1º eso - unidades 11,12 y 13

11 FORMAS GEOMÉTRICAS

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Dos puntos determinan una recta.

a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar con un solo punto?

b) ¿Cómo son las rectas que pasan por ese punto?

a) Tantas como se quiera.

b) Secantes, porque se cortan todas en ese punto.

Dibuja dos rectas paralelas a la recta r que pasen por los puntos A y B.

La medida de un ángulo Ap es 49� 45� y la de otro ángulo Bp es 130� 4�. ¿Son suplementarios losángulos Ap y Bp?

Ap � Bp � 49� 45� � 130� 4� � 179� 49� � 180� ⇒ Ap y Bp no son suplementarios.

La medida del ángulo Ap es 50� 30�.

a) Halla el complementario de Ap.

b) ¿Cuánto mide el suplementario de Ap?

a) El complementario de Ap es: 90� � Ap � 90� � 50� 30� � 39� 30�.

b) El suplementario de Ap es: 180� � Ap � 180� � 50� 30� � 129� 30�.

11.4

11.3

11.2

11.1

A

B r

A

B

r


Halla los valores de los ángulos que faltan.

Bp � 120� por ser opuestos por el vértice.

Ap es el suplementario de 120�; por tanto: Ap � 180� � 120� � 60�.

Cp � Ap � 60� por ser opuesto a Ap por el vértice.

Calcula los ángulos que faltan.

Llamamos Cp al ángulo que mide 45�.

Bp y Cp son ángulos agudos y tienen lados paralelos dos a dos, luego Bp � Cp � 45�.

Ap y Cp tienen lados paralelos dos a dos; Ap es un ángulo obtuso, y Cp, un ángulo agudo, luego son suplementarios,Ap � 180� � Cp � 135�

Identifica en la figura los elementos de la circunferencia que aparecen marcados en rojo. Si el radio mide1,5 centímetros, ¿cuánto mide el diámetro?

Como d � 2 � r � 2 � 1,5 � 3 cm

El diámetro mide 3 cm.

11.7

11.6

11.5

A120º

BC

A

45ºB

B

A

O

B

A

O

Radio

Cuerda


Dibuja un círculo de 5 centímetros de diámetro y dos radios que formen ángulo recto. ¿Qué figura cir-cular resulta?

La figura resultante es un sector circular.

Dibuja un círculo de 2 centímetros de radio y una circunferencia de 3 centímetros de diámetro con elmismo centro. ¿Qué figura circular resulta entre ambos?

Resulta una corona circular.

Indica la posición relativa de esta circunferencia y cada una de las rectas.

Rectas exteriores: q y r

Rectas secantes: s y t

Rectas tangentes: p y u

El radio de una circunferencia mide 3 decímetros. La distancia de una recta al centro de la circunfe-rencia es 4 decímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Como la distancia de la recta al centro, 4 dm, es mayor que el radio, 3 dm, son exteriores.

11.11

11.10

11.9

11.8

O 5 cm

O

1,5 cm2 cm

s

t

q r

up


¿Cómo son una recta y una circunferencia si la longitud del radio de la circunferencia es de 7 centí-metros y la distancia de su centro a la recta es 10 centímetros?

Como la distancia de la recta al centro, 10 cm, es mayor que el radio, 7 cm, son exteriores.

El radio de una circunferencia mide 4 centímetros. Si la distancia de su centro a una recta es 4 centí-metros, ¿cuál es su posición relativa?

La distancia de la recta al centro, 4 cm, es igual que el radio, 4 cm; por tanto, son tangentes.

Indica la posición relativa de estas circunferencias.

¿Cómo son dos circunferencias si sus radios miden 14 y 10 centímetros, respectivamente y la distanciaentre sus centros es 3 centímetros?

Como la distancia entre los centros, 3 cm, es menor que la diferencia de los radios, 14 � 10 � 4 cm, las circunferencias soninteriores.

Los radios de dos circunferencias miden 4 y 6 centímetros, respectivamente. La distancia entre sus centroses de 2 centímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Como la distancia entre los centros, 2 cm, es igual a la diferencia de los radios, 6 � 4 � 2 cm, las circunferencias sontangentes interiores.

Traza las mediatrices de dos segmentos paralelos de 4 y 6 centímetros de longitud.11.17

11.16

11.15

11.14

11.13

11.12

A B

6 cm

C D

4 cm

Tangenteexterior

Tangenteinterior

Secante

Interior


La distancia del punto A al punto M es 2,5 centímetros. Si M es el punto medio del segmento AB,¿cuánto mide el segmento AB?

Por ser M el punto medio del segmento AB, la distancia del punto M al punto B es igual que la distancia del punto A alpunto M.Por tanto, el segmento AB mide: distancia AB � distancia AM � distancia MB � 2 � distancia AM � 2 � 2,5 � 5 cm.

Dibuja un segmento vertical de 7 centímetros de longitud.

a) Traza su mediatriz utilizando regla y compás.

b) Comprueba que el punto de corte de la mediatriz con el segmento es su punto medio.

a)

b) Con la regla se comprueba que la distancia del punto M a A y de M a B es de 3,5 cm.

Traza la bisectriz del siguiente ángulo utilizando regla y compás.

¿Cuánto miden los dos ángulos en que la bisectriz divide un ángulo recto?

Como los divide en dos ángulos iguales, cada uno mide: 920� � 45�.

Se traza la bisectriz de un ángulo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que se forman?

Cada uno mide: 18

20� � 90�

11.22

11.21

11.20

11.19

11.18

A

B

35º

35o


Dibuja la bisectriz de los siguientes ángulos.

a) Un ángulo obtuso.b) Un ángulo cóncavo.

a) b)

Calcula la medida del ángulo central Ap en los siguientes casos.

a) b)

a) Ap � 360� � (160� � 95�) � 105� b) Ap � 360� � (30� � 130� � 97�) � 103�

El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Dibuja un arco de 90� y su ángulo central.

Al ser el radio la mitad del diámetro, este mide: r � 62

� 3.

La medida de un arco es la misma que la de su ángulo central correspondiente; por tanto, hay que dibujar un ángulo centralde 90�.

11.25

11.24

11.23

90o

3 cmO

160ºA

95º 130º

A

97º30º

B

A


Las circunferencias de los dibujos se han dividido en partes iguales. Determina la medida de los arcosque se indican.

a) b)

a) Como la circunferencia mide 360�, si se divide en 5 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: 36

50� � 72�. El arco

correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 72�.

Como el arco AB abarca dos de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide 2 � 72� � 144�.

b) Como la circunferencia mide 360�, si se divide en 6 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: 36

60� � 60�. El arco

correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 60�.

Como el arco AB abarca dos de las 6 partes de la circunferencia, el arco mide 2 � 60� � 120�.

En una semicircunferencia, ¿cuánto miden el ángulo central y su arco correspondiente?

El ángulo central mide 180�.

El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 180�.

La circunferencia se ha dividido en arcos iguales. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito Ap?

Como la circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, cada uno de ellos mide: 36

50� � 72�

El arco que abarca Ap es 3 de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide: 3 � 72� � 216�

El ángulo inscrito Ap mide la mitad del arco que abarca: Ap � 21

26� � 108�

11.28

11.27

11.26

B

A

O

AO

A

B

O


Cuánto mide el ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia?

Como la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que abar-ca y esta coincide con la medida del ángulo central, 180�, por ser una semicircunferencia,obtenemos:

Ap � 18

20� � 90�

El ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia mide 90�.

Un ángulo inscrito está formado por dos semirrectas tangentes. Con ayuda de un dibujo, calcula cuántovale el ángulo central correspondiente.

La medida del ángulo inscrito, 180�, es igual a la mitad de la medida del arco que abarca,360�; por tanto, la medida de un arco es la misma que la de un ángulo central.

El ángulo central mide 360�.

El radio de una circunferencia mide 9 centímetros. ¿Cuál es la longitud de esa circunferencia?

La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r � 2 � 3,14 � 9 � 56,52 cm

En un campo de fútbol, el radio del círculo central mide 9,15 metros. Calcula la longitud de la circun-ferencia que hay que pintar.

La longitud de la circunferencia que hay que pintar es: L � 2 � � r � 2 � 3,14 � 9,15 � 57,46 m

El radio de una circunferencia mide 6 centímetros. ¿Cuál es la longitud de un arco de 120�?

Larco de 120� � 2 �

36�0r�

� n� �

2 � 3,1436

�06�

� 120� � 12,56 cm

La longitud de un arco de 120� y radio 6 cm es 12,56 cm.

El diámetro de una circunferencia mide 8 decímetros. ¿Cuál es la longitud de un arco de 85�?

r � d2

� 4 dm ⇒ Larco de 85� � 2 �

36�0r�

� n� �

2 � 3,1346�0�

4 � 85� � 5,93 dm

11.34

11.33

11.32

11.31

11.30

11.29

A

O

A

O


R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

Sobre una recta dada, construye un ángulo de 45�.

Sobre una recta dada, construye un ángulo de 120�.11.36

11.35

Se fijan dos puntos A y B en larecta r.

Se traza una rectaperpendicular a r por B.

Con centro en B, se lleva ladistancia AB sobre laperpendicular a r.

El ángulo CAB mide 45�, porqueel triángulo ABC es isóscelesrectángulo.

BAr

BAr

BAr

C

BAr

45o

C

BAr

BAr

BAr

60o

C

BAr

120o

C

Se fijan dos puntos A y B enla recta r.

Con centro en A, se trazaun arco de radio AB, y concentro en B, se traza unarco de radio AB.

Se determina el punto C.El ángulo CABq mide 60º,porque el triángulo ABCes equilátero.

El ángulo suplementariode Ap mide 120º.


C Á L C U L O M E N T A L

Calcula la medida de los ángulos en que la bisectriz divide a cada uno de los siguientes.

a) 40� b) 120� c) 180� d) 210�

La bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales:

a) 420� � 20� b)

1220� � 60� c)

1820� � 90� d)

2120� � 105�

Calcula la medida del ángulo central cuando el ángulo inscrito en una circunferencia mide:

a) 30� b) 50� c) 60� d) 80�

La medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito.

a) 2 � 30� � 60� b) 2 � 50� � 100� c) 2 � 60� � 120� d) 2 � 80� � 160�

Elige y razona la respuesta. El ángulo Ap de la figura mide:

a) 30� b) 15� c) 60� d) 10�

El ángulo Ap, por ser inscrito, tiene como medida la mitad del arco que abarca: Ap � 620� � 30�.

Calcula la longitud de una semicircunferencia de 2 centímetros de diámetro.

Se calcula la longitud de una circunferencia y la dividimos por 2.

r � d2

� 1 cm ⇒ Lcircunferencia � 2 � � r � 2 � 3,14 �1 � 6,28 cm

Lsemicircunferencia � Lcircun

2ferencia �

6,228 � 3,14 cm

¿Cuánto mide el complementario de 60�?

a) 120� b) 90� c) 180� d) 30�

Dos ángulos son complementarios si suman 90�; por tanto, el complementario de 60� es el del apartado d, 30�.

Halla el valor de los ángulos Bp y Dp de la figura.

Bp es opuesto por el vértice a 160�. Entonces, Bp � 160�.

Dp es opuesto por el vértice a 20�. Entonces, Dp � 20�.

11.42

11.41

11.40

11.39

11.38

11.37

A

60ºO

B

160º

20º D


Un alumno dice que los ángulos Ap, Bp y Cp son iguales. ¿Por qué?

Son iguales por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco.

En un segmento de 10 decímetros de longitud se traza la mediatriz. ¿Cuánto mide cada una de las partesque resultan?

La mediatriz pasa por el punto medio, así que divide el segmento en dos partes iguales. Cada una mide 5 cm.

11.44

11.43

O

AC

M N

B


E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

Ángulos

Clasifica los siguientes ángulos.

a) c)

b) d)

a) Obtuso y convexo. c) Obtuso y cóncavo.

b) Agudo y convexo. d) Obtuso y convexo.

Calcula, cuando sea posible, el complementario y el suplementario de:

a) Ap � 25� 15� b) Cp � 108� c) Bp � 34� 37� d) Dp � 89� 30�

a) Complementario: 90� � Ap � 90� � 25� 15� � 64� 45�

Suplementario: 180� � Ap � 180� � 25� 15� � 154� 45�

b) Complementario: No se puede calcular porque es el ángulo que hay que sumar a Cp para obtener 90� y Cp es mayor de 90�.Suplementario: 180� � Cp � 180� � 108� � 72�

c) Complementario: 90� � Bp � 90� � 34� 37� � 55� 23�

Suplementario: 180� � Bp � 180� � 34� 37� � 145� 23�

d) Complementario: 90� � Dp � 90� � 89� 30� � 30�

Suplementario: 180� � Dp � 180� � 89� 30� � 90� 30�

Si Ap es un ángulo agudo y Bp es obtuso, ¿pueden sumar 90�? ¿Por qué?

Porque Bp, al ser obtuso, ya mide más de 90�.

11.47

11.46

11.45


Ángulos iguales

Dibuja dos ángulos iguales a Ap utilizando ángulos de lados paralelos.

Calcula los ángulos que faltan en la figura.

Se considera Ap � 80�.

Bp � 80�, por ser opuesto a Ap por el vértice.

Cp es el suplementario de Bp, entonces: Cp � 180� � Bp � 180� � 80� � 100�

Dp � Cp � 100� por ser Dp y Cp opuestos por el vértice.

Con el valor de uno de los ángulos de la figura, calcula el valor del resto.

Se considera Ap � 75�.

