LABORATORIO Nº5

a) Para cada uno de los puntos del procedimiento indicar conclusiones y justificar sus elecciones.

1. Introducir el modelo de la planta como función de transferencia%% Sistema: Control de velocidad del automovila=0.02;b=1;P=zpk([],[-a],b)

Zero/pole/gain: 1--------(s+0.02)

Introducimos la función de transferencia del automóvil

2. Analizar las características del sistema en lazo abierto%% Analisis del sistemaltiview({'step' 'nyquist' 'pzmap' 'bode'},P)

en este paso se analizo el sistema gráficamente, pudiendo observar la respuesta de la función de trasnferencia

3. Introducir la función de transferencia del control PI con parámetros “apropiados”%% Parametros iniciales del controladorKp = 0.3;Ki = 0.02;%% Controlador PI

Cp = tf(Kp, 1);Ci = tf(Ki, [1 0]);C=Cp+Ci

Introducimos valores a kp y ki con los cuales obtendremos el controlador PI

Transfer function:0.3 s + 0.02------------ s

4. Analizar la “tupla de los cuatro” para el sistema en lazo cerrado en respuesta al paso y graficosde bode%% Respuesta del sistema al escalon (tupla de 4)subplot(2,2,1), step(minreal(P*C/(1+P*C))), title('PC/(1+PC)')subplot(2,2,2), step(minreal(P/(1+P*C))), title('P/(1+PC)')subplot(2,2,3), step(minreal(C/(1+P*C))), title('C/(1+PC)')subplot(2,2,4), step(minreal(1/(1+P*C))), title('1/(1+PC)')

Se puede observar en el grafico el comportamiento de cada una de las funciones de la tupla de los 4, en el cual podemos ver que función no esta teniendo el comportamiento que deseamos, el comportamiento de P/(1+PC) tiene un pico elevado el cual es necesario que disminuya%% Bode (tupla de 4)subplot(3,2,1), margin(minreal(P*C/(1+P*C))),xlabel('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), margin(minreal(P/(1+P*C))),xlabel('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), margin(minreal(C/(1+P*C))),xlabel('C/(1+PC)')subplot(3,2,4), margin(minreal(1/(1+P*C))),xlabel('1/(1+PC)')

Estos diagramas de bode nos permiten analizar los margenes de fase y de ganancia con los cuales se puede observar si en algunas frecuencias nuestro sistema se vuelve inestable

5. Encontrar las funciones de transferencia simbólicas de la “tupla de los cuatro”%% Funciones de transferencia simbolicas (tupla de 4)syms s as bs ks kisPs=bs/(s+as)Cs=ks+kis/sT1=collect(factor(Ps*Cs/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T1)T2=collect(factor(Ps/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T2)T3=collect(factor(Cs/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T3)T4=collect(factor(1/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T4)

Ps = bs/(s+as) Cs = ks+kis/s bs (ks s + kis) ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis bs s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis

(ks s + kis) (s + as) ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis (s + as) s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis

se pueden observar las funciones de cada una de las trasferencias simbolicas

6. Graficar varias funciones de transferencia de segundo orden “deseadas”, para la función derespuesta ante perturbaciones%% Respuestas deseadas sistema de segundo ordenw0=0.4ze=[0.5 1 2 5]for Cont = 1:4L(:,:,Cont) = tf([w0*w0 0],[1 2*ze(Cont)/2*w0 w0*w0]);end% Closed-loop responsesstep(L)

Se realizo una variación de los valores de w0 y ze, con la cual nos dara una serie de respuestas ideales creadas por nosotrosDel grafico podemos escoger la respuesta que más nos guste para el comportamiento de de nuestra función

7. Comparar las funciones simbólicas con las deseadas y encontrar los parámetros del controladorPI, en base a los denominadores de ambas funciones de transferencia

%% Comparacion Tdeseada y TsimbolicaTsim=T2;pretty(Tsim) % cambiar por la respuesta simbolica deseadaTnum=L(:,:,4) % cambiar por la respuesta numérica deseada% nos interesa solo el denominador[TsimN TsimD]=numden(Tsim);[TnumN TnumD]=tfdata(Tnum,'v');% polinomio caracteristico simbolicoTsimD% polinomio caracteritico numericoTnumD% calcular ambos de acuerdo a los polinomios anterioresKp=Ki=

bs s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis Transfer function: 0.16 s----------------s^2 + 2 s + 0.16

