1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7

Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad.

¿Cuántos?: existen muchos lugares geométricos. Su conocimiento es fundamental para estudiar la geometría.

perpendicularidad

Paralelismo y perpendicularidad

Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico

1.º Bachillerato

• Perpendicularidad (I)

1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos de circunferencia.

2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos arcos de circunferencia.

3. La recta s que une los puntos D y E es la perpendicular al segmento por el punto medio C

1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se traza un arco

2. Con centro en el punto B y el mismo radio se traza un arco

3. Con centro en el punto C y el mismo radio se traza un arco

4. Con centro en el punto D y el mismo radio se traza un arco

5. La recta s que une el punto E con el A es la perpendicular a r

Trazado de la Mediatriz de un segmento

Trazado de la Perpendicular a una semirrecta por su extremo

la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento

Paralelismo y perpendicularidad


1.º Bachillerato

• Perpendicularidad (II)

1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos

2. Con centro en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos

3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada

1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un arco

2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos

3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada

Trazado de la Perpendicular a una recta por un punto de la misma

Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella

Trazado de paralelas con escuadra y cartabón

Trazados geométricos básicos

• Construcción de perpendiculares

Trazar perpendiculares con escuadra y cartabón

paralelismo

Paralelismo


1.º Bachillerato

1. Se elige un punto B cualquiera de la recta r y se traza la semicircunferencia de centro B y radio BA

2. Con centro en D y radio CA se traza un arco

3. La recta s que une los puntos A y E es la paralela buscada

Trazado de la Paralela a una recta por un punto

1. Se elige un punto cualquiera A de la recta r y se traza la perpendicular t a r

2. Sobre la recta t se traslada el segmento AE = l

3. La recta s que se traza por el punto E es la paralela buscada

Trazado de la Paralela a una recta a una distancia dada

Trazados geométricos básicos

• Construcción de paralelas

Trazar paralelas con escuadra y cartabón

Trazado de paralelas con escuadra y cartabón

segmentos

Trazados geométricos

RESTA

operaciones

OPERACIONES CON SEGMENTOS

PRODUCTO

SUMA

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

EN DOS PARTES IGUALES

A B

C D

A BC D

AB + CD = AD

A B

C DAB - CD = DB

A B

CA B

DE F

AB x 3 = AF

A B

M

N

MEDIATRIZ

BC D

A

Segmentos


1.º Bachillerato

• División de un segmento en partes iguales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s

2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento

3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado

4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.

Segmentos


1.º Bachillerato

• División de un segmento en partes proporcionales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s

2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ

3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t.

4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I

Segmentos


1.º Bachillerato

1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD

3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

• Producto y división entre dos segmentos1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD

3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

Producto entre dos segmentos

División entre segmentos

E

1C

B

D

C D

A B

C

B E

r

A

s

1

D

A C

A B

Ar

s

• Proporcionalidad: Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa

1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F.

El segmento x = BF es la media media proporcional buscada

a x

x b=

Dados dos segmentos que sumados constituyen la hipotenusa de un triángulo rectángulo

A

x

a

B-CE

b

D r

F

C b D

A a B

• Proporcionalidad: Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella

1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro el mayor de ellos.2. Por el punto D se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada

a x

x b=

ab

A-C

x

E D

F

C Db

B r

A a B

Dada la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo

Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97.

Sobre el segmento suma A C (s), sitúese el segmento diferencia A D (d) con orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A B y B C.

RAZONAMIENTO

Según la construcción, la mitad del segmento S - D es el segmento menor, puesto que

S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2

Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia

RAZONAMIENTO

ALICACIONES DE LO ANTERIOR

Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig. 98

Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos

Tomando como diámetro la

diferencia de segmentos M N conocida, trazar una circunferencia así como una tangente (perpendicular a M N), por uno de los extremos M del diámetro, transportando sobre la misma la longitud A M de la media proporcional conocida. La recta que une el extremo A con el centro O de la circunferencia queda interceptada por la misma en los puntos B y C, siendo A C y A B los segmentos pedidos.