Bp � 75� por ser Ap y Bp opuestos por el vértice.

Ep y Fp son ángulos agudos y de lados paralelos a Bp. Por tanto, Ep � Fp � Bp � 75�.

Cp es el suplementario de 75�, entonces: Cp � 180� � 75� � 105�.

Dp � Cp � 105� por ser Dp y Cp opuestos por el vértice.

Gp es el suplementario de Ep � 75�, entonces: Gp � 180� � 75� � 105�.

Hp � Gp � 105� por ser Gp y Hp opuestos por el vértice.

11.50

11.49

11.48

C

D

B80º

A

B

C

C

D

B 75ºG

H

EF


Posiciones de rectas y circunferencias

¿Cuál es la posición relativa de una recta situada a 8 centímetros de una circunferencia de 6 centímetrosde radio?

Como la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de la misma, la recta es exterior a la cir-cunferencia.

Dibuja dos circunferencias tangentes interiores y una recta tangente a ambas.

Traza una circunferencia de 0,2 decímetros de radio y dos rectas tangentes a ella y paralelas entre sí.

r � 0,2 dm � 2 cm

Si el centro de una circunferencia está sobre otra circunferencia, ¿cuál es la posición relativa de las doscircunferencias?

Las dos circunferencias resultan secantes.

11.54

11.53

11.52

11.51

2 cmO

r

s

r

6 cm

O

r

8 cm

C1

C2


Dos circunferencias tienen de radio 6 y 8 centímetros, respectivamente.

a) ¿Cuál es su posición relativa si la distancia entre los centros es 14 centímetros?

b) ¿Y si fuera 10 centímetros?

a) b)

Tangentes exteriores Secantes

Mediatriz y bisectriz

Calcula el ángulo Ap de la figura.

La bisectriz divide Ap en dos ángulos iguales de 35� 27�; entonces: Ap � 2 � 35� 27� � 70� 54�.

Traza las bisectrices de los ángulos Ap y Bp y di qué observas.

Las bisectrices de los dos ángulos coinciden en la misma recta.

11.57

11.56

11.55

6 cm 8 cm

14 cm

6 cm 8 cm

10 cm

A

Bisectriz

35º 27’

A

B

A

B


Traza las mediatrices de los segmentos AC y BD y di qué observas.

La mediatriz del segmento DB contiene el segmento AC.La mediatriz del segmento AC contiene el segmento DB.

En la siguiente figura, r es la mediatriz del segmento AB. Halla B.

Para obtener B hay que prolongar el segmento que une A con M, y con un compás se traza el arco, con centro M y radio MA.El punto obtenido de la intersección del arco con la recta que contiene AM es B.

Ángulos centrales y ángulos inscritos

Calcula los ángulos Ap y Bp de las siguientes figuras.

a) b)

La medida del ángulo central es el doble del arco que abarca el ángulo inscrito correspondiente.

a) Ap � 2 � 55� � 110�

b) Bp � 2 � 75� � 150�

11.60

11.59

11.58

A55º

B

75º

B

A

rM

r

A

A

D

C

B

BD

A

C


Halla el valor del ángulo central Ap utilizando los datos de cada figura.

a) b)

a) Ap � 360� � 120� � 80� � 160�

b) Ap � 360� � 42� � 49� � 120� � 72� � 77�

Determina la medida de los siguientes ángulos inscritos, sabiendo que la circunferencia se ha divididoen partes iguales.

a) b)

a) La circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, luego miden: 36

50� � 72�

Como Ap es inscrito y abarca el arco de 72�, mide la mitad de este: Ap � 722� � 36�

b) Esta circunferencia se ha dividido en 9 arcos iguales, luego miden: 36

90� � 40�

Como Ap es inscrito y abarca un arco de 40�, mide la mitad de este: Ap � 420� � 20�

Los seis arcos en los que se ha dividido la circunferencia son iguales. Calcula los ángulos inscritos,Ap, Bp, Cp, Dp, Ep y Fp.

Los seis arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego cada arco mide: 36

60� � 60�

Según los arcos que abarca cada ángulo y teniendo en cuenta que al ser inscritos, equivalen a la mitad de ese arco, se obtiene:

Ap � 2 �

260� � 60� Bp �

3 �

260� � 90� Dp �

4 �

260� � 120� Ep �

2 �

260� � 60� Fp �

620� � 30�

11.63

11.62

11.61

A

A

80º

120º

A

120º

42º

49º72º

A

B

F

E

D

A


Longitud de circunferencia y arcos

Calcula la longitud de una circunferencia:

a) De 7 centímetros de radio.

b) De 18 decímetros de diámetro.

c) Si un arco de 90� mide 1,57 metros.

a) La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r � 2 � � 7 = 43,96 cm

b) La longitud de la circunferencia es: L � � d � � 18 = 56,52 dm

c) Si se conoce la longitud de un arco de 90�, se sabe la longitud de 14

de la circunferencia, puesto que 36

40� � 90�.

Entonces, la longitud de la circunferencia es: L � 4 � 1,57 ⇒ L � 6,28 m

El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Determina el valor de la longitud de un arco conlos siguientes grados.

a) 30� b) 120� c) 45� d) 90�

a) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 30� � 1,57 cm

b) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

�120� � 6,28 cm

c) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 45� � 2,36 cm

d) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 90� � 4,71 cm

11.65

11.64


P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

Se quiere forrar el borde de una mesa circular de 90 centímetros de diámetro. ¿Cuántos metros de ma-terial se necesitan?

Se necesitan: L � 2 � � r � 2 � � 45 � 282,6 cm � 2,83 metros de material.

Los compañeros de Ismael tienen que calcular en cuántas partes iguales ha dividido una circunferenciasabiendo que el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45�.

Como el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45�, al dividir 360� entre 45� debe darnos el número de partes.

Por tanto, la circunferencia se ha dividido en: 34650�

� � 8 partes.

Calcula los ángulos Bp y Cp indicados de la siguiente figura.

El ángulo Bp es inscrito; por tanto, mide la mitad del central: 524� � 27�

El arco correspondiente al ángulo Cp es el suplementario de 54�, es decir, 180� � 54� � 126�

El ángulo Cp es inscrito, luego su medida es: 12

26� � 63�

Rosa y Luis quieren dibujar en el suelo dos circunferencias tangentes exteriores de 3 y 8 centímetrosde diámetro. Si ellos se sitúan en el centro, ¿a qué distancia deben colocarse uno del otro?

Para que sean tangentes, solo deben tener un punto común, y eso sólo es posible cuando la distancia entre los centros es iguala la suma de los radios.

Por tanto, Rosa y Luis deben situarse a 1,5 � 4 � 5,5 cm de distancia.

11.69

11.68

11.67

11.66

4 cm

1,5 cm

C1

C2

O

54º

C

B


Copia la figura y construye a partir de ella los ángulos inscritos cuyas medidas son las siguientes.

a) 18� b) 36� c) 54� d) 72�

El arco de cada división mide: 31600� � 36�

Luego basta construir ángulos inscritos que abarquen 1, 2, 3 y 4 divisiones, respectivamente.

Si consideramos el ángulo inscrito que abarca: 1 división: 36�

2� 1 �

326� � 18�

2 divisiones: 36�

2� 2 �

722� � 36�

3 divisiones: 36�

2� 3 �

1028� � 54�

4 divisiones: 36�

2� 4 �

1424� � 72�

Observa la báscula de la figura.

a) ¿Qué ángulo recorre la aguja al pasar de unkilogramo a otro?

b) ¿Y cuando recorre 100 gramos?

a) Ángulo recorrido al pasar de un kilogramo a otro: 31620� � 30�

b) Como un kilogramo equivale a 10 veces 100 g, el ángulo que recorre la aguja en este caso es: 3100�

� 3�

¿Cuánto mide el borde de la tapa de una cacerola de aluminio de 24 centímetros de diámetro?

Las cacerolas tienen formas circulares. Por tanto, su tapa es un círculo, y el borde de esta, una circunferencia.

El borde mide: L � � d � � 24 � 75,36 cm

11.72

11.71

11.70

72o

54o

36o

18o


En la noria de la figura, ¿a qué distancia se encuentra cada cestillo si el diámetro de la noria es de 75centímetros?

Si la noria tiene 6 cestillos y están todos a la misma distancia, el ángulo central que abarca dos cestillos consecutivos

mide: 36

60� � 60�.

Como el radio es la mitad del diámetro, r � 725 � 37,5 cm

La longitud del arco que hay entre un cestillo y otro es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 � �

33670,�

5 � 60� � 39,25 cm

Calcula la diferencia entre las longitudes de las circunferencias de las monedas de 20 céntimos de euroy 50 céntimos de euro. Indica cómo has hallado los datos que necesitas para ello.

Para poder calcular las longitudes hay que hallar primero el diámetro de cada una de las monedas.

El diámetro de la moneda de 0,20 € es 22,25 mm y el de la moneda de 0,50 € es 24,25 mm.

Sus longitudes son: L0,20 € � � d � � 22,25 = 69,87 mm

L0,50 € � � d � � 24,25 = 76,15 mm

La diferencia entre las longitudes es: L0,50 € � L0,20 € � 76,15 � 69,87 � 6,28 mm

Un relojero quiere construir un reloj de esfera circular de 8 decímetros de diámetro.a) ¿Cuánto miden los ángulos centrales que se forman al unir el centro de la circunferencia con cada

uno de los números que marcan la hora?b) ¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia que une cada número con el siguiente?

a) En el reloj hay que poner 12 números, así que habrá 12 ángulos centrales.

Cada uno de ellos medirá: 31620� � 30�

b) La longitud del arco de circunferencia que le corresponde a cada ángulo de 30� es:

L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

604�

� 30� � 2,09 dm

El radio de la rueda de un remolque mide 60 centímetros. ¿Cuánto mide la longitud de la huella quedeja en el suelo en una vuelta?

La longitud de la huella de la rueda es: L � 2 � � r � 2 � � 60 � 376,8 cm � 3,8 m

El ecuador terrestre tiene 40 000 kilómetros de longitud aproximadamente. Si suponemos que la Tie-rra es una esfera perfecta, ¿cuánto mide el radio de la Tierra?

La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r

40 000 � 2 � � r ⇒ 40 000 � 6,28 � r ⇒ r � 460,02080

� 6 369,43 km

El radio mide 6 369,43 km.

11.77

11.76

11.75

11.74

11.73


R E F U E R Z O

Posiciones relativas

El radio de una circunferencia mide 1 centímetro y el diámetro de otra mide 50 milímetros. La distan-cia entre sus centros es 3,5 centímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Las circunferencias son tangentes exteriores porque la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

Junto a dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 6 centímetros, respectivamente, se dibuja unarecta a una distancia del centro de 3 centímetros. ¿Qué posición tiene la recta respecto a cada una delas circunferencias?

La situación del problema queda reflejada en la figura.

La recta es exterior a la circunferencia de 2 cm de radio y secante a la circunferencia de 6 cm de radio.

Mediatriz y bisectriz

Traza dos rectas secantes que se corten formando un ángulo de 90� y las bisectrices de los 4 ángulosformados.

11.80

11.79

11.78

Bisectriz

Bisectriz

r1

r2

6 cm

2 cm3 cm

1 cm 2,5 cm

3,5 cm


En un círculo de 10 centímetros de diámetro se considera un sector circular de 90� y su cuerda corres-pondiente. ¿Qué relación existe entre la bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda?

La bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda coinciden.

Ángulos: iguales, centrales e inscritos

¿Son iguales el complementario de 32� 40� y el suplementario de 147� 20�?

Complementario de 32� 40�: 90� � 32� 40� � 57� 20�

Suplementario de 147� 20�: 180� � 147� 20� � 32� 40�

No son iguales porque no miden lo mismo.

¿Cómo son y cuánto miden los arcos que abarcan un ángulo central de 75� y un ángulo inscrito de 37� 30�?

El arco que abarca el ángulo central mide lo mismo que él. Por tanto, es de 75�.

El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida. Entonces es de 2 � 37� 30� = 75�.

Los dos miden lo mismo, 75�; por tanto, son iguales.

¿Cuánto mide el ángulo Ap de la figura?

Como la circunferencia se ha dividido en 9 partes iguales, cada arco mide: 36

90� � 40�

El ángulo Ap abarca dos arcos de 40�, es decir, abarca un arco de 80�.

Como Ap es un ángulo inscrito: Ap � 820� � 40�

11.84

11.83

11.82

11.81

Mediatriz

O

B

A

Bisectriz

Cuerda

A


Longitudes de circunferencias y arcos

En una circunferencia de radio 4 centímetros dibuja un ángulo inscrito de 30�.

a) ¿Cuánto mide el ángulo central correspondiente?

b) ¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia que abarca?

a) Si el ángulo inscrito es de 30�, el arco que abarca es el doble, 60�.

El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca, 60�.

b) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

604�

� 60� � 4,19 cm

La longitud de arco mide 4,19 cm.

Calcula la longitud de la circunferencia.

El diámetro de la circunferencia coincide con el lado del cuadrado. Entonces mide 4 cm.

Su longitud es: L � � d � � 4 � 12,56 cm

11.86

11.85

A

4 cm

DA

CB


A M P L I A C I Ó N

Encuentra un ángulo que sea igual a su complementario y otro que sea igual a su suplementario.

En el primer caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 90�. Ese ángulo es: 920� � 45�

En el segundo caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 180�. El ángulo es: 18

20� � 90�

Calcula los ángulos que faltan en esta figura.

Bp � 142� por ser opuestos por el vértice.

