2004_ decision dans le plan temps-frequence_ martin et doncarli

LAVOISIER, 2004 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 75008 Pmis

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Le Code de la proprit intellectuelle n'autorisanl. aux termes de l'article L 112-5, d'une pari, que les "copies nu reproductions strictement rscrn~cs l'usage priv du copisle ct non dc.sllnes il une utilisation collective'l ct, d'autre parl, que les analyses cl les COU11C5 claiions dans un but d'exemple ct d'illustration, "Ioute reprsentation ou reproduction intgrale, uu parlellc, faite sans le consentement dc l'auteur ou de ses ayants droil ou uY1.-lnls cause, sl micHe" (article L i 22-4). Cdlc rcprscmton ou reproduction, pur quelque procd que cc soir, constituerai! donc une contrefaon sanctionne pm'les anldcs L 3352 ct suivants du Code de la proprit intellectuelle.

Dcision dans le plan tenlps-frquence

sous la direction de Nadine Martin

Christian Doncarli

Il a t tir de cet Olwrage 30 exemplaires ltors C0111merce rsaps

aux rm.:mbres du comU scielltiflque, wlX {U/let/l's el () /'tfditenr

lwmcrots (le j il 30

.................. ~ ... _-----~~~~~~-~~~~~~-

Dcision dans le plan temps-fTquence

sous la directioJ1 de Nadit/e Marlill el Christian DO!1carli

fait partie de la srie TRAJTEMENT DU SIGNAL ET DE IJ.MAGE

dirige par Francis Castani et Henri lVlatre

TRAIT ICZ INFORMATlON - COMMANDE COMMUNICATION SOUS la direction scientifique de Bernard Dubuisson

Le trait Information, Commande, Con1munCation rpond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et mthodes ncessaires Ja 111atrise des systmes technologiques.

Conu volontairemem dans lill esplit d'change disciplinaire, le trait IC2 est j1tat de ]lart dans les dornaines suivants retenus par le con1it scientirique:

Rseaux et tlcoms Traitement du signal et de l'image Infmmatiquc et systrnes d'information Systnles automatiss et productjque Management et gestion des snes CogniUon et traiten1cnt de l'information.

Chaque ouvrage prsente aussi bien les aspccts fondanlcniaux qu1explimcntaux. Une dassillcation des diffrents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index dtall orientent le lecteur vers ses pojnts d'intrt immdIats: celui-ci dispose ainsi d~un guide pour ses rflexions ou pour ses choix.

Les savoirs, thoTies et mthodes rassembls dans chaque ouvTage ont t choisis pour leur pertinence dans Pavancc des connaissances ou pour la qualit des rsultats obtenus dans le cas d'exprimentations relles.

Liste des auteurs

Piene-Olivier AMBLARD LIS CNRS Grenoble

Eric CHASSANDE-MOTTIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon

Franois COMBET LIS INPG Grenoble

Manuel DAVY IRCCyN CNRS Nantes

Christian DONCARLI IRCCyN Ecole Centrale de Nantes

Matthieu DURNERIN LIS CNRS Grenoble

Patrick FLANDRIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon

Cyril I-IORY LIS INPG Grenoble

Pierre JAUSSAUD LIS INPG Grenoble

Hlne LAURENT IRCCyN Eeole Cemrale de Nantes

Nadine MARTIN LIS CNRS Grenoble

Philippe RAVIER LIS INPG Grenoble

Cdric RICI-IARD LM2S Universit de Technologie de Troyes

LotH SENHADJI LTSI INSERM Universit de Rennes 1

Mohammud Bagher SHAMSOLLAHI LTSI INSERM Universit de Rennes 1

Table des matires

Avant-propos . ....... . Christian DONCARLI cl Nudinc MARTIN

Chapitre 1. Tcmps-fl"quence ct dcision - une introduction Patrick FLANDRIN

L L Introduction ... L~. Rcrire. . . .. . ..... . 1.3. Adapter ............ .

J.3. L Hypothses comp05ites 13.2. Chirps ....... . 1.3.3. Rohustesse ... , . ,

1.4. Partir du plan ....... . lA.l. Filtrage adapt temps-frquence . 1.4.2. Apprentlssage , . , .. 1.4.3. Reconnaissance de formes.

J.5. Bibliographie ..... , , . , .

Chapitre 2. Dtection de Iton~st:ltionnari~s .. , ...... . Piene-Olivier AMBLARfl, Eric CHASSANDE-MOHIN, Christian DONCARLl, Matthieu DURNERIN, Patrick FLANDRIN, Hlne LAURENT, Nadine MARTIN, Philippe RA VIER

1,1. Dtection de non-stationnarits l'ordre 2 , . , , . . . . .. . ..... 2.1,1. Test d'hypothse dans le plan temps-frquence ..... . 2.1.2. Densit de probabilit du priodogramme sous Ho .. . 2.J.3. Seuil de dlection du lesllemps-frquence ...

J5

19

19 22 26 26 28 29 31 31 32 33 35

41

41 42 45 48

10 Dcision temps-frquence

2.1 A. Test temps-frquence rcursif. ....... . 2.1.5.1nlluence de l'estimateur temps-frquence. 2.1.6. RsultaI: sur UI1 signal aad111ique ...... . 2.1.7. Ehlde de signaux rels. , ... , ...... . 2,1.8. Conclusion, . , ....... , ..... . 2.1.9. Bibliographie .... , , , . ' , , , '

2.2, Dtection de sauts Ih!quentiels ' . . . ...... . 2.2.1. Introduction , .... , .............. . 2.2.1. Principe de la m':thodc ....... .

2.2,2,1. Surveillance, .. , , , . 2.2.2.2. Segmentation .. , . . . . .. . ..... , . , 2.2.2,3. Choix laisss l'utilisateur, , , , . , .

2,2,3. Rsultats .. 2.2,3. L Surveillance ... :1,,2.3.2. Segmentation, ......... .

2.2.4. Conclusion. . . . . . ...... . 2,2,5, Bibliographie . , ., ' , , ... ' , , , ,

2.3. Detection de transitoires par ondelettes adaples ... 2.3.1. Sur les signaux transitoires et Jeur dtection.

2.3.1.1. Colltexte de dtee(on , , , , . , 2,3,1.2. Quelques approches de dtection , .. , ' .... ,

2.3.2. Une approche fonde sur un partitionnement du plan temps-frquence , , .. , .. , , .. , , , . ' , , , , , , , , , , ,

2.3,2, l, Notion sur le dcoupage du plan temps-frquence, 2,3.2.2. Paquets d'ondelettes .. , , , , , , , 2.32.3, Mlhodologie de dtection, , , :U,2.4, J11ustrations

2.3,3. Pour conclure. . ..... 2,3.4, Bibliographie , , ' , , . , . ' , , , " ",,'"

,2A. Dtection temps-frquence ell'allocation ...... , ...... , 2.4, J. Introduction ' , , ,. """""""'" 2.4.2. Dtection ...

2.4.1.1. Dtecton oplimale, . , ....... , . 2.4.2.2, Dlection temps-frquence.

2.4.3, Dtecter les chirps linaires, , , " "",,' 2,4.4. Dtecter Ics chirps en loi de puissance ..... , . 2.4.5. L'exemple des ondes gravitationnelles .... .

2.4.5.1, Un modle pour la coalescence de binaires. . .... . 2.4.5.2. Un dtecteur temps-frquence simplifi ......... . 2.4.5.3. Une illust.ration , , , ...... .

2.4,6, Conclusion, ' , , , , , ' , , 2.4,7, Bibliographie

50 53 54 57 60 61 63 63 64 64 68 69 72 72 80 83 83 84 84 86 86

88 89 91 95 97

102 102 103 103 105 105 106 108 109 114 liS 117 121 123 125

Table des matires 11

Chapitre 3. Dtection pnr reprsentations temps-frtillence discrtes. . 127 Cdric RICHARD

3.1. Position du problme . . . . . . . . .' ........ , , , , 127 3.2. Dlection structure libre par distributions de Wigner-Ville. . . . .. 129 3.3, Dtection struclure impose purdistribulions de Wigner-Ville. . .. 131

3.3.1. Espuces linaires. espaces induits cl bases . . . . . . . . . . . . .. 132 3.3.2. Comparaison des approches. . . . . . . . . . . . . . .. 133 3.3.3. Innucnce de la maldiction de la dimensionnalit. . . . . . . . .. 135

3.4. Distribution de Wigner-Ville discrte classique ct redondance . J 37 3.4.1. Familles gnratrices. . . . . . . . . . . 138 3.4.2. Cas de l'ulItodistribution. . . 140

3.4.2.1. AUlodislributton de slgnaux complexes. 141 3.4.2.2. Autodistribution de signaux rels 141

3.4.3. Consquences en dtection 143 3.5. Bibliographie. . . . . . . . . . . . 145

Chapitre 4. Classification Malluel DAVY

4.1. Introduction. 4.1. f. Classer des signaux. pour quoi fnl'c? , 4.1.2. Un exemple .. . ........... . 4.1.3. Elments de classificalion supervise.

4.1.3.1. Contras le de Fisher. , . , .... 4.1.3.2. Rgle du plus proche reprsenlant. 4.1.3.3. Rgle des k plus proches voisins .. .

4.2. Intrt des approches temps-trquence ..... . 4.3. Classifatioll temps-frquence: diffl'entes stratgies ... , ..

4.3.1. Les travaux fondateurs en temps-frquence , , , .. . ..... . 4.3.2. Recherche de la reprsenta lion lemps-frquence ct de la distance optimales. . . . . . . . . . ..... . 4.3.3. Classification utilisant le pian des ambiguts. , ... . 4.3.4. Utlisation de techniqus dc traitement d'images pour la classification. ..,., .... ,., .... ,., ........ ,.

4.4. Amliorer les rsultats de classification dans le plan temps-frquence, .......... , .

4.4.1. Critres ........ . 4.4.1.1. Critre du premier ordre. 4.4.1.2. Critre de lype Fisher. . . .... . 4.4.1.3. Critre de probabilit d'erreur. . . . . ...... .

4.4,2. Pertinence des crteres proposs application l'exemple. 4.4.3. Mthode de conception . . .......... .