Segmentos


1.º Bachillerato

• Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada

1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC

2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC

3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E

4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB

Dado el segmento AB

DA B C1

E

A B

• Sección áurea de un segmento:Definición:

Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que:

La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b

a x

x b=

Dados un segmento b = AC

b

ax

BA C

A C

Dado un segmento, hallar su división áurea

Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado

1. Por B se traza la perpendicular a r2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea

• Sección áurea de un segmento

ángulos

Ángulos


1.º Bachillerato

Ángulo alternos internos: 3-5 y 4-6

• Definiciones de ángulosÁngulo agudo: mide menos de 90º

d)

a) b)

e)

c)

7

6

s

t

r

8

4

5

3

21

Ángulo externos: 1,2,7 y 8

Ángulo recto: mide 90º

Ángulo convexo: es el menor de los dos ángulos que determinan sus lados

Ángulo obtuso: mide mas de 90º

Ángulo cóncavo: es el mayor de los dos ángulos que determinan sus lados

Ángulo llano: mide 180º

Ángulo internos: 3,4,5 y 6Ángulo adyacentes externos: 1-2 y 7-8Ángulo adyacentes internos: 3-4 y 5-6Ángulo alternos externos: 1-7 y 2-8

Ángulo entre rectas

Ángulo entre semirrectas

B

A

c

OPERACIONES CON ÁNGULOS

C

c

SUMA

C

c

RESTA

Ángulos


1.º Bachillerato

• Propiedades de los ángulos

Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos

son iguales

Dos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares

son iguales

r

s

Ar'

s'

A'

As

r

s'

r'

A'

Ángulos


1.º Bachillerato

• Construcción de un ángulo igual a otro

1. Sobre una recta r se toma un punto B arbitrario2. Con centros en A y B, y radio arbitrario, se trazan dos arcos3. Con centro en E y radio CD se describe un arco4. La recta s que une los puntos B y F forma con r el ángulo buscado

Ángulos


1.º Bachillerato

1. Sobre una recta r se toma un punto C arbitrario

2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario, se trazan arcos iguales

3. Con centro en H y radio DE se describe un arco

• Suma y diferencia de ángulos

La recta s que une los puntos C y J forma con r el ángulo buscado

Suma: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en el mismo sentido

Diferencia: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en sentido contrario al anterior

Ángulos


1.º Bachillerato

• Trazado de la bisectriz de un ángulo

1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario

2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario

3. La recta que une A y D es la bisectriz del ángulo

1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s

2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se forman

3. La recta que une C y D es la bisectriz del ángulo

Ángulos


1.º Bachillerato

Trazado de rectas concurrentes que se cortan fuera del dibujo1. Se traza una recta cualquiera que corte a r y s. Los puntos B y C de intersección se unen con P definiendo un triángulo2. Se traza otra recta arbitraria paralela a BC obteniendo E y F como puntos de intersección3. Se trazan por dichos puntos rectas paralelas a los lados del triángulo BCP obteniendo D como intersección

1. Con centro el vértice A se traza arco de radio arbitrario obteniendo los puntos B y C

2. Con el mismo radio se trazan arcos con centros B y C obteniendo los puntos D y E

3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto en tres partes iguales

rE

F

C

B

D

t

s

P

4. La recta PD es la solución

AB

E

s

C

r

D

División del ángulo recto en tres partes iguales

ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.

Un ángulo rectilíneo es el formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva

Ángulos


1.º Bachillerato

• Ángulos mixtilíneos y curvilíneos

1. Por un punto B se traza la perpendicular a r, se llevan magnitudes iguales y se trazan paralelas2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes

1. Por un punto B se traza el radio, se llevan magnitudes iguales y se trazan arcos concéntricos2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS

Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón

circunferencia

Circunferencia


1.º Bachillerato

• Definiciones

Radio (r): Segmento que une el centro con un punto A cualquiera de la circunferencia Diámetro (d): Segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia y pasa por el centro

Cuerda (c): Segmento que une dos puntos D y E cualesquiera sin pasar por el centroTangente (t): Recta que solo tiene un punto común con la circunferencia

O

Circunferencia: conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto O Arco: segmento de circunferencia