Ap es el suplementario de 142�. Entonces, Ap � 180� � 142� � 38�.

Cp � Ap � 38� por ser opuestos por el vértice.

Estudia el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos.

a) Suplementarios. b) Complementarios.

a) b)

Forman un ángulo de 90�. Forman un ángulo de 45�.

Si una circunferencia de 9 centímetros de diámetro se divide en 10 arcos iguales, ¿cuál es la longitudde cada uno de ellos?

Si la circunferencia se ha dividido en 10 arcos iguales, cada ángulo central mide: 31600� � 36�

Como el radio es la mitad del diámetro, r � 92

� 4,5 cm

Entonces, la longitud de uno de los arcos es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

640,5�

� 60� � 2,83 cm

11.90

11.89

11.88

11.87

142º

C A

B

A

B

Bisectriz

Bisectriz

A

B


La longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ángulo central de 30� mide 26 centí-metros.

a) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b) ¿Y la del diámetro?

a) Si el ángulo central mide 30�, el arco también.

La circunferencia se ha dividido en un número entero de arcos de 30� de amplitud, es decir, en 33600�

� � 12 arcos, que mide

cada uno 26 centímetros.

Luego la longitud de la circunferencia es: 12 � 26 � 312 cm

b) L � � d ⇒ 312 � 3,14 � d ⇒ d � 33,1124

� 99,36 cm

Calcula los ángulos inscritos indicados en las siguientes figuras.

a) b)

a) Los 6 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: 36

60� � 60�

Los 3 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:

Ap abarca 4 arcos de 60�: Ap � 4 �

260� � 120� Cp abarca 1 arco de 60�: Cp �

620� � 30�

b) Los 5 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: 36

50� � 72�

Los 2 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:

Ap abarca 1 arco de 72�: Ap � 722� � 36� Bp abarca 3 arcos de 72�: Bp �

3 �

272� � 108�

La longitud de una semicircunferencia es 9,42 centímetros.

a) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b) ¿Cuánto mide el radio?

a) Una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia. Entonces: L � 2 � 9,42 � 18,84 cm.

b) Utilizando la fórmula de la longitud de la circunferencia y sustituyendo en ella el valor obtenido en el apartado anterior:

L � 2 � � r ⇒ 18,84 � 2 � � r ⇒ 18,84 � 6,28 � r ⇒ r � 168,,2884

� 3 cm

El radio mide 3 cm.

11.93

11.92

11.91

B

A

C

A B


Determina el valor de los ángulos que faltan en la figura sabiendo que Ap � Cp � 94�.

Ap y Cp son iguales por ser opuestos por el vértice y entre los dos suman 94�:

Ap � Cp � 924� � 47�

Ep y Gp son los correspondientes de Ap y Cp. Por tanto, Ep � Gp � Ap � Cp � 47�.

Bp es el suplementario de Ap: Bp � 180� � Ap � 180� � 47� � 133�

Dp � Bp � 133� por ser opuestos por el vértice.

Fp y Hp son los correspondientes de Bp y Dp. Entonces, Fp � Hp � Bp � Dp � 133�.

11.94

GB E

F

C

D

AH


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Entradas para el cine

Roberto va a adquirir una entrada para el cinepor internet. En la pantalla del ordenador leofrecen el siguiente esquema de la sala de cine:

Con ayuda de regla y compás, indica los asientos adecuados para que Roberto:

a) Esté situado a ocho metros de cada uno de los altavoces.b) Esté situado a ocho metros de uno de los altavoces y a siete metros de la pantalla.

a) El asiento más adecuado es el C5.

b) Los asientos más adecuados son el D4 y el D6.

Abastecimiento de energía

Se quiere situar un transformador eléctrico que permita abastecer de energía a cuatro casas.

a) ¿Sería posible encontrar un punto equidistante delas cuatro casas independientemente de cómo es-tas se encuentren situadas?

b) Intenta hallar dicho punto en el caso representadoen el siguiente dibujo.

a) No se puede en todos los casos ya que las mediatrices de lossegmentos de extremos dos de las casas no tienen que pasartodas por un mismo punto fijo.

b) En este caso sí es posible ya que las mediatrices pasan todaspor un mismo punto.

11.96

11.95

Altavoz Pantalla Altavoz

A

B

C

D

E

F1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 m

Casa del“abogao”

Casa Valdés

Casa delDuque

CasaMedina

Transformador

Altavoz Pantalla Altavoz

1 m

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ABCDEF


A U T O E V A L U A C I Ó N

Una recta está a una distancia de 50 milímetros del centro de una circunferencia de 10 centímetros dediámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?

El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: 5 cm � 50 mm.Como la recta está a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia, es tangente a ella.

Calcula el ángulo central correspondiente a un ángulo inscrito de 84�.

El ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Entonces, el ángulo central mide 2 � 84� � 168�.

¿Cuál es el complementario y el suplementario de los ángulos?

a) 32� b) 63� 5� c) 87�

a) Complementario: 90� � 32� � 58� Suplementario: 180� � 32� � 148�

b) Complementario: 90� � 63� 5� � 26� 55� Suplementario: 180� � 63� 5� � 116� 55�

c) Complementario: 90� � 87� � 3� Suplementario: 180� � 87� � 93�

Halla la medida del ángulo inscrito en cada caso.

a) b)

a) Como la circunferencia se ha dividido en 4 arcos iguales, cada uno mide: 36

40� � 90�

El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 � 90� � 180� ⇒ Ap � 18

20� � 90�

b) Como la circunferencia se ha dividido en 6 arcos iguales, cada uno mide: 36

60� � 60�

El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 � 60� � 120� ⇒ Bp � 12

20� � 60�

En una circunferencia de 22 centímetros de diámetro, calcula la longitud del arco que abarca unángulo inscrito de 45�.

El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida: 2 � 45� � 90�.El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: r � 11 cm.

Entonces, la longitud del arco es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

6101�

� 90� � 17,27 cm

Dibuja la bisectriz de un ángulo de 45� e indica cuánto miden cada uno de los ángulos en que quedadividido por ella.

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales.

Cada uno de estos mide: 425� � 22� 30�.

11.A6

11.A5

11.A4

11.A3

11.A2

11.A1

AA

45❏

B

AC


Explica por qué los ángulos Bp y Cp son iguales al ángulo Ap.

Bp y Ap son ángulos iguales por ser opuestos por el vértice.

Cp � Ap por ser ángulos de lados paralelos.

Una circunferencia de 6 decímetros de radio se divide en 3 partes iguales. ¿Cuánto mide el arcocorrespondiente a cada una de ellas?

Si la circunferencia se ha dividido en 3 arcos iguales, cada ángulo central mide: 36

30� � 120�.

La longitud de cada parte de los arcos es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

660�

� 120� � 12,56 dm

Un arco de 90� de una circunferencia mide 25,12 centímetros. ¿Cuánto mide la longitud de la circun-ferencia?

25,12 � 2 �

36�

0r�

� n� ⇒ r �

225,1

�

2

�

�

3n60�

� � 16 cm ⇒ L = 2 � � r � 2 � 3,14 � 16 � 100,48 cm

La longitud de la circunferencia es de 100,48 cm.

Calcula la longitud de una semicircunferencia sabiendo que el radio mide 5 centímetros.

Lcircunferencia � 2 � � r � 2 � 3,14 � 5 � 31,4 cm ⇒ Lsemicircunferencia � Lcircun

2ferencia � 15,7 cm

11.A10

11.A9

11.A8

11.A7

12 FIGURAS PLANAS


Dibuja polígonos convexos de 3, 4 y 5 lados con sus correspondientes diagonales. ¿Cuántas hay en cada uno?

Triángulo (0 diagonales) Cuadrilátero (2 diagonales) Pentágono (5 diagonales)

Dibuja las siguientes figuras planas.

a) Un polígono cóncavo regular. b) Una figura que no sea un polígono.

a) Al ser un polígono cóncavo, tiene al menos un ángulo mayor de 180�. Si fuera regular, debería tener todos los ángulos igua-les, y eso es imposible, porque no existe un polígono regular con los ángulos mayores de 180�.

b) No es un polígono porque los lados se cortan y no están unidos sucesivamente.

Dibuja un pentágono regular en una circunferencia circunscrita de 4 centímetros de radio. ¿Cuánto mideel lado del pentágono?

Se dibuja la circunferencia de 4 cm de radio y 5 ángulos centrales de 72�.

El lado del pentágono mide 4,70 cm.

12.3

12.2

12.1

72o

12 FIGURAS PLANAS

¿Se puede dibujar un hexágono de 6 centímetros de lado en una circunferencia de 6 centímetros de diá-metro?

No porque en el radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular tiene la misma medida que el lado del hexágono. Yel radio de esa circunferencia es de 3 cm y no de 6 cm.

Construye un decágono regular de 25 milímetros de lado.

Se dibuja un decágono regular en una circunferencia cualquiera. Luego se prolonga un lado del decágono hasta que tenga25 mm y se dibujan los radios y las paralelas para obtener la circunferencia circunscrita al polígono buscado.

Dibuja un octógono de 3,5 centímetros de lado.

a) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita?

b) ¿Cómo construirías un cuadrado a partir del octógono? ¿Cuánto mediría su lado?

Se realiza como en el ejercicio anterior pero con un octógono.

a) El radio de la circunferencia mide 4,58 cm

b) Uniendo vértices no contiguos dejando uno entre ellos. Su lado mediría: l � �(4,58)2�� (4,5�8)2� � 6,48 cm

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.

Para que sea rectángulo debe tener un ángulo de 90�, y para que sea isósceles, los catetos deben medir lo mismo.

Fíjate en el rectángulo y el romboide.

a) ¿Qué tienen en común? b) ¿En qué se diferencian?

a) Son paralelogramos con lados paralelos iguales.

b) En que el rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales, y el romboide los tiene iguales dos a dos.

12.8

12.7

12.6

12.5

12.4

3 cm

3 cm

12 FIGURAS PLANAS

Clasifica los polígonos.

a) De tres lados. b) De cuatro lados.

a) Triángulo escaleno acutángulo. b) Cuadrilátero, paralelogramo, romboide.

¿Se puede construir un triángulo de manera que sus ángulos midan 105�, 45� y 35�? Razona larespuesta.

La suma de los ángulos de un triángulo debe ser 180�.

Se suman los 3 ángulos dados: 105� � 45� � 35� � 185� � 180�; por tanto, no se puede construir el triángulo.

En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 30�. ¿Cuánto mide el otro?

En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90�, y conocemos otro que mide 30�.

Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180�, el otro ángulo mide: 180� � 90� � 30� � 60�.

Contesta a las siguientes cuestiones sobre un heptágono regular.

a) ¿Cuál es la suma de sus ángulos interiores?

b) ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

c) Si el heptágono fuera irregular, ¿valdrían lo mismo?

a) La suma de sus ángulos interiores es: 180� � (n � 2) � 180� � (7 � 2) � 180� � 5 � 900�

b) Al ser regular, todos los lados y ángulos miden lo mismo. Cada ángulo mide: �9070

� � 128,57� � 128� 34

c) Podrían valer lo mismo. Por ejemplo, si en el primerheptágono, que es regular, sustituimos cualquier lado,por ejemplo, b, por otro segmento paralelo b, los ángu-los permanecen iguales, pero los lados a, b y c varían.

¿Son iguales los siguientes rectángulos?

Sí, porque tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales.

12.13

12.12

12.11

12.10

12.9

a

b

c

b’

c’

a’

4 cm

2 cm4 cm

2 cm

12 FIGURAS PLANAS

Si dos cuadrados tienen un lado igual, ¿se puede decir que son iguales?

Sí, porque los cuadrados tienen todos los ángulos iguales a 90� y todos los lados iguales. Por tanto, si coinciden en un lado,coinciden en todos.

Si dos rombos tienen un lado igual, ¿se puede decir que son iguales?

No necesariamente. Solo se puede afirmar que al ser los lados de un rombo iguales, los dos rombos tienen los lados iguales,pero no se puede asegurar que sus ángulos también lo sean.

¿Son iguales dos hexágonos regulares con los lados iguales?

Como los ángulos de cualquier hexágono regular miden 120� y sus lados son iguales, los hexágonos son iguales.

Indica cuáles de las rectas dibujadas en la figura son ejes de simetría.

Los ejes de simetría son: a y d

Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él todos los ejes de simetría. ¿Cuán-to mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide:

�18

30�� 60�

Traza todos los ejes de simetría que tiene un hexágono regular cuya circunferencia circunscrita tiene5 centímetros de radio. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide:

�18

60�� 30�

12.19

12.18

12.17

12.16

12.15

12.14

b

a

cd

12 FIGURAS PLANAS

Dibuja un triángulo con los datos siguientes.a) Un lado mide 7 centímetros, y los ángulos contiguos, 45� y 63�.b) Un ángulo es recto, y los catetos miden 3 y 4 centímetros.c) Dos lados miden 5 y 6 centímetros, y el ángulo que forman es de 108�.

a) Dibujamos el segmento a � 7 y, con vértice en sus extremos, construimos los ángulosCp � 45� y Bp � 63�.

El punto de corte es el otro vértice, A, del triángulo.

b) Dibujamos el ángulo recto. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibu-jamos los segmentos a � 3 y b � 4. Unimos los extremos de los segmentos y obte-nemos el triángulo.

c) Dibujamos el ángulo Cp � 108� con el compás o el transportador. A partir de su vértice ysobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a � 5 y b � 6.

Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo.