147

147 147 149 149 151

15~ 153 154 156 156

156 157

159

159 159 160 160 161 162 163

12 Dcision lemps-frquence

4.5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.6. Annexe: distances pour la dcision . . . . . . . . . . 168

4.6.1. Distances Lq, distance quadratique, corrlation 168 4.6.2. Distances entre densits de probabilit . . . . . 169 4.6.3. Distances spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.7. Annexe: noyaux paramtriques de rcprsentations temps-frquence. 171 4.7.1. Noyau radialement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.7.2. Noyau de Choi-Williams marginalcs gnralises . 17'l 4.7.3. Noyau exponentiel multiforme orientable. 172

4.8. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Chapitre 5. Extraction de motifs temps-frquence. Cyril HORY et Nadine MARTIN

177

5.1. Scgmcntation par tiltragc non linairc . . . . . . . . . . . . . . 180 5.1.1. Segmentation morphologique: notions lmcntaires. . 181

5.1.1.1. Algorithme LPE seuil par seuil . . . . . . . . . . . 182 5.1.1.2. Prtraitemcnt : modlisation des connaissanccs Cl priori. 184

5.1.2.LPEetRTF ............. 185 5.1.3. Application sur des signaux rels. . . . . 188

5.1.3.1. Un signal de bioacoustique. 188 5.1.3.2. Un signal dc cavitation . . . . . 191

5.1.4. Limite de la fonction gradient. . . . . 192 5.1.5. Conclusions de l'approche par LPE . 195 5.1.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . 196

5.2. Cosegmentation RTF/cspace de mesures 198 5.2.1. Vers une interprtation statistique. 199

5.2.1.1. Modle statistique . . . . . . . 199 5.2.1.2. Redfinition du problme d'interprtation. 200

5.2.2. Interprtation dans l'espace des caractristiques. 201 5.2.2.1. Modle de mlange local. . . . . . . . . . . 202 5.2.2.2. Momcnts d'ordrc 1 ct 2 dcs caractristiques locales 203 5.2.2.3. Estimation dcs paramtrcs d'unc loi du X2 centr. 204 5.2.2.4. Caractrisation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.2.2.5. Choix de la taille de cellule. . . . . . . . . . . . . . 207

5.2.3. Deux exemples d'application sur des signaux rels. . . 208 5.2.4. Conclusion sur l'approche par espace des caractristiques. 210 5.2.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Table des mntires 13

Chapitre 6. De la physique la dtection. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Franois COMBET, Pierre .IAUSSAUD, Nadine MARTIN, Lofti SENHADJ1, Mohammad SI-IAMSOLLAI-Il

6.1. En mcanique: dtection de chocs. . 213 6.1.1. Pourquoi un tel modle ? . . . . 214

6.1.1.1. Dfinition d'un choc. . . . 214 6.1.1.2. Exemples de situation de choc. 215 6.1 .1 .3. Rponse d'un systme mcanique un choc. 216 6.1.1.4. Modle multichoc . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.2. Quel est l'intrt de ce modle? . . . . . . . . . . . 225 6.1.2.1. Analyse de Fourier d'une rponse des chocs 225 6.1.2.2. Analyse de Fourier glissante d'une rponse des chocs. 227 6.1.2.3. Alternatives. . . . . . . . . . . . . 228

6.1.3. Analyse de Prony en stationnaire. . . . 229 6.1.3.1. Historique de l'analyse de Prony 229 6.1.3.2. L'analyse de Prony. 230 6.1.3.3. Le modle exact de Prony. . . 232 6.1.3.4. Le modle approch de Prony 233 6.1.3.5. Prony corrlation. . . . . . . . 234 6.1.3.6. Systmes linaires en jeu. . . 235 6.1.3.7. Conditionnement des matrices C et V 236 6.1.3.8. Autres identifications . . . . . . . . . . 239

6.1.4. Non-stationnarit et modle multichoc . . . 239 6.1.4.1. Rupture de modle sur la fentre d'observation. 240 6.104.2. Dtecti0t: des instants: courbe des amplitudes . 242 6.1.4.3. Prony temps-frquence. . . . . . . . . . . . . . . 246

6.1.5. Application un signal vibratoire de remonte m.an~~. 248 6.1.5.1. Signal de pylne compression synthtis. J:; //:"" .. ~)~ 248 6 1 5 7 S' l' 1 /-r/ . - "\,\\\ 751

6 1 6 C '-'1 Igna ree .................. r' . ( "(>".(;;" . \el\ ;53

. .. one USlon ........................ -G.,. .. 'j"nj-6 1 7 B'bl' 1 . . .. ' .\.;' .' 1754 1 IOgraplie .................. '\-:':

Avant-propos

La connaissance d'un phnomne physique passe frquemment par l'acqusition d'un signal monodimensionnel et, ced, dans divers domaines d'application, Citons entre autres des signaux d'origine botogque~ mcanique. sismique ou acoustique, Ces mesures sont exploites il des fins de descriplion, d'analyse ou de dcision. Ce demicr point. la prise de dcision, constitue l'objet de cet ouvrage,

Plus prcisment, cet ouvrage s'intresse aux signaux non stationnaires, La 11011-stationnarit est une proprit trs prsente dans la nature mais difficile matriser thoriquement. Que peut vouloir dire une frquence volutive au cours du temps alors que, par essence mme, la dfinition du mot frquence sous-entend une dmcnson temporelle infinie et, de ce fait, une absence de localit? Nanmons. mme SI le problme suscite encore des questions captivantcst nous ne revisiterons pas les concepts Ihoriques ncessaires l'laboration de mthodes d1analyse de signaux non stationnaires tels que, par exemple, la frquence instantane. De nombreux ouvrages Qnt trait et traitent encore de ce sujet. Nous allons considrer que nous ( matrisons li ces concepts et ces mthodes et nous proposons au 1ecteur de s'interesser au dornaine temps-frquence ou temps~chelIe. domaine d'observation pertinent dans un contexte non stationnaire.

Le vocable Dcison )} du titre de cet ouvrage, couramment utilis dans la communaut nationa1e depuis quelques annes, doit tre pris dans un sens large, il est d'ailleurs relativement imprcis. II s'agit ici de pot1er un jugement sur la mesure. de dtenniner queUes en sont les diffrentes parties, structures ou composantes. 11 s'agit d'interprter, de reconnatre. d'cxtmire, de dtecter ou de classifier. Chaque chapitre de ccl ouvrage mettra en lumire rune ou l'autre de ces problmatiques:

l'objet des chapitres l, 2, 3 et 6 est de dtecter, l'objet du chapitre 4 est de classifier, l'objet du chapitre 5 est d'extraire des 1lI01i!"

16 Dcision temps~fi'qucnce

Pour rsoudre ces problmes, la thorie de trallement du signal propose des

algorH'hmes optimaux. Nous parlons de ces approches parcourues dans le chapitre 1.

approches dont lS limites en rgime non stationnaire nOlis condusent dans les

chapitres suivants il des contributions thoriques novatrices, rc~nles, et par

consquent sujettes volution. Les auteurs demandcnt au lecteur de considrer ce document comme un tat de l'arl au jour de j'dition.

Une prscl1taton succincte du contenu de cCl ouvrage peut tre aborde sous

trois angles diftrcnts : la philosophie de rapproche. la nature de Informatiol1 a

priol'i ou les applications concemcs.

Philosophie des llppfohes

Les approches de dcision proposes dans ce truit ne s'appuient pas toutes sur la

mme philosophie. Face ce prob1me, une 50Iuton peut consister il optimiser les

paramtres une mthode d'analyse dans une optique de dcision prdfinie. Cetle

philosophie est mise cn avant dans la section 1.3 et le chapitre 4.

Sous un autre point de vue, le problme de dcision peut tre vu et dfini comme

un post-traitement fi l'analyse et cc, pour une mthode d'analyse donne. Cette

deuxime piste est examine dans les sections 2.1, ~.2. 2.4 et les chapitres 5 et ().

Les varables temps et frquence tant U valeurs discrtes, il est incontournable de donner une dfinition prcise de la discrtisation cl 'une distlibution temps-frquence

dans un contexte dcisionnel. Le chapitre 3 aborde sreusement ce probJme.

brfOl'll1utiOil il priori

Quelle que soil la philosophie retenue, les approches se distinguent galement par leur faon d'apprhender les informations ou connaissances a priori: connnissances

completes ou partielles sur le modele du slgnal observ, sur le systme qui fi gnr

l'observation ou SUI' la mthode d'analyse qui, dans notre cas, gnre un espace

d'observation temps-frquence. NOliS observons diffrentes facults il grer ces

informatons au cours des chapitres.

Si Pinfmmlion il priori est partielle et se rsume certaines pl'Oprts sur le:

signal. les mthodes proposes s'appuieront SHf les proprits suivantes.

A vam-propos 17

En dfectOil Dans la section 2.l, la non-stationl1arit est quelconque et dteclable par des

variations des moments d'ordre ::, Dans ln section 2

1 S Dcision temps-frquence

Il est inctmtesttlhle que cet ouvrage a pu prendre fonne grce aux contucts et

collaborations fructueuses au sein de la communaut: franaise aU cours de ces

dernires annes. Au terme de cette exprience. nous souhaitons tout simplement

remcrcier les auteurs de leur contribution.

L'ventail des solutil1l1s proposes est plutt large, cc qui nous l'esprons,

ntressera le lecleur et lui permettra de triomphcr de la complexit de certains

signaux, non pas au sens de Gaston Btlchelard : ( NOlis comprenons la nafllre en lui rsislcmf h, mais plutt au sens du philosophe Francis Bacon: a On ne triomphe de la Ilature qu'en Irli obissaHi 1>,

Nadine MARTIN ci Christian DONCARLI

Chapitre 1

Temps-frquence et dcision - une introduction

1.1. Introduction

C' est ulle vidence ct une banalit de drc que le momIe qui nous entoure est non stationnaire );. Si s'offrent bien sr notre obscrvution des phnomnes cmprcinL"I d'une grande rgularit (du moins rapports une chelJe temporelle humaine, comme par exemple le mouvement des astres), ce par quoi le monde nal noire perception passe avant tout par le changement. Ja variation, la diffrence, D'une faon tou' rall fondamentale. 1'nfonnation (dans son sens auss bien commun que technique. il lu Shannon )~) est indi~;sociable de l'imprvu et donc de la ({ non-stationnarit , cn tant qu'ide gnrale de non-homognit spatin-temporelle. De plus, si l'on admet que la nature est en soi non stalionnajre. il apparat aussi qu'ulle cnpacit de suivre ses n011-stationnarits esl altache nos sens outils naturels permettant de r apprhender -, et de celle conjonction rsullc ln possibifit mme (tYinologique) d'une connaissance. Observateurs impassibles d'un univers immuable. nous serions confronts, non seule-ment fl un indicible ennui, mais encore l'incapacit mme d'en dire quelque chose, voire d'en percevoir l'existence.

