1SAN MARCOS SEMESTRAL 2014-III ARITMTICA TEMA D

MAGNITUDESPROPORCIONALES

ARITMTICA - TEMA D

I. OBJETIVOS Entender la necesidad de definir magnitud y cantidad. Identificar las magnitudes que nos rodean. Establecer las distintas relaciones entre las magnitudes. Mostrar en la realidad las magnitudes para establecer

sus propiedades. Poder resolver situaciones de la vida a partir de

esta teora.

II. INTRODUCCINEl hombre, desde su aparicin hasta nuestros tiempos,descubre las caractersticas y las propiedades de lamateria en la naturaleza. Estas aparecen en diversosestados, por lo que se pueden cuantificar a partir de unpatrn de medida (mdulo), como, por ejemplo, el peso,la temperatura, el tiempo, etctera, a las que se llamarmagnitudes. En este captulo se estudiarn lasmagnitudes y las relaciones que se pueden establecerentre ellas.

III.MAGNITUDAquello que puede ser medido a partir de un patrn demedida, cuyo resultado se denomina "cantidad demagnitud".Ejemplo:

A. Relacin entre dos magnitudesPara poder relacionar dos magnitudes, es necesarioaislarlas de todas las dems magnitudes o nmerosconsiderar estas constantes.

B. Magnitudes directamente proporcionalesPor ejemplo considrese que se tiene un grupo deobreros y que cada uno de ellos puede hacer 8 m3

de obra por da, y analcese la relacin entre las mag-nitudes "nmero de obreros" y "cantidad de obra"realizada en un da.

Se observa:

1 4 2 6 0,1258 32 16 48

= = = =

La relacin de los valores correspondientes de lasdos magnitudes es constante. Cuando esto se da, alas magnitudes se les llama MAGNITUDES DIRECTA-MENTE PROPORCIONALES.Luego:(Nmeros de obreros) D. P. (cantidad de obra)Nota:Nota que, para llegar a esta conclusin, se ha consi-derado que la eficiencia, nmero de das, etctera,permanecen constantes.Representacin grfica de esta relacin:

Se observa en la grficaque la relacin es unconjunto de puntos quepermanecen en unamisma lnea recta.

DESARROLLO DEL TEMA

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Nota:Si aumentan o disminuyen ambas magnitudes , serndirectamente proporcionales.

1. DefinicinDos magnitudes A y B son D. P. si la relacin desus valores correspondientes es constante, lo quese denota:

La grfica de dicha relacin es un conjunto depuntos que permanecen en una misma lnea, quepasa por el origen de las coordenadas.

2. Funcin de proporcionalidadAnalcese dos magnitudes A y B D. P. como funcinde proporcionalidad. Se sabe que se cumple paraA y B lo siguiente:

Llmese: "y" al valor de A, "x" al valor de B y "m" a la constante.

Se tiene entonces: y m,x

=lo que representa la ecuacin de una recta, quepasa por el origen de coordenadas. Adems:

y = xmy = f(x)

f(x) = xmEn donde a f (x) se le llama funcin deproporcionalidad directa.

C. Magnitudes inversamente proporcionalesPor ejemplo, se considera que 18 obreros puedenhacer una obra en 20 das, y se analizan los valorescorrespondientes que pueden asumir las magnitudes"nmero de obreros" y "nmeros de das" para realizarla obra.

Se observa lo siguiente:18 20 = 36 10 = 9 40 = 45 8 = 360.El producto de sus valores correspondientes esconstante. Cuando dos magnitudes cumplen estacondicin, se les llama "Magnitudes inversamenteproporcionales".(Nmeros de obreros) I. P. (nmeros de das)

Se observa que las reas de los rectngulos son iguales.

1. DefinicinDos magnitudes de A y B son inversamenteproporcionales si el producto de sus valorescorrespondientes es constante, lo que se denota:(valor de A) . (valor de B) = K; (K es constante)

2. Funcin de proporcionalidadAnalcese 2 magnitudes A y B I. P. como funcinde proporcionalidad. Se sabe:

(valor de A) (valor de B) = (constante)Llmese: "y" al valor de A,

"x" al valor de B y "m" a la constante.

Luego : ( y x = m) my ,

x=

lo que representa la ecuacin de una hiprbolaequiltera: y = f(x)

mf(x)x

=

En donde a f (x) se le llama funcin deproporcionalidad inversa.

IV. PROPIEDADESSean las magnitudes A, B, C, D y E:A) A D. P. B B D. P. A

A I. P. B B I. P. A

B) A I. P. B A D. P. 1B

A D. P. B A I. P. 1B

C) A D. P. B ; A I. P. B

n n

n n

A I. P. B

A I. P. B

D) Si A D. P. B cuando C es constante yA D. P. C cuando B es constante,

entonces, A D. P. (B x C).E) Si

A D. P. B (C, D y E son constantes).A I. P. C (B, D y E son constantes).A D. P. D (B, C y E son constantes).A I. P. E (B, C y D son constantes).

A C EEntonces : constante.B D

=

Nota:Si una magnitud aumenta y la otra disminuye, ser"inversamente proporcional".

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Problema 1La magnitud A es D.P. B y a la vez I.P.C. Cuando A es 15, B es 18 y C es 8,determina el valor de C, cuando A es10 y B es 9.

Nivel fcil

A) 4 B) 5C) 6 D) 7E) 8

Resolucin:

Valor de A Valor de CK

Valor de B

15 8 10 x x 618 9

=

==

el valor de C es 6.

