tema 1 t fundamentales en el plano1

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tema1TRAZADOS

FUNDAMENTALES EN EL PLANO

1º BACHILLERATO

•perpendicularidad•paralelismo•operaciones con segmentos, proporcionalidad, sección áurea.•operaciones con ángulos.•circunferencia: arco capaz, rectificación, rectas y puntos notables, potencia, eje radical


Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad.

¿Cuántos?: existen muchos lugares geométricos. Su conocimiento es fundamental para estudiar la geometría.

CONOCER MÁS...


perpendicularidad


la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento


Trazado de paralelas con escuadra y cartabón


paralelismo


Trazado de paralelas con escuadra y cartabón


segmentos


Multiplicar entre si dos segmentos. Fig. 103

Construir un ángulo cualquiera transportando sobre uno de los lados sucesivamente la unidad y uno de los segmentos. Sobre el otro lado transportar el otro segmento dado, uniendo los puntos BC. Por D, trazar una paralela a B C, determinando el punto E. El segmento BE es el producto de los dos segmentos dados.

A


Dividir entre sí dos segmentos. Fig. 104.

Trazar un ángulo cualquiera, transportando sobre uno de sus lados a partir del vértice, el segmento dado como dividendo. Sobre el otro lado del ángulo, transportar sucesivamente el divisor y la unidad, uniendo los extremos BC del dividendo y divisor. Trazar una paralela a este segmento por el punto D, obteniendo el punto E. El segmento B E es el cociente entre los segmentos dados.

• Proporcionalidad: Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa

1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD

2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F.

El segmento x = AF es la media media proporcional buscada

a x

x b=

Dados dos segmentos que sumados constituyen la hipotenusa de un triángulo rectángulo

A

x

a

B-CE

b

D r

F

C b D

A a B


• Proporcionalidad: Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella

1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro el mayor de ellos.

2. Por el punto D se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada

a x

x b=

a

b

A-C

x

E D

F

C Db

B r

A a B

Dada la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo


Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97.

Sobre el segmento suma A C (S), sitúese el segmento diferencia A D (D) con orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A B Y B C.

RAZONAMIENTO


Según la construcción, la mitad del segmento S - D es el segmento menor, puesto que

S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2

Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia

RAZONAMIENTO


ALICACIONES DE LO ANTERIOR

Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig. 98


Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos

Tomando como diámetro la

diferencia de segmentos M N conocida, trazar una circunferencia así como una tangente (perpendicular a M N), por uno de los extremos M del diámetro, transportando sobre la misma la longitud A M de la media proporcional conocida. La recta que une el extremo A con el centro O de la circunferencia queda interceptada por la misma en los puntos B y C, siendo A C y A B los segmentos pedidos.


• Sección áurea de un segmento:

Definición:

Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que:

La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b

a x

x b=

Dados un segmento b = AC

b

ax

BA C

A C


Dado un segmento, hallar su división áurea

Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado

1. Por B se traza la perpendicular a r

2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco

3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco

4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea

• Sección áurea de un segmento


HALLAR UN SEGMENTO CUYA DIVISION AUREA ES UN SEGMENTO DADO.

1. Dado el segmento AB.


2. Por uno de los extremos B, se traza una recta r perpendicular al segmento.


3. Se halla el punto medio C del segmento AB trazando su mediatriz, y con centro en B y radio BC se decribe un arco hasta cortar a r en el punto D


4.se une el punto D con el extremo A, y con centro en B y radio DB se describe un arco hasta cortar a la prolongación de la recta AD en el punto E

A B

rC

DE


5. Con centro en A y radio AE se traza otro arco hasta cortar la prolongación del segmento AB en F. AF es el segmento c uya parte aurea es AB

A B

rC

DE

F


ángulos


definiciones

Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con el origen común. Las semirrectas se llaman lados y el punto vértice.

Ángulo agudo es el que mide menos de 90 ºÁngulo recto es el que mide 90°Ángulo obtuso es el que mide más 90°Ángulo llano es el que mide 180° Ángulo cóncavo es el menor de los dos ángulos que determinan los dos lados del mismo Ángulo convexo es el mayor de los dos ángulos que determinan los dos ladosSean dos rectas concurrentes r y s y una secante tÁngulos externos: 1, 2, 7 y 8. Ángulos internos: 3, 4, 5 y 6. Ángulos adyacentes externos: 1-2 y 7-8. Ángulos adyacentes internos: 3-4 y 5-6. Ángulos alternos externos: 1-7 y 2-8. Ángulos alternos internos: 3-5 y 4-6. Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que divide a éste en dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo: es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Ángulos suplementarios: son los que suman 180 ºÁngulos complementarios: son los que suman 90º.


propiedades

Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son igualesLos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales


ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.