Au vu de ec pn5ambuie lrs gnral. il semblerail donc raisonnable que les i-'lignaux, supports physcjuCS de toute information. soient traits par des procdures reposanl la basc sur des prsupposs de nOIl-stationnarits. c'est-il-dire raide d'outils offrant un langage naturel pour la descdption de ces dernires. Or. force est de constater que, si r exprience quotidienne va bien dans ce sen ... (quoique d'une faon csscntieHe-ment perceptucllc). ce n'est que dpuis UI1 pus.s ussez rcenl !:lIIC e tels outils onl l

Chapitre rdg par Patrick FLANDRIN.

20 Dtd5ion temps-frquence

forgs pour apprhender des dasses trs larges de non-stauonnarits, dans le,o..:queHes

J'volution temporelle de proprits spectrales joue UI1 rle prdominant Nu1 beBoin pourtant de longues explications pour justifier du bien-fond de la notation musicale, de l'vidence de la reconnaissance d'un instrumenl de mUFique (ou d'un locuteur) il son tmnre, ou encore de )"~propos du diagnostic acoustique d'un motcur pur J'oreille experte d'un garagistc. Il li en fat fallu attendre les annes i 980 pour voir merger (et pour accepter) un paradigme nouveau, selon lequel c'est dans un plan temps-frquence qu'il convient de dcrire cl de manipuler des signaux non stationnaires, Si un des l*

ments dcisifs de ce changement a certainement t la ., rvolution des ondelettes )~1 le vritable basculement paradigmatique va all-dcl~ d'une technique pnrLiculire1 et les approches qui ont pu tre dveloppes s'appuient sur tout un arsenal de techniques

introduites prcdemment des Hns essemielles d'analyse. sans ncessaire souci de

traitel11enl proprement dil.

Comme cela peut tre le cas dans des lches d'analyse ou de compression. chan-

ger ct' espace de reprsentation pour prendre une dch;ion quant un signal (dtection, estimation, clnssificaton, reconnaissance) rpond aU souci de dispos.er de l'informa-tion que le signal recle, sous la forme ln plus propice son eXtraction, Lorsqu'Il

!;'ugit d'analyse, la question est de trouver une rcpr;enwtiol1 adapte f> al! signal.

en accord avec son interprtation physique el sa description phnomnologique, Dans

le cas de la compression, l'objectif esl davantage de ,( concenlrer~! l'informalion sur un petit nombre de coefficients. mais sam; que ceux-ci se prtent nCeS5

TCfilj15 N frquencc ct dcision une inlroductlon 21

consIste il considrer le diagramme suivant:

(rU). J:{I; fi)} Ao(rl:r.ll)

?

{p,(/., J). p,(I. j; fJ)} dans lequel Px(t~ f; O} et Pr(t,.n sont les images temps-frquence respectives de ;1'(1; 0) et 1'(t), et o Ao(p,.lp" 1\) est la statistique de sorlie d'un rcepleur oprant directement dans le plan.

Un tel diagramme pose videmment plusieurs questions relatives aux nombreux degrs de libert mis en jeu: quelle reprsentation temps-frquence p choisir? Quel critre relenir pOlir la construction de la statistique A? Quel lien entre A et A ? li met aussi en vidence qu'au moins deux approches sont possibles pour aborder ces questjons: la premire consiste prendre le chemin l' f-.:. A -+ Jt c'est--dire par-tir de stratgies usuelles et en donner des formulations temps~frquence associes: la deuxme, qui emprunte cette fOls la route r ~ {Jr )-.< est plus rndicale dans la mesure o ellc prend son poinldc dpart dans le plan et cherche tt y ancrer sa stratgie. Dans le premier cas, il est clair que ]a recherche de la commutativit du dagramme n'est pas une I1n en soi. C'est ben davantage un point de dpart, destin avant tout garantir l'existence de formulations aHematives de stratgies optimales ct il roumir une base pour des modifications ventuelles. Dans le deuxime cas, on peut esp-rer qu'une approche oprant drectement dans le plan permette, grce il une adqua-tion enlre la nalure des donnes et l'espace choisi pour leur reprsentation, d'aborder des problmes difficiles formuler dans un espace monodimensionnel et d'aHendre des proprits d'optimalt de faon simple, La situation est en fait ussez analogue il celle qui prvaut en analyse temps-frquence, En effel, dans le cas de reprsenta-tions continues , 1'lrlc mme de passer d'une description monodimensionnelte une reprsentation bidimensionnelle peuL paratre cralrice d'une augmentation de redondance inutile. Il n'en esl cependant pas ncessairement uinsi. comme le montre l'exemple simple d'un chrp ) linaire, dont lu paramtrisation temps-frquence peut fi' avrer plus conomique que la donne des chantillons du signal de dpart. La raison en est que le passage au plan permet une oprution en deux temps: ans un premier temps. l'augmenlalion pOlcnticl1c de redondance offre en quelque sorte au sgnalla possibilit de sc dployer de manire structure; dans un dcuxirnc temps, celtc struc-turation -lorsqu'eHe est correctement identifie et mise il profit- se traclnt alor!'i par une diminution de la redondance ct'feclive.

L'objectif de ce chapitre n'est pas de fournir un punormna exhaustif el dlaill de l'ensemble des solutions possibles au problme de la dcision duns le plan temps-frquence, mais davantage tic roumir quelques cls introductves il quelques


familles d'approches dtailles plus avant dans ce volume. La question essentielle

qui est aborde ici est celle de la dtection (largie le cas chant l'estimation ou la classification) de signaux de [orme plus ou moins connue, corrompus par un bruit d'observation additif. le cadre d'tude choisi tant celui des distributions

temps-frquence la Cohen }}, dont on supposera que le lecteur connat les bases [BOU 96, COH 95, FLAN 98, MEC 98]. On passera ainsi sous silence au moins deux grandes catgories de problmatiques complmentaires celles retenues. La premire

concerne les o/~ject(fs viss, qui pourraient inclure la dtection de ruptures (tempo-relles et/ou spectrales), telle qu'elle peuL tre revisite dans le plan temps-frquence, poinl abord en dlail ailleurs [LAU 98, MAL 97, MAL 98, MART 85] cl en parli-culier dans la suite de cet ouvrage (voir sections 2.1 et 2.2), La deuxime catgorie concerne les mthodes, qui pourraient inclure les techniques reposant sur des bases de

dcompositions linaires (Gabor, ondeletles, paquets d 'ondeletles), en particulier pour la dtection de transitoires, interprts comme une rorme d'introduction locale de non-

slalionnaril: l encore, on pourra se reporler il [FR1 91, MAL 97, MAL 98, RAY 981 ou aux sections 2.3 et 6.1 de cet ouvrage pour un traitement explicite de ces questions.

Ce que contient finalement ce chapitre est organis de la faon suivante. Dans

un premier temps, on discute pourquoi et comment les approches temps-frquence

(au sens large) peuvent offrir un cadre naturel de rcriture, dans le plan, de stra-tgies optimales de dcision connues par aiUeurs, Dans un deuxime temps, rap-

proche temps-frquence est justifie par la capacit qu'elle orfre d'aller au-del de cette simple rcriture, en pennetlant d' adapler les schmas dllnis prcdemment

des situations non nominales, ou d'offrir un espace de reprsentation adquat cer-

tains problmes difficiles traiter en temps ou en frquence, De manire plus prcise,

cette partie concerne la dtectio1l hypothses composites, en particulier dans le cas

important de la dtection de chi'7Js, ainsi que des questions de lype robustesse, Dans un

troisime temps, on renverse la perspective en considrant directement le plan temps-

frquence comme l'espace d'observation, l'objectif tant de donner un sens prcis nde intuitive de dtection par reconnaissance d'une signalllre temps-frquence. On

discute ainsi l'ide de filtrage adapt te11l{Js,p'qlleI1Ce, la question de comment raire usage d'une base d'apprentissage pour piloter le choix (et l'usage qui en est fait) d'une distribution. avec quelques considrations sur les possibilits offertes par les

techniques de reco1lnaissallce de formes et/ou d'a1lalyse d'images.

1.2. Rcrire

Soit le problme initial de dtection binaire:

{Ho

Ih ,.(1.) = b(t) rU) = ,1:(t) + vtt)

Temps-frquence et dcision - une introuction 23

dans lequel il s'agilde dtecter un signal d'nergie linie :1'(1) E L'(JP;), dterministe. parfaitement connu, partir d'une observation {rU); t E T} corrompue par un bruit additif b(t).

Dans le cas le plus simple olt le bruit b( n est suppos centr et blanc, de densit spectrale de puissance No, le filtre lillldre dont la sortie (au temps t = 0) maximise le contraste (ou rapport signallbruit de sortie):

n'est autre que le filtre adapt, de rponse impulsionnelle h(l) =:L (1) := cr( -1.) :

A(r) := (:L,l') C'est l le prototype de l'intuition selon laquel1e dlecter un signal revient trou-

ver dans }' observation qui en est faite un degr de ressemblance jug sufflsant avec la rfrence dont on dispose. Au sens du produit scalaire considr (celui des fonctions de carr sommable), maximiser le degr de ressemblance sc rait en utilisant comme mesure la corrlation, ce qui est quivalent minimiser la distance quadratique (donc la norme associe) entre l'observation et la rfrence. La situation qui vient d'tre voque repose sur une structure linaire impose mais, sous l'hypothse plus restric-tive de gaussianit du bruit, le mme rsullat aurait pu tre obtenu par un argument de maximum de vraisemblance. Dans les deux cas, le caractre linaire du dtecteur est inlimement li la nature dterministe du signal dtecter.

Les deux approches mentionnes (maximum de vraisemblance et contraste) offrent plusieurs niveaux de gnralisations si l'on suppose dsormais que le signal dtecter .1'(1.) est lui-mme alatoire [POO 88]. Si l'on considre ainsi que :I:(t) est gaussien, centr et noy dans un bruit b( n color et centr, le dtecteur maximum de vraisemblance prend la forme gnrale:

o R,l; et R.II sont les oprateurs de covariance associs au signal et au bruit, respecti-vement: le dtecteur obtenu est dans ce cas une fonction ql/adratiql/e de l'observation. Remarquons que l'on aurait l aussi pu imposer ce caractre quadratique sans recourir l' hypothse de gaussianil, en utilisant le critre de contraste voqu prcdemment. On aurait alors obtenu comme solution la quantit:

L encore, c'est dans les deux cas la nature alatoire du signal ft dtecter qui fixe le caractre quadratiqlle des dtecteurs.


