Funcin de Transferencia

Y

Filtros Ideales

Introduccin

En general, la DTFT (Discrete Time Fourier Transform) nos

provee de una representacin en el dominio de las

frecuencia de seales discretas en tiempo y Sistemas LTI

discretos en tiempo.

Una generalizacin de la respuesta en frecuencia de la

funcin H(eiw) nos permite llegar al concepto de funcin de

transferencia.

A.-

Definicin

Consideremos el sistema LTI discreto en tiempo con una respuesta

h[n], la relacin de entrada salida en el tiempo es:

La relacin entrada salida, de este sistema esta dada por:

Donde x[n] es la secuencia de entrada y[n] la de salida y

X(z), Y(z) y H(z) denotan las Transformadas Z respectivas.

zXzY

zH

donde

zXzHzY

x[n] h[n] y[n]

H(z) es la transformada Z de la respuesta al impulso de la

secuencia h[n] del sistema LTI o filtro, la cual es conocida

como FUNCIN DE TRANSFERENCIA o FUNCIN

SISTEMA.

Entonces, la Funcin de Transferencia H(z) de un sistema

LTI discreto en tiempo h[n], esta dado por el radio de la

Transformada Z de las secuencias de entrada y salida.

zXzY

zH

B.-

Derivacin

de la expresin

de la

Funcin de Transferencia

La respuesta de un sistema LTI discreto en tiempo de una

entrada x[n] esta dado por la suma convolucin de la

siguiente manera:

Para un sistema de respuesta finita al impulso o FIR (finite

impulse response), la expresin es:

][][][ knxkhnyk

][][][2

1

knxkhnyN

Nk

Aplicando la TZ a la primera relacin, obtenemos

n

n kn

n zknxkhznyzY

][][][)(

k n

nzknxkh ][][

k

kzxkh

)(][][

Continuando y factorizando

Por lo tanto

Finalmente esto es

k

k

zzxkhzY

][][)(

)(zX

)(][)( zXzkhzYk

k

)(zH

zXzHzY

Esto tambin puede verse de manera simple como:

Es decir

Donde

zXznhzYN

Nn

n

2

1

][)(

zXzHzY

2

1

][)(N

Nn

nznhzH

Notas

H(z) es el sistema LTI discreto en tiempo, que tambin se conoce como:

Funcin de Transferencia

Filtro FIR

En la expresin anterior, para tenemos un filtro causal FIR, es decir un sistema LTI no anticipativo de

longitud finita.

En este caso, todos los POLOS de H(z) estn en el origen en el plano Z, y por lo tanto, la ROC de H(z) es el plano Z

excluyendo el punto z=0.

210 NN

En el caso de un sistema FIR o un filtro FIR la expresin

de la funcin de transferencia es en general una serie

infinita.

Sin embargo, en ambos casos, la Funcin de Transferencia

puede expresarse directamente como el cociente de dos

polinomios en Z

Como esta relacin est en funcin de z-1, multiplicamos

numerado y denominador por zM y zN respectivamente y

obtenemos.

NN

M

M

zdzdzdd

zpzpzpp

zX

zYzH

...

...2

2

1

10

2

2

1

10

N

NNN

M

MMMMN

dzdzdzp

pzpzpzpzzH

...

...2

2

1

10

2

2

1

10

Como se vi en clases anteriores, una forma alternativa de

escribir la relacin anterior, es a travs de la factorizacin

de los polinomios

O de la siguiente forma

N

k

k

M

k

k

z

z

d

pzH

1

1

1

1

0

0

1

1

N

k

k

M

k

kMN

z

z

zd

pzH

1

1

0

0

En donde los ceros son

Y los polos son

Si N > M, entonces hay (N-M) ceros en z=0

Si N < M, entonces hay (M-N) polos en z = 0

M ,...,, 21

N ,...,, 21

Ejemplo

Considere el Filtro FIR denominado Promedios Mviles o

Moving-average con una respuesta al impulso

En este caso la funcin de transferencia esta dada por su

Transformada Z

casootroen

MnMnh

....0

101

1

0

1 M

n

nzM

zH

Desarrollando

Tenemos una serie

de potencia

Multiplicando por zM

De la ltima expresin observamos que la Funcin de

Transferencia H(z) tiene M ceros en el circulo unitario

11

1

1

1

1

1

1

0

zzM

z

zM

z

zM

zH

M

M

M

M

n

n

10/2 Mkez Mki

Por otro lado H(z) tiene:

