Modelado matemático de sistemas dinámicos

Modelo matemático de sistemas dinámicos

Modelo matematico. Es un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o al menos de manera muy acertada.

Modelo matemático de sistemas dinámicos Los modelos matemáticos no son únicos.

La dinámica de sistemas mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describen en términos de ecuaciones diferenciales.

Las leyes físicas: Leyes de Kirchoff (sistemas eléctricos), Leyes de Newton (sistemas mecánicos).

Modelo matemático de sistemas dinámicos Un modelo matemático puede adoptar

formas distintas (Función de transferencia y variables de estado).

Simplicidad contra precisión.

Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el teorema de superposición.

Modelo matemático de sistemas dinámicos

El teorema de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones de entrada diferentes es la suma de las dos respuestas individuales

Sistemas eléctricos

ECUACIONES

;

;

;

Sistemas eléctricos

Características de un circuito serie:

-Corrientes iguales

-Voltajes se divide entre todos los elementos.

Sistemas eléctricos

Características de un circuito paralelo

-Corrientes se dividen entre los elementos

-Voltaje es el mismo en todos los elementos.

Sistemas eléctricos

Pasos que se deben seguir para obtener un modelo matemático,

1. Identificar las variables de interés (Señal de entrada y salida).

2. Obtener las ecuaciones de los elementos eléctricos.

3. Establecer ecuaciones de equilibrio, corrientes, nodos, mallas, ecuaciones de Kirchoff.

4. Relacionar las ecuaciones del punto 2 y 3.

Sistemas eléctricos

Ejemplo. Obtener una ecuacion diferencial que describa el comportamiento de voltaje del capacitor para la siguiente red eléctrica.

Sistemas eléctricos

Solución.

1. Variable de entrada V(t).

Variable de salida Vc

2.

R R

Cc

V RI

dVI C

dt

Sistemas eléctricos

1 R C

R C

I I I

V V V

3. Ecuaciones de equilbrio

4. Relacionando ecuaciones de los ptos. 2 y 3.

1 1

CC

CC

dVV R C V

dt

dVV V

RC dt RC

Sistemas eléctricos

Tarea.

Sistemas mecánicos

Sistemas mecánicos

Sistemas mecánicos

Ejemplo 1 Obtención de un modelo matemático.Encontrar una ecuación diferencial que describa el comportamiento x (desplazamiento) en el siguiente sistema mecánico.

Sistemas mecánicos

Solución

1. Señal de entrada F

Señal de salida x.

2. Obtener las ecuaciones de equilibrio a través de un diagrama de cuerpo libre.

Sistemas mecánicos

M B KF f f f

3. Ecuaciones de los elementos

2

2M

B

K

d xf M

dtdx

f Bdt

f Kx

Sistemas mecánicos

4. Finalmente se combinan las ecuaciones de equilibrio con las ecuaciones de los elementos

2

2

2

2

d x dxF M B Kx

dt dt

F d x B dx Kx

M dt M dt M

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo está definida como la relación de la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) a la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Función de transferencia

Identifique la función de transferencia en los ejercicios realizados en clase.

Observe que la función de transferencia puede obtenerse fácilmente de la ecuación diferencial que describe la dinámica del sistema.

Diagramas a bloques

Estos diagramas se utilizan para encontrar una función de transferencia de un sistema.

1. BLOQUE FUNCIONAL

A Señal de entrada

B Señal de salida

G Operador (ganancia, integrador, diferenciador)

Diagramas a bloques

2. SUMAS ALGEBRAICAS

Diagramas a bloques

3. PUNTO DE BIFURCACIÓN

Diagramas a bloques

PASOS PARA OBTENER UN DIAGRAMA A BLOQUES.

1. Identificar las señales de entrada y salida.2. Plantear ecuaciones de elementos y equilibrio.3. Aplicar transformada de Laplace a las ecs.

anteriores.4. Construir bloques funcionales y sumadores a

partir de elementos y ecs. de equilibrio5. Elaborar el diagrama general.

Diagramas a bloques

ejemplos