Las medidas de los lados de un triángulo son: 5 centímetros, 7,20 centímetros y 35 milímetros. Los la-dos de otro triángulo miden: 72 milímetros, 3,5 centímetros y 0,5 decímetros. Dibújalos y estudia si soniguales.

Si ponemos todas las medidas en centímetros, los lados de los triánguloscoinciden: 5; 7,2 y 3,5 cm.Por el primer criterio de igualdad de triángulos, estos dos triángulos soniguales ya que tienen los lados iguales.

¿Es posible construir un triángulo con los lados iguales a 4, 6 y 10 centímetros? ¿Por qué?

No, porque la suma de las medidas de los lados más pequeños debe ser mayor que la del grande.Al intentar dibujarlo, resultaría un segmento.

Dibuja las mediatrices de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ánguloque forman es de 80�. Señala el circuncentro.

12.23

12.22

12.21

12.20

63o

7 cm

45o

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

108o

35 mm =

3,5

0 cm

7,20 cm = 72 mm

5 cm = 0,5 dm

8 cm 8 cm

C

80o

12 FIGURAS PLANAS

Traza las mediatrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 centímetros. ¿Dónde secortan?

Las tres mediatrices se cortan en el circuncentro.

Uno de los lados de un triángulo mide 7 centímetros, y sus ángulos contiguos, 65� y 40�.

a) Señala su circuncentro.

b) Dibuja la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

a) Construimos el triángulo dibujando el lado. En sus extremos trazamos dos semirrectas con las medidas de los ángulos, ydonde se cortan está el otro vértice.

Luego, trazamos las mediatrices y señalamos el punto donde se cortan, que es el circuncentro.

b) Es la circunferencia que tiene como centro el circuncentro y por radio la distancia de este punto a cualquiera de los vérti-ces del triángulo.

Traza las bisectrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 3 centímetros.

Una vez realizado el triángulo, trazamos las bisectrices de los tres ángulos.

12.26

12.25

12.24

C5 cm

12 cm

7 cm

C65o40o

4 cm

3 cm

7 cm

C65o40o

12 FIGURAS PLANAS

Uno de los lados de un triángulo mide 6 centímetros, y los ángulos contiguos a él, 45� y 80�.

a) Señala el incentro.

b) ¿Cuál es el radio de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo?

Dibujamos el triángulo empezando por el lado y luego, en sus extremos, midiendo los ángulos.Las semirrectas que determinan esos ángulos se cortan en un punto que es el otro vértice deltriángulo.

a) Luego, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I.

b) El radio de la circunferencia tangente a los tres lados es la longitud del segmento IP.

En un triángulo isósceles los lados iguales miden 7 centímetros cada uno y el ángulo que forman, 120�.

a) Dibuja su incentro.

b) Dibuja la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

a) Una vez dibujado el triángulo, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I.

b) La circunferencia es la que tiene su centro en el incentro del triángulo, y su radio es la distancia del incentro a uno de loslados del triángulo.

Traza las alturas de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 6 centímetros cada uno y el ánguloque forman es de 70�.

12.29

12.28

12.27

6 cm

P

45o80o

I

7 cm120o

I

7 cm

7 cm120o

I

7 cm

6 cm

70o

6 cm

12 FIGURAS PLANAS

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 5 centímetros. Halla el ortocentro e indicacon qué otro punto coincide.

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Los tres lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 centímetros.a) Traza sus alturas.b) Señala su ortocentro e indica si es interior o exterior al triángulo.

a) y b) El ortocentro es exterior al triángulo.

Copia los siguientes triángulos y dibuja sus medianas.

a) b)

a) b)

Halla el baricentro de un triángulo de lados 8, 6 y 10 centímetros. ¿Es necesario trazar las tres alturas?

Construimos el triángulo; luego, dos medianas, y el punto de corte de estas es el baricentro. Por tanto, no es necesario trazarlas alturas.

12.33

12.32

12.31

12.30

5 cm

5 cmO

8 cm

5 cm

O

4 cm

B

A

C

A

BC

E

F

G

6 cmG

8 cm

10 cm

G

F

E

12 FIGURAS PLANAS

Comprueba que en un triángulo isósceles la mediana sobre el lado desigual lo divide en dos triángulosiguales.

En un triángulo isósceles trazamos la mediana sobre el lado desigual.

Se forman dos triángulos rectángulos, T1 y T2, con los 3 lados iguales.

Las hipotenusas, por ser los lados iguales de un triángulo isósceles.

Los catetos mayores, por ser la mediana, y los catetos menores, por ser la mitad de la basedel triángulo inicial.

Por tanto, aplicando el criterio 1, T1 y T2 son iguales.

12.34

B

CA

T1 T2

12 FIGURAS PLANAS


Escribe la fórmula que da la medida de un ángulo de un polígono regular en función del número delados.

Encuentra la fórmula que da la medida de un ángulo central de un polígono regular en función delnúmero de lados.

12.36

12.35

Número de lados Número máximo de triángulos Medida de todos Medida de cadadel polígono en que se puede dividir los ángulos ángulo

3 1 180� �18

30�� 60�

4 2 180� � 2 � 360� �36

40�� 90�

5 3 180� � 3 � 540� �54

50�� 108�

6 4 180� � 4 � 720� �72

60�� 120�

n n � 2 180� � (n � 2) �180 �

n(n � 2)�

Triánguloequilátero Cuadrado Pentágono

n lados

�36

30

� � 120� �36

40

� � 90� �36

50

� � 72� �36

n0��

12 FIGURAS PLANAS


¿Qué tipo de polígono ilustra cada uno de los siguientes dibujos?

a) b) c)

a) Pentágono convexo irregular.b) Octógono convexo regular.c) Cuadrilátero (trapezoide).

¿Qué cuadriláteros son los que tienen los lados iguales? ¿Y cuáles tienen los ángulos iguales?

Los cuadrados y los rombos son los cuadriláteros que tienen los lados iguales.

Los cuadrados y los rectángulos son los cuadriláteros que tienen los ángulos iguales.

Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos agudoscorrespondientes?

Los ángulos agudos correspondientes son iguales. Se trata de un triángulo rectángulo isósceles.

Di cuáles son las rectas r, s y t trazadas en el siguiente triángulo.

r es la altura sobre el lado BC.

s es la mediana sobre el lado AC.

t es la mediatriz del lado AB.

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero?

Los tres ángulos de un triángulo suman 180�, y en un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales.

Entonces, cada ángulo mide: �18

30�� 60�

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Hay paralelogramos que no son rombos.

b) Hay trapecios que tienen los cuatro ángulos iguales.

c) Hay cuadriláteros que son rombos y rectángulos a la vez.

d) Hay rectángulos que tienen los cuatro ángulos iguales, pero no rectos.

a) Verdadero. Por ejemplo, los rectángulos y los romboides.

b) Falso. Si tienen los cuatro ángulos iguales, son rectángulos o cuadrados.

c) Verdadero. Por ejemplo, el cuadrado.

d) Falso. Los rectángulos, por definición, tienen los cuatro ángulos rectos.

12.42

12.41

12.40

12.39

12.38

12.37

STOP

A

B

C

r

s

t

12 FIGURAS PLANAS

En los siguientes triángulos, calcula el ángulo o los ángulos que faltan.

a) b) c) d)

a) Ap � 35� � 110� � 180� ⇒ Ap � 180� � 110� � 35� ⇒ Ap � 35�

b) Ap � Ap � 80� � 180� ⇒ Ap � Ap � 180� � 80� ⇒ 2 � Ap � 100� ⇒ Ap � �10

20�� 50�

c) Ap � 55� � 90� � 180� ⇒ Ap � 180� � 55� � 90� ⇒ Ap � 35�

d) Ap � 60� � 100� � 180� ⇒ Ap � 180� � 100� � 60� ⇒ Ap � 20�

12.43

A

35º110º

80º

AA

A 90º

55º

Da b

12 FIGURAS PLANAS


Polígonos

Clasifica los siguientes polígonos.

a) b) c) d)

a) Pentágono irregular cóncavo.b) Heptágono regular convexo.c) Octógono irregular cóncavo.d) Hexágono irregular convexo.

¿Cuántos ángulos iguales tiene un octógono regular?

Como es un polígono regular, tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por tanto, tiene 8 ángulos iguales.

El lado de un cuadrado mide 3,5 centímetros, y el de otro, 35 milímetros. Razona si son iguales.

Si la medida de los lados se expresa en la misma unidad, centímetros, los dos miden lo mismo, 3,5 cm.Por tanto, si tienen sus lados y sus ángulos iguales, los dos cuadrados son iguales.

Calcula cuántas diagonales tiene un heptágono.

Sea n el número de lados de un polígono.El número de diagonales de un polígono de 7 lados, es decir, del heptágono, es: �

n � (n2

� 3)� � �

7 � (72

� 3)� � 14

Completa en tu cuaderno las siguientes frases.

a) El cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y los ángulos iguales es un …b) El polígono con dos lados iguales que forman ángulo recto y un tercer lado distinto es un …c) El polígono con sus cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos es un …d) El triángulo con los tres lados distintos es …

a) Rectángulo c) Rombob) Triángulo rectángulo isósceles d) Escaleno

¿Verdadero o falso?: “Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, se trata de un rombo”.Dibuja las figuras correspondientes para razonar tu respuesta.

Es falso porque el trapezoide también cumple esa condición.

12.49

12.48

12.47

12.46

12.45

12.44

Rombo Trapezoide

12 FIGURAS PLANAS

Construcción de polígonos regulares

Construye un eneágono regular sabiendo que el diámetro de su circunferencia circunscrita mide 7 cen-tímetros.

Traza un pentágono regular de 3 centímetros de lado.

Construye un octógono regular en una circunferencia circunscrita de 8 centímetros de diámetro. Unecon segmentos los vértices no consecutivos del octógono. La figura que obtienes de este modo, ¿esregular?

Se obtiene un triángulo equilátero.

Suma de los ángulos de un polígono

Calcula el ángulo Ap en los siguientes triángulos.

a) b)

a) Ap � 63� � 49� � 180� ⇒ Ap � 180� � 63� � 49� ⇒ Ap � 68�

b) Ap � 65� � 80� � 180� ⇒ Ap � 180� � 65� � 80� ⇒ Ap � 35�

12.53

12.52

12.51

12.50

63º

49º

A

80º

65º

A

12 FIGURAS PLANAS

En el siguiente trapecio rectángulo falta un ángulo. ¿Cuánto mide?

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180� � (4 � 2) � 360�.Los 3 ángulos conocidos suman: 90� � 90� � 30� � 210�

Si se llama Ap al ángulo que falta, se obtiene: Ap � 360� � 210� � 150�

Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos.

a) Trapezoide c) Octógono regularb) Dodecágono d) Eneágono regular

a) Tiene 4 lados. Entonces, 180� � (4 � 2) � 360� c) Tiene 8 lados. Entonces, 180� � (8 � 2) � 1 080�

b) Tiene 12 lados. Entonces, 180� � (12 � 2) � 1 800� d) Tiene 9 lados. Entonces, 180� � (9 � 2) � 1 260�

Contesta a las siguientes preguntas sobre un decágono.

a) ¿En cuántos triángulos se puede dividir?b) A partir del resultado anterior, ¿cuánto miden sus ángulos?

a) En 2 unidades menos que el número de lados que tiene. Por tanto, en 8 triángulos.b) Sus ángulos miden: 180� � (10 � 2) � 1 440�

Clasifica según su suma los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Al ser un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 90�, y la suma de los otros dos ángulos agudos es 90�, luego soncomplementarios.

Un triángulo tiene dos lados iguales y uno de los ángulos mide 60�. ¿Se puede afirmar que es un trián-gulo equilátero?

Si el ángulo que forman los lados iguales mide 60�, entonces los ángulos de la base

miden lo mismo: Ap ⇒ 180� � 60� � 2 · Ap ⇒ Ap = �180�

2� 60�� 60�

Por tanto, el triángulo es equilátero.

Si tiene dos lados iguales, los ángulos de la base han de ser iguales, y si uno deellos es el de 60�, el otro también debe medir 60�. Entonces, el tercer ángulo tam-bién es de 60�.

Por tanto, el triángulo también es equilátero.

En un triángulo se sabe que un ángulo es igual a la suma de los otros. ¿Qué clase de triángulo es?

Sean Ap, Bp y Cp los tres ángulos.

Como Ap � Bp � Cp y 180� � Ap � Bp � Cp ⇒ 180� � 2Ap ⇒ Ap � �18

20�� 90�. Luego el triángulo es rectángulo.

12.59

12.58

12.57

12.56

12.55

12.54

30º

90º

90º

a

a

60o

a

60o

a

12 FIGURAS PLANAS

Igualdad de polígonos

¿Son iguales los siguientes romboides? ¿Por qué?

Sí son iguales porque tienen los lados y los ángulos iguales.

Estudia si son iguales los siguientes triángulos.

En el triángulo ABC se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.

Si en el triángulo DEF un lado y los dos ángulos contiguos coincidieran con el anterior, serían iguales según el tercer criteriode igualdad.

En DEF se conocen dos ángulos. Se puede hallar el tercero:

60� � 77� � Fp � 180� ⇒ Fp � 180� � 60� � 77� ⇒ Fp � 43�

Entonces, en DEF, el lado conocido y los ángulos contiguos a él coinciden con los de ABC. Por tanto, son iguales.

El lado de un triángulo mide 48 milímetros, y sus ángulos contiguos, 35� y 80�. En otro, un lado mide0,48 decímetros, y el ángulo opuesto, 65�. ¿Se puede afirmar que son iguales?

El lado conocido mide lo mismo, 0,48 dm � 48 mm. Veamos si miden lo mismo los ángulos contiguos.

