem a A. Quantos desses números pertencem, exclusivamente, ao conjunto A?

a) 3.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

02. (AFA)

Assinale a alternativa que contém a afirmação correta.

a) x, y∀ , x e y ∈ , ( )2x y x y+ = +

b) x, y∀ , x e y ∈ , se xy

é inteiro, então yx

é inteiro

c) x, y∀ , x e y ∈ , x y1 x

++

é um número racional

d) x, y∀ , x e y ∈ , 2

x y1 x

++

é um número racional

03. (UNICAMP)

Dados três pontos a, b e c em uma reta como indica a figura abaixo, determine o ponto x na reta, tal que a soma das distâncias de x até a, de x até b e de x até c seja a menor possível. Explique seu raciocínio.

MATEMÁTICA

116

04. (ITA)

Seja o conjunto { }2S r r 0 e r 2= ∈ ≥ ≤ , sobre o qual são

feitas as seguintes afirmações:

I. 5S

4∈ e 7 S

5∈ .

II. { }x 0 x 2 S∈ ≤ ≤ ∩ = ∅

III. 2 S∈

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenasa) I e II

b) I e III

c) II e III

d) I

e) II

05. (IME)

Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta:

a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais.

b) Existe um número em (racionais) cujo quadrado é 2.

c) O ponto correspondente a 6677

na escala dos números reais

está situado entre os pontos

5566 e

7788 .

06.

Prove que 2 3+ é irracional.

07. (CMRJ)

Considere o conjunto { }C 1,2,3= .Para n C∈ ,

{ }nA x | 2n 2 x 2n= ∈ − < <

sejam: e { }nB x | 2n 1 x 2n 1= ∈ − < < +.


a) a interseção da união dos conjuntos An com a união dos con-juntos Bn é o intervalo ]0, 7[.

b) a união de todos os conjuntos da forma n nA B∩ é o inter-valo ]1, 6[.

c) a interseção de todos os conjuntos da forma n nA B∪ é vazia.

d) a união da interseção dos conjuntos An com a interseção dos conjuntos Bn é o intervalo ]2, 4[.

e) a interseção da interseção dos conjuntos An com a interseção dos conjuntos Bn é o intervalo ]1, 7[.

08. (UFF)

O elenco de um filme publicitário é composto por pessoas com cabelos louros ou olhos verdes. Sabe-se que esse elenco tem, no máximo, vinte pessoas dentre as quais, pelo menos, doze possuem cabelos louros e, no máximo, cinco possuem olhos verdes.

No gráfico a seguir, pretende-se marcar um ponto P(L,V), em que L re-presenta o número de pessoas do elenco que têm cabelos louros e V o número de pessoas do elenco que têm olhos verdes.

O ponto P deverá ser marcado na região indicada por:

a) R1

b) R2

c) R3

d) R4

e) R5

noTaS

117

MATEMÁTICA

117

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. B

02. Basta fazer a representação gráfica dos intervalos e efetuar as operações indicadas.

a) [ [A B C 1,1∩ ∩ = −b) ( ) [ [ ] [ [ [A B C 3, 1 2,5 4 3,5 4− ∪ = − − ∪ − = −c) ( ) [ [ ] [A B C 1,1 2,5 4∩ − = − − − = ∅

03. D 04. B

05. E 06. D

07. B 08. C

09. C 10. A

11. B 12. D

13. D


01. E 02. A

03. E 04. E

05. D 06. 20 (F F V F V)

07. D 08. B

09. B 10. E

11. D 12. CI

13. C 14. C

15. D 16. A

17. A 18. D

DESAFIO mIL

01. B 02. D

03. x = b

É fácil ver que x deve estar entre a e c, ou seja, a < x < c.

x a x aa x c

x c c x

− = −< < ⇒ − = −S x a x b x c x a x b c x= − + − + − = − + − + −

S (c a) x b= − + −Como (c - a) é constante, o valor mínimo de S ocorre quando x b− é mínimo, isto é, |x - b| = 0 e x = b.

04. D

05. a) V

supondo que existisse um limitante superior real r. Como os reais são fechados em relação à adição, entao r 1+ ∈

, mas r r 1< + (ABSURDO).

b) F

Seja pq

∈, com p ∈

, *q ∈

e ( )MDC p,q 1= e tal que

2p2

q =

( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2

p 2q 2 | p 2 | p p 2a, a

2a 2q 2a q

2 | q 2 | q MDC p,q 1 ABSURDO

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ = ∈

⇒ = ⇒ =

⇒ ⇒ ⇒ ≠ →

c) V

5 6 55 6635 36

6 7 66 77< ⇔ < ⇔ <

6 7 66 7748 49

7 8 77 88< ⇔ < ⇔ <

55 66 7766 77 88

⇒ < <

06.

Supondo por absurdo que 2 3+ é racional.2

2

2 3 r 2 2 6 3 r

r 56

2

+ = ∈ ⇒ + + =

−⇔ =

Como os números racionais são fechados em relação às 4 ope

rações básicas 2r 52−

∈

, mas 6 é irracional, o que é um

ABSURDO.

Logo, 2 3+ é irracional.

07. C 08. D

MATEMÁTICA

118

noTaS

119

MATEMÁTICA

119

AbordagemTeórica

1. FUNÇÃO

Seja f uma relação de A em B, isto é, f ⊂ A × B, dizemos que f é uma função de A em B se, e somente se, para todo elemento x ∈ A existe um e apenas um elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, ou seja, y = f(x).

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B.

Entretanto pode existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A ou que esteja associado a mais de um elemento de A.

Os dois diagramas seguintes representam relações de A em B, mas não funções de A em B. O primeiro, porque existe um elemento de A que não está associado a nenhum elemento de B e o segundo, porque existe um elemento de A que está associado a mais de um elemento de B.

Função

O diagrama de flechas a seguir representa uma relação de A em B que também é uma função de A em B:

Domínio de f : D(f) = A

Contradomínio de f : B

Imagem de f: |m(f) ⊂ B

O conjunto A é o domínio da função f e os seus elementos são os primeiros termos dos pares ordenados que constituem a função e a origem das flechas no diagrama.

OBSERVAÇÃO:

Em exercícios em que se pede o cálculo do domínio de uma função, em geral, o que se deseja é que seja apresentado o domínio máximo da função, ou seja, o maior conjunto para o qual aquela função está definida.

O conjunto B é o contradomínio de f e os seus elementos são os segundos termos dos pares ordenados do produto cartesiano e os possíveis destinos das flechas.

O conjunto imagem é um subconjunto de B formado pelos elementos que são segundos termos dos pares ordenados da função ou o conjunto dos elementos que são efetivamente destino de flechas.

No diagrama anterior se deve observar que, de todo elemento do conjunto A, deve partir exatamente uma flecha. Já os elementos do conjunto B podem receber uma ou mais flechas ou até não receber nenhuma flecha.

MATEMÁTICA

120

NOTAÇÃO:

f : A B

x f(x)

→→

ou ( ){ }f x,y A B y f(x)= ∈ × =

Chamam-se funções reais de variável real, aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais.

Nesse caso, costuma-se por comodidade definir a função apenas pela “regra de correspondência” e adota-se como domínio o maior subconjunto possível de .

As funções reais de variável real podem ser representadas graficamente no plano cartesiano ortogonal. O gráfico da função é composto por todos os pares ordenados que compõem a função.

Em virtude da definição de função, toda reta vertical, que passa por um ponto do domínio, intercepta o gráfico da função em exatamente um ponto.

A análise do gráfico da função permite identificar o seu domínio e a sua imagem, como pode ser visto a seguir:

Zero ou raiz da função f é o número x ∈ D(f) cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são os pontos onde o gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas (Ox).

É possível também identificar o sinal da função em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem positiva encontram-se acima do eixo das abscissas (parte positiva do eixo das ordenadas) e os de imagem negativa abaixo (parte negativa do eixo das ordenadas).

1.1. Funções iguais

Duas funções f e g são iguais se, e somente se, têm o mesmo domínio e f(x) = g(x) para todo x no domínio. Isso é equivalente a dizer que todos os pares ordenados que compõem as funções são iguais.

2. TIPOS DE FUNÇÃO

2.1. Funções monotônicas

Chama-se monotônica ou monótona a função que é sempre crescente ou decrescente no seu domínio.

Seja a função f : A → B, então:

a) f é crescente (não decrescente) se ∀x, y ∈ A tais que ( ) ( )x y f x f y< ⇒ ≤

b) f é decrescente (não crescente) se ∀x, y ∈ A tais que ( ) ( )x y f x f y< ⇒ ≥

c) f é estritamente crescente (crescente) se ∀x, y ∈ A tais que ( ) ( )x y f x f y< ⇒ <

d) f é estritamente decrescente (decrescente) se ∀x, y ∈ A tais que ( ) ( )x y f x f y< ⇒ >

São funções crescentes f(x) = 3x – 1, f(x) = 2x e f(x) = x3.

São funções decrescentes ( )f x 2x 5= − + , ( )x1

f x2

= e f(x) = –x3.

As funções ( ) 2f x x= e ( )f x senx= não são crescentes e nem decrescentes em .

Esses conceitos são facilmente observados no gráfico da função. Nas funções crescentes o gráfico “sobe” para a direita, enquanto nas funções decrescentes o gráfico desce para a direita.

Já a função a seguir não é monótona, pois ela é decrescente numa parte do domínio e crescente em outra.

121

MATEMÁTICA

121

2.2. Paridade

Seja A um conjunto tal que x ∈ A ⇒-x ∈ A e a funçãof: A → B

f é par ⇔ f(–x) = f(x), ∀x ∈A

O gráfico das funções pares é simétrico em relação ao eixo Oy, pois (x, y) ∈ f ⇔ (-x, y) ∈ f

f é ímpar ⇔ f(–x) = –f(x), ∀x∈A

O gráfico das funções ímpares é simétrico em relação a origem, pois (x,y) ∈ f ⇔ (-x,-y) ∈ f

Se uma função não é nem par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.

São funções pares f(x) = x2 e f(x) = cos x. São funções ímpares f(x) = x3 e f(x) = sen x. A função f(x) = x2 + x - 1 não é par nem ímpar.

Abaixo são mostrados gráficos desses dois tipos de funções:

2.3. Tipologia das funções

Sejam a função f: A → B

f é sobrejetora quando todo elemento de B está associado por f a pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem é igual ao contradomínio. No diagrama, todo elemento recebe seta. No gráfico, retas horizontais traçadas no contradomínio interceptam o gráfico em pelo menos um ponto. n(A) ≥ n(B), se A e B forem finitos.

f é sobrejetora⇔∀ y ∈ B, $ x ∈ A tal que (x, y) ∈ f ou y = f (x)

f é injetora quando elementos distintos de A estão associados a elementos distintos de B. No diagrama, não há elemento em B que receba mais de uma seta. No gráfico, retas horizontais cruzam seu gráfico em no máximo um ponto. n(A) ≤ n(B), se A e B forem finitos.

f é injetora ⇔∀ x1, x2∈ A, x1≠ x2⇒ f(x1) ≠ f(x2) ou

∀x1 , x2∈ A, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

f é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora. Todo elemento de B está associado por f a um único elemento de A. No diagrama, todo elemento de B recebe exatamente uma seta. No gráfico, retas horizontais traçadas pelo contradomínio cruzam o gráfico em exatamente um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem finitos.

Os diagramas de flechas abaixo exemplificam essas definições:

Sobrejetora

Injetora

Bijetora

2.4. Função limitada

A função f é limitada se $ K > 0 tal que ∀ x ∈ D (f) ⇒ f (x) < K.

A função f(x) = sen x é uma função limitada, pois ∀x ∈ R, -1 ≤sen x ≤ 1.

A função f(x) = x2 não é limitada, pois ∀ k > 0, $ x tal que f(x) = x2 > k.

2.5. Função periódica

A função f é periódica ⇔ $ p > 0 tal que ( ) ( )f x f x p= + , ∀x ∈ D (f)

Isso significa que os valores da função se repetem em intervalos de tamanho p.

O menor número positivo p é chamado período da função.

Os exemplos mais comuns de funções periódicas são as funções trigonométricas. A função f(x) = sen x, por exemplo, é uma função periódica de período 2π.

MATEMÁTICA

122

2.6. Função definida por várias sentenças abertas

Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma das quais ligada a um domínio Di contido no domínio de f.

Exemplo:

f : → tal que ( )1 para x 0

f x 2 para 0 x 1

1 para x 1

<= ≤ < ≥

.

2.7. Função constante

É a função que assume o mesmo valor em todo o seu domínio.

f (x) = c, ∀ x ∈ D(f)

O gráfico de uma função constante com domínio nos reais é uma reta paralela ao eixo dos x (horizontal) e passando pelo ponto (0 , c). Sua imagem é o conjunto Im = {c}.

Exemplos:

f(x) = 5 e f(x) = –3

3. FUNÇÃO COmPOSTA

Dados os conjuntos A, B e C e as funções f: A → B definida por y = f (x) e g: B → C definida por z = g (y), chama-se função composta de g com f a função ( )h gof : A C= → , definida por:

z = (g o f) (x) = g (f (x))

Assim, a função (gof) pode ser entendida como uma função única que apresenta o mesmo resultado que as aplicações sucessivas de f e g.

A função (gof) só é definida quando a imagem de f está contida no domínio de g.

Os conceitos acima podem ser melhor entendidos observando-se o diagrama de flechas a seguir:

A composição de funções não é comutativa: gof fog≠ .

Pode acontecer também que somente uma das funções (fog) ou (gof) esteja definida.

NOTA:

A sentença aberta que define ( )( ) ( )( )g f x g f x= é obtida de g(x) substituindo-se x pela expressão de f (x).

Exemplo:

Sejam as funções reais f(x) = x2 +4x – 5 e g(x) = 2x – 3. As expressões de (fog) e (gof) podem ser calculadas como segue:

(fog) (x) = f(g(x)) = f (2x – 3) = (2x – 3)2 +4 ⋅ (2x – 3) – 5 =

= x2 – 4x – 8

(gof) (x) = g(f(x) = g(x2 +4x – 5) = 2 ⋅ (x2 +4x – 5) – 3 =

= 2x2 +8x – 13

4. FUNÇÃO INVERSA

Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A chamada função inversa de f e denotada por 1f − e também é bijetora.

(x , y) ∈ f ⇔ (y , x) ∈ f – 1

Uma função só possui inversa se ela for bijetora.

A função inversa é composta pelos pares ordenados obtidos pela inversão da ordem dos elementos dos pares ordenados da função original. Assim, se a função f: A → B associa cada elemento x ∈ A a um elemento correspondente y ∈ B, a função 1f − , inversa de f, associa a cada elemento y ∈ B o elemento correspondente x ∈ A.

O domínio da função inversa é a imagem da função original e a imagem da função inversa é o domínio da função original.

D (f – 1) = Im (f) e Im (f – 1) = D (f)

123

MATEMÁTICA

123

Esses conceitos podem ser observados nos diagramas de flecha seguintes:

As relações a seguir também são úteis:

1ª. (f – 1) – 1 = f

2ª. ∀ x ∈ A, f – 1 (f (x)) = x

3ª. ∀ x ∈ B, f (f – 1 (x)) = x

A primeira significa que a função inversa da função inversa é igual a função original.

A segunda e terceira relações significam que a composição entre a inversa e a função em qualquer ordem é a função identidade, ou seja, resulta no elemento sobre o qual a função foi aplicada.

Os gráficos de f e f – 1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), como pode ser visto no exemplo abaixo:

4.1. Obtenção da expressão da função inversa

1º Método:

Na sentença y = f(x), trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y).

Em seguida, expressamos y em função de x, transformando algebricamente a expressão x = f (y) em y = f – 1 (x).

Exemplo:

A função inversa da função bijetora f: R → R, definida por y = 2x – 4 pode ser calculada utilizando a regra prática:

1º. permutar as variáveis: x = 2y – 4

2º. expressar y em função de x:

x = 2y – 4 ⇒ 2y = x + 4 ⇒ x 4

y2+

=A função inversa é então f–1 : R → R, definida por x 4

y2+

= .

2º Método:

Basta utilizar a expressão vista anteriormente ( )( )1f f x x− = e então obter a expressão de f–1(x).

Exemplo:

A função inversa da função bijetora f : R → R, definida por y = 2x – 4 também pode se calculada como segue:

f (f – 1 (x)) = x ⇔ 2 ⋅ ( f–1(x)) – 4 = x ⇔ 2 ⋅ ( f–1(x)) = x + 4

⇔ 1 x 4f (x)

2− +

=

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (UNESP)

Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a distância que falta para percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela

função D, definida por 2

t 7D(t) 4 1

t 1+ = ⋅ − +

Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:

a) 40 km; b) 60 km;

c) 80 km; d) 100 km;

e) 120 km.

02. (AFA)

Seja f uma função definida para todo real, satisfazendo as

seguintes condições: f(3) 2

f(x 3) f(x) f(3)

= + = ⋅

. Então ( ) ( )f 3 f 0− + vale

a) –6; b) 1;

c) 12; d) 3

2.

03. (AFA)

Com relação à função real f definida por

12x 5

x 1f(x)x 9 5x 1 x

− − ++= +− +

+

é correto afirmar que

a) o domínio de f é { }5, 1,0− − −

b) ( )f x 0 x 1 ou x 7= ⇔ = − =c) ( )f x 0 7 x 5 ou x 0> ⇔ − < < − >d) ( )f x 0 x 7 ou 5 x 0 e x 1< ⇔ < − − < < ≠ −

04. (AFA)

O domínio da função real expressa pela lei

[ ]1 1f(x) x (x 1) (x 1)− −= + − −

é x ∈ , tal que

a) x 1< − ou 0 x 1≤ < .

b) 1 x 0− < ≤ ou x 1> .

c) x 1< − ou 0 x 1< < .

d) 1 x 0− < < ou x 1> .

MATEMÁTICA

124

05. (ESPCEX)

Pode-se afirmar que a função real 2

2

(2x x 1) (x 3)y

x 2x 3− − ⋅ +

=+ −

, após

convenientemente simplificada, é equivalente a

a) y 2x 1= + para { }3,1− − .

b) 2y x 1= + para { }3,1− − .

c) y 2x 1= − para { }1,3− − .

d) 1

y x2

= + para { }1,3− − .

e) y 2x 1= + para

.

06. (CMRJ)

Observe o gráfico abaixo de uma função real f e, em seguida,

assinale a afirmativa FALSA, relativa a esse gráfico.

a) Os zeros da função são –2 e 5.

b) A função é crescente para os valores de x que pertencem a

] [4,0−.

c) ( ) ( ) ( )f 2 f 3 f 4= + .

d) ( )f x 0> se 2 x 5− ≤ ≤ .e) A soma das imagens dos elementos –4 e 6 do domínio de f é –3.

07. (ESPCEX)

Sejam f e g funções de A em , definidas por x 1f(x)

x 1−

=+

e

x 1g(x)

x 1

−=

+. Nessas condições, pode-se afirmar que f = g se:

a) { }A x | x 1ou x 1= ∈ < − ≥

.

b) { }A x | x 1= ∈ ≠ − .

c) A = .

d) { }A x | x 1= ∈ ≥ .

e) { }A x | x 1= ∈ < − .

08. (ESPCEX)

Se o domínio da função f(x) = (x2 – 9) ⋅ (x2 – 4) ⋅ x2 e D(f) = {–3, –2, 0, 2, 3} pode-se dizer que seu conjunto imagem possui:

a) exatamente 5 elementos;

b) exatamente 4 elementos;

c) exatamente 3 elementos;

d) um único elemento;

e) exatamente 2 elementos.

09. (ESPCEX)

A função f, de domínio real mais amplo possível, é tal que

( ) ax b 5f x

ax 3b+ −

=+

. Sabendo que f(3) não existe e f(–1) = 1, o valor

de a2 + b2 é

a) 5016

. b) 253

.

c) 252

. d) 508

.

e) 509

.

10. (ESPCEX)

Considere a função real g(x) definida por:

( )

x

2

5 , se x 1

3x 3x 17g x , se1 x 3

4 2 4x 1

, se x 32 2

≤

−= + + < ≤ + >

.

O valor de g(g(g(1))) é:

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) 4.

11.

Considere as funções ( )2

2

x 5x 6f x

3x 9x 30− +

=+ −

e ( ) 1g x

1 x=

−.

A quantidade de números inteiros que pertencem ao domínio da

função ( ) ( )( )f o g x f g x= é:

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) 4.

12. (CMRJ)

Nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo. O ar exalado tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Cientistas realizaram medidas com um pequeno pássaro do deserto e concluíram que a temperatura do ar exalado é uma função da temperatura ambiente. (Baseado em estudos científicos divulgados pelo livro “Introdução à Matemática para Biocientistas”, de E. Batschelet).

Para uma temperatura ambiente TA medida em graus Celsius, tal que 20ºC < TA < 40°C, a temperatura do ar exalado TE é dada por

TE = 8,5 + 0,8 ⋅ TA.

Considerando apenas os valores inteiros para a variável TA, a razão entre o maior e o menor valores obtidos para TE será aproximadamente igual a

a) 1,57;

b) 1,65;

c) 1,75;

d) 1,86;

e) 2.

125

MATEMÁTICA

125

13. (EPCAR)Seja f : → uma função injetora definida por y = f(x). Tem-se que

( )f 0 5= − , ( )f 1 0= e ( )f 3 6= . Sabendo-se que ( )( )f f a 2 5− = − , então ( )f a é igual aa) zero b) –5c) 3 d) 6

14. (EsPCEx)

Sejam as funções [ [f : 3,+ → − +∞ e [ [g : 2,+ → +∞ , defi-

nidas respectivamente por ( ) 2f x 3x 3= − e ( ) 2g x 2x 2= + .

Se ( ) ( )( )h x g f x= , então o valor de ( )1h 10− , onde ( )1h x− é a

função inversa de ( )h x , é:

a) 103

b) 132

c) 155

d) 153

e) 133

15. (ITA)

Considere ( )x g y= a função inversa da seguinte função:

“ ( ) 2y f x x x 1= = − + , para cada número real 1

x2

≥ ”.

Nestas condições, a função g é assim definida:

a) 1 3

g(y) y2 4

= + − , para cada 3

y4

≥ .

b) 1 1

g(y) y2 4

= + − , para cada 1

y4

≥ .

c) 3

g(y) y4

= − , para cada 3

y4

≥ .

d) 1

g(y) y4

= − , para cada 1

y4

≥ .

e) 3 1

g(y) y4 2

= + − , para cada 1y

2≥ .


01.

Sejam o número real a tal que 0 < A < 1 e a função

( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 33 2f x x a x a x a− −−= − − − + − . O domínio máximo da

função f é:a) { }2x | x a e x a∈ > ≠

b) { }2x | x a e x a∈ ≥ ≠

c) { }3 2x | x a e x a e x a∈ ≥ ≠ ≠

d) { }3 2x | x a e x a e x a∈ > ≠ ≠

e) { }x | x a∈ >

02. (EPCAR)

Seja f uma função que associa a cada número PAR a sua metade e a cada número ÍMPAR, o seu dobro. Sobre essa função f será falso afirmar que:

a) ( )( )f f 12 3=

b) ( )( ) ( )f f 3 f 6=c) ( )( )f f 5 5=d) ( ) ( )f 10 f 5 0− =e) existem n ímpar e m par para os quais ( ) ( )f n f m= .

03. (EPCAR)

Qual dos gráficos NÃO representa uma função?

a) b)

c) d)

04. (EPCAR)

Dados os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4} assinale dentre as relações seguintes, a alternativa que representa uma função de A em B.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 ; 0,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 2,4−

b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 ; 0,1 ; 1,0 ; 1,2−

c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 ; 1,0 ; 2,1 ; 2,4

d) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 ; 0,0 ; 1,1 ; 2,4−

05. (EPCAR)

Observe o gráfico da função real g e assinale a alternativa verdadeira.

a) g(a) = d

b) Suas raízes são os reais b e c.

c) Seu conjunto imagem é { }Im y | 0 y b= ∈ ≤ ≤ .

d) Seu domínio é o conjunto { }D x | a x c= ∈ ≤ ≤

MATEMÁTICA

126

06. (CMRJ)

Cada figura abaixo, mostra uma relação binária de { }A 1,2,3,4=

em { }B 5,6,7,8= .

Neste caso, podemos afirmar que:

a) (I), (II) e (III) são funções de A em B.

b) (I), (II) e (III) não são funções de A em B.

c) somente (III) é uma função de A em B.

d) somente (II) não é uma função de A em B.

e) somente (I) não é uma função de A em B.

07. (CMRJ)

Seja D o domínio da função: ( ) ( ) ( )2 2

2

2x 7x 6 2x 7x 5f x

x 5x 6

− + ⋅ − +=

− −.

O complementar de D em relação a , onde é o conjunto dos

números reais, é:

a) ] [ ] [3, 1 1, 6,

2 −∞ − ∪ ∪ +∞

b) ] [ 5,1 ,

2 −∞ ∪ +∞

c) [ [ 3 51,1 ,2 ,6

2 2 − ∪ ∪

d) [ [3, 2,2

−∞ ∪ +∞

e) [ [3 51, 2, 6,

2 2 − ∪ ∪ +∞

08. (CMRJ)

Considere a função f : → , tal que: ( ) 1, se x é racionalf x

1, se x é irracional

= −.

O valor de ( ) ( ) ( ) ( )1f f f 2,1313 f 2 f 3,14

2 + π + − +

é:

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) 4.

09. (UERJ)

Uma panela, contendo um bloco de gelo a –40ºC, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:

20x 40 se 0 x 2

0 se 2 x 10T(x)

10x 100 se 10 x 20

100 se 20 x 40

− ≤ < ≤ ≤= − < ≤ < ≤

O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50ºC, em minutos, equivale a:

a) 4,5; b) 9,0;

c) 15,0; d) 30,0.

10. (EPCAR)

Analise os itens abaixo, classificando-os em V (verdadeiro) ou F (falso).

I. Se ( ) ( ) 12f 2 x x x 1−

+ = ⋅ + , então ( )f 3 0,5= .

II. A função h : +→ representada no gráfico ao lado não é injetora, mas é sobrejetora.

III. Se g: → associa x à expressão 2

11 x+

, então

( )4 1 7g 7

6−

= .

A sequência correta é

a) V VV.

b) F V V.

c) V F V.

d) V V F.

11. (EPCAR)

Considere a figura abaixo, gráfico da função real g tal que ] ]g :D 4,6→ − .

É correto afirmar que

a) os elementos do conjunto D, domínio de g, são os mesmos do conjunto I, imagem de g.

b) o conjunto ( ){ }x | 2 x 5 e g x∈ < < = π possui exatamente 2 elementos.

c) ( )( )( ) ( )3 g g g 2 g 4 ⋅ − < d) a função g é sobrejetora, mas não é injetora.

127

MATEMÁTICA

127

12. (EPCAR)

Dada a função real f, tal que f(5x + 3) = x. Sendo f–1 a inversa de f, pode-se afirmar que

a) ( )1f f 5 28− =

b) 1f − é função ímpar.

c) ( )( )f f 7 1− =

d) ( )( )1f f x x− =

13. (EPCAR)Considere a função real g: A → B representada pelo gráfico abaixo.

Analise as alternativas e marque a FALSA.

a) ( ) { }g x 0 x | x b ou b x c ou x e≥ ⇔ ∈ = < ≤ ≥

b) x A∃ ∈ tal que ( )g x u=

c) [ [ { }A a, d= +∞ − e ( ) ] ]Im g t,p=

d) Se s q≥ , então ( ) ( )g a g q 0+ ≤

14. (ESPCEX)

Seja a função { }f : 1,1− − → , definida por ( )3

2

xf x

x 1=

−, não

inversível. Podemos afirmar que essa função é

a) bijetora e não par e nem ímpar.

b) par e injetora.

c) ímpar e injetora.

d) par e sobrejetora.

e) ímpar e sobrejetora.

15. (ESPCEX)

Com relação à função x 1g(x)

x 1−

=+

, definida para x 1≠ − , pode-se

afirmar que a única alternativa correta é:

a) ( )g x 0≤ para todo { }x 1,0∈ − −

b) ∃x ∈ tal que ( )g x 0=

c) ( )g x 0≥ para todo ] [x 1,∈ − +∞

d) ( )g x 0< para todo ] [x 1,1∈ −

e) ∃x ∈ tal que ( )g x 2=

16. (ESPCEX)

Analise os itens abaixo para a função f : → :

I. Se ( ) ( )f x f x 0+ − = , então f é uma função par.

II. Se ( )f x é uma função constante, então f é função par.

III. Se ( ) ( )f x f x= , então ( )Im f +⊂ .

IV. Se ( ) ( )f x f x= , então f é função bijetora.

São corretas as afirmativas:

a) I e II; b) II e IV;

c) II e III; d) I e III;

e) III e IV.

17. (ESPCEX)

Sejam as funções reais ( )f x e ( )g x . Se ( )f x x 2= + e xf(g(x))

2= ,

pode-se afirmar que a função inversa de ( )g x é:

a) 1 f(x)g (x)

2− = b) 1 x 4

g (x)2

− +=

c) 1g (x) f(x)− = d) 1g (x) 2f(x)− =

e) 1 x 4g (x)

2− −

=

18. (AFA)

Seja [ ) [ )f 1, 3,: +∞ → − +∞ a função definida por ( ) 2f x 3x 6x= − . Se [ ) [ )g 3, 1,: − +∞ → +∞ é a função inversa de f , então

( ) ( )[ ]2g 6 g 3− é

a) 5

b) 2 6

c) 5 2 6−

d) 5 2 6− +

19. (AFA)

Na figura abaixo, está representado o gráfico da função real

[ ]f : a,a− → , onde ( )f 0 0=

Analise as alternativas abaixo e marque a INCORRETA.

a) O domínio da função r :E → tal que ( ) ( )r x f x 3= − é o intervalo [ ]6,6−

b) A função r :E → tal que ( ) ( )r x f x 3= − NÃO possui raízes em

c) O conjunto imagem da função h : A B→ , definida por

( ) ( ) 3h x f x

2= + é

9Im 0,

2 =

d) Se a função s :D → é tal que ( ) 3s x f x

2 = +

, então

( ) 3s 0

2= −

MATEMÁTICA

128

20. (AFA)

Considere os gráficos abaixo das funções reais f e g tais que seus domínios são ( ) ] ]D f , j= −∞ , ( ) [ ] { }D g 0,e d= − e ( ) ( )f j f 0 0= = .

Considere a função h definida por ( ) ( )( )

f xh x

g x= . O domínio mais

amplo possível para a função h é

a) [ ]0,b

b) ] [0, j

c) [ ] { }c, j d−

d) [ [ { }0,c j∪

21. (IME)

Seja f : →

, onde é o conjunto dos números reais, tal que:

( )( ) ( ) ( )

f 4 5

f x 4 f x f 4

=

+ = ⋅ .

O valor de ( )f 4− é:

a) 45

− b) 14

−

c) 15

− d) 15

e) 45

22. (ITA)

Se e Ι representam, respectivamente, o conjunto dos números

racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as

funções f,g : → definidas por

0, se xf(x)

1, se x

∈= ∈Ι

1, se xg(x)

0, se x

∈= ∈Ι

Seja J a imagem da função composta f g : → . Podemos afirmar que:

a) J =

b) J =

c) { }J 0=d) { }J 1=

e) { }J 0,1=

01. (AFA)

Analise o gráfico abaixo da função real g : → .

Se h é uma função real tal que ( ) ( )h x g x 2= + , então, marque alternativa verdadeira.

a) ( )( )hohoh oh 0 4=

b) ( )( ) ( )( )hohoh 3 hohohoh 2>

c) Se 1

y=h h h2

então ] [y 2,3∈

d) Se 3

x=h h h2

então ] [x 1,2∈

02. (ITA)

Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é

ímpar; ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ; e ( )f x 0≥ , se x 0≥ . Definindo

( ) ( ) ( )f x f 1g x

x

−= , se x 0≠ . Sendo n um número natural, podemos

afirmar que

a) f é não decrescente e g é uma função ímpar.

b) f é não decrescente e g é uma função par.

c) f é não decrescente e ( ) ( )0 g n f 1≤ ≤ .

d) f não é monótona e ( ) ( )0 g n f 1≤ ≤ .

e) não é possível garantir que ( ) ( )0 g n f 1≤ ≤ .

03. (ITA)

Sendo par a função dada por ( ) ax bf x

x c+

=+

, c x c− < < , então ( )f x ,

para c x c− < < , é constante e igual a

a) a + b.

b) a + c.

c) c.

d) b.

e) a.

129

MATEMÁTICA

129

04. (ITA)

Mostre que toda função f: \{0} → , satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par.

05. (ITA)

Sejam três funções f,u,v : → tais que ( ) ( )1 1

f x f xx f x

+ = +

para todo x não nulo e ( )( ) ( )( )2 2u x v x 1+ = para todo x real.

