2 modelos de programación lineal
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Investigación Operativa 1
Capítulo 2: Modelos de programación lineal
Profesor: Wilmer Atoche
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ÍNDICE1. Problema de programación lineal.2. Requerimientos del problema de programación
lineal.3. Método gráfico para resolver problema de
maximización con dos variables.4. Método gráfico para resolver problema de
minimización con dos variables.5. Casos especiales de programación lineal.6. Solución de problemas de programación lineal
usando computadora.7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora.
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1. Problema de programación lineal
Programación lineal (PL) Es una herramienta para resolver problemas de
optimización. Está diseñada para ayudar a la toma de decisiones Está relacionada a la asignación de recursos.
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Ejemplos de aplicaciones de PL (1)
1. Desarrollo de la programación de la producción permitirá Satisfacer demandas futuras para una empresa de
producción Mientras se minimizan los costos totales de
producción e inventarios.2. Selección de una mezcla de productos en una fábrica
para Hacer el mejor uso de las horas de máquina y
horas-hombre disponibles Mientras se maximiza la producción de la empresa
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3. Determinación de los grados de productos petroleros para rendir el máximo beneficio.
4. Selección de mezclas de materias primas para abastecer molinos que producen alimentos balanceados al mínimo costo.
5. Determinación de un sistema de distribución que minimiza los costos totales de transporte de los almacenes a los mercados.
Ejemplos de aplicaciones de PL (2)
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2. Requerimientos del problema de PL
• Un problema de programación lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:– Se intenta maximizar (o minimizar) una función
lineal (llamada función objetivo) de las variables de decisión.
– Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o inecuación lineal.
– Una restricción de signo es asociada con cada variable.
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Cinco suposiciones básicas de PL (1)
1.Certeza Los números en el objetivo y las restricciones son
conocidos con certeza y no pueden cambiar durante el periodo en que se está haciendo el estudio.
2.Proporcionalidad Existe en el objetivo y las restricciones.
3.Aditividad El total de todas las actividades es igual a la suma
de las actividades individuales.
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4.Divisibilidad: Las soluciones no necesitan ser números enteros. Las soluciones son divisibles y pueden tomar
cualquier valor fraccionario.5.No negatividad:
Todas las respuestas o variables son no negativas (≥ 0).
Los valores negativos de cantidades físicas son imposibles.
Cinco suposiciones básicas de PL (2)
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Formulación de un problema de PL (1)Variables de DecisiónXj , j = 1, 2, …,nFunción ObjetivoMaximizar ó MinimizarZ = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn
Restriccionesa11X1 + a12X2 + ... + a1nXn {,,} b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn {,,} b2
...am1X1 + am2X2 + ...+ amnXn {,,} bm
Rango de existenciaXj 0, j = 1, 2, …,n
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Pasos1. Entender por completo el problema administrativo que
se enfrenta.2. Identificar el objetivo y las restricciones.3. Definir las variables de decisión.4. Utilizar las variables de decisión para escribir las
expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.
Formulación de un problema de PL (2)
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Problema de la mezcla de productos Dos o más productos son fabricados usados recursos
limitados tales como personal, máquinas, materias primas, etc.
La utilidad que la empresa busca para maximizar está basada en la contribución a la utilidad por unidad de cada producto.
A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades de cada producto deberá fabricar para maximizar la utilidad total dados sus recursos limitados.
Flair Furniture Company (1)
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Flair Furniture Company (2)
Maximizar la utilidadSujeta a:1. Horas de carpintería utilizadas 240 horas por semana2. Horas de pintura y barnizado utilizadas 100 horas por
semana
Identificar el objetivo y las restricciones:
Horas requeridas para producir 1 unidadDepartamento Mesas Sillas
Disponibilidad (horas/semana)
• Carpintería• Pintura y barnizado
42
31
240100
Utilidad (intis por unidad) 7.00 5.00
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X1 = número de mesas que deben ser producidas y vendidas por semanaX2 = número de sillas que deben ser producidas y vendidas por semana
Variables de decisión
Flair Furniture Company (3)
Horas requeridas para producir 1 unidadDepartamento Mesas Sillas
Disponibilidad (horas/semana)
• Carpintería• Pintura y barnizado
42
31
240100
Utilidad (intis por unidad) 7.00 5.00
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Formulación matemáticaMaximizar Z = 7X1 + 5X2
Sujeta a4X1 + 3X2 ≤ 240 (Restricción de Carpintería)
2X1 + 1X2 ≤ 100 (Restricción de Pintura y Barnizado)
Con X1, X2 ≥ 0 (condiciones de no negatividad)
Flair Furniture Company (4)
Horas requeridas para producir 1 unidadDepartamento Mesas Sillas
Disponibilidad (horas/semana)
• Carpintería• Pintura y barnizado
42
31
240100
Utilidad (intis por unidad) 7.00 5.00
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3. Método gráfico para resolver problemas de maximización con dos variables
La forma más fácil de resolver un pequeño problema de PL tal como el de la Flair Furniture Company es con el método gráfico.
