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Interludio: El Movimiento Armónico Simple (MAS)
1. Definición
Es el movimiento oscilatorio de la proyección sobre el diámetro cualquiera de un punto que se
mueve con movimiento circular uniforme, según se muestra en la Fig. 1.1.
Fig. 1 (a) Representaciones del MAS: aun cuando el móvil emplea el mismo tiempo en ir de un
punto a otro, los espacios recorridos en tiempos iguales son tanto mayores cuanto más próximo a
su posición de equilibrio se encuentra el móvil, es decir, en el MAS, la velocidad del móvil es
tanto mayor cuanto más lejos se encuentra el móvil de los extremos de su trayectoria, siendo nula
en esos puntos y máxima en el centro. Las líneas verticales representan las proyecciones de cada
posición de la partícula sobre la recta AB. (b) y (c) Las flechas señalan el movimiento en cuestión.
(d) Gráfica del movimiento de la proyección. (e) El movimiento de un sistema masa-resorte
también se mueve con MAS.
(a) (b) (c)
Sombra
con MAS
(d)
Aquí, la velocidad es
cero y la aceleración
es máxima.
Aquí, la velocidad es cero
y la aceleración es máxima
Aquí, la velocidad es máxima
y la aceleración es cero.
O
Posición de equilibrio
x
Longitud de onda ()
Amplitud
A
MCU
¡ Importante: el MAS no es un
movimiento circular uniforme ¡
como puede apreciarse por la
gráfica.
+
Elongación
Longitu
(e)
MAS
Proyección
Proyección
ortogonal P
P’
2
La explicación del movimiento de la “sombra” proyectada por el movimiento de la partícula con
MCU, sobre el diámetro según se muestra en la Fig. 1, es la siguiente:
1. Se proyecta el movimiento de la partícula P (mostrado en la Fig. 1a), sobre el diámetro ,
donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. P' se mueve con movimiento
oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo
de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo
largo del diámetro AB , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación
sobre el diámetro. Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P, su
proyección ortogonal sobre el diámetro determina igualmente la posición, velocidad y
aceleración de P'.
2. Cuando el móvil va de A a O o de B a O, su movimiento es acelerado (+a); mientras va de O
a A o de O a B, su movimiento es retardado (a) por alejarse del centro.
3. En el MAS, el movimiento es acelerado siempre que el móvil se dirige hacia el centro o su
posición de equilibrio y retardado siempre que se aleja de ella.
4. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues
constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza
y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que
lo define es función del seno o del coseno.
5. El movimiento armónico simple se puede estudiar desde el punto de vista de la cinemática, la
dinámica y la energía.
6. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los
tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que
realizan los cuerpos elásticos.
7. Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables
del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir se repiten los
valores de las magnitudes que lo caracterizan.
8. Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en
los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un
mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene sobre
una misma trayectoria.
9. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su origen en el
punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son
iguales.
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10. Un movimiento vibratorio es armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede
describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser
compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya
un solo período, el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple (MAS).
Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de
muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.
11. Oscilaciones y Vibraciones.-Es frecuente en la naturaleza la existencia de movimientos en
los cuales la velocidad y aceleración no son constantes. Un movimiento que presenta tales
características es el movimiento vibratorio u oscilatorio. En los movimientos oscilatorios el
cuerpo va de una posición extrema y regresa a la posición inicial pasando siempre por la
misma trayectoria. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de
movimiento son: el latido del corazón, el péndulo de un reloj, las vibraciones de los átomos.
12. Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios
relacionados con el sonido y la luz. Como ejemplos de movimientos vibratorios existe la
vibración de las columnas de aire de los instrumentos musicales, la vibración de un edificio o
un puente por efecto de un terremoto, las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío, una
masa unida al extremo de un resorte, etc. Entre los infinitos tipos de movimientos vibratorios
que existen en la naturaleza el más importante es el armónico simple.
2. Dinámica del MAS
Para estudiar algunas de las características relacionadas con los objetos que vibran se considera el
caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin fricción, como el
ilustrado en la Fig. 2. Cuando un objeto en un resorte (a) se desplaza respecto de su posición de
equilibrio x = 0 y (b) se suelta, el objeto adquiere un MAS. El tiempo que le toma completar un
ciclo es el periodo de oscilación T.