De manire peur-tre plus cxplicie. la solution du problme de dtection d'un

hruit gaussien color dans un bruit gaussien blanc peut s'crire en dveloppant les

oprateurs de covariance mis en jeu sur la base de Kahnmcn-Love du processus d'jn-trt[TRE 68]. Si l'on considre ainsi l signaJ ,r(t) dtecter comme lnnL gaussien de moyenne 'iliA 1) cf 0, tout cn supposant le hmi! additif II( 1) ccum; ct blanc, la sta-tistique d dcsion issue du principe de maximum de vraisemblance s.'exprime alors

comlne somme de deux. contributions:

expression dans laquelle les /\n cl les 'Pn (t) son l, respectivement, les valeurs propres et fonctions propres de Rx_ La premire de ces conldbulions est une fonction linaire

de robservation: on peut l'interprter comme relative lu dtection de la moyenne

ml' (/), con:;idrc comme partie dterministe de .t'(i). La deuxime contribution, quu-draUque, s' auache quant i~ cHe il la dtecon de la partie alatoire de x(i) (fluctualions aulour de la valeur Illoyenne). On obtient ainsi une slructure de rcepteur tinairc-quadratique, en accord avec les exemples prcdents. Plus gnralement. le problme

gaussien-gaussien complel admet une solution de mme nature, que r on n'explicitera

pas par souci de simplicit.

Quoique 11 'puistll1t bien sr pa.r.; wus ie;;, cas intressants en pratique, ces premiers exemples illustrenl nanmoins le fait que de larges classes de problmes de dtection

puissent admettre comme structure de dtection optimale une stath-,tjque de dcision de la forme:

A[r) IX (hCT, :B), r) + (L(:r, :B)r, r)

o Il est une fonction ct L un oprateur linaire. tous deux dpendants du signal

dtecter J: et de la connaissance a priori 13 que J'on pem avoir du bruit addilif.

En donner une formulation temps-frquence revient donc essentiellement expri-

mer ls produits scalaires mis en jeu sous une forme quivalente opmnt dans le plan. On peut remarquer qu' cc niveau, il n'y a videmment de gain attendre d'un tel

pOnt de vue alternatif' que d'lutelllgibiJit. ell10n d'information. On y reviendra plus loin.

Clos.\'CS gllrales

Soil P,,,.y(t, Il une dislribution lemps-frqucnce (croise) LBOU 96, COH 95, FLAN 98]. On dira qu' clic eslunitaire (ou encore qu' elle vrifie la/ammle de Maya/) si eUe conserve >} le produit scalaire au ~el1s o l' ,galit:

Temps-frquence el dcision - une intl'oduction 25

est sutisfaite pour tous signaux {'''iU) E L'(lR); i = L ... , 4}. Une telle proprit est vrifie en particulier par la distribution de Wlgner-Vme il';r,!lU, f), avec la cons-quence que l'on li alors (avec lu notation simplife !Fx := Hf, .. ,,):

(il, ri = ((H,,,IV,,.r})/llhlll et:

IL!'.,.) = \'j.FL.ll'Yi \. , . t" pOllr tout opmteur linaire L de symbole de Weyl [KOZ 92] ussoei TVL(t, f).

Quoique le choix de la distribution de Wigner-Ville ne soit pas unique (dans la classe de Cohen, pal' exemple, toute distl'hution oc noyau unimodulail'C (duns sa repl'-sentatlon dans le plan des ambiguts) convient galement IFLAN 98:1. tout comme la distribution unitaire de Bertrand dans la classe affine [BER 92, RIO 92]), on pouITa convenir de Je relenir pour des rai:.olls de simplicit. Cc !llsanL, il devient ds lors possible de reformuler les sUHistiques de dteeton linaires-quadratiques voql1e_~ plus haut sous la forme:

A ex (W"i.r:B), n,,(.,,'B).,))/ilh(:r, 13)H~ + (illier/l'j' IV,,)) mettanl en vidence le falt tlue dtecler un signal (non slationnaire) peut sc raire en comparant la signature )j. temps-frquence de :..on observation (teHe {Ju' clle est don-ne par la distribution de Wigner-Ville) avec une signature de rfrence associe au signal dtecter cl au bruit qui le corrompt.

EXEII:1PLBS.- Deux exemples simples permettent d'illuslrerce pointdc vue alternatif: celui du callal de Rayleigh el celui de In dtection localemellf oprllale [FLAN 881,

Dans le premier C


Une parenthse historique: l'ide de dtecter ou reconnatre un signal pur compa-

raison de signatures lemp.s.-frquence eSl bien sr ancienne. Tout comme pour l'ana-

lyse temps-frquence - qui peine il trouver une paternit fIla transformuliol1 de Fourier

court terme - des approches de cette nature ont pu tre utilises de faon intui-

tive bien avant

Temps-frquence et csion - une introduction 17

et. dans 1e second, h une statistique de dcision pondre par la connaisl'unce fi prim"; relative au paramtre perturbateur:

Il en est ainsi si l'on considre par exemple que ,1'(1; Il) := ,1:01(1) [jxp{ fO}, avec {prO) 1/2,,; e = [-71', h)}, c'est-l,-dire que le signal recherch est dtenlliniste, mais connu une phasc uniforme prs: on montre alors rWHA 7 J l que le dtectcur devent 1\(1') :x 1 (:r.1, l';?, ce qui rumnc lu clas~e des dteclCurs quadratieJucs.

Duns des cas plus gnraux de paramtres inconnus, il est souvent dfHdlc d'ex-prmer et d' interprler le dtecleur rsultant d'un lissage par la denst de probabllit, alors que l'approche temps-frquence peut se rvler bien davantage informative, En effet, la signature temps-frquence se transforme dans une LeHe situation ~elon:

soit essentiellement un (~ paississement ,) de la signature nominale. De faon exacte [FLAN 881, si l'incertitude observe est induile pur une gf.iue CIl temps et en fr-quence, c'est--dire si () := (T,.;), le dtecteur devient ((CL(x,ce)(P), Ir,)), cxpres-sion dans laquelle CLU) f;p) est, mutatis mtllmulis. J'analogue du symbole de Weyl, mais construit sur la distribution de la classe de Cohen de noyau de lissage pU, 1) (dans le plan temps-frquence), en lieu et place de la distribution de Wigner-Ville de noyau

28 Dcision temps-rrquence

Ir(i,f)-r~ (pl --_ lyre de dtecteur l}(t! t'l(f) , H,1:~} 'l'll~l Filtr~ adapt ~l.- dic~t:ur d' cllvc1!Jppc (){t) ; {!:;;rI!-,!I'I-\ COlTclaleurd mtCI1:'ilte ,,(I) 1 (lX"I',IRI') Corrlatcur e densit speclmlc :

L_l __ lIr"IIJJi'JI~L Dl~c",ur d~lle~g~ __ ....... ~ J On voit ainsi que la fonnulation lemps-frquence offre une f::,ttnude flexibilit pour

passer contimmellt d'un rcepteur scmi-cohrcnt (mtre adapt suivi d'un dtecteur d'envelop[le) des rcepteurs totalement incohrents (dtecteur d'nergie, corrla-teurs d'intensits), tout cn restant fi rintrieur cl' une seule el mme structure unifie.

Que ces variations sOlem constl1lles III fine autour de la classe de Cohen trouve son origne dans le fait que ceHe dernrc repose sur un principe de covartince par les lranstalions en temps et en frquence. Si le vecteur de parumtrcs 0 avait t choisi dffrcmlTIenl, des r:mlaLs analogues auraient t nanmoins obtenus, moyennant que

l'on transpose des dusses de distributions covariantes par rappol"l au groupe de trans-formUlions induil par le nouveau paramtre [SAY 961. C'est en particulier le cas du couple u'anslatiol1 en tcmps + changement d'chelle, qui donne naissunce ft des

dtecleurs lemps-chelle bass sur lu classe amne [SAY 95].

1.3.2, Chirps

Une calgore parliculircment importante de signaux non stationnaires pour les-

quels rapproche temps-frquence est pcrtjncnle esl ce11e des " chirps ,;., c'est-ii-dire des signaux de la forme ,"(1) GAt) cxp{icp,,{t)}, pour lesquels on admet que la variation de l'amplitude n..,(1) ? () esl suffisamment lente il l'chelle des oscillalions induites pur la phase l'.,.(t) pour que lu drive temporelle de celte dernire puisse sntcrprh."fcommc une frquence instantane I,,(t), L'ide de base est que. dans ce as, la signatur temps-frquence du chirp doit tre ( maire ". c'est-ft-dire se rduire esscmieHement une contribution nOn nulle dont le support dans le plan s'identifie

fi I~l trajectoire de frquence instantane. Dtecler un chirp n:vicll! alors rechercher une contribution cohrente ct localise le 10ng de cctte trajectoire,

Pour que ceUe intuiton prenne tout son sens, il faut bien sr qu'il y al adquation enlre le type de chirp envisag et la distribution temps-frquence susceptible d'cn

assurer la locaHsation. Si lel est le cas, c'est--dire s'il existe une distribution unitaire

fl telle que 1',,(1, f) = A(I) oU -. r,(I.)), on peut crire:

({Pd),}) = .1 A(I) {J,(U,(i)) dt d'ott un dtecteur qui sc rduit une intgration de chcmn Je long de la trajectoire de !rquence instanlane,

Tmp,,~frfqucnce et dcision - une introduction 29

Tl en est ainsi pour les chirps unimodulaires (1",,(I.)i = 1) de phase quudra-tique


par tnmslatlons, (ii) unit,tire (pour assurer l'optimalit) et {iiij IocaHse sur la courbe laisse invariante par la transfonnution Doppler. Cette courbe tant une hyperbole. les trois conditions requises sont satisfaites univoquement par la distribution unitaire de Berlrand, grce" laquelle le problme de lu tolrance" l'cffel Doppler reoit une solution temps-frquence purement gomtrique.

Gabarit

L'intgration de chemin est une fuon intuitive de rneUre en uvre un flltre adapt, le degr de ressemblance entre l'observalion et la rfrence t

Temps~frqucncc cl dcision - une introduction 31

([ E N(Or (T2) alatoire, de frquence centrale Jo connue mais de facteur

32 Dcision remps-ffL~uencc

de sorte qu'en SOil maxim; Je contraste (ou rapport sigl1allbrul de sortie). Le pro-blme ainsi pos se heurte il plusieur~ degrs de dillkulls et d'arbitraire. Il faul d'une part choisir, a priori, quelle: distribution ou classe de distribulions utiliser, dont il serail souhaitable d'autre part de matriser les proprits statistiques,

Bien que quelques rsultats existent en ce qui concerne le deuxime point rDUV 99]. l'tat de l'art acluel ne pennet pas de faire une lhorie aussi aboulie que uns le domaine temporel (ou frquentiel), On se contentera ici de signaler quclques rsultats ct quelquc-s pistes, dans le CilS particulier de la classe de Cohen et d'un hruil d'observation blanc, Sur la hase de telles hypothses, on peut en Fail montrer [FLAN Sg[ que:

argm'L"A(C,.;G) = C\ L

cc qui s'accorde avec l'intuition scIon laquenc le contraste est maxjmis lorsque la rponse du filire temps-frquence s'identifie la distrbution du ~ignal dtecter (concepl de .filtre adapt tCl1/fJ:i:/i'qucnce).

