1niezmienniki i przekrój w aksonometriicb - pdfmachine ...‚alnosc_naukowa... · 2 graficzny...

1

Graficzny Zapis Graficzny Zapis KonstrukcjiKonstrukcji

Opracowaù:dr inz. Krzysztof Polakowski

id10720078 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

Graficzny Zapis KonstrukcjiGraficzny Zapis Konstrukcji Podstawow¹ form¹ zapisu dokumentacji

technicznej trójwymiarowych obiektów materialnych tworz¹cych dan¹ konstrukcjê s¹gùównie pùaskie dwuwymiarowe rysunki zwane rzutami. Istotnym problemem jest zastosowanie takich metod odwzorowañ 3D obiektów przestrzennych na pùaszczyênie 2D, aby speùniaùy one nastêpuj¹ce warunki:

1) byùy jednoznaczne, tzn. przy ustalonej metodzie odwzorowania jednemu obiektowi przestrzennemu musi byã przypisany jeden rzut (lub jeden zespóùrzutów) i na odwrót - maj¹c jeden rzut (lub zespóùrzutów) powinni�my na jego podstawie móc odtworzyã dokùadnie ten sam odwzorowany obiekt w przestrzeni 3D;

3

Graficzny Zapis KonstrukcjiGraficzny Zapis Konstrukcji2) dawaùy mo¿liwo�ã restytucji, tzn. ¿e znaj¹c rzut (lub

zespóù rzutów) obiektu 3D powinni�my mieãmo¿liwo�ã dokonania analizy jego wùasno�ci geometrycznych (ksztaùtów geometrycznych, wymiarów itp.)

Istnieje wiele metod jednoznacznego odwzorowywania obiektów przestrzennych na pùaszczyznê. Jedna z nich nosi nazwê rzutowania �rodkowego. Wykorzystuje on aparat projekcyjnyrzutowania �rodkowego skùadaj¹cy siê z umieszczonych w 3D przestrzeni euklidesowej: pùaszczyzny zwanej rzutni¹ i wyznaczaj¹cego kierunek oraz niele¿¹cego na rzutni punktu wùa�ciwego S � tzw. �rodka rzutowania, z którego biegn¹ (tworz¹c pêk prostych) promienie rzutuj¹ce odwzorowuj¹ce w punktach przebicia z rzutni¹punkty przestrzeni przez które przebiegaj¹.

4

Rzutowanie Rzutowanie ÚÚrodkowerodkowe

Aparat projekcyjny rzutowania �rodkowego

5

Elementy Niewùa�ciwe Do trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej mo¿na

dodaã tzw. elementy niewùa�ciwe:1) ka¿da prosta posiada punkt niewùa�ciwy

uto¿samiany z kierunkiem tej prostej, a wiêc wszystkie proste równolegùe posiadaj¹ wspólny punkt niewùa�ciwy;

2) ka¿da pùaszczyzna zawiera prost¹ niewùa�ciw¹, bêd¹c¹ zbiorem punktów niewùa�ciwych wszystkich prostych le¿¹cych na tej pùaszczyênie lub równolegùych do tej pùaszczyzny; wszystkie pùaszczyzny równolegùe posiadaj¹ wspóln¹ prost¹niewùa�ciw¹, a prosta równolegùa do pùaszczyzny przebija te pùaszczyznê w punkcie niewùa�ciwym, le¿¹c¹cym na prostej niewùa�ciwej tej pùaszczyzny;

6

Elementy Niewùa�ciwe3) prosta niewùa�ciwa jest zbiorem samych tylko

punktów niewùa�ciwych; je¿eli do prostej nale¿y chocia¿ jeden punkt wùa�ciwy, to caùa ta prosta jest wùa�ciwa (posiada ona tylko jeden punkt wùa�ciwy); dwa ró¿ne punkty niewùa�ciwe jednoznacznie wyznaczaj¹ prost¹ niewùa�ciw¹;

4) do caùej przestrzeni 3D doù¹czyã mo¿na jedn¹pùaszczyznê niewùa�ciw¹, bêd¹c¹ zbiorem punktów niewùa�ciwych i prostych niewùa�ciwych wszystkich prostych i pùaszczyzn przestrzeni.