Fig. 2 Caso típico: sistema masa-resorte. Cuando se separa un resorte de su posición
de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un MAS (a-e).
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La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamiento x, pero de sentido
contrario a él, pudiéndose escribir que:
xkF ............................................................... (1)
Esta relación conocida como la ley de Hooke, indica que la fuerza es proporcional al
desplazamiento y el signo () se coloca para señalar que la fuerza tiene sentido contrario al
desplazamiento; es decir, la fuerza siempre tiende a restaurar el resorte a su posición de
equilibrio, que es una de las características más importante del MAS. Todos los cuerpos elásticos
que cumplan la Ley de Hooke, al ser sometidos a una fuerza vibran con MAS.
Analizando el MAS, se tiene que al soltar el cuerpo, la fuerza que actúa sobre él produce una
aceleración que es proporcional a F, la que de acuerdo a la segunda ley de Newton es:
amF ............................................................... (2)
Donde:
F = Fuerza restauradora, N.
m Es la masa que vibra, kg.
a Es la aceleración instantánea, m/s2.
3. Energía y rapidez de un sistema masa-resorte en MAS
Refiriéndose a la Fig. 2, la energía potencia almacenada por un resorte que se estira o comprime
una distancia x respecto al equilibrio (donde 0x ) es:
2kx2
1U .............................................................. (3)
El cambio de energía potencia de un objeto que oscila en un resorte está relacionado con el
trabajo efectuado por la fuerza del resorte. Un objeto con masa m que oscila en un resorte
también tiene energía cinética. Juntas, la energía cinética y la energía potencial dan la energía
mecánica total del sistema:
22 kx2
1mv
2
1UKE ..................................................... (4)
Donde:
K = Energía cinética, J.
U = Energía potencia, J.
v = Velocidad, m/s.
k = Constante elástica, N/m.
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Como se muestra en la Fig. 3, cuando el objeto está en uno de sus desplazamientos máximos, +A
o A, está instantáneamente en reposo, por lo que 0v . Por lo tanto, toda la energía está en
forma de energía potencia (Umax) en este punto. Es decir:
222kA
2
1Ak
2
10m
2
1E
O sea que la energía total de un objeto que se mueve con MAS es:
2kA2
1E .............................................................. (5)
Fig. 3 Energía y oscilaciones según la posición de la partícula en MAS.
Siendo
222 kx
2
1mv
2
1kA
2
1
UKE
Se puede despejar la velocidad v obteniendo:
m
xAkv
222
Arreglándola:
22 xAm
kv ................................................ (6)
Ecuación que expresa la velocidad de un objeto en MAS.
Los signos indican la dirección de la velocidad. En Ax , la velocidad es cero porque el
objeto está instantáneamente en reposo en su desplazamiento máximo respecto al equilibrio.
Cuando el objeto oscilante pasa por su posición de equilibrio, en 0x ,su energía potencial es
cero. En ese instante, toda la energía es cinética, y el objeto viaja con una rapidez máxima maxv .
6
La expresión para la energía en este caso es: 22 mv2
1kA
2
1E , así que:
Am
kvmax ......................................................... (7)
4. Elementos de un MAS
Tomar como referencia la Fig. 1.
4.1 Oscilación sencilla.-Movimiento de un extremo al otro de la trayectoria.
4.2 Oscilación completa.-Movimiento de un extremo a otro de la trayectoria y regreso al
punto de partida.
4.3 Período (T).-Tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución completa.
4.4 Frecuencia ( f ).-Número de vueltas o revoluciones dadas por el móvil en la unidad de
tiempo.
4.5 Velocidad angular (w).-Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo.
También es llamada frecuencia angular y se expresa en rad/s. Representa la velocidad
angular del MCU auxiliar. Es una constante del MAS.
4.6 Punto de equilibrio (O).-Es el centro de la trayectoria descrita. Es la posición en la cual
no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.
4.7 Fase.-Es el tiempo transcurrido desde la última vez que el móvil pasó por su posición de
equilibrio moviéndose en sentido positivo (+). Representa la posición angular de la
partícula en el MCU auxiliar para el tiempo t. Es (wt + ).