Ayant trouv la rponse optimale pour une distribution donne l'intrieur de lu classe de Cohen, il est possible d'envlsager un deuxime niveau d'optimisilton relativement au noyau ;p( ~l 7), Explicitant le conlrasle maximal ( y Hx), on montre alors que:

avec l'galit pour toutes les distributlons (unitaires) caractrises pHI' ulle fonction de paramtrisation tcHe que 19{~, T)) = }, Dans de tels ca};, le conlraste maximal est exactement gn1 celui que l'on obtiendrait par un filtrage adapt (classjque) suivi d'une dtection d'enveloppe, On peUL noter que ks speclmgrammes Sl: trouvenl de faH exc1u$ de cette situation d'optimalit, ce qui rejoint des remarques l'aites prc-dminent et explique qu'une dtection temps-frquence il base de spectrogrammes nccK"Hc des procdures uuxiUaires de dcol1volulion lALT SOJ,

1.4.2. Apprelllissage

Lorsque le signai dtecter ne peul tre considr comme dterministe, on a dit prcdemment que divers points de vue (contraste, maximum de vraisembiance) pou-vaienl conduire II des statlsques de dcision de la forme \ {th) ,x {(IEp.T' PI'J), e' est-

-din~ ln comparaison d'une dislribution relative J'obscrvatlon avec la moyenne d'ensemble de celles assoclcs au signaL Les difficults souleves par ce poiot de vue sont alors d'ordre lhorique (dispose-I-on d'un modle pour lu statistiquc es donnes, el de leurs distrbutions 7) el pratique fco1l1mcntcslmcr la moyenne d'ensemble sur la base d'un nombre souvent rduit de sHuulons pouvant servir ft l'apprentissage?).

Tcmps-frqucnce et dcision - ulle inlroclucLon ]:)

Dans le cns de la distribution de Wigner-Ville, une solution il cc problme est de partir d'une structure linaire impose. sembl~lble cene prvalant dnns le cas du 111-tmge adnpt (emp~-frquencc. On montre alors lruC 97\ que la rnaxirnisation de totlt critre (contraste. Fisher ... ) ne faisant usage que de proprjts de premcr et second ordres de A conduil il une solution oplmale G(a), qui est paramtre par un nombre D: E [0.1] ne dpendant que du critre choisi. L'approche retenue est alors de choi-sir la valeur Ct._ qui rninjmise la probabilit d'erreur du t.llccteur. Cette optimisation n'est cependant pas satisfaisante clic seule, caT on sail que les performances d'un dtecleur construit pur appfel1ti~sage imposent d'adapter Si-l compJexH il la laille des donnes disponibles (faihle capacit d'apprentissuge si la complcxt n'est pas assez grande, faible capacit de gnralisation si elle l'est tfOp). En d'autres termes, J'ob-jectif vrilablc est d'optimiser conjoinlement le critre de dtcclion clin complexl1 du dtecteur, de telle sorte que la prohabilit d'erreur SOil minimise. ft taille fixe de la basc d'apprentissage. Plu~icnrs stratgies sont possibles pour alleimlre cet objectif [RIC 98,,_ RIC 98bj, tlont Une consiste, conceptuellemcnt, i, tronquer un dveloppe-ment propre de G(O') de telle sorte que les composantes mises h zro soient prfren-tiellement celles qui induisent les plus faibles carts par rapport il G(n,),

L'ide de piloter une slatiSltque de dcison dans le plan par apprentissage est rcente et peut sc dclner de diffrentes manires [ATL 97.1. On peut par exemple, plutt que de fixer le choix de la rcprsematJn cl nplirniser la mesure Lie perfor-mances. prTrer fixer cette dernire tout en faisanl porler l'optimisation sur le choix de la reprsenlation. 11 en es! ainsi dans le problme de classification ( deux classes) considr en [DAV 981J o choix est fah d'utiliser un critre de contraste de type Fisher ct des di~lributions de la clusse de Cohen, De manire plus prcise, le critre choisi consiste minimiser une distance ntraclasse moyenne lmlt en maximisanlla distance interclasse correspondante. la distance ri tant de lype Kolmogorov et l'opti-misation oprant sur la fonction de paramtrisation :y(', i) des di;.;Ldbutions de Cohen (normalises) CAf: f; v) d'un ensemble d'appreniissuge Xl ~< ~y~:

Une faon efficace d'assurer cette optimisation est de choisir pour :p(~. T) un modle gaussien radialement symtrique.

1.4.3. RecOIwassouce de formes

Le dnominaleur commun de la plupufl des slratgies lemps-frquence de dtec-tion tant de trouver dans lu reprsentation d'une observation un degr de ressem~ blancc avec une signalure )) du signal il dtecter, utilise comme rfrence, il est tentant d'aborder le prohlemc en lermes de reconnasHunce de formes..

:14 Ddsion temps-frquence

D'une manire gnrale, il s'agit e rduire une reprsentation temps~frquencc de rfrence un certain nombre d'ultribul meUre en relation, rendant difficile une mthodologie uuHie et eondtionnant dans une large mesure les

solutions proposes aux applications particulires auxquelles cnes som ddies.

Le premier exemple que l'on peut ciler est celuI (dj rencontr) des chirps, pour lesquels la signature}) naturelle est celle d'une trajectoire temps-frquence, elles attributs associs les paramtres permettant d'en dcrire la lo. En termes de Illtrage

adapt, on a vu prcdemment que dtecter un chirp pouvait se rduire une int-

gration de chemin le long de la loi suppose du chirp. En termes de reconnaissance

de formeR. on peUl adopler une perspective inverse, qui consiste considrer chaque

ponl du plan lemps-frquence comme lieu potentiel de passage pour toutes les lois de chirp poss.bles, puis attribuer. danK le plan dc.'; paramtres (pur exempte la peme et Pordonne il l'origjne de la droite de frquence instantane, dans le CUH d'un chirp linaire), un poids correspondant la valeur locale considr de la dlstribution: c'est la transformation de Hough. ApplitJucr iu transformal:lnn de Hough dans le plan temps-

frt"Cj1.lence fi t propos pour diffrents types de distributions [BAR 95 J, uvec un avan-"'ge tout particulier pour les spectrogrammes rallous [BAR 96J, li bien sr leur grande capacit de locnlisntion sur des structures filaires.

Dans les cas o ]es struclllreK lilalfes ne sont pas adaptes, d'autres pararntr-sutions de surfaces temps-frquence sont po~sibles, via par exemple des nergies. des dates cl/ou des frquences cenlnt1cs, vn]ues dans des fentres temps-frquence locales. Etant donn une hasc ct' apprentissage. )a slection du jeu des paramlres les plus discriminants (au sens d'un critre pre5icrit) repose a)or~ sur une optimisation du choix de la rcntre (Cmrs~frquen: on trouvera dans LGRA 98] un exemple d'une telle approche as:;:odanl la distribution de \Vigner-Ville ct le critre d'nformation mutuelle.

On peuL enfin remarquer que l'approche: plr reconnaissance de fonnes est lroi-

lemeollic 11 l'adoption d'un point de vue image)} rclatir aux distributons temps-frquence IABE 91]. Cc point de vue appelle au moins deux ft11Urques. La premire est que. si une distribution lemps-frquence se prsenle en effet Nouvent l'utilisateur

sous l'aspect d'une image. celle-ci comporte, par opposition des images du monde

physique. un degr important de slructuration, porlant trace de la transformaiion sous~

jacemc ulilise. qu'il est souvent difficile d-intgrer duns les post-trnitcments et qui, ans le cas ol 00 l'ignore. limite ncessairement l'efficacit des outil;;; standard du lnlitement d'images. La deuxime remarque est que. si l'aspect image}) esl quali-tativement parlant pour une analy:>e hmnuine, la lishiHt demande par celle dernire

ne va pus ncessaircmentde pair avec l'optimalit d'tille dcision, D'un point de vue

lmentaire. il n'est que de songer aux lennes interfrentiels des distributions de la dasse de Cohen (comme par exemple la dlstribution de \Vigncr-ViHe), qui sont h la

Temp ... ~frquence ct dcision - une introduction 35

fois rputs altrer lu lisibilit et connus pour tre nc-essalres l'unitarit garantissant t'optimalit. Moyennant la prise en considration des spcificits du prohlrnc, consi-drer une distribution temps-frquence comme une image est nanmoins possible et ouvre ln voie il des procdures de dcision bases sur des outils comme la dtection de contours, Pcxtructton de lignes de crte, de pmtage des eaux. etc., qui peuvenl alors s'avrer trs cflicaces d'un point de vue nigurithmlflue.

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ChapitTe 2

Dtection de non-stationnarits

2.1. Dteetion de non-stationnarits il l'ordre 2 1

Dtecter Wl phnom~nc 110n stationnaire dans un signal est un problme courant dans de nombreux domaines, la nature tant plus frquemment 110n stationnaire que stationnaire. Le problme pos par le traitement e ce type de signuux Il 'est pas simple et chaque mthode propose tiendra compte d'une proprit plutt que d'une autre,

Un processus est stationnaire au sens strict si la loi de ce processus est invariante quelles que soient les translations temporelles. CeHe dfinition est cependant trs svre et nons nous limiterons une stationnarit d'ordre Il fini, condion plus faible qui ncessite la stablit des moments d'ordre 1 il ri U processus par rapport au temps. Nous sous-entendons par ces dtnlons l'ergodisme du processus, soit l'galit des moyennes temporelles et des moyennes d'ensemble. proprit que nous admettrons a priori [ROU 70J,

La proprit de stationnarit est, par dfinition, adapte aux signaux alatoires. Une application slricte de cette d(jnitl011 sur un signal dtenninistc conduit li des ronctions constantes, ce qui n'a pas beaucoup d'ntrt. Brillinger [BRi 81] propose une dtniton de

42 Dcision telTlps-frquence

Dans ce contexte. une mesure de la stationnarit se rsume ,[lU contrle de

rinvariance des proprits statistiques du proCCSStL'; par rapport au temps. Cependunt.

l cst ncessaire de Jxel' une chelle d'observation et de dfinir un moyen de

contrle de l'invariance des moments. Dans ce chapitre, l'objectif souhait consiste connatre la localisation temporelle des non-stationnarits prsentes dans le signal

ainsi que leur locaHsation frquentielle. A cette tin, le dtecteur propos est bas sur

une vuriation du moment d'ordre:: du signal dans le domaine temps-frquence. Se

lmer au seul ordre .2 est restrictif et la mthode propose doit tre complte par

des dtecteurs construits sur des moments d'ordre supreur 2. Nous en dirons

quelques mots en fin de chapitre.