El método gráfico funciona sólo cuando existen dos variables de decisión, pero es invaluable ya que da una idea de cómo funcionan otros métodos.
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Las condiciones de no negatividad X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0 significan que siempre se trabaja en el primer cuadrante.
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(0,0)
Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (1)
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Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (2)
La restricción de Carpintería es 4X1 + 3X2 ≤ 240 Se grafica la restricción en forma de igualdad 4X1 +
3X2 = 240 • Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el
eje X2. 4(0) + 3(X2) = 240, X2 = 80 sillas• Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el
eje X1. 4(X1) + 3(0) = 240, X1 = 60 mesas La restricción de Carpintería está limitada por la línea
que va del punto (X1 = 0, X2 = 80) al punto (X1 = 60, X2 = 0).
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Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (3)
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)
(0,0)
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Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (4)
La restricción de Pintura y Barnizado es 2X1 + 1X2 ≤ 100
Se grafica la restricción en forma de igualdad 2X1 + 1X2 = 100 • Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el
eje X2. 2(0) + 1(X2) = 100, X2 = 100 sillas• Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el
eje X1. 2(X1) + 1(0) = 100, X1 = 50 mesas La restricción de Pintura y Barnizado está limitada por
la línea que va del (X1 = 0, X2 = 100) al punto (X1 = 50, X2 = 0).
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Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (5)
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)
(50,0)
(0,100)
(0,0)
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Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (6)
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(60,0)
(0,80)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)
(50,0)
(0,100)
Región Factible
(0,0)
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Método de solución de línea de isoutilidad
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.
2. Seleccionar una línea de utilidad y graficar esta para encontrar la pendiente.
3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para incrementar la utilidad mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima.
4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular la utilidad.
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Comenzar asignando utilidades iguales a cantidades arbitrarias pero pequeñas en intis.
Elegimos una utilidad de 210. • Éste es un nivel de utilidad que puede ser alcanzado con
facilidad sin violar ninguna de las dos restricciones. La función objetivo se escribe como 210 = 7X1 + 5X2.
Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (1)
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La función objetivo es justo la ecuación de una línea llamada línea de isoutilidad.• Esta representa todas las combinaciones de (X1, X2) que
producirían una utilidad total de 210. Para trazar la línea de utilidad, se procede de manera
similar a la que se empleó para trazar la línea de restricción: • Primero, sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea
cruza el eje X2. 210 = 7(0) + 5(X2), X2 = 42 sillas• Entonces, sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea
cruza el eje X1. 210 = 7(X1) + 5(0), X1 = 30 mesas
Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (2)
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A continuación se conectan estos dos puntos con una línea recta.
Todos los puntos en la línea representan soluciones factibles que producen una utilidad de 210.
Obviamente, la línea de isoutilidad de 210 no produce la más alta utilidad posible para la empresa.
Se trazan dos líneas más, cada una de las cuales produce una utilidad más alta.
Otra ecuación, 420 = 7X1 + 5X2, es trazada de la misma manera que la última línea.
Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (3)
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Cuando X1 = 0,420 = 7(0) + 5(X2), X2 = 84 sillas
Cuando X2 = 0,420 = 7(X1) + 5(0), X1 = 60 mesas
Esta línea es demasiado alta para ser considerada porqué no llega a tocar la región factible.
La más alta línea de isoutilidad posible toca la punta de la región factible en el punto de esquina (X1 = 30, X2 = 40) y da una utilidad de 410.
Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (4)
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X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 560
7 X1 + 5 X2 = Z = 385
7 X1 + 5 X2 = Z = 280
7 X1 + 5 X2 = Z = 210
7 X1 + 5 X2 = Z = 140
Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (5)
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Solución óptimaFlair Furniture Company
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)
(30,40) Solución óptima
Línea de isoutilidad
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1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.
2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la
región factible.4. Seleccionar el punto esquina con el mayor valor de
la función objetivo. Éste es la solución óptima.