180� � Ap � Bp � 65� ⇒ Ap � Bp � 115�; entonces, en el segundo triángulo, entre los dos ángulos desconocidos

suman 115�, pero eso no significa que uno sea de 35� y otro de 80�, podrían ser también de 40� y de 75�.

En ese caso, los ángulos contiguos al lado conocido no coincidirían.

Por tanto, no se puede afirmar que sean iguales.

Simetrías en las figuras planas

En un rectángulo, ¿son ejes de simetría sus diagonales? ¿Hay algún eje de simetría?

– No son ejes de simetría sus diagonales.– Sí las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos.

Dibuja las siguientes figuras y señala, si los tienen, los ejes de simetría.

a) Trapecio rectángulo. b) Triángulo isósceles.

a) b)

No tiene ejes de simetría.

12.64

12.63

12.62

12.61

12.60

77º

60º

F E

D

4,5 cm

43º60º

4,5 cmA C

B

12 FIGURAS PLANAS

Dibuja un cuadrado y traza en él todos sus ejes de simetría. ¿Por qué punto pasan todos ellos?

Pasan todos por el centro del cuadrado.

Rectas y puntos de un triángulo

Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él las mediatrices, bisectrices, me-dianas y alturas. Señala los puntos de corte correspondientes. ¿Qué observas?

Mediatrices Bisectrices Alturas MedianasO Circuncentro O Incentro O Ortocentro O Baricentro

Se observa que el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro son el mismo punto, O.

Los lados de un triángulo miden 6, 4 y 7 centímetros.

a) Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo. ¿Cuál es el centro?

b) Traza la circunferencia que es tangente a los tres lados.

a) El centro de la circunferencia es el circuncentro (punto de cortede las mediatrices), y el radio es la distancia del centro a uno delos vértices del triángulo.

b) El centro de la circunferencia es el incentro (punto de corte de lasbisectrices), y el radio es la distancia del centro a uno de loslados del triángulo.

12.67

12.66

12.65

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

4 cm

7 cm

I6 cm

4 cm

7 cmC

6 cm

12 FIGURAS PLANAS

El triángulo de la figura es rectángulo en B.

Calcula los ángulos indicados con letras.

M es el punto donde se interseca la altura desde B, con el segmento AC.

ABM y BMC son triángulos rectángulos.

En ABM: Dp � 32� � 90� � 180� ⇒ Dp � 180� � 32� � 90� � 58� ⇒ Dp � 58�

En ABC, Dp y Ep son complementarios: Dp � Ep � 90� ⇒ Ep � 90� � 58� � 32� ⇒ Ep � 32�

En BMC, Ep y Cp son complementarios: Ep � Cp � 90� ⇒ Cp� 90� � 32� � 58� ⇒ Cp � 58�

12.68

C

A BD

C

E

32º

12 FIGURAS PLANAS


Para dibujar un terreno con forma triangular se han medido dos de sus lados y el ángulo comprendidoentre ellos. ¿Es suficiente con esas medidas para tener determinado el terreno?

Sí es suficiente con esos datos para determinar el triángulo,basta unir los dos extremos de los lados.

Explica si son iguales las siguientes figuras.

a) Dos triángulos equiláteros.b) Dos triángulos rectángulos de catetos 3 centímetros.

a) No son iguales, porque aunque tengan los ángulos iguales, los lados pueden ser distintos.b) Sí, porque se verifica el segundo criterio de igualdad de los triángulos.

A Ana le gusta mucho el diseño y va a hacer una colección de colgantes y pulseras que llamará Geo-metría regular. No sabe si le gusta más el tamaño que tienen si están inscritos en una circunferenciade 10 milímetros de radio o si su lado mide 10 milímetros, y probará con un pentágono regular y uncuadrado para elegir los más pequeños.¿Cuáles elegirá?

Dibujar las figuras en la circunferencia circunscrita de 10 mm de radio para hallar la longitud del lado:

El lado del pentágono es 1,16 cm. El lado del cuadrado es 1,40 cm.

Son más pequeños si los hace de 10 mm de lado.

12.71

12.70

12.69

Da b

12 FIGURAS PLANAS

Observa el dibujo. Halla el punto donde hay que colocar la pelota para que esté a la misma distanciade los tres jugadores. ¿Cómo se llama ese punto?

El punto que se encuentra a la misma distancia de los jugadores es el punto del triángulo que está a la misma distancia delos tres vértices, es decir, donde se cortan las tres mediatrices, el circuncentro.

La profesora de Matemáticas propone un juego a sus alumnos. Tienen que adivinar qué polígonodibuja en un papel sabiendo solamente la suma de los ángulos interiores del mismo. ¿Qué polígonosha dibujado en cada caso?

a) La suma de los ángulos es 180�.

b) La suma de los ángulos es 360�.

c) La suma de los ángulos es 720�.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180� � (n � 2)

a) 180� � (n � 2) � 180� ⇒ n � 2 � �118800��

� ⇒ n � 3, el polígono es un triángulo.

b) 180� � (n � 2) � 360� ⇒ n � 2 � �316800��

� ⇒ n � 2 � 2 ⇒ n � 4, el polígono es un cuadrilátero.

c) 180� � (n � 2) � 720� ⇒ n � 2 � �712800��

� ⇒ n � 2 � 4 ⇒ n � 6, el polígono es un hexágono.

Dos pintores van a pintar una pared triangular y tienen los dos la misma cantidad de pintura. ¿Cómotienen que repartirse la pared para que los dos pinten la misma superficie?

Se dibuja la mediana por un vértice cualquiera, y así el triángulo queda dividido en dos regiones de igual superficie.

12.74

12.73

12.72

12 FIGURAS PLANAS

Laura ha ido con sus padres a Nueva York y dice que allí las señales de tráfico no son iguales que lasde España. La profesora enseña a la clase algunas de ellas.

Estudia los polígonos y los ejes de simetría que aparecen en estas señales.

Las cuatro señales son cuadrados.Se comprueba que cada eje divide las figuras en dos partes iguales.

Los abuelos de Pablo tienen un prado sin cercar en forma triangular y un caballo. Quieren atar el ca-ballo de modo que desde un punto pueda ir lo más lejos posible, alcanzando solamente a dos ladosdel prado pero sin pacer la hierba de la vecina.

a) ¿Dónde tienen que colocar la estaca?

b) Haz la construcción correspondiente.

a) La estaca pueden colocarla en cualquier punto de cualquier bisectriz, ya que equidista de los lados.

b) Trazado de la bisectriz:

Con centro en B, trazamos con el compás dos segmentosiguales BM y BN sobre los lados.

Con el centro en los puntos M y N y radio BM, trazamossendos arcos que se cortan en un punto P.

La recta BP es la bisectriz.

12.76

12.75

P

B

C

A N

M

12 FIGURAS PLANAS

R E F U E R Z O

Polígonos

Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados, convexidad y regularidad.

a) b)

a) Hexágono irregular cóncavo. b) Pentágono regular convexo.

Completa el cuadro poniendo SÍ o NO en las casillas vacías.

Halla el valor de los ángulos que faltan en los polígonos.

a) b)

a) Ap � 57� porque los dos ángulos están formados por lados paralelos.

Como la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360�, entonces:

Bp � Bp � 57� � 57� � 360� ⇒ Bp � Bp � 360� � 57� � 57� ⇒ 2 · Bp � 246� ⇒ Bp � �24

26�� 123�

b) La suma de los ángulos de un pentágono es: 180� � (5 � 2) � 540�

Ap � 129� � 111� � 80� � 141� � 540� ⇒ Ap � 540� � 461� � 79� ⇒ Ap � 79�

12.79

12.78

12.77

64º90º

A

Rombo Romboide

Los 4 lados son iguales

Los 4 ángulos son iguales

Es un paralelogramo

Rombo Romboide

Los 4 lados son iguales SÍ NO

Los 4 ángulos son iguales NO NO

Es un paralelogramo SÍ SÍ

57º

B

B

A

12 FIGURAS PLANAS

Igualdad de polígonos

Estudia si son iguales estos cuadriláteros.

Los dos tienen los lados iguales y los ángulos iguales. Por tanto, son iguales.

¿Cuánto debe valer el ángulo Dp para que los dos triángulos sean iguales?

Por el 2.� criterio de igualdad de triángulos: dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendidoentre ellos; por tanto, para que sean iguales los triángulos se debe verificar que Dp � Ap.

Calculamos: Ap � Ap � 82� � 56� � 180� ⇒ Ap � 180� � 138� � 42� ⇒ Dp � Ap � 42�

Rectas y puntos en un triángulo

En un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ángulo que forman 100� traza:

a) La mediatriz del lado desigual.

b) La bisectriz del ángulo desigual.

c) La altura sobre el lado desigual.

d) La mediana sobre el lado desigual.

e) ¿Cómo son las cuatro rectas trazadas?

a) c)

b) d)

e) Todas las rectas coinciden.

12.82

12.81

12.80

A C

B

56º

82º

4 cm

6 cm

D F

E

D

4 cm

6 cm

100o

8 cm8 cm100o

8 cm8 cm

100o

8 cm8 cm100o

8 cm8 cm

12 FIGURAS PLANAS


Copia en tu cuaderno el siguiente triángulo.

a) Señala los puntos medios de los lados.

b) Une los puntos medios formando un nuevotriángulo.

c) Traza las medianas de los dos triángulos. ¿Cómoson?

d) Señala el baricentro.

a) b)

c) y d) Las medianas de los dos triángulos coinciden. Por tanto, el bari-centro, G, también.

En un trapecio rectángulo se sabe que la altura es igual a la diferencia de las bases. ¿Cuánto midensus ángulos?

En el trapecio de la figura, BH � HC, puesto que la altura es igual a la diferenciade las bases.

Como el triángulo BCH es rectángulo isósceles, Cp � 45�

La suma de todos los ángulos es 360�, entonces: Bp � 90� � 90� � 45� � 360�

Por tanto: Bp � 360� � 225� � 135�

12.84

12.83 A

C

B

C

A

B

M

P

N

C

A

B

M

P

N

G

C

A

B

M

P

N

T

S

R

D

A B

H C

12 FIGURAS PLANAS

En un cuadrado se construyen cuatro triángulos, uno equilátero y los otros tres isósceles, tal como seindica en la figura. Calcula la medida del ángulo Xp.

Indicación: Los lados cortados con el signo (II) son iguales.

El triángulo AOB es equilátero, de modo que sus ángulos miden 60�.

Los triángulos AOD y BOC son isósceles. Por tanto, tienen dos ángulos iguales e iguales entre sí.

En esos triángulos, Ap � Bp � 90� � 60� � 30�.

Como entre los tres ángulos deben sumar 180� y los otros dos son iguales, esos valen: �180�

2� 30�� 75� cada uno.

En el punto O se conocen tres de los ángulos que aparecen en la figura: 60�, 75� y 75�. Falta Xp.

Como entre todos suman una vuelta completa, 360�: Xp � 360� � (60� � 75� � 75�) ⇒ Xp � 150�

12.85

A

C

B

D

O

X

12 FIGURAS PLANAS


Muchas condiciones

Dadas las siguientes figuras:

Indica si verifican o no cada una de las siguientescondiciones:

1. El triángulo ABC es rectángulo en B.

2. BD es una altura del triángulo ABC.

3. EF es un segmento contenido en una mediatrizdel triángulo ABC.

4. GE es perpendicular a CB en su punto medio.

5. E es el circuncentro del triángulo ABC.

a) No verifica la condición 4.a

b) No verifica la condición 1.a, 4.a y 5.a

c) Verifica todas las condiciones

d) No verifica la condición 2.a

La recta de Euler

a) Mide las dimensiones de este trián-gulo y cópialo en tu cuaderno.

b) Halla el baricentro, el ortocentro yel circuncentro del triángulo de lafigura. ¿Qué observas?

c) Compara las distancias del baricen-tro y el circuncentro al ortocentro.¿Qué observas?

a) b) Los tres puntos están alineados.

c) La distancia del baricentro al ortocentro es dos tercios ladel circuncentro al ortocentro.

12.87

12.86

a) B

AC

D E

GF

b)

B

A

C

D E

FG

c) B

ACE

F

G

d)

D

B

A

C

E

FG

D

A

C B

Ortocentro

C

Baricentro

Circuncentro

B

A

12 FIGURAS PLANAS


Clasifica, según los ángulos y los lados los siguientes polígonos.

a) b) c)

a) Cuadrilátero convexo. b) Hexágono cóncavo. c) Triángulo convexo.

Construye un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 5 y 4 centímetros y el ángulo que for-man es de 63�. ¿Qué tipo de triángulo se obtiene?

Se dibuja el ángulo con el transportador. A partir de su vértice ysobre cada uno de sus lados se dibujan los segmentos de 4 y 5centímetros.

Se unen los extremos de los segmentos y se obtiene el triángulo.

Resulta un triángulo escaleno porque la medida del tercer lado nocoincide con ninguno de los dos dados.

Se trazan todas las diagonales desde uno de los vértices de un polígono de 11 lados.

a) ¿Cuántos triángulos se obtienen?

b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de ese polígono?

a) Se obtienen 2 unidades menos que el número de lados del polígono.

Por tanto: 11 � 2 � 9 triángulos

b) La suma es: 180� � (n � 2) � 180� � (11 � 2) � 180� � 9 � 1 620�

Dos lados de un triángulo miden 4 y 7 centímetros y forman un ángulo de 110�. Traza las alturas y hallael ortocentro.