Un ángulo rectilíneo es el formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva


Bisectriz de un ángulo mixtilíneo

Sea la recta r y el arco de centro O (fig. 30):

1. Por un punto B de la recta se traza una perpendicular, llevando sobre ella divisiones iguales: 1,2,3, etc., y trazando paralelas a r.

2.- Por un punto e del arco se traza el radio correspondiente, llevando sobre él divisiones iguales a las anteriores: 1, 2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos.

3 .-Los puntos de intersección de la paralela 1 con el arco 1, de la paralela 2 con el arco 2, de la paralela 3 con el arco 3, etc., nos determinan la bisectriz del ángulo mixtilíneo.


Bisectriz de un ángulo curvilíneo

Sean los arcos de centros 01 y O2 (fig. 31):

1.- Por los puntos arbitrarios B y C de los arcos se trazan sendos radios, llevando sobre ellos divisiones iguales: 1,2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos.

2 .-Los puntos de intersección de los arcos correspondientes nos determinan la bisectriz del ángulo curvilíneo.


Construcción de ángulos con el compás CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS

Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón


circunferencia


DEFINICIONES en la circunferencia

Circunferencia es el lugar geométrico o conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Arco es un segmento de circunferencia.

Círculo es la parte de plano interior a la circunferencia.

Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios (fig. 34).

Segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco


RECTAS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Radio (rJ: es el segmento DA de la recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia (fig. 35).

Diámetro (d): es el segmento que une los puntos B y C intersección de la circunferencia con cualquier recta que pasa por el centro.

Cuerda (e): segmento DE que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Tangente (t): es la recta que tiene un solo punto común F con la circunferencia.


Ángulos en la circunferencia

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.

El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.


Enlace de interés

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm


Arco capaz.Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos

La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro

Se llama arco capaz de un ángulo@ dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo @.


Dado el segmento AB y el angulo @

A B

@


Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@

A B

@@

90-@


A B

@@

90-@

o´

o´´

Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado


APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO

Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo Â opuesto al lado a.

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC


Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo Â opuesto al lado a.

A B

A


Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

A B

A

A BA

90-A


Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

B C

A

B CA

90-AA


2Trazados fundamentales en el

plano7

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOHallar los puntos desde donde se ven dos segmentos bajo dos ángulos conocidos

• Arco capaz (II)

Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados

1. Se dibuja el arco capaz de respecto de AB

2. Se dibuja el arco capaz de respecto de BC

3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo y BC con un ángulo



plano8

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATORectificación de arcos de circunferencia

• Rectificación de arcos de circunferencia

Rectificación de un arco menor de 90º

1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales

2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro

3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E

Rectificación de un arco de 90º

1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia.

2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC

3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia

4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º

E

D

F

C

O

B

A



plano9

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATORectificación de la semicircunferencia y la circunferencia

• Rectificación de circunferenciasRectificación de una semicircunferencia

1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia.

2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A

3. El segmento FG es la solución buscada

Rectificación de una circunferencia

1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales

2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo

F

O DC

GA

B

E

Potencia de un punto respecto de unacircunferencia


Concepto de potencia

Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)


Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)


Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los pun tos de la circunferencia, determina una constante PA . PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)


Esta constante K es la misma para todas las rectas que par tiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.


En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)



plano10

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOPotencia de un punto respecto de una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias

• Potencia de un punto

Definición: Potencia de un punto

Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante

Definición: Eje radical

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas

p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14),

se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias:

MA x MB = MC x MD

El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.



plano11

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOEje radical de dos circunferencias

• Eje radical de dos circunferenciasPropiedad:

Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias

El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias

Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferenciasEje radical de dos circunferencias exteriores: 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s

B

A

r s

D

C

O

e

E

A

e

e

B

A

O1 O2

O1 2O

1O O2



plano12

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCentro radical de tres circunferencias

• Centro radical de tres circunferenciasDefinición: Centro radical

Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias

1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2

2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical

Enlace de interés

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Potencia_punto_respecto_circunferencia/Potencia_de_un_punto_respecto_circunferencia.htm

ES MUY RECOMENDABLE VISITAR LA SIGUIENTE DIRECCIÓN PARA COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA Y EJE RADICAL

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