Trójwymiarowa przestrzeñ euklidesowa uzupeùniona elementami niewùa�ciwymi tworzy przestrzeñ rzutow¹.

7

Rzut Równolegùy Rzutem równolegùym nazywamy jednoznaczne

przeksztaùcenie geometryczne przestrzeni trójwymiarowej 3D na dwuwymiarow¹ 2D przy pomocy utworzonego w przestrzeni rzutowej aparatu rzutowania równolegùego - zbudowanego z pùaszczyzny zwanej rzutni¹ oraz nie nale¿¹cego do rzutni (nierównolegùego do rzutni ) punktuniewùa�ciwego uto¿samianego z kierunkiemrzutowania. Promienie rzutuj¹ce biegn¹c od punktu niewùa�ciwego bêd¹ wiêc ustawione do siebie równolegle a w punktach przebicia z rzutni¹ odwzorowaã bêd¹ one rzuty równolegùe punktów przestrzeni, przez które przebiegaj¹.

8

Rzut Równolegùy

Aparat rzutowania równolegùego

9

Rzut Równolegùy Rzutowanie �rodkowe i równolegùe realizuj¹

odwzorowania jednoznaczne obiektów przestrzeni 3D w figury pùaskie 2D le¿¹ce na rzutni, ale odwzorowania te nie s¹ jednoznaczne, a wiêc nie s¹ odwracalne.

Aparat rzutowania z doù¹czon¹ umowa o odwracalno�ci nazywamy rzutem stosowanym. W ramach tego wykùadu zapoznamy siê bardzo skrótowo z dwoma rodzajami rzutów stosowanych zbudowanych za pomoc¹ aparatu rzutowania równolegùego: aksonometriami i rzutami Monge�a. Poniewa¿ wiêcej czasu po�wiêcimy rzutom stosowanym równolegùym, to musimy w pierwszej kolejno�ci poznaã te wùasno�ci geometryczne obiektów przestrzennych, które zachowuj¹ siê w procesie tworzenia rzutów stosowanych i posùugiwania siê nimi, a wiec przysùugiwaã bêd¹ ich obrazom, czyli rzutom. Te wùasno�ci rzutowania nazywamy niezmiennikami rzutu równolegùego.

10

Niezmienniki Rzutu Równolegùego

1. Niezmiennik o zachowaniu wspóùliniowo�ci. Rzutem równolegùym prostej (a) w poùo¿eniu ogólnym

wzglêdem aparatu rzutowania jest prosta (a�). Je¿eli prosta l jest równolegùa do kierunku rzutowania kh

(przechodzi przez punkt niewùa�ciwy Kh ) to jej rzutem równolegùym jest punkt l�.

11


2. Niezmiennik o zachowaniu przynale¿no�ci elementów Rzut równolegùy punktu nale¿¹cego do zbioru

punktów (Aa) przynale¿y do rzutu równolegùego tego zbioru (A�a�). (Aa) (A�a�)

12


3. Niezmiennik o zachowaniu równolegùo�ci prostych . Rzutem równolegùym prostych równolegùych bêd¹cych

w poùo¿eniu ogólnym wzglêdem aparatu rzutowania (nieprzechodz¹cych przez punkt niewùa�ciwy Kh ) s¹proste równolegùe. (ab) (a�b�)

13


4. Niezmiennik o zachowaniu dùugo�ci odcinków równolegùych.

Dla ka¿dej pary odcinków równolegùych (lecz nierównolegùych do kierunku rzutowania) stosunek ich dùugo�ci jest równy stosunkowi dùugo�ci ich rzutów

''

''

DCBA

CDAB

14


5. Niezmiennik o zachowaniu stosunku podziaùu. Dla ka¿dej prostej przestrzeni nie przechodz¹cej przez

punkt niewùa�ciwy K , na której obrano odcinki o dùugo�ciach w okre�lonym stosunku ich rzut zachowa stosunek podziaùu.