TsimD = s^2+s*as+bs*ks*s+bs*kis

TnumD =

1.0000 2.0000 0.1600

Ahora como ya se escogió la función que queremos cambiar (T2) por la función que escogimos (L(:,:,4)) se realiza una igualación de los denominadores la cual MATLAB nos ayuda a sacar los denominadores pero no las incógnitasEntonces:

s^2+s*as+bs*ks*s+bs*kis = 1s^2+2s+0.16

s^2+s(Ks+0.02)+Ki=1s^2+2s+0.16

Ki=0.16 Ks+0.02=2Ks=1.98

8. Recalcular el PI repitiendo la sección de controlador PI y analizar la “tupla de los cuatro” para este controlador. De ser necesario repetir los pasos 7, 8 y 9 hasta obtener el comportamiento deseado

Retornando a la celda del paso 3 se obtiene una nueva función de transferencia con los valores obtenidos Transfer function:1.98 s + 0.16------------- s

y observamos que tomó el comportamiento que se escogió para T2, se comparará con la anterior respuesta para notar el cambio

Respuesta con valores anteriores respuesta con valores obtenidos

9. Analizar el sistema en lazo cerrado en cuanto a estabilidad.%% Estabilidadltiview({'step' 'nyquist' 'pzmap' 'bode'},C/(1+P*C))

Para el control de pre alimentación10. Graficar varias funciones de transferencia de primer orden “deseadas” para el sistemacompleto%% Respuestas deseadas sistema de primer ordenbe=1w0=[0.1 0.2 0.3 0.4]for Cont = 1:4LP(:,:,Cont) = tf(be*w0(Cont),[1 w0(Cont)]);end% Closed-loop responsesstep(LP)

Donde escogemos la curva que más nos agrade

11. Calcular el controlador de pre alimentación F%% Calculo de le prealimentacionTnum=LP(:,:,2) % Cambiar por la respuesta deseadaSLC=minreal(P*C/(1+P*C))F=minreal(Tnum/SLC)

Transfer function: 0.2-------s + 0.2 Zero/pole/gain: 1.98 (s+0.08081)---------------------(s+0.08348) (s+1.917) Zero/pole/gain:0.10101 (s+0.08348) (s+1.917)----------------------------- (s+0.2) (s+0.08081)

Donde el calculo de pre alimentación se lo realiza multiplicando por su inversa

12. Con la función de trasferencia de la respuesta deseada calcular la “tupla de los seis”, paraverificar el comportamiento global del sistema.%% Respuesta del sistema al escalon (tupla de 6)subplot(3,2,1), step(minreal(P*C/(1+P*C))), title('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), step(minreal(P/(1+P*C))), title('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), step(minreal(C/(1+P*C))), title('C/(1+PC)')subplot(3,2,4), step(minreal(1/(1+P*C))), title('1/(1+PC)')subplot(3,2,5), step(minreal(P*C*F/(1+P*C))), title('PCF/(1+PC)')subplot(3,2,6), step(minreal(C*F/(1+P*C))), title('CF/(1+PC)')

%% Bode (tupla de 6)subplot(3,2,1), margin(minreal(P*C/(1+P*C))),xlabel('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), margin(minreal(P/(1+P*C))),xlabel('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), margin(minreal(C/(1+P*C))),xlabel('C/(1+PC)')subplot(3,2,4), margin(minreal(1/(1+P*C))),xlabel('1/(1+PC)')subplot(3,2,5), margin(minreal(P*C*F/(1+P*C))),xlabel('PCF/(1+PC)')subplot(3,2,6), margin(minreal(C*F/(1+P*C))),xlabel('CF/(1+PC)')

13. Verificar la sensitividad del sistema%% sensitividadloops = loopsens(P,C)bode(loops.Si,'g',loops.Ti,'r.')

loops =

Poles: [2x1 double] Stable: 1 Si: [1x1 ss] Ti: [1x1 ss] Li: [1x1 ss] So: [1x1 ss] To: [1x1 ss] Lo: [1x1 ss] PSi: [1x1 ss] CSo: [1x1 ss]

Para ver si en alguna frecuencia mi sistema se acerca a la inestabilidad

14. Aproximar la función F por una función de primer orden para tener un control razonable yrepetir el paso 12 para verificar la aproximación.Para a=0.5 y b=3 se tiene%% Funcion F aproximadaF=zpk([ ],[-0.5],3 ) % colocar los parámetros aproximados

para a=1 y b=5 se tiene%% Funcion F aproximadaF=zpk([ ],[-1],5 ) % colocar los parámetros aproximados

b) Hacer una lista de los comandos usados e indicar su función brevemente.