M-1 polos en el origen, es decir en z=0 y

un solo polo en z=1

Hay que mencionar, que el polo en z=1, se anula con un

cero en z=1.

Entonces la ROC es el plano z entero, excepto el origen en

z=0

Para el caso de M=8

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

7

Ejemplo

Sea un filtro digital FIR causal cuya ecuacin es de la

forma:

Primero separamos los elementos de entrada y de salida

del sistema

Ahora obtenemos su transformada Z

3222.0204.1]1[3.1]3[]2[2.1]1[][

nnyny

nxnxnxny

321

3210

2.1

222.004.13.1

zzz

zzzz

]3[]2[2.1]1[

3222.0204.1]1[3.1][

nxnxnx

nnynyny

De la ultima expresin observamos los polinomios en z de

Y(z) y X(z), por la definicin de Funcin de Transferencia

tenemos que:

321

321

2.1

222.004.13.11)(

zzz

zzzzH

)8.06.0)(8.06.0(

)7.05.0)(7.05.0)(3.0(

jzjz

jzjzzzH

La

C.-

Respuesta

en

Frecuencia

de la

Funcin de Transferencia

Si la ROC de la Funcin de Transferencia H(z) incluye el

Circulo unitario, entonces la respuesta en frecuencia esta

dada por:

Del filtro digital LTI puede obtenerse fcilmente de la

siguiente forma

Para coeficientes reales de la Funcin de Transferencia

H(z), puede demostrarse que

)( ieH

iez

i zHeH

)()(

iez

ii

iii

zHzH

eHeH

eHeHeH

)()(

)()(

)(*)()(

1

2

Para una Funcin de Transferencia Racional y Estable de

la forma

La forma factorizada de la respuesta en frecuencia esta

dada por

N

k

k

M

k

kMN

z

z

zd

pzH

1

1)(

0

0

)(

)(

)(

N

k

k

i

M

k

k

i

MNii

e

e

ed

peH

1

1)(

0

0

)(

)(

)(

De la ltima expresin, la forma factorizada de la

respuesta en frecuencia, debemos reconocer la

contribucin de:

Factores de ceros

Factores de polos

Y de esta ltima expresin se obtiene la funcin de

Respuesta en Amplitud o Magnitud

)( kz

)( kz

N

k

k

i

M

k

k

i

MNii

e

e

ed

peH

1

1)(

0

0)(

La ltima expresin se reduce a

Por otro lado, la Respuesta de Fase para una funcin de

Transferencia es de la forma

N

k

k

i

M

k

k

i

i

e

e

d

peH

1

1

0

0)(

N

k

k

iM

k

k

i

i

ee

MNd

peH

11

0

0

)arg()arg(

argarg

Finalmente, la Funcin de Magnitud Cuadrada de una

Funcin de Transferencia de coeficientes reales, puede

ser calculada a partir de:

N

k

k

i

k

i

M

k

k

i

k

i

i

ee

ee

d

peH

1

*

1

*2

0

02

))((

))((

)(

C.-

Interpretacin

Geomtrica

de la

Funcin de Transferencia

Analizando la expresin factorizada de la Respuesta en

Frecuencia de la Funcin de Transferencia

Resulta conveniente desarrollar una interpretacin

geomtrica del clculo de la respuesta en frecuencia a

partir de la representacin grafica de los polos y ceros, esto

como una variacin de de 0 a 2 en el circulo unitario

N

k

k

i

M

k

k

i

MNii

e

e

ed

peH

1

1)(

0

0

)(

)(

)(

La interpretacin geomtrica puede ser utilizada para

obtener un escenario del comportamiento de la respuesta

como una funcin de la frecuencia. (como se comporta la FT en

frecuencia)

Un factor tpico en la forma factorizada de la respuesta en

frecuencia esta dado por

Donde

Puede ser un cero si se trata de un factor de cero o es un polo si se trata de un factor de polo.