Método de solución del punto de esquina
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La región factible para el problema de Flair Furniture Company es un polígono de cuatro lados con cuatro puntos de esquina o puntos extremos.
Estos puntos son los designados como 1, 2, 3, y 4. Ver diapositiva siguiente.
Para encontrar los valores (X1, X2) que producen la utilidad máxima, se localizan las coordenadas de cada punto en esquina y se comprueban sus niveles de utilidad.
Punto 1: (X1 = 0, X2 = 0), Utilidad = 7(0) + 5(0) = 0Punto 2: (X1 = 0, X2 = 80), Utilidad = 7(0) + 5(80) = 400Punto 3: (X1 = 30, X2 = 40), Utilidad = 7(30) + 5(40) = 410Punto 4: (X1 = 50, X2 = 0), Utilidad = 7(50) + 5(0) = 350
Punto de esquinaFlair Furniture Company (1)
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31
X1 (número de mesas)
X2 (número de sillas)
(0,80)
(50,0)(0,0)
7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)
(30,40) Solución óptima
Puntos de esquina
1
2
3
4
Punto de esquinaFlair Furniture Company (2)
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32
Solución de problemas de minimización
Un restaurante desea desarrollar un horario de trabajo para satisfacer las necesidades de personal al mismo tiempo que minimizar el número total de empleados.
Un fabricante busca distribuir sus productos de varias fábricas a sus almacenes regionales de tal modo que se reduzcan al mínimo los costos de embarque.
Un hospital desea proporcionar un plan de alimentación diario para sus pacientes que satisfaga ciertos estándares nutricionales al mismo tiempo que reducir al mínimo los costos de adquisición de alimentos.
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4. Método gráfico para resolver problemas de minimización con dos variables
Los problemas de minimización pueden ser resueltos gráficamente. Existen dos métodos para encontrar la solución óptima: línea de isocosto y punto de esquina.
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Método de solución de línea de isocosto
1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.
2. Seleccionar una línea de isocosto y graficar esta para encontrar la pendiente.
3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para decrementar el costo mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima.
4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular el costo.
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1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.
2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la
región factible.4. Seleccionar el punto esquina con el menor valor de
la función objetivo. Éste es la solución óptima.
Método de solución del punto de esquina
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Problema de minimizaciónHoliday Meal Turkey Ranch (1)
Ingrediente Marca 1 (oz./lb.)
Marca 2 (oz./lb.)
Requerimiento mínimo mensual
por pavo (oz.)
A B C
10 3 0
90481.5
Costo (centavos/lb.) 2 3
54
0.5
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Problema de minimizaciónHoliday Meal Turkey Ranch (2)
Minimizar Z = 2X1 + 3X2
Sujeta a:5X1 + 10X2 ≥ 90 (restricción del ingrediente A)
4X1 + 3X2 ≥ 48 (restricción del ingrediente B)
0.5 X1 ≥ 1.5 (restricción del ingrediente C)
Con X1, X2 ≥ 0 (condición de no negatividad)
Variables de decisiónX1 = número de libras del alimento marca 1 adquiridasX2 = número de libras del alimento marca 2 adquiridas
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Método del punto de esquinaHoliday Meal Turkey Ranch
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
0.5 X1 ≥ 1.5
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
(8.4,4.8) Solución óptima
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
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39
5. Casos especiales de programación lineal (1)
Tres casos especiales se plantean cuando se utiliza el método gráfico para resolver problemas de PL.
1) Infactibilidad.
2) No acotamiento.
3) Soluciones óptimas múltiples.
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40
1. Infactibilidad.- falta de una región de solución factible puede ocurrir si existen conflictos entre las restricciones.
2. No acotamiento.- Cuando la utilidad en un problema de maximización puede ser infinitamente grande, el problema es ilimitado y falta una o más restricciones.
3. Soluciones óptimas múltiples.- dos o más soluciones óptimas pueden existir y esto permite actualmente a la administración tener flexibilidad para decidir entre varias opciones.
