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Verificação e Validação em CFD
− Erro de arredondamento.
− Erro iterativo.
− Erro de discretização.
As três componentes do erro numérico têmcomportamentos diferentes com o aumentodo número de graus de liberdade (refinamentoda malha).
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro de arredondamento:
> Devido à precisão finita dos computadores.
> Pode ser minorado utilizando precisão dupla.
> Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre númerosvárias ordens de grandeza superiores).
> Aumenta com o aumento do número de graus deliberdade (refinamento da malha).
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro de arredondamento, exemplo:
Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D)
(n+1)2 coeficientes determinados a partir de (n+1)2
pontos em se conhece φi(xi,yi)
2. Erro numérico
[ ]n
n
n
n
ybybb
xa
xa
a
yx ...,,,...
),(21
2
1
=φ
Verificação e Validação em CFD
− Erro de arredondamento, exemplo:
Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D)
Determinação dos coeficientes do polinómioconduz a um sistema de equações lineares
Primeiro termo da diagonal principal: 1
Último termo da diagonal principal: xnyn
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo:
> Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento).
> Desacoplamento das equações(modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosidade turbulenta conhecida).
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo:
> Esquemas de discretização com correcçõesexplícitas para os termos de ordem superior.
> Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos(Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados,GMRES, ...).
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo:
> Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existiremproblemas com o erro de arredondamento).
> Aumento do número de graus de liberdade(refinamento da malha) tende a dificultar aredução do erro iterativo. Técnicas “multigrid”podem evitar problemas com a dimensão dosistema de equações a resolver.
2. Erro numérico
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− Erro iterativo:
> É importante definir (conhecer) o significadode uma iteração.
> Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis.
> Para estimativas do erro iterativo, a norma L∞
é mais indicada que as normas L1e L2.
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo, exemplo:
> Cálculo do escoamento turbulento num canalcom as equações de Navier-Stokes em médiatemporal de Reynolds. Modelo de viscosidade turbulenta de Spalart & Allmaras (uma equação).
> Estimativa inicial da solução é obtida copiandoos perfis de entrada (obtidos dos resultados experimentais) para toda a malha.
> Solução convergida até à precisão da máquina (10-14).
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo, exemplo:
> Critério de convergência baseado na diferençamáxima, L
∞, entre iterações sucessivas, et.
> Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina.
> Exemplo apresentado corresponde à componente horizontal do vector velocidade, U1.
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro iterativo:
Erro iterativomáximo é 2ordens degrandeza maiordo que et!
Para a norma L2,
pode chegar a 3 ordens de grandeza.
2. Erro numérico
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− Erro de discretização:
> Consequência da transformação da(s)equação(ões) do meio contínuo para umsistema de equações algébrico.
> Pode ter uma componente geométrica, quepode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura.
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização:
> Habitualmente é o erro numérico dominante.
> Determinação do erro de discretização requero conhecimento da solução exacta.
> Tende a diminuir com o aumento do número degraus de liberdade (refinamento da malha).
> Estimativa do erro de discretização pode serfeita com o refinamento sistemático da malha.
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização:
> Em estudos de refinamento de malha admite-se
φ – Variável local ou integral.φexacto – Solução exacta.α – Constante relacionada com o nível do erro.hi – Dimensão característica da malha.p – Ordem de convergência.
2. Erro numérico
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização:
> Região assimptótica, i.e. termos de ordem superiorsão desprezáveis.
> Dimensão típica da malha, hi, pode ser difícil dedefinir (malhas multi-bloco, não estruturadas).
2. Erro numérico
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização:
> Número mínimo de malhas para estimar α e φexacto : 2.
> Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas.Não há garantia que os resultados estão na “regiãoassimptótica”, pelo que p não é conhecido.
Em problemas não lineares a ordem de convergêncianão é necessariamente igual à menor ordem dos esquemas de discretização adoptados.
2. Erro numérico
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização:
> Número mínimo de malhas para estimar α, p e φexacto : 3.
> Em aplicações práticas pode existir ruído nosresultados (definição de hi, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantemfiabilidade dos resultados.
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
2. Erro numérico
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− Erro de discretização, exemplo:
> Cálculo da área de uma superfície cilíndricacom uma regra de Gauss com 1 ponto pordirecção.
> Dois tipos de malha:
A. Distâncias equidistantes ao longo do diâmetro, Z.
B. Distâncias equidistantes ao longo da superfície, θ.
2. Erro numérico
( )11 −= ii Nh
Verificação e Validação em CFD
XZ
Y
XZ
Y
− Erro de discretização, exemplo:
Malha ZZt-3 digítos para ∆x
Malha θ
2. Erro numérico
Verificação e Validação em CFD
− Erro de discretização, exemplo:
2. Erro numérico
Malha θ
Malha Z
Malha Zt
Verificação e Validação em CFD
3. Verificação de códigos
− Garantir que o programa não tem erros.