)( jj ee

je

En la figura se muestra en el plano z el factor

El cual representa un vector que inicia en el punto

Y termina en el circulo unitario

jez

jez

)( jj ee

Como varia de 0 a 2, la punta del

vector se mueve en contra de las

manecillas del reloj desde el punto

z=1, trazando el circulo unitario hasta

regresar al mismo punto en z=1

Entonces, como se indico en

La Respuesta de Magnitud

En un valor especfico en la magnitud esta dada por el producto de las magnitudes de todos los vectores de ceros, divididos por el producto de las magnitudes de todos los vectores de polos.

N

k

k

i

M

k

k

i

i

e

e

d

peH

1

1

0

0)(

|)(| jeH

De la misma forma, para la expresin

Observamos que la Respuesta de Fase en un valor

especfico de w es obtenida al sumar la fase del trmino

Y el trmino de fase lineal

A la suma de los ngulos de los vectores cero menos los

ngulos de los vectores polo

N

k

k

iM

k

k

i

i

ee

MNd

peH

11

0

0

)arg()arg(

argarg

00 dp /

)( MN

Nota 1

Entonces, se puede desarrollar una grafica aproximada de

las Respuestas de Magnitud y de Fase de la Funcin de

Transferencia de un Filtro Digital LTI al examinar las

ubicaciones de los polos y los ceros.

Nota 2

Hay que tomar en cuenta que un vector cero o polo, tienen

la magnitud ms pequea cuando =

Nota 3

Para atenuar considerablemente los componentes de

una seal en un rango especfico de frecuencias,

necesitamos ubicar los ceros muy cerca o sobre el

circulo unitario en el rango deseado.

Nota 4

De la misma forma, para enfatizar los componentes de la

seal en un rango de frecuencia especfico, necesitamos

ubicar los polos muy cerca o sobre el circulo unitario

en el rango deseado.

D.-

Clasificacin de

Funciones

de Transferencia

Las Diferentes Funciones de Transferencia

I Existe una clasificacin de FT en funcin de la longitud de la

secuencia de respuesta o su respuesta al impulso:

FIR Finite Impulse Response Respuesta Finita al Impulso.

IIR Infinite Impulse Responce Respuesta Infinita al Impulso

II Funciones de transferencia en funcin de su entrada y salida

RECURSIVOS

La salida depende de entrada y la salida, son conocidos como sistemas de retroalimentacin o feedback

NO RECURSIVOS

La salida nicamente depende de la entrada.

III Finalmente, las FT se clasifican a partir de su respuesta

en frecuencia respecto a:

Basada en su forma de Magnitud

IH(ei)I

Basada en su fase

q()

De esta clasificacin se definen los 4 tipos de filtros ideales.

D.- Clasificacin de

Funciones

de Transferencia:

Por magnitud

Filtros Ideales

FT en funcin de la Magnitud

Filtros Ideales

La funcin de los filtros es la de pasar un contenido de la seal en ciertas frecuencias sin ninguna distorsin, esto es, con una respuesta en frecuencia igual 1 para pasar y cero en las otras frecuencias.

El rango de frecuencias en donde el filtro toma el valor de 1 se conoce como passband o pasabanda.

Por otro lado, el rango de frecuencias en conde el filtro tiene una respuesta igual a 0 se le conoce como stopband o banda de exclusin o banda de rechazo.