4.8 Elongación.-Distancia que separa al móvil de su posición de equilibrio.
4.9 Amplitud.-Es el mayor valor de la elongación.
4.10 Fase inicial ().-Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el MCU
auxiliar.
5. Ecuaciones fundamentales del MAS
1Tf .................................................................... (1)
2T ............................................................. (2)
Tf 2 2 ............................................................ (3)
2f ........................................................................ (4)
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6. Ejemplos de MAS
6.1 Un bloque de 0.25 kg descansa sobre una superficie sin fricción y está conectado a un
resorte ligero cuya constante vale 180 N/m. Si el bloque se desplaza 15 cm respecto a su
posición de equilibrio y se suelta, (a) ¿qué energía total tendrá el sistema, y (b) qué rapidez
tendrá el bloque cuando esté a 10 cm de su posición de equilibrio?
Datos:
m = 0.25 kg.
k = 180 N/m.
A = 15 cm = 0.15 m.
x = 10 cm = 0.1 m.
(a) Energía total E.
J 025.2m15.0m
N180
2
1kA
2
1E
22
(b) La velocidad en 10 cm de desplazamiento.
s
m3m1.0m15.0
kg 25.0
m
N180
xAm
kv
2222
6.2 Cuando una masa de 0.5 kg se cuelga de un resorte según se muestra en la Fig. 4 , éste se
estira 10 cm hasta una nueva posición de equilibrio. (a) Calcular la constante k del resorte.
(b) Luego, se tira de la masa hacia abajo desplazándola 5.0 cm, y se suelta. ¿Qué altura
máxima alcanza la masa oscilante?
Datos:
m = 0.5 kg
x = 10 cm = 0.1 m.
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Fig. 4 Determinación de la constante k de un resorte.
(a) Calcular la constante k del resorte.
Cuando la masa suspendida está en equilibrio, la fuerza neta sobre la masa es cero. Por lo
tanto, el peso de la masa y la fuerza de resorte son iguales y opuestas. Al igualar sus
magnitudes se obtiene:
wFr
O sea:
mgkyo
Por lo tanto:
m
N05.40
m1.0
s
m81.9kg5.0
y
mgk
2
o
¿Qué altura máxima alcanza la masa oscilante?
Como se muestra en la Fig. 4, la masa oscila verticalmente en torno a la posición de
equilibrio, siendo el movimiento simétrico, por lo que es la referencia cero de la oscilación.
El desplazamiento inicial es A , así que la posición más alta de la masa es 0.5 cm arriba
de la posición de equilibrio A .
7. Ecuaciones de movimiento
Como se ilustra en la Fig. 5a, la sombra de un objeto en movimiento circular uniforme tiene el
mismo movimiento vertical que un objeto que oscila en movimiento armónico simple en un
resorte.
Fig. 5 Círculo de referencia para el movimiento vertical.
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La ecuación de movimiento de un objeto, es la ecuación que da la posición del objeto en función
del tiempo. Por ejemplo, la ecuación de movimiento con una aceleración rectilínea constante es
2o at
2
1tvx , donde ov es la velocidad inicial. Sin embargo, en el MAS, la aceleración no es
constante.
Se puede obtener la ecuación del movimiento para un objeto en MAS a partir de una relación
entre los movimientos armónico simple y circular uniforme (MCU), como se muestra en la Fig.
5. Mientras el objeto iluminado se mueve con MCU en un plano vertical, (con velocidad angular
w constante), su sombra se mueve hacia arriba y hacia abajo verticalmente, siguiendo el mismo
camino que el objeto en el resorte, que tiene MAS. Puesto que la sombra y el objeto tienen la
misma posición en cualquier momento, se obtiene que la ecuación de movimiento de la sombra
del objeto con MCU es la ecuación de movimiento del objeto que oscila en el resorte.
En el círculo de referencia de la Fig. 5b, se aprecia que la coordenada y del objeto está dada por:
SenAy ......................................... (5)
La velocidad angular, es el ángulo descrito por el radio en la
unidad de tiempo, y se expresa como:
tw
................................................ (6)
Y como el objeto se mueve con velocidad angular w
constante, entonces: wt , en 0 y 0t , por lo tanto:
wt SenAy ....................................... (7)
Podemos observar que al aumentar t desde cero, y aumenta en la dirección positiva, así que la
ecuación describe el movimiento inicial hacia arriba.