− Contrariamente ao que pode ser assumido, não éuma responsabilidade exclusiva de quem desenvolveo programa (qualquer utilizador de um popular sistemaoperativo para computadores pessoais percebe esta realidade...).
− Avaliação de erros, pelo que requer o conhecimentoda solução exacta.
− Problema exclusivamente matemático.
Verificação e Validação em CFD
− A solução exacta não é conhecida.
− Estimativa do erro numérico admite habitualmenteque o erro de discretização é dominante (o que requer um erro iterativo pelo menos duas ordensde grandeza inferior).
− Métodos baseados em estudos de refinamentode malha são uma das alternativas para a estimativa doerro/incerteza de discretização.
− Problema exclusivamente matemático.
4. Verificação de soluções/cálculos
Verificação e Validação em CFD
− Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico da quantidade φ para a qual a solução exacta é desconhecida
Objectivo:
)()( φφφφφ UU exact +≤≤−
com um grau de confiança de 95%
( )φφ eFU S=)( →SF
( ) →φe
Factor de segurança
Estimativa do erro
4. Verificação de soluções/cálculos
Verificação e Validação em CFD
φi � Solução numérica de uma variável local ou integral
φo � Estimativa da solução exacta
δRE � Estimativa do erro
αj � Constante relacionada com o nível de erro
hi � Dimensão característica da malha
pj � Ordem de convergência observada
p
iREoii he αδφφφ ==−=)(
4. Verificação de soluções/cálculos
Verificação e Validação em CFD
X
X
X
hi
φ
φo
− 3 Malhas necessárias para calcular φo, α, p
p
iREoii he αδφφφ ==−=)(
( )
( )( )
01
1
1
12
23
1
2
12
23
12
12
1
=−
−
−
−
−
−
−==−
p
pp
pREo
hh
hh
h
h
hh
φφ
φφ
φφδφφ
REδoφ
4. Verificação de soluções/cálculos
Verificação e Validação em CFD
− Convergência ou divergência aparente paratrês malhas com h2/h1=h3/h2.
Razão de Convergência :
0 < R <1 � Convergência Monotónica-1 < R <0 � Convergência OscilanteR > 1 � Divergência MonotónicaR <-1 � Divergência Oscilante
23
12
φφ
φφ
−
−=R
4. Verificação de soluções/cálculos
Verificação e Validação em CFD
− Estimativa do erro de modelação por comparaçãocom resultados experimentais.
− Método para a avaliação do erro de modelaçãoproposto recentemente pela ASME:
> Diferença entre a solução numérica e a mediçãoexperimental, |E|, que se denomina erro de comparação (comparison error)
> Incerteza de validação, Uval, (validation uncertainty)obtida da combinação das incertezas numérica, experimental e dos parâmetros que definem o problema (condições fronteira, número de Reynolds,...)
5. Validação
Verificação e Validação em CFD
− Método para a avaliação do erro de modelaçãoproposto recentemente pela ASME:
S → Resultado numéricoD → Medição experimental
Unum → Incerteza numéricaUD → Incerteza experimental Uinput → Incerteza dos parâmetros que definem o
problema (condições fronteira, número de Reynolds,...)
DSE −=
( ) ( ) ( )222
inputDnumval UUUU ++=
5. Validação
Verificação e Validação em CFD
− Estimar com 95% de confiança o intervalo que contém o erro de modelação
− Erro de modelação é provavelmente semelhante a|E|, pelo há uma indicação de que o modelo precisade ser melhorado.
− Erro de modelação inferior ao ruído originado pelas incertezas experimental, numérica e dos dados do problema.
valUE <
valUE >>
5. Validação
[ ]valval UEUE +− ,
Verificação e Validação em CFD
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
> Equações de Reynolds em média temporal como modelo de turbulência k-ω SST sem leis da parede.
> Estudo de refinamento de malha com 6 malhasque variam entre 0,8×106 e 6,4×106 nós.
> Incerteza experimental obtida da assimetria dosvalores medidos (estimativa por defeito).
> Incerteza dos parâmetros de entrada nula (“modeloforte”).
5. Validação
Verificação e Validação em CFD
y/LPP
z/L
PP
-0.01 0 0.01 0.02
-0.065
-0.06
-0.055
-0.05
-0.045
-0.04
-0.035
-0.03
Ux
0.90.850.80.750.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.1
Experimental Numérico
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
5. Validação
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ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ExperimentalSST Comparação
habitual: “qualidade”do resultado depende do tamanho dos símbolos e da espessura da linha...
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
5. Validação
Verificação e Validação em CFD
ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ExperimentalSST Introdução da
incerteza experimental(estimada por defeito)
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
5. Validação
Verificação e Validação em CFD
ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ExperimentalSST Introdução da incerteza
numérica
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
5. Validação
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ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 1800
0.1
0.2
0.3E=|S-D|U
val=(U
2
num+U
2
D)
1/2 Erro de comparação émaior do que a incerteza de validação para a maior parte dos locaisanalisados. Avaliação doerro de modelação requer menores incertezas numérica e experimental.
− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.
5. Validação