Sabendo-se que 0x é um número real tal que ( ) ( )0 0u x v x 0⋅ ≠ e

o o

1 1f 2

u(x ) v(x )

⋅ =

, o valor de o

o

u(x )f

v(x )

é:

a) –1

b) 1

c) 2

d) 12

e) –2

06.

A expressão da função f que satisfaz à equação 1

f(x) f x1 x

+ = −,

x 1≠ , é:

a) 3x x 1

2x(x 1)− −

− b)

3x x 12x(x 1)

+ +−

c) 3x x 1

2x(x 1)− +

− d)

3x x 12x(x 1)

+ −+

e) 3x x 1

2x(x 1)− +

+

noTaS

MATEMÁTICA

130

GABARITOExERCíCIOS DE AULA

01. C 02. D

03. D 04. A

05. A 06. D

07. D 08. D

09. C 10. C

11. A 12. A

13. D 14. D

15. A


01. D 02. D

03. C 04. D

05. C 06. C

07. C 08. D

09. C 10. D

11. D 12. D

13. C 14. E

15. D 16. C

17. D 18. C

19. B 20. D

21. D 22. C

DESAFIO mIL

01. C 02. C

03. E

04. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f 1 1 f 1 f 1 f 1 0

0 f 1 f 1 1 f 1 f 1

f 1 0

f x f 1 x f 1 f x f x

⋅ = + ⇔ =

= = − ⋅ − = − + −⇔ − =

⇒ − = − ⋅ = − + =

Logo, f é par.

05. B 06. C

noTaS

131

MATEMÁTICA

131

AbordagemTeórica

1. EQUAÇÃO DO 1º GRAU COm UmA VARIÁVEL

É a equação que possui apenas uma variável ou incógnita e que é do 1º grau.

Exemplo: 3x + 1 = 2x – 5As equações do 1º grau com uma incógnita podem sempre

ser expressas, após a redução dos termos semelhantes, da seguinte forma:

ax + b 0, a ≠ 0.

onde x é a incógnita, a e b são constantes denominadas coeficientes e b é chamado termo independente.

Em geral uma equação do 1º grau possui apenas uma raiz, mas ela pode também ser impossível ou indeterminada.

1.1. Resolução de equações

Resolver uma equação é achar o seu conjunto solução. Para isso serão apresentadas algumas propriedades úteis.

a b c a c b+ = ⇔ = −a b c a c b− = ⇔ = +

ca b c a

b⋅ = ⇔ = , b ≠ 0

ac a c b

b= ⇔ = ⋅

Exemplo 1:Resolva a equação: 5x – 9 = 8x + 16.Solução:5x 9 8x 16 5x 8x 16 9

253x 25 x

3

− = + ⇔ − = + ⇔−

⇔ − = ⇔ =

Portanto, 25

S3

= −

.

equação e inequação do 1º grau

Exemplo 2: Considere a equação 3x – m = 13, onde x é a incógnita.

Determine o valor de m sabendo que a raiz da equação é –4.Solução:Se –4 é a raiz da equação, a sentença deve ser verdadeira se

substituirmos x por –4.Assim, ( )3 4 m 13 12 m 13 m 25⋅ − − = ⇔ − − = ⇔ = − .Nas equações com sinais de reunião (parênteses, colchetes e

chaves) deve-se primeiramente efetuar as operações necessárias para remover os sinais de reunião começando pelos mais internos.

Exemplo:Resolva ( )( )( )x 2 x 4 x 3− − − − = .Solução:

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

x 2 x 4 x 3 x 2 x 4 x 3

x 2 2x 4 3 x 2 2x 4 3

x 6 2x 3 x 6 2x 3 3x 9 x 3

− − − − = ⇔ − − − + = ⇔

⇔ − − − = ⇔ − − + = ⇔⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =

Nas equações com coeficientes fracionários deve-se primeiro eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros pelo MMC entre eles.

Exemplo:

Resolva x x 4 5x 72 3 6

− −− = .

Solução:MMC dos denominadores: 6Multiplicando ambos os membros pelo MMC, tem-se:

( )3x 2 x 4 5x 7 3x 2x 8 5x 7

15x 8 5x 7 4x 15 x

4

− − = − ⇔ − + = − ⇔

⇔ + = − ⇔ − = − ⇔ =

Em algumas questões se define o domínio ou conjunto universo para a solução da equação. Nesse caso, só são válidas as raízes que pertençam ao domínio. Quando o conjunto universo não for definido, adota-se para universo o conjunto dos números reais.

Exemplo: Resolver 2x – 1 = 4 – x em .Solução:

52x 1 4 x 3x 5 x

3− = − ⇔ = ⇔ =

Como 53

∉ , temos S = ∅ .

MATEMÁTICA

132

Em muitos casos, as equações do 1° grau são utilizadas para resolver problemas que abordam situações cotidianas. São os chamados problemas do 1° grau. Nos exercícios há diversos exemplos desses problemas.

1.2. Equações fracionárias

Equações fracionárias são aquelas que possuem variável no denominador.

Para resolver uma equação fracionária, deve-se encontrar o MMC dos denominadores e multiplicar ambos os membros por esse MMC, a fim de eliminar os denominadores. Entretanto, deve-se observar que os valores que anulam os denominadores originais não são raízes válidas para a equação e devem ser excluídos do conjunto solução, se for o caso.

Exemplo:

Resolva 1 1 x 1

2(x 3) 3(x 2) (x 2)(x 3)−

− =− − − −

.

Solução:

MMC dos denominadores: 6 (x – 3) (x – 2)

Multiplicando ambos os membros pelo MMC, tem-se:( ) ( ) ( )3 x 2 2 x 3 6 x 1

3x 6 2x 6 6x 6

6x 6x 6 5x 6 x

5

− − − = − ⇔⇔ − − + = − ⇔

⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Deve-se observar que a raiz satisfaz a condição de ser diferente de 2 ou 3, pois anularia o denominador.

Exemplo:

Resolva 2

1 1 2xx 1 1 x x 1

+ =+ − − .

Solução:

MMC dos denominadores: (x + 1) (x – 1)

Multiplicando ambos os membros pelo MMC, tem-se:

( ) ( )x 1 x 1 2x x 1 x 1 2x

2x 2 x 1

− − + = ⇔ − − − = ⇔⇔ = − ⇔ = −

Mas as raízes não podem ser 1 e nem -1. Logo, a solução é ∅.

1.3. Equações literais

Uma equação ou inequação é chamada literal quando, além das variáveis e coeficientes numéricos, aparecem letras representando constantes numéricas (parâmetros).

Exemplo:

5ax = a + 1 sendo x a variável e a uma constante numérica.

Numa equação literal, se nada for esclarecido, admite-se que as últimas letras do alfabeto representam variáveis e as primeiras são as constantes (parâmetros).

Exemplo:

Resolver ax b bx a+ = + com a ≠ b.

Solução:

( )

ax b bx a ax bx a b

a bx a b a b x 1

a b

+ = + ⇔ − = − ⇔−

⇔ − = − ⇔ = =−

1.4. Discussão da equação do 1° grau

Uma equação do 1° grau é possível e determinada quando possui uma única solução e pode sempre ser colocada na forma ax = b, com a ≠ 0.

Exemplo: A equação 3x – 2 = x + 4 é possível e determinada, pois

possui solução única como segue 3x 2 x 4 2x 6 x 3− = + ⇔ = ⇔ = . Uma equação do 1° grau é possível e indeterminada quando possui infinitas soluções e pode sempre ser colocada na forma 0 x 0⋅ = . Note que a equação possível e indeterminada é na verdade uma identidade.

Exemplo: A equação 2x + 1 = 3 + 4x – 2 – 2x é possível e indeterminada,

pois possui infinitas soluções como segue 2x + 1 = 3 + 4x – 2 – 2x ⇔ 2x + 1 = 1 + 2x ⇔ 0 = 0.

Portanto, qualquer x ∈ satisfaz essa equação.Uma equação do 1° grau é impossível quando não possui

nenhuma solução e pode sempre ser colocada na forma 0 x b⋅ = , com b 0≠ .

Exemplo: A equação 2x + 1 = 4 + 4x – 2 – 2x é impossível, pois não

possui solução como segue 2x 1 4 4x 2 2x 2x 1 2x 2 0 1+ = + − − ⇔ + = + ⇔ = .Exemplo: Resolver a equação ax – x = 3a + 2.Solução:

( )ax x 3a 2 x a 1 3a 2− = + ⇔ − = +

1º caso: 3a 2

a 1 0 a 1: xa 1

+− ≠ ⇔ ≠ =

−2º caso: a 1 0 a 1− = ⇔ = 0 x 3 1 2 0 5⋅ = ⋅ + ⇔ =

Portanto, a solução da equação é 3a 2

Sa 1

+ = − , se a ≠ 1, e

S = ∅ , se a = 1.

2. INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

É a inequação que possui apenas uma variável ou incógnita e que é do 1º grau.

Exemplo:3x 1 2x 5+ < −Em geral, as inequações possuem um número ilimitado de

soluções quando resolvidas no conjunto dos reais, mas também podem possuir um número finito ou nenhuma solução.

2.1. Resolução de inequações

Resolver uma inequação é achar o seu conjunto solução. Novamente serão apresentadas algumas propriedades úteis.

a b c a c b+ > ⇔ > −a b c a c b− > ⇔ > +

ca , b 0

ba b cc

a , b 0b

> >⋅ > ⇔ < <

a c b, b 0ac

a c b, b 0b

> ⋅ >> ⇔ < ⋅ <

CUIDADO!

133

MATEMÁTICA

133

Nas duas últimas propriedades, é importante notar que ocorre inversão do sinal da desigualdade, quando multiplicamos ou dividimos a inequação por um número negativo. Por isso, muitas vezes não é possível simplificar valores nos dois lados de uma inequação, como se faz nas equações.

Exemplo 1:

Resolver 5x 3 3x 9+ > + .

Solução:

5x 3 3x 9 5x 3x 9 3 2x 6 x 3+ > + ⇔ − > − ⇔ > ⇔ >Logo, { } ] [S x | x 3 3,= ∈ > = +∞

Exemplo 2:

Resolver x 3 3x 9+ > + .

Solução:x 3 3x 9 x 3x 9 3

62x 6 x x 3

2

+ > + ⇔ − > − ⇔

⇔ − ⇔ ⇔> < < −−

Logo, { } ] [S x | x 3 , 3= ∈ < − = −∞ − .

2.2. Sinais do binômio do 1° grau

É possível descobrir o sinal do binômio (ax + b) para cada um dos valores de x, o que permite resolver diversos tipos de inequações. Para efetuar essa análise, é preciso estudar dois casos: o primeiro com a > 0 e o segundo com a < 0.

ax b 0 x

a 0 ax b 0 x

ax b 0 x

+ > ⇔ > −> ⇒ + = ⇔ = −

+ < ⇔ < −

bax b 0 x

ab

a 0 ax b 0 xab

ax b 0 xa

+ > ⇔ < −< ⇒ + = ⇔ = −

+ < ⇔ > −

Observe que, no caso em que a < 0, ao se dividirem os dois membros por a, o sinal da desigualdade foi invertido.

A interpretação do resultado acima mostra que antes da raiz o binômio possui sinal contrário ao sinal de a e após a raiz o binômio possui o mesmo sinal de a.

Isso é mostrado no seguinte quadro resumo:

y ax b= +b

xa

< −b

xa

= −b

xa

> −

a 0> y 0< y 0= y 0>

a 0< y 0> y 0= y 0<

Com os resultados acima, é possível resolver as chamadas inequações produto e inequações quociente, como mostrado nos exemplos a seguir:

Exemplo 1:

Resolver ( )( )x 2 1 x 0− − ≤ .

Solução:

Vamos inicialmente montar um quadro de estudo de sinais.

x 1< x 1= 1 x 2< < x 2= x 2>

x 2− − − − • +

1 x− + • − − −

( )( )x 2 1 x− − − • + • −

Devemos então selecionar os valores para os quais o produto ( )( )x 2 1 x− − assume valores negativos ou nulos. Assim, a solução será ] ] [ [S ,1 2,= −∞ ∪ +∞ .

No quadro de estudo de sinais acima o símbolo • (bola fechada) representa que o binômio do primeiro grau assume o valor zero e que esse é um valor válido. No próximo exemplo vamos observar casos onde o binômio do primeiro grau assume o valor zero, mas esse não é um valor válido por encontrar-se no denominador, o que será indicado pelo símbolo

(bola aberta).

Exemplo 2:

Resolver 5 x0

x 2−

≥+

Solução:

Vamos novamente montar um quadro de estudo de sinais.

x 2< − x 2= − 2 x 5− < < x 5= x 5>

5 x− + + + • −

x 2+ − • + + +

5 xx 2

−+

−

+ • −

Devemos então selecionar os valores para os quais o quociente assume valores positivos ou nulos. Lembrando que não são admitidos valores nulos no denominador. Assim, a solução será ] ]S 2,5= − .

Note ainda que é possível resolver inequações como as acima de uma maneira mais concisa aplicando o “Método dos Intervalos” que será apresentado mais a frente.

MATEMÁTICA

134

AbordagemTeórica

01.(CN)

Sabe-se que a equação do 1º grau na variável x, 2mx – x + 5 = 3px – 2m + p admite as raízes 3 2 3+ e 3 3 2+ . Entre os parâmetros m e p vale a relação:

a) 2 2p m 25+ =b) p m 6⋅ =

c) pm 64=

d) mp 32=

e) p 3m 5

=

02. (CN)

Considere a equação do primeiro grau em “x”: m2x + 3 = m + 9x . Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se:

a) m = 3

b) m = –3

c) m ≠ –3

d) m ≠ 3

e) m ≠ 3 e m ≠ –3

03. (CN)

Se

4x 9x 3

73x 10

2x 54

− < − + > −

, então:

a) x < 4

b) 4 < x < 6

c) 5 < x < 6

d) 6 < x < 7

e) x > 7

04. (CN)

Analise as afirmativas abaixo:

I. Se 2x 4x x− > , então x 5> .

II. Se 2x 1 0− > então x 1> .

III. Se x 3 x 1− = + , então x só pode ser igual a 1.

IV. 2x 36

x 6x 6

−= +

− para todo x real.

Assinale a alternativa correta:

a) Todas as afirmativas são corretas.

b) Apenas as afirmativas I, II e III são corretas.

c) Apenas as afirmativas III e IV são corretas.

d) Somente a afirmativa I é correta.

e) Nenhuma das afirmativas é correta.

05. (CN)

Considere as seguintes inequações e suas respectivas resoluções, nos reais:

1a. 1 + 3x > 6x + 7

Solução:

3x – 6x > 7 – 1; –3 > 6; 3x > – 6; x > –6/3; x > –2.

2a. 5 > 3/x + 2; 5x > 3 + 2x; 5x – 2x > 3; 3x > 3; x > 3/3; x > 1

3a. x2 – 4 > 0; x2 > 4; x 4> ± ; x 2> ±Logo a respeito das soluções, pode-se afirmar que:

a) As três estão corretas.

b) As três estão erradas.

c) Apenas a 1a e 2a estão erradas.

d) Apenas a 1a e 3a estão erradas.

e) Apenas duas estão corretas.

06. (CN)

Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três balas do tipo b1 custam R$0,10 e a unidade de bala b2 custa R$0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$5,75. O número de balas do tipo b1 vendidas foi:

a) 114

b) 113

c) 112

d) 111

e) 110

07. (CN)

Sejam 30 moedas, algumas de 1 centavo e outras de 5 centavos, onde cada uma tem, respectivamente, 13,5 e 18,5 milímetros de raio. Alinhando-se estas moedas, isto é, colocando-se uma do lado da outra, obtém-se o comprimento de 1 metro. O valor total das moedas é:

a) R$0,92

b) R$1,06

c) R$1,34

d) R$2,00

e) R$2,08

08. (CN)

Um fazendeiro repartiu seu rebanho de 240 cabeças de boi entre seus três filhos da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo, e o terceiro tanto quanto o primeiro mais o segundo. Qual o número de cabeças de boi que o primeiro recebeu?

a) 12

b) 30

c) 36

d) 48

e) 54

135

MATEMÁTICA

135

09. (CN)

O conjunto solução da equação

x 1 x 1x 1 x 1 1

2 2x 1 x 1

+ −−− + =

++ −

é igual a:

a) ∅b)

c) { }1, 0, 1− −

d) { }1,1− −

e) {0}

10. (CN)

Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação2 3

1x 1 x 1

+ =− +

, com x real e x 1≠ ± ?

a) 16

b) 20

c) 23

d) 25

e) 30

11. (CN)

No conjunto ' ' dos números reais, qual será o conjunto solução

da equação 2

3 3 3x 1 2x 2 2x 2

= −− − +

?

a)

b) ( )1;1− −

c) [ ]1;1− −

d) { }1;1− −

e) [ )1;1− −

12. (CN)

No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da

inequação 1288 1

0,25x121

− ≤ ?

a) { }2 15x | x

15 2∈ < <

b) { }2x | 0 x

15∈ < ≤

c) { }2x | x 0

15∈ − < <

d) { }15 2x | x

2 15∈ − ≤ < −

e) { }15x | x

2∈ < −

13. (CN)

A solução real da equação 2

7 8 9x 1 x 1 x 1

− =− + −

é um divisor de

a) 12

b) 14

c) 15

d) 16

e) 19

14. (CN)

Determine, no conjunto dos números reais, a soma dos valores de x na igualdade:

2

1 21

x 31 x

x 3 x

⋅ = + − −

.

a) 23

− b) 13

−

c) 1 d) 2

e) 113


01.

Os valores de m para os quais a equação

(m2 + 2m) x + 2 = 4mx + m2 – 6 é impossível são:

a) 0 ou 2

b) 1 ou 2

c) 0 ou 1

d) 2 ou 3

e) 0 ou 3

02.

Seja 2 2 2 2

1 1 1 1 x1 1 1 1

3 4 5 2006 2006 − − − ⋅ ⋅ ⋅ − = . O valor de

x é igual a:

a) 1336

b) 1337

c) 1338

d) 2006

e) 2007

03.

Resolvendo a equação 2 2

2 2

2x 3x 1 2x 1x 3x 3x 9 2x 18

− +− =

− + − encontramos

para conjunto solução:

a) 956

b) 90,

56

c) 356

d) 3

0,56

e) 3 90, ,

56 56

MATEMÁTICA

136

04. (FUVEST)

As soluções da equação ( )( )

4

2 2 2

x a x a 2 a 1x a x a a x a

− + ++ =

+ − −, onde

a ≠ 0, são:

a) a2

− e a4

b) a4

− e a4

c) 12a

− e 12a

d) 1a

− e 12a

e) 1a

− e 1a

05. (CMRJ)

Na variável x, a equação

3 (mx – p + 1) – 4x = 2 (–px + m – 4) admite uma infinidade de soluções. A soma dos valores reais de m e p é igual a:

a) 3

b) 2

c) 0

d) –2

e) –3

06. (CMRJ)

Quatro irmãos possuem juntos um total de R$71,00. Se a quantidade de dinheiro do primeiro fosse aumentada de R$4,00, a do segundo diminuída de R$3,00, a do terceiro reduzida a metade e, ainda a do quarto fosse duplicada, todos os irmãos teriam a mesma importância. O valor da importância final de cada um dos irmãos, em reais, é:

a) R$13,00

b) R$14,00

c) R$15,00

d) R$16,00

e) R$17,00

07. (EPCAR)

Resolvendo-se a equação 1

31

11

11

1x

=−

+−

vale afirmar que a sua raiz é um número:

a) múltiplo de 3

b) racional menor que -6

c) natural maior que 8

d) racional não negativo

e) inteiro negativo

08. (EPCAR)

Sendo U =

, assinale o conjunto verdade da equação

5(x 4) 3x 24x 0

12 16− −

+ − =

a) { }V =

b) 18V

39 =

c) 142

V49

=

d) 8V

59 =

e) 152

V59

=

09. (EPCAR)

O conjunto solução da equação x a x a 32 3 5+ −

− = , sendo U = e

onde “a” é o menor fator primo de 221 é:

a) 3075

−

b) 2075

−

c) 3214

−

d) 2014

−

e) { }

10. (EPCAR)

Considere:

I) A inequação x 1 x 1 2x 1x 0

5 2 3− + +

− − + ≤ e seja V o seu

conjunto solução em .

II) { }2A x | x 10x 0= ∈ − + ≥

O maior número primo do conjunto A V∩ é:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

11. (EPCAR)

Resolver a equação m m n n1 1 1

n x m x − + − =

. Se a solução da

mesma é 7 e m – n = 3, então é igual a:

a) 32

b) 25

c) 49

d) 36

e) 63

137

MATEMÁTICA

137

12. (EPCAR)

Para que a equação 2x 3 x 6 1

kx5 10 2− +

− = − seja impossível o valor de k deverá ser:

a) 3− b) 310

c) 3 d) 5

10−

e) 3

10−

13. (EPCAR)

Os valores reais de x, para que se tenha simultaneamente x 4

32+

> e 1 x 9 x+ ≤ − pertencem ao conjunto

a) { }x | 2 x 4∈ < ≤

b) { }x | 4 x 2∈ − ≤ <

c) { }x | x 4 ou x 2∈ ≤ − >

d) { }x | x 2 ou x 4∈ < ≥

e) { }x | x 2 ou x 4∈ < − ≥

14. (EPCAR)

O valor de x que é solução da equação 5 3x

3x 2(x 5) 02

−− − − =

é tal que:

a) 6 x 0− < <b) 12 x 8− < < −c) 3 x 10< <d) 12 x 18< <

15. (EPCAR)

Sobre a equação x 1

kx 1k−

− = , na variável x, é correto afirmar que:

a) admite solução única se 2k 1≠ e *k ∈ .

b) NÃO admite solução se k 1= .

c) admite mais de uma solução se k 1= − .

d) admite infinitas soluções se k 0= .

16. (EPCAR)

Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V (verdadeiro) ou F (falsa).

( ) Se p é um número inteiro, ímpar e p 2> , então o maior valor de x que satisfaz a inequação ( ) ( )p x p 2 2 x− − ≥ − é sempre um número ímpar.

( ) Para todo m ∈ , o conjunto solução da equação ( )2mx m x 1 0− + = é { }S 1= .

( ) Se a menor raiz da equação ( ) ( )2I x m 1 x 3m 0+ − − = e a menor raiz da equação ( ) 2II 2x 5x 3 0+ − = são iguais, então m é a outra raiz de (I).

Tem-se a sequência correta em

a) F – F – V

b) V – V – F

c) V – F – V

d) F – V – F

17. (CN)

A equação 2

2 x 31

x 1 x 1+

− = −− +

:

a) tem duas raízes de sinais contrários

b) tem só uma raiz positiva

c) tem uma raiz nula

d) é impossível

e) tem só uma raiz negativa

18. (CN)

Em uma Universidade estudam 3000 alunos, entre moças e

rapazes. Em um dia de temporal faltaram 23

das moças e 79

dos rapazes, constatando-se ter sido igual, nesse dia, o número de moças e rapazes presentes. Achar a porcentagem das moças que estudam nessa Universidade, em relação ao efetivo da Universidade.

a) 40%

b) 55%

c) 35%

d) 60%

e) 62%

01. (CN)

Quatro corredores, João, Pedro, André, e Fábio combinaram que, ao final de cada corrida, o que ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos outros possuía. Competiram 4 vezes e ficaram em último lugar na 1a, 2a, 3a e 4a corridas respectivamente, João, Pedro, André, e Fábio. Se no final da 4a competição, cada um ficou com R$16,00, então, inicialmente João possuía:

a) R$5,00

b) R$9,00

c) R$16,00

d) R$17,00

e) R$33,00

02.(CN)

Se o conjunto solução da inequação

22

1 13 x 8 x 10 0

x x + − + + ≤ é S, então o número de elementos

da interseção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros é igual a:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

MATEMÁTICA

138

03. (ITA)

Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a:

a) 246. b) 252.

c) 260. d) 268.

e) 284.

04.

Resolvendo a equação em x: 2 2

2 2

x a b a b x a bx a x a x a+ − + + +

− =− − +

uma das raízes obtidas é:

a) a média aritmética de a e b.

b) a média geométrica de a e b.

c) a média harmônica de a e b.

d) o simétrico da média aritmética de a e b.

e) o simétrico da média geométrica de a e b.

05.

A equação x ab x ac x bc

a b ca b a c b c− − −

+ + = + ++ + +

possui solução única,

podemos afirmar que x é igual a

a) 1 1 1a b c

+ +

b) abc

c) a b c+ +

d) ab ac bc+ +

e) ab ac bca b a c b c

+ ++ + +

06.

Para que valores de m a solução da equação 5x – 18m = 21 – 5mx – m é maior do que 3?

a) m < –3b) m > 3c) m < 1d) m < 1 ou m > 3e) m < –3 ou m > –1

07. Sejam a, b e c constantes positivas, o valor de x que é solução da

equação x a b x b c x c a3

c a b− − − − − −

+ + = é igual a:a) 0b) 1

c) a b c3

+ +

d) a + b + ce) 2 (a + b + c)

noTaS

139

MATEMÁTICA

139

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. A 02. E

03. B 04. E

05. B 06. A

07. B 08. D

09. C 10. D

11. D 12. B

13. A 14. C


01. A 02. C

03. A 04. E

05. A 06. D

07. E 08. D

09. A 10. D

11. B 12. E

13. A 14. A

15. A 16. A

17. C 18. A

DESAFIO mIL

01.

Cada vez que um dos competidores não é o último tem seu dinheiro dobrado.

No final da 4a corrida João possuía R$16,00.

Como João não foi o último na 4a corrida, então ele possuía R$8,00 antes dessa corrida.

Como João não foi o último da 3a corrida, então ele possuía R$4,00 antes dessa corrida.

Como João não foi o último da 2a corrida, então ele possuía R$2,00 antes dessa corrida.

João foi o último da 1a corrida, então ele dobrou a quantia dos outros competidores e restaram a ele R$2,00.

O dinheiro total é 4 . 16 = R$64,00, então João possuía R$33,00 e ou outros três juntos R$31,00.

02. B 03. B

04. D 05. D

06. E 07. D

noTaS

MATEMÁTICA

140

141

MATEMÁTICA

141

Função do 1º grau

AbordagemTeórica

1. FUNÇÃO IDENTIDADE

É uma função de em que a cada elemento x ∈ associa o próprio x.

( )f x x, x= ∀ ∈

O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares ( )13β e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = .

2. FUNÇÃO LINEAR

É uma função de em que a cada elemento x ∈ associa o elemento a x⋅ ∈ com a 0≠ .

( )f x a x, a 0= ⋅ ≠O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem

e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = .

A função ( )f x a x= ⋅ , com a 0> e definida de + em + é uma restrição da função linear que representa uma proporcionalidade. Sendo ( )1 1f x y= e ( )2 2f x y= , pode-se escrever

1 2

1 2

y ya

x x= =

a relação acima é chamada de proporção, as grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais e o coeficiente a é chamado fator de proporcionalidade.

Um exemplo comum é a massa de um corpo que é proporcional ao seu volume e a relação entre eles é o fator de proporcionalidade chamado massa específica (ou densidade).

3. FUNÇÃO AFIm

É uma função de em definida por ( )f x ax b= + em que a e b são constantes reais e a 0≠ .

A função identidade ( )f x x= ( a 1= e b 0= ) e a função linear ( )f x ax= ( b 0= ) são casos particulares da função afim.

A função afim é uma função polinomial do 1º grau, seu gráfico é uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = .

O coeficiente a é chamado coeficiente angular e representa

a taxa de variação média da função yx

∆∆

que é igual à tangente

do ângulo de inclinação da reta. Sendo θ o ângulo de inclinação da reta, tem-se

MATEMÁTICA

142

2 1

2 1

y y ytg a

x x x∆ −

θ = = =∆ −

(coeficiente angular)

a 0> θ é agudo função crescente

a 0< θ é obtuso função decrescente

O coeficiente b é chamado coeficiente linear e é o ponto onde a reta cruza o eixo Oy , ou seja, a reta passa no ponto ( )0,b .

O gráfico intercepta o eixo dos x em um único ponto que é a

raiz da equação ( )f x 0= dada por b

xa

= − .

Abaixo são mostrados gráficos da função afim para a negativo e positivo.

3.1 Sinais da função afim

Para a 0> , a função afim é negativa antes da raiz e positiva depois.

Para a 0< , a função afim é positiva antes da raiz e negativa depois.

3.2 Posições relativas entre retas

A análise dos coeficientes angulares das retas permite identificar sua posição relativa e também discutir sistemas de equações do primeiro grau a duas variáveis.

Assim, sejam a reta r dada pela equação y ax b= + e a reta s dada pela equação y a'x b'= + , a relação entre seus gráficos é mostrada abaixo:

r : y ax b

s : y a'x b'

= + = +

Se a a'= e b b'≠ , então as retas r e s são paralelas distintas e o sistema é impossível (não possui solução).

Se a a'= e b b'= b b'≠ , então as retas r e s são paralelas

coincidentes e o sistema é possível e indeterminado (possui infinitas

soluções).

Se a a'≠ , então as retas r e s são concorrentes e o sistema é

possível e determinado (possui solução única).

Quando a a' 1⋅ = − , as duas retas, além de concorrentes, são

perpendiculares.

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Se a e b são dois números reais, denotamos por ( )min a,b o

menor dos números a e b , isto é, ( ) a, se a bmin a,b

b, se a b

≤= ≥

.

O número de soluções inteiras negativas da inequação

( )min 2x 7, 8 3x 3x 3− − > − + é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2d) 3e) 4

143

MATEMÁTICA

143

02. (CMRJ)

Considere a função afim f , representada no gráfico abaixo. Sabendo-se que ( )A 3,1 ; ( )B 0,1 e que C é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas, a área do triângulo ABC é, em unidades de área, igual a:

a) 10

b) 9

c) 8,5d) 7,5e) 6

03. (CMRJ)

Nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo. O ar exalado tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Cientistas realizaram medidas com um pequeno pássaro do deserto e concluíram que a temperatura do ar exalado é uma função da temperatura ambiente. (Baseado em estudos científicos divulgados pelo livro “Introdução à Matemática para Biocientistas”, de E. Batschelet). Para uma temperatura ambiente

AT medida em graus Celsius, tal que A20 C T 40 C< < , a temperatura do ar exalado ET é dada por E AT 8,5 0,8 T= + ⋅ .Considerando apenas os valores inteiros para a variável AT , a razão entre o maior e o menor valores obtidos para ET será aproximadamente igual a

a) 1,57b) 1,65c) 1,75d) 1,86e) 2

04. (CMRJ)

A área da região limitada pelos gráficos das inequações abaixo é: (unidade de medida – cm)

x 2

3x 5y 31

x 5y 17

≥ + ≤ + ≥

a) 21,5 cmb) 23 cmc) 24 cmd) 25 cme) 27 cm

05. (CN)

Sejam [ ]2011 2011A 7 ,11=

e ( ) [ ]{ }2011 2011B x | x 1 t 7 t 11 com t 0,1= ∈ = − ⋅ + ⋅ ∈ , o conjunto

A B− é

a) A B∩b) { }2011B 11−c) { }2011A 7−d) A

e) ∅

06. (EPCAR)

A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro a ser tomada será dividida em 10 injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf em cada aplicação?

a) 20

b) 40

c) 2

d) 4

07. (EPCAR)

Em um jogo de futebol amistoso entre Brasil e Argentina, no Mineirão, compareceram 90.000 torcedores. Quatro portões foram abertos às 12 horas, e até as 14 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. Entre 14 horas e 15 horas não entrou ninguém. Às 15 horas, abriram mais 4 portões, aumentando o fluxo de pessoas e, às 17 horas, os portões foram fechados. O gráfico abaixo indica o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada.

Com base nisso, pode-se dizer que, quando o número de pessoas atingiu 78.000, o relógio marcava

a) 15 horas e 30 minutos

b) 15 horas e 45 minutos

c) 16 horas

d) 16 horas e 30 minutos

e) 16 horas e 45 minutos

MATEMÁTICA

144

08. (EN)

Representemos por ( )min a,b o menor dos números a e b, isto é,

( ) a, se a bmin a,b

b, se a b

≤= >

. A solução da inequação

( )min 2x 3, 3x 5 4+ − < é:

a) 1

x2

<

b) x 3<

c) 1

x 32

< <

d) 1

x2

>

e) x 3>

09. (AFA)

Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis x ] m, [, m∈ + ∞ ∈ para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções.

Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x ] m, [, m∈ + ∞ ∈ . O menor valor possível para m é

a) 60 b) 70

c) 80 d) 90

10. (AFA)

Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função real f em que f(x) representa o preço, pago em reais, de x quilogramas de um determinado produto. (Considere ( )f x ∈ )

De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar quea) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 18,00.b) com R$ 110,00, foi possível comprar no máximo 55 quilogramas

do produto.c) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas do

produto.d) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas,

quanto 64 quilogramas do produto.