''

''

CBCA

BCAC

15


6. Niezmiennik o zachowaniu dùugo�ci odcinków równolegùych do rzutni.

Dùugo�ã rzutu równolegùego ka¿dego odcinka równolegùego do rzutni jest równa dùugo�ci tego odcinka. AB=A�B�

16


7. Niezmiennik o zachowaniu miary k¹ta o obu ramionach równolegùych do rzutni.

Rzutem równolegùym k¹ta o obu ramionach równolegùych do rzutni jest k¹t o tej samej mierze. �=

17


8. Niezmiennik o zachowaniu zwi¹zków miarowych pùaszczyzn równolegùych do rzutni.

Dla ka¿dej figury pùaskiej F le¿¹cej w pùaszczyênie równolegùej do rzutni jej rzut F�(A�B�C�D�) jest figur¹przystaj¹c¹ do F(ABCD). F�(A�B�C�D�)= F(ABCD).

18

Rzuty Aksonometryczne Rzutem aksonometrycznym nazywamy

rzut stosowany - powstaùy przez dodanie do rzutu równolegùego umowy o równoczesnym rzutowaniu na rzutniê oprócz odwzorowywanego obiektu przestrzennego tak¿e osi 0, x, y, z (ukùadu kartezjañskiego) i odcinków jednostkowych na tych osiach, co pozwala na podstawie uzyskanego rzutu jednoznacznie odtworzyãte obiekty w przestrzeni. O tym, ¿e mo¿na tworzyã praktycznie dowolny ukùad aksonometryczny mówi twierdzenie Pohlke�go.

19

Rzuty Aksonometryczne

Rzut aksonometryczny. Liczby x, y, z

nazywamy stosunkami skrótów osi ukùadu. Rzut P� nazywamy aksonometria punktu P a rzut P�xy nazywamy aksonometri¹ rzutu prostok¹tnego Pxy punktu P na pùaszczyznê(x,y).

z

zz

y

yy

x

xx 01

'1'0,

01

'1'0,

01

'1'0

20

Rzuty Aksonometryczne Twierdzenie Pohlke�go: dla z góry zadanego w przestrzeni czworo�cianu

ABCD i z góry zadanego na rzutni czworok¹ta zupeùnego A1B1C1D1 mo¿na tak dobraã ustawienie rzutni i kierunek rzutowania równolegùego Kh, ¿e rzutem równolegùym czworo�cianu ABCD z kierunku Kh na rzutniê bêdzie czworok¹t zupeùny A1B1C1D1 podobny do z góry zadanego czworok¹ta zupeùnego A1B1C1D1 .

Czworok¹t zupeùny to geometryczna figura pùaska, której wierzchoùkami s¹ cztery dane punkty, za� bokami (6) s¹wszystkie odcinki powstaùe przez ù¹czenie par punktów tej czwórki.

Z twierdzenia Pohlke�go wynika, ¿e osie ukùadu wspóùrzêdnych prostok¹tnych przestrzeni mog¹ rzutowaã siêna dowolne wspóùpêkowe proste rzutni a stosunki skrótów mog¹ byã dowoln¹ trójk¹ rzeczywistych dodatnich liczb x, y, z czyli,¿e mo¿na dowolnie dobraã ukùad aksonometryczny.

21


Nale¿y zauwa¿yã, ¿e punkt 0 i koñce odcinków jednostkowych osi 1x, 1y, 1z na poprzednim rysunku tworz¹ równie¿ w przestrzeni czworo�cian 01x1y1z, który w rzucie aksonometrycznym jest rzutowany jako czworok¹t zupeùny 0�1� 1� 1� na rzutni

22

Rzuty Aksonometryczne Poniewa¿ twierdzenie Pohlke�go daje peùn¹

swobodê w sposobie wyboru rzutu aksonometrycznego, to mo¿na byùoby stworzyã dowolny ukùad aksonometryczny. W praktyce in¿ynierskiej najpowszechniej stosowane s¹ cztery ukùady aksonometrii uko�nej (w których kierunek rzutowania równolegùego jest uko�ny wzglêdem rzutni): aksonometria izometryczna, dimetriakawalerska, dimetria wojskowa i dimetriaprawieprostokatna.