Lu melhode propose ne s'appuie pas sur un modle du signal ou du phnomne

non stationnaire recherch, Dans le contexte qui vent d~tre prcis. dIe a J'avantage

d'tre sensible aux volutions du signal au cours du temps quel que soit le type

d'volution et quelle que soit sa dure, punir du moment o la rsolution de

l'estimateur temps-frquence chois est suffisante. Tral1sitoires~ sgnaux moduls en

lrqucncc. ruptun."S frquentielles, an1vc ou disparition d'une composante dterministe

ou alatoire sont des vnements dtectables par cette approche. Les modulations

d'amplitude seronl par contre mal dtectes. La lT'Ithode propose s'applique

lorsqu'un simple lest du Cusum ou un dtecteur d'nergie se rvlent insuffisunl.

Robuste et automatique. cette mthode a pour inconvnient de ne pas tre optimale,

aucune nfonnation fi priori n'tant disponible.

Le dtecteur propos est dfini partir d'une reprsentation temps-frquence

estime partir d'un spectrogramme ou d'un corrlogramme glissant. Tl est

adaptable il tout estimateur dont la loi d'estimation est connue. Les rsolutions

l.:!1TIporeHes et frquentielles sont celles choisies li priori. Le dtecteur intervient en

post-traitement aprs l'tape d'analyse et exploite les proprits de l'estimateur

lemps-frquence choisi sans interagir sur celu-ci. Ce dlecteur a t propos dans le contexte de l'opration Aspect dans le but de cenll'ler la stationnarit d'un sigl1al il

une chelle d'observation non critique. ce qui justifie le chOIX des analyseurs. de Fourier glissants [DUR 99, MAR 02].

2.1.1. Test d'!typotilse tians le phm temps-:frq/lcllce

La thol'le de la dtection binaire consiste li accepter ou rejeter l'hypothse d'appartenance d'une observation un espace donn. La thorie de basc repose sur

la stratgie de Bayes [TRE 68], stratgie optimale pour laquelle le risque ou cot moyen des situations possibles est minimis. Appliques au trailement du sigml.l, les

hypothses ont d'abord t fonmtles partir de donnes temporelles [ARQ 82]. Lorsque l'hypothse de statimmuril n'esl pas vrifie, il peut tre intressant de

Dtectlon de nDn-stationnarits 43

construire un modle de dcision dans un espace plus adapt la dcision de phnomnes non stationnaires. Une formulation du dtecteur binaire~ quivalente en fut au principe du I1ltrage adapt. a et lnborc partir du spectrogramme par Alls en 1980 [ALT 80] cl partir de la distribution de Wigncr-Ville par KUl11ur el Carroll en 1984 [KUM 84]. Les conclusions de ces derniers sont dj trs explicHes quant l'galit des perfoffi1unces entre un dk'Cteur temps-frquence et un dtecteur temporel. Kay et Boodreaux-Burtels [KA Y ES] el Flandrin [FLA 861 ont repris ces trnvuox en 1985 et 1986. Marinovich [MAR 91] il propos one formulation qui repose sur une dcomposition en valeurs singulires d'une reprsentation temps-frquence dans le but d'ex1raire~ dans le plan temps-frquence, les composantes associes au bruit. Lcmoinc a montr les limites du dtecteur temps-frquence optimal [LEM 95].

Matz et Hlawatsch [MAT 99] proposent un dtecteur" hypothses composites formul dans une rgion du plan temps-frquence. Les connaissances CI priori ncessaires sont obtenues C:l partir d'un ensemble d'apprentissage, Richard et LengcH [RIC 98J proposent un dtecteur linaire performant qui limine la redondancc prsente dans une reprsentation de W igner~ ViB;;;.

Friedlander et Poral [l'RI 89, POR 93] ont propos lin dtecteur de transitoires bas sur un test du maximum de vraisemblrmcc. Ce lest csl localis }) dans le sens o il examine une partie des coeflicents de la reprsentation tcrnps-frquence (RTF), Ces stmctures non optimales ont l'avantage d"tre adaptes la nature des transitoires et d'exploiter le plan temps-frquencl! contrJirement aux dtecteurs temporels.

Dans cette section, base sur k mme principe, nous proposons un dtecteur qui tente d+exploiter la localit du plan temps-frquence. Par contre, le contexte est diffrent tant donn que nous souhaitons dfinir C~ dtecteur il partir d'un minimum d'informations ({ priori que cc soit sur le signal stationnaire ou sur le signal non stationnaire dtecter. Ce lypc de situations est fh!quent dans les applications et il nous a semhl importunt de proposer un dtecteur ncessairement moins performant qu'un dtecteur ad hoc mais qui a, par contre, l'avantage d'tre plus gnral avec nanmoins des performances intressantes.

Le signal observ vrifie rune des deux hypothses suivantes: - hypothse Ho : le signal est ulatore et stationnare puissance moyenne finie~

ventuellement additionn d'un signal dterministe stationnaire H. sa densit de probabilit es! note Po;

~ hypothse Hl: rejet de l'hypothse Ho. le signal est non stationnaire par morceaux. sa densit de probabilil cs! nOle Pt.

L'absence d~inrormation sur la nature des composantes non slationnaires ne penm::t pas de calculer ln structure optimale d'un dtecteur au sens de Bayes

44 Dcision temps~frqucnce

[PRO 89, SAP 90, SPA 73, TRE 68, WHA 71], la densit de probabilit Iddp) de l'observation sous l'hypolhse HJ, PI, est inconnue. SOliS l'hypothse Ho o le signal est stationnain:, la forme de la ddp du signal. Po- est connue mais ses paramtres sont inconnus. Nous proposons un dtecteur rcursif bas sur une estimation itmtive des paramtres de Pu et constntit dans un espace des observations dfini dans le plan temps-lrqueoce.

Afin de prserver la localit temps-frquence. la statIstIque du dtecteur est dfinie partir d'un seul coefficient de la RTF. Le dtecteur propos sera donc non optimal cl double titre~ il a par contre J'avantage d'extraire en temps et en frquence des composantes quelconques non stationnaires par morceaux en fournissant la localisation temporelle et frquentielle de ccs non-stationnarits.

Les los a prior des observations et les foncions de cot de chacune des dcisions tanl inconnues, il est nanmoins possible de calculer le seuil de dtection parlir d'une probabilit de fausse alannc fixe. Seule la 101 sous Ho cst alors ncessaire. Cc seuil est adapt chaque itration. Pour viter une sensibilit au choix de celle probabilit, le dtecteur est appliqu pour plusieurs valeors de la probabilit, ce qui fournit en fin de compte une classification des points dtects.

ConsidroDs un sigoal temporel discret rel r[k], de N points, de RTF Pr[k.vJ, lment de 1(2. \' tant la frquence nonnaiise par la frquence d'chantHonnage fc> L'espace d'observation, not Liv) est un ensemble de poiuts de coordonnes (k,v) tcl que Pr[k,vJ exisle et v est gale a une constante. C(v) est donc dtini dans l'espace lemps~frquence par une coupe de la RTF d la frquence v.

Sous l'hypothse Ho. l'espace des observations nol CHo (v) est dfini par:

avec PPriHo la ddp de l'observation Pr [k, v] sous I~hypothse Ho

L'espace d'observation sous l'hypothse HI, not C1I,(v), est le complmentaire de 1:11,,(V) dans 1:(v). Nous pouvons remarquer 'lue les coefficients de CHo(V) Ile conespondent pas forcment des segments du signal conscutifs temporellement.

A la frquence v, la slfitistique de dcision entre les hypothses Ho ct H, est dfinie par:

HI >

Pr[k,v] < 11pli'[V] Ho

[2.2]

Dtection de non~sl

46 Decision temps-frquence

1 Pr[k,vl~ Nr

avec fIm] I"ntre temporelle de Nrchantillons. N r< N.

[2.5]

S011S l'hJlmthse H, le signal est gal b[k] et suit une loi norma\e /Il (0, al). Si la tntre h,:mporellc d'analyse tIm] du spectrogramme cst une rentre rectrmgulaire. le coctlicielll lemps-lrqucnce de b[k] la frquence v, not Pb[k,\'l ct dfini comme dans [2.5], est une vari.abl alatoire proportionnelle une variable alatoire, X7" qui suit une 10i du X'2 ( degrs de libert, avec un coefflcent de proportionnalit gal a. (32/L La loi de pb[k,v] est ainsi une loi gamma: r( e/2, cr2/e, Ol [JOH 95].

Nous pouvons crire:

pour v if; 0 et \' 7:--1/2 [2.6J

Celle quation dtermine la ddp Po' du signal sous rhypothse Ho:

( . 1 Po' p)= a

[2,7J

avec gxi la ddp de la Ini du . Connalssunt la loi, nous pouvons ddure l'expression de tous les moments du

processus Pb[k,v] et, en particulier, la moyenne E(Pr[k,v]), la variance Var(Pb[k,v]) et la variance normalise Vam(Pr[k;v]) qui s'crivent:

1 (

[2.81

[2.9]

[1.10]

Dtection de non-slationnurites 47

L'quation [2.8] pennel d'exprimer le coefficient de proportionnalit a cn fonction de la moyenne de l'estimateur:

[2.1 1]

Sous Ho; la variance n0011ullse de Pblk,v] est une camctristi{)ue de Pestnaleur indpendante de la variance du bruit b[k]. Pour le spectrogramme non moyenn, Vam(Ph[k.v]l vaut toujonrs 1 quelle que soit la lentre d'analyse [DUR 99]. D'aprs [2,J 0], le degr de libert { de la loi du coefficient du spectrogramrne vaut2 quelle que soit la fentre d'nnalyse fIk], d'ou a = (j212. Nous relrouvons ainsi des rsultats bien connus:

Ph [k,vJ = C; :d. E(Pb[k.v])=,,' Var(Pb [k,v]) = ,,4

Si Po[k,v] est un corrlogramme pondr par une fentre temporelle g[m] de dure Ng, l'quaton [2.6J est une approximation. La variance nonnalse, calcule dans [DUR 99], n'est plus unitaire et le degr de libert l'eN est un rel dtermin partir de [1.10] :

2 [2.12]

Sous l '/(lpothese Ho. au bruit gaussien blk] peuL s'ajouter une composante dtcrministe d[k]. Dans ce cas. le processus x[k] suit une loi gaussienne J\I1dlk], ,,2) de moyenne non nuUe gale x[k] et de variance 0'1. Alors, le coefficient Pr[k,v] est proporlionnel une variable alatoire X?(6) qui suit une loi du X1 dcentre il {" dCbrrs de libert avec un paramctrc de dcentrage fone!ion du rapport signai il bmi! [DUR 99. HOR 02, lOH 95, WHA 71]. Soit:

[2.13]

avee li = [ Pd [k, V li Pb [k, v] et pd[k, v] le coefficient du spectrogramme du signal dlem,iniste d[k]. Le coefficient de propOltionnalit ", identique au eas bruit seul, est dfini par [2.11].