Filtro Pasobajas Passband

Stopband

Filtro Pasoaltas Passband

Stopband

Filtro Pasabandas Passband

Stopband

Filtro Rechaza Banda Stopband

Passband

c0

c

c

c0

21 cc

10 c 2cand

21 cc

10 c 2cand

Los cuatro filtros ideales son:

Pasobajas

Lowpass

Pasobandas

Bandpass

Pasoaltas

Highpass

Exclusin

Bandstop

En donde las frecuencias c1 y c2 son conocidas como:

frecuencias de corte o cutt off frequencies

Entonces:

Un filtro ideal tiene una magnitud de respuesta

igual a 1 en la banda de paso o passband y

igual a 0 en la banda de rechazo o stopband

D.- Clasificacin de

Funciones

de Transferencia:

Por magnitud

Filtros Ideales

Consideraciones respecto un Filtro Ideal

Para entender la condicin de los filtro ideales, analicemos el Filtro Ideal Paso Bajas, que se define como

Determinando la Transformada inversa de Fourier

c

ci

LP eH0

01

nn

nsen

in

e

in

edenh

c

ninini

LP

c

c

2

1

2

1

Los tres filtros Ideales restantes tambin estn caracterizados por:

Doble infinito

Respuesta al impulso Infinita

No son absolutamente sumables

Entonces:

Los filtros Ideales con una respuesta en frecuencia abrupta o de pared de ladrillo o en ingls brick wall no son realizables a partir de un filtro LTI de dimensin finita.

A partir de la respuesta en frecuencia del filtro Paso Bajas HLP(e

i): Podemos observar que la seal del filtro:

No es causal Es doble infinito No es sumable

Por lo tanto este filtro no puede ser obtenido, no es realizable.

sin[ ] sinc ,c c cLP

n nh n n

n

Para desarrollar FT realizables es necesario que se relajen las especificaciones del filtro:

Se incluye una banda de transicin entre el Pasa Bandas y la banda de rechazo.

La magnitud de respuesta del filtro varia en la zona de transicin, esto es decae entre suavemente entre el Passband y el Stopband.

No se exige respuesta de 1 en la banda de paso.

No se exige atenuacin absoluta en la banda de rechazo.

Asimismo, la magnitud de respuesta varia.

La forma tpica de un filtro pasa bajas se observa en la figura.

D.- Clasificacin de

Funciones

de Transferencia:

Fase Lineal y

Fase Cero

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

FASE LINEAL Y FASE ZERO.

La segunda caracterstica para clasificar Funciones de Transferencia se refiere a la fase.

En muchas aplicaciones es necesario garantizar que el filtro digital diseado no distorsione la fase de la seal

dentro de las frecuencias de Pasa Bandas.

Una manera de evitar la distorsin de fase es hacer real y no negativa la respuesta en frecuencias del filtro.

Esto implica disear un filtro con caracterstica de

FASE CERO

Para disear un filtro de FASE CERO se debe disear un FILTRO CAUSAL con FASE CERO

En un proceso en tiempo no-real y para una entrada de valores reales de longitud finita, un filtrado de fase zero

puede ser implementado.

El esquema de filtrado de fase zero es el siguiente:

x[n] v[n] u[n] w[n] H(z) H(z)

][][],[][ nwnynvnu

x[n] y[n] H(z)

Para entender este esquema definamos en las entradas y salidas en el dominio de las frecuencias.

Entonces:

X(i), V(i), U(i), W(i) y Y(i) son las DTFT de x[n], v[n], u[n], w[n], and y[n], respectivamente.