Respuesta: C) 6

Problema 2Una rueda "A" de 81 dientes engranacon otra rueda "B" de 45 dientes. Si larueda "A" gira a razn de 10 RPM,cuntas vueltas dar la rueda "B" en8 minutos?

Nivel intermedio

A) 125 B) 185C) 165 D) 132E) 144

Resolucin:(#dientes)(#vueltas)=KEntonces: (81)(10) = (45)(x)

x = 18 8(18) = 144

Respuesta: E) 144

Problema 3El precio de un libro vara en formaproporcional al nmero de hojas que

posee e I.P. al nmero de ejempla-res editados. Si un libro de 480 p-ginas, del cual se han editado 1500ejemplares, cuesta S/.32, cuntocostar un libro de 300 hojas si seeditan 500 ejemplares ms?

Nivel difcil

A) 10 B) 20C) 30 D) 40E) 50

Resolucin:

Precio # de ejemplares# de hojas

32 1500 x 2000240 300

x 30

=

=

Respuesta: C) 30

NIVEL I

1. Si "A" es DP a "B" . Cul ser elvalor de "B" cuando: A = 64? Sicuando A = 8 y B = 5.A) 40 B) 56 C) 72D) 26 E) 35

2. Si A DP B2, A IP C ; cuandoA = 2; B = 2 y C = 8. Hallar A,si B = 5 y C = 50.A) 16 B) 6 C) 7D) 9 E) 5

3. Se sabe que A2 es D.P. a B. Si A = 2,cuando B = 16, calcular A cuan-do B = 12.

A) 3 B) 3 C) 5D) 5 E) 4

4. La longitud de un resorte es de8 cm y si soporta un peso de 50 g,su longitud es de 10 cm. Culser su longitud si soporta un

peso que es el doble del anterior,sabiendo que la elongacin es D.P.al peso que soporta?A) 16 cm B) 6 cmC) 14 cm E) 12 cmD) 15 cm

5. Se contratan 24 obreros paraconstruir un tnel y faltando 15das para terminarlo 4 de ellos su-frieron un accidente y se retira-ron de la obra. En Cuantos daslos obreros restantes terminaronla obra?A) 18 B) 15 C) 21D) 24 E) 28

NIVEL II

6. Dos engranajes de 21 y 28 dien-tes estn en contacto. Si juntosen 2 minutos dan 56 vueltas,cuntas vueltas dar un tercerengranaje que est unida median-te un eje al segundo en unminuto?

A) 10 B) 12 C) 15

D) 18 E) 20

7. Cinco obreros tejen 12 chompasen 15 das. Si se desea tejer 60chompas en 25 das, cuntosobreros doblemente rpidos de-ben contratarse adems de lo queya se tienen?

A) 1 B) 3 C) 5

D) 7 E) 9

8. El valor de una joya vara en for-ma proporcional al cuadrado de supeso. Cunto se pierde al partiruna joya que cost S/.2997 en 3partes cuyos pesos son entre scomo 4, 3 y 2?

A) S/.1915

B) S/.1924

C) S/.1918

D) S/.1932

E) S/.1929

PROBLEMAS RESUELTOS

problemas de clase

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A) 96 B) 102 C) 192D) 144 E) 196

12. Cinco obreros son capaces dehacer 30 mesas y 30 sillas en 16das. En cuntos das ms, 8obreros (de habilidad igual a latercera parte de los anteriores)sern capaces de hacer 20 mesasy 12 sillas, sabiendo que hacer unamesa representa el triple de tra-bajo que hacer una silla?A) 18 B) 4 C) 15D) 2 E) 16

NIVEL III

13. Al pintar las caras de 2 cubos igua-les me sobraron 60 tarros de pin-tura. Cuntos tarros me sobra-ran o faltaran al pintar 3 cubos

iguales cuyos volmenes sean 328

ms que el anterior, si al pintar uncubo de cada tipo me sobraron45 tarros de pintura?

A) Sobraran 3B) Faltaran 12C) Faltaran 15D) Sobraran 15E) Faltaran 3

14. Una cuadrilla de obreros puedehacer una obra en 18 das. En losprimeros 10 das trabaj solamen-te la tercera parte de la cuadrilla.Para terminar la obra trabajaron 22obreros durante 54 das, ya que ladificultad de la segunda parte dela obra es 2 veces mayor que la dela primera. Cuntos obreros cons-tituyen la cuadrilla?A) 81 B) 24 C) 27D) 30 E) 33

15. La hierba crece en un prado conigual rapidez y espesura. Si se sabeque 60 vacas se la comeran en25 das; y 40 vacas en 45 das,cuntas vacas se comeran todala hierba en 75 das?A) 45 B) 40 C) 30D) 25 E) 35

9. Un reservorio cilndrico de 8 m deradio y 12 de altura, abastece a75 personas durante 20 das.Cul deber ser el radio de unrecipiente de 6 m de altura queabastecera a 50 personas duran-te 2 meses?A) 8 B) 16 C) 11D) 24 E) 18

10. Se tiene un sistema de 3 ruedasdentadas A, B y C con 24, 36 y45 dientes respectivamente. A seengrana con B y a su vez se en-grana con C. Calcula cuantas vuel-tas debe dar B para generar unmovimiento en las otras en el cualel numero de vueltas de A exce-de al de C en 28.A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

11. Tres hombres y 11 muchachoshacen un trabajo en 12 das, 2hombres y 2 muchachos hacen elmismo trabajo en 36 das. Encuntos das hace el mismo tra-bajo un solo muchacho?