Cette quation dfinit Po dans le cas o un signal dtermlnis1e stationnaire s'ajllte au signal alatoire. L'hypothse Hf; en est un cas particulier avec = 0, A partir de la fonction caractristique d'une loi du 7~2 dcentre, il est possible de calculer les moments de celte loi [JOB 95] qui s'crivent:

Var(Pr [l, v]) ~ (1" (]( +43) Var(Pr[l"v]l ~ (2f+45) (E(Pr[k,v]))" ~ (I+I))"

[2.14]

[2.15]

[2.16]

POllr le spectrogramme [2.5] calcul avec une fentre d'analysc [[m] rectangulaire. le degr de liberr r vrll1l.:?, et nous avons:

[2.17]

Pour les a1l1res estimateurs, l'quation [2.13] est une approximation qui n'est correcte que pour de trs faibles rappolis signal bruit fDUR 99].

Pur rarport au dtecteur prsent dans ce chapitre. il est importunt de remarquer que la variance normalise sous Bo dfinie par [2,16] est toujours infrieure la variance normalise sous H dfinie par [2.10].

2.1.3~ Seuil lie (ltectOI1IIIl test temps-frquence

Le seuil du dlecteur cst dfini par [2.3]. Sous H, il dpend de la densit de probabilit Pu~ dfinie par [2.7] qui, intgre dans [2.3], perl11et d'crire:

Dtection de non-stationnarits 4tJ

+70 +~ Pfa J a

'l!'", ["1 dp = J. gz; ( u) du

)l'f

SU Dcision tcmps-rrquencc

+:1) pfa: l g, (u) du

[ Xl

i!'ti! VJ

[2.22]

A chaque fTquence v, l'algorithme permet de dtecter toutes )cs estmutions

Pr[k,v] qui diffrent de l'hypothse Hf). Ce test peut tre tendu l'hypothse initiale

Hn sans connaissance de la partie dtenninistc du slgnaL En efret, le pamgraphe

:2.1.2 fi mis en vidence le fuit que la variance nom1allse sous l'hypothse Ho est

toujours infrieure cetle obtenue sous H, Ainsi, sous Ho, la pl'obabiHt de fausse

ulamle effective serait plus faible que celle calcule sous l'hypothse Ho. Cette

observation reste vUlable pOUf tout signal dterminste dont les composantes

spectrales ne sont pas modifies au cours du temps.

2.1.4. Test tel1lp,\'~frqlleIlCe rcursif

Le test dfini par [2.11]l'epose sur la connaissance de l'lv] donc de l'ensemble

.cHo(v), Nous proposons une estimation itrative de cel ensemble.

Supposons connue cette quantit une itration i de t'algorithme. Notons .ci"IQ(V)

l'ensemble EHo(v) l'itration i, pi le cardinal cie qi/V), I,i[v] la moyenne des pi

lments de [[I,(V) dfinie par [2.20] el ClI,(v) le complmentaire de 41"(V) dans

[(v).

Ln connaissance de la moyenne ,,![v] l'cunel d'appliquer le dtecteur [2.21] pour

une pra donne ct de mettre jour les ensembles C~o(v) ct Cii}v} pour l'itration

suivante, soit ;

et;

c;;;(v)={p,(k,vll p,[k,v]:;; .zpf.

Dtection de non-slationnarits 51

[1111 (v) Li 1" (v) / l'itration vrilie L'il ll (v) = 4~: (v) [2.25] Cette relaton implique ncessairement la stabilit de l'ensemble complmentaire.

d'o:

[1.16]

avec l'indice l dlini par [1.15].

11 ne reste pius qu' initialiser la procdure, Nous propn~mns dnitialiser l'ensemble dl-,o(v) par les p % coefficients Pr[k,v] de plus faible valeur confonument l'quation [2.1], la valeur p tant fixe (f prori, La moyenne IlO[V] de celte itration initiale risqne d'tre biaise par rapporl E(Pr[k,v]). En effet, $1 la frquence v t le signal n'est constitu que d'un bruil blanc stationnaire.1Jo[v] va sous-estimer E(Prlk..,v]). qui n'cst calcule qu' partir des coefnc:ients de plus faible valeur. La probahJHt de fausse alarme va tre suprieure celle dsire. Dans le cas oppos o plus de p % des eslimations son1 non stationnaires, la moyenne initiale fLO[ v] risque de surestimer E(Pr[k, v l). Ln probabilit de dlecliou va tre infdeure celle altendue, Dans les deux cas, aux itrations suivantes, la moyenne est ajuste, Je nombre de fausses alarmes diminue tandis que la probabilit de dtection augmente. L'algorithme de dtection est illustr sur le dingramme de la figure 2, L

Le rsultat du critre est ulle carte temps- frquence, DetLx cartes sont possibles suivant le typ de classification souhaite. Pour la premire carte, les lments de LH!!V) sont cods en couleur suivant la valeur normalise Pr [k, v]/U-

5.2 Dci5ion lemps~jrqucnce

CI (p, 0;; r < Pc+1 ) ~

[PC [k, v] E UL( v) 1 (y,:)Br,,/ [v] 0;; Pc [k, v] < (y,:)PrJ,1 [V]lJ , \'

[2,27]

1 Signnl;-.J pOlllts 1-

t Analyse temps-frquence

Spcclrogramme oU com:logmmmc L:(v) ~ ((!;,v) 1 k ~ LOi!

1 lntiali~lltion p '~ 1 j=O : C7! (v) "'" lik,v)! Prrk.vl min ci Po nr:(LPj (v) = N plI 00 l 'l' . " ___ ~_'-,D_~ __ -.J

Dlcctinn

M ~ {(Ie,v)! p,lk,v! < l )'1'" [v] ~ilvll , '00

rrl!. = J g.l~ (ul du L\"11 (v) = L {v)""" Ci~1! {v) }'l'f .. tv(f - 1 li - -

Qui

~,I Temps .

C;in(Vl"" c'~Jln~ LII, (vJ C\!I (v) l---------

~I __ ~-'lP~, g. i -, --__ __- ------

; '~i.~~_:::~~ plv] -i,'lv] i ,,-, --,

, ~ .... _~--~--,

figure 2.1. Diagramme du critre cledlection de 1wn-S/ofiOIl110rits dmls le plan feJlt!,.\'-;li'qucl1cc

Temps

DleClon de non-stationnarits 53

Ce classement tlnal penne1 de discriminer les non-stationnarits dtectes en Fonction de lem probabilit de dtection. Les pl'ObabiHts Pc ne doivent pas tre trop grandes au risque de sotls-estimer E(p,[k,v]) et d'obtenir "li finul des probabilits de fausse alarme trs suprieures il celles dsires. Dans les exemples dcrts dans les paragraphes Ruivants, nous avons choisi une telle reprsentation avec une classification en cinq classes dfinies par:

-ciasseO: CI(P=IO-l):

classe 1 : CI( 10-3 cS P < 10-2):

-c1assel: CI(IO-4 ';P 20 Cl prior), Le degr de libert t de la toi associe au prodogrammc est gal il 2.

Si restimuteur temps-frquence est un corrlugramme glissant, Pr [k,v] est alors estim par le corrlogramme A-biais au H(!u du priodogramme [DUR 99]. L ~intrt est d'obtenir, pour cerlaines fentl'Cs 'apodisiltion linaire. une variance normalise intrieure celle du priodogramme. Le meilleur compromis est obknu pour la fentre de B1ackman avec une variance nonnaHse gale 0.49 nions '-lue. quelle que soit la fentre d'apodisation du priodogramme, sn variance normalise est gale il 1. La dtection esl amliore puisque les estimations. dans le cas stationnaire, s'cartent moins de ln moyenne par rapport au priodogmmme. Le seuil de dtecton


est infrieur ct des non-stationnarits de plus faible puissance peuvent tre dtectes sans pour autant augmenter le nombre de fausses alarmes. En contrepartie, les lobes secondaires de la fentre spectrale seront moins bien attnus, cc qui risque de masquer des non-stationnarits ventuelles ct augmenter la probabilit de perle. Pour une fentre de Blackman, le degr de libert l'cor vaut 4,08 au lieu de 2 dans le cas du priodogral11me.

2,1.6. Rsultat sur 1111 siglllllllcmlmiqul!

Le signal acadmique tudi dans ce paragraphe, non raliste sur le plan physique. a pour objectif de regrouper un ensemble typique de non-stationnarits afin d'illustrer les possibilits du dtecteur propos. Soit un signal discret r[k], de N ~ 25000 points, chantillonn une frquence f~ ~ 100 Hz ~ liT,. r[le] contient un signal alatoire stationnaire b[k] additionn de trois composantes dk] non stationnaires:

[2.28]

avec:

- b[k] un bruit blanc stationnaire de puissance ci = 3 sur N points, d1 [i

Dtection de non-stationnarits 55

Les rsultats sur ce signal acadmique sont probants. Les dirfrents types de non-stationnarits ont t dtects, qu'il s'agisse de non-stationnarits par morceaux (frquence pure, motif bande troite) ou non (modulations linaires de frquence). Que ce soit avec le spectrograml11e (figure 2.2) ou le corrlograIlll11c glissant (figure 2.3), le nombre de fausses alannes est proche de zro, surtout pour une probabilit de fausse alamle infrieure 10--4. Entre 50 et 150 secondes. les lments dtects loigns du motif bande troite ne sont pas des fausses alarmes. La sinusode frquence alatoire ajoute du bmit sur toute la bande, mme si celui-ci est iible en dehors de la bande [25 Hz, 45 Hz].

v ."