11. (AFA)

Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte.

Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais,a) menor que 4500b) maior que 4500 e menor que 7000c) múltiplo de 7500d) um número que NÃO divide 12000

12. (FUVEST)

Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso,

R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00.

Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de

estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que

o estacionamento obtenha lucro nesse dia é:

a) 25 b) 26

c) 27 d) 28

e) 29


01. (FATEC)

Na figura abaixo, a reta r tem equação x 3y 6 0+ − = , e a reta s passa

pela origem e tem coeficiente angular 23

. A área do triângulo OAB, em unidades de área, é igual a:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

145

MATEMÁTICA

145

02. (ESPCEX)Sabendo que a função y ax b= + , pode-se afirmar que:a) O gráfico da função passa sempre pela origem.b) O gráfico da função corta sempre o eixo das ordenadas.

c) O zero da função é ba

d) A função é crescente para a < 0 .e) O gráfico da função nunca passa pela origem.

03. (ESPCEX)O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12° dia são, respectivamente:

a) ( ) 1h t t 5

2= − e

12h cm

15=

b) ( ) 1 5h t t

3 3= − e

12h cm

5=

c) ( ) 1h t t 1

5= + e

17h cm

5=

d) ( ) 1h t t 1

4= + e

17h cm

5=

e) ( ) t 5h t

5−

= e 12

h cm15

=

04. (ESPCEX)

Se a função linear f, dada por ( )f x ax b= + , satisfaz a condição

( ) ( )f 5x 2 5f x 2+ = + , pode-se afirmar então que:a) a 2b= b) a b 2= +c) ( )a 2 b 2= + d) ( )a 2 b 1= +e) a 2b 1= +

05. (ESPCEX)

Determine os valores de k que fazem com que a função

( ) 8f x x k

k= + − corresponda ao gráfico ao lado.

a) 2 e -2 b) -1 e -2

c) 3 e 4 d) -2 e -1

e) 2 e -4

06. (ESPCEX)

Sendo f uma função real tal que ( )f x 2 ax b− = + , x ∈ , ( )f 2 5= e ( )f 3 8= , então o valor de a b⋅ a.b é

a) -32

b) -23

c) -21

d) 12

e) 36

07. (ESPCEX)

Uma fábrica produz óleo sob encomenda, de modo que toda produção é comercializada. O custo da produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, correspondente a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, depende da quantidade de óleo fabricado. No gráfico abaixo, fora de escala, a reta r1 representa o custo de produção, e a reta r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. O valor da parcela fixa do custo e o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo são, respectivamente,

a) R$ 10.000,00 e 10.000 litros

b) R$ 15.000,00 e 18.000 litros

c) R$ 15.000,00 e 15.000 litros

d) R$ 20.000,00 e 10.000 litros

e) R$ 10.000,00 e 15.000 litros

08. (ESPCEX)

Dadas as funções 3 2f(x) x 9x 27x 27= − + − e 2g(x) x 6x 9= − + .

O gráfico que melhor representa a função f(x)

h(x)g(x)

= é:

a) b)

MATEMÁTICA

146

c) d)

e)

09. (ESPCEX)

A quantidade de combustível gasto por um veículo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo C(d) em relação à distância percorrida?

a) C(d) = 0,75d b) C(d) = 0,25d

c) C(d) = 1,75d d) C(d) = 1,25d

e) C(d) = 1,20d

10. (CMRJ)

A figura abaixo mostra o gráfico cartesiano das retas r e t, sendo P o ponto de interseção das mesmas.

A soma das coordenadas cartesianas do ponto P é:

a) 65

b) 75

c) 45

d) 32

e) 85

11. (EPCAR)

Seja y = (3x + 2)(ax + b) onde a > 0 e b < 0. O conjunto de todos os valores reais de x, para os quais y é positivo é

a) x 0< ou b

xa

> −

b) 2 b

x3 a

− < < −

c) b

xa

< − ou 2

x3

> −

d) 2

x3

< − ou b

xa

> −

12. (EPCAR)

Considere as funções definidas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d e os respectivos gráficos.

Sabendo-se que h é a função definida por ( ) ( )( )h x ax b cx d= + + , pode-se dizer que

a) o gráfico de h é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

b) h não tem raízes reais.

c) h intercepta o eixo de Oy num ponto de ordenada negativa.

d) a abscissa do vértice do gráfico que representa a função h é um número real negativo se ad bc> .

13. (EPCAR)

Se as retas 2x 3y 2+ = e mx ky 3+ = ( )m 0 e k 0≠ ≠ passarem pelo ponto ( )a,b então a b+ será igual a:

a) 2m 2k 3

3m 2k− +

−

b) 2m 2k 1

3m 2k+ −

+

c) 2m 2k 1

3m 2k+ +

+

d) 2k 2m 1

3k 2m− +

−

e) 2k 2m 1

3k 2m− −

+

147

MATEMÁTICA

147

14. (EPCAR)

As desigualdades x 0≥ , y 0≥ e 3x 4y 12 0+ − ≤ determinam 3 regiões do plano. Assinale o valor da área da figura correspondente à interseção dessas 3 regiões.

a) 4 unidades de área

b) 5 unidades de área

c) 6 unidades de área

d) 8 unidades de área

e) 12 unidades de área

15. (AMAN)

Seja y = x + m, onde “m” é natural e 1 ≤ m < 6, e y 3 x n= − ⋅ + ,

com “n” natural e 6 ≤ n ≤ 10. Com essas retas, o número de

paralelogramos que podemos formar é:

a) 150 b) 100

c) 120 d) 144

e) 128

01.

A reta r contém os pontos (0,4) e (7,7). Dos pontos abaixo, qual é o mais próximo da reta r?

a) (1999, 858)

b) (1999, 859)

c) (1999, 860)

d) (1999, 861)

e) (1999, 862)

02. (EFOMM)

O gráfico das três funções polinomiais do 1° grau a, b e c definidas, respectivamente, por ( )a x , ( )b x e ( )c x , estão representadas abaixo.

Nessas condições, o conjunto solução da inequação

( )( ) ( )( )( )( )

5 6

3

a x b x0

c x

⋅≥ é

a) ( ) [ )4; 1 3;− − ∪ +∞b) [ ] [ )4; 1 3;− − ∪ +∞c) ( ) [ ); 4 1;−∞ − ∪ − +∞d) [ )4;+∞e) { }4−

03.

Para cada número real x, seja ( ) { }f x min 4x 1, x 2, x 6= + + − + . Calcule o valor máximo de ( )f x .

a) 5 b) 4

c) 83

d) 73

e) 2

04.

O gráfico de y x− em função de y x+ é mostrado abaixo. A mesma escala foi adotada em cada eixo.

Qual das seguintes opções é o gráfico de y em função de x?a)

b)

MATEMÁTICA

148

c)

d)

e)

05.

Quatro carros A, B, C, D viajam a velocidades constantes na mesma estrada. A ultrapassa B e C às 8 horas e 9 horas, respectivamente, e encontra D às 10 horas; D encontra B e C às 12 horas e 14 horas, respectivamente. Determine a que horas B ultrapassa C.

a) 10: 20 h

b) 10: 30 h

c) 10: 40 h

d) 11:00 h

e) 11:20 h

noTaS

149

MATEMÁTICA

149

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. A 02. B

03. A 04. D

05. E 06. D

07. D 08. B

09. A 10. B

11. B 12. C


01. D 02. B

03. C 04. E

05. E 06. C

07. A 08. A

09. A 10. B

11. D 12. D

13. A 14. C

15. B

DESAFIO mIL

01.

Logo, o ponto mais próximo é (1999, 861).

02. C 03. B

04. D 05. C

noTaS

MATEMÁTICA

150

151

MATEMÁTICA

151

FundamenToS de geomeTria euclidiana plana e ânguloS

AbordagemTeórica

1. FUNDAmENTOS

Conceitos primitivos: ponto, reta e plano.

1.1. Postulados Principais:

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que pas-sa por eles.

• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mes-ma reta.

• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

• Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma, reta paralela à primeira. (Euclides)

1.2. Determinação do Plano:

Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.

Um único plano fica determinado por:

a) Três pontos não colineares.

b) Uma reta e um ponto exterior.

c) Duas retas concorrentes.

d) Duas retas paralelas distintas.

1.3. Posições Relativas entre Retas:

Retas Coplanares

a) Concorrentes: um ponto de interseção

b) Paralelas Coincidentes: infinitos pontos de interseção

c) Paralelas Distintas: não há pontos de interseção

MATEMÁTICA

152

Retas Não Coplanares

Retas Reversas: não há pontos de interseção

Posições relativas entre duas retas interseção

coplanares

concorrentes 1 ponto

paralelascoincidentes toda a reta

distintas vazianão

coplanaresreversas vazia

Retas paralelas são retas coincidentes ou são retas copla-nares que não possuem ponto em comum.

• Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.

1.4. Perpendicularidade

Retas perpendiculares ( )⊥ são retas concorrentes que formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.

• Num plano, por um ponto dado de uma reta, passa uma única reta perpendicular à reta dada.

• A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de interseção da reta com a perpendicular a ela passando pelo ponto dado.

Na figura acima, o ponto P' é a projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r .

A projeção ortogonal de um segmento de reta não perpen-dicular a uma reta sobre ela, é o segmento determinado sobre a reta pelas projeções dos extremos do segmento original.

Na figura acima, o segmento A'B' é a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre a reta r .

Ângulo entre retas reversas é o ângulo formado por duas retas concorrentes paralelas às retas dadas.

Retas ortogonais são retas reversas que formam ângulo reto.

1.5. Distâncias:

Distância entre dois pontos A e B segmento de reta AB

Distância entre um ponto e uma retadistância do ponto ao pé da perpendi-

cular à reta conduzida pelo ponto

Distância entre duas retas paralelasdistância entre um ponto qualquer de

uma das retas e a outra reta

2. ÂNGULOS

Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem.

Notações: ˆAOB ; OA OB ; O ; α.

153

MATEMÁTICA

153

O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas OA

e OB

são os lados do ângulo.

Um ângulo determina dois setores angulares, um convexo e outro côncavo, exceto no caso de semirretas opostas.

2.1. Bissetriz de um ângulo

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos congruentes.

A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados de um ângulo.

2.2. Ângulos opostos pelo vértice (o. p. v.)

Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os

lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são se-mirretas opostas.

2.3. Ângulos consecutivos

Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, possuem um lado em comum.

ÂOB e ÂOC são ângulos consecutivos

OA é o lado comum

ÂOB e ˆBOC são ân-gulos consecutivos

OB é o lado comum

2.4. Ângulos adjacentes

Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não possuem pontos internos comuns.

ÂOB e ˆBOC são ângulos adjacentes OB é o lado comum

2.5. Ângulo raso

É o ângulo determinado por duas semirretas opostas.

Um ângulo raso mede 180 .

2.6. Ângulo suplementar adjacente

Dado o ângulo ÂOB , o ângulo suplementar adjacente de ÂOB é o ângulo determinado pelas semirretas OB

e OC

, semir-reta oposta à semirreta OA

.

MATEMÁTICA

154

A medida do ângulo suplementar adjacente de θ é .

2.7. Ângulo reto

Ângulo reto é aquele que é igual a seu suplementar adjacen-te. Assim, 180 90θ = − θ ⇔ θ = .

A medida de um ângulo reto é 90 .

2.8. Ângulo agudo e ângulo obtuso

Ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo reto e ângulo obtuso é aquele que é maior que um ângulo reto.

ˆAOB é um ângulo agudo

90α <

ˆCOD é um ângulo obtuso

90β >

2.9. Unidades de medidas angulares

2.9.1. Sistema Sexagesimal - Grau ( )

Um sistema sexagesimal tem como característica os submúl-tiplos serem 60 vezes menores.

( )11 ângulo reto 1ângulo reto 90

90= ⋅ ⇔ =

1ângulo raso 180=

1ângulo de uma volta 360=

Submúltiplos do grau:

Minuto: 1

1' 1 1 60'60

= ⋅ ⇔ =

Segundo: 1

1'' 1' 1' 60'' 1 3600''60

= ⋅ ⇔ = ⇔ =

2.9.2. Sistema decimal - Grado (gr)

Um sistema decimal tem como característica os submúltiplos serem 10 vezes menores.

( )11gr ângulo reto 1ângulo reto 100 gr

100= ⋅ ⇔ =

1ângulo raso 200 gr=1ângulo de uma volta 400 gr=

2.9.3. Sistema circular ou radiométrico - Radianos ( )rad

O ângulo de 1 radiano ( )1rad é o ângulo central em uma cir-cunferência de raio R que determina um arco de comprimento R .

Como o comprimento de uma circunferência de raio R é 2 Rπ , então um ângulo de uma volta mede 2 radπ .

( )11rad ângulo de uma volta

2

1ângulo de uma volta 2 rad

= ⋅π

= π

1ângulo raso rad= π

1ângulo reto rad2π

=

2.9.4. Relações entre as unidades

180 200 gr rad= = π

2.9.5. Número complexo

Número complexo é um número que apresenta mais de uma unidade de um mesmo sistema para exprimir uma grandeza. Exemplos: 2h 30min 10seg e 15°20’32”

Número incomplexo é um número que apresenta uma úni-ca unidade de um sistema para exprimir uma grandeza. Exemplo: 135,2 min e 65,32°

2.10. Ângulos complementares

Ângulos complementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo reto ( )90 .

α e β são comple-mentares

155

MATEMÁTICA

155

Complemento de um ângulo: é um ângulo que junto ao pri-meiro forma um par de ângulos complementares. O complemen-to de x é 90 x.° −

2.11. Ângulos suplementares

Ângulos suplementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo

raso ( )180 .

α e β são suplementares

Suplemento de um ângulo: é um ângulo que junto ao pri-meiro forma um par de ângulos suplementares. O suplemento de x é 180 x.° −

As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares.

2.12. Ângulos replementares

Ângulos replementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo de uma volta ( )360 .

α e β são reple-mentares

Replemento de um ângulo: é um ângulo que junto ao pri-meiro forma um par de ângulos replementares. O replemento de x é 360 x.° −

3. ÂNGULOS NO RELÓGIO

O problema consiste em identificar o ângulo θ entre os pontei-ros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos.

Figura 1

Figura 2

O ângulo entre as marcações de horas é 360

3012

=

e o

ângulo entre as marcações de minutos é 360

660

=

.

A velocidade angular do ponteiro das horas é

300,5 min

60 min=

e a velocidade angular do ponteiro dos

minutos é 360

6 min60 min

=

.

Às H horas em ponto, o ângulo entre os ponteiros do reló-gio é ˆAOB 30 H= ⋅ .

Entre H horas em ponto e H horas e M minutos, passaram-se M minutos. Nesse período, o ponteiro das horas deslocou-se

ˆBOD 0,5 min Mmin 0,5 M= ⋅ = ⋅ e o ponteiro dos minutos des-locou-se ˆAOC 6 min Mmin 6 M= ⋅ = ⋅ . Assim, há duas possibili-dades para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos:

1°) Se o ponteiro dos minutos não ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 1), temos:

ˆ ˆ ˆ ˆCOD AOB BOD AOC

30 H 0,5 M 6 M 30 H 5,5 M

θ = = + − =

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

.

2°) Se o ponteiro dos minutos ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 2), temos:

ˆ ˆ ˆ ˆCOD AOC AOB BOD

6 M 30 H 0,5 M 5,5 M 30 H

θ = = − − =

= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

.

A expressão para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos pode ser representada de maneira única como

60 H 11 M2

⋅ − ⋅θ =

.

EXERCÍCIOS DE AULA

01.

O resultado da média aritmética ponderada dos ângulos 55 15'37'' e 20 42'30'' , com pesos 2 e 3 , respectivamente, é representado em grados aproximadamente por:

a) 25

b) 28,2

c) 32,4

d) 34,5

e) 38,4

MATEMÁTICA

156

02. (CN)

Sabendo-se que um grado é a centésima parte de um ângulo reto, quantos grados tem o ângulo de 45º 36'54'' ?

a) 50,48333

b) 50,58333

c) 50,68333

d) 50,78333

e) 50,88333

03. (CN)

Suponha que 1 (um) naval (símbolo n ) seja a medida de um ân-gulo convexo, menor que um ângulo reto, inscrito em um círcu-lo de raio r , cujos lados determinam, nesse círculo, um arco de comprimento r . Assim sendo, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a

a) n4π

b) n2π

c) nπd) 2 nπe) 4 nπ

04. (CMF)

Na figura abaixo, as medidas (em graus) dos ângulos ˆQPS e ˆRPT são, respectivamente, 2x 70− e 3x , onde x é um número real positivo. A medida de ˆRPS é igual a:

a) 70 b) 100

c) 110 d) 150

e) 159

05. (CEFET)

A medida em graus de um ângulo, cuja terça parte da medida de seu complemento mede 10 20'° , é:

a) 55° b) 56°c) 57° d) 58°e) 59°

06.

O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual

ao triplo do replemento do seu suplemento. Determine o suplemento

desse ângulo.

a) 45º

b) 120º

c) 60º

d) 135º

e) 70º

07.

Na figura abaixo, calcular o valor do ângulo ''x'' em função dos ângulos "a" e "b" , sabendo que OJ é a bissetriz do ângulo.

a) a b

x2+

=

b) a 2b

x2

+=

c) 2a b

x2+

=

d) 3a b

x2+

=

e) a 3b

x2

+=

08.

Sejam os ângulos adjacentes ÂOB , ˆBOC e ˆCOD tais que ÂOB 18= e ˆCOD 24= . Calcule a medida do ângulo formado

pelas bissetrizes dos ângulos ÂOC e ˆBOD .

a) 6

b) 12

c) 21

d) 25

e) 33

09.

A que horas pela primeira vez após o meio-dia, os ponteiros de um relógio formam 110°?

a) 12 h 18 min aproximadamente

b) 12 h 20 min

c) 13 h 22 min

d) 13 h 23 min

e) N. R. A.

10. (AFA)

De 2h 45min a 4h 35min , o ponteiro das horas de um relógio percorre, em radianos,

a) 1136

π b)

3π

c) 518

π d)

724

π

157

MATEMÁTICA

157


01.

Marque a opção correta:

I. Três pontos distintos determinam um plano

II. Duas retas paralelas e distintas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

III. Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada.

IV. Toda reta que passa pelo ponto médio de um segmento é equidistante das extremidades do segmento.

a) apenas uma é verdadeira

b) apenas duas são verdadeiras

c) apenas três são verdadeiras

d) todas são verdadeiras

02. (ITA)

Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.

b) Um ponto e uma reta determinam um plano.

c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.

d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano.

e) Se α é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s , então toda reta m desse plano, que é paralela à r , não será paralela à s .

03.

Dois ângulos complementares A e B , sendo ˆ Â B< , têm me-didas na razão de 13 para 17 . Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ân-gulo B vale:

a) 4317

b) 1713

c) 1317

d) 11948

e) 4743

04. (EPCAr)

De um ponto O , tomado sobre uma reta AB ( O entre A e B ), traçam-se para um mesmo semiplano de AB , as semirretas ON , OP e OQ . Os ângulos ÂON , ˆNOP , ˆPOQ e ˆQOB medem, respecti-vamente, 80 3x− , 5x 14− , x e 4x 9+ . O complemento do menor ângulo é

a) 68

b) 75

c) 78

d) 80

05. (PUC)

A semirreta OC é exterior ao ângulo ÂOB de bissetriz OX . Se ÂOC 32= e ˆBOC 108= , determine ˆCOX .

a) 70

b) 64

c) 54

d) 66

e) 82

06.

O ângulo cujo suplemento excede de 6 o quádruplo do seu complemento é:

a) 58

b) 60

c) 62

d) 64

e) 68

07. (UFF)

Sabendo que o replemento do dobro de um ângulo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo ângulo. Determine a quarta parte deste ângulo.

a) 15

b) 22,5

c) 45

d) 60

e) 67,5

08.

O suplemento da diferença entre o suplemento e o complemento do complemento de um ângulo é igual ao complemento da dife-rença entre o complemento do complemento e o suplemento do mesmo ângulo. Calcule o suplemento do dobro do ângulo.

a) 56

b) 45

c) 55

d) 70

e) 60

MATEMÁTICA

158

09. (CMRJ)

A soma do triplo do suplemento do dobro da medida de um ân-gulo com a quarta parte do complemento da medida desse ân-gulo tem como resultado 125 . Então, podemos afirmar que o replemento da medida desse ângulo, em graus, é:

a) 200

b) 210

c) 240

d) 260

e) 290

10. (UFRRJ)

As semirretas consecutivas OA, OB, OC e OD são tais que OA e OD são colineares e ˆBOC 72= . Calcule a medida do ân-gulo ˆPOQ , sabendo-se que OP e OQ são as bissetrizes dos ân-gulos ÂOB e ˆCOD .

a) 36

b) 54

c) 90

d) 92

e) 126

11.

Na figura a seguir, ÂOC 108= e ˆZOB 4= .

Sabendo-se que OX , OY e OZ são as bissetrizes de ÂOB , ˆBOC e ˆXOY , respectivamente, determine a medida de ÂOB .

a) 54

b) 58

c) 60

d) 62

e) 72

12.

Um homem, ao olhar para seu relógio após as 6 horas, observou que os ponteiros formavam um ângulo de 110°. Voltando a con-sultar seu relógio antes das 7 horas, observou que novamente os ponteiros formavam um ângulo de 110°. Determine o número de minutos que transcorreu entre as duas observações.

a) 30

b) 40

c) 11

4213

d) 45

e) 50

01.

Determine replemento do suplemento do complemento do ângulo

cujo número que o representa em graus somado ao número que o

representa em grados vale 95 .

a) 45

b) 75

c) 135

d) 225

e) 275

02. (AFA)

Na figura, O é o centro da circunferência de raio r , AD DE EB r= = = e α é o menor ângulo formado pelos pontei-ros de um relógio às 9h 25min . O valor do ângulo ˆCBEβ = é

a) 120° b) 119,45°

c) 126,25° d) 135,50°

03. (ITA)

Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos

minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja

medida, em radianos, é igual a

a) 2311

π .

b) 136

π .

c) 2411

π .

d) 2511

π

e) 73

π .

159

MATEMÁTICA

159

04.

Quando pela segunda vez, depois de 13 horas e 15 minutos, o menor ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio mede 90°?

a) 8

13h 54min 32 seg11

b) 5

13h 49min 5 seg11

c) 15h

d) 1

13h 21min 49 seg11

e) 4

14h 27min16 seg11

05.

Quantas vezes num dia os ponteiros de um relógio (horas e minu-tos) formarão ângulo reto?

a) 50

b) 48

c) 46

d) 44

e) 24

noTaS

MATEMÁTICA

160

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. E 02. C

03. D 04. D

05. E 06. D

07. E 08. C

09. B 10. A


01. B 02. E

03. E 04. B

05. A 06. C

07. B 08. B

09. E 10. E

11. E 12. B

DESAFIO mIL

01. D 02. C

03. C 04. A

05. D

noTaS

161

MATEMÁTICA

161

TriânguloS

AbordagemTeórica

1. TRIÂNGULOS (ANGULAR)

1.1. Definição e elementos

Um triângulo é a figura geométrica formada por três seg-mentos de reta consecutivos dois a dois unidos por suas extre-midades. Os segmentos de reta são os lados do triângulo e as extremidades dos segmentos de reta, os vértices do triângulo.

Os ângulos internos do triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo. Os ângulos externos são formados por um lado do triângulo e o prolongamento do lado adjacente, e são o suplementar adjacente do ângulo interno de mesmo vértice.

Lados: AB , AC , BC

Vértices: A , B , C

Ângulos internos: ˆ ˆBAC A= , ˆ ˆABC B= , ˆ ˆBCA C=Ângulos externos: ˆA'AB , ˆB'BC , ˆC'CA

1.2. Classificação dos Triângulos

1.2.1. Classificação dos triângulos quanto aos lados

Se um triângulo possui três lados de medidas iguais, ele é dito equilátero.

Se um triângulo possui dois lados de medidas iguais, ele é dito isósceles.

Se um triângulo possui lados de medidas distintas duas a duas, ele é dito escaleno.

Triângulo Equilátero

Triângulo Isósceles

MATEMÁTICA

162

Triângulo Escaleno

Os triângulos equiláteros possuem três lados de medidas iguais e três ângulos internos iguais e de medida 60 .

O lado desigual, quando houver, de um triângulo isósceles é chamado de base, e o ângulo interno oposto a ele, ângulo do vértice.

Os ângulos adjacentes à base de um triângulo isósceles são iguais.

Todo triângulo equilátero é também isósceles, mas a recípro-ca não é verdadeira.

1.2.2. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Se um triângulo possui os três ângulos agudos, ele é dito acutângulo.

Se um triângulo possui um ângulo reto, ele é dito retângulo.

Se um triângulo possui um ângulo obtuso, ele é dito obtusângulo.

, , 90α β γ <

Triângulo Acutângulo

Triângulo Retângulo

90θ >

Triângulo Obtusângulo

Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa, e os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados catetos.

1.3. Retas Paralelas

Se r s , então ˆˆ ˆ ˆ1 3 5 7= = = e ˆ ˆ ˆˆ2 4 6 8= = = .

Os pares de ângulos ˆ ˆ3 5= e ˆ4 6= são denominados alter-nos internos.

Os pares de ângulos ˆ ˆ1 7= ˆ ˆ2 8= são denominados alternos externos.

Os pares de ângulos ˆ ˆ4 5 180+ = e ˆ ˆ3 6 180+ = são deno-minados colaterais internos.

Os pares de ângulos ˆ1 8 180+ = e ˆ ˆ2 7 180+ = são denomi-nados colaterais externos.

Os pares de ângulos ˆ ˆ1 5= , ˆ ˆ2 6= , ˆ ˆ3 7= e ˆ4 8= são deno-minados correspondentes.

Se dois pares de ângulos alternos são iguais ou dois pares de ângulos correspondentes são iguais ou dois pares de ângulo colaterais são suplementares, então as retas r e s são paralelas.

163

MATEMÁTICA

163

1.3.1. Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 .

Demonstração:

Se DE BC , então ˆ ˆDAB ABC= e ˆÊAC ACB= . Logo,ˆ ˆ ˆ ˆDAB BAC CAE DAE

ˆˆ ÂBC BAC ACB 180

ˆˆ Â B C 180

+ + = ⇔

⇔ + + = ⇔

⇔ + + =

1.3.2. Ângulo externo de um triângulo

Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

Demonstração:

+ = ⇔ + = + + ⇔ = +

e e eˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â C 180 A C A B C A Â B

Corolário: A soma das medidas dos três ângulos externos de um triângulo é igual a 360 .

2. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são ditos congruentes (símbolo ≡ ) se, e so-mente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que: seus lados são ordenadamente congruen-tes e seus ângulos são ordenadamente congruentes.

ABC A'B'C'

AB A'B'; AC A'C'; BC B'C'

ˆ ˆˆ ˆ ˆ Â A'; B B'; C C'

∆ ≡ ∆ ⇔

= = =⇔ = = =

2.1. Critérios de congruência de triângulos

Critério L.A.L.: Se dois lados de um triângulo e o ângulo por eles formado forem congruentes a dois lados de outro tri-ângulo e ao ângulo por eles formados, respectivamente, então esses dois triângulos são congruentes (postulado).

( )L.A.L.

ˆ ÂB A'B' B B'

ˆ Â A' ABC A'B'C' BC B'C'

ˆ ÂC A'C' C C'

= =

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

= =

Critério A.L.A.: Se um dos lados de um triângulo e os ân-gulos adjacentes a esse lado forem congruentes a um dos lados de outro triângulo e aos ângulos adjacentes a esse lado, respecti-vamente, então esses dois triângulos são congruentes (teorema).

MATEMÁTICA

164

( )A.L.A.

ˆ ˆ AB A'B'B B'

ˆ ˆBC B'C' ABC A'B'C' A A'

ˆ ˆ AC A'C'C C'

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

Demonstração:

Se AC A'C'= , então temos:

( )L.A.L.

AC A'C'

ˆ ˆC C' ABC A'B'C'

BC B'C'

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆

=

.

Se AC A'C'≠ , então podemos supor, sem perda de gene-ralidade, que AC A'C'> . Marca-se sobre AC um ponto D tal que DC A'C'= . Por L.A.L. , temos DBC A'B'C'∆ ≡ ∆ e, portanto,

ˆ ˆ ˆCBD C'B'A' CBA= = , donde D A≡ e AC DC A'C'= = , o que contradiz a hipótese inicial.

Logo, sempre que ˆ ˆB B'= , BC B'C'= e ˆ ˆC C'= , temos AC A'C'= e, consequentemente, ABC A'B'C'∆ ≡ ∆ , como que-ríamos demonstrar.

Teorema do triângulo isósceles: Em um triângulo ABC qualquer, AB AC= se, e somente se, ˆB C= .

Demonstração:

(Ida) Supondo AB AC= e associando o ABC∆ a ele mesmo somente com a mudança da ordem dos vértices, temos:

( )L.A.L.AB AC

ˆˆ ˆ ˆBAC CAB ABC ACB B C

AC AB

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

=

(Volta) Supondo ˆB C= e associando o ABC∆ a ele mesmo somente com a mudança da ordem dos vértices, temos:

( )A.L.A.

ˆˆCBA BCA

BC CB ABC ACB AB AC

ˆ ˆBCA CBA

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

=

Corolário: Um triângulo é equilátero (isto é, com todos os lados congruentes) se, e somente se, é equiângulo (isto é, seus ângulos são todos congruentes). Portanto, um triângulo equiláte-ro possui três ângulos iguais a 60 .

Critério L.L.L.: Se os três lados de um triângulo são respecti-

vamente congruentes aos três lados de outro triângulo, então esses

dois triângulos são congruentes (teorema).

( )L.L.L.

ˆ ˆA A'AB A'B'

ˆ ˆBC B'C' ABC A'B'C' B B'

ˆ ˆAC A'C' C C'

==

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

= =

Demonstração:

Como BC B'C'= , vamos fazer coincidir B B'≡ e C C'≡ com A e A' em lados opostos de BC B'C'= . Há três casos possíveis, como mostrado nas figuras a seguir.

165

MATEMÁTICA

165

Vamos analisar o caso representado na primeira figura. Os outros dois casos podem ser abordados de forma análoga.

O ABA'∆ é isósceles, então ˆ ˆBAA' BA'A= , e o ACA'∆ também é isósceles, então ˆ ˆCAA' CA'A= . Portanto,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆBAC BAA' CAA' BA'A CA'A BA'C B'A'C'= + = + = = .

Logo, temos AB A'B'= , ˆ Â A'= e AC A'C'= , o que, pelo critério L.A.L. , implica ABC A'B'C'∆ ≡ ∆ .

Teorema: Qualquer ângulo externo é maior que os ângulos externos não adjacentes.

Demonstração:

Vamos provar que o ângulo externo ˆBAD é maior que B. A de-monstração de que ˆBAD é maior que C é completamente análoga.

Seja M ponto médio de AB . Prolonga-se CM até C' tal que CM MC'= .

Como CM C'M= , ˆ ˆBMC AMC' e BM AM= , então, pelo critério L.A.L. , BMC AMC'∆ ≡ ∆ , o que implica ˆ ˆMAC' MBC= .

MAs C' é um ponto interior ao ângulo ˆBAD, então ˆ ˆ ˆ ˆ ˆBAD BAC' C'AD BAC' B= + > = , como queríamos demonstrar.

Critério L.A.Ao.: Se um lado, um ângulo adjacente e o ân-gulo oposto a esse lado, de dois triângulos são ordenadamente congruentes, então esses dois triângulos são congruentes.

( )oL.A.A .

ˆ ˆBC B'C' B B'ˆ ˆC C' ABC A'B'C' AB A'B'

ˆ ˆ AC A'C'A A'

= =

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

==

Demonstração:

Supondo por absurdo que BC B'C'= , ˆ ˆC C'= e ˆ Â A'= , e que ABC∆ e A'B'C'∆ não são congruentes, o que implica AC A'C'≠

(pois, se fossem iguais os triângulos seriam congruentes pelo cri-tério L.A.L.).

Supondo ainda, sem perda de generalidade, que AC A'C'> . Vamos coincidir B B'≡ e C C'≡ . Como ˆ ˆC C'= , então o ponto A' está sobre o lado AC . Mas, ˆBA'C é um ângulo externo do ABA'∆, não adjacente ao ângulo ˆBAA' , então ˆ ˆ ˆ ˆBA'C A' A BAA'= > = , o que contradiz a nossa hipótese. Portanto, ABC A'B'C'∆ ≡ ∆ , como queríamos demonstrar.

Critério especial de congruência de triângulos retângu-los: Se dois triângulos retângulos tem um cateto e a hipotenusa, respectivamente, congruentes, então esses dois triângulos são congruentes.