- Ltiview:El LTI Viewer es una interfaz gráfica de usuario (GUI) para analizar la respuesta de sistemas, ya sea de forma temporal o frecuencial. Incluye respuestas ante escalón unitario (step), impulso (impulse), Bode, Nyquist, Nichols, mapa de polos, lsim y gráficos de condiciones iniciales (initial plots).

- zpk: Especifica sistemas LTI mediante modelos zero-polo-ganancia o convierteun modelo LTI, expresado en otra notaci´on a una modelo zpk.

- Syms:

x y z Crea las variables simbólicas x, y, z.

- collect: R = collect (S, v) recoge los términos que contengan la variable v.

- Factor: f = factor de (n) devuelve un vector fila que contiene los factores primos de n.

- pretty La función de la salida es muy simbólica en un formato similar a las matemáticas composición tipográfica.

- numden El comando numden() se utiliza para determinar el denominador y numerador de expresiones racionales

- tfdata:

num [,] = den tfdata (sys) devuelve el numerador (s) y denominador (s) de la función de transferencia para el TF, SS o modelo ZPK (o la matriz de LTI de TF, SS o modelos ZPK) sys. Por única LTI modelos, el número de productos y den tfdata son matrices de células con las siguientes características:

and have as many rows as outputs and as many columns as inputs. num y den tener tantas filas como salidas y tantas columnas como entradas.

The entries and are row vectors specifying the numerator and denominator coefficients of the transfer function from input to output . These coefficients are ordered in powers of s or z . La (i, j) num entradas (i, j) y den (i, j) son vectores fila especificando el numerador y el denominador de los coeficientes de la función de transferencia de entrada a la salida j i. Estos coeficientes están ordenados en forma descendente o potencias de s z.

For arrays of LTI models, and are multidimensional cell arrays with the same sizes as . Para sistemas de matrices de modelos LTI, num y den son células matrices multidimensionales con los mismos tamaños como sistema.

If is a state-space or zero-pole-gain model, it is first converted to transfer function form using . See for more information on the format of transfer function model data. Si es un sistema de espacio de estado o cero-polo-ganancia de modelo, se convierte primero en forma de función de transferencia utilizando tf. Vea Propiedades LTI para obtener más información sobre el formato de la función de los datos del modelo de transferencia.

For SISO transfer functions, the syntax Para las funciones de transferencia de SISO, la sintaxis

[num,den] = tfdata(sys,'v') num [, den] = tfdata (sys, 'v')

forces to return the numerator and denominator directly as row vectors rather than as cell arrays (see example below). tfdata fuerzas para devolver el numerador y el denominador como vectores fila directamente en lugar de como matrices de células (ver ejemplo abajo).

also returns the sample time . num [, den, Ts] = tfdata (sys) también devuelve el tiempo de la muestra "Yoes".

You can access the remaining LTI properties of with or by direct referencing, for example, Puedes acceder al resto de propiedades del sistema LTI con get o por referencia directa, por

ejemplo,

sys.Ts sys.Ts

sys.variable sys.variable

- minreal:

sysr = minreal (sys) elimina incontrolable o no observables Estado en el espacio los modelos de estado, o cancela pares de polos y ceros en la transferencia de funciones o polos de ganancia modelos cero. El sysr producción ha pedido mínimo y las características misma respuesta que el sistema modelo original.

sysr = minreal (sys, tol) especifica la tolerancia utilizada para la eliminación del estado o de cero de cancelación de polo. El valor predeterminado es tol = sqrt (EPS) y el aumento de esta tolerancia fuerzas cancelaciones adicionales.

sysr [U] = minreal (sys, tol) devuelve, para el modelo de sistema de espacio-estado, una matriz ortogonal tal que U (U * A * U ', U B *, C * U') es una descomposición de Kalman ( A, B, C)

- Loopsens:

= loopsens bucles (P, C), se crea una estructura, loops, cuyos campos contienen la sensibilidad multivariable, complementarias y de transferencia a lazo abierto funciones. The closed-loop system consists of the controller in negative feedback with the plant . should only be the compensator in the feedback path, not any reference channels, if it is a 2-dof controller as seen in the figure below. El circuito cerrado del sistema consiste en la C controlador en la retroalimentación negativa con la planta de P. C sólo debe ser el compensador en el camino de realimentación, no de cualquier canal de referencia, si se trata de un controlador de dof-2 como se ve en la siguiente figura. The plant and compensator and can be constant matrices, objects, , or uncertain objects . La planta y el compensador P y C pueden ser matrices constante, dobles, objetos LTI, FRD / ss / tf / ZPK o umat objetos incierta / ufrd / USS.

c) Aproxime “su” planta por una función de primer orden ignorando los ceros y los polos“rápidos”, es decir aquellos que responden a frecuencias más altas.

