iii – variáveis estatísticas...
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Tratamento de Dados 2º Semestre 2005/2006
III – Variáveis Estatísticas Unidimensionais
1. Medidas de Localização
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Qualidades das medidas descritivas
a) objectividadeb) dependência de todas as observaçõesc) ter significado concreto, de interpretação
simples e imediatad) serem fáceis de calculare) serem pouco sensíveis aos valores extremosf) prestarem-se facilmente ao cálculo numérico
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Tipo de Medidas Descritivas
a) localização ou tendência centralb) dispersãoc) concentraçãod) forma
- assimetria- achatamento
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a) Dados não-classificados
b) Dados classificadosN
x
Nxxxx
N
ii
N∑==+++= 121 ......
x’j : pontos médios de cada classe mwj : pesos das classes
∑∑
=
= ==m
jjj
m
jjj
xfN
xnx
1
'1
'
ou
∑
∑
=
== m
jj
m
jjj
w
xwx
1
1
'
Medidas de localizaçãoMédia Aritmética
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Propriedades da média aritmética
A média aritmética é uma função das observaçõesPode escrever-se como
),......,( 21 Nxxxmx =
a média aritmética goza das seguintes propriedades
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1ª Propriedade
Dem.
kxxxmNNk
Nxxx
N
N
+=
=++++=
),....,,(
......
21
21
c.q.d.
kxxxmkxkxkxm NN +=+++ ),...,,(),...,,( 2121
=++++++=
=+++=
Nkxkxkx
kxkxkxmx
N
N
......),...,,(
21
21
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2ª Propriedade
Dem.
=+++=N
kxkxkxkxkxkxm NN
....),....,,( 2121
),...,,(
....
21
21
N
N
xxxkmN
xxxk
=
=+++=
c.q.d.
),...,,(),...,,( 2121 NN xxxkmkxkxkxm =
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3ª Propriedade
Dem.
...),...,,(),...,(...)...,...,(
2121
2211
++==++++++
NN
NN
yyymxxxmyxyxyxm
=+++++++=
=++++++
Nyxyxyx
yxyxyxm
NN
NN
.........)...,...,(
2211
2211
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3ª Propriedade (cont.)
=++++++++= ......... 2121
Nyyy
Nxxx NN
...)...()......(
21
21
++++++++++=
N
N
yyymxxxm
c.q.d.
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Se uma amostra com N elementos estiver dividida em k sub-amostras com N1, N2 ,.., Nkelementos, então
4ª Propriedade
Dem.Admitam-se as k sub-amostras N1 , N2 ,..., Nkcom
NNk
jj =∑
=1
NxNxNxNx kk+++= ...2211
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4ª Propriedade (cont. 1)
=+++
+
+++++
++++
=
Nxxx
Nxxx
Nxxx
x
kkNkk
NN
...
.........
21
2222111211 21
=+++
+
++++
++++
=
NNxxx
N
NNxxx
NNN
xxxN
k
kNkkk
NN
k...
...
.........
21
2
222212
1
112111
21
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4ª Propriedade (cont. 2)
c.q.d.
=+++=NxN
NxN
NxN k
k...22
11
NxNxNxN kk+++
=...2211
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5ª Propriedade
0),...,,( 21 =−−− xxxxxxm N
Dem.Basta aplicar a 1ª propriedade, com xk −=
=+==+++
kxxxmkxkxkxm
N
N
),...,,(),...,,(
21
21
0=−=+= xxkx c.q.d.
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6ª Propriedade
N
VxV
VxVxVxmVxN
ii
N
)(
),...,,(
1
21
∑=
−+=
=−−−+=
Dem.Basta aplicar a 1ª propriedade, com
Vxx ii −= e Vk =
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6ª Propriedade (cont.)
=+−+−+−= ),...,,( 21 VVxVVxVVxmx N
=+−−−= VVxVxVxm N ),...,,( 21
N
VxV
N
ii∑
=
−+= 1
)(
c.q.d.
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mínimo ⇔ V =⎯x( )2
1∑=
−N
ii Vx
7ª Propriedade
Dem.∑∑==
=−−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
∂∂ N
ii
N
ii VxVx
V 1
2
10)(2)(
Donde∑=
=−N
ii NVx
10
01 =−∑= VN
xN
ii
e VxVx =→=−→ 0c.q.d.
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Média geométrica
C1= C0 (1+i1 )
C2= C1 (1+i2 )= C0 (1+i1 )(1+i2 )............CN = C0 (1+i)N
(1+i)N = (1+i1 )(1+i2 )...(1+iN )
NNiiii )1)...(1)(1(1 21 +++=+
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Média geométrica (cont.)
Dados não-classificados
NN
iiN
N
iig xxm
1
11⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∏∏==
Dados classificadosNm
j
njN
nj
m
jg
jj xxm
1
11⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∏∏
==
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Cálculo da média geométrica
∑=
=N
iig x
Nm
1ln1ln
)ln(1ln1
j
m
jjg xn
Nm ∑
=
=
com xi ; xj > 0
O logaritmo da média geométrica é igual a média aritmética dos logaritmos dos valores
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Média harmónicaRendimento anual =2000 €
p1=25 € ; p2=40 € ; p3=50 €
33.383
504025 =++=p
1º ano 2000/25= 80 unidades2º ano 2000/40= 50 unidades3º ano 2000/50= 40 unidades
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Média harmónica (cont. 1)
29.351706000
405080504040502580 ==
++×+×+×=p
29.35085.03
501
401
251
311
1
1
==++
==∑=
N
i i
h
xN
m
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Média harmónica (cont. 2)Dados não-classificados
∑=
= N
i i
h
x
Nm
1
1
Dados classificados
Média harmónica: inverso da média aritmética dos inversos
∑∑
∑
==
= == m
j j
jm
j j
j
m
jj
h
xf
xn
nm
11
1 1
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Média quadráticaDados não-classificados
N
xm
N
ii
q
∑== 1
2
Dados classificados
∑
∑
=
== m
jj
j
m
jj
q
n
xnm
1
2
1
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rm
j
rjj
rN
i
ri xfrmx
Nrm
1
1
1
1)(ou 1)( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑==
h
g
q
mrmrmrmrxrmrmrmr
=⇒−=
=⇒==⇒=
=⇒=
)(1
)(0)(1
)(2
Formula geral das médias
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Mediana
Nxxx ≤≤≤ ......21
a) Variáveis discretas
1+= kxM se N=2k+1 (impar)
21++
= kk xxM se N=2k (par)
b) Variáveis contínuasF
i* (M)= 0.5
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Modaa) Variáveis discretas
Quadro de frequências ou Diagrama de barras(Quadro II.1 ou Gráficos II.1 e II.2)
b) Variáveis contínuasQuadro de frequências ou Histograma
(Quadro II.5 ou Gráficos II.5 e II.6)
Classe modal
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Moda (cont.)Fórmula de King
1010
1000mod
+−
+
++=
fffhl
ondel0 = limite inferior da classe modal
f0+1 = frequência da classe a seguir à classe modal
f0-1 = frequência da classe anterior à classe modal
h0 = amplitude da classe modal