23

Rzuty Aksonometryczne Aksonometria izometryczna

Osie ukùadu wspóùrzêdnych 0 (x, y, z) rzutuj¹ siê na trzy wspóùpêkowe proste 0�(x�y�z�)tworz¹ce miêdzy sob¹ k¹ty po 120o. Stosunki skrótów osi s¹ równe i z dokùadno�ci¹ do podobieñstwa mo¿na je przyj¹ã x=y=z=1

24


Aksonometria izometryczna P� punktu P

25

Rzuty Aksonometryczne Dimetria kawalerska

Rzuty osi y i z ustawione s¹ pod katem prostym a stosunki skrótów na tych osiach przyjmujemy y=z=1. Zgodnie z niezmiennikami (6i7) rzutowania pùaszczyzna (y�,z�) ustawiona jest wiêc równolegle do rzutni i bêd¹ w niej oraz wszystkich pùaszczyznach do niej równolegùych zachowane zwi¹zki miarowe pùaszczyzny (y,z) oraz pùaszczyzn do niej równolegùych. Rzut osi x nachylony jest pod k¹tem 135o do y� i z� a skróty wynosz¹ na niej x=0.5

26


Dimetria kawalerska P� punktu P (ukùad prawoskrêtny) oraz rury walcowej o danych wymiarach (dùugo�ã, �rednica zewnêtrzna i wewnêtrzna) z wyciêt¹ ãwiartk¹ rury

27

Rzuty Aksonometryczne Dimetria wojskowa

Rzuty osi x i y ustawione s¹ pod katem prostym a stosunki skrótów na tych osiach przyjmujemy x=y=1. Zgodnie z niezmiennikami (6i7) rzutowania pùaszczyzna (x�,y�) ustawiona jest wiêc równolegle do rzutni i bêd¹ w niej oraz wszystkich pùaszczyznach do niej równolegùych zachowane zwi¹zki miarowe pùaszczyzny (x,y) oraz pùaszczyzn do niej równolegùych. Rzut osi z nachylony jest pod k¹tem 135o do x� i y� a skróty wynosz¹ na niej z=0.5

28


Dimetria wojskowa: jej osie i skróty oraz dimetria wojskowa bryùy przestrzennej o okre�lonych wymiarach

29

Rzuty Aksonometryczne Dimetria prawieprostok¹tna

Rzut z� osi z przyjmujemy pionowo w pùaszczyênie rysunku (rzutni). Z punktu 0� nale¿¹cego do z�kre�limy prost¹ prostopadù¹ do z� i odmierzamy na niej osiem odcinków o tej samej dùugo�ci m. Przez punkt 8 wyznaczaj¹cy koniec ostatniego ósmego odcinka kre�limy prost¹ równolegù¹ do z� i odmierzamy na niej w dóù odcinek o dùugo�ci m, za� w górê siedem takich samych odcinków. £¹czymy otrzymane punkty (-1) i 7 tej prostej z punktem 0�. Póùprosta 0�(-1) jest rzutem dodatniej póùosi 0y, póùprosta 0�7 � rzutem ujemnej póùosi 0x. Przyjmujemy stosunki skrótów: y=z=1 oraz x=2/3. Taki ukùad aksonometryczny nazywamy dimetri¹ prawieprostok¹tn¹.

30


Dimetria prawieprostok¹tna

31

Rzuty Aksonometryczne Wykre�lanie odcinków uwzglêdniaj¹c stosunek skrótu

x=2/3 W dimetrii prawieprostok¹tnej istnieje konieczno�ã

skracania wymiarów obiektów (o dùugo�ci a) równolegle ustawionych do osi x� w stosunku x=2/3. Dla osi¹gniêcia tego celu korzystne jest stworzenie trójk¹ta skrótów dla skrótu w stosunku 2/3. W celu jego stworzenia na dowolnie przyjêtej póùprostej 0m odmierzamy trzy równe odcinki i zakre�lamy z punktu 0 okr¹g promieniem równym dùugo�ci tych odcinków. Nastêpnie z punktu 3 póùprostej 0m zakre�lamy okr¹g promieniem równym dùugo�ci dwóch odcinków. Przez punkt N przeciêcia ùuków tych okrêgów kre�limy póùprosta 0n. W celu skrócenia dowolnego odcinka a w stosunku 2/3 zakre�lamy okr¹g o �rodku 0 i promieniu a. Ciêciwa tego okrêgu wyciêta przez póùproste 0m i 0n jest odpowiednim skrótem odcinka a. (Dowód konstrukcji wynika z wùasno�ci trójk¹tów podobnych.)