Reemplazando valores y eliminando los polos más rápidos se tiene

ϴ= 1

s+ 2√gL

Fp(s)+ −20

s+2√ gL

T(s)

ϴ= 1s+6.26 Fp(s)+ −20

s+6.26 T(s)

Como en el caso del Segway por el momento solo nos interesa mantenerlo en equilibrio sin perturbación de fuerza externa se utilizara la función del Angulo respecto al torque.

ϴ= −2040 (s+6.26 418) T(s)

ϴ= −0.5s+6.26 418

T(s)

d) Efectúe el procedimiento de diseño para su planta, justificando para cual de las funciones dela tupla de los cuatro diseñara y las funciones deseadas escogidas de acuerdo a la física de suplanta.

Para el control en lazo cerrado o de realimentación.1. Introducir el modelo de la planta como función de transferencia

%% Sistema: Control de velocidad del automovila=6.26418;b=-0.5;P=zpk([],[-a],[b])

Zero/pole/gain: -0.5---------(s+6.264)

2. Analizar las características del sistema en lazo abierto%% Analisis del sistemaltiview({'step' 'nyquist' 'pzmap' 'bode'},P)

3. Introducir la función de transferencia del control PI con parámetros “apropiados”%% Parametros iniciales del controladorKp = 0.45;Ki = 0.6; %% Controlador PICp = tf(Kp, 1);Ci = tf(Ki, [1 0]);C=Cp+Ci

Transfer function:0.45 s + 0.6------------ s

obteniéndose la función de transferencia del PI

4. Analizar la “tupla de los cuatro” para el sistema en lazo cerrado en respuesta al paso y graficosde bode%% Respuesta del sistema al escalon (tupla de 4)subplot(2,2,1), step(minreal(P*C/(1+P*C))), title('PC/(1+PC)')subplot(2,2,2), step(minreal(P/(1+P*C))), title('P/(1+PC)')subplot(2,2,3), step(minreal(C/(1+P*C))), title('C/(1+PC)')

subplot(2,2,4), step(minreal(1/(1+P*C))), title('1/(1+PC)')

%% Bode (tupla de 4)subplot(3,2,1), margin(minreal(P*C/(1+P*C))),xlabel('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), margin(minreal(P/(1+P*C))),xlabel('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), margin(minreal(C/(1+P*C))),xlabel('C/(1+PC)')subplot(3,2,4), margin(minreal(1/(1+P*C))),xlabel('1/(1+PC)')

5. Encontrar las funciones de transferencia simbólicas de la “tupla de los cuatro”%% Funciones de transferencia simbolicas (tupla de 4)syms s as bs ks kisPs=bs/(s+as)

Cs=ks+kis/sT1=collect(factor(Ps*Cs/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T1)T2=collect(factor(Ps/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T2)T3=collect(factor(Cs/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T3)T4=collect(factor(1/(1+Ps*Cs)),s);pretty(T4)

Se observan las funciones de transferencia de cada uno

Ps =bs/(s+as) Cs = ks+kis/s bs (ks s + kis) ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis bs s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis (ks s + kis) (s + as) ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis (s + as) s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis

6. Graficar varias funciones de transferencia de segundo orden “deseadas”, para la función derespuesta ante perturbaciones%% Respuestas deseadas sistema de segundo ordenw0=6ze=[0.5 1 2 5]for Cont = 1:4L(:,:,Cont) = tf([w0*w0 0],[1 2*ze(Cont)/2*w0 w0*w0]);end% Closed-loop responsesstep(L)

7. Comparar las funciones simbólicas con las deseadas y encontrar los parámetros del controladorPI, en base a los denominadores de ambas funciones de transferencia%% Comparacion Tdeseada y TsimbolicaTsim=T2;pretty(Tsim) % cambiar por la respuesta simbolica deseadaTnum=L(:,:,4) % cambiar por la respuesta numérica deseada% nos interesa solo el denominador[TsimN TsimD]=numden(Tsim);[TnumN TnumD]=tfdata(Tnum,'v');% polinomio caracteristico simbolicoTsimD% polinomio caracteritico numericoTnumD% calcular ambos de acuerdo a los polinomios anterioresKp=Ki=

bs s ---------------------------- 2 s + (as + ks bs) s + bs kis Transfer function: 36 s---------------s^2 + 12 s + 36 TsimD =

s^2+s*as+bs*ks*s+bs*kis

TnumD =

1 12 36

Dode realizamos la igualación de los denominadores

s^2+s*as+bs*ks*s+bs*kis = 1s^2+12s+36

s^2+s(Ks+0.02)+Ki=1s^2+12s+36

Ki=36 Ks+0.02=12Ks=11.98

8. Recalcular el PI repitiendo la sección de controlador PI y analizar la “tupla de los cuatro” paraeste controlador. De ser necesario repetir los pasos 7, 8 y 9 hasta obtener el comportamientodeseado