De la figura observamos que:

x[n] v[n] u[n] w[n] H(z) H(z)

][][],[][ nwnynvnu

( ) ( ) ( ),j j jV e H e X e )()()( jjj eUeHeW

,)(*)( jj eVeU )(*)( jj eWeY

Combinando las ecuaciones obtenemos:

)(*)(*)(*)( jjjj eUeHeWeY

)()()(*)()(* jjjjj eXeHeHeVeH

)()( 2 jjj eXeHeY

( ) ( ) ( ),j j jV e H e X e )()()( jjj eUeHeW

,)(*)( jj eVeU )(*)( jj eWeY

En el caso de una Funcin de Transferencia Causal con una respuesta de fase NO CERO

La distorsin de fase puede ser evitada al asegurarse que la funcin de transferencia tiene:

Una Magnitud Unitaria o de uno y

Una Fase Lineal caracterstica en la banda de frecuencia de inters

Fase Lineal

Por otro lado, en el caso de una Funcin de Transferencia causal con una respuesta de Fase No Zero:

La distorsin de fase puede evitarse si garantizamos qua la FT tenga una magnitud unitaria y

Una fase lineal caracterstica en la banda de frecuencia de inters.

La forma ms general de filtro con Fase Lineal, es la que tiene una respuesta en frecuencia dada por:

En la cual la fase lineal va de = 0 a = 2.

Adems debemos observar que:

D )(

1)( jeH

1

)(

A

AeeH Djj

La salida y(n) para este filtro, con una entrada

Esta dada por:

Si xa(t) y ya(t) representa las seales en tiempo continuo de

las funciones muestreadas, en donde el muestreo es:

t = nT, para x[n] y y[n],

Entonces el retraso entre xa(t) y ya(t) esta dado por el retraso de grupo de cantidad D

njAenx ][

)(][ DnjnjDj AeeAeny

Entonces los casos que tenemos son:

Si D es un entero:

y[n] es identica a x[n] pero retrasada por D muestras

Si D no es un entero:

y[n] esta retrasada en una fraccin y no es idntica a x[n]

En el caso de la misma funcin en tiempo continuo, la forma de onda de la salida es identica a la forma de onda de la

entrada pero retrasada en D unidades de tiempo.

Nota

Recordando del curso de Fourier

El parmetro es conocido como el retraso de grupo o group delay causado en el sistema en =

c

En donde c es la frecuencia portadora o carrier

frequency

cd

d ccg

q

)()(

Resumiendo:

Si se desea pasar los componentes de una Seal de

Entrada en un cierto rango de frecuencia sin distorsionar

ni la magnitud ni la fase, entonces la Funcin de

Transferencia debe tener una respuesta en la banda de

inters de:

Magnitud unitaria o de uno

Fase lineal

En esta figura se muestra la respuesta en frecuencia de

un filtro Paso Bajas con caractersticas de fase lineal en

la banda de inters

Apartir de que las componentes en la banda de rechazo

o stopband son bloqueados, la respuesta en fase en esa frecuencia puede ser de cualquier forma.

E.-

Tipos de

Funciones de Transferencia

FIR

de Fase lineal

Existen 4 tipos de Funciones de Transferencia FIR de

Fase Lineal

Tipo 1: Respuesta al Impulso Simtrica de longitud Par

Tipo 2: Respuesta al impulso Simtrica de longitud Impar

Tipo 3: Respuesta al impulso Anti-simtrica de longitud Par

Tipo 4: Respuesta al impulso Anti-simtrica de longitud imPar

Forma General de la Respuesta en Frecuencia

La forma general de respuesta en frecuencia para los c4

tipos de filtros causales de fase lineal FIR , es la siguiente

HeeeH iiN

i 2

F.-

Localizacin de Ceros en

Funciones de Transferencia

FIR

de Fase lineal

No se ver en el examen

G.-

Limites Reales

de

Funciones de Transferencia

No se ver en el examen

Bibliografa DIGITAL SIGNAL PROCESSING

A computer Based Approach Sanjit K. Mitra Second Edition Mc Graw Hill, 2002

INTRODUCTION TO DIGITAL FILTERING IN GEOPHYSICS

O. Kulhanek Elsevier Amsterdam, 1977

Signals and Systems with Matlab aplications

Steven T. Karris

Second edition

Orchard Publications, 2003

Seales y Sistemas Oppenheim, Willsky, Nawab

Segunda Edicin

Pearson Educacin, 1997