32


Wyznaczanie odcinka o dùugo�ci (2/3)a

33

Rzuty Aksonometryczne Do wykre�lania w aksonometrii przekrojów bryù

pùaszczyznami przydatne jest twierdzenie o punkcie wspólnym trzech pùaszczyzn:

trzy pùaszczyzny nie tworz¹ce pêku pùaszczyzn maj¹ jeden punkt wspólny w miejscu, gdzie spotykaj¹ siê krawêdzie przeciêcia siê parami tych pùaszczyzn (np. pocz¹tek ukùadu kartezjañskiego);

w przypadku pêku pùaszczyzn maj¹ one jedn¹wspóln¹ prost¹ (krawêdê przeciêcia siê pêku pùaszczyzn).

Zadanie 1: wykre�liã w dimetrii kawalerskiej przekrój bryùy w postaci sze�cianu z wyciêt¹ ¼pùaszczyzn¹ okre�lon¹ trójk¹niewspóùliniowych punktów (P,Q,R)

34


1.2 Przez punkty P,Q i P,R oraz ich prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y) prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I, II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê

GH

E

P'

Q'

F

R'

B

DC

A R'Q'

P' xyxy

xy

z'

y'

x'

b

bxy

a

a xy

k = 1I'

II'

= (P' Q' R')

= (A B C D)

= (B C G F)

35


1.3 Prostak nie przecina krawêdzi bryùy. Przedùu¿amy doln¹ krawêdê bryùy do przeciêcia z prost¹ k w punkcie III, który ù¹czymy z R. Uzyskujemy punkty 1 i 2. Punkty te ù¹czymy z Q i R (dalsze punkty przekroju: 3, 4)

P'

Q'

R'

R'Q'

P' xyxy

xy

z'

y'

x'

k = 1

2'

1'

K3

III' I'

II'

k = 1k = 1k k = III'1k = 3

k III'3

2

Twierdzenie o punkcie wspólnym trójki pùaszczyzn

36


1.4

P'

Q'

R'

R'Q'

P' xyxy

xy

z'

y'

x'

k = 1

2'

1'

K3

III' I'

K (P' 1')G x

K K4 1K K5 3

3'

4'

37


1.7 Pùaszczyznê przekroju ogranicza wielok¹t 1234 a bryùêpo obciêciu pùaszczyzn¹ (P,Q,R)przedstawiono z prawej strony rysunku.

P'

Q'

R'

R'Q'

P' xyxy

xy

z'

x'

2'

1'

3'

4'

y'

P'

Q'

R'

R'Q'

P' xyxy

xy

z'

x'

2'

1'

3'

4'

y'

38


1.1 Zaùo¿enia do zadania: dimetriakawalerska sze�cianu z wyciêt¹ ¼ i pùaszczyzny przekroju (P,Q,R) oraz rzutów prostok¹tnych punktów (P,Q,R) na pùaszczyznê (x,y)

39


1.2 Przez punkty P,Q i P,R oraz ich prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y) prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I, II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê

40


1.3 Prostak przecina krawêdzie bryùy w punktach 1i2. Punkty te ù¹czymy z Q i R (dalsze punkty przekroju: 3, 4)

41


1.4 Przedùu¿aj¹c prost¹ k do przeciêcia z osi¹ x uzyskujemy punkt 5. £¹czymy punkty 5 i 3 � prosta ta przecina górn¹ krawêdê bryùy w punkcie 6, który ù¹czymy z P i uzyskujemy punkt 7.

42


1.5 Przedùu¿aj¹c pionowe krawêdzie �cianki bocznej do przeciêcia z krawêdziami bryùy przy podstawie uzyskujemy punkty 8 i 9. Prosta ù¹cz¹ca te punkty przecina prost¹ k w punkcie 10.

43


1.6 Prosta ù¹cz¹ca punkty 10 i 7 przecina krawêdê bryùy w punkcie 8, który mo¿emy poù¹czyã z punktem 4. Uzyskany wielok¹t 1,3,6,7,11,4,2,1 stanowi rozwi¹zanie zadania.

1niezmienniki i przekrój w aksonometriicb - pdfmachine ...‚alnosc_naukowa... · 2 graficzny...

Documents