Transfer function:11.98 s + 36------------ S

9. Analizar el sistema en lazo cerrado en cuanto a estabilidad.%% Estabilidadltiview({'step' 'nyquist' 'pzmap' 'bode'},C/(1+P*C))

10. Graficar varias funciones de transferencia de primer orden “deseadas” para el sistemaComplete%% Respuestas deseadas sistema de primer ordenbe=1w0=[0.1 0.2 0.3 0.4]for Cont = 1:4LP(:,:,Cont) = tf(be*w0(Cont),[1 w0(Cont)]);end% Closed-loop responsesstep(LP)

11. Calcular el controlador de pre alimentación F%% Calculo de le prealimentacionTnum=LP(:,:,2) % Cambiar por la respuesta deseadaSLC=minreal(P*C/(1+P*C))F=minreal(Tnum/SLC)

ransfer function: 0.2-------s + 0.2 Zero/pole/gain: -5.99 (s+3.005)-------------------(s+4.382) (s-4.108) Zero/pole/gain:-0.033389 (s+4.382) (s-4.108)----------------------------- (s+0.2) (s+3.005)

12. Con la función de trasferencia de la respuesta deseada calcular la “tupla de los seis”, paraverificar el comportamiento global del sistema.%% Respuesta del sistema al escalon (tupla de 6)subplot(3,2,1), step(minreal(P*C/(1+P*C))), title('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), step(minreal(P/(1+P*C))), title('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), step(minreal(C/(1+P*C))), title('C/(1+PC)')

subplot(3,2,4), step(minreal(1/(1+P*C))), title('1/(1+PC)')subplot(3,2,5), step(minreal(P*C*F/(1+P*C))), title('PCF/(1+PC)')subplot(3,2,6), step(minreal(C*F/(1+P*C))), title('CF/(1+PC)')

%% Bode (tupla de 6)subplot(3,2,1), margin(minreal(P*C/(1+P*C))),xlabel('PC/(1+PC)')subplot(3,2,2), margin(minreal(P/(1+P*C))),xlabel('P/(1+PC)')subplot(3,2,3), margin(minreal(C/(1+P*C))),xlabel('C/(1+PC)')subplot(3,2,4), margin(minreal(1/(1+P*C))),xlabel('1/(1+PC)')subplot(3,2,5), margin(minreal(P*C*F/(1+P*C))),xlabel('PCF/(1+PC)')subplot(3,2,6), margin(minreal(C*F/(1+P*C))),xlabel('CF/(1+PC)')

13. Verificar la sensitividad del sistema%% sensitividadloops = loopsens(P,C)bode(loops.Si,'g',loops.Ti,'r.')

14. Aproximar la función F por una función de primer orden para tener un control razonable yrepetir el paso 12 para verificar la aproximación.%% Funcion F aproximadaF=zpk([ ],[-8],-1 ) % colocar los parámetros aproximados

e) Verifique el funcionamiento del controlador diseñado con su planta completa de segundoorden. (No es necesario rediseñar si el control no es apropiado).

Zero/pole/gain: -0.5-------------------(s+6.264) (s-6.264)

Conclusiones.-- El diseño realizado para la planta de primer orden del automóvil se logro estabilizar después de

analizar la respuesta en estabilidad y la tupla de los cuatro, pudiendo así escoger que comportamiento no era adecuado y así cambiarlo por uno que tenga una respuesta mas optima.Con estos cambios la tupla de 4 tiene la respuesta deseada y llegar a la estabilidadSe calculo la pre alimentación multiplicando por su inversa y la sensitividad para ver si en alguna frecuencia mi sistema se acerca a la inestabilidad

- En el diseño del controlador para el segway se presento inestabilidad después de realizar los cálculos de Kp y Ki ya que salian estos resultados pero al ver la estabilidad, en la curva de nyquist salía inestabilidadProbablemente se debe al signo negativo

- Este tipo de diseño es mucho mejor que los anteriores ya estudiados, ya que con este se realizan menos pruebas y se obtienen mejores resultados, pudiendo analizar tanto la respuesta al paso, nyquist, polos y ceros, márgenes de ganancia y fase, y sensitividad nos da un control bastante optimo para la planta.