Se dibuja el triángulo y se trazan las alturas a los lados (perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto). Perocomo el triángulo es obtusángulo, para trazar las alturas hay que prolongar dos de sus lados. El ortocentro queda en el exte-rior del triángulo.

12.A4

12.A3

12.A2

12.A1

4 cm

65o

5 cm

4 cm

110o

7 cm

O

12 FIGURAS PLANAS

De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo agudo mide 18�. ¿Cuánto mide el otro?

Como entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90�, el otro mide: 90� � 18� � 72�

En un triángulo de lados 5, 8 y 10 centímetros.

a) Halla el incentro.

b) Traza una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

a) El incentro es el punto de corte de las bisectrices. b) La circunferencia tiene el centro en el incentro, y

Es suficiente con trazar dos de ellas. el radio es la distancia de este a un lado del triángulo.

Calcula los ángulos que faltan en estas figuras.

a) b)

a) Como es un trapecio isósceles, Ap � 69�.

Por tratarse de un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 360�, y como los dos conocidos suman 138�, se obtiene:

Bp � Bp � 360� � 138� ⇒ Bp � Bp � 222� ⇒ Bp � �22

22�� 111�

b) Como es un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 360�.

Los conocidos suman: 360� � Ap � 26� � 38� � 26� ⇒ Ap � 360� � 90� � 270� ⇒ Ap � 270�

12.A7

12.A6

12.A5

5 cm10 cm

I

8 cm

5 cm10 cm

I

8 cm

A69º

B B

A

26º

38º

26º

13 LONGITUDES Y ÁREAS


Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b)

a) p � 2 � 4 � 2 � 2,5 � 8 � 5 � 13 cm b) p � 2 � 4 � 3 � 9 cm

Halla el perímetro de estas figuras.

a) Un cuadrado de 6 centímetros de lado.b) Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros.c) Un pentágono regular de 4 centímetros de lado.

a) Perímetro � 4 � 6 � 24 cmb) Perímetro � 5 � 2 � 8 � 5 � 16 � 21 cmc) Perímetro � 5 � 4 � 20 cm

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden lo siguiente.

a) 3 y 4 centímetros, respectivamente.b) 6 y 8 centímetros, respectivamente.

a) Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 32 � 42 ⇒ a2 � 25 ⇒ a � �25� � 5 cmb) Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 = 62 � 82 ⇒ a2 � 100 ⇒ a � �100� � 10 cm

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 centímetros, y un cateto, 12 centímetros. ¿Cuántomide el otro?

Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 132 � 122 � c 2 ⇒ 169 � 144 � c 2 ⇒ c � �25� � 5 cm

¿Es posible que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mida 2 centímetros, y cada cateto, 1 centí-metro?

Si el triángulo es rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.

Sustituyendo en la fórmula, se obtiene: 22 � 12 � 12 ⇒ 4 � 2

Como la igualdad que se obtiene es falsa, es imposible que el triángulo sea rectángulo.

13.5

13.4

13.3

13.2

13.1

2,5 cm

4 cm

2 cm

4 cm3 cm


Calcula la diagonal de estas figuras.

a) Un rectángulo cuyos lados miden 1 y 5 centímetros, respectivamente.

b) Un cuadrado de 6 centímetros de lado.

a) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 52 � 12 ⇒ d 2 � 26 ⇒ d � �26� � 5,10 cm

b) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 62 � 62 ⇒ d 2 � 72 ⇒ d � �72� � 8,49 cm

Halla la medida de la altura de estos triángulos.

a) Equilátero, cuyo lado mide 10 centímetros.

b) Isósceles, con la base de 4 centímetros, y lados iguales de 3 centímetros.

Si se observa la figura:

a) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB.

Por ser equilátero, AH es el semilado de la base: �120� � 5 cm

Utilizando el teorema de Pitágoras:

a2 � b2 � c 2 ⇒ 102 � 52 � c 2 ⇒ 100 � 25 � c 2 ⇒ c � �75� � 8,66 cm

b) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB.

Por ser isósceles, AH es el semilado de la base: �42

� � 2 cm


a2 � b2 � c 2 ⇒ 32 � 22 � c 2 ⇒ 9 � 4 � c 2 ⇒ c � �5� � 2,24 cm

Calcula el área de estas figuras, tomando como unidad de medida el cuadrado de la cuadrícula.

a) b)

a) La superficie contiene 13 cuadrados. Por tanto, el área es de 13 unidades.

b) La superficie contiene 12 cuadrados. Por tanto, el área es de 12 unidades.

Halla el área de las figuras del ejercicio 8, usando como unidad de medida el triángulorectángulo.

a) La superficie contiene 26 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 26 unidades.

b) La superficie contiene 24 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 24 unidades.

13.9

13.8

13.7

13.6

5 cm

1 cmd

6 cm

d 6 cm

5 cm

h10 cm

A CH

B

2 cm

h3 cm

A CH

B


Observa las siguientes figuras.

¿Tienen la misma área?

La superficie de ambas figuras contiene 5 cuadrados; por tanto, el área de las dos figuras coincide y es de 5 unidades.

Calcula el área de estas figuras en las que las medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � l 2 ⇒ A � 42 � 16 cm2

b) A � b � h ⇒ A � 4 � 6 � 24 cm2

Halla el área de la figura cuyas medidas vienen dadas en centímetros, descomponiéndola antes enrectángulos y cuadrados.

La figura se puede descomponer en un rectángulo y un cuadrado.

Arectángulo � b � h � 12 � 4 � 48 cm2

Acuadrado � l 2 � 42 � 16 cm2

Afigura � 48 cm2 � 16 cm2 � 64 cm2

Halla el área de un paralelogramo de 5 centímetros de base y 30 milímetros de altura.

Altura � h � 30 mm � 3 cm

A � b � h � 5 � 3 � 15 cm2

Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 7 centímetros, respectivamente. Calcula su área.

La base y la altura del triángulo rectángulo coinciden con sus catetos.

A � �b

2� a� � �

72� 3� � 10,5 cm2

13.14

13.13

13.12

13.11

13.10

4

8

12

4

4

12

4

4

4

7 cm

3 cm

4 4

6


Determina el área de cada triángulo formado a partir de la diagonal de un paralelogramo de 4 metrosde base y 3 metros de altura. Expresa el resultado en centímetros cuadrados.

El área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo.

Aparalelogramo � b � h � 4 � 3 � 12 m2 � 120 000 cm2 ⇒ Atriángulo � �120

2000� = 60 000 cm2

El área de cada triángulo es de 60 000 cm2.

Calcula el área de estos trapecios.

a) b)

a) A � ��B �2

b�� h � ��12

2� 8�� 10 � 100 cm2

b) A � ��B �2

b�� h � ��9 �

26

�� 4 � 30 cm2

Halla el área del siguiente trapecio.

Se calcula la altura h, utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado:

La base es: �5 �

23

� � 1 cm

Entonces: h2 � 12 � 42 ⇒ h2 � 16 � 1 � 15 ⇒ h � �15� � 3,87 cm

A � ��B �2

b�� h � ��5 �

23

�� 3,87 � 15,48 cm2

13.17

13.16

13.15

12 cm

8 cm

10 cm

6 cm 9 cm

4 cm

5 cm

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

1 cm

h


Halla por triangulación el área del trapezoide.

Se puede descomponer en dos triángulos: uno isósceles cuyos lados iguales miden 6 cm y otro rectángulo de catetos 8 cm y2 cm. La hipotenusa de éste último es la base del primero.

Por Pitágoras se calcula la base del triángulo isósceles:

a2 � 82 � 22 ⇒ a2 � 68 ⇒ a � �68� � 8,25 cm

Para obtener la altura de este triángulo, se aplica de nuevo Pitágoras en el triángulo que tiene como hipotenusa uno de loslados iguales y como catetos, la mitad de la base y la altura:

62 � 4,132 � h2 ⇒ 36 � 17,06 � h2 ⇒ h � �18,94� � 4,35 cm

El área del triángulo rectángulo es: Ar � �b

2� a� � �

82� 2� � 8 cm2

Y el área del triángulo isósceles es: Ai � �b

2� a� � �

8,252� 4,35� � 17,94 cm2

El área del Entonces, el área del trapezoide es: A � Ai � Ar � 17,94 � 8 � 25,94 cm2

Halla el área de un decágono regular de 5 centímetros de lado y 9 centímetros de apotema.

Se calcula el perímetro: p � 10 � 5 � 50 cm

A � �p

2� a� � �

502� 9� � 225 cm2

¿Cuál es el área del pentágono regular de 8 centímetros de lado y 5 centímetros de radio?

Se calcula la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado.

52 � a2 � 42 ⇒ a2 � 25 � 16 � 9 ⇒ a � �9� � 3 cm

Entonces, A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

5 � 82

� 3� � 60 cm2

El área del pentágono es de 60 cm2.

¿Cuál es el área de un círculo de 10 metros de radio?

A � � � r 2 � � � 102 � 314,16 m2

Calcula el área del círculo de la figura.

El diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado, 4 cm. Por tanto, el radio mide: r � �42

� � 2 cm.

A � � � r 2 � � � 22 � 12,56 cm2

13.22

13.21

13.20

13.19

13.18

8 cm

5 cm

10 cm5 cm

4 cm

a5 cm

4 cm


Determina el área de la siguiente superficie.

La figura está formada por dos semicírculos de 5 y 2 cm de diámetro, respectivamente.Semicírculo de diámetro AB Semicírculo de diámetro BC

A � ��

2� r 2

� � ��

22,52

� � 9,81 cm2 A � ��

2� r 2

� � ��

2� 12

� � 1,57 cm2

El área de la figura es: Afigura � 9,81 cm2 � 1,57 cm2 � 11,38 cm2

Calcula el área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y1,20 centímetros, respectivamente.

A = � � (R2 � r 2) � � � (1,602 � 1,202) � � � 1,12 � 3,52 cm2

En un círculo de 2 decímetros de radio se considera un sector circular cuyo ángulo determinado es de120�. ¿Cuál es su área?

A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 2

3

2

60�120

� � 4,19 dm2

Halla el área del segmento circular de la figura.

El área del segmento circular se puede obtener restando al área del sector circular correspondiente el área del triángulo formado.

Asector � ��

3r6

2

0� n

� � ��

336

2

0�

90� � 7,07 cm2 Atriángulo � �

b2� a� � �

32� 3� � 4,50 cm2

El área del segmento circular es: A � Asector � Atriángulo � 7,07 � 4,50 � 2,57 cm2

Calcula el área de la zona coloreada en verde.

Se observa que se trata de un círculo donde se ha quitado un cuadrado:

Acírculo � � � r 2 � � � 32 � 28,26 cm2

Acuadrado � l 2 � 22 � 4 cm2

Entonces, el área de la zona coloreada es: A � Acírculo � Acuadrado � 28,26 � 4 � 24,26 cm2

13.27

13.26

13.25

13.24

13.23

A B CAB = 5 cmBC = 2 cm

3

3 cm

2 cm


Halla el área de la siguiente figura; todas las medidas están expresadas en metros.

La figura se puede descomponer en dos rectángulos y un triángulo.

Arectángulo 1 � b � h � 3 � 1,5 � 4,5 m2

Arectángulo 2 � b � h � 7 � 2 � 14 m2

Atriángulo � �b

2� h� � �

4 �21,5� � 3 m2

El área de la figura es: A � 4,5 m2 � 14 m2 � 3 m2 � 21,5 m2

13.28

7

2

1,5

2

3

2

1

42

7

1,5

3

1,5



Estima el área del triángulo de la figura, sabiendo que el lado de cada uno de los cuadrados de la cua-drícula mide 1 decímetro.

El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que for-man el triángulo, pintando del mismo color aquellas regiones d el triángulo que uni-das forman un cuadrado. El área es, aproximadamente, de 5,5 dm2.

Determina de forma aproximada el área de este cuadrilátero. Considera que el lado de cada cuadradode la cuadrícula mide 2 centímetros.

El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que forman el cuadrilátero, pintando del mismocolor aquellas regiones del cuadrilátero que unidas forman un cuadrado. Tenemos 6 cuadrados y cada cuadrado mide 4 cm2,luego el área es, aproximadamente, de 6 � 4 � 24 cm2.

13.30

13.29



Calcula el lado de estas figuras.a) Un cuadrado de 36 decímetros de perímetro.b) Un triángulo equilátero de 42 centímetros de perímetro.

a) p � 4 � l ⇒ 36 � 4 � l ⇒ l � �346� � 9 dm

b) p � 3 � l ⇒ 42 � 3 � l ⇒ l � �432� � 14 cm

Comprueba cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos. Las medidas vienen dadas en centí-metros.a) 3, 4 y 5 c) 6, 8 y 10b) 5, 8 y 10 d) 5, 12 y 13

Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.a) 32 � 42 � 9 � 16 � 25 � 52 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.b) 52 � 82 � 25 � 64 � 89 � 100 � 102 ⇒ No se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo no es rectángulo.c) 62 � 82 � 36 � 64 � 100 � 102 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.d) 52 � 122 � 25 � 144 � 169 � 132 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

Calcula la diagonal de un rectángulo cuya base mide 30 centímetros y cuya altura mide 40 centímetros.

Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 302 � 402 � 900 � 1 600 � 2 500 ⇒ d � �2 500� � 50 cm

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su área es 81 metros cuadrados?

A � l 2 ⇒ 81 � l 2 ⇒ l � �81� � 9 m2

Halla la base de un rectángulo, sabiendo que su superficie mide 48 centímetros cuadrados, y su altura,6 centímetros.