5. Casos especiales de programación lineal (2)
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41
Un problema con solución no factible
X2
X1
8
6
4
2
02 4 6 8
Región que satisface la tercera restricción
Región que satisface las dos primeras restricciones
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42
Una región factible no acotada a la derecha
X2
X1
15
10
5
05 10 15
Región factible
X1 ≥ 5 X2 ≤ 10
X1 + 2X2 ≥ 10
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43
Un ejemplo de soluciones óptimas múltiples
Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2
Sujeta a 6 X1 + 4 X2 < 24 X1 < 3Con X1, X2 > 0
La solución óptima se compone de todas las combinaciones de X1 y X2 a lo largo del segmento AB
Línea de isoutilidad para I/.12.00 sobre el segmento AB
Línea de isoutilidad para I/.8.00A
B
AB
6
430 X1
X2
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44
6. Solución de problemas de programación lineal usando computadora
WinqsbLindo
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Uso de Winqsb para resolver el problema de Flair Furniture Company (1)
45
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Uso de Winqsb para resolver el problema de Flair Furniture Company (2)
46
![Page 47: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Uso de LINDO para resolver el problema de Flair Furniture Company (1)
Pantalla de ingreso de datos
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48
Uso de LINDO para resolver el problema de Flair Furniture Company (2)
Reporte de formulación
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49
Uso de LINDO para resolver el problema de Flair Furniture Company (3)
Reporte de formulación y solución
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50
Las soluciones óptimas han sido encontradas bajo suposiciones deterministas.
• Esto significa que se supone una certeza completa en los datos y relaciones de un problema.
• Por ejemplo los precios son fijos, los recursos conocidos, el tiempo necesario para producir una unidad exactamente establecido.
Pero en el mundo real, las condiciones son dinámicas y cambiantes.
Preguntas a ser hechas son: ¿qué tan sensible es la solución óptima a cambios en las utilidades, recursos u otros parámetros de entrada?
7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (1)
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51
Una manera de reconciliar esta discrepancia entre los supuestos deterministas y las condiciones dinámicas y cambiantes del mundo real es: cuán sensible es la solución óptima a los supuestos del modelo y los datos.
Una importante función del análisis de sensibilidad es que permite experimentar con los valores de los parámetros de entrada.
7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (2)
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52
Hay dos métodos para determinar la sensibilidad de una solución óptima a los cambios.El primero es simplemente un método de ensayo y error. Este método resuelve todo el problema, de preferencia con una computadora, cada vez que cambia un dato de entrada o parámetro. Esto puede tomar mucho tiempo para probar una serie de posibles cambios.
Formas para realizar el análisis de sensibilidad (1)
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53
El segundo método es el análisis de postoptimalidad.Después que el problema de PL ha sido resuelto, se intenta determinar un intervalo de cambios en los parámetros que no afectan la solución óptima o cambian los valores de las variables en la solución. Esto se realiza sin resolver el problema completo.Análisis de postoptimalidad significa examinar los cambios una vez que se ha llegado a la solución optima.
Formas para realizar el análisis de sensibilidad (2)
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54
Análisis de sensibilidad usando el método gráfico
Holiday Meal Turkey Ranch
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
0.5 X1 ≥ 1.5
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
(8.4,4.8) Solución óptima
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
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55
Cambios en los coeficientes de la función objetivo - gráfico
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
Variación del coeficiente C1 de X1
2 X1 + 3 X2 = Z
4 X1 + 3 X2 = Z
1.5 X1 + 3 X2 = Z
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
Variación del coeficiente C2 de X2
2 X1 + 3 X2 = Z
2 X1 + 1.5 X2 = Z
2 X1 + 4 X2 = Z
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56
Análisis de sensibilidad usando LINDO
Holiday Meal Turkey Ranch
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57
• LINDO produce un reporte de sensibilidad. • Este reporte provee los incrementos y decrementos
admisibles para los coeficientes de la función objetivo.
• Sumando el incremento admisible (ALLOWABLE INCREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite superior puede ser obtenido.
• Restando el decremento admisible (ALLOWABLE DECREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite inferior puede ser obtenido.
Cambios en los coeficientes de la función objetivo - LINDO (1)
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58
1.5 ≤ C1 ≤ 41.5 ≤ C2 ≤ 4
Holiday Meal Turkey Ranch
Cambios en los coeficientes de la función objetivo - LINDO (2)
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59
Cambios en los coeficientes de la función objetivo
Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar:
Cuando un coeficiente en particular es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia, pero el valor óptimo de la función objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor de la variable asociada a ese coeficiente.
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60
Los valores del lado derecho de las restricciones a menudo representan recursos disponibles para la empresa.
Los recursos podrían ser horas de mano de obra o tiempo de máquina o quizás dinero o materiales de producción disponibles.
Cambios en los recursos o valores del lado derecho (1)
![Page 61: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Si el lado derecho de una restricción es cambiado:• La región factible cambiará (a menos que la restricción sea
inactiva) • Y con frecuencia la solución óptima cambiará.