Círculo: parte del plano interior a la circunferencia

Segmento circular: parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco

Sector circular: parte del círculo comprendida entre dos radios

Trazados geométricosTRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS

0rr

CONOCIDO EL RADIO

º

º

A

B

C

O

A

C

BA PARTIR DE TRES PUNTOS DADOS

radi

o

4 Trazados geométricos6 La circunferencia II.

TÉRMINOS RELATIVOS A LA CIRCUNFERENCIA

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUFERENCIAS

O

Circunferencia

O

O O O

ARCO SEMICIRCUNFERENCIA

CÍRCULO SEMICÍRCULO ÁNGULO CENTRAL

A B O O’

O O’

OO’

OO

EXTERIORES INTERIORES

O O’P

TANGENTES EXTERIORESTANGENTES INTERIORES

OO’

SECANTES CONCÉNTRICAS

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.

El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Circunferencia


1.º Bachillerato

• Ángulos de una circunferencia (I)

Ángulo centralEl vértice es el centro de la circunferencia

º180

ra

Ángulo inscritoEl vértice es un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas

2

Circunferencia


1.º Bachillerato

• Ángulos de una circunferencia (II)

Ángulo semiinscrito

El vértice es un punto de la circunferencia, un lado es secante y el otro tangente

2

Ángulo interior

El vértice es un punto interior de la circunferencia

2

Circunferencia


1.º Bachillerato

• Ángulos de una circunferencia (III)

Ángulo exterior

El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados secantes

2

Ángulo circunscrito

El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados tangentes

2

Enlace de interésAngulos inscritos 1Angulos inscritos 2Angulos inscritos 3Cuadrilatero inscritoAngulos inscritos 4

Angulos semiinscritosAngulos interiores a una circunferenciaAngulos exteriores a una circunferencia

Angulos interiores y exteriores en la circunferencia

Arco capaz.Recordemos: Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común:

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos

La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro

Se llama Arco Capaz de un ángulo α dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo α.

Dado el segmento AB y el angulo @. Trazar el Arco Capaz

A B@

Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@

A B@

@

90-@

A B@

@90-@

o´

o´´

Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado

APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO

Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo Â opuesto al lado a.

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC

Los datos del triángulo son el lado a (AB) Y el ángulo Â opuesto al lado a.

A B

A

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

A B

A

A BA

90-A

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

B C

A

B CA

90-AA

Trazados fundamentales en el planoHallar los puntos desde donde se ven dos

segmentos bajo dos ángulos conocidos• Arco capaz (II)

Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados1. Se dibuja el arco capaz de respecto de AB2. Se dibuja el arco capaz de respecto de BC3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo y BC con un ángulo

2 Trazados fundamentales en el plano8

Dibujo Técnico2.º BACHILLERATORectificación de arcos de circunferencia

• Rectificación de arcos de circunferencia

Rectificación de un arco menor de 90º

1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales

2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro 3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E

Rectificación de un arco de 90º

1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia.2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º

E

D

F

C

O

B

A

2 Trazados fundamentales en el plano9

Dibujo Técnico2.º BACHILLERATORectificación de la semicircunferencia y la

circunferencia

• Rectificación de circunferenciasRectificación de una semicircunferencia1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia.

2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A

3. El segmento FG es la solución buscada

Rectificación de una circunferencia1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales

2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo

F

O DC

GA

B

E

Potencia de un punto respecto de unacircunferencia


Concepto de potencia

Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)


Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)


Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los pun tos de la circunferencia, determina una constante PA*PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)


Esta constante K es la misma para todas las rectas que partiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.


En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)

Trazados fundamentales en el planoPotencia de un punto respecto de una

circunferencia. Eje radical de dos circunferencias

Definición: Potencia de un punto

Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante

Definición: Eje radical

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas

p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14),

El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

Trazados fundamentales en el plano

Eje radical de dos circunferencias Propiedad:

Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias

El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias

Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferencias

Eje radical de dos circunferencias exteriores: 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s

2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s

B

A

r s

D

C

O

e

E

A

e

e

B

A

O1 O2

O1 2O

1O O2

Trazados fundamentales en el plano

Centro radical de tres circunferencias

Definición: Centro radical

Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias

1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical

1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7

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