A � b � h ⇒ 48 � b � 6 ⇒ b � 8 cm

Las siguientes cantidades corresponden a triángulos. Averigua los datos que faltan.13.36

13.35

13.34

13.33

13.32

13.31

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2)

8 4 16

6 4

12 5

24 60

18 36

20 210

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2)

8 4 16

6 4 12

12 5 30

5 24 60

18 4 36

21 20 210

d

A

C B


Calcula cuánto vale el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, silos cuadrados construidos sobre los catetos tienen por área las siguientes medidas dadas en centímetroscuadrados.a) 9 y 16 c) 36 y 64

b) 5 y 144 d) 4 y 16

Según la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual ala suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos.

a) A � 9 � 16 � 25 cm2 c) A � 36 � 64 � 100 cm2

b) A � 5 � 144 � 149 cm2 d) A � 4 � 16 � 20 cm2

13.37



Teorema de Pitágoras

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 13 centímetros, respectivamente. Calcula el valor dela hipotenusa.

Utilizando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 52 � 132 � 194 ⇒ a � �194� � 13,93 cm.

La hipotenusa vale 13,93 cm.

Los siguientes datos, en centímetros, corresponden a las medidas de los lados de dos triángulos. ¿Sontriángulos rectángulos?

a) 15, 20 y 25 b) 3, 6 y 8

Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.

a) 152 � 202 � 225 � 400 � 625 � 252 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, luego es un triángulo rectángulo.

b) 32 � 62 � 9 � 36 � 45 � 82 ⇒ No se cumple el teorema de Pitágoras, luego no es un triángulo rectángulo.

Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos.

a) b) c) d)

a) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 102 � 22 � c 2 ⇒ 100 � 4 � c 2 ⇒ c � �96� � 9,80 cm.

b) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 32 � 62 ⇒ a2 � 45 ⇒ a � �45� � 6,71 cm.

c) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 72 � 72 ⇒ a2 � 98 ⇒ a � �98� � 9,90 cm.

d) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 92 � 62 � c 2 ⇒ 81 � 36 � c 2 ⇒ c � �45� � 6,71 cm.

Cálculo de distancias

Halla la diagonal del rectángulo cuyos lados tienen las siguientes medidas.

a) 5 y 12 centímetros. b) 21 y 28 centímetros.

La diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

a) d 2 � 122 � 52 ⇒ d 2 � 169 ⇒ d � �169� � 13 cm

b) d 2 � 212 � 282 ⇒ d 2 � 1 225 ⇒ d � �1 225� � 35 cm

13.41

13.40

13.39

13.38

2 cm

10 cm 6 cm

3 cm7 cm

7 cm

6 cm

9 cm

db

c


Calcula la altura del triángulo equilátero cuyo lado, en centímetros, mide lo siguiente.

a) 8 b) 12 c) 18 d) 26

La altura, c, es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de labase. Utilizando el teorema de Pitágoras:

a) a2 � b2 � c 2 ⇒ 82 � 42 � c 2 ⇒ 64 � 16 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �48� � 6,93 cm

b) a2 � b2 � c 2 ⇒ 122 � 62 � c 2 ⇒ 144 � 36 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �108� � 10,39 cm

c) a2 � b2 � c 2 ⇒ 182 � 92 � c 2 ⇒ 324 � 81 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �243� � 15,59 cm

d) a2 � b2 � c 2 ⇒ 262 � 132 � c 2 ⇒ 676 � 169 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �507� � 22,52 cm

Determina la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados miden5,5 y 6 decímetros, respectivamente.

La altura es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un ladodel triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras:

a2 � b2 � c 2 ⇒ 52 � 32 � c 2 ⇒ 25 � 9 � c 2 ⇒ c � �16� � 4 dm

La altura mide 4 dm.

Con los datos de la figura, calcula el lado del cuadrado.

El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado: d � 2 � 6 � 12 cm

Esta forma con los lados del cuadrado un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales.

Utilizando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c2

122 � l 2 � l 2 ⇒ 144 � 2 � l 2 ⇒ l 2 � �1424

� � 72 ⇒ l � �72� � 8,49 cm

El lado del cuadrado mide 8,49 cm.

Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Halla la longitud del lado.

El triángulo AOB del rombo es un triángulo rectángulo.

Los lados AO y OB son la mitad de las diagonales.

Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo AOB se obtiene el lado del rombo.

a2 � 32 � 42 ⇒ a2 � 9 � 16 ⇒ a � �25� � 5 cm

13.45

13.44

13.43

13.42

b

ac

3

c5 5

6 cm

12 cm

l

l

A

D

B

C

4A

B

O

3a


Área de figuras planas

Calcula el área de las siguientes figuras, cuyas longitudes vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � b � h � 4 � 2 � 8 cm2

b) A � �b

2� a� � �

42� 2� � 4 cm2

Halla el área de estas figuras.a) Un cuadrado de lado 6 decímetros.b) Un romboide de 5 centímetros de base y 3 centímetros de altura.

a) A � l 2 ⇒ A � 62 ⇒ A � 36 dm2

b) A � b � h ⇒ A � 5 � 3 ⇒ A � 15 cm2

¿Cuál es el área de las siguientes figuras cuyas medidas vienen expresadas en decímetros?

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

5,52� 4,5� � 12,38 dm2 b) A � ��B �

2b

�� h � ��5 �2

2�� 3 � 10,5 dm2

Halla el área de estos polígonos regulares.

a) b)

a) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

6 � 42� 3,5� � 42 m2 b) A � �

p2� a� � �

12 � 3,25 � 5,8� � 121,8 cm2

13.49

13.48

13.47

13.46

4

2

4

2

5,5

4,53

2

5

3,5 m

4 m

3,5 cm5,8 cm


Calcula el área de estas figuras; las medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) Para calcular el área es necesario hallar primero la altura. El romboide se descompone enun trapecio y un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa y un cateto. Utili-zando el teorema de Pitágoras:

52 � 32 � h2 ⇒ h2 � 52 � 32 � 16 ⇒ h � �16� � 4 cm

El área es: A � b � h � 9 � 4 � 36 cm2

b) Hay que hallar la altura del triángulo. Se observa en la figura que:

La altura h es BH, cateto del triángulo AHB.

AH es la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras:

52 � 2,52 � h2 ⇒ 25 � 6,25 � h2 ⇒ h � �18,75� � 4,33 cm

El área del triángulo es: A � �b

2� a� � �

5 �24,33� � 10,83 cm2

Determina el área por triangulación.

a) b)

a) Dibujando la diagonal de arriba a abajo se obtienen dos triángulos rectángulos:

AT1� �

22� 4� � 4 cm2 AT2

� �3 �

23,32� � 4,98 cm2

El área de la figura es:

A � AT1� AT2

� 4 � 4,98 cm2 � 8,99 cm2

b) Al dibujar la diagonal horizontal, resultan dos triángulos rectángulos:

AT1� �

7,492

� 4� � 14,98 cm2 AT2

� �6

2� 6� � 18 cm2

El área de la figura es:

A � AT1� AT2

� 4 � 4,98 cm2 � 8,99 cm2

13.51

13.50

5

5

5

5

912

12 – 9 = 3

h

2,5

h5 5

A CH

B

4 cm

3 cm5

cm

3 cm 4 cm

4 cm

12 c

m

13 cm

4 cm

5 cm

5

9

12


Calcula el área por cuadriculación.

El área es de 10,5 unidades cuadradas.

Área del círculo y de figuras circulares

Calcula el área de un círculo, sabiendo que su diámetro mide 8 centímetros.

El área mide: A � � � r 2 � � � 42 � 50,24 cm

¿Cuál es el área de una corona circular cuyo radio mayor mide 8,2 centímetros y cuyo radio menormide 5 centímetros?

A � � � (R2 � r 2) � � � (8,22 � 52) � � � 42,24 = 132,63 cm2

Halla el área de estos sectores circulares.

a)

b)

a) A � ��

3r6

2

0� n

� � ��

356

2

0�

30� � 6,54 cm2

b) A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 7

3

2

60�150

� � 64,11 cm2

13.55

13.54

13.53

13.52

5 cm30°

7 cm

150°


Composición y descomposición de figuras

Calcula el área de las siguientes figuras.

a) c) e)

b) d) f)

a) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un semicírculo.

Asemicírculo � ��

2� r 2

� � ��

2� 32

� � 14,13 cm2


Afigura � 14,13 cm2 � 6 cm2 � 20,13 cm2

b) La figura se puede descomponer en un rectángulo y dos trapecios iguales.


Atrapecio � ��B �2

b�� h � ��7 �

24

�� 3 � 16,5 cm2

Afigura � 8 cm2 � 2 � 16,5 cm2 � 41 cm2

c) La figura se descompone en dos romboides y un sector circular.

Aromboide � 16 � 8 � 128 cm2

Asector circular � ��

3r6

2

0� n

� � �� 1

306

2

0�

120� � 104,67 cm2

Afigura � 2 � Aromboide � Asector circular � 2 � 128 cm2 � 104,67 � 360,67 cm2

d) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un romboide.


Aromboide � b � h � 6 � 4 � 24 cm2

Afigura � 30 cm2 � 24 cm2 � 54 cm2

e) La figura se puede descomponer en un semicírculo y un rectángulo menos un semicírculo.


2� r 2

� � ��

23,52

� � 19,23 cm2

Arectángulo � b � h � 7 � 3,5 � 24,5 cm2


2� r 2

� � ��

21,52

� � 3,53 cm2

Afigura � 19,23 cm2 � (24,5 cm2 � 3,53 cm2) � 40,2 cm2

f) La figura está formada por un triángulo isósceles y un cuadrado al que se le ha quitado un semicírculo.Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo.

52 � 32 � h2 ⇒ 25 � 9 � h2 ⇒ h � �16� � 4 cm

Atriángulo � �6

2� 4� � 12 cm2

Acuadrado � 62 � 36 cm2

13.56

2

3

6

6

6

5

7

1

3

7

6

6

4

5

5

4

6

6

3

2

3

23 3

47

8

7

10

8

16

120°

8

4

2

7

3,5

33,5

7

7

6

3

5h

6



Iván quiere enmarcar una acuarela que le ha regalado una amiga. El cuadro tiene 32,5 centímetros delargo y 24 centímetros de ancho. Si el metro del marco que ha elegido cuesta 15 euros, ¿cuánto le costaráenmarcar la acuarela?

Se debe calcular la longitud del marco, que es el perímetro de un rectángulo.

p � 2 � 32,5 � 2 � 24 � 113 cm � 1,13 m

El marco costará: 15 � 1,13 � 16,95 €.

Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 metrosdel muro. Calcula la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera.

Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que forma la escalera con el muro y el suelo:

52 � 22 � h2 ⇒ h2 � 25 � 4 � 21 ⇒ h � �21� � 4,58 m

La parte superior de la escalera se encuentra a una altura de 4,58 metros.

Un carpintero construye marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que no se deformen, clavaun travesaño en diagonal. Una de las ventanas mide 1,2 metros de base y 2 metros de altura. El car-pintero ha cortado un travesaño de 3 metros. ¿Ha hecho lo correcto?

El travesaño es la diagonal de un rectángulo. Por tanto, para que sea correcto, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

33 � 1,22 � 22 ⇒ 9 � 1,44 � 4

Como la igualdad no es cierta, el travesaño que ha cortado no es de la longitud correcta.

Para celebrar el “Día de las Matemáticas”, Andrea y sus compañeros están haciendo figuras planas ylas están rodeando de cintas de colores. Ella tiene que hacer un octógono y decorarlo con 50 centí-metros de cinta roja. ¿Cuánto debe medir el lado del octógono?

Como la cinta debe rodear el octógono, el perímetro de este debe coincidir con los centímetros de cinta que tiene.

Entonces, 50 � 8 � l, siendo l el lado del octógono.

El lado debe medir: l � �580� � 6,25 cm.

El padre de Carlos ha comprado dos alfombrillas para el ratón del ordenador. Una es cuadrada de 19,5centímetros de lado, y la otra, circular de 11 centímetros de radio. Carlos cree que es mejor la circularporque ocupa mayor superficie, pero su padre opina que es mejor la cuadrada. ¿Cuál de los dos tienerazón?

Acuadrada � l 2 � 19,52 � 380,25 cm2

Acircular � � � r 2 � � � 112 � 379,94 cm2

Aunque la diferencia es mínima, tiene razón el padre de Carlos.

13.61

13.60

13.59

13.58

13.57


Un solar cuadrado mide 1 600 metros cuadrados. ¿Cuántos metros mide su lado?

Como A � l 2 ⇒ 1 600 � l 2

Por tanto, cada lado mide: l � �1 600� � 40 m

La superficie de un rectángulo mide 20 metros cuadrados, y el ancho, 10 metros. ¿Cuánto mide el largo?

Como A � b � h ⇒ 20 � b � 10

El largo mide: b � �21

00� � 2 m

Calcula el área de esta pared de ladrillos,sabiendo que las medidas vienen dadas encentímetros.

El número total de ladrillos que forman la pared son 36.

Aladrillo � b � h � 23 � 11 � 253 cm2

Atotal � 36 � 253 � 9 108 cm2

El área de la pared es de 9 108 cm2.

Julia ha construido una casita de muñecas con unostrozos de madera que ha encontrado. El diseño dela casa no es regular por la forma que tenía lamadera.

Ahora la va a decorar y en el suelo pondrá unpapel adhesivo que parece parquet. ¿Cuántos centí-metros cuadrados necesita para el suelo del dormi-torio si su forma es la del dibujo?

Trazando la diagonal de arriba a abajo el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos.