Con la ecuación wt SenAy como ecuación de movimiento, la masa siempre debe estar
inicialmente en 0y0 . Sin embargo, ¿qué pasa si la masa colgada del resorte estuviera
inicialmente en la posición de amplitud A ?
En ese caso, la ecuación del seno no describiría el movimiento, porque no describe la condición
inicial, 0y0 en 0t . Por lo tanto, necesitamos otra ecuación de movimiento:
Coswt Ay .......................................................... (8)
Con esta ecuación, en 0t0 , la masa está en A0Cosw ACoswt Ay
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Así que la ecuación del coseno sí describe correctamente las condiciones iniciales, como se
señala en la Fig. 6.
Fig. 6 La función coseno describe el MAS cuando Ay .
Con Coswt Ay , el movimiento inicial es hacia abajo porque un poco después de 0t0 , el
valor de y disminuye.
Si la amplitud fuese A, la masa estaría inicialmente en esa posición (abajo), y el movimiento
inicial sería hacia arriba.
Por lo tanto, la ecuación de movimiento de un objeto oscilante puede ser una función seno o
coseno. Ambas funciones se describen como senoidales. Es decir, el MAS se describe con una
función senoidal del tiempo.
Por su parte, la velocidad angular w (rapidez, en rad/s), del objeto en el círculo de referencia, es
la frecuencia angular del objeto oscilante, porque f 2w . Por lo tanto, y también se puede
escribir como:
T
t 2ASenft 2SenAy
............................................... (9)
Esta ecuación corresponde a cuando el movimiento inicial es hacia arriba, porque, después de
to = 0, el valor de y aumenta en dirección positiva. Si el movimiento inicial es hacia abajo, el
término de amplitud es A. Las ecuaciones mencionadas, se utilizan a conveniencia, según los
parámetros que conozcamos.
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Por ejemplo, si nos proporcionan el tiempo t en términos del periodo T, digamos to = 0, t1 =T/4 y
t2 =3T/4, y nos piden determinar la posición de un objeto en MAS en esos instantes. En un caso
así, nos conviene usar la ecuación (9):
Para
0t0
00 ASenT
02ASeny0
4
Tt1 A
2ASen
T
4
T2
ASeny1
4
T3t2 A
2
3ASen
T
4
T32
ASeny2
Los resultados nos dicen que el objeto estaba inicialmente en y = 0, lo cual ya sabíamos. Un
cuarto de periodo después, estaba en y = A, la amplitud de su oscilación; y después de tres
cuartos de periodo (3T/4) estaba en la posición A, lo cual era de esperar, puesto que se trata de
un movimiento periódico.
Por lo tanto, podemos escribir de manera general que:
T
t 2ASenf 2ASen wtASeny
................................... (10)
+A, para movimiento inicial hacia arriba con yo = 0.
A, para movimiento inicial hacia abajo con yo = 0.
Similarmente:
T
t 2ACosf 2ACos wtACosy
................................. (11)
+A, para movimiento inicial hacia abajo con yo = +A.
A, para movimiento inicial hacia arriba con yo = A.
Para constatar lo útil que es el círculo de referencia, usémoslo para calcular el periodo del sistema
masa-resorte. El tiempo que tarda el objeto del círculo de referencia en efectuar una “órbita”
completa es exactamente el tiempo que tarda el objeto en oscilación en completar un ciclo, como
se muestra en la Fig. 5, nuevamente reproducida a continuación, para mayor facilidad.
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Por lo tanto, si conocemos el tiempo de una órbita en el círculo de referencia, tendremos el
periodo de oscilación. Puesto que el objeto en “órbita” en el círculo de referencia está con
movimiento circular uniforme con rapidez constante igual a la rapidez máxima de oscilación vmax,
el objeto recorre una distancia de una circunferencia en un periodo. Entonces, t = d/v, donde
t = T, d es la circunferencia y v es vmax dada por la ecuación Am
kvmax . Es decir:
Am
k
A2
v
dT
, o sea:
k
m2T ................................................................... (12)
Las amplitudes se cancelan en la ecuación anterior, así que el periodo y la frecuencia son
independientes de la amplitud del movimiento. Esta formación es una característica general de
los osciladores armónicos simples, es decir, los osciladores impulsados por una fuerza
restauradora lineal, como la de un resorte que obedece la ley de Hooke.