.f! Q. E

0 50 al

-40 -30 -20 -10 0 10 10

15 1 1 . A. ~I~:~ o 10 20 30 40 50

d) Frquencc (Hz)

Temps (s) 50,--------------,

40

" 630 v u 5 g. 20

'V J:

10

0

c)

50

JAl' ~

0 0.5

100 150 200 Tcmps (s)

''''/;);11001 1.5 2 2.5 3 3.5 4

I-j I.A. ~l~~ o 10 20 30 40 50

c) Frquence (Hz)

Figure 2.2. Signal acadmique. Dtection partir dit spectrogramllle. (a) Signal tell/porel (25 OOU points), (b) RTF: .\pectrog/'alllll1e Cil dB ({mtre de Blackmall . ./7 .l'egll1Cflts de 1 02./ poilltS), (e) dtection {Jour {J % = 50 ~% ef Pf = JO".J. (d) moyenne temporelle de /a RTF, (e) moyenne temporelJe p[ lj des lments SOIIS Ho.


Cet exemple a galement pour objectir, de faire apparatre les perionna"ces el les limitations de la mthode. Le motf bande troite n'a pas une densit constante

sur la bande [25 Hz, 45 Hz]. il a une rorme de cloche, cc qui permel de dterminer (suivant les paramlres ciu critre) il partir de quel niveau le motir est dtecte. Nous observons, en eITel, une 111eilleure performnl1ce de la mthode du

com~]ogrnmme glssant pour laquelle le nombre de points dtects appartenant au

motif bande troite est pius imporlant qu"avec le spectrogramme.

N es 30, .O"";,{'> .. i

10

Temps (5)

bl -( 0 -5 0 5 10 15 20 25

~i~U~~ n 10 20 JO 40 50

d) Frquence {Hz)

"",."

III

() .'-. .. ____ . _____ ..J

50 100 ISO 200 Temps (s)

E'IIJI2P?vs;> ;~ ,,,:::,Z,,"",,~ ";" k c __ :: __ ''''oc;;,,~,,'' '; ",11:.."-";3:05::1 el 0 0,5 1 1.5 :; 25 :1 3.5 4

15] l ,'~ II~_ ~l~~~r, - ~.1.,-,-i'_'~ __ o 10 20 }O 4 50

cl Frquence (Hz}

Figul'e 2.3. SigNai academiq/l. DtectioJf if partir dll col'f'tHogramlt/c g!i.rsant, (a) RTF ," (:orrlogramllle glissam en dB (/imrn.: de Biaekmol1, ../7 segment~ de l02.J (Joims). (h) dtcciiojl pOlir fJ ;J't "" 50 % et fla ur!, ie) moyenne temporelle J4 \1 de la RTF, (d) 1I1OJ'C1111e temporelle f..1[ljdes /ements SOI/S 1-1,1'

Ceci est egalement mis en vidence sur j'estimation Il[k} (voir figure 2.2e et figure 2.3d) qu tnd vers l'estimatiDn d'lm bruit blanc sur presque toutes les frquences, conti'airemcnt, bien sr, la moyenne lemporeHe e la RTF (voir figure 2.2d ct figure 2.3c). L'esHmutioll est biaise aux extrmils de la bande qui sont affecles 11 l'hypothse H{1' Par contre, au milieu de la bande, l'hypothse Hl est retenue et hl moyenne ~l[V] correspond bien il celle du bruit (vor figure l.3d eutre 32 el 38 Hz).

Dtection de non-s1nllonn

o 0.5 1.5 2 u} Temps \s)

29 -;: ~ 103 " u c 15" " ~ cr

'" 1:, IL HI o ~'-.. .... _-----_ .... --

0,5 1,5 1 Temps (~) Temps. (SI ~_:;~, ~,,~~, ",;:s~~~Jkil 11i1IIIl1i"1f~ ~ ~~, '~'c:..:.:: ~ e;'1fIIIIl

b) -40 -30 201U 11 10 20

.IO! I~ ~~~~C __ JJL.. ___ ~ d)

1 ()O 50

o 5 uon j() 000 15 000 lO 000 Frqucllcc t Hz)

() +---'-' .................. -!l ...

cl 0 0.5 1 1.5 2 2.5 J 3.5 4

e) Fn5quct'lCC (Hf.)

~I) Frquen (Hz)

600 400 :mo

80

1 o:~~------r"-"

g) 0.5 l,il ,

1,5 2 Temps (St

Figure 2.4. Sig/JO/ l'ilmltoiJ'e l'd (EDF). Dtection li pm1- du cOl"l'logrammc giissam. (a) signa! temporel (f 0] -lOf) pOints,.f., 50000 1-!=J. (h) RTf': currlogramme gn~5W!! en dB (fcntre de BJnckman. 199 segments de 1024 points), (e) dtection pOlW P ~(; "'" 50 ~\; el Pf == Ur~,(d) moyenne f(~mpore!le (kJ la RTF. (e) m~re/ll1e tel1ljJore/te /1[lj de,\' eIJuu}/lts SOifS !-I(,", (i) pmji!ctiim de (cl slft' l'U':.e,{!'L:quentiei. (g) prqjec!m/ de (c) Slir l'axe temporel.

Dtecion de nOI1-statiollHilfits 59

Cependant, ces transitoires de faible puissance n':dTectent qu'une bande restreinte en frquence et ne sont pas gnants pour une analyse stationnaire du reste du signal, Ce signal contient dHlrents types de non-stationnarHs~ les transitoires prcdemment cils ct des bruts hydrauliques 11011 stationnaires visibles sur le signal temporel (par exemple entre 0,1 cl 0,2 seconde). 11 s'agit de bouffes > d'nergie. Hs ne sont alors pas dtects par notre critre, rvolution de l'nergie dans la bande du motif tant insuffisante. Un critre de dtection cn temps [DUR 99] est adapt il cc type de non-stationnarit et permet d'en dlecter temporeUement les principaux motfs. Le critre permet de bien cerner l'influence en frquence des transitoires et d'envisager une analyse stationnaire pour les frquences qU ne sont pas louches pnr les 1100-stmionnarits. lt apparat galemem que les lmcnts dlccts nvec une probabilit de- fausse nlamH! comprise entre 1 O~2 et 1 O~3 sont diffici1ement exploitables. Les non-stationnarits dlectes cette chelle ne sont pas suffisamment significatives. Une projection des rsultats sur les axes temps ou trtluence fournil des indicateurs plus compacts que dans le plall lemps-frquence (voir ligures 2Are! 2.4g).

~ .~ i) . E


Nous prsentons figure 1.5 les rsultats du critre sur un deuxime signal vibratoire fourni par la DGA, Il s'agit de l'enregistrement par un capteur acclromtrique des vibrutons d'une station d'huile. Le signal est considr comme stationnain:.\ que ce soil pour les vibrations dues la circulation du fluide ou pour les harmoniques lies au moteur et il la pompe de la station d'huile. Les coefficients dtects sous HI sonl en nombre trs faible et sont disperss dans le plan temps-trquence, Le signal IJCUl donc tre considr comme stationnaire, ce qui corrobore l'expertise du spcialiste du domaine d'applicaton.

D'autres types de non-stationnarits peuvent tre mis en vidence. Nous prsentons dans [DUR 99] le cas d'lm signal qui correspond l'enregistrement de lu passe d'un navire au-dessus d'un hydrophone. 11 prsente de lgres n()n~sta1ionnarils sous la

fonm~ de motifs bande troite dont la frquence centrale change au cours du temps ou dont l'nergie varie.

2.1.8. C,mcll/sioll

L'quation de la probabilit de fausse alaml0 dpend de la loi sous Ho dfinie pur [2.13]. Pour nverscr cette quation, il est ncessaire de connatre ln moyenne E(Ph[k,v]) sous l'hypothse Ho, quantit dont nous proposons une estimation ci l'aide d'un algorithme rcursif adapt appliqu au plan temps-frqueocc,

Pour Iltlllier l'absence d'infOlmation a priotf, le test propos utilise le fail que la varal1ce nommlisee de l'estimateur spectral d'un signal ulatoire stationnaire ventuellement additionn de composantes dterministes est toujours infrieure l, la varance obtenue pour un signal alatoire seul. Ainsi, lorsqu'un signaJ dterministe est prscHt l la probabilit de fillL.;;sC alarme, calcule avec le seuil obtenu sous J'hypothse signal alatoire seul. esl plus faible que celle prvue initialel11cul.

L'hypothse gaussienne n'est pas stricte car) si la dure de la fentre temporelle est suprieure nll support de corrlation du signal) la transforme de Fourier, par application du thorme ecntrallimite a telldnnce rendre gaussiennes lcs variables irqucntclles [PRI 81],

Ainsi. le test propos pem1et d'uccepter ou de rejeter l'hypothcse tlssez gnm[e d~un signal ulntoirc stationnaire puissance lnoyenne fini, ventuellement additionn d'un signnl dtennllste stationnaire. Ii a pour tlvanlage d'tre adapt fi tout type de non-stationnarits sous l'hypothse que pour chaque frquence. H existe au cours du temps une partie stationnaire, par exemple un signal stationnaire par morceaux, une modulation de frquence ou des chocs ill1pulsifs dans llll bruit statonnairc. Il sera moins adapt des non-stationnarits nOI1 lies il la frquence,

Dtection de 11On~slationnarits 61

par exemple une modulation d'amplitude. Le rsulwt est une dtection non seulemenl en temps, mais galement en frquence ce tWi permet dc cerner les bandes frquentielles concemcs par les non-stationnarts.

Cet algorithme est rapide, ne ncessite pas de modle el les hypothsC5 sont peu contraignantes, Les paramtres sont peu nombreux et simples choisir, Le choix du paramtre p 'YO. pourcentage des estimations de plus faible densit utilis pour initialiser l'algorithme, n'a pas une inlluence prpondrante sur les rsultats. L'algorithme s'adapte de lui-mme lors des premires itrations. Cc paramtre ne doit tre ni trop grand au risque de dtriorer lu dtection si des non~stalionnarils importantes du poinl de vite tel11porelle existent, ni trop petit pour ne pas augmenter le nombre de fausses alarmes. Pour ks signaux tests. les rsultats sont quasiment identiques pour des pourcentages de 30 %jusqu'a 60 (Yli.

Le::> p-crtonnunccs som limites pur celles du spectrogramme et du cOI1'lograrmnc glissant. notamment la variance et la rsolution, Nanmoins, ce test est eJTIcacc pour une premrc dtection de non-stationnmits gnantes pour une analyse stationnaire. Dans ce mme contexte d'algorithmes mdimenlaires el salls information a priori, un simple lest du Cusum applqu en temporel sur les moments du sgnal estims l'ordre 1, 3 et 4 sur des fentres glissantes. apporte des rsultats complmentaires [MAR 02].

2.1.9. Bibliographie

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