AT1� �

62� 8� � 24 cm2 AT2

� �7,07

2� 7,07� � 25 cm2

El área de la figura es: A � AT1� AT2

� 24 � 25 cm2 � 49 cm2

Necesita 49 cm2 de papel adhesivo para el dormitorio.

Una fuente circular tiene alrededor un seto. Determina el área del seto si la fuente tiene 4 metros dediámetro, y el seto, 1,45 metros de ancho.

El área del seto es el de una corona circular.

El radio del círculo menor es: r � �42

� � 2 m

El radio del círculo mayor es: R � r � 1,45 � 3,45 m

Aseto � � � (R2 � r 2) � � � (3,452 � 22) � 24,81 m2

El área del seto mide 24,81 m2.

13.66

13.65

13.64

13.63

13.62

12 cm3 cm

4 cm

13 cm


¿Cuántas baldosas de 30 centímetros de lado se necesitan para solar un salón como el de la figura?

El salón se puede descomponer en dos rectángulos.

Arectángulo 1 � b � h � 3,25 � 3,10 � 10,075 m2

Arectángulo 2 � b � h � 5,45 � 2,05 � 11,1725 m2

Asalón � 10,075 � 11,725 � 21,2475 m2 � 212 475 cm2

Abaldosa � l 2 � 302 � 900 cm2

Número de baldosas: 212 475 � 900 � 236,08

El número de baldosas que se necesitan aproximadamente para el salón es de 236.

13.67

5,45 m

3,25 m

3,10 m

2,05 m


R E F U E R Z O

Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias

¿Son rectángulos los triángulos cuyos lados, en centímetros tienen estas medidas?a) 4, 5 y 8b) 0,5; 12 y 13

a) Para que el triángulo sea rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2

42 � 52 � 41 � 64 � 82 ⇒ No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo.b) 122 � 0,52 � 144,25 � 169 � 132 ⇒ No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo.

Halla la diagonal de un cuadrado, sabiendo que el lado mide 8,6 centímetros.

La diagonal forma con los lados un triángulo rectángulo. Utilizando el teorema de Pitágoras:

d 2 � 8,62 � 8,62 ⇒ d 2 � 147,92 ⇒ d � �147,92� � 12,16 cm

La diagonal del cuadrado mide 12,16 cm.

Con los datos de la figura, calcula el lado del triángulo equilátero.

El triángulo ABC es equilátero; por tanto, el lado AC � 2AM � 2a.

Como el triángulo AOM es rectángulo, se aplica el teorema de Pitágoras.

102 � a2 � 52 ⇒ a2 � 100 � 25 � 75 ⇒ a � �75� � 8,66 cm

El lado del triángulo es: 2 � 8,66 � 17,32 cm.

Áreas de figuras planas

Calcula el área de estos triángulos.

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

52� 3� � 7,5 cm2

b) A � �b

2� a� � �

82� 4� � 16 cm2

13.71

13.70

13.69

13.68

5 cm10 cm

10 cm

H

5 cm

A

O

C

B

a

3 cm

5 cm

4 cm

8 cm


Halla el área de las siguientes figuras planas.

a) b)

a) A � ��B �2

b�� h � ��3,2 �

21,3

�� 2,8 � 6,3 cm2

b) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

6 � 22� 5,3� � 31,8 cm2

Área del círculo y de figuras circulares

Calcula el área de estas figuras circulares.

a) b)

a) r � �d2

� � 9 cm ⇒ A � � � r 2 � � � 92 � 254,34 cm2

b) A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 7

3

2

60�150

� � 64,11 cm2

Composición y descomposición de figuras


a) b)

a) La figura se descompone en un rectángulo menos un semicírculo.

Afigura � Arectángulo � Asemicírculo � b � h � ��

2� r 2

� � 7 � 2 � ��

212

� � 14 cm2 � 1,57 cm2 � 12,43 cm2

El área de la figura es de 12,43 cm2.

b) La figura es el resultado de unir un rectángulo y un trapecio isósceles.

Afigura � Arectángulo � Atrapecio � b · h � ��B �2

h�� · h � 5 � 3 � ��9 �

25

�� · 1 � 15 cm2 � 7 cm2 � 22 cm2

El área de la figura es de 22 cm2.

13.74

13.73

13.72

1,3 cm

3,2 cm

2,8 cm 5,3 cm

2 cm

18 cm

7 cm

150°

2 cm

7 cm

9 cm

5 cm

43 cm



Calcula la apotema del hexágono regular cuyo lado mide 6 centímetros.

El radio de la circunferencia coincide con el lado del hexágono.

Se observa en la figura que la apotema, junto con uno de los radios BC y la mitad de otrolado, HC, forma un triángulo rectángulo, del que la apotema es un cateto. Aplicando elteorema de Pitágoras:

62 � 32 � a2 ⇒ 36 � 9 � a2 ⇒ a � �27� � 5,20 cm

¿Cuántos centímetros de alambre se necesitan para construir un rombo si sus diagonales miden 18 y12 centímetros, respectivamente?

Se calcula el lado del rombo que junto con la mitad de las diagonales forma un triángulorectángulo, AOB, en el que el lado AB es la hipotenusa.


l 2 � 92 � 62 � 81 � 36 � 117 ⇒ l � �117� � 10,82 cm

El perímetro del rombo es: p � 4 � l � 4 � 10,82 � 43,28 cm.

Se necesitan 43,28 cm de alambre.

Halla el lado del cuadrado, sabiendo que su área es igual a la de un círculo de 1 metro de radio.

Acírculo � � � r 2 � � � 12 = 3,14 m2

Como Acuadrado � Acírculo ⇒ Acuadrado � l 2 � 3,14 ⇒ l � �3,14� � 1,77 m

El lado del cuadrado mide 1,77 m.

Calcula el área de las superficies coloreadas y exprésala en centímetros cuadrados.

a) b) c)

a) La superficie es un sector circular de 90 de ángulo y 1 dm � 10 cm de radio.


3r6

2

0� n

� � �� 1

306

2

0� 90� � 78,50 cm2

El área de la superficie coloreada es de 78,50 cm2.

b) Esta figura resulta de restar al sector circular del apartado a) un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 dm = 10 cm.

A � Asector circular � Atriángulo � 78,50 � �b

2� h� � 78,50 � �

102� 10� � 28,50 cm2


c) La figura está formada por un rectángulo de base 3 dm � 30 cm y altura 1 dm � 10 cm al que se le han quitado trescírculos de diámetro 1 dm � 10 cm.

Su área es: Afigura � Arectángulo � 3 � Acírculo � b � h � 3 � � � r 2 � 30 � 10 � 3 � � � 52 � 64,5 cm2


13.78

13.77

13.76

13.75

HA

6

C

B

a

6 cm

9 cm

18 cm

12 cm

O

B

A

1 dm 1 dm 1 dm


Averigua la medida de los lados de esta figura.

El triángulo ADC es rectángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

AD 2 � 202 � 152 � 175 ⇒ AD � �175� � 13,23 cm

El triángulo ABD es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras:

AB2 � 162 � 13,232 � 80,96 ⇒ AB � �80,96� � 8,99 cm

Si M es el punto de corte de la altura del trapecio, BM � AD, el triángulo BMC esrectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras:

BC 2 � BM 2 + MC 2 � AD 2 � MC 2

BC 2 � 13,232 � (15 � 8,99)2 � 175,03 � 36,12 � 211,15

BC � �211,15� � 14,53 cm

Los lados de la figura miden 13,23, 8,99 y 14,53 cm.

Una cancha de baloncesto es rectangular, de 26 metros de largo y 14 metros de ancho.a) Calcula la base y la altura de un triángulo acutángulo de la misma superficie.b) Si la cancha fuera circular y tuviera la misma superficie, ¿cuál sería su radio?

a) Arectángulo � Atriángulo ⇒ b � h � �b

2� h�

Puede haber dos soluciones.

La base del triángulo es el doble que la del rectángulo, y las alturas son iguales. Entonces, la base del triángulo mide 52 m, y laaltura, 14 m.

Pero también puede ser que las bases sean iguales y la altura del triángulo sea el doble que la del rectángulo. Entonces, labase mide 26 m, y la altura, 28 m.

b) Arectángulo � Acírculo

b � h � � � r 2 ⇒ 26 � 14 � � � r 2 ⇒ � � r 2 � 364 ⇒ r 2 � �33,6144

� � 115,92

El radio sería: r � �115,92� � 10,77 m.

Determina la medida del ángulo, x, del siguiente sector circular, sabiendo que su área es 3,14 decímetroscuadrados.


3r6

2

0� n

� ⇒ 3,14 � ��

3630

2

� x

� ⇒ x � �3,1

�4 �

�33620

� � 40

El ángulo del sector circular mide 40.

13.81

13.80

13.79

M15 cm

A

C

B

D

16 c

m

20 cm

16 cm

15 cm

20 cm

x

3 dm



Reparto de parcelas

Lola ha comprado una parcela de 40 � 50 metroscuadrados que quiere dividir en tres zonas comomuestra la figura: 275 metros cuadrados para lacasa, 825 metros cuadrados para el jardín, y el restopara la zona deportiva.

Calcula las dimensiones que ha de tener cada zona.

La extensión de la zona deportiva será: 40 � 50 � 275 � 825 � 900 m2

El ancho de la zona deportiva deberá ser: �94000

� � 22,5 m

El largo de la zona de la casa deberá ser: �50 �

27522,5� � 10 m

El largo del jardín deberá ser: 40 � 10 � 30 m

En el geoplanoEn una trama realizada con un tablero y clavos he-mos colocado una cuerda que mide 52 centímetros.Calcula la distancia entre dos puntos consecutivos dela trama y el área del triángulo construido en ella.

Aplicando el teorema de Pitágoras y tomando como unidad ladistancia entre dos puntos de la trama:

L � �122 ��52� � 13. Por tanto, 13 unidades se correspondencon 52 cm; es decir, cada unidad equivale a 4 cm

La base del triángulo mide 10 unidades es decir 40 cm

La altura del triángulo mide 4 unidades es decir 16 cm

El área del triángulo será: S � �40

2� 16� � 320 cm2

13.83

13.82

Jardín

Zonadeportiva

Casa

50 m

40 m



Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 centímetros, y la hipotenusa, 8 centímetros. ¿Cuánto mideel otro cateto?

Utilizando el teorema de Pitágoras:a2 � b2 � c 2 ⇒ 82 � 52 � c 2 ⇒ 64 � 25 � c 2 ⇒ c � �39� � 6,24 cm

El otro cateto mide 6,24 cm.

El perímetro de un decágono regular es 18 metros. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

El perímetro es: p � 10 � l ⇒ 18 � 10 � l

Entonces, cada lado mide: l � �11

80� � 1,8 m

Cada lado del decágono mide 1,8 m.

Determina los valores indicados con letras en las siguientes figuras.

a) b)

a) Utilizando el teorema de Pitágoras: d 2 � 82 � 82 ⇒ d 2 � 128 ⇒ d � �128� � 11,31 cm

b) Utilizando el teorema de Pitágoras: 82 � a2 � a2 ⇒ 64 � 2 � a2 ⇒ a2 � �624� � 32 ⇒ a � �32� � 5,66 cm

Calcula el área de estas figuras planas cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

62� 4� � 12 cm2

b) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

7 � 32

� 2� � 21 cm2

¿Qué longitud debe tener una escalera para que alcance la altura de 10 metros, si su base se apoya a3 metros de la pared?

La escalera forma con el muro y el suelo un triángulo rectángulo en el que ella es la hipotenusa.

Utilizando el teorema de Pitágoras: e2 � 32 � 102 ⇒ e2 � 109 ⇒ e � �109� � 10,44 m.

La escalera debe tener una longitud de 10,44 m.

Halla el área de una corona circular de 8,2 centímetros de radio mayor y 5 centímetros de radio menor.

A � � � (R2 � r 2) � � � (8,22 � 52) � � � 42,24 � 132,63 cm2

El área de la corona mide 132,63 cm2.

13.A6

13.A5

13.A4

13.A3

13.A2

13.A1

d 8 cm

8 cm

a

a

8 cm

6

4

3

2



a) b)

a) Asector circular � ��

3r6

2

0� n

� � �� 9

3

2

60�120

� � 84,78 cm2

b) La figura es la mitad de una corona circular de radio mayor 2 cm y radio menor 2 � 1,5 � 0,5 cm.

A � �� (R

2

2 � r 2)� � �

� � (22

2� 0,52)� � �

� �23,75� � 5,89 cm2

Averigua el área de estas figuras.

a) b)

a) La figura está formada por un rectángulo y un trapecio isósceles.

Arectángulo � b � h � 10,2 � 8,5 � 86,7 cm2


b�� h � � � � 8,5 � 10,4 � 8,5 � 88,4 cm2

El área de la figura es: A � Arectángulo � Atrapecio � 86,7 � 88,4 � 175,10 cm2

b) Esta figura está formada por un trapecio isósceles y un triángulo.


b�� h � ��9,6 �

23,2

�� 4,5 � 28,8 cm2

Atriángulo � �b

2� a� � �

9,6 �2

13,5� � 64,8 cm2

El área de la figura es: A � Atrapecio � Atriángulo � 28,8 � 64,8 � 93,6 cm2

(2,1 � 10,2 � 2,1) � 6,4��

2

13.A8

13.A7

120°9 cm 2 cm

1,5 cm

8,5 cm

6,4 cm

8,5 cm2,1 2,1

10,2 cm

13,5 cm

4,5 cm3,2

9,6 cm

3,23,2

1º eso - unidades 11,12 y 13

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