La ecuación anterior, también nos dice que cuanto mayor es la masa, mayor es el periodo, y
que cuanto mayor es la constante del resorte k, menor es el periodo. Es la razón masa/rigidez
la que determina el periodo. Por lo tanto, podemos compensar un aumento en la masa empleando
un resorte más rígido. Puesto que T
1f , entonces la frecuencia del objeto que oscila en el
resorte es:
m
k
2
1f
................................................................. (13)
Fig. 5
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También, dado que f 2w , entonces la frecuencia angular de un objeto que oscila en un
resorte es:
m
kw ........................................................................ (14)
Así, cuanto mayor es la constante del resorte (más rígido), con mayor frecuencia vibra el sistema,
como era de esperar.
8. Condiciones iniciales
Quizás se esté preguntando cómo decidir si usará una función seno o coseno para describir un
MAS.
En general, la forma de la función depende del desplazamiento y las velocidades iniciales del
objeto: son las condiciones iniciales del sistema.
Estas condiciones iniciales son los valores del desplazamiento y la velocidad en t = 0; juntos,
nos dicen cómo se puso en movimiento inicialmente el sistema.
8.1 Cuatro casos especiales
Vienen enunciados en los recuadros de la Fig. 7.
Caso 1:
Cuando el desplazamiento inicial es y = 0 en t = 0
y se mueve hacia arriba +A, utilizar y = A Sen wt.
y = A Cos wt no satisface la condición inicial, porque
y0 = A Cos wt = A (0) = A, ya que Cos 0 = 1.
Caso 2:
Cuando el movimiento comienza en t = 0 desde +A,
utilizar y = A Cos wt, porque satisface la condición
inicial y0 = A Cos w(0) = 1. Atraso de 90° respecto de y = A Sen wt
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Caso 3:
Cuando el movimiento comienza en y = 0 en t = 0
con el movimiento hacia abajo, en la dirección A,
utilizar y = A Sen wt. Atraso de 180° respecto de y = A Sen wt
Caso 4:
Cuando el movimiento comienza en y = A en t = 0
con el movimiento hacia arriba, en la dirección +A,
utilizar y = A Cos wt. Atraso de 270° respecto de y = A Sen wt
Fig. 7 Condiciones iniciales y ecuaciones de movimiento en el MAS.
Fig. 9 Si las curvas se extienden en la dirección negativa del eje horizontal
(líneas punteadas), tienen la misma forma, pero se han desplazado.
Suponiendo Cuando dos objetos en MAS tienen la misma ecuación de
movimiento, están oscilando en fase. Fase, es el tiempo desde la última vez
que la partícula pasó por su posición de equilibrio.
La diferencia de fase entre el
movimiento (a) y el (b) es de
90°.
90°
15
0
0.5
0.7071
0.866
1
0.866
0.7071
0.5
0
- 0.5
- 0.866
- 1
- 0.866
- 0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
Grados
Val
or
f(Sen)
10.866
0.7071
0.5
0
- 0.5
- 0.7071- 0.866
- 1- 0.866
- 0.5
0
0.5
0.8661
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360
Grados
Val
or
f(Cos)
8.2 Gráficas de las funciones seno y coseno
Los valores de dichas funciones se presentan en la Tabla 1, mientras que sus representaciones
gráficas se muestran en la Fig. 8.
Tabla 1 Valores alcanzados por las funciones seno y coseno.
Fig. 8 Gráficas de las funciones seno (a) y coseno (b).
Ángulo (°) Sen Cos
0 0 1
30 0.5 0.866
45 0.7071 0.7071
60 0.866 0.5
90 1 0
120 0.866 -0.5
135 0.7071 -0.7071
150 0.5 -0.866
180 0 -1
210 -0.5 -0.866
240 -0.866 -0.5
270 -1 0
300 -0.866 0.5
330 -0.5 0.866
360 0 1