ˆ ˆ AC A'C'A A' 90

ˆ ÂB A'B' ABC A'B'C' B B'

ˆ ˆBC B'C' C C'

== =

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

= =

MATEMÁTICA

166

Demonstração:

Como AB A'B'= , vamos fazer coincidir A A'≡ e B B'≡ com C e C' em lados opostos de AB .

Como BC B'C'= , então o CBC'∆ é isósceles e ˆ ˆC C'= .

( )oLAABC B'C'

ˆ ˆC C' ABC A'B'C'

ˆ ˆA A' 90

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆

= =

3. LUGAR GEOmÉTRICO

Um lugar geométrico ( )L.G. é o conjunto de todos os pontos que possuem uma determinada propriedade.

Assim, se o conjunto L é o lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade p , então:

1°. Se o ponto A L∈ , então A possui a propriedade p ; e

2°. Se o ponto A possui a propriedade p , então A L∈ .

4. mEDIATRIZES

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao seg-mento pelo seu ponto médio.

A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pon-tos equidistantes das extremidades do segmento.

Demonstração:

Seja um ponto P m∈ , onde m é a mediatriz do segmento AB , então PMA PMB∆ ≡ ∆ (caso especial de congruência para triângulos retângulos), então PA PB= , ou seja, P equidista das extremidades do segmento.

Seja P um ponto equidistante das extremidades de um seg-mento AB . Se M é o ponto médio de AB , então PA PB= .

Assim, considerando os triângulos PAM e PBM , temos PA PB= , AM BM= e MP é comum, portanto, pelo critério de con-gruência L.L.L. , PAM PBM∆ ≡ ∆ , o que implica ˆ ˆPMA PMB 90= = , ou seja, P pertence à mediatriz de AB .

As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se em um único ponto denominado circuncentro e que equidista dos vértices do triângulo.

Demonstração:

Sejam 1m , 2m e 3m as mediatrizes dos lados AB , AC e BC do triângulo ABC , respectivamente.

167

MATEMÁTICA

167

Se { }1 2O m m= ∩ , então, temos:

13

2

O m OA OBOB OC O m

O m OA OC

∈ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ∈∈ ⇒ ≡ .

Portanto, { }1 2 3O m m m= ∩ ∩ e OA OB OC≡ ≡ , como que-

ríamos demonstrar.

O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

4.1. Posições do circuncentro em relação ao triângulo:

O circuncentro é interior ao triângulo, se o triângulo é acutângulo.

O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa, se o triângulo é retângulo.

O circuncentro é exterior ao triângulo, se o triângulo é obtusângulo.

5. BISSETRIZES

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos congruentes.

A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados de um ângulo.

Demonstração:

Seja um ponto P ∈β bissetriz de ˆAOB . Traçam-se as perpen-diculares por P aos lados do ângulo.

Nos triângulos POC e POD , temos PO lado comum, ˆ ˆPOC POD= e ˆ ˆPCO PDO 90= = , então, pelo critério de congru-

ência oLAA , POC POD∆ ≡ ∆ , o que implica PC PD= , ou seja, P equidista dos lados do ângulo.

MATEMÁTICA

168

Seja P um ponto que equidista dos lados do ângulo ˆAOB .

Nos triângulos POC e POD , temos PO lado comum e PC PD= . Então, pelo critério de congruência especial para triân-gulos retângulos, POC POD∆ ≡ ∆ , o que implica ˆ ˆPOC POD= , ou seja, P pertence à bissetriz do ângulo ˆAOB .

OBSERVAÇÃO:

(1) As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

(2) As bissetrizes de dois ângulos replementares são semir-retas opostas.

(3) As bissetrizes de dois ângulos suplementares são per-pendiculares.

5.1. Bissetriz interna de um triângulo

Uma bissetriz interna de um triângulo é um segmento com extremidade em um vértice e no lado oposto e que divide o ângu-lo desse vértice em dois ângulos adjacentes congruentes.

ˆ ˆBAA' A'AC AA'≡ ⇒ é bissetriz relativa ao vértice A do ABC∆

OBSERVAÇÃO:

Um segmento que tem uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outro no lado oposto a esse vértice é de-nominado ceviana.

As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um único ponto denominado incentro e que equidista dos lados do triângulo.

Demonstração:

Sejam AA' , BB' e CC' as bissetrizes relativas aos vértices A, B e C do triângulo ABC , respectivamente.

Se {}I AA' BB'= ∩ , então, temos:

I AA' IE IFID IE I CC'

I BB' ID IF

∈ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ∈∈ ⇒ ≡ .

Portanto, {}I AA' BB' CC'= ∩ ∩ e ID IE IF≡ ≡ , como quería-mos demonstrar.

O incentro de um triângulo é o centro da circunferência ins-crita no triângulo.

169

MATEMÁTICA

169

6. ALTURAS

Uma altura de um triângulo é um segmento de reta perpen-dicular à reta suporte de um lado do triângulo e com extremida-des nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado.

6.1. Ortocentro

As três alturas de um triângulo (ou seus prolongamentos) concorrem em um único ponto denominado ortocentro.

Demonstração:

Sejam BE e CF duas alturas do ABC∆ que se cortam no ponto H , e seja AD a ceviana passando por H .

#AFHE é inscritível ˆ ˆFAH FEH⇒ = = αˆ ˆBFC BEC 90º #BFEC= = ⇒ é inscritível ˆˆFEH FCB⇒ = = αˆ ˆCHD AHF 90º= = −α

( )ˆˆ ˆCDH 180º CHD DCH

180º 90º 90º

⇒ = − − == − −α − α =

Logo, AD BC⊥ , ou seja, AD também é uma altura do ABC∆ , o que implica que as três alturas do triângulo encontram-

se em um único ponto.

Outra forma de provar a concorrência das três alturas é tra-çar pelos vértices A , B e C retas paralelas aos lados opostos. Assim, #ABCJ e #ACBK são paralelogramos, o que implica BC AJ AK e BC AJ AK= = , logo A é ponto médio de KJ e, como 1AH BC⊥ , então 1AH KJ⊥ . Assim, conclui-se que 1AH é a mediatriz do lado KJ do IJK∆ .

Analogamente 2BH e 3CH também são mediatrizes de KI e IJ, respectivamente.

O ponto de encontro das três mediatrizes de um triângulo é o circuncentro do triângulo. É fácil garantir a sua existência e unicidade, pois ele é o ponto que equidista dos três vértices.

Como 1AH , 2BH e 3CH são as três mediatrizes do IJK∆ , eles se encontram no ponto H circuncentro do IJK∆ e, conse-quentemente, ortocentro do ABC∆ .

Se o triângulo é acutângulo, o ortocentro está no interior do triângulo.

Se o triângulo é retângulo, o ortocentro coincide com o vér-tice do ângulo reto.

Se o triângulo é obtusângulo, o ortocentro está no exterior

do triângulo.

Nas figuras seguintes, H é o ortocentro dos triângulos.

MATEMÁTICA

170

O simétrico do ortocentro de um triângulo em relação a um de seus lados está sobre o círculo circunscrito ao triângulo.

Demonstração:

H'Cˆ ˆCAH' CBH'2

= =

ˆ ˆ ˆ ˆCBH 90º BHD 90º AHE CAH'= − = − =ˆ ˆCBH CBH' DH DH'⇒ = ⇒ =

Logo, a interseção H' do prolongamento de AD com o cír-culo circunscrito é o simétrico de H em relação ao lado BC , o que demonstra a proposição inicial.

6.2. Triângulo Órtico

O triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das altu-ras de um triângulo.

No triângulo retângulo o triângulo órtico não está definido.

Em qualquer triângulo acutângulo, o ortocentro é o incentro do triângulo órtico, e seus vértices são exincentros do triângulo órtico.

Demonstração:

ˆ ˆBFH BDH 90º #BDHF= = ⇒ é inscritível ˆ ˆFBH FDH⇒ =ˆ ˆCEH CDH 90º #CDHE= = ⇒ é inscritível ˆ ˆECH EDH⇒ =

ˆˆ ˆ ˆ ˆFBH ECH 90º A FDH EDH= = − ⇒ =Logo, DH é bissetriz do ângulo ˆFDE . Analogamente, EH e

FH são bissetrizes dos ângulos ˆDEF e ˆDFE , respectivamente, o que implica que é o incentro do DEF∆ .

Observando ainda que os lados AB , BC e AC são perpen-diculares às bissetrizes internas do DEF∆ , então eles são bissetri-zes externas do DEF∆ e, consequentemente, os vértices A , B e C são exincentros do DEF∆ .

Em qualquer triângulo obtusângulo, o ortocentro é um dos exincentros do triângulo órtico, o vértice do ângulo obtuso é o in-centro do triângulo órtico, e os outros dois vértices são os outros dois exincentros do triângulo órtico.

Demonstração: Basta considerar o triângulo DEF como triân-gulo órtico do triângulo obtusângulo BCH .

171

MATEMÁTICA

171

7. mEDIANAS, BASES mÉDIAS E BARICENTRO

7.1. Base média de um triângulo

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e é igual à metade do terceiro lado. Esse segmento é denominado base média do triângulo, relativa ao terceiro lado.

Demonstração:

Seja a reta r AB por C , e D a interseção de r e MN .

ˆˆMAN DCN

AN CN AMN CDN

ˆ ˆMNA DNC

≡

≡ ⇒ ∆ ≡ ∆

≡

CD AM MN DN⇒ ≡ ∧ ≡Como CD AM MB≡ ≡ e CD MB , então o quadrilátero

BMDC é um paralelogramo, o que implica MD BC e MD DC≡ .

Portanto, MN BC e BC

MN2

= .

Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremi-dade no terceiro lado, então esta extremidade é o ponto médio do terceiro lado.

7.2. medianas e baricentro

Uma mediana de um triângulo é um segmento com extre-midades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto.

BM MC AM≡ ⇒ é a mediana relativa ao vértice A do ABC∆

As três medianas de um triângulo interceptam-se em um úni-co ponto denominado baricentro. O baricentro divide as media-nas na razão 2 :1 , onde a parte maior é a que contém o vértice.

Demonstração:

Seja { }X BN CP= ∩ , D e E pontos médios de BX e CX , respectivamente.

No ABC∆ , e P são pontos médios de AC e AB , respec-

tivamente, então NP BC e BC

NP2

= .

No XBC∆ , D e E pontos médios de BX e CX , respectiva

mente, então DE BC e BC

DE2

= .

⇒ NP || DE ∧ NP ≡ DE ≠ NPDE é um paralelogramo.Como as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio,

então NX XD DB≡ ≡ e PX XE EC≡ ≡ .

Logo, a mediana BN intercepta a mediana CP em um ponto X que divide as medianas na razão 2 :1 .

Seja { }Y AM CP= ∩ , então analogamente Y divide as me-

dianas AM e CP na razão 2 :1 , portanto, X Y≡ .

Chamando esse ponto de X Y G≡ ≡ , então

{ }G AM BN CP= ∩ ∩ e AG BG CG 2

1GM GN GP= = = .

OBSERVAÇÃO:

O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.

MATEMÁTICA

172

8. DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO

8.1. Lados e ângulos

Teorema: Num triângulo qualquer, ao maior (menor) lado, opõe-se o maior (menor) ângulo. Mais precisamente, em um

ABC∆ , tem-se ˆ Â B> se, e somente se, BC AC> .

Demonstração:

Seja BC AC> , então marquemos no segmento BC , um pon-to D tal que CD AC= . O triângulo ADC é isósceles, portanto ˆ ˆ ˆ Â DAC ADC B> = > .

Seja ˆ Â B> . Não podemos ter BC AC= , pois ter-se-ia ˆ Â B=. Também não podemos ter BC AC< , pois a demonstração ante-rior implicaria ˆ Â B< . Portanto, a única possibilidade é BC AC> .

8.2. Desigualdade triangular

Teorema: Cada um dos lados de um triângulo é menor que a soma dos outros dois.

Assim, em um triângulo ABC , de lados a , b e c , temos: a b c< + , b a c< + e c a b< + .

A condição pode ser garantida também, quando o maior lado é conhecido, verificando-se que o maior lado é menor que a soma dos outros dois lados. Alternativamente, quando o menor lado é conhecido, deve-se verificar que o menor lado é maior que o módulo da diferença dos outros dois lados.

Demonstração:

Tomemos um ponto D na reta AB de forma que B está entre A e D e que BD BC= . Como o DBC∆ é isósceles, temos

ˆ ˆˆ ÂDC BDC BCD ACD= = < .

Aplicando a desigualdade (1.1) ao ADC∆ , tem-se AC AD AB BD AB BC< = + = + , como queríamos demonstrar.

Corolário: A menor distância entre dois pontos é o segmen-to de reta que os une.

Exemplo: Sejam os pontos A e B do mesmo lado de uma reta r . Identifique o ponto C r∈ tal que AC CB+ assume o valor mínimo.

Seja B' a reflexão do ponto B em relação à reta r , então BC B'C= . O menor caminho de A a B' é o segmento de reta que une esses dois pontos. Como AC CB AC CB'+ = + , então o ponto C que faz AC CB+ assumir o valor mínimo é a interseção do segmento AB' com a reta r .

8.3. Envolvente e Envolvida:

Teorema: Dadas duas curvas convexas que unem dois pon-tos distintos, sendo uma envolvente e a outra envolvida, a envol-vente é maior que a envolvida.

EXERCÍCIOS DE AULA

01.

Na figura, as retas 1L e 2L são paralelas. O valor de x , em graus, é igual a:

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

173

MATEMÁTICA

173

02.

Os pontos M , N e P pertencem respectivamente aos lados AB , BC e AC do triângulo ABC . Sabe-se que AB AC= e que PM PN= . Sendo ÂMP a= , ˆMNB b= e ˆNPC c= , uma relação en-tre esses três ângulos é:

a) 0a b c 180+ + =b) 2a b c= +c) 2b a c= +d) 2c a b= +e) 0a c b 90+ − =

03.

Seja o triângulo isósceles ABC de vértice A . Sabendo que os segmentos BC , CD , DE , EF e FA são congruentes, o ângulo do vértice do triângulo é igual a:

a) 10

b) 15

c) 18

d) 20

e) 22,5

04. (CN)

Considere um quadrado ABCD e dois triângulos equiláteros ABP e BCQ , respectivamente, interno e externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos ÂDP , ˆBQP e ˆDPQ é igual a:

a) 270º

b) 300º

c) 330º

d) 360º

e) 390º

05.

No triângulo ABC, D é o ponto médio de AB e E é o ponto de BC tal que BE 2 EC= ⋅ . Dado que os ângulos ÂDC e ˆBAE são iguais, encontre o ângulo ˆBAC .

a) 30º

b) 45º

c) 60º

d) 90º

e) 120º

06. (CN)

Dados os casos clássicos de congruência de triângulos A.L.A. , L.A.L. , L.L.L. , oL.A.A . , onde L = Lado, A = Ângulo, oA = Ân-gulo oposto ao lado dado, complete corretamente as lacunas das sentenças abaixo e assinale a alternativa correta.

1. Para se mostrar que os pontos da mediatriz de um segmen-to AB são equidistantes dos extremos A e B , usa-se o caso _________ de congruência de triângulos.

2. Para se mostrar que a bissetriz de um ângulo ÂBC tem seus pontos equidistantes dos lados BA e BC desse ângulo, sem usar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, usa-se o caso _______ de congruência de triângulos.

a) L.A.L. / A.L.A.

b) L.A.L. / oL.A.A .

c) L.L.L. / L.A.A .

d) oL.A.A . / L.A.L.

e) A.L.A. / L.L.L.

07.

No triângulo ABC, B 66= e C 38= . As alturas AD e BE cortam-se em H e o ponto M é médio de HA. O ângulo ˆMED mede:

a) 54

b) 58

c) 62

d) 68

e) 72

08.

Um ponto P está no interior de um triângulo ABC e é tal que ˆÂBP ACP= e ˆ ˆCBP CAP= . Sobre o ponto P é possível afirmar que:

a) é o incentro de ABC

b) é o baricentro de ABC

c) é o circuncentro de ABC

d) é o ortocentro de ABC


MATEMÁTICA

174

09. (CN)

Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC :

I. Os vértices B e C são equidistantes da mediana AM. M é o ponto médio do segmento BC ;

II. A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distân-cia de G ao ponto N , médio do segmento AC ;

III. O incentro I é equidistante dos lados do triângulo ABC ;

IV. O circuncentro S é equidistante dos vértices A , B e C .

O número de afirmativas verdadeiras é:

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

10. (CN)

O ponto P interno ao triângulo ABC é equidistante de dois de seus lados e dois de seus vértices. Certamente P é a interseção de:

a) Uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo.

b) Uma bissetriz interna e uma mediatriz dos lados desse triângulo.

c) Uma mediatriz de um lado e uma mediana desse triângulo.

d) Uma altura e uma mediana desse triângulo.

e) Uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo.

11. (CN)

Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 5 cm , a base medindo 8 cm . A distância entre o seu incentro e o seu baricentro é, aproximadamente, igual a:

a) 0,1 cm

b) 0,3 cm

c) 0,5 cm

d) 0,7 cm

e) 0,9 cm

12. (CN)

Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notá-veis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k' , pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será

a) 5k2

b) 4k3

c) 4k5

d) k2

e) k3

13. (CN)

O número de triângulos que podemos construir com lados medin-do 5 , 8 e x , onde x é um número inteiro positivo, de tal forma de que o seu ortocentro seja interno ao triângulo é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

14. (EPCAR)

Sobre os triângulos ABC e ACD da figura abaixo, sabe-se que: a b c d e f≠ ≠ ≠ ≠ ≠ , a b c f< < < , a e f< < , c d< , e d< .

Podemos então afirmar que o maior dos segmentos representa-dos na figura é:

a) AB

b) BC

c) CD

d) AD

e) AC

15. (CN)

Sejam os triângulos ABC e A'B'C' onde os lados AB e AC são, respectivamente, congruentes aos lados A'B' e A'C'. Sabendo que os ângulos internos B e B' possuem a mesma medida, con-sidere as seguintes afirmativas:

I. Os triângulos ABC e A'B'C' possuem o mesmo perímetro.

II. Os triângulos ABC e A'B'C' possuem a mesma área.

III. Os ângulos C e C' podem ser suplementares.

Logo, pode-se afirmar que:

a) Apenas I é verdadeira.

b) Apenas II é verdadeira.

c) Apenas III é verdadeira.

d) Apenas I e II são verdadeiras.

e) I, II e III são verdadeiras.

175

MATEMÁTICA

175


01. (EPCAR)

Considere as retas r e s ( )r s e os ângulos e , i e a da figura abaixo

Pode-se afirmar que

a) ˆˆ ê i a 270+ + =

b) ˆˆ ê i a 180+ + =

c) ˆˆ ê i a+ =d) ˆˆ ê i a 90+ + =

02.

Na figura, as retas 1L e 2L são paralelas. O valor de x é igual a:

a) 100o b) 110o

c) 120o d) 130o

e) 140o

03.

Na figura abaixo os segmentos de reta r e s são paralelos. Então a soma dos ângulos A , B , C , D , E e F será de quantos graus?

a) 60o b) 90o

c) 120o d) 180o

e) 360o

04.

Da figura abaixo sabe-se que: 1) Â = 80º e B =60º, 2) AM = AP, 3) BM = BQ, 4) MP = MQ. O ângulo α mede:

a) 10º b) 12º

c) 15º d) 20º

e) NRA

05.

Na figura sabe-se que AB AC= e CD 8 m= , então o comprimen-to BC vale:

a) 4 m b) 2 2 m

c) 4 2 m d) 8 m

e) 8 2 m

06.

No triângulo ABC da figura, M é o ponto médio de BC. Se ÂBM 15= e ÂMC 30= , a medida do ângulo ˆBCA é:

a) 15o

b) 30o

c) 45o

d) 60o

e) 75o

MATEMÁTICA

176

07. (CN)

Num triângulo ABC , AB AC= , o ponto D interno ao lado AC é determinado de modo que DC BC= . Se o ângulo ABD mede 12 , qual a medida, em graus, do ângulo BAC ?

a) 100

b) 88

c) 76

d) 54

e) 44

08.

No triângulo ABC, AD é bissetriz interna do ângulo A. Sen-do BC 2a= assinale o ponto P sobre AD tal que AP a= . Se

oABC 60∠ = e oBAC 80∠ = , determine o ângulo PBD.

a) 5o

b) 10o

c) 15o

d) 20o

e) 30o

09.

As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que ˆˆ Â B 90 C< < < . As bissetrizes externas dos ângulos A e C cor-

tam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que AP CQ AC= = , determine o ângulo de B .

a) 12º

b) 24º

c) 30º

d) 36º

e) 60º

10.

Seja um triângulo ABC, onde as alturas AP, BQ e CR se inter-ceptam no ponto H interno ao triângulo. Sabendo-se que H é o ponto médio de AP e que CH é o dobro de HR, pode-se afirmar que a medida do ângulo ÂBC é:

a) O triplo da medida de ÂCR.

b) O dobro da medida de ˆCAP.

c) Um terço da medida de ÂHC.

d) Metade da medida de ˆBAC.

e) O dobro da medida de ÂBH.

11.

Sabendo-se que dois ângulos internos do triângulo formado pe-los pés das alturas do triângulo ABC acutângulo são 22° e 78°, pode-se afirmar que a medida do maior ângulo externo do tri-ângulo ABC pode ser:

a) 130°b) 128°c) 170°d) 139°e) 141°

12.

Um ponto P está no interior de um triângulo ABC e é tal que ˆÂBP ACP= e ˆ ˆCBP CAP= . Sobre o ponto P é possível afirmar que:

a) é o incentro de ABC

b) é o baricentro de ABC

c) é o circuncentro de ABC

d) é o ortocentro de ABC


13.

No triângulo ABC , tem-se ˆB 2 C= ⋅ e a bissetriz interna traçada a partir do vértice A intersecta BC em um ponto D tal que AB CD= . O valor do ângulo A é

a) 30

b) 36

c) 48

d) 60

e) 72

14.

Em um triângulo ABC , tem-se AB AC= e ˆBAC = α . Seja P B≠ um ponto sobre AB e Q um ponto sobre a altura traçada a partir do vértice A tal que PQ QC= . O ângulo ˆQPC em função de α é dado por:

a) 2α

b) 32α

c) α

d) 2α

e) ˆQPC não depende de α

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MATEMÁTICA

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15. (CMRJ)

Os triângulos ABC e ABD da figura são isósceles com AB AC BD= = . Seja E o ponto de interseção de BD com AC. Se BD é perpendicular a AC, então a soma dos ângulos C e D vale

a) 115°

b) 120°

c) 130°

d) 135°

e) 140°

16. (EPCAR)

Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único triân-gulo por vez, usando os 12 palitos sem parti-los.

Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos isósceles, z triângulos equiláteros e w triângulos es-calenos.

A soma x y z w+ + + é igual a

a) 7

b) 6

c) 5

d) 4

17. (CN)

Quantos são os pontos de um plano α que são equidistantes das três retas suportes dos lados de um triângulo ABC contido em α ?

a) Um.

b) Dois.

c) Três.

d) Quatro.

e) Cinco.

18. (CN)

Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perí-metro de Q.

a) 10

b) 25

c) 15

d) 30

e) 20

19. (CN)

O número de trapézios distintos que se pode obter dispondo de 4, e apenas 4, segmentos de reta medindo, respectivamente, 1 cm, 2 cm, 4 cm e 5 cm é:

a) nenhum

b) três

c) um

d) quatro

e) dois

20.

No quadrilátero ABCD, AB = 5, BC = 17, CD = 5, DA = 9, e a me-dida de BD é um número inteiro. A medida de BD é:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

21. (CN)

Quantos triângulos obtusângulos existem, cujos lados são expres-sos por números inteiros consecutivos?

a) um.

b) dois.

c) três.

d) quatro.

e) cinco.

MATEMÁTICA

178

22. (CN)

Sejam os triângulos ABC e MPQ, tais que:

I - ˆˆMPQ ACB 90º= =II - ˆPQM 70º=III - ˆBAC 50º=IV - AC MP=Se PQ x= e BC y= , então AB é igual a:

a) x +y

b) 2 2x y+

c) ( ) 2

2xy

x y+

d) 2 xy

x y+

e) 2x +y

23. (CN)Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6 , 8 e 14 , obtém-se as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior?a) 9b) 10c) 11d) 12

e) 13

24. (ITA)

Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 40º. Sobre o lado AB , tome o ponto E tal que ˆACE 15º.= Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que

ˆDBC 35= . Então, o ângulo ˆEDB vale:

a) 35°

b) 45°

c) 55º

d) 75º

e) 85º

01.

Em um triângulo acutângulo ABC o ângulo interno de vértice A mede 300. Os pontos B1 e C1 são os pés das alturas traçadas por B e C, respectivamente e os pontos B2 e C2 são médios dos lados AC e AB, respectivamente. Calcule o menor ângulo entre os seg-mentos B1C2 e B2C1.

a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 90º

02.

Seja ABC um triângulo acutângulo e CD a altura correspondente ao vértice C. Se M é o ponto médio de BC e N é ponto médio de AD, calcular MN sabendo que AB = 8 e CD = 6.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

03.

Na figura, calcule x.

a) 100°

b) 120°

c) 135°

d) 145°

e) 150°

179

MATEMÁTICA

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04.

No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo

ˆDAE, em graus, é igual a:

a) 30

b) 40

c) 45

d) 60

e) 75

05.

No triângulo ABC, AE, BF e CD são medianas. FH é paralela e igual a AE. São traçados BH e HE, e FE é prolongado até encontrar BH em G. Qual das seguintes afirmações não é necessariamente correta?

a) AEHF é um paralelogramo

b) HE HG=c) BH DC=

d) 3

FG AB4

=

e) FG é uma mediana do triângulo BFH

06.

Na figura ˆCAB 90º= , BC 2 BM 10 cm= ⋅ = e ED 2 EN= ⋅ .

Se DP 15 cm= e AN 7,5 cm= , calcule MP .

a) 4 cm

b) 4,5 cm

c) 5 cm

d) 5,5 cm

e) 6 cm

07.

O triângulo ABC abaixo é isósceles com AB AC= e ˆBAC 80= . Sabendo que ˆPBC 10= e ˆPCB 30 , o valor de ˆAPB é:

a) 60°

b) 65°

c) 70°

d) 75°

e) 80°

08. (CN)

Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos. Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, res-pectivamente, iguais a 12 e 16, um valor possível para o segmen-to de extremos M (ponto médio do lado AD) e N (ponto médio do lado BC) é:

a) 12,5

b) 14

c) 14,5

d) 16

e) 17

09.

Seja ABCD um quadrilátero, AD BC= , ˆ ˆA B 120+ = e seja P um ponto exterior ao quadrilátero tal que P e A estão em lados opostos do segmento DC e o triângulo DPC é equilátero. Prove que o triângulo APB também é equilátero.

10.

Em um triângulo ABC , tem-se AB BC= e B 20= . Sobre AB toma-se o ponto M tal que ˆMCA 60= e sobre BC , o ponto N tal que ˆNAC 50= . O ângulo ˆNMC mede:

a) 10°

b) 20°

c) 30°

d) 40°

e) 50°

MATEMÁTICA

180

11.

Na figura abaixo, sabe-se que AB AC= . O valor do ângulo ˆBDE é:

a) 12°

b) 14°

c) 21°

d) 24°

e) 30°

noTaS

181

MATEMÁTICA

181

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. D 02. C

03. B 04. B

05. D 06. B

07. C 08. D

09. D

10.

Se P é equidistante de dois lados, então está sobre a bissetriz interna do ângulo formado por esses lados.

Se P é equidistante de dois vértices, então está sobre a mediatriz desses vértices.

Logo, P é a interseção de uma bissetriz interna e uma mediatriz do triângulo.

11. B 12. E

13. A 14. C

15. C


01. A 02. B

03. D 04. A

05. D 06. E

07. E 08. B

09. D 10. C

11. A 12. D

13. E 14. D

15. D 16. C

17.O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo é o par de bissetrizes do ângulo.

Assim, há apenas quatro pontos de α que são equidistantes das três retas suportes dos lados de um triângulo ABC , que são o in-centro I (ponto de encontro das três bissetrizes internas) e os três exincentros AI , BI e CI (pontos de encontro de duas bissetrizes externas e uma interna).

18. C 19. C

20. C

21. Sejam k 1− , k e k 1+ os lados do triângulo, onde k ∈ e k 2≥ .

As medidas dos lados devem satisfazer a desigualdade triangular. Assim, ( )k 1 k k 1 k 2+ < + − ⇔ > .

A síntese de Clairaut estabelece que um triângulo é obtusângulo se, e somente se, o quadrado do seu maior lado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois lados. Assim, temos:

( ) ( )2 22 2k 1 k k 1 k 4k 0 0 k 4+ > + − ⇔ − < ⇔ < < .

As duas condições acima implicam k ∈ e 2 k 4< < . Logo, o único valor de k que faz o triângulo ser obtusângulo é k 3= . O triângulo em questão possui lados 2 , 3 e 4 .

Portanto, existe apenas um triângulo que satisfaz as condições estabelecidas.

22. A 23. B

24. D

MATEMÁTICA

182

DESAFIO mIL

01. E 02. D

03. D 04. C

05. B 06. C

07. C 08. A

09.

ˆˆ ˆ Â B 120 ADC BCD 240

ˆ ˆˆ ÂDC BCD CDP DCP 360

+ = ⇒ + = ⇒

⇒ + + + =

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ÂDP ADC CDP 360 BCD DCP BCP= + = − − =

DP CP

ˆÂDP BCP ADP BCP

AD BC

ˆ ÂP BP e DPA CPB

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =⇒ = =

ˆ ˆ ˆ ˆDPA CPB e CPD 60 APB 60= = ⇒ =

Como AP BP= e ÂPB 60= , o triângulo APB é um triângulo isósceles com ângulo de 60 no vértice. Logo, o triângulo APB é equilátero.

REFERÊNCIA: Baltic Way 1990

10. C 11. D

noTaS

183

MATEMÁTICA

183

polígonoS

AbordagemTeórica

1. INTRODUÇÃO:

Seja uma sequência de pontos distintos 1 2 3 nA ,A ,A , ,A, com ≥n 3 , onde três pontos consecutivos não são colineares ( −n 1 n 1A ,A ,A e n 1 2A ,A ,A são considerados consecutivos). A reunião dos segmentos 1 2A A , 2 3A A , , −n 1 nA A , n 1A A é o polígono 1 2 nA A A .

Os pontos 1 2 3 nA ,A ,A , ,A são os vértices do polígono; os segmentos 1 2A A , 2 3A A , , −n 1 nA A , n 1A A são os seus lados; e os ângulos =1 n 1 2

ˆ Â A A A , =2 1 2 3ˆ Â A A A , , −=n n 1 n 1

ˆ Â A A A são os ângulos internos do polígono.

Um polígono de n vértices possui também n lados e n ângulos, e diz-se de gênero n .

Um polígono é simples se, e somente se, a interseção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia.

Um polígono simples é convexo se, e somente se, a reta determinada por quaisquer dois de seus vértices consecutivos deixa todos os outros vértices no mesmo semiplano.

Um polígono que possui todos os lados congruentes é dito equilátero. Um polígono que possui todos os ângulos congruentes é dito equiângulo. Um polígono é dito regular se é equilátero e equiângulo.

O desenvolvimento a seguir refere-se a polígonos simples que possui todos os vértices no mesmo plano.

1.1 Nomenclatura

GÊNERO DENOmINAÇÃO

=n 3 trilátero ou triângulo

=n 4 quadrilátero

=n 5 pentágono

=n 6 hexágono

=n 7 heptágono

=n 8 octógono

=n 9 eneágono

=n 10 decágono

=n 11 undecágono

=n 12 dodecágono

=n 15 pentadecágono

=n 20 icoságono

n n -látero

2. DIAGONAIS

Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são dois vértices não consecutivos do polígono.

O número de diagonais que se pode traçar partindo-se de cada vértice de um polígono de gênero n é: = −d n 3 .

O número total de diagonais de um polígono de gênero n é:( )−

=n n 3

D2 .

Demonstração: Basta contar a quantidade de diagonais traçadas em todos os n vértices, totalizando ( )−n n 3 e observar que cada diagonal é contada duas vezes, uma em cada

extremidade. Portanto, o número de diagonais é ( )−

=n n 3

D2

.

MATEMÁTICA

184

3. ÂNGULOS INTERNOS

A soma dos ângulos internos de um polígono de gênero n é:

( )= −

iS 180 n 2 .Demonstração:

Basta observar que um polígono ligando-se um dos vértices de um polígono gênero aos ( )−n 3 vértices não adjacentes a ele, o polígono fica dividido em ( )−n 2 triângulos. A soma dos ângulos internos desses ( )−n 2 triângulos é igual à soma dos ângulos internos do polígono. Assim, a soma dos ângulos internos do polígono é ( )= −

iS 180 n 2 .