El valor de cambio en la función objetivo que resulta de una unidad de cambio en uno de los recursos disponibles es llamado precio dual.
El precio dual de una restricción es el mejoramiento del valor de la función objetivo que resulta del incremento de una unidad en el lado derecho de la restricción.
Cambios en los recursos o valores del lado derecho (2)
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62
El precio dual de un recurso indica el valor en que la función objetivo será incrementada (o decrementada) debido a otra unidad del recurso.
Sin embargo, el valor del incremento posible del lado derecho de un recurso es limitado.
Si el valor fuera incrementado más allá del límite superior, entonces la función objetivo ya no se incrementaría por el precio dual.
• Si fuera excedido este número límite del recurso, quizás cambie la función objetivo, pero por un valor diferente al precio dual.
• Así, el precio dual sólo es relevante dentro de los límites.
Cambios en los recursos o valores del lado derecho (3)
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63
Holiday Meal Turkey Ranch
Cambios en los recursos o valores del lado derecho – gráfico (1)
(18,0)
(0,9)
(0,16)
X1
X2
(3,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 90
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 5 X1 + 10 X2 ≥ 90
(12,0)
5 X1 + 10 X2 ≥ 135(3,12)
5 X1 + 10 X2 ≥ 60
2 X1 + 3 X2 = Z = 42 = 2(3) + 3(12)
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
Precio Dual = -(42-31.2)/(135-90) = -0.24
2 X1 + 3 X2 = Z = 24 = 2(12) + 3(0) Precio Dual = -(24-31.2)/(60-90) = -0.24
60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24
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64
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 4 X1 + 3 X2 ≥ 48
4 X1 + 3 X2 ≥ 48
4 X1 + 3 X2 ≥ 72
4 X1 + 3 X2 ≥ 34.5
(3,7.5)
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
(18,0)2 X1 + 3 X2 = Z = 36 = 2(18) + 3(0)
2 X1 + 3 X2 = Z = 28.5 = 2(3) + 3(7.5) Precio Dual = -(36-31.2)/(72-48) = -0.2
Precio Dual = -(28.5-31.2)/(34.5-48) = -0.2
Holiday Meal Turkey Ranch
34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20
Cambios en los recursos o valores del lado derecho – gráfico (2)
![Page 65: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Holiday Meal Turkey Ranch
(18,0)
(0,9)
(0,16)
(12,0) X1
X2
(3,0)
(8.4,4.8)
Variación del lado derecho de la restricción 0.5 X1 ≥ 1.5
0.5 X1 ≥ 1.5
0.5 X1 ≥ 4.2
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)
Precio Dual = -(31.2-31.2)/(4.2-1.5) = 0
2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)(3,12)
-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00
Cambios en los recursos o valores del lado derecho – gráfico (3)
![Page 66: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Holiday Meal Turkey Ranch
60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24
34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20
-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00
Cambios en los recursos o valores del lado derecho – LINDO
![Page 67: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar:
Cuando el lado derecho de una restricción activa es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la base óptima no cambia, pero la solución óptima si cambia, y el valor óptimo de la función objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor del precio dual asociado a esa restricción.
Cambios en los recursos o valores del lado derecho (1)
![Page 68: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar:
Cuando el lado derecho de una restricción inactiva es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia.
Cambios en los recursos o valores del lado derecho (2)
![Page 69: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Si una solución óptima es no degenerada, y tiene una variable de decisión cuyo valor óptimo es cero, podemos afirmar:
El coeficiente de esa variable en la función objetivo debe ser cambiado por lo menos en el costo reducido (y posiblemente más), con el objeto de que haya una solución óptima en la que la variable aparezca con un valor positivo.
Costo reducido
![Page 70: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/70.jpg)
70
MAX 10 X1 + 3 X2 SUBJECT TO 2) 8 X1 + 7 X2 <= 56 3) 6 X1 + 10 X2 <= 60 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 70.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 7.000000 0.000000 X2 0.000000 5.750000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.250000 3) 18.000000 0.000000
El costo reducido es el valor en que debe incrementado el coeficiente de la variable no básica en la función objetivo para obtener una solución óptima alternativa.
Costo reducido – LINDO (1)
![Page 71: 2 modelos de programación lineal](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061419/5879c3441a28abb42a8b598b/html5/thumbnails/71.jpg)
71
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 10.000000 INFINITY 6.571429 X2 3.000000 5.750000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 56.000000 24.000000 56.000000 3 60.000000 INFINITY 18.000000
Costo reducido – LINDO (2)