4. ÂNGULOS ExTERNOS

Ângulo externo de um polígono é o ângulo suplementar adjacente do ângulo interno do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono de gênero n é:

=

eS 360

Demonstração: Basta observar que há n pares de ângulos internos e externos, e cada par soma 180 . Assim, a soma de todos os ângulos internos e externos do polígono é ⋅180 n . Portanto,

( )+ = ⋅ ⇔ − + = ⇔ =

i e e eS S 180 n 180 n 2 S 180 n S 360

5. POLíGONOS REGULARES

Os polígonos regulares são inscritíveis e circunscritíveis. O centro das circunferências inscrita e circunscrita é chamado centro do polígono.

Cada ângulo interno de um polígono regular é igual

a ( )−

= =

ii

S 180 n 2A

n n e cada ângulo externo é igual a

= =

ee

S 360A

n n.

Um polígono regular de gênero n par possui =c

nd

2

diagonais que passam pelo centro.

Um polígono regular de gênero ímpar não possui diagonais que passam pelo centro.

EXERCÍCIOS DE AULA

01.

Em um polígono convexo, um dos ângulos internos mede 150o e cada um dos outros é maior que 166o. O menor número de lados que esse polígono pode ter é:

a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

e) 26

02.

ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:

a) 38°b) 40°c) 42°d) 44°e) 46°

03.

Os pontos A, B, C e D, nesta ordem sobre uma circunferência são tais que AB é o lado do hexágono regular inscrito, BC é o lado do decágono regular convexo e CD é o lado do pentágono regular estrelado, inscritos nessa circunferência. O segmento AD é o lado de um polígono regular inscrito. Este polígono é o:

a) triângulo equilátero

b) pentágono convexo

c) octógono estrelado

d) quadrado

e) dodecágono estrelado

04. (CN)

O número de diagonais de um polígono regular P inscrito em um círculo K é 170 . Logo

a) o número de lados de P é ímpar.

b) P não tem diagonais passando pelo centro de K.

c) o ângulo externo de P mede 36 .

d) uma das diagonais de P é o lado do pentágono regular inscrito em K.

e) o número de lados de P é múltiplo de 3 .

185

MATEMÁTICA

185

05. (CN)

Os pontos X , O e Y são vértices de um polígono regular de n lados. Se o ângulo ˆXOY mede 22 30' , considere as afirmativas:

I. n pode ser igual a 8 .

II. n pode ser igual a 12 .

III. n pode ser igual a 24 .


a) apenas I e II são verdadeiras.

b) apenas I e III são verdadeiras.

c) apenas II e III são verdadeiras.

d) apenas uma delas é verdadeira

e) I, II e III são verdadeiras

06. (CN)

Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono regular de n lados, onde o número de diagonais é múltiplo de n .

I. O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro.

II. n pode ser múltiplo de 17 .

III. n pode ser um cubo perfeito.

IV. n pode ser primo.

Assinale a alternativa correta.

a) Todas as afirmativas são falsas.

b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.

e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

07. (CN)

Um polígono regular convexo tem seu número de diagonais expresso por − +2n 10n 8 , onde n é o seu número de lados. O seu ângulo interno x é tal que:

a) <x 120º

b) < <120º x 130º

c) < <130º x 140º

d) < <140º x 150º

e) >x 150º

08. (CN)

Um aluno escreveu o ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo de treze lados, em graus, minutos e segundos. Sendo estes últimos com uma parte inteira e outra fracionária. Assim sendo, pode-se afirmar que o número inteiro de segundos é:

a) 26

b) 28

c) 30

d) 32

e) 34

09. (CN)

Sobre uma circunferência, marcam-se os n pontos 1 2 3 nA , A , A , ... , A de tal maneira que os segmentos 1 2 2 3 n-1 nA A , A A , ... , A A e n 1A A têm medidas iguais a da corda do arco de 157º30' dessa mesma circunferência. Logo o número n é:

a) primo.

b) múltiplo de 3 .

c) múltiplo de 6 .

d) potência de 2 .

e) múltiplo de 5 .

10. (CN)

O total de polígonos convexos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e tais que seu número d de diagonais é tal que >d 26n é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8


01. (UEM)

Seja ∈

*k . Se o número de diagonais de um polígono convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto afirmar que o número de lados do polígono é:

a) +3k 2

b) −2k 3

c) k

d) −3k 2

e) +2k 3

02.

Em um pentágono ABCDE , = = =AB BC CD DE , = B 96 e = = ˆ ˆC D 108 . A medida do ângulo E é:

a) 120

b) 108

c) 102

d) 96

e) 94

MATEMÁTICA

186

03. (UFPE)

Na ilustração a seguir, A, B, C, D e E são vértices consecutivos de um eneágono regular. Assinale a alternativa incorreta acerca desta configuração.

a) O ângulo ÂBC mede 140 .

b) O ângulo ÂEB mede 30 .

c) As diagonais AE e BD são paralelas.

d) O ângulo ÂED mede 60 .

e) = +AE BD DE

04.

Seja o hexágono equiângulo ABCDEF, onde =AB 3, =BC 4, =CD 5 e =EF 1. Pode-se afirmar que +DE AF é igual a:

a) 11 b) 12

c) 13 d) 14

e) 15

05.

A figura abaixo mostra um pentágono e um hexágono regulares com um lado comum.

O ângulo XAY que aparece na figura mede:

a) 56o b) 58o

c) 60o d) 62o

e) 64o

06. (CMF)

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um, e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é igual a:

a) 6 b) 7

c) 13 d) 16

e) 17

07. (CMBR)

Na analise as afirmativas abaixo:

I. Se o número de diagonais de um polígono convexo é 52

do número de lados; então, esse polígono é um decágono.

II. Se o ângulo externo de um polígono regular convexo P é 1

24

da soma dos ângulos internos de P; então, P é um octógono.

III. Se um trapézio isósceles, de bases 20 e 80 , está circunscrito a uma circunferência; então, o raio da circunferência é 40 .

Associando V ou F a cada afirmativa, conforme seja verdadeira ou falsa, respectivamente, obtém-se a sequência

a) F F V b) F V V

c) V V F d) F V F

e) V V F

08. (CMRJ)

A diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular vale 144 . O número de lados deste polígono é igual a:

a) 18 b) 20

c) 22 d) 24

e) 26

09. (CN)

Um aluno estudava sobre polígonos convexos e tentou obter dois polígonos de 'N' e 'n' lados ( )≠N n , e com 'D' e 'd' diagonais, respectivamente, de modo que − = −N n D d . A quantidade de soluções corretas que satisfazem essas condições é

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) indeterminada.

10. (CN)

Um polígono convexo de n lados tem três dos seus ângulos iguais a 83º , 137º e 142º . Qual é o menor valor de n para que nenhum dos outros ângulos desse polígono seja menor que 121º ?

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

11. (CN)

Um estudante foi calculando o lado de um polígono regular de 2n lados, inscrito em uma circunferência de raio 10 centímetros, para n sucessivamente igual a 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , etc. Após determinar cada lado, calculou o perímetro p do respectivo polígono, e observou que p é um número cada vez mais próximo de, porém menor que

a) 60 b) 61

c) 62 d) 63

e) 64

187

MATEMÁTICA

187

12. (CN)

Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono convexo P de n lados: “Partindo da premissa de que eu posso traçar ( )−n 3 diagonais de cada vértice de P , então, em primeiro lugar, o total de diagonais de P é dado por ( )⋅ −n n 3 ; e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de P é dada por ( )−n 3 .180º . Logo o aluno:

a) Errou na premissa e nas conclusões.

b) Acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda conclusão.

c) Acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira conclusão.

d) Acertou na premissa e nas conclusões.

e) Acertou na premissa e errou nas conclusões.

13. (ITA)

Considere as afirmações sobre polígonos convexos:

I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.

II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.

III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.

Então:

a) Todas as afirmações são verdadeiras.

b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.

c) Apenas (I) é verdadeira.

d) Apenas (III) é verdadeira.

e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

01. (CN)

Um polígono regular admite para medida de suas diagonais apenas os números 1 2 3 27n ,n ,n ,...,n tais que < < < <1 2 3 27n n n ... n . Logo este polígono

a) tem 30 lados.

b) pode ter 54 lados.

c) pode ter 57 lados.

d) pode ter 58 lados.

e) tem um número de lados maior que 60 .

02.

Os ângulos de um polígono convexo de gênero n são α α α α, 2 , 3 , , n . A quantidade de possíveis valores de n é:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

03. (ITA)

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160 . Então o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é:

a) 50 b) 60

c) 70 d) 80

e) 90

04. (ITA)

Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780 . O número total de diagonais nestes três polígonos é igual a:

a) 63 b) 69

c) 90 d) 97

e) 106

05. (ITA)

Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de −n 1 ângulos (internos) do polígono é 2004 , determine o número n de lados do polígono.

06.

Um turista faz uma viagem pela cidade em etapas. Em cada etapa o turista percorre 3 segmentos de comprimento 100 metros separados por curvas à direita de 60°. Entre o último segmento de uma etapa e o primeiro segmento da próxima etapa, o turista faz uma curva à esquerda de 60°. A que distância o turista estará da sua posição inicial, após 1997 etapas?

a) 0 b) 50 metros

c) 85 metros d) 100 metros

e) 200 metros

noTaS

MATEMÁTICA

188

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. D 02. C

03. A 04. D

05. B 06. E

07. E 08. D

09. D 10. A


01. E 02. C

03. B 04. D

05. C 06. B

07. D 08. B

09. A 10. B

11. D 12. E

13. B

DESAFIO mIL

01. C 02. C

03. C 04. D

05. 14

Seja α a medida do ângulo interno não somado, então: ( )α + = ⋅ − ⇔ α = − 2004 180 n 2 180 n 2364 .

Como α é um ângulo interno de um polígono convexo, temos:

< α < ⇔ < − < ⇔

⇔ < < ⇔ < <

0 180 0 180 n 2364 180

2364 25442364 180 n 2544 n

180 180

⇔ < < ⇒ =2 2

13 n 14 n 1415 15

06. E

noTaS

189

MATEMÁTICA

189

quadriláTeroS

AbordagemTeórica

1. QUADRILÁTEROS

Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados.

Um quadrilátero possui duas diagonais, a soma de seus ângu-los internos é 360 e a soma dos seus ângulos externos é 360 .

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

Os quadriláteros planos não entrecruzados são chamados trapezoides.

2. TRAPÉZIOS

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.

AB CD

#ABCD é um trapézio AB CD AD BC⇔ ∨

Os lados paralelos são chamados bases do trapézio.

Os ângulos adjacentes a um mesmo lado não paralelo de um trapézio são suplementares.

A distância entre os lados paralelos é chamada altura do tra-pézio.

AB CD

Se um trapézio possui dois ângulos retos, ele é chamado trapézio retângulo.

MATEMÁTICA

190

Se os outros dois lados do trapézio não são congruentes, ele é chamado trapézio escaleno.

Se os outros dois lados do trapézio são congruentes, ele é chamado trapézio isósceles.

Os ângulos adjacentes às bases de um trapézio isósceles são congruentes.

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Todo trapézio isósceles é inscritível.

2.1. Base média do triângulo

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e é igual à metade do terceiro lado. Esse segmento é denominado base média do triângulo, relativa ao terceiro lado.

Demonstração:

Seja a reta r AB por C , e D a interseção de r e MN .

ˆˆMAN DCN

AN CN

ˆ ˆMNA DNC

≡

≡

≡

AMN CDN CD AM MN DN⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ∧ ≡

Como CD AM MB≡ ≡ e CD MB , então o quadrilátero BMDC é um paralelogramo, o que implica MD BC e MD DC≡Portanto, MN BC e BC

MN2

= .

Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremi-dade no terceiro lado, então esta extremidade é o ponto médio do terceiro lado.

Demonstração:

Seja AM MB≡ e MN BC . Supondo que 1N é o ponto mé-dio de AC , temos 1MN BC . Como a reta paralela a BC por M é única, então 1MN MN≡ . Mas, 1N,N AC∈ , então 1N N≡ o que implica AN NC≡ .

2.2. Base média do trapézio

A base média de um trapézio é o segmento de reta que une os pontos médios dos lados não paralelos.

AM MD e BN NC

B bMB AB CD e MN

2

≡ ≡⇓

+=

A base média de um trapézio é paralela às bases e igual à semissoma das bases.

Demonstração:

( )DCN EBN A.L.A. BE CD e EN DN∆ ≡ ∆ ⇒ = =

No ADE∆ , M e N são pontos médios de AD e ED , respecti-

vamente. Portanto, MN é base média do ADE∆ , o que implica

MN AE MN AB CD⇔ e AE AB CD

MN2 2

+= = .

Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um dos lados não paralelos e a outra extremidade sobre o outro lado não paralelo, então esta extremidade é o ponto médio deste lado.

191

MATEMÁTICA

191

Demonstração:Sejam MN AB CD , AM MD≡ e N BC∈ . Seja ainda 1N o

ponto médio de BC , então 1MN AB CD . Como a reta paralela a AB por M é única, então 1MN MN≡ . Mas, 1N,N BC∈ , então

1N N≡ o que implica BN NC≡ .

2.3. mediana de Euler

A mediana de Euler é o segmento de reta que une os pontos médios das diagonais do trapézio.

A mediana de Euler está sobre a base média do trapézio e é igual à semidiferença das bases.

e

AP PC e CQ QD

AB CD B bPQ AB CD e M PQ

2 2

≡ ≡⇓

− −= = =

Demonstração:

Basta observar que MP e NQ são bases médias dos triângulos

ACD∆ e BCD∆ , respectivamente, então PQ MN PQ AB CD⊂ ⇒

. Além disso, B b b b B b

PQ MN MP NQ2 2 2 2+ −

= − − = − − = .

3. PARALELOGRAmO

Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui lados opostos paralelos.

ABCD é um paralelogramo

AD BC AB CD∧

Em um paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.

Demonstração:ˆ ÂB CD D 180 A⇒ = −

, ( )ˆ ˆ ˆ ˆBC AD C 180 D 180 180 A A⇒ = − = − − =

.

Todo quadrilátero convexo que possui ângulos opostos con-gruentes é um paralelogramo.

Demonstração:ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â C B D A B C D≡ ∧ ≡ ⇒ + = +

ABCD é um quadrilátero ˆˆ ˆ Â B C D 360⇒ + + + =

ˆ ˆ ˆ Â B A D 180 AD BC AB CD⇒ + = + = ⇒ ∧

ABCD⇒ é um paralelogramo.

Em um paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.

Demonstração:

( )ABD CDB A.L.A. AD BC AB CD∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ∧ ≡

Todo quadrilátero convexo que possui lados opostos con-gruentes é um paralelogramo.

Demonstração:( )ABD CDB L.L.L.

ˆˆ ˆ ˆ ˆ Â C; ABD CDB ADB CBD

ˆˆ ˆ Â C B D

∆ ≡ ∆ ⇒

⇒ ≡ ≡ ∧ ≡ ⇒

⇒ ≡ ∧ ≡ Como os ângulos opostos de ABCD são congruentes, então

ABCD é um paralelogramo.

Â C

ˆ ˆB DAB CD AD BC

AB CD

AD BC

≡

≡∧ ⇒

≡ ≡

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se ao meio.

Demonstração:

( )MAB MCD A.L.A. AM MC BM MD∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ∧ ≡

MATEMÁTICA

192

Todo quadrilátero convexo em que as diagonais intercep-tam-se ao meio é um paralelogramo.

Demonstração:

( )( )

AMB CMD L.A.L. AB CD

AMD CMD L.A.L. AD BC

∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

#ABCD é um paralelogramo⇒

Todo quadrilátero convexo que possui dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo.

Demonstração:ˆÂB CD BAC DCA⇒ =

( )AB CD

ˆˆBAC DCA ABC CDA L.A.L.

AC comum

BC AD #ABCD é um paralelogramo

=

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒

⇒ = ⇒

4. RETÂNGULO

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somen-te se, possui os quatro ângulos congruentes.

#ABCD é um retângulo

ˆˆ ˆ Â B C D 90= = = =

Os retângulos são paralelogramos, pois possuem ângulos opostos congruentes. Assim, os retângulos possuem todas as propriedades dos paralelogramos.

As diagonais de um retângulo são congruentes.

Demonstração:( )ABD BAC L.A.L. BD AC∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ .

Todo paralelogramo que possui diagonais congruentes é um retângulo.

Demonstração:

( )AB BA; AD BC; BD AC

ˆ ÂBD BAC L.L.L. A B

= = = ⇒

⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

ˆ ˆ#ABCD é um paralelogramo A B 180

ˆˆ ˆ Â B 90 C D #ABCD é um retângulo

⇒ + = ⇒

⇒ = = = = ⇒

Todo retângulo é circunscritível e o ponto de concurso das diagonais é o seu circuncentro.

Demonstração:

Basta observar que as diagonais são iguais e cortam-se ao meio.

5. LOSANGO

Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.

#ABCD é um losango

AB BC CD DA≡ ≡ ≡

Os losangos são paralelogramos, pois possuem lados opos-tos congruentes. Assim, os losangos possuem todas as proprieda-des dos paralelogramos.

Todo losango possui diagonais perpendiculares.

193

MATEMÁTICA

193

Demonstração:

( )AB AD; BM DM;MA comum

ˆ ˆABM ADM L.L.L. AMB AMD 90

= = ⇒

⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ = =

Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.

Demonstração:#ABCD é um paralelogramo

AB CD; AD BC; BM MD; AM MC⇒ ≡ ≡ ≡ ≡

( )AMB AMD L.A.L. AB AD CD BC

#ABCD é um losango

∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ≡ ≡ ⇒⇒

As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Demonstração:

Basta observar que

( )AMB AMD CMD CMB L.L.L.∆ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ∆

Todo losango é inscritível e o ponto de concurso das diago-nais é o seu incentro.

Demonstração:

Basta observar que

( )AMB AMD CMD CMB L.L.L.∆ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ∆ e que as alturas re-lativas à hipotenusa desses triângulos retângulos são o raio do círculo inscrito ao losango.

6. QUADRADO

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somen-te se, possui quatro lados congruentes e quatro ângulos con-gruentes.

#ABCD é um quadrado

AB BC CD DA

e

ˆˆ ˆ ˆA B C D 90

≡ ≡ ≡

= = = =

O quadrado é equilátero e equiângulo, portanto, possui to-das as propriedades dos losangos, dos retângulos e também dos paralelogramos.

As diagonais de um quadrado são cortadas ao meio perpendi-cularmente, são iguais e são bissetrizes dos ângulos internos.

Todo quadrado é inscritível e circunscritível, e o ponto de concurso das diagonais é o seu centro.

MATEMÁTICA

194

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

O trapézio ABCD da figura é retângulo de bases AB de medida 10 e CD de medida 6. A bissetriz do ângulo Â intercepta BC no seu ponto médio M. A altura do trapézio é igual a:

a) 2 15

b) 8 15c) 6 15d) 4 15e) 5 15

02. (CN)

Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios de um trapézio

retângulo ABCD , de bases AB 32= e CD 8= . A altura BC é igual a:

a) 8b) 10c) 12d) 16e) 20

03. (CN) Considere um quadrado ABCD e dois triângulos equiláteros ABP e BCQ , respectivamente, interno e externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos ˆADP , ˆBQP e ˆDPQ é igual a:a) 270ºb) 300ºc) 330ºd) 360ºe) 390º

04. (CN)

Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-

se que essas alturas dividem o ângulo interno do vértice A em três

partes iguais, quanto mede o maior ângulo interno desse paralelo-

gramo?

a) 120

b) 135

c) 150

d) 165

e) 175

05. (EsSA)

A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36 é um número

a) primo

b) par

c) irracional

d) múltiplo de 5

e) múltiplo de 9

06.

Num trapézio ABCD , de bases AD e BC , as bissetrizes externas

dos ângulos A e B intersectam-se no ponto K e as bissetrizes ex-

ternas dos ângulos C e D intersectam-se no ponto E . Se KE 12= ,

o perímetro do trapézio é igual a:

a) 12

b) 24

c) 36

d) 48

e) 60

07.

Em um trapézio C de base maior AB e base menor DC tem-se que

AC é perpendicular a CB , AC CB= e BA BD= . A medida do

ângulo CBD∠ é igual a:

a) o15 b) o20

c) o30 d) o45

e) o60

08.

Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo e M e N são médios

de AD e BC , respectivamente. O valor de x y⋅ é

a) 10

b) 21

c) 24

d) 25

e) 30

09.

Calcule o perímetro em centímetros de um trapézio isósceles cujas bases medem 10 cm e 8 cm, sabendo-se que as diagonais são as bissetrizes dos ângulos da base maior.

a) 36

b) 38

c) 34

d) 27

e) 30

195

MATEMÁTICA

195

10.

Considere as afirmações a seguir:

I) A figura formada pelos pontos médios dos lados de um trapézio isósceles é um losango.

II) A figura formada pelas bissetrizes internas de um paralelogra-mo é um retângulo.

III) A figura formada pelas bissetrizes internas dos ângulos de um retângulo é um quadrado.

IV) A figura formada pelos pontos médios de um quadrilátero qualquer é um paralelogramo.

A quantidade de afirmativas verdadeiras é:

a) zero

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

11.

Uma reta ( )r pertencente ao plano de um paralelogramo ABCD é exterior a ele. Se A , B e C distam x , y e z , respectivamente de r , a distância do vértice D à reta r é igual a:

a) x y z2

+ +

b) x z 22

+ −

c) x z y+ −

d) x z y2

+ −

e) y z x+ −


01.

Num trapézio ABCD de bases AB e CD , a bissetriz do ângulo A encontra o lado BC no ponto médio. Calcule o comprimento do lado AD , sabendo que a base média do trapézio vale 8 cm .

a) 4 cm b) 8 cm

c) 12 cm d) 16 cm

e) 20 cm

02.

Na figura ao lado, AD DC CB = = e BD BA= . Calcule o ân-gulo A do trapézio ABCD.

a) 45

b) 48

c) 54

d) 60

e) 72

03.

Num trapézio retângulo ABCD, o lado oblíquo BC vale o dobro da

base menor AB e M é o ponto médio de BC . Calcule o valor do

ângulo C do trapézio, sabendo que o ângulo ˆDMB vale 120°.

a) 60°

b) 70°

c) 75º

d) 80º

e) 85°

04.

Os pontos A, B, C são vértices de um paralelogramo. Quantas posições distintas pode ocupar o quarto vértice?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

MATEMÁTICA

196

05. (UFMG)

Observe a figura.

Nela, AB 8= , BC 12= e BFDE é um losango inscrito no triângu-lo ABC . A medida do lado do losango é

a) 4

b) 4,8

c) 5

d) 5,2

06. (CEFET)

Na figura abaixo temos um losango, um paralelogramo, um triân-gulo isósceles e um triângulo retângulo. Sabendo disso, podemos afirmar que os valores, em graus, dos ângulos A e B são, respec-tivamente:

a) 190 e 60

b) 60 e 190

c) 60 e 250

d) 190 e 40

e) 250 e 40

07. (EFOMM)

O valor de AB no trapézio da figura, em centímetros, é:

a) 2 3+b) 5 2

c) 8 2 2+d) 3 3

e) 3 4 3+

08.

No trapézio ABCD com bases AB e CD, tem-se DA DB DC= = e ABC∠ = α . Sendo E o ponto de interseção das diagonais deter-

mine o ângulo BEC em função de α .

a) 150 − α

b) 2 50α −c) 2 180α −

d) 3 180α −

e) 3 270α −

09. (AFA)

Seja ABCD um quadrado, ABE um triângulo equilátero e E um ponto interior ao quadrado. O ângulo ˆAED mede, em graus,

a) 55

b) 60

c) 75

d) 90

10. (EN)

Quando as diagonais de um paralelogramo são também bissetri-zes dos seus ângulos internos?

a) Só se dois ângulos internos e consecutivos forem comple-mentares.

b) Só se o paralelogramo for um quadrado.

c) Só se o paralelogramo for um retângulo.

d) Só se o paralelogramo for um losango.

e) Só se a soma dos ângulos internos for 360o.

11. (ITA)

Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD me-dem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:

a) 22 cm

b) 5,5 cm

c) 8,5 cm

d) 11 cm

e) 13 cm

12. (ITA)

Dadas as afirmações:

I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são su-plementares.

II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este parale-logramo é um losango.

Podemos garantir que:

a) Todas são verdadeiras

b) Apenas I e II são verdadeiras

c) Apenas II e III são verdadeiras

d) Apenas II é verdadeira

e) Apenas III é verdadeira

197

MATEMÁTICA

197

13. (CN)

Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um quadrilátero

L, obtém-se um losango. Pode-se afirmar que L

a) é um retângulo.

b) tem diagonais perpendiculares.

c) é um trapézio isósceles.

d) é um losango.

e) tem diagonais congruentes.

14. (CN)

Considere as 4 afirmações abaixo. A seguir, coloque V ou F nos parên-

tesis, conforme sejam verdadeiras ou falsas, e assinale a alternativa

correta.

(1) ( ) Em qualquer trapézio circunscrito a uma circunferência, a

medida da base média é a quarta parte do seu perímetro.

(2) ( ) As diagonais de um trapézio podem se intersectar no seu

ponto médio.

(3) ( ) Todo quadrilátero que tem as diagonais perpendiculares é

um losango.

(4) ( ) Existe quadrilátero plano cujos segmentos das diagonais

não se intersectam.

a) Apenas 2 é verdadeira.

b) Apenas 3 é verdadeira.

c) Apenas 3 e 4 são verdadeiras.

d) 2, 3 e 4 são verdadeiras.

e) 1 e 4 são verdadeiras.

15. (CN)

Considere três quadrados de bases AB , CD e EF , respectiva-

mente. Unindo-se o vértice A com F , B com C e D com E ,

observa-se que fica formado um triângulo retângulo. Pode-se

afirmar que:

I. O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos

perímetros dos outros dois quadrados.

II. A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos

outros dois quadrados.

III. A diagonal do quadrado maior é igual à soma das diagonais

dos outros dois quadrados.

Logo, apenas:

a) A afirmativa I é verdadeira.

b) A afirmativa II é verdadeira.

c) A afirmativa III é verdadeira.

d) As afirmativas I e II são verdadeiras.

e) As afirmativas II e III são verdadeiras.

01. (EEAr)

O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas dos ângulos DBA e DCB

são 30º e 45º, respectivamente. Se BC = 12 cm, então a medida de BD , em cm, é

a) 6 2.

b) 8 2.

c) 10 2.

d) 12 2.

02. (EFOMM)

Analise as afirmativas abaixo.

I – Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são:

{ }P x K | x possui lados opostos paralelos= ∈ ;

{ }L x K | x possui 4 lados congruentes= ∈ ;

{ }R x K | x possui 4 ângulos retos= ∈ ; e

{}

Q x K | x possui 4 lados congruentes

e 2 ângulos com medidas iguais

= ∈.

Logo, L R L Q∩ = ∩ .

II – Seja o conjunto { }A 1,2,3,4= , nota-se que A possui somente 4 subconjuntos.

III – Observando as seguintes relações entre conjun-tos: { } { }a,b,c,d Z a,b,c,d,e∪ = , { } { }c,d Z a,c,d,e∪ = e { } { }b,c,d Z c∩ = ; pode-se concluir que { }Z a,c,e= .

Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta:

a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

MATEMÁTICA

198

03. (EN)

Considere o trapézio MNPQ de bases MN m= e PQ 4= , com m 4> e altura igual a 6 , conforme figura abaixo. Sendo A e B os pontos médios dos lados MP e NQ , respectivamente, e sabendo que AB 10= , então a área do trapézio MCDN vale:

a) 28

b) 33

c) 37

d) 42

e) 45

04.

Em um triângulo isósceles ABC com AB BC= sejam K e L pon-tos sobre os lados AB e BC de modo que AK LC KL+ = . Pelo ponto médio M do segmento KL traça-se uma reta paralela ao lado BC que intersecta o lado AC no ponto N . A medida do ângulo KNL∠ é igual a:

a) 45 b) 60

c) 90 d) 100

e) 120

05. (CN)

Em um quadrado ABCD de lado 10 , toma-se internamente so-bre o lado CD o ponto P , que dista 4 do vértice C , e interna-mente sobre o lado BC , o ponto Q , de modo que os triângulos ADP e PCQ sejam semelhantes, com o segmento CQ menor possível. Nessas condições, o ângulo BAQ será igual ao ângulo:

a) APB .

b) PAQ .

c) PAC .

d) BPQ .

e) AQP .

06.

Sejam E o ponto médio do lado CD de um quadra-do ABCD e M um ponto do interior do quadrado tal que

MAB MBC BME x∠ = ∠ = ∠ = . O valor de x é igual a:

a) o15

b) o30

c) o45

d) o60

e) o75

07.

Na figura abaixo, calcule o ângulo α , sabendo que ABCDE é um pentágono onde ˆ ˆB D 90= = , AB BC= , CD DE= e que M é o ponto médio do lado AE.

a) 45

b) 60

c) 75

d) 90

e) 120

08.

Na figura abaixo, sabe-se que BM MC= , ˆ ˆBAC CAD= e AD 4 AL= ⋅ . Sabendo que AD 2 AB 16 cm+ ⋅ = e que o ângulo

ˆACD é reto, podemos afirmar que o comprimento de LM e:

a) 10 cm

b) 8 cm

c) 6 cm

d) 4 cm

e) 2 cm

199

MATEMÁTICA

199

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. D 02. D

03. B 04. B

05. B 06. B

07. A 08. B

09. C 10. E

11. C


01. D 02. E

03. D 04. D

05. B 06. E

07. E 08. E

09. C 10. D

11. D 12. C

13. E 14. E (V F F V)

15. B

DESAFIO mIL

01. D

02. D

03. B 04. C

05. D 06. E

07. D 08. D

noTaS

MATEMÁTICA

200

201

MATEMÁTICA

201

AbordagemTeórica

1. CIRCUNFERÊNCIA E CíRCULO

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma constante (raio).

O

r

P

O ponto P pertence à circunferência de centro O e raio r

=

OP r

Três pontos não colineares determinam uma única circunferência.

Círculo (disco) é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são menores ou iguais a uma constante (raio).

O

r

P

O ponto P pertence ao círculo de centro O e raio r

≤

OP r

circunFerência e círculo

Observação: Muitas vezes as expressões circunferência e círculo são usadas indistintamente, ora para representar a borda da figura, ora para representar a união da borda e do interior.

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

Raio de uma circunferência é um segmento que possui uma extremidade no centro e outra sobre a circunferência. De acordo com a definição, a medida do raio é constante.

Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro. O diâmetro é a maior corda da circunferência e sua medida é o dobro da do raio.

Dados dos pontos A e B sobre uma circunferência de centro O , o arco de circunferência AB é a reunião dos pontos A e B com o conjunto de todos os pontos sobre a circunferência interiores ao ângulo ˆAOB . Na verdade, dois pontos sobre uma circunferência determinam dois arcos, em geral denominados arco menor AB e arco maior AB .

A

B

P

CO

D

r

Seja a circunferência λ de centro O e raio r , então:

=OP r é um raio

=CD 2r é um diâmetro

AB é uma corda

menorAB é um arco de circunferência

MATEMÁTICA

202

Semicircunferência é um arco de circunferência determinado

por pontos diametralmente opostos.

1.2 Posições relativas entre ponto e circunferência

O ponto B pertence ao interior da circunferência de centro O e raio r ⇔ <OB r

O ponto P pertence à circunferência de centro O e raio r ⇔ =OP r

O ponto A pertence ao exterior da circunferência de centro O e raio r ⇔ >OA r

1.3 Posições relativas entre reta e circunferência

A reta s é secante à circunferência de centro O e raio r ( )⇔ <d O,s r

A reta t é tangente à circunferência de centro O e raio r ( )⇔ =d O,t r

A reta u é exterior à circunferência de centro O e raio r ( )⇔ >d O,u r

1.4 Posições relativas entre circunferências

Sejam duas circunferências de centros O e O' , e raios r e R , respectivamente.

As circunferências são CONCÊNTRICAS se, e somente se, ( ) =d O,O' 0 .

As circunferências são INTERIORES se, e somente se, ( )< < −0 d O,O' R r .

As circunferências são TANGENTES INTERIORES se, e somente se, ( ) = −d O,O' R r .

As circunferências são SECANTES se, e somente se, ( )− < < +R r d O,O' R r .

203

MATEMÁTICA

203

As circunferências são TANGENTES EXTERIORES se, e somente se, ( ) = +d O,O' R r .

As circunferências são EXTERIORES se, e somente se, ( ) > +d O,O' R r .

1.5 Propriedade da secante

Seja uma reta s secante a uma circunferência λ de centro O e raio r , que não passa por O e que intercepta a circunferência nos pontos A e B distintos. O ponto M é o ponto médio da corda AB se, e somente se, ⊥OM AB .

DEmONSTRAÇÃO:

Supondo que o ponto M seja ponto médio de AB , então ( )∆ ≡ ∆OMA OMB L.L.L. , o que implica = = ˆ ˆAMO BMO 90 .

Supondo que ⊥OM AB , então ∆ ≡ ∆OMA OMB ( OM comum e =OA OB , caso especial de congruência para triângulos retângulos), o que implica =AM MB .

1.6 Propriedade da tangente

Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

DEmONSTRAÇÃO:

Seja a reta ⊥t OT , onde T é um ponto sobre a circunferência λ de centro O e raio r . Supondo, por absurdo, que a reta t intercepta a circunferência λ em um segundo ponto P . O triângulo OTP é retângulo de hipotenusa OP e, portanto,

> =OP OT r , o que implica que P é exterior à circunferência (ABSURDO). Logo, a reta intercepta a circunferência em um único ponto, ou seja, é tangente à circunferência.

Seja t uma reta tangente à circunferência λ em um ponto T . Supondo, por absurdo, que OT é oblíqua à reta t . Seja P a projeção de O sobre a reta t , então P é distinto de M . Seja ∈T' t o simétrico de T em relação a P , então

= =OT OT' r , o que implica que ∈λT' (ABSURDO). Logo, ⊥OT t .

MATEMÁTICA

204

1.7 Segmentos tangentes

Os segmentos tangentes a uma circunferência, traçados por um ponto exterior a ela, são congruentes.

DEmONSTRAÇÃO:

= =

=

ˆ ˆA B 90

OA OB

OP comum

⇒ ∆ ≡ ∆OAP OBP (caso especial de congruência de triângulos retângulos)

⇒ =PA PB

1.7.1 Segmentos determinados pelo círculo inscrito

Os segmentos determinados pelo círculo inscrito sobre os lados de um triângulo têm medidas iguais ao semiperímetro menos o lado oposto.

No triângulo ABC a seguir =BC a , =AC b , =AB c e = + +2p a b c .

DEmONSTRAÇÃO:

Sejam = =AF AE x , = =BD BF y , = =CD CE z , então

( ) = + =

= + = ⇒ + + = + + = ⇔

= + =

BC y z a

AC x z b 2 x y z a b c 2p

AB x y c

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

= + + − + = −⇔ + + = ⇒ = + + − + = − = + + − + = −

x x y z y z p a

x y z p y x y z x z p b

z x y z x y p c

1.7.2 Segmentos determinados pelo círculo ex-inscrito

As medidas dos segmentos determinados por um círculo ex-inscrito sobre os prolongamentos dos lados adjacentes ao vértice oposto de um triângulo é igual ao semiperímetro do triângulo.

Seja 2p o perímetro do triângulo ABC a seguir:

= =AD AE p

DEmONSTRAÇÃO:

= ⇒ = + = +=

BD BFBC BF CF BD CE

CE CF

+ = + + + =

= + + = ⇒ = =

AD AE AB BD AC CE

AB AC BC 2p AD AE p

1.7.3 Raio dos círculos inscrito e ex-inscritos ao triângulo retângulo

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo é igual ao semiperímetro menos a hipotenusa.

Seja um triângulo retângulo ABC de hipotenusa =BC a e semiperímetro p , então o raio do círculo inscrito é = −r p a .

= −r p a

DEmONSTRAÇÃO:

⊥ ∧ ⊥ ⇒= =

IE AC IF AB#IEAF é um quadrado

IE IF r

⇒ = = = −r AE AF p a

205

MATEMÁTICA

205

Sejam Ar , Br e Cr os raios dos círculos ex-inscritos opostos aos vértices A , B e C , respectivamente, de um triângulo retângulo ABC de hipotenusa =BC a , catetos =AC b e =AB c , e perímetro = + +2p a b c .

=Ar p

= −Br p c

= −Cr p b

DEmONSTRAÇÃO:

= =Ar AR p

= = − = −Br AP BP AB p c

= = − = −Cr AQ CQ AC p b

1.8 Ângulo entre duas curvas no ponto.

O ângulo entre duas curvas é o ângulo entre as retas tangentes às curvas nos pontos de contato.

Duas curvas são ditas ortogonais se o ângulo entre elas é reto.

Duas circunferências são ortogonais se, e somente se, a reta tangente a uma delas em um dos pontos de passa pelo centro da outra.

2. QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITíVEL

Um quadrilátero convexo é circunscritível se, e somente se, as somas das medidas dos lados opostos são iguais.

#ABCD é circunscritível ⇔ + = +AB CD AD BC

DEmONSTRAÇÃO:

Supondo que o quadrilátero ABCD é circunscritível e sejam M , N , P e Q os pontos de tangência dos lados do quadrilátero com a circunferência, então =AM AQ ,

=BM BN , =CN CP e =DP DQ .

Logo,

+ = + + + =

= + + + = +

AD BC AQ DQ BN CN

AM DP BM CP AB CP

MATEMÁTICA

206

Supondo que o quadrilátero ABCD é tal que + = +AD BC AB CD . Seja λ a circunferência tangente aos lados

AB , BC e CD do #ABCD e supondo, por absurdo, que λ não é tangente ao lado AD .

Seja AE a outra tangente a λ por A com ∈E CD , então o #ABCE é circunscritível, o que implica + = +AB CE BC AE . Da hipótese, temos:

( )+ = + ⇔

⇔ + = + ± = + ± ⇔

⇔ = ±

AD BC AB CD

AD BC AB CE DE BC AE DE

AD AE DE

Isso contraria a desigualdade triangular no ∆ADE (ABSURDO). Logo, o #ABCD é circunscritível.

3. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

3.1 Ângulo central

Ângulo central é um ângulo com vértice no centro da circunferência e seus lados contêm raios.

θ = AB

3.2 Ângulo inscrito

Ângulo inscrito é um ângulo com vértice sobre a circunferência e cujos lados são secantes à circunferência.

θ =AB2

DEmONSTRAÇÃO:

α + βθ = α + β = =

2 2 AB2 2

θ = ⇔ θ =AB

2 AB2

207

MATEMÁTICA

207

α − βθ = α − β = =

2 2 AB2 2

Todo ângulo reto é inscritível em uma semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito em uma semicircunferência e com lados passando pelas extremidades da mesma, é reto.

3.3 Ângulo de segmento

Ângulo de segmento ou semi-inscrito é um ângulo com vértice sobre a circunferência, um lado secante e outro tangente à circunferência.

θ =AB2

DEmONSTRAÇÃO:

θ = ⇔ θ =AB

2 AB2

3.4 Ângulo excêntrico interno

Ângulo excêntrico interno é o ângulo formado por duas cordas que se interceptam em um ponto interior da circunferência, distinto do centro.

+θ =

AB CD2

DEmONSTRAÇÃO:

+θ = α + β = + =

AB CD AB CD2 2 2

MATEMÁTICA

208

3.5 Ângulo excêntrico externo

Ângulo excêntrico externo é o ângulo formado por duas secantes ou tangentes que se interceptam no exterior da circunferência.

−θ =

AB CD2

−θ =

AT BT2

−θ = = −

maior menormenor

AB AB180 AB

2

DEmONSTRAÇÃO:

−θ = α − β = − =

AB CD AB CD2 2 2

−θ = α − β = − =

AT BT AT BT2 2 2

θ = α − β = − =

−= − =

= −

maior menor

menor menor

menor

AB AB2 2

360 AB AB2 2

180 AB

209

MATEMÁTICA

209

4. ARCO CAPAZ

Um par de arcos capazes de θ sobre um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos do plano que são vértices de ângulos de medida θ e extremidades em A e B .

Arcos capazes de ângulos suplementares, relativos a um segmento AB , e em semiplanos opostos em relação à reta suporte do segmento são partições de uma mesma circunferência.

5. PROPRIEDADES DA CIRCUNFERÊNCIA

Duas retas paralelas, secantes a uma circunferência, determinam arcos de igual medida.

⇔ =r s AC BD

DEmONSTRAÇÃO:

⇔ = ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ =

ˆ ˆ ˆ ˆr s BAD ADC 2 BAD 2 ADC BD AC

Duas cordas de mesmo comprimento determinam sobre uma mesma circunferência arcos congruentes e vice-versa.

= ⇔ =AB CD AB CD

MATEMÁTICA

210

DEmONSTRAÇÃO:

( )

= ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒

⇒ = ⇒ =

AB AC AOB COD L.L.L.

ˆ ÂOB COD AB CD

( )= ⇒ = ⇒

⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

ˆ ÂB CD AOB COD

AOB COD L.A.L. AB CD

6. QUADRILÁTERO INSCRITíVEL

Um quadrilátero está inscrito em uma circunferência se os seus quatro vértices pertencem a essa circunferência.

Um quadrilátero convexo é inscritível em uma circunferência se, e somente se, seus ângulos opostos são suplementares.

⇔ + = + = ˆˆ ˆ ˆ#ABCD é inscritível A C B D 180DEmONSTRAÇÃO:

⇒

⇒ + = + = = = +

#ABCD é inscritível

BCD BAD 360ˆˆ ˆ Â C 180 B D2 2 2

+ = + = ⇒ˆˆ ˆ Â C B D 180 A e C estão sobre arcos capazes suplementares sobre o segmento BD , ou seja, A e C está na circunferência que tem BD como uma corda, portanto, o #ABCD é inscritível.

Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, as diagonais e dois lados opostos determinam ângulos congruentes.

⇔ =ˆ ˆ#ABCD é inscritível BAC BDC

DEmONSTRAÇÃO:

Se o #ABCD é inscritível,

= =BCˆ ˆBAC BDC2

.

Se = = αˆ ˆBAC BDC , então e D estão no arco capaz de α sobre BC , ou seja, A , B , C e D são concíclicos, ou seja, o #ABCD é inscritível.

7. PERímETRO DE FIGURAS CIRCULARES

7.1 Comprimento da circunferência:

= π ⋅2p 2 R

7.2 Comprimento do arco de circunferência:

= α ⋅arco2p R , onde α em radianosθ π θ

= π ⋅ =

arco

R2p 2 R

360 180, onde θ em graus

211

MATEMÁTICA

211

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Num círculo, duas cordas AB e CD se interceptam no ponto I interno ao círculo. O ângulo ˆDAI mede 40º e o ângulo ˆCBI mede 60º . Os prolongamentos de AD e CB encontram-se num ponto P externo ao círculo. O ângulo ˆAPC mede:

a) 10 b) 20

c) 30 d) 40

e) 50

02. (CN)

A distância entre os centros de dois círculos de raios iguais a 5 e 4 é 41. Assinale a opção que apresenta a medida de um dos segmentos tangentes aos dois círculos.

a) 38,5 b) 39

c) 39,5 d) 40

e) 40,5

03. (CN)

Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m , e a distância dos seus centros é 35 m . O segmento da tangente comum, compreendido entre os pontos de contato, mede em metros :

a) 5 3 b) 10 3

c) 12 3 d) 15 3

e) 20 3

04. (CN)

De um ponto fora de um círculo de 60 cm de raio traçam-se duas tangentes. Os pontos de tangência determinam na circunferência um arco de π10 cm . O ângulo formado pelas duas tangentes vale:

a) 30º b) 120º

c) 145º d) 150º

e) 330º

05. (CN)

Sejam 1r , 2r e d , respectivamente, os raios e a distância entre os

centros de duas circunferências exteriores 1C e 2C . Se = +2d x 4 ,

= −1r 2x 3 e = +2r x 2 , logo o conjunto de todos os valores de x é:

a) 0

b) ∈ >

3x | x

2c)

d) { }∈ > −x | x 2

e) ∈ − < <

3x | 2 x

2

06. (CN)

Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos B, C e D . Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é:

a) a média aritmética entre AB e CD.

b) a média geométrica entre AB e CD.

c) a média harmônica entre AB e CD.

d) o inverso da média aritmética de AB e CD.

e) o inverso da média harmônica entre AB e CD.

07. (CN)

As quatro circunferências da figura abaixo têm raios =r 0,5 . O comprimento da linha que as envolve é aproximadamente igual a:

a) 6,96 b) 7,96

c) 8,96 d) 9,96

e) 10,96

08. (CN)

Considere a figura, onde x e y são medidas angulares de arcos e z é a medida de ângulo assinalado. Pode-se afirmar que

+ +x y z é igual a:

a) 255º b) 265º

c) 275º d) 285º

e) 295º

MATEMÁTICA

212

09. (CN)

Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135 desse segmento mede

a) +2 1

b) 2

c) −2 1

d) 3

e) −2 2

10. (CN)

Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x, y e z, ( )< <x y z são as medidas dos arcos dessa circunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então

a) = −z 360º y

b) = +z x y

c) + + =x y z 180º

d) + =x y 108º

e) = +z 2x y

11. (CN)

ABC é um triangulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH . Seja P um ponto do mesmo semiplano de A em relação à reta suporte de BC . Os ângulos HPC e ABC são iguais a 15 . Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a:

a) AC

b) AB

c) BC 2

d) HC 2

e) AH

12. (CN)

Sobre o lado BC do quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo ao quadrado e o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-se afirmar que o quadrilátero PCDB é

a) sempre inscritível em um círculo.

b) sempre circunscritível a um círculo.

c) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio.

d) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio.

e) impossível de ser inscrito em um círculo.


01.

Na figura tem-se =AB BD , = AE 88 e = CB 110 . O valor de x é

a) 55 b) 44

c) 35 d) 33

e) 27

02.

Determine a medida do raio da circunferência A se quando ela gira 120 , a circunferência B gira π2 radianos e, além disso,

=1 2O O 80 cm .

a) 20 cm b) 30 cm

c) 40 cm d) 50 cm

e) 60 cm

03.

A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s. A reta r é tangente às circunferências C1 e C3, a reta s é tangente às circunferências C2 e C3 e as circunferências tocam-se como também mostra a figura.

As circunferências C1 e C2 têm raios a e b, respectivamente. Qual é o raio da circunferência C3?

a) +2 22 a b b) +a b

c) 2 ab d) +

4aba b

e) −2b a

213

MATEMÁTICA

213

04.

Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD é inscritível no círculo de centro O. A soma dos quatro ângulos inscritos x , y , z e t , vale:

a) 180 b) 540

c) 360 d) 450

e) 1080

05.

No diagrama, um quadrado de lado 2 tem semicírculos desenhados sobre cada um dos lados. Um elástico é esticado bem apertado ao redor da figura. Qual o comprimento do elástico nessa posição?

a) π +4 4 2 b) π +2 4 2

c) π +4 2 2 d) π +2 2 2

e) n.r.a.

06.

Na figura abaixo, sabe-se que as circunferências menores têm raios de mesma medida e que seus centros pertencem à circunferência pontilhada. Pode-se afirmar que, dentre as opções abaixo, aquela que possui o número que mais se aproxima da razão entre o perímetro exterior e o perímetro interior da figura é:

a) 2,1 b) 2,2

c) 2,3 d) 2,4

e) 2,5

07. (BÉLGICA)

Na figura temos 7 círculos possuindo mesmo raio. Determine a razão entre o perímetro de um dos círculos e o perímetro da região hachurada.

a) 12

b) 13

c) 16

d) π1

e) 47

08.

Sejam α β γ δ, , , os ângulos de um quadrilátero inscritível, nessa ordem, representados em radianos. O valor de αβ + αδ + γβ + γδ é:

a) πb) π2

c) π 2

d) π 22

e) 1

09.

Na figura = = AB BC 80 , = FG 30 e = ˆBDG 20 . Calcule o arco menor ED , se T é um ponto de tangência.

a) 92

b) 110

c) 115

d) 120

e) 130

MATEMÁTICA

214

10.

Na figura abaixo, =AB 21 e =AC 33 . A distância entre os pontos de tangência P e Q é:

a) 6 b) 8

c) 9 d) 10

e) 12

11.

Os pontos A, B, C, D, E, F estão, nesta ordem sobre uma circunferência. Sabe-se que:- AD é diâmetro.- As retas AD e BC são paralelas.- As retas AD e CE são perpendiculares.- O ponto F é médio do arco AE.- O arco BC mede 20o.- CF e AE cortam-se em M.- BE e DF cortam-se em N.O ângulo MNF mede:a) 15o b) 20oc) 25o d) 30oe) 35o

12. (OBM)

No triângulo retângulo ABC , = A 90 , =AB 5 cm e =BC 9 cm . Se I é o incentro de ABC , então qual é o comprimento do segmento CI ?a) 5 cm b) 6 cmc) 4 cm d) 8 cm

13. (CEFET) Na figura, os círculos de centros A, B e C são tangentes. Os raios medem, respectivamente, 10 cm, 4 cm e 2 cm. O perímetro do triângulo ABC, em cm, é:

a) 30

b) 24

c) 20

d) 18

e) 16

14. (CEFET RJ)

Na figura abaixo, temos dois arcos de duas circunferências com centros O e P : o primeiro possui extremidades A e B e o segundo possui extremidades A e C , respectivamente. Sabendo ainda que O é o ponto médio do segmento PA , B é um ponto do segmento PC e que o primeiro arco mede 3,2 cm , então a medida, em centímetros, do segundo arco é

a) 6,4

b) 3,4

c) 3,2

d) 3,0

e) 1,6

15. (CMRJ)

Os lados AB e CD do pentágono regular da figura abaixo são tangentes à circunferência de raio 5 cm nos pontos A e D , respectivamente. Nestas condições, a medida do comprimento do menor arco AD da figura, em centímetros, vale:

a) π4

b) π5

c) π4

3

d) π92

e) π7

215

MATEMÁTICA

215

16. (EPCAR)

Nas figuras abaixo, é dado que =AM AP , =BM BQ e =MP MQ . Sendo assim, podemos afirmar que o valor de α + β é:

a) 25º

b) 30º

c) 35º

d) 40º

e) 45º

17. (EPCAR)

Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Se β = 150 e γ = 50 , então α é:

a) 15

b) 30

c) 35

d) 45

e) 10

18. (CN)

Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista 6 cm e 10 cm , respectivamente, das tangentes AQ e BQ . A distância, em cm , do ponto P à corda AB é igual a:

a) 30

b) 2 15

c) 16

d) 18

e) 6 10

19. (CN)

Considere uma circunferência λ de raio R e diâmetros perpendiculares AB e CD . O raio da menor circunferência tangente interiormente à λ e à corda AC , no seu ponto médio, é dado por

a) R4

b) R 2

4

c) ( )−R 2 2

4

d) ( )+R 2 1

4

e) R6

20. (CN)

Dado um triângulo retângulo, seja P o ponto do plano do triângulo equidistante dos vértices. As distâncias de P aos catetos do triangulo são K e L . O raio do círculo circunscrito ao triângulo é dado por:

a) +K L4

b) +2K L

c) +2 2K L

4

d) +2 2K L

2

e) +2 2K L

MATEMÁTICA

216

21. (CN)

De um ponto P exterior a um círculo de raio 6 , traçam-se secantes PXY ( <PX PY ), X e Y pontos variantes pertencentes à circunferência desse círculo. Os pontos médios das cordas XY descrevem um arco de circunferência de raio R . Assim sendo, qual será o valor de R , sabendo-se que a tangente PT ao círculo mede 8 ?

a) 5 .

b) 6 .

c) 4 2 .

d) 4 3 .

e) 10 .

22. (CN)

Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P pertencente ao círculo circunscrito ao triângulo ABC. Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede:

a) 25º b) 45º

c) 50º d) 65º

e) 85º

23. (CN)

Em um trapézio isósceles ABCD, de base maior AB, está inscrito um arco de circunferência AMB, onde M é ponto médio da base menor CD. O ângulo ABC , formado pela base maior AB e pelo lado não paralelo BC mede 60º . Qual é a razão entre as medidas da base AB e do comprimento do arco AMB, sabendo-se que os lados congruentes desse trapézio são tangentes ao arco AMB nos pontos A e B?

a) π3

b) π3

c) π

2 33

d) π

3 32

e) π

2 2

24. (CN)

Num quadrado ABCD de lado 6 cm, traça-se a circunferência K de centro em A e raio 4 cm. Qual é medida, em cm, do raio da circunferência tangente exterior a K e tangente ao lado BC no ponto C?

a) 2,4

b) 2,5

c) 2,6

d) 2,7

e) 2,8

25. (CN)

ABCD é um quadrado de lado L . Sejam K a semicircunferência, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD , e T a semicircunferência tangente ao lado AB e com uma das extremidades em A e tangente externamente à K . Nessas condições, o raio da semicircunferência T será

a) 5L6

b) 4L5

c) 2L3

d) 3L5

e) L3

26. (CN)

Observe a figura a seguir

A figura acima mostra, num mesmo plano, duas ilhas representadas pelos pontos 'A' e 'B' e os pontos 'C' , 'D' , 'M' e 'P' fixados no continente por um observador. Sabe-se que

= = = ˆ ˆ ˆACB ADB APB 30 , 'M' é o ponto médio de =CD 100 m e que =PM 10 m é perpendicular a CD . Nessas condições, a distância entre as ilhas é de:

a) 150 m

b) 130 m

c) 120 m

d) 80 m

e) 60 m

27. (AFA)

Na figura, O é o centro da circunferência de raio r, = = =AD DE EB r e α é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 25min . O valor do ângulo β = ˆCBE é

a) 120

b) 119,45

c) 126,25

d) 135,50

217

MATEMÁTICA

217

28. (AFA)

Um triângulo retângulo está circunscrito a um círculo de raio 15 m e inscrito em um círculo de raio 37,5 m . A área desse triângulo, em 2m , mede

a) 350

b) 750

c) 1050

d) 1350

29. (ITA)

Seja 1C uma circunferência de raio 1R , inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja 2C uma segunda circunferência, de raio 2R , que tangencia dois lados do triângulo internamente e 1C

externamente. Calcule −1 2R Rh

.

a) 1/3

b) 2/3

c) 1/9

d) 2/9

e) 4/9

01. (IME)

Prolonga-se o raio AO de um círculo, de um comprimento =AB AO ; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se

levantam as perpendiculares AN e BC . Supondo que o ângulo = ÔAC 126 , qual o valor do ângulo ÂCB ?

a) 36 b) 42

c) 63 d) 27

e) 18

02.

As circunferências de centros 1O e 2O intersectam-se em dois pontos. Seja A um desses pontos. A tangente comum a essas circunferências as encontra, respectivamente, nos pontos P e Q . Sabe-se que os pontos 1O , A e Q estão alinhados e que os pontos 2O , A e P também estão alinhados. Prove que as duas circunferências possuem raios de mesma medida.

03.

Um disco circular de raio a é rolado sem escorregar ao redor do exterior de um polígono regular de n lados. O perímetro do polígono é p. Qual é o comprimento do caminho percorrido pelo centro do disco?

a) p b) + πp a

c) + πp 2 a d) + πp n a

e) + πp 2n a

04.

Um retângulo ABCD possui lados =AB 8 e =BC 6 . Os círculos de centros 1O e 2O estão inscritos nos triângulos ABD e BCD . Determine a distância entre 1O e 2O .

a) 2

b) 2 2

c) 2 3

d) 4

e) 2 5

05.

Os pontos M e N são escolhidos sobre a bissetriz AL do triângulo ABC tais que = = ˆÂBM ACN 23 . X é um ponto no interior do triângulo tal que =BX CX e = ⋅ˆ ˆBXC 2 BML . O valor de ˆMXN é:

a) 11,5

b) 23

c) 27

d) 34,5

e) 46

06. (EN)

Sejam 1C e 2C dois círculos de raios 1cm e 3 cm , respectivamente, apoiados em uma reta horizontal e tangentes no ponto D, conforme a figura.

O raio do círculo 3C cuja área coincide, numericamente, com o perímetro da região sombreada é, em cm:

a) +π

5 2 33

b) +π

5 43

c) +π

6 35

d) π

+5

2 33

e) + π5

2 33

MATEMÁTICA

218

07. (IME)

Quatro retas se interceptam formando quatro triângulos conforme figura abaixo. Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos possuem um ponto em comum.

08. (IME)

Três círculos de mesmo raio R se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo.

O perímetro do trevo em função de R é dado por:

a) π ⋅R4

b) π ⋅R2

c) π ⋅R

d) π ⋅2 R3

e) π ⋅2 R

09. (IME)

Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC iguais a 26 , 28 e 18 , respectivamente. Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale:

a) 1046

b) 1043

c) 2 104

3

d) 104

e) 3 104

10. (ITA)

Um triângulo ABC tem lados com medidas =3

a cm2

, =b 1cm

e =1

c cm2

. Uma circunferência é tangente ao lado a e também

aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm , é igual a

a) +3 1

4. b)

34

.

c) +3 1

3. d)

32

.

e) +3 2

4.

11. (IFRJ)

Fernanda está de pé, penteando-se em frente ao seu espelho fixado em uma porta de armário que pode girar. Num dado momento, um vento faz o espelho girar. Fernanda, que também é professora de Matemática, percebeu que sua imagem se movimentou e imaginou o seguinte problema para desafiar seus alunos:“Eu me encontrava distante meio metro do espelho, antes de ele ter girado, com minha imagem centralizada. O espelho girou 15, afastando-se de mim. Minha imagem se deslocou, descrevendo um caminho. Sabendo-se que o meu espelho é retangular, de dimensões ×1m 1,7 m e que ocupa toda a porta do armário, determine a natureza do caminho descrito pela imagem e o seu comprimento em metros.”A figura a seguir é um esquema que descreve a situação envolvida no desafio proposto.

Assinale, dentre as opções abaixo, a resposta para o problema proposto por Fernanda.

a) um segmento de reta de comprimento 16

.

b) um arco de circunferência de comprimento π 212

.

c) um arco de circunferência de comprimento π 2

6.

d) um segmento de reta de comprimento 3

6.

e) um segmento de reta de comprimento 2

12.

219

MATEMÁTICA

219

12. Em um círculo de centro O, são traçadas três cordas AB, CD e PQ de mesma medida, conforme mostrado na figura abaixo. A razão entre as medidas dos ângulos ˆMOK e ˆBLD é igual a:

a) 1:5 b) 1:4

c) 1:3 d) 1:2

e) 2:3

noTaS

MATEMÁTICA

220

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. B 02. D

03. E 04. D

05. C 06. B

07. B 08. C

09. C 10. B

11. A 12. A


01. E 02. E

03. C 04. B

05. B 06. A

07. A 08. C

09. B 10. D

11. C 12. B

13. C 14. C

15. A 16. C

17. C 18. B

19. C 20. E

21. A 22. A

23. D 24. E

25. E 26. B

27. C 28. D

29. D

DESAFIO mIL

01. B

02.

Sejam

= =1 1 1O A O P R e = =2 1 2O A O Q R .

= = θ ⇒ = = − θ

1 2 1 2ˆ ˆˆ Ô AP O AQ AO P AO Q 180 2

= = − θ

= =

1 2

1 2

ˆ ÂO P AO Q 180 2

ˆÔ PQ O QP 90

PQ comum

⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ = ⇒ =1 2 1 2 1 2O PQ O QP O P O Q R R

Alternativamente, poderíamos observar que

= = θ ⇒ = = θ1 2 1 2ˆˆ ˆ Ô AP O AQ O PA O QA e

= = − θ

1 2ˆ ÂO P AO Q 180 2

⇒ = = − θˆÂPQ AQP 90

Observando o ângulo externo do ∆APQ , temos: ( ) ( )θ = − θ + − θ ⇔ θ = 90 90 60 .

Logo,

= = − θ =

1 2ˆ ÂO P AO Q 180 2 60 e

= = ⇔ = =

1 21 2

PQ PQ PQtg60 R R

R R 3 .

03. C 04. E

05. E 06. A

221

MATEMÁTICA

221

07.

Sejam = φ =ˆ ˆBAD BFC , = γ =ˆ ˆDAE PBH , = β = =ˆ ˆ ˆAHF CHD CBD .

O ângulo ˆBHC é externo ao triângulo FBH, logo = φ + γ =ˆ ˆBHC CDB .

O ângulo = − φ + γˆBDE 180 ( ) , ou seja, suplementar ao ângulo φ γˆBAE = + logo o quadrilátero ABDE é inscritível.

No ∆BCD , temos: = − β + φ + γˆBCD 180 ( ) .

O ângulo ˆCFE é externo ao ∆AFH , logo = β + γˆCFE e = β + γ + φˆBFE .

Portanto, os ângulos ˆ ˆBCD e BFE são suplementares, o que implica que o quadrilátero BCEF é inscritível.

Por fim, os círculos que passam por AED e por CEF passam também por B que é o ponto de interseção dos quatro círculos.

08. E 09. D

10. A 11. B

12. D

noTaS

MATEMÁTICA

222

223

MATEMÁTICA

223

AbordagemTeórica

1. DIVISÃO DE SEGmENTOS

1.1 Divisão interna

Um ponto M divide um segmento AB internamente na razão

k > 0, quando M pertence ao segmento AB e AM

kMB

= .

Os segmentos AM e MB são ditos segmentos aditivos, pois sua soma é igual a AB.

Seja AB = d, então:

AM AM MB AM MB dk

MB k 1 k 1 k 1dk d

AM MBk 1 k 1

+= ⇔ = = = ⇔

+ +

⇔ = ∧ =+ +

Se

0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ AM < MB, então M está mais próximo de A.

Se k 1 AM MB= ⇒ = , então M é ponto médio de AB.

Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ AM > MB, então M está mais próximo de B.

1.2 Divisão externa

Um ponto N divide um segmento AB externamente na razão 0 < k ≠ 1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB,

mas não ao próprio segmento, e NA

kNB

= .

Os segmentos NA e NB são ditos segmentos subtrativos, pois o módulo da sua diferença é igual a AB.

geomeTria méTrica noS TriânguloS


NA NA NB NA NB dk

NB k 1 k 1 k 1dk d

NA NBk 1 k 1

−= ⇔ = = = ⇔

− −

⇔ = ∧ =− −

Se 0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ NA < NB, então N está à esquerda de A.

Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ NA > NB, então N está à direita de B.

1.3 Divisão harmônica

Os pontos M e N dividem um segmento AB harmonicamente na razão 0 < k ≠ 1, quando os pontos M e N dividem o segmento

AB, respectivamente, internamente e externamente na mesma

razão k, ou seja, AM NA

kMB NB

= = .

Os pontos M e N são chamados conjugados harmônicos de

AB na razão k.


dk dAM MB

k 1 k 1= ∧ =

+ + e

dk dNA NB

k 1 k 1= ∧ =

− −.

2

dk dk 2dk0 k 1 MN NA AM

1 k k 1 1 k< < ⇒ = + = + =

− + −

2

d d 2dkk 1 MN MB NB

k 1 k 1 k 1> ⇒ = + = + =

+ − −

Assim, para qualquer 0 < k ≠ 1, temos: 2

2dkMN

k 1=

−.

Teorema: Se M e N dividem o segmento AB harmonicamente

na razão 0 < k ≠ 1, então A e B dividem o segmento MN

harmonicamente na razão k 1

k'k 1

−=

+.

MATEMÁTICA

224

1.4 Divisão de um segmento em média e extrema razão (divisão áurea)

Um ponto P divide internamente um segmento de reta AB segundo uma razão áurea ( )ϕ quando a primeira parte está para a segunda parte assim como o segmento todo está para a

primeira parte, ou seja, PA ABPB PA

= = ϕ .

O ponto P assim obtido é denominado ponto áureo de AB e o segmento PA, segmento áureo de AB.

Note que o segmento áureo (PA) é a média geométrica entre

o segmento dado (AB) e o outro segmento aditivo (PB).

Sejam AP = a, PB = b, AB = a + b, onde o ponto P divide AB auricamente, temos:

2

PA AB a a b a b1

PB PA b a b a

1 1 51 1 0

2

+= = ϕ ⇔ = = ϕ ⇔ = + = ϕ ⇔

±⇔ ϕ = + ⇔ ϕ − ϕ − = ⇔ ϕ =

ϕ

1 50

2+

ϕ > ⇒ ϕ =

O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre o maior lado e o menor lado é igual à razão áurea.

Seja um retângulo áureo cujo maior lado possui medida a e o

menor lado possui medida b tais que ab

= ϕ . Se colocarmos esse

retângulo adjacente a um quadrado cujo lado mede a, obtemos um retângulo áureo semelhante com lado maior de medida a + b e lado menor de medida a.

Construção do retângulo áureo.

1°. Construa um quadrado APQD;

2°. Marque o ponto médio M do lado AP do quadrado;

3°. Trace o arco de circunferência com centro M passando pelos vértices opostos do quadrado Q e D;

4°. A interseção do prolongamento do lado AP com o arco de circunferência é um vértice do retângulo áureo (B); e

5°. A interseção da perpendicular a AB passando por B com o prolongamento de DQ é o outro vértice do retângulo áureo (C).

2. TEOREmA DE TALES

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas secantes quaisquer segmentos correspondentes proporcionais.

Sejam as retas 1 2 3 n 1 nr r r r r− , então

1 2 2 3 n 1 n

1 2 2 3 n 1 n

A A A A A AB B B B B B

−

−

= = =

.

225

MATEMÁTICA

225

Demonstração:

Vamos efetuar a demonstração para dois pares de segmentos. A generalização segue facilmente por indução finita.

Sejam 1 2 3r r r , s'||s passando por 1B , e C e D os pés das alturas traçadas por A2 e B2 no '

1 2 2B B A∆ .

'1 2 2

' ' ' '1 2 2 1 2 2 2 1 2

B B A2 1 2

B A B D B B A C A C B AS

2 2 B D B B⋅ ⋅

= = ⇔ = .

O '1 2 2 1#A A A B é um paralelogramo, então '

1 2 1 2B A A A= e,

portanto, '2 1 2

2 1 2

A C A AB D B B

= .

Os ' '2 2 3A B A∆ e '

2 2 3B A B∆ possuem a mesma base e a mesma altura, logo possuem a mesma área.

Assim, temos: ' ' '2 2 3 2 2 3A B A B A B

' ' '2 3 2 2 3 2

' ' '2 2 3

2 2 3

S S

A A B D B B A C2 2

A C A AB D B B

= ⇔

⋅ ⋅⇔ = ⇔

⇔ =

O ' '2 3 3 2#A A A A é um paralelogramo, então ' '

2 3 2 3A A A A= e,

portanto, '2 2 3

2 2 3

A C A AB D B B

= .

Logo, ( )'2 1 2 2 3

2 1 2 2 3

A C A A A AC.Q.D.

B D B B B B= = .

3. TEOREmA DAS BISSETRIZES

3.1 Teorema da bissetriz interna

A bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto internamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AD a bissetriz interna do ângulo Â de um triângulo ABC,

então BD DCAB AC

.

Demonstração:

Seja CE AD e ˆ ˆBAD DAC= = θ , então ˆˆAEC ACE= = θ .

Portanto, o ACE∆ é isósceles e AE AC= .

Pelo teorema de Tales, temos ( )BD DC BD DCC.Q.D.

AB AE AB AC= ⇒ = .

3.2 Teorema da bissetriz externa

A bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AE a bissetriz interna do ângulo Â de um triângulo ABC,

então BE CEAB AC

= .

Demonstração:

Seja CF AE e ˆ ˆCAE EAD= = θ , então ˆˆAFC ACF= = θ .

Portanto, o ACF∆ é isósceles e AF AC= .

Pelo teorema de Tales, temos ( )BE CE BE CEC.Q.D.

AB AF AB AC= ⇒ = .

MATEMÁTICA

226

3.3 Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes

As bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice de um triângulo dividem o lado oposto harmonicamente na razão dos lados adjacentes ao vértice.

Sendo AD e AE as bissetrizes interna e externa, respectivamente, partindo do vértice A do ABC∆ , então

BD BE ABDC CE AC

= = .

4. CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIUS

Sejam dados dois pontos fixos A e B, e uma razão 0 < k ≠ 1. A circunferência de Apolônius (CA) dos pontos A e B na razão k é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja razão das

distâncias aos pontos A e B é igual a k, ou seja, A

PAP C k

PB∈ ⇔ = .

Se AB = d, então o raio do círculo de Apolônius é A 2

dkr

k 1=

−.

Demonstração:

Os pontos M, N ∈ L.G. são os pontos que dividem o segmento

AB harmonicamente na razão k, ou seja, MA ANk

MB BN= = .

Seja P L.G.∈ , então PA

kPB

= .

Logo, PA MAPB MB

= , o que implica que PM é bissetriz interna do

ângulo P do APB∆ .

Além disso, PA ANPB BN

= , o que implica que PN é bissetriz

externa do ângulo P do APB∆ .

Portanto, PM PN⊥ e M e N são ponto fixos, então o lugar geométrico procurado é um círculo de diâmetro MN, onde M e N são os conjugados harmônicos do segmento AB na razão k.

5. SEmELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Se dois triângulos possuem lados respectivamente propor-cionais, então são semelhantes.

a b cABC A'B'C'

a' b' c'∆ ∆ ⇔ = =

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos são respectivamente congruentes.

Dois triângulos de lados respectivamente paralelos são semelhantes.

Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre duas linhas homólogas é igual à razão de semelhança.

5.1 Casos de semelhança de triângulos

1° caso: (A.A.) se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então são semelhantes.

ˆ ˆB B'ABC A'B'C'

ˆ ˆC C'

= ⇒ ∆ ∆=

2° caso: (LpALp) se dois triângulos possuem dois lados proporcionais adjacentes a ângulos congruentes, então são semelhantes.

b cb' c' ABC A'B'C'ˆ ˆA A'

= ⇒ ∆ ∆=

227

MATEMÁTICA

227

3° caso: (LpLpLp) se dois triângulos possuem os três lados respectivamente proporcionais, então são semelhantes.

a b cABC A'B'C'

a' b' c'= = ⇒ ∆ ∆

6. RELAÇÕES mÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a figura a seguir:

( )

2

ABC ~ ABH A.A.A.

BC AC AB a b cAB AH BH c h na h b c

c a n

∆ ∆

⇒ = = ⇔ = =

⋅ = ⋅⇒ = ⋅

( )

2

ABC ~ ACH A.A.A.

BC AC ABAC CH AHa b c

b a mb m h

∆ ∆

⇒ = = ⇔

⇔ = = ⇒ = ⋅

( )

2

ABH ~ ACH A.A.A.

AB AH BHAC CH AHc h n

h m nb m h

∆ ∆

⇒ = = ⇔

⇔ = = ⇒ = ⋅

( )2 2 2b c a m a n a m n a a a⇒ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ =2 2 2a b c⇔ = + (Teorema de Pitágoras)

2

2 22 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 ab ch m n b ca a

b c 1 1 1 1 1b c b c h b c

⇒ = = = =⋅ ⋅⋅

+= = + ⇔ = +

a h b c⋅ = ⋅ 2b a m= ⋅ 2c a n= ⋅

2h m n= ⋅ 2 2 2

1 1 1h b c

= + 2 2 2a b c= +

As relações b2 = a . m e c2 = a . n mostram que cada cateto é a média geométrica da hipotenusa e da sua projeção sobre a hipotenusa.

A relação h2 = m . n mostra que a altura é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Considerando a lei dos cossenos, conclui-se que o recíproco do teorema de Pitágoras também é verdadeiro, assim um triângulo de lados a, b e c, onde a é o maior lado, é retângulo se, e somente se, a2 = b2 + c2.

7. TEOREmA DE mENELAUS

Se uma reta determina sobre os lados de um triângulo ABC os pontos L, M e N, conforme a figura, então

LA MB NC1

LB MC NA⋅ ⋅ = .

Demonstração:

Seja AD a paralela a LN passando por A. Pelo teorema de Tales, temos:

LB LA LA MBLN AD 1

MB MD LB MD⇒ = ⇔ ⋅ =

MD MC NC MDLN AD 1

NA NC NA MC⇒ = ⇔ ⋅ =

Multiplicando as duas expressões, temos:

LA MBLB MD

⋅NC MDNA

⋅ ⋅LA MB NC

1 1MC LB MC NA

= ⇔ ⋅ ⋅ = .

MATEMÁTICA

228

Teorema recíproco de menelaus:

Se L, M e N são pontos sobre as retas suportes dos lados AB ,

BC e AC , respectivamente, e LA MB NC1

LB MC NA⋅ ⋅ = , então L, M e N

estão alinhados.

Demonstração:

Suponha que a reta NM corta o lado AB no ponto L'.

Pelo teorema de Menelaus, L'A MB NC

1L'B MC NA

⋅ ⋅ = . Como é dado

que LA MB NC

1LB MC NA

⋅ ⋅ = , então LA L'ALB L'B

= , ou seja, os pontos L e

L' dividem o segmento AB na mesma razão e, portanto, são

coincidentes. Logo, L, M e N estão alinhados.

8. TEOREmA DE CEVA

Seja um triângulo ABC e três cevianas AD , BE e CF concorrentes, então

DB EC FA1 EC DB FA EA DC FB

DC EA FB⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Demonstração:

Aplicando o teorema de Menelaus no ABD∆ com a secante CPF, temos:

FA PD CB1

FB PA CD⋅ ⋅ =

Aplicando o teorema de Menelaus no ACD∆ com a secante BPE, temos:

BD PA EC1

BC PD EA⋅ ⋅ =

Multiplicando as duas expressões, temos:

FA PDFB

⋅PA

CB⋅

BDCD BC

⋅PA

⋅PD

EC DB EC FA1 1

EA DC EA FB⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ =

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CN)

Num triângulo ABC de lado AC 12= , a reta AD

divide internamente o lado BC em dois segmentos: BD 18= e DC 6= . Se ÂBD x= e ÂCD y= , o ângulo ˆBDA é dado por:

a) y – x.

b) x + y.c) 2x – y.d) 2y – x.e) 2x + y.

02. (CN)

Considere o quadrilátero ABCD onde med ( )med AB 5 cm= = 5cm, med ( )med BC 7,5 cm== 7,5cm, med ( )med CD 9 cm= = 9cm, med ( )med AD 4 cm= = 4cm e

med ( )med BD 6 cm== 6cm. O ângulo ÂBC deste quadrilátero é igual a:

a) ÂDCˆBCD2

+ ;

b) ˆˆ ˆBAD ADC BCD+ − ;

c) ˆˆBAD BCD+ ;

d) ˆ ˆ2 BCD ADC⋅ + ;

e) ˆˆ ÂDC 2 BAC BCD+ ⋅ − .

03. (CN)

As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo medem 17 cm e 23 cm. A medida da mediana traçada do ângulo reto é:

a) 5 2 cm;

b) 4 2 cm;

c) 3 2 cm;

d) 2 2 cm;

e) 2 cm.

04. (CN)

Se o número "x" é a terceira proporcional entre os números a e b, então os segmentos de medidas respectivamente iguais a a, x e b podem ser num triângulo retângulo, respectivamente

a) a hipotenusa, um cateto e a projeção deste cateto sobre a hipotenusa.

b) a hipotenusa, um cateto e o outro cateto.

c) a hipotenusa, uma projeção e a outra projeção dos catetos obre a hipotenusa.

d) uma projeção, a outra projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura.

e) um cateto, o outro cateto e a altura relativa à hipotenusa.

229

MATEMÁTICA

229

05. (CN)

Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, o ponto O é o centro do semicírculo de raio r, tangente aos lados AB e AC. Sabendo-se que OB r 3= , a área do triângulo ABC é dada por:

a) ( )2r

2 2 43

+ ;

b) ( )2r

2 3 44

+ ;

c) ( )2r

3 2 24

+ ;

d) ( )2r

3 2 44

+ ;

e) ( )2r

4 3 43

+ .

06. (CN)

Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos B, C e D. Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é:

a) a média aritmética entre AB e CD.b) a média geométrica entre AB e CD.c) a média harmônica entre AB e CD.d) o inverso da média aritmética de AB e CD.e) o inverso da média harmônica entre AB e CD.

07. (CN)Uma cidade B encontra-se 600km a leste de uma cidade A; e uma cidade C encontra-se 500km ao norte da mesma cidade A. Um ônibus parte de B, com velocidade constante, em linha reta e na direção da cidade A. No mesmo instante e com velocidade constante igual à do ônibus, um carro, também em linha reta, parte de C para interceptá-lo. Aproximadamente a quantos quilômetros de A, o carro alcançará o ônibus?a) 92. b) 94.

c) 96. d) 98.

e) 100.

08. (CN)

Na figura, DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna do triângulo ABC. Sabendo que AD = 6, AE = x, DB = 2, EC = 5, BM = 6 e MC = y. Então x + y é igual a:

a) 15; b) 20;c) 25; d) 30;e) 35.

09 (CN)Num triângulo acutângulo isósceles ABC, o segmento BP, P interno ao segmento AC, forma com o lado BA um ângulo de 15o. Quanto mede o maior ângulo de PBC, sabendo que os triângulos ABP e ABC são semelhantes?a) 65,5o.b) 82,5o.c) 97,5o.d) 135o.e) 150o.

10. (CN)

Num quadrilátero ABCD tem-se: AB = 42, BC = 48, CD = 64, DA = 49 e P é o ponto de interseção entre as diagonais AC e BD. Qual é a razão entre os segmentos PA e PC, sabendo-se que a diagonal BD é igual a 56?

a) 78 .

b) 87

.

c) 76

.

d) 67

.

e) 4964

.

11. (CN)

Dado um triângulo retângulo, seja P o ponto do plano do triângulo equidistante dos vértices. As distâncias de P aos catetos do triangulo são K e L. O raio do círculo circunscrito ao triângulo é dado por:

a) K L4+ ; b) 2K L+ ;

c) 2 2K L4+ ; d)

2 2K L2+ ;

e) 2 2K L+ .

MATEMÁTICA

230

12. (CN)

Num determinado triângulo escaleno ABC, o ângulo BÂC é igual a 90o. Sabe-se que AB = c, AC = b e BC = a. Internamente ao segmento BC, determina-se o ponto P de modo que

( )( )c b c bBP

a− +

= . O perímetro do triângulo APC é dado pela

expressão

a) ( )2b a ba+

.

b) ( )2c a ba+ .

c) ( )2b b ca

+ .

d) ( )2c b ca

+.

e) ( )2b a ca

+.

13. (CN)

No triângulo ABC, os lados AB e AC têm a mesma medida x e a mediana BM tem a mesma medida y do lado BC. Sendo assim, é correto afirmar que a razão x

y é um valor compreendido entre:

a) 0 e 1;

b) 1 e 2;

c) 2 e 3;

d) 3 e 4;

e) 4 e 5.

14. (CN)

Teoricamente, num corpo humano de proporções perfeitas, o umbigo deve estar localizado num ponto que divide a altura da pessoa na média e extrema razão (razão áurea), com a distância aos pés maior que a distância à cabeça. A que distância, em metros, dos pés, aproximadamente, deverá estar localizado o umbigo de uma pessoa com 1,70 m de altura, para que seu corpo seja considerado em proporções perfeitas?

Dados: Usar 2,24 para raiz quadrada de 5.

a) 1,09. b) 1,07.

c) 1,05. d) 1,03.

e) 1,01.

15. (CN)

Num triangulo acutângulo qualquer ABC, os pontos D, E e F são, respectivamente, os pés das alturas AD, BE e CF. traçam-se, a partir de D, as semirretas DE e DF. Uma reta r passa por A, intersectando a semirreta DE em G e a semirreta DF em H. Qualquer que seja a reta r, pode-se afirmar que:

a) AG : AH :: DG : DH;

b) EG : DE :: FH : DF;

c) DG : DH :: DE : DF;

d) AG : GE :: AH : HF;

e) DE : AG :: DF : AH.

16. (CN)

Em um triângulo retângulo ABC, BD é a bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a altura relativa à hipotenusa BC. Se o ponto I é a intersecção entre BD e AH, pode-se afirmar que

med(BH)med(IH)

é igual a:

a) med(BC)med(AH)

; b) med(BC)med(AD)

;

c) med(BC)med(CD)

; d) med(AD)med(AI)

;

e) med(AD)med(IH)

.


01.

Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma divisão harmônica

de razão MA 7MB 3

= . Se AB = 40, MN mede:

a) 24

b) 38

c) 40

d) 42

e) 45

02.

Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma divisão

harmônica. Se AB = 7 e MN = 24, a razão MAMB

é igual a:

a) 2 b) 32

c) 43

d) 53

e) 35

03.

Os pontos P e Q pertencem ao interior do segmento AB e estão de um mesmo lado de seu ponto médio. P divide AB na razão 2

3

e Q divide AB na razão 34

. Se PQ 2= , AB mede

a) 50.

b) 60.

c) 70.

d) 80.

e) 40.

231

MATEMÁTICA

231

04. Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma divisão

harmônica de razão MA NA

kMB NB

= = . Se J é o ponto médio de MN,

a razão JAJB

vale:a) k; b) 2k;c) k2; d) k2 – 1;e) k2 + 1.

05.Na figura a seguir, AM, BN e CP são paralelos. Podemos afirmar

que 1 1

AM BN+ é igual a

a) 1CP

. b) 2

CP.

c) 1AB

. d) 2

AB.

e) 1

CP AB+.

06. Um triângulo não degenerado ABC possui lados de medidas inteiras, BD é bissetriz, AD 3= , e DC 8= . Qual é o menor valor possível do perímetro desse triângulo?a) 30. b) 33.c) 35. d) 36.e) 37.

07. No triângulo ABC, tem-se BC a= e a altura AH h= . O lado do triângulo equilátero DEF inscrito em ABC tal que DE é paralelo a BC, é dado pela expressão:

a) 2ah

a 3 2h+; b)

ah

a 3 h+;

c) 2h

h 3 a+; d) 2a

a 3 h+;

e) 2ah

2a 3 h+.

08.No triângulo PQR, F é o ponto em QR tal que PF é perpendicular a QR. Se PR = 13, RF = 5, e FQ = 9, qual o perímetro do triângulo PQR?

a) 36. b) 40.c) 42. d) 45.e) 48.

09. Na figura, ABC e DAE são triângulos isósceles (AB = AC = AD = DE) e os ângulos BAC e ADE medem 36°.

a) Utilizando propriedades geométricas, calcule a medida do ângulo ˆEDC.

b) Sabendo que BC = 2, calcule a medida do segmento DC.

c) Calcule a medida do segmento AC sabendo que BC = 2.

10.

Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com AO = a e OB = b, são dados os pontos P em AO e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas condições o valor de x é:

a) a b a b⋅ − − ;

b) a b 2 a b+ − ⋅ ⋅ ;

c) 2 2a b+ ;

d) a b 2 a b+ + ⋅ ⋅ ;

e) a b a b⋅ + + .

MATEMÁTICA

232

11.Temos dois quadrados como indicado na figura seguinte, onde ABCD possui lado 6 e MNPQ possui lado 5. Calcular o perímetro do triângulo AMN.

a) 10. b) 10,5.c) 11. d) 11,5.e) 12.

12.Considere os quadrados da figura de lados a e b (a > b). Então x é igual a:

a) 2b

a b−; b)

2aa b−

;

c) ab

a b+; d)

aba b−

;

13.

Os pontos E e D pertencem aos lados AB e BC de um triângulo

ABC e são tais que AE 1EB 3

= e CD 1DB 2

= . Sendo F o ponto de

concurso de AD e CE , então EF AFFC FD

+ é igual a

a) 45

. b) 54

.

c) 32

. d) 2.

e) 52

.

14.

Sejam ABC um triângulo, E o ponto médio de AC e O o ponto médio de BE. A reta AO intersecta o lado BC em D. Se AO = 12, então OD é igual a

a) 2.

b) 2,5.

c) 3.

d) 4.

e) 6.

15.


a) 2. b) 3.

c) 4. d) 5.

e) 6.

16.(OBM)

No triângulo ABC, D é o ponto médio de AB e E o ponto do lado BC tal que BE = 2 . EC. Dado que os ângulos

∧ADC e

∧BAE são

iguais, encontre o ângulo ∧

BAC .

a) 45o.

b) 60o.

d) 75o.

d) 90o.

e) 120o.

17. (OBM)

Uma mesa de bilhar tem dimensões de 3 metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos P, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória anterior formava.

Uma bola, inicialmente a 1 metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura. A quantos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa?

a) 1. b) 67

.

c) 34

. d) 23

.

e) 35

.

233

MATEMÁTICA

233

18. (OBM)

No triângulo retângulo ABC, ∠ A = 90º, AB = 5cm e BC = 9cm. Se I é o incentro de ABC, então qual é o comprimento do segmento CI?

a) 5 cm.

b) 6 cm.

c) 4 cm.

d) 8 cm.

19. (FUVEST)

O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

a) bh

h b+; b)

2bhh b+

;

c) bh

h 2b+; d)

bh2h b+

.

e) ( )bh

2 h b+

20. (AFA)

Na figura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 72 cm, M é o ponto médio de AB e CE 16 cm= . Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de

a) 51. b) 50.

c) 49. d) 48.

21. (EFOMM)

Uma escada foi colocada em cima de um caminhão formando um ângulo de 30° com o topo de um prédio de 7 m de altura. Sabendo-se que a altura do caminhão é 1,0 m e que a menor distância da base da escada para o prédio é igual à metade do comprimento da escada, logo, a medida da escada em metros é:

a) 14 33

; b) 14 3 ;

c) 2 3 ; d) 4 33

;

e) 4 3 .

22. (EFOMM)

Um triângulo isósceles ABC, com lados AB = AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de 2 metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 36 metros, pode-se afirmar que sua base mede

a) 8 metros.

b) 9 metros.

c) 10 metros.

d) 11 metros.

e) 12 metros.

23. (CMSM)

Para resolver um problema que envolva semelhança de triângulos é necessário identificar corretamente os segmentos proporcionais e não confundir um esboço com o desenho real. Observe o esboço abaixo e determine o valor do segmento AC, sabendo que os segmentos BC, BD e CD medem, respectivamente 12 cm, 10 cm e 8 cm, e os ângulos ˆCAB e ˆCBD são congruentes.

a) 8 cm.

b) 10 cm.

c) 12 cm.

d) 15 cm.

e) 18 cm.

24. (CMBR)

Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NP os segmentos NC e CP cuja razão é

NC 23CP

= . Sabendo-se que MN 12 cm= , determinar a medida do

lado MP .

a) 8 cm.

b) 8 dm.

c) 18 cm.

d) 18 dm.

e) 16 cm.

MATEMÁTICA

234

25. (CMBH)

Na figura abaixo, AD é bissetriz do ângulo BÂC e ( )3 AB AC

BC2

⋅ += .

Sendo BC = 18cm e sabendo que BD é o dobro de CD, o valor de AB, em cm, é:

a) 4; b) 5;

c) 6; d) 7;

e) 8.

26. (CMRJ)

A figura abaixo representada é um losango. Sabendo-se que os

nove segmentos 1 1 2 2 3 3 9 9M N ,M N ,M N , ,M N são todos paralelos e

dividem o segmento AB em dez partes iguais, pode-se afirmar que,

para 1 1M N L= , a soma

1 1 2 2 3 3 9 9M N M N M N M N+ + + +

é igual a:

a) 30L; b) 25L;

c) 20L; d) 18L;

e) 15L.

27. (CMRJ)Seja o triângulo isósceles ABC, com AC = BC = 7 cm e AB = 2 cm. Seja D um ponto situado na reta que contém o lado AB, de tal modo que tenhamos o ponto B situado entre os pontos A e D, e DC = 8cm. Nestas condições, a medida de BD, em cm, valea) 3. b) 2 3 .c) 4. d) 5.e) 4 2 .

28. (CMRJ)

Em uma exposição artística um escultor apresentou sua obra prima, intitulada “as torres vizinhas”. Repare que a mesma consta de duas hastes paralelas de ferro fundidas perpendicularmente em uma mesma base e escoradas por dois cabos de aço retilíneos, como mostra a figura abaixo. As alturas das hastes medem, respectivamente, 6 metros e 2 metros. Desprezando-se a espessura dos cabos, determine a distância do ponto de interseção dos cabos à base da escultura.

a) 2,25 m.b) 2,00 m.c) 1,75 m.d) 1,50 m.e) 1,25 m.

29. (CMRJ)A sombra de um homem que tem 1,80m de altura mede 30cm. No mesmo instante, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede 1m. Se, após algumas horas, a sombra do poste diminui 60cm, a sombra do referido homem passou a medir:a) 6 cm;b) 12 cm;c) 18 cm;d) 24 cm;e) 30 cm.

30. (EPCAR) Uma pessoa sobe numa escada de 5 metros de comprimento, encostada em um muro vertical. Quando ela está num degrau que dista 2 metros do pé da escada, esta escorrega, de modo que a extremidade P se desloca para a direita, conforme a seta da figura, e a extremidade Q desliza para baixo, mantendo-se aderente ao muro. A fórmula que expressa a distância h, do degrau em que a pessoa está até o chão, em função da distância x, do pé da escada ao muro é

a) 2

h x5

= .

b) 22h x

5= .

c) 22h 25 x

5= − .

d) 22h 9 x

5= − .

235

MATEMÁTICA

235

31. (EPCAR)Considere o triângulo ABC da figura abaixo, com AB 12= , AC 8= e BC 14= . As bissetrizes interna e externa do ângulo correspondente ao vértice A encontram a reta suporte do lado oposto em D e E, respectivamente. O valor de BE é igual a

a) 25. b) 32.c) 42. d) 48.

32. (EPCAR)Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21 cm e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito.1o. Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M.

2o. Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E.

3o. Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.

4o. Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.

Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR , em centímetros, é igual aa) 6. b) 6 2 .

c) 9. d) 9 2 .

33. (EPCAR)

Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e 10. Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD , cujo ângulo ˆAPD é congruente ao ângulo ˆACB , conforme a figura.

Então, a medida AP éa) 0,2. b) 2.

c) 2 105

. d) 105

.

34. (CN)Dois lados de um triângulo medem 4cm e 6cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3cm. O perímetro do círculo circunscrito ao triângulo medea) 4 cmπ . b) 6 cmπ .c) 8 cmπ . d) 12 cmπ .e) 16 cmπ .

01.

No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a:

a) 30; b) 40;

c) 45; d) 60;

e) 75.

02. (ITA)

Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h (relativa à

hipotenusa), são dados pelas seguintes expressões: 1

b kk

= + e

1c k

k= − onde k é um número real maior que 1. Então o valor

de h em função de k é:

a) 2k 12k

−; b)

2

2

k 1k 2

−−

;

c) 2

2

1 k1 k

+− −

; d) ( )22 k 12k

− ;

e) 4

3

k 12k

− .

MATEMÁTICA

236

03. (ITA)

Considere o triângulo ABC, onde AD é a mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo a AD, onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC (figura 1). Se N é o ponto de intersecção de AB com MP, podemos afirmar que:

a) MN + MP = 2BM;

b) MN + MP = 2CM;

c) MN + MP = 2AB;

d) MN + MP = 2AD;

e) MN + MP = 2AC.

04. (ITA)

Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles com base de 6cm e altura de 4cm. Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados do triângulo mede

a) 1 cm;

b) 1,5 cm;

c) 2 cm;

d) 2,5 cm;

e) 3 cm.

05. (ITA)

Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD , em cm, é igual a

a) 34

. b) 156

.

c) 154

. d) 254

.

e) 252

.

06.

Um triângulo retângulo possui perímetro 32 e área 20. A medida da sua hipotenusa é

a) 574

.

b) 594

.

c) 614

.

d) 634

.

e) 654

.

07.

Em um triângulo escaleno KLM, a bissetriz do ângulo ˆKLM corta o lado KM no ponto N. Pelo ponto N traça-se uma reta que corta o lado LM em um ponto A tal que MN AM= . Sabe-se que LN a= e KL KN b+ = . A medida do segmento AL é igual a:

a) 2a

b;

b) 2b

a;

c) 2 2a ba b

++

;

d) 2 2a b

a+

;

e) 2 2a b

b+

.

08.

No triângulo retângulo isósceles ABC, B 90= , AD é a mediana relativa ao lado BC. Seja AB = BC = a. Se BE AD⊥ , interceptando AC em E, e EF BC⊥ em F, então EF é igual a

a) a3

.

b) a2

.

c) 2a3

.

d) 2a5

.

e) a4

.

09.

Considere um triângulo ABC com ˆBAC 45= e ˆACB 30= . Se M é o ponto médio do lado BC , mostre que ˆAMB 45= e que BC AC 2 AM AB⋅ = ⋅ ⋅ .

237

MATEMÁTICA

237

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. B 02. C

03. D 04. D

05. D 06. B

07. A 08. D

09. C 10. E

11. E 12. A

13. B 14. C

15. A 16. C


01. D 02. C

03. C 04. C

05. A 06. B

07. A 08. C

09.

a) 36o;b) 2; c) 1 5+

10. B 11. C

12. A 13. C

14. D 15. D

16. D 17. B

18. B 19. D

20. D 21. E

22. C 23. E

24. C 25. E

26. B 27. A

28. D 29. B

30. C 31. C

32. D 33. B

34. C

DESAFIO mIL

01. C 02. E

03. D 04. B

05. D 06. D

07. A 08. A

09.

Seja D o ponto de AC tal que BD AC⊥ .

ˆ ˆDBA 90 DAB 90 45 45 BDA= − = − = ⇒ ∆ é retângulo isós-

celes e AD BD= .

Como o CDB∆ é retângulo, DM é mediana relativa à hipotenusa,

então DM MC MB= = e ˆˆCDM DCM 30= = .

ˆˆ ˆBMD MCD MDC 30 30 60= + = + =

Como DM MB= e ˆBMD 60 , então o BMD∆ é equilátero e

BD DM MB= = .

Como DM BD DA= = , então o ADM∆ é isósceles e

ˆCDM 30ˆ ˆDMA DAM 152 2

= = = =

.

Logo, ˆ ˆ ˆAMB BMD DMA 60 15 45= − = − = .

ˆ ˆ ˆBAM BAC DAM 45 15 30= − = − =

Como ˆˆBAM ACB 30= = e ˆ ˆAMB BAC 45= = , então

BAM ~ ABC∆ ∆ .

Daí, vem:

AB BM AMBM AC AM AB

BC AB AC

BCAC AM AB BC AC 2 AM AB

2

= = ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⋅

MATEMÁTICA

238

noTaS

239

MATEMÁTICA

239

AbordagemTeórica

1. TRIGONOmETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a figura a seguir:

Definem-se:

Seno: cateto oposto bˆsenB

hipotenusa a= =

Cosseno: cateto adjacente cˆcosB

hipotenusa a= =

Tangente: cateto oposto bˆtgB

cateto adjacente c= =

Cotangente: cateto adjacente c 1ˆcotgB

ˆcateto oposto b tgB= = =

Secante: 1ˆsecB

ˆcosB=

Cossecante: 1ˆcossecB

ˆsenB=

Como a hipotenusa a é o maior lado do triângulo retângulo, concluímos que ˆ0 senB 1< < e ˆ0 cosB 1< < .

b c a b c ˆ ˆb c a 1 senB cosB 1a a a a+

+ > ⇔ > ⇔ + > ⇔ + >

Da mesma forma: cˆsenCa

= ; bˆcosCa

= ; cˆtgCb

= e bˆcotgCc

= .

Comparando os resultados, concluímos que ˆˆsenB cosC= ; ˆˆcosB senC= e ˆˆtgB cotgC= .

TrigonomeTria

2. RELAÇÃO ENTRE LINHAS TRIGONOmÉTRICAS DE ÂNGULOS COmPLEmENTARES:

Como ˆB C2π

+ = , concluímos que:

sen cos2π θ = − θ

cos sen2π θ = − θ

tg cotg2π θ = − θ

Assim, a razão trigonométrica de um ângulo é igual a corrazão do seu complemento.

3. RELAÇÕES FUNDAmENTAIS

Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que a2 = b2 + c2.

Dividindo-se ambos os membros da equação por a2, temos: 2 2

2 22 2

b c ˆ ˆ1 sen B cos B 1a a

+ = ⇔ + = .

Assim, para um ângulo q, podemos escrever:

2 2sen cos 1θ + θ =

(relação fundamental da trigonometria)

Dividindo a relação fundamental por cos2q, temos: 2

2 22 2

sen 11 1 tg sec

cos cosθ

+ = ⇔ + θ = θθ θ

.

Dividindo a relação fundamental por sen2q, temos: 2

2 22 2

cos 11 1 cotg cossec

sen senθ

+ = ⇔ + θ = θθ θ .

2 21 tg sec+ θ = θ2 21 cotg cossec+ θ = θ

MATEMÁTICA

240

4. ÂNGULOS NOTÁVEIS

4.1. Ângulos de 30° e 60°

Seja o triângulo equilátero ABC, conforme a figura a seguir:

No ABM∆ , temos:

x 3AM 32sen60AB x 2

= = =

xBM 12cos60AB x 2

= = =

sen60 3 2tg60 3

cos60 1 2= = =

1sen30 cos60

2= =

3cos30 sen60

2= =

sen30 1 2 3tg30

cos30 33 2= = =

4.2. Ângulo de 45°

Seja o quadrado ABCD, conforme a figura a seguir:

No ABC∆ , temos:BC x 2ˆsen45 senBACAC 2x 2

= = = =

( ) 2cos45 sen 90 45 sen45

2= − = =

sen45 2 2tg45 1

cos45 2 2= = =

4.3. Quadro Resumo

30° 45° 60°

Seno 12

22

32

Cosseno 32

22

12

Tangente 33

1 3

5. REDUÇÃO AO PRImEIRO QUADRANTE

A seguir vamos ver relações que permitem a obtenção das linhas trigonométricas para um ângulo qualquer. Vamos nos abster de apresentar a definição das linhas trigonométricas no ciclo trigonométricas e fazer essa extrapolação apenas analisando baseada na análise dos sinais.

Reduzir ao primeiro quadrante é associar uma determinada linha trigonométrica a uma linha trigonométrica de um ângulo do primeiro quadrante.

Para efetuar esse procedimento, devemos inicialmente reduzir a linha trigonométrica à primeira volta, observando que arcos côngruos possuem as mesmas linhas trigonométricas. Assim,

241

MATEMÁTICA

241

( )sen 360 k sen+ θ = θ

( )cos 360 k cos+ θ = θ

( )tg 360 k tg+ θ = θ

Feito isso, podemos efetuar a redução ao primeiro quadrante com base no diagrama acima.

( )sen 180 sen− θ = θ

( )cos 180 cos− θ = − θ

( )tg 180 tg− θ = − θ

( )sen 180 sen+ θ = − θ

( )cos 180 cos+ θ = − θ

( )tg 180 tg+ θ = θ

( )sen 360 sen− θ = − θ

( )cos 360 cos− θ = − θ

( )tg 360 tg− θ = − θ

Assim, encontramos os seguintes valores:

( ) 3sen120 sen 180 60 sen60

2= − = =

( ) 1cos120 cos 180 60 cos60

2= − = − = −

( ) 1sen150 sen 180 30 sen30

2= − = =

( ) 3cos150 cos 180 30 cos30

2= − = − = −

( ) 2sen135 sen 180 45 sen45

2= − = =

( ) 2cos135 cos 180 45 cos45

2= − = − = −

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (EPCAR)

Um fardo de alimentos será entregue para alguns habitantes de uma região de difícil acesso na Floresta Amazônica por um helicóptero, conforme a figura abaixo.

No momento em que o fardo atinge o ponto P no solo, o cabo que sai do helicóptero e sustenta o fardo está esticado e perpendicular ao plano que contém os pontos A, P e B.Sabe-se que o helicóptero está a uma altura h do solo e é avistado do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto B sob um ângulo de 45°.Sabe-se, também, que a medida de ˆAPB 90= e que a distância entre A e B é 100 metros.O número que expressa a medida de h, em metros,a) é primo e ímpar.b) é múltiplo de 3 maior que 30c) é número par menor que 30d) tem 6 divisores que são números naturais.

02. (EPCAR)

Chama-se agrimensura a arte de medição de terras. O agrimensor é aquele que obtém as medidas de um terreno. Um fazendeiro comprou um terreno cuja base planificada tem a forma de um retângulo. A pedido do fazendeiro, o agrimensor desenhou a vista frontal e a vista lateral desse terreno indicando medidas precisas que ele obteve utilizando-se de estacas auxiliares de mesma medida.

Tomando-se como referência a forma planificada retangular do terreno cujo custo do metro quadrado foi de 120 reais para o fazendeiro, é correto afirmar quea) tem mais de 20 m de lateral.b) sua área total é de 336 m2.c) foi comprado pelo valor de 96.210 reais.d) tem menos de 30 m de frente.

03. (EPCAR)

Em relação à figura abaixo, tem-se

CÂD 30 , AC 2cm e BC 4cm= ° = =

MATEMÁTICA

242

Se AC CB e AD DB,⊥ ⊥ então, BD, em cm, é igual a

a) 6 33

− b) 6 3 3−

c) 2 3 1− d) 4 32

−

04. (EPCAR)

Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra a figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre

a) 3 e 4

b) 4 e 5

c) 5 e 6

d) 6 e 7

e) 7 e 8

05. (CN)

Um triângulo retângulo, de lados expressos por números inteiros consecutivos, está inscrito em um triângulo equilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a

a) 6,5

b) 7,0

c) 7,5

d) 8,0

e) 8,5

06. (EFOMM)

Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados 3 km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30° e 75°, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é:

a) 13

b) 52

c) 25

d) 23

e) 32

07. (ESPCEX)

Se 5

sen13

α = e ,2π α ∈ π

, então o valor de tgα é igual a:

a) 12

.5

b) 5

.12

−

c) 12.

13 d)

5.

12

e) 12

.13

−

08.

Se x é um arco do terceiro quadrante e 1

tgx3

= , então senx sec x+ vale:

a) 103

− b) 13 10

30−

c) 15 10

32− d)

105

−

e) 3 105

−

09. (IME)

Na figura seguinte ABCD é um quadrado de lado 1 e BCE é um

triângulo equilátero. O valor de tan2α

é igual a:

a) 3

12

− b) 6

22

−

c) 3

13

− d) 2

15

−

e) 3

15

−

243

MATEMÁTICA

243

10. (ITA)

Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ] [0,2π e que o triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cosseno de x é igual a:

a) 34

b) 27

c) 5

13 d) 15

26

e) 1349

11. (ITA)

Seja n ∈ com n > 1 fixado. Considere o conjunto p

A :p,q e 0 q nq

= ∈ < <

.

Definimos f : → por f (x) = [cos (n!πx)]2n. Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f, então

a) ( ) ] [f A 1,1= −

b) ( ) [ ]f A 0,1=

c) ( ) { }f A 1=

d) ( ) { }f A 0=

e) ( ) { }f A 0,1=

12.

Sabendo que tgy 3= e 3y

2π

π < < , calcule o valor numérico da

expressão: 2 2sec y tg ( y)

2sen( y).cotgy− π +

π −:

a) 1 b) –1

c) 3 d) 2

2−

e) 33


01.

Seja ABC um triângulo retângulo em C com oˆABC 30= e AB = 112. Considere D em AB tal que CD AB⊥ , E em AC tal que DE AC⊥ e F em AD tal que EF AD⊥ . O segmento BF mede:

a) 110 b) 108

c) 105 d) 100

e) 96

02.

Um muro com y metros de altura se encontra a x metros de uma parede de um edifício. Uma escada que está tocando a parede e apoiada sobre o muro faz um ângulo q com o chão, onde

3y

tgx

θ = . Suponha que o muro e a parede são perpendiculares

ao chão e que este é plano (veja figuras).

O comprimento da escada é:

a) ( ) 13 3 2

2 2x y+ b) ( ) 32 2 2

3 3x y+

c) ( ) 23 3 3

2 2x y+ d) ( ) 31 1 22 2x y+

e) ( ) 21 1 32 2x y+

03.

Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob ângulo de 45º. Podemos afirmar que a altura do prédio vale: (Despreze a altura do observador)a) 30(3 3)+b) 15(3 3)+c) 30(3 3)−d) 15(3 3)−e) 60(3 3)+

04.

Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir.

Se RS = 100, quanto vale PQ?

a) 100 3 b) 50

c) 50 3 d) 25 3

e) ( )50 3

3

MATEMÁTICA

244

05.

No retângulo ABCD, o ângulo ˆAQB é reto. Se o seno do ângulo

CÂQ é 13

, calcule a tangente do ângulo ˆQBD .

a) 2 2 b) 2 2

3

c) 26

d) 24

e) 13

06.

Se 2

sen cos3

θ + θ = , onde 2π

< θ < π , determine o valor de sen cosθ − θ .

a) 23

b) 32

c) 32

− d) 43

e) 43

−

07.Simplificando a expressão ( ) ( )4 4 6 63 sen x cos x 2 sen x cos x+ − + ,obtemos:a) 0 b) 1c) –1 d) 3 3sen x cos x+e) 4 4sen x cos x

08. (UEM)

Se q é a medida em radianos de um arco em que sec tg 2θ − θ = , assinale a alternativa correta.

a) 2π

< θ < π

b) 3

sec4

θ = −

c) 5

tg4

θ =

d) 3

sen5

θ = −

e) 1

sec tg2

θ + θ = −

09. (PUC)Constrói-se um triângulo retângulo de catetos AB e

1AC AB

2= .

O seno do maior ângulo agudo desse triângulo é igual a:

a) 2 55

b) 3 55

c) 4 55

d) 5

e) 6 55

10. (UNICAMP)Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. A figura abaixo ilustra a rampa que terá que ser vencida pela bicicleta de Laura.

Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos 0,99α = . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida em relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.

a) 315 m b) 31,5 m

c) 630 m d) 63 m

e) 15,75 m

11. (FUVEST)

O dobro do seno de um ângulo q, 0 < q < π / 2 é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor do seu cosseno é;

a) 2/3 b) 3 /2

c) 2 /2 d) 1/2

e) 3 /3

12. (AFA)

Os valores de x que satisfazem a equação x ⋅ (x ⋅ cotgα – cosα) = – x + senα, 0

2π

< α < , são:

a) senα e tg− αb) senα e cosαc) tgα e cotg− αd) secα e cossecα

13. (AFA)

Na figura a seguir, AD = 2 e CB = 5. Se 4

tg5

α = , então cotgb é

a) 15/17 b) 13/17

c) 17/20 d) 19/20

245

MATEMÁTICA

245

14. (AFA)

Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm. A distância BE, em cm, vale.

a) 2 3 b) 6 1−

c) 3 2+ d) 6 2−

15. (EFOMM)

Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como

1 2P P sendo 63 metros, o ângulo 1 2ˆBP P = α , 2 1

ˆBP P = β , tg 2α = e tg 4β = . A distância da lancha até a praia vale

a) 83 b) 84

c) 85 d) 86

e) 87

16. (EFOMM)

O valor numérico da expressão ( )2

44 33cos sec2400 tg

3 4cossec 780

π π − + − −

é igual a

a) 1 b) 34

−

c) 43

d) 12

e) 38

17. (IME CG)

Seja α um ângulo do quarto quadrante cujo cosseno é igual a 14

.

Determine o valor de y na expressão: 2sec sec cosec

y1 ctg

α − α ⋅ α=

− α.

(Obs.: sec(a), cosec(a) e ctg(a) representam respectivamente a secante,

a cossecante e a cotangente do ângulo a.)

a) 4 b) 4 15

c) 16 d) 16 15

e) 15

18. (ITA)

Num triângulo ABC, retângulo em Â, temos B 60= . As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede:

a) 1 3cm

2+ b) 1 3 cm+

c) 2 3 cm+ d) 1 2 2 cm+e) n.d.a.

19. (CMRJ)

Um farol ilumina o trecho AC do oceano, por onde passava uma embarcação que navegava pela trajetória retilínea que liga os pontos A, B e C.

O ângulo formado, no ponto A, entre as retas AP e AC, era igual a 30°. No ponto B, o ângulo formado entre a reta BP e a reta que define a trajetória da embarcação era igual a 60°. A distância entre os pontos B e P é de 2 quilômetros. Os segmentos de reta AC e PC são perpendiculares. Durante toda a trajetória, o barco manteve um gasto de combustível constante de 1 litro a cada 16 metros percorridos. Assim, de A a C, o barco consumiu

a) 0,1875 litro b) 18,75 litros

c) 187,5 litros d) 1875 litros

e) 18750 litros

01.

Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede:

a) 1 sen / n1 sen / n

+ π− π

b) 1 cos / n1 sen / n

+ π− π

c) 1 sen2 / n1 sen2 / n

+ π− π

d) 1 cos2 / n1 cos2 / n

+ π− π

e) 1 cos2 / n1 sen2 / n

+ π− π

MATEMÁTICA

246

02. (ITA)

Seja a um número real tal que a k2π

≠ + π, onde k ∈ .

Se ( )0 0x ,y é solução do sistema ( ) ( )( ) ( )2seca x 3tga y 2cosa

2tga x 3seca y 0

+ =

+ =

então podemos afirmar que:

a) 0 0x y 3 2sena+ = −

b) 2

2 20 0

2 4x y cos a 2

3 9 − = +

c) 0 0x y 0− =

d) 0 0x y 0+ =

e) 2

2 20 0

2 4x y cos a

3 9 − =

03. (ITA)

Num triângulo ABC retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede l cm e que o ângulo

ˆDAC mede q graus então a área do triângulo ABC vale:

a) 2

sec tg2

θ θl b)

22sec tg

2θ θ

l

c) 2

2sec tg2

θ θl d)

2

cossec cotg2

θ θl

e) 2

2cossec cotg2

θ θl

04. (ITA)

Seja n( 1) n!

A sen ;nn 6

− π = + ∈ . Qual conjunto abaixo é tal

que sua interseção com A dá o próprio A?

a) ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ ∞b) ( ], 2−∞ −c) [ ]2,2−d) [ ]2,0−e) [ )0,2

05. (ITA)

Seja a ,4 4π π ∈ −

um número real dado. A solução ( )0 0x ,y do

sistema de equações ( ) ( )( ) ( )sena x cosa y tga

cosa x sena y 1

− = − + = −

, é tal que:a) 0 0x y tga⋅ =b) 0 0x y seca⋅ = −c) 0 0x y 0⋅ =d) 2

0 0x y sen a⋅ =e) 0 0x y sena⋅ =

06. (ITA)

Sejam a, b, c ∈ * com a2 = b2 + c2. Se x, y e z satisfazem o

sistema ccosy bcosz a

ccosx acosz b

bcosx acosy c

+ = + = + =

então cosx + cosy + cosz é igual a

a) a b

c−

b) a bc+

c) b c

a+

d) c a

b+

e) 2 2b c

a+

07. (ITA)

O valor de 10 8 2 6 4

4 6 2 8 10

tg x 5tg xsec x 10tg xsec x

10tg xsec x 5tg xsec x sec x

− + −

− + − para todo

x 0,2π ∈

, é:

a) 1 b) 2

2

sec x1 sen x−+

c) –secx + tgx d) –1

e) zero

08. (ITA)

Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A ∪ B, sendo 2

2k

kA x sen : k 1,2

24

π = = = e ( )2

k

3k 5B y sen : k 1,2

24

+ π = = = .

a) 0 b) 1

c) 2 d) 2 2 3

3

− +

e) 2 2 3

3

+ −

09. (ITA)

Considere o triângulo ABC de lados a BC= , b AC= e c AB= , e os ângulos internos ˆCABα = , ˆABCβ = e ˆBCAγ = . Sabendo-se que a equação 2 2 2x 2bx cos b a 0− ⋅ α + − = admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

a) 90α =

b) 60β =

c) 90γ =

d) O triângulo é retângulo apenas se 45α = .

e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

10. (EN)

Sabendo que a equação 2x 3sec= θ, 2π

< θ < π, define

implicitamente q como uma função de x, considere a função f de

variável real x onde f(x) é o valor da expressão 5 2

cossec sen22 3

θ + θ

em termos de x. Qual o valor do produto ( ) ( )2 2x 4x 9 f x− ?

a) 5x3 – 4x2 – 9

b) 5x3 + 4x2 – 9

c) – 5x3 – 4x2 + 9

d) 5x3 – 4x2 + 9

e) – 5x3 – 4x2 – 9

247

MATEMÁTICA

247

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. D 02. A

03. C 04. B

05. C 06. E

07. B 08. B

09. C 10. C

11. C 12. B


01. C 02. B

03. B 04. C

05. D 06. D

07. B 08. D

09. A 10. B

11. B 12. A

13. C 14. D

15. B 16. E

17. C 18. B

19. C

DESAFIO mIL

01. A 02. E

03. B 04. C

05. C 06. C

07. D 08. C

09. E 10. C

noTaS

MATEMÁTICA

248

249

MATEMÁTICA

249

geomeTria méTrica noS TriânguloS – parTe 2

AbordagemTeórica

1. LEI DOS COSSENOS

a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cosÂ

b2 = a2 + c2 – 2ac ⋅ cos2 2 2 ˆb a c 2ac cosB= + − ⋅2 2 2 ˆc a b 2ab cosC= + − ⋅

DEmONSTRAÇÃO:

( )

2 2 2

2 2 2

m h c

b m h a

+ =

− + =

(b – m)2 + h2 = a2 ⇔ b2 – 2bm + m2 + h2 = a2 ⇔ b2 – 2bm + c2 = a2 m

cosA m c cosAc

= ⇔ = ⋅

( )

2 2 2

2 2 2C.Q.D.

b 2bm c a

a b c 2bccosA

⇒ − + = ⇔

⇔ = + −

2. LEI DOS SENOS

a b c2R

ˆ ˆ ˆsenA senB senC= = =

DEmONSTRAÇÃO:a a

A'BC senA 2R2R senA

∆ : = ⇔ =.

Adotando procedimento análogo para os outros vértices,

temos ( )C.Q.D.

a b c2R

ˆ ˆ ˆsenA senB senC= = = .

3. SíNTESE DE CLAIRAUT

Seja um triângulo ABC, onde a, b e c representam as medidas dos lados e a é o maior lado.

DABC é acutângulo ⇔ a2 < b2 + c2

DABC é retângulo ⇔ a2 = b2 + c2

DABC é obtusângulo ⇔ a2 > b2 + c2

DEmONSTRAÇÃO:

Basta considerar o sinal do cosseno do ângulo oposto ao maior lado, na lei dos cossenos.

MATEMÁTICA

250

4. RELAÇÃO DE STEWART

2 2 2b x c1

am mn an− + =

DEmONSTRAÇÃO:

Seja ˆAPB = θ , então ˆAPC 180= − θ . Aplicando a lei dos cossenos aos triângulos APB e APC, temos:

( )

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

x n cc n x 2nxcos cos

2nx

b m x 2mxcos 180

m x 2mxcos

b m xcos

2mx

+ −= + − θ ⇔ θ =

= + − − θ =

= + + θ

− −⇔ θ =

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

x n c b m x2nx 2mx

mx mn mc nb nm nx

nb x m n mc mn m n

nb ax mc amn

+ − − −= ⇔

⇔ + − = − −

⇔ − + + = + ⇔

⇔ − + =

2 2 2b x c1

am mn an⇔ − + =

5. ALTURA

( )( )( )A

2h p p a p b p c

a= − − −

( )( )( )B

2h p p a p b p c

b= − − −

( )( )( )C

2h p p a p b p c

c= − − −

DEmONSTRAÇÃO:

Seja BH = x, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABH, temos: 2 2 2 2 2 2

A Ax h c h c x+ = ⇔ = − .

Aplicando a lei dos cossenos no ABC∆ , temos:

2 2 2 2 2

2 2 2

ˆb c a 2accosABH c a 2ax

c a bx

2a

= + − = + −

+ −⇔ =

( )( )

22 2 22 2 2 2A

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

c a bh c x c

2a

c a b c a bc c

2a 2a

2ac c a b 2ac c a b4a

+ −= − = − =

+ − + −= + − =

+ + − − − += =

( ) ( )2 22 2

2

a c b b a c4a

+ − − − = =

( )( )( )( )2

a b c a c b a b c b c a4a

+ + + − + − + −= =

( )( )( )( )2

2p 2p 2b 2p 2c 2p 2a

4a

− − −= =

( )( )( )2

4p p a p b p c

a= ⋅ − − −

( )( )( )A

2h p p a p b p c

a⇔ = − − −

Analogamente, prova-se que

( )( )( )B

2h p p a p b p c

b= − − − e ( )( )( )C

2h p p a p b p c

c= − − −

6. mEDIANA

( )2 2 2A

1m 2 b c a

2= + −

( )2 2 2B

1m 2 a c b

2= + −

( )2 2 2C

1m 2 a b c

2= + −

251

MATEMÁTICA

251

DEmONSTRAÇÃO:

Aplicando a relação de Stewart, temos:

( )

2 2 22 2 2 2A

A

2 2 2 2 2 2 2A A

c m b1 2c 4m 2b a

a a a aa a

2 2 2 21

4m 2c 2b a m 2 b c a2

− + = ⇔ − + = ⇔⋅ ⋅ ⋅

⇔ = + − ⇔ = + −

Analogamente, prova-se que ( )2 2 2B

1m 2 a c b

2= + − e

( )2 2 2C

1m 2 a b c

2= + − .

7. BISSETRIZ INTERNA

( )iA

2bcp p a

b cβ = −

+

( )iB

2acp p b

a cβ = −

+

( )iC

2abp p c

a bβ = −

+

DEmONSTRAÇÃO:

Aplicando o teorema das bissetrizes internas no DABC,

temos: ac

mb c

=+

e ab

nb c

=+

.

Aplicando a relação de Stewart, temos:

( ) ( ) ( )

2 2 2iA

22 2 2 2iA

c b1

ac ac ab aba a

b c b c b c b c

bc b c b c b c b c a bc

β− + = ⇔

⋅ ⋅ ⋅+ + + +

⇔ + − β + + + =

( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2 22iA 2

2 2

2 2

2 2

bc b c b c b c a bc

b c

bc b c a bc b c a b c a

b c b cbc 2p 2p 2a 4bcp p a

b c b c

+ + + −⇔ β = =

+ ⋅ + − + + + − = = =

+ +− −

= =+ +

( )iA

2bcp p a

b c⇔ β = −

+

Analogamente, prova-se que ( )iB

2acp p b

a cβ = −

+ e

( )iC

2abp p c

a bβ = −

+.

8. BISSETRIZ ExTERNA

Procedimento análogo ao anterior permite encontrar as seguintes expressões para o cálculo das bissetrizes externas.

( )( )eA

2bc p b p c

b cβ = − −

−

( )( )eB

2ac p a p c

a cβ = − −

−

( )( )eC

2ab p a p b

a bβ = − −

−

EXERCÍCIOS DE AULA

01. (CMBR)

Um triângulo ABC tem lados medindo AB 3 cm= , BC 6 cm= e

AC 5 cm= . Sejam M e H os pontos de BC tais que AM é a bissetriz interna do ângulo ˆBAC e AH é a altura relativa ao lado BC. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o comprimento de MH, em centímetros, é igual a

a) 94

.

b) 7

12.

c) 59

.

d) 127

.

e) 49

.

02. (CN)

Em um triângulo ABC, o ângulo Â é o dobro do ângulo B , AB 9 cm= e AC 4 cm= . O lado BC mede:

a) 9 13 cm ;

b) 3 13 cm;

c) 4 13 cm;

d) 6 13 cm;

e) 2 13 cm.

03. (CN)

Um hexágono regular ABCDEF tem lado 3 cm. Considere os pontos: M, pertencente a AB, tal que MB igual a 1 cm; N, pertencente a CD, tal que ND igual a 1 cm; e P, pertencente a EF, tal que PF igual a 1 cm. O perímetro, em centímetros, do triângulo MNP é igual a:

a) 3 15;

b) 3 17;

c) 3 19;

d) 3 21;

e) 3 23.

MATEMÁTICA

252

04. (CN)

Em um triângulo retângulo ABC, BD é a bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a altura relativa à hipotenusa BC. Se o ponto I é a intersecção entre BD e AH, pode-se afirmar que

med(BH)med(IH)

é igual a:

a) med(BC)med(AH)

; b) med(BC)med(AD)

;

c) med(BC)med(CD)

; d) med(AD)med(AI)

;

e) med(AD)med(IH)

.

05. (CN)

Sendo hA, hB e hc as medidas das alturas; mA, mB e mc as medidas das medianas; e bA, bB e bc as medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir.

I. O triângulo formado pelos segmentos 1/hA, 1/hB e 1/hC é semelhante ao triângulo ABC.

II. O triângulo formado pelos segmentos 1/mA, 1/mB e 1/mc é semelhante ao triângulo ABC.

III. O triângulo formado pelos segmentos 1/bA, 1/bB e 1/bc é semelhante ao triângulo ABC.

Pode-se concluir que

a) apenas I é sempre verdadeira.

b) apenas II é sempre verdadeira.

c) apenas III é sempre verdadeira.

d) I, II e III são sempre verdadeiras.

e) I, II e III são sempre falsas.

06. (AFA)

Um triângulo é tal que um de seus ângulos internos é a média aritmé-tica dos outros dois ângulos, e um dos seus lados é a média geométrica dos outros dois lados. Dessa maneira, esse triângulo NÃO éa) acutângulo.b) equilátero.c) obtusângulo.d) isósceles.

07.

No triângulo ABC, o ponto D do lado BC é tal que AD é bissetriz do ângulo BAC. Se AB = 2, AD = 3 e AC = 6, o lado BC mede:

a) 176 ; b) 184 ;

c) 198; d) 208;

e) 224.

08.

O ponto P é interior ao quadrado ABCD. Se PA 2= , PB = 1 e PC = 2, o lado do quadrado mede:

a) 2 2 ; b) 3 3

2;

c) 5 ; d) 6;

e) 7 .

09.

Na figura abaixo, os segmentos AB e CD têm comprimento 1, enquanto os ângulos ˆABC e ˆCBD medem 90º e 30º, respectivamente. A medida do segmento AC é:

a) 2 ; b) 3 2 ;

c) 3 ; d) 3 3 ;

e) 2.

10.

O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC é dividida internamente pelos pontos M e N de forma que BM = MN = NC. Se AM = x e AN = y, então MN é igual a

a) x y2+ . b)

2 2y x

2

− .

c) 2 2y x− . d)

2 2x y

3

+ .

e) 2 2x y

5+ .


01.

Calcule x na figura abaixo:

a) 1. b) 2 .

c) não existe x. d) 55

.

e) 3 .

02.

Os lados de um triângulo são AB 6= , AC 8= e BC 10= . Sobre o lado BC toma-se um ponto D tal que a ceviana AD 5= . Um possível valor de BD é

a) 2,1. b) 2,2.

c) 2,3. d) 2,4.

e) 2,5.

253

MATEMÁTICA

253

03.

Conhecendo as medidas dos lados a, b e c dos lados de um triângulo ABC. Considere o triângulo cujos vértices são os pés das alturas de ABC. Qual das alternativas apresenta a medida de um dos lados desse triângulo?

a) ( )2 2 2a b c a2bc+ − . b)

( )2 2 2a b c abc

+ − .

c) ( )2 2 22a b c abc+ − . d) ( )2 2 2

3

bc b c aa+ − .

e) ( )2 2 2c b c a

2ab+ − .

04.


a) 2. b) 3.

c) 4. d) 5.

e) 6.

05.

Três circunferências, de centros C1, C2, C3 e raios a, b, c respectivamente, são tangentes exteriores duas a duas. Considere que P é o ponto de tangência das circunferências de centros C2 e C3. Determine o valor de 1C P .

a) a(ab ac 4bc)b c

+ ++

.

b) b(ab ac 4bc)

b c+ +

+.

c) c(ab ac 4bc)

b c+ +

+.

d) a(ab ac 4bc)

a c+ +

+.

e) a(ab ac 4bc)a b

+ ++

.

06.

Calcular o lado de um triângulo equilátero cujos vértices estão situados respectivamente sobre três retas paralelas coplanares, sabendo que a e b são as distâncias da paralela intermediária às outras duas.

a) 2 2a ab b+ + .

b) 2 2a ab b

3+ + .

c) 2 2a ab b

23

+ + .

d) 2 22 a ab b+ + .

e) 2 22 a ab b

3+ + .

07.

Na figura a seguir, AM, BN e CP são paralelos. Podemos afirmar

que 1 1

AM BN+ é igual a

a) 1

CP. b) 2

CP.

c) 1

AB. d) 2

AB.

e) 1CP AB+

.

08.

No triângulo ABC, tem-se AB = 2. AC. Sejam D e E sobre AB e BC, respectivamente, tais que ˆˆBAE ACD= . Sendo F a interseção dos segmentos AE e CD, e supondo que o triângulo CFE é equilátero, o valor do ângulo ˆACB é:

a) 60°; b) 75°;

c) 90°; d) 105°;

e) 120°.

09. (OBM)

E e F são pontos do lado AB, do triângulo ABC, tais que AE = EF = FB. D é ponto da reta BC tal que BC é perpendicular a ED. AD é perpendicular a CF. Os ângulos BDF e CFA medem x e 3x, respectivamente. Calcule a razão DB

DC.

a) 92

. b) 72.

c) 3. d) 52

.

e) 32

.

10.

Seja o segmento de reta MQ e os pontos N e P sobre MQ, na ordem M, N, P, Q. Considere um ponto K não situado sobre a reta suporte de MQ . Suponha que: MN 2 NP 2 PQ d= ⋅ = ⋅ = e

ˆ ˆ ˆMKN NKP PKQ= = . Determine o valor numérico da relação hd

,

sendo h a distância do ponto K à reta suporte de MQ .

a) 12

. b) 22

.

c) 32

. d) 14

.

e) 34

.

MATEMÁTICA

254

11.

Seja P um ponto no interior do triângulo equilátero ABC tal que PA = 3, PB = 4 e PC = 5. Ache a medida do lado do triângulo ABC.

a) 25 12 3+ b) 25 12 3−

c) 16 15 3+ d) 9 20 3+

e) 20 3 3−

12.

Na figura abaixo BD = 1 cm, BC = 10 cm e BÂC = 30º. Calcule a medida de AB.

13. (AFA)

O valor de x2, na figura abaixo, é

a) 2

2 ab

4− . b)

4 2

2

a ab 4

− .

c) 2 4

2

b b4 a

− . d) 4

22

bb

4a− .

14. (ITA)Considere um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência. Se a base e a altura deste triângulo medem 8 cm, então o raio desta circunferência mede:a 3 cm; b) 4 cm;c) 5 cm; d) 6 cm;e) 3 2 cm.

15. (ITA)O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p. Nesse triângulo, a altura relativa à hipotenusa é:a) p 2 ; b) ( )(p 1) 3 1+ − ;

c) ( )p 2 1− ; d) ( )4p 2 1+ ;

e) ( )8p 2 4+ .

16. (ITA)Num triângulo acutângulo ABC, BC = 4cm, o ângulo C mede 30º e a projeção do lado AB sobre BC mede 2,5cm. O comprimento da mediana que sai do vértice A mede:a) 1 cm; b) 2 cm;c) 0,9 cm; d) 3 cm;e) 2 cm.

17. (ITA)

Num triângulo ABC, retângulo em A, temos B = 60º. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede, em centímetros:

a) 1 32

+ ; b) 1 3+ ;

c) 2 3+ ; d) 1 2 2+ ;

e) n.d.a.

18. (CN)

Em um triângulo os lados de medidas m e n são opostos, respectivamente, aos ângulos de 60º e 40º. O segmento da bissetriz do maior ângulo interno é dado por:

a) m n

mn+

; b) m n

nm+

;

c) n

mm n+

; d) m

nm n+

;

e) mn

.

01. (IME)

Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C são, respectivamente, os ângulos opostos aos lados b e c, o valor

de ˆtgBˆtgC

é:

a) 2 2 2

2 2 2

a b c ca b c b

− +⋅

+ −; b)

2 2 2

2 2 2

a b ca b c

+ −− +

;

c) 2 2 2

2 2 2

a b ca b c

− ++ −

; d) 2 2 2

2 2 2

a b c ca b c b

+ −⋅

− +;

e) bc

.

02. (ITA)

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo e, A, B e C os ângulos internos opostos, respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se que a, b, c nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo mede 15 cm e cosA cosB cosC 77

a b c 240+ + = , então sua área, em cm2, mede:

a) 15 74

; b) 4 53

;

c) 4 5

5; d)

4 77

;

e) 3 5

4.

255

MATEMÁTICA

255

03. (ITA)

Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio 5 2

3. Sabe-se que AB mede 2 5 e BC

mede 2 2 . Determine a área do triângulo ABC.

04. (ITA)

Considere o triângulo ABC de lados a BC= , b AC= e c AB= , e os ângulos internos ˆCABα = , ˆABCβ = e ˆBCAγ = . Sabendo-se que a equação 2 2 2x 2bx cos b a 0− ⋅ α + − = admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

a) α = 90°.

b) b = 60°.

c) g = 90°.

d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°.

e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

05. (ITA)

Num triângulo AOB, o ângulo AÔB mede 135° os lados AB e OB medem 2 cm e 2 – 3 cm, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C ( )B≠ .

a) Mostre que OÂB mede 15°.

b) Calcule o comprimento de AC.

06. (EFOMM)

Os lados de um triângulo ABC são tais que BC é a média aritmética de AC e AB , onde AC AB< . Os ângulos internos Â A , B e C desse triângulo possuem a seguinte propriedade:

2 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsen A sen B sen C 2 senA senB cosC cos C+ − − ⋅ ⋅ ⋅ = .

Se o perímetro do triângulo ABC mede 3 3 m , sua área, em m2, é igual a

a) 3 34

.

b) 34

.

c) 98

.

d) 2.

e) 4.

07.

Seja um triângulo equilátero ABC e um ponto P no seu interior tal que PA = 3, PB = 4 e PC = 5. O lado desse triângulo é igual a

a) 25 12 3+

b) 25 12 3−

c) 25 16 3+

d) 36 15 3+

e) 16 15 3+

noTaS

MATEMÁTICA

256

GABARITO

ExERCíCIOS DE AULA

01. B 02. E

03. D 04. C

05. A 06. C

07. D 08. C

09. B 10. E


01. C 02. B

03. A 04. D

05. A 06. C

07. A 08. C

09. B 10. C

11. A

12. AB 140 80 3 16,7 cm= + ≈

13. D 14. C

15. C 16. A

17. B 18. C

DESAFIO mIL

01. B 02. A

03. 6 04. E

05.

a) demonstração

b) 2 3 cm−

06. C 07. A

08. A

noTaS

1ª serie militar apostila